ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L, odrediti: a) sile i napone u štapovima A i B, b) deformacije štapova A i B, c) nagib krute poluge. q 0 A B Podaci: q 0 100 kn/m; poluga AB 1 m; štapovi E 00 GPa, A A A B 100 cm, L 300 mm. (0+5+530%). Puno čelično vratilo sastavljeno iz dva dijela 1 i opterećeno je momentima uvijanja kao na slici desno. Odrediti: L 1 L a) ugao uvijanja u presjeku D u odnosu na presjek A, b) maksimalan napon u presjeku C. A 1 B C T B D T D Podaci: E 00 GPa, ν 0.3, D 1 1.5D 15 mm, L 1 L 500 mm, T B T D 0 knm. D 1 D 3. Za gredu s prepustom pravougaonog poprečnog presjeka, b h, opterećenu kao na slici desno provjeri da li su normalni i tangencijalni naponi u dozvoljenim granicama. Dozvoljeni napon na savijanje je σ doz 15 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon je τ doz MPa. Podaci: 0.3 m, L AC 0.6 m, L AD 0.8 m, M 1 knm, q 10 kn/m, dimenzije grede b h 0 80 mm. (15+50%) M A B C D L AC L AD q (5%). Za dio na slici desno u tački A odrediti: a) tangencijalne napone, 300 mm 00 mm b) normalne napone. usljed djelovanja sile F 5 kn. Prečnik dijela je D 50 mm. Napomena: ugao koji sila F zaklapa s horizontalnom osom je tg(ϕ) 3 :. 3 5 A B 5 kn Probs. 8 /3 (1.5+1.55%) Vrijeme izrade - 135 minuta MF-UNZE, 013-Jan-8

ISPIT 8.01.013 - GRUPA A - RJEŠENJA 1. ZADATAK : 1m E : 00GPa q max : 100 kn m A A : 100cm A A A B : 5 10 3 mm L : 0.3m a) Sile i naponi u štapovima Problem je statički određen pa se sile mogu dobiti iz uslova ravnoteže: q max F i 0 F A + F B L AB 0 ( 1) i M i i 0 A F B q max 1 L AB 0 ( ) 3 F B : F A : q max 6 q max 16.667 kn F B 33.333 kn pa su naponi (sile imaju suprotan smjer od onog koji djeluje na polugu): σ A : σ B : F A 3.333 10 6 Pa A A F B 3.333 10 6 Pa A B b) Deformacije u štapovima ε A : σ A E 1.667 10 5 σ B ε B : 1.667 10 5 E

c) nagib krute poluge S obzirom da su deformacije štapova jednake, poluga će ostati u horizontalnom položaju.. ZADATAK D 1 π D 1 : 15mm I o1 : 3.397 10 7 mm L 1 : 500mm D 1 D π D : 100 mm I 1.5 o : 3 9.817 10 6 mm L 1 L : 50 mm : 50mm L BC : L 1 50 mm E : 00GPa ν : 0.3 G : E ( 1 + ν) 76.93 GPa T B : 0kN m T D : 0kN m Na osnovu slike se može postaviti uslov ravnoteže (T A ima suprotan smjer od smjera T B i T D ): T A T B T D 0 pa je T A : T B + T D 10 N m Također se mogu razlikovati dva područja djelovanja konstantnih momenata uvijanja i to: T AB : T A 10 N m T BD : T A T B 10 N m a) Ugao uvijanja u presjeku D jednak je zbiru uglova uvijanja pojedinih segmenata, i to

φ AB : T AB G I o1 0.311 φ BC : T BD L BC G I o1 0.155 T BD L φ CD : G I o 0.379 φ : φ AB + φ BC + φ CD 0.85 b) Maksimalni napon u presjeku C je za minimalan prečnik u tom presjeku, tj. za D τ max : D T BD I o 101.859 MPa ************************************************************************************************************** 3. ZADATAK Podaci: : 0.3m L AC : 0.6m L AD : 0.8m L CD : L AD L AC q : 10 kn M m B : 1kN m σ doz : 1MPa b : 0mm h : 80mm τ doz : MPa b h 3 I : 1.707 10 6 mm A : b h 3. 10 3 mm 1 a)

Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za gredu ACD. Reakcije u osloncima A i C (pretpostavlja se da sile F A i F C djeluju prema gore). F i 0 F A + F C q L CD 0 (1) i L CD M i 0 M B F C L AC + q L CD L AC + 0 () i L CD M B + L CD q L AC + Iz () sijedi: F C : L AC kn Iz (1) slijedi: F A : q L CD F C kn (pogrešno pretpostavljen smjer) Sada se mogu nacrtati dijagrami momenata savijanja i transferzalnih sila 1 F, kn 1 0 1 M, knm 0.5 0 0.5 3 0 0. 0. 0.6 0.8 1 0 0.16 0.3 0.8 0.6 0.8 x, m x, m Maksimalni momenti savijanja je na mjestu djelovanja momenta savijanja u tački B, i to s lijeve strane, pa je M max : F A 0.6 kn m dok je maksimalna transferzalna sila uzduž dijela grede AC i jednaka je reakciji u A F max : F A kn Provjera normalnih napona

σ max M max h I M max h b h 3 1 6M max b h σ doz 6M max σ max : b h 1.06 MPa σ max < σ doz Provjera tangencijalnog napona: 3F max τ max : 0.938 MPa τ A max < τ doz Dakle, greda će izdržati dato opterećenje. **************************************************************************************************************. ZADATAK Podaci: F : 5kN L 1 : 300mm L : 00mm D : 50mm D π I : 3.068 10 5 mm A : 6 tg( φ) 3 φ : atan 3 36.87 D π 1.963 10 3 mm U ravni kojoj propadaju tačke A i B vladaju tangencijalni i normalni naponi usljed momenta savijanja i smicanja koje izazivaju komponente sile F u pravcu vertikalne i horizontalne ose, i to: F y : ( F sin( φ) ) 3 kn F x : F cos( φ) kn Sila F y u tački A izaziva pritisne normalne napone usljed savijanja, dok nema djelovanja tangencijalnih napona, pošto se tačka nalazi na donjoj površini.

σ : F y L 1 I D 73.339 MPa Sila F x u tački A izaziva maksimalne tangencijalne napone usljed smicanja pošto se tačka nalazi na neutralnoj osi, dok iz istog razloga nema normalnih napona usljed savijanja τ : F x 3 A.716 MPa **************************************************************************************************************

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa B 1. Kruta poluga ABC oslonjena je na dva elastična štapa AD i CE i može da se okreće u osloncu B, kao što je prikazano na slici desno. Ako je poluga opterećena silom F 10 kn koja djeluje na polovini dijela poluge AB, odrediti: a) sile i napone u štapovima AD i CE, b) deformacije štapova AD i CE, c) nagib krute poluge ABC. F A B C D L AC E Podaci: poluga ABC 1 m, L AC 3 m; štap AD E AD 7 GPa, A AD 1 cm, L AD 300 mm; štap CE E CE GPa, A CE 1.5 cm, L CE 00 mm. (5+5+535%). Za konzolu kružnog poprečnog presjeka opterećenu kao na slici desno provjeri da li su normalni i tangencijalni naponi u dozvoljenim granicama. Dozvoljeni napon na savijanje je σ doz 150 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon je τ doz 100 MPa. Podaci: 0.6 m, L AC 0.9 m, M 1 knm, F 1 kn, prečnik konzole d 50 mm. A M L AC B F C (5%) 3. Za dio na slici desno u tački B odrediti: a) tangencijalne napone, 300 mm 00 mm b) normalne napone. usljed djelovanja sile F 5 kn. Prečnik dijela je D 5 mm. Napomena: ugao koji sila F zaklapa s horizontalnom osom je tg(ϕ) 3 : 3 5 A B 5 kn Probs. 8 /3 (1.5+1.55%) 50 MPa. Za element napona nekog elementa od duktilnog čelika provjeriti da li će doći do pucanja elementa, ako je R eh 100 MPa. 5 MPa 90 MPa (15%) Vrijeme izrade - 135 minuta MF-UNZE, 013-Jan-8

ISPIT 8.01.013 - GRUPA B - RJEŠENJA 1. ZADATAK : 1m L AC : 3m L BC : L AC E AD : 7GPa L AD : 300mm A AD : 1cm E CE : GPa L CE : 00mm A CE : 1.5cm F : 10kN a) Problem je statički neodređen, pa pored uslova ravnoteže moramo postaviti i uslove kompatibilnosti. Pretpostavimo da se štap AD izdužuje, a štap CE skraćuje, tj. da sila F A djeluje prema dole, a sila F C prema gore na krutu polugu. Uslov ravnoteže je: M i i 0 B F A F + F C L BC 0 ( 1) Uslov kompatibilnosti (pomjeranja u tačkama A i C s tačkom B čine slične truglove, ali treba paziti na znak "-" s obzirom da se jedan štap skraćuje a drugi izdužuje) δ A δ C ( ) L BC Takođe vrijedi: F A L AD F C L CE δ A δ E AD A C ( 3) AD E CE A CE Uvrštravajući (3) u () dobija se F A L CE E AD L AD E CE A AD F A CE L C BC 1 9 F C ( )

Sada se uvrštavanjem () u (1) dobija 9 F F C : 1.06 kn (djeluje prema gore) 8 + 18 L BC F F C L BC F A :.188 kn (djeluje prema dole) pa su naponi u štapovima A i D (sile djeluju suprotno od onih koje djeluju na krutu gredu) σ AD : F A 1.875 MPa A AD istezanje σ CE : F C 9.375 MPa A CE pritisak b) Deformacije štapova ε AD : σ AD 3.15 10 3 δ E AD : ε AD L AD 9.375 10 m AD izduženje ε CE : σ CE.688 10 3 δ E CE : ε CE L CE 1.875 10 3 m CE skraćenje c) Nagib poluge γ : atan δ AD + δ CE L AC 0.05 **************************************************************************************************************. ZADATAK Podaci: : 0.6m L AC : 0.9m L BC : L AC F : 1kN M A : 1kN m

σ doz : 150MPa d : 50mm τ doz : 100MPa d π I : 3.068 10 5 mm A : 6 d π 1.963 10 3 mm a) Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za konzolu ABC. Reakcije u uklještenju C (pretpostavlja se da sila F A djeluju prema gore, a moment u smjeru kazaljke na satu). F i F + F C 0 (1) i M i M + F L BC + M C 0 () i Iz (1) sijedi: F C : F 1 kn (pogrešno pretpostavljen smjer) Iz () slijedi: M C : M A F L BC 1.3 kn m (pogrešno pretpostavljen smjer) Sada se mogu nacrtati dijagrami momenata savijanja i transferzalnih sila F, kn 1.5 1 0.5 M, knm 1.5 1 0.5 0 0 0.5 0.5 0.675 0.9 0 0 0.18 0.36 0.5 0.7 0.9 x, m x, m

Maksimalni momenti savijanja je u uklještenju C, i to s lijeve strane, pa je M max : M C 1.3 kn m dok je maksimalna transferzalna sila uzduž dijela grede BC i jednaka je reakciji u uklještenju F max : F C 1 kn Provjera normalnih napona σ max M max h I M max d π 6 d 3M max d 3 π σ doz 3M max σ max : 105.93 MPa σ max < σ doz d 3 π Provjera tangencijalnog napona: F max τ max : 0.679 MPa τ 3A max < τ doz Dakle, greda će izdržati dato opterećenje. ************************************************************************************************************** 3. ZADATAK Podaci: F : 5kN L 1 : 300mm L : 00mm D : 5mm D π I : 1.917 10 mm A : 6 tg( φ) 3 φ : atan 3 36.87 D π 90.87 mm

U ravni kojoj propadaju tačke A i B vladaju tangencijalni i normalni naponi usljed momenta savijanja i smicanja koje izazivaju komponente sile F u pravcu vertikalne i horizontalne ose, i to: F y : ( F sin( φ) ) 3 kn F x : F cos( φ) kn Sila F x u tački B izaziva pritisne normalne napone usljed savijanja, dok nema djelovanja tangencijalnih napona, pošto se tačka nalazi na donjoj površini. F x L 1 D σ : 78.78 MPa I Sila F y u tački A izaziva maksimalne tangencijalne napone usljed smicanja pošto se tačka nalazi na neutralnoj osi, dok iz istog razloga nema normalnih napona usljed savijanja τ : F y 3 A 8.19 MPa **************************************************************************************************************. ZADATAK Podaci: σ x : 90MPa R eh : 100MPa σ y : 50MPa τ xy : 5MPa Da bismo primijenili zadate teorije neophodno je prvo izračunati glavne normalne napone σ x + σ y σ 1 : σ x σ y + + τ xy 10.016 MPa σ x + σ y σ : σ x σ y + τ xy 37.98 MPa

a) Teorija najvećeg tangencijalnog napona (glavni naponi su istog znaka) σ ekv : max σ 1, σ ( ) 10.016 MPa σ ekv > σ doz b) Teorija najvećeg specifičnog deformacionog rada σ ekv : σ 1 σ 1 σ + σ 89.303 MPa σ ekv < σ doz **************************************************************************************************************

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa C 1. Kruta poluga ABC oslonjena je na dva elastična štapa AD i CE i može da se okreće u osloncu B, kao što je prikazano na slici desno. Ako se štap AD zagrije za T 0 C, odrediti sile i napone u štapovima AD i CE. Podaci: poluga ABC 1 m, L AC 3 m; štap AD E AD 7 GPa, A AD 1 cm, L AD 300 mm, α AD. 10 6 1/ C ; štap CE E CE GPa, A CE 1.5 cm, L CE 00 mm.. Vratilo sastavljeno iz dva dijela od različitih materijala 1 i, opterećeno je momentima uvijanja kao na slici desno. Odrediti: A B C D L AC (5+530%) E a) ugao uvijanja u presjeku D u odnosu na presjek A, b) maksimalan napon u presjeku C. TA A L1 L 1 B C TB LAB D TD Podaci: E 1 00 GPa, ν 1 0.3, E 150 GPa, ν 0.35, D 1 D 15 mm, L 1 L 500 mm, 3T A T B 1.5T D 10 Nm. D1 D (15+50%) 3. Za konzolu kvadratnog poprečnog presjeka opterećenu kao na slici desno provjeri da li su normalni i tangencijalni A B C naponi u dozvoljenim granicama. Dozvoljeni napon na savijanje je σ doz 100 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon je τ doz 50 MPa. L AC F B Podaci: 0.6 m, L AC 0.9 m, F A kn, F B 1 kn, stranica poprečnog presjeka konzole b 60 mm. F A (5%). Za dio na slici desno u tački H odrediti: a) tangencijalne napone, b) normalne napone. usljed djelovanja sile F 150 N. Prečnik dijela je D 15 mm. 150 N 150 mm 50 mm (1.5+1.55%) Vrijeme izrade - 135 minuta MF-UNZE, 013-Jan-8

ISPIT 8.01.013 - GRUPA C - RJEŠENJA 1. ZADATAK : 1m L AC : 3m L BC : L AC E AD : 7GPa L AD : 300mm A AD : 1cm E CE : GPa L CE : 00mm A CE : 1.5cm T : 0 C α. 10 6 1 : C a) Problem je statički neodređen, pa pored uslova ravnoteže moramo postaviti i uslove kompatibilnosti, pri čemu treba paziti na utjecaj temperature. Pretpostavimo da se štap AD izdužuje, a štap CE skraćuje, tj. da sila F A djeluje prema dole, a sila F C prema gore na krutu polugu. Uslov ravnoteže je: M i i 0 B F A + F C L BC 0 ( 1) Uslov kompatibilnosti (pomjeranja u tačkama A i C s tačkom B čine slične truglove, no treba paziti na znak "-" s obzirom da se jedan štap skraćuje a drugi izdužuje). Također, ukupno izduženje štapa AD je jednako izduženju usljed povećanja temperature, δ AT α TL AD, te utjecaja sile F A (δ AF ), dok je izduženje štapa C E uzrokovano samo silom F C (δ CF ), pa imamo odnos δ AT + δ AF δ CF ( ) L BC Takođe vrijedi: F A L AD F C L CE δ AT : α T L AD δ AF δ E AD A CF ( 3) AD E CE A CE Uvrštravajući (3) u () dobija se A AD E AD L CE F A A AD E AD α T + F A CE E CE L BC L C 61.6N + 1 AD 9 F C ( )

Sada se uvrštavanjem () u (1) dobija A AD E AD α T F C : 0.175 kn (djeluje prema gore) A AD E AD L CE L BC + L A CE E CE L BC AD F C L BC F A : 0.35 kn (pogrešno pretpostavljen smjer, djeluje prema gore na krutu polugu) pa su naponi u štapovima A i D (sile djeluju suprotno od onih koje djeluju na krutu gredu) σ AD : F A 3.96 MPa A AD pritisak (jer sila djeluje prema dole na štap) σ CE : F C 1.165 MPa A CE pritisak b) Deformacije štapova δ AD : α T L AD + F A L AD 1.165 10 δ AD mε E AD A AD : 3.885 10 AD L AD izduženje F C L CE δ CE.331 10 δ CE : m ε E CE A CE : 5.87 10 skraćenje CE L CE. ZADATAK D 1 π D 1 : 15mm I o1 : 3.397 10 7 mm L 1 : 500mm D π D : D 1 15 mm I o : 3 L : L 1 500 mm.397 10 7 mm W 0 : I o1 D 1 : 50mm L BC : L 1 50 mm

E 1 E 1 : 00GPa ν 1 : 0.3 G 1 : 1 + ν 1 E ( ) E : 150GPa ν : 0.35 G : 1 + ν ( ) 76.93 GPa 55.556 GPa T B T B T B : 10kN m T D : 80 kn m T 1.5 A : 3 10 J Na osnovu slike se mogu razlikovati dva područja djelovanja konstantnih momenata uvijanja i to: T AB : T A 0 kn m T BD : T A T B 80 kn m a) Ugao uvijanja u presjeku D jednak je zbiru uglova uvijanja pojedinih segmenata, i to T AB φ AB : 0.311 φ G 1 I AB 5. 10 3 o1 T BD L BC φ BC : 0.6 φ G 1 I BC 0.011 o1 T BD L φ CD : 1.71 φ G I CD 0.03 o φ : φ AB + φ BC + φ CD.03 b) Maksimalni napon u presjeku C je jednak za oba dijela pošto su momenti uvijanja i karakteristike presjeka jednake za oba dijela:

τ max : D T BD 08.608 MPa I o ************************************************************************************************************** 3. ZADATAK Podaci: : 0.6m L AC : 0.9m L BC : L AC 0.3m F A : kn F B : 1kN b σ doz : 100MPa b : 60mm I : 1 τ doz : 50MPa 1.08 10 6 mm A : b 3.6 10 3 mm a) Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za konzolu ABC. Reakcije u oklještenju C (pretpostavlja se da sila F AC djeluje na gore, a moment savijanja M C u pravcu okretanja kazaljke na satu). F i 0 F A i M i 0 F A L AC i + F B + F C 0 (1) F B L BC M C 0 () Iz (1) sijedi: F C : F A F B 3 kn Iz () slijedi: M C : F A L AC F B L BC 3.3 kn m

Sada se mogu nacrtati dijagrami momenata savijanja i transferzalnih sila 0 0 F, kn 1 3 M, knm 1 3 5 0 0.3 0.6 0.9 0 0.3 0.6 0.9 x, m x, m Maksimalni momenti savijanja je u uklještenju M max : M C 3.3 kn m dok je maksimalna transferzalna sila uzduž dijela grede AB i jednaka je F A F max : F A kn Provjera normalnih napona σ max M max h I M max b 1 h 6M max b 3 σ doz 6M max σ max : 91.667 MPa σ max < σ doz b 3 Provjera tangencijalnog napona: 3F max τ max : 1.667 MPa τ A max < τ doz Dakle, konzola će izdržati dato opterećenje. **************************************************************************************************************. ZADATAK

Podaci: F : 150N L 1 : 50mm L : 150mm D : 15mm D π I :.85 10 3 mm A : 6 I 0 : I I 0.97 10 3 mm D π 176.715 mm U ravni kojoj propada tačka H vladaju tangencijalni naponi usljed uvijanja momentom uvijanja FL 1, tangencijalnih napona usljed smicanja silom F nema, jer je tačka H na gornjoj površini, te normalni naponi usljed savijanja momentom savijanja FL. - tangencijalni napon usljed uvijanja D F L 1 τ : 56.588 MPa I 0 - normalni napon usljed savijanja (zatezanje) σ : F L I D 67.906 MPa **************************************************************************************************************