Obrada rezultata merenja

Σχετικά έγγραφα
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

numeričkih deskriptivnih mera.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

IZVODI ZADACI (I deo)

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Teorijske osnove informatike 1

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Operacije s matricama

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Elementi spektralne teorije matrica

5. Karakteristične funkcije

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

( , 2. kolokvij)

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

5 Ispitivanje funkcija

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Kaskadna kompenzacija SAU

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Obrada signala

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

7 Algebarske jednadžbe

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

4 Numeričko diferenciranje

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Termovizijski sistemi MS1TS

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

Moguća i virtuelna pomjeranja

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

radni nerecenzirani materijal za predavanja

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Zadaci iz Osnova matematike

4 Izvodi i diferencijali

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

18. listopada listopada / 13

NUMERIČKA INTEGRACIJA

Trigonometrijske nejednačine

1.4 Tangenta i normala

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

Periodičke izmjenične veličine

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

8 Funkcije više promenljivih

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Mašinsko učenje. Regresija.

Transcript:

Obrada rezultata merenja

Rezultati merenja Greške merenja Zaokruživanje Obrada rezultata merenja Direktno i indirektno merene veličine Računanje grešaka Linearizacija funkcija Crtanje grafika Fitovanje (računanje koeficijenta pravca)

Rezultati merenja Merenje je procedura kojom se fizičkoj veličini pridružuje brojna vrednost. Rezultat merenja je uvek interval vrednosti (a ne jedna vrednost): (rezultat±greška)[merna jedinica] Prikazivanje rezultata merenja (eksplicitno): <X>=4.5436m ΔX=0.0002m X=(4.5436±0.0002) m

Zaokruživanje (i majoriranje) Rezultat merenja mora imati onoliko cifara koliko ima greška. Greška može imati najviše jednu ili dve (ukoliko je prva značajna cifra 1) cifre različite od nule. Rezultat merenja se ZAOKRUŽUJE u skladu sa greškom. Greška se uvek MAJORIRA, tj. zaokružuje na veći broj. Primeri majoriranja: ΔX=0.00546 => ΔX=0.006 ΔX=0.0147 => ΔX=0.015 ΔX=62 => ΔX =70

Pravila zaokruživanja Ako je prva cifra koju treba ukloniti: između 0 i 4, sve cifre se odbacuju. između 6 i 9, poslednja cifra se uvećava za 1. 5: A) a pritom iza nje ima još cifara različitih od nule, poslednja cifra se uvećava za 1. B) a pritom iza nje nema više cifara ili su nule, obično se poslednja cifra koja ostaje uvećava za 1 ako je neparna, a ne menja ako je parna.

Primeri zaokruživanja 1.234567 m I korak 1.234567 m II korak 1.234 m 0.004567 m 0.005m 0.005m 0.04575m I korak 0.04575m II korak 0.0458m 0.001456 m 0.0015m 0.0015m 13.2323m I korak 13.2323m II korak 13.2 m 0.23467 m 0.3m 0.3m 3467664 m I korak 3467664 m II korak 3468000 m 2346m 3000m 3000m 6 3.468 0.003 10 m

Tačnost i preciznost Tačnost označava koliko je rezultat merenja blizu ''prave'' vrednosti; meri se apsolutnom i relativnom greškom. Preciznost označava koliko je rezultat merenja blizu vrednostima koje se dobijaju ponavljanjem merenja na isti način (nema veze sa pravom vrednošću). tačno i precizno tačno i neprecizno netačno i precizno

Obrada rezultata merenja Srednja vrednost merenja: n... 1 2 n sr i n i1 nbroj merenja,,..., vrednost izmerenih velicina Apsolutna greška predstavlja odstupanje od srednje vrednosti koja definiše interval u kome se nalazi prava vrednost fizičke veličine. U zavisnosti od broja merenja računa, se na različite načine: 1 2 n 1) ukoliko je broj mernih uzoraka manji od 6, onda je apsolutna greška jednaka maksimalnoj razlici izmerene veličine i srednje vrednosti: n 6 ma i 2) ukoliko je broj mernih uzoraka veći od 6, onda se apsolutna greška računa kao standardna devijacija relacijom: 2 2 2 1 2... n n 1 n 6 i nn ( 1) nn ( 1) i1 2

Obrada rezultata merenja Relativna greška predstavlja odnos između apsolutne greške i srednje vrednosti merenja. Najčešće se izražava u procentima jer pokazuje preciznost merene veličine.

Šta se uzima za grešku merenja? Ukoliko je izvršeno samo jedno merenje, onda se za grešku tog merenja uzima instrumentalna greška, što može biti: klasa tačnosti instrumenta, koja je naznačena na instrumentu u procentima; vrednost polovine ili celog najmanjeg podeoka instrumenta (ukoliko nije naznačena klasa tačnosti).

Greške (in)direktno merenih veličina Direktno merene veličine su veličine čije se vrednost može očitati sa instrumenata. Indirektno merene veličine su one koje se ne mogu eksperimentalno izmeriti, već se računaju korišćenjem fizičkih zakona (npr. brzina ili otpor). Apsolutna greška indirektno merene veličine y=f() približno je jednaka vrednosti prvog izvoda funkcije y u tački izmerene vrednosti, pomnoženom greškom te direktno merene veličine. U slučaju više promenljivih, maksimalna apsolutna greška data je kao zbir pojedinačnih maksimalnih doprinosa grešaka: y y i i y i y i i i

s Primer računanja grešaka preko parcijalnih izvoda k y 2 3 s s s s k y k y s y k 2 3 s k y s k y 3y 2 2 3 2

Tablica grešaka Najveći broj grešaka može se ipak izračunati bez upotrebe parcijalnih izvoda. y a b y a b y ab y a / b y k y a b, y a b y k y a b y n y n n y ln y e y y y y y

Tabela rezultata L[cm] T[s] 10 6,3 20 8,9 30 10,9 40 12,6 50 14,1 60 15,5 Već u tabeli se rezultati prikazuju sa zaokruženim vrednostima.

Crtanje grafika Milimetarski papir Naslov grafika Razmera Tačke raspoređene po što većoj površini Dozvoljene razmere: 1:1, 1:2, 1:4, 1:5, 1:10, 1:100... Nedozvoljene razmere: 1:3, 1:6, 1:7... Dozvoljeno skaliranje Ose Moraju biti označene sa sve mernim jedinicama Postavljanje koordinatnog početka je proizvoljno (kao i orijentacija papira) Ako se traži odsečak na osi, ona mora biti postavljena odgovarajuće

Crtanje grafika

Proširena tabela L[cm] T 2 [s 2 ] ΔT 2 [s 2 ] ΔL[cm] 10 40 2 1 20 80 4 1 30 120 6 1 40 160 8 1 50 200 10 1 60 241 12 1

Linearizovan grafik

Ucrtavanje grešaka

Koeficijent pravca Grafička metoda Ucrtavanje optimalne prave Skoro jednak broj tačaka ispod i iznad Prolazi kroz oblast obuhvaćenu greškama Biranje i ucrtavanje dve neeksperimentalne tačke Između prve i druge, pretposlednje i poslednje Tako da se koordinate lako očitaju Greške neeksperimentalnih tačaka Po obe veličine na osama uzimaju se za greške najveća od grešaka susednih eksperimentalnih tačaka

Prava i neeksperimentalne tačke A( a,y a ) B( b,y b ) L[cm] T 2 [s 2 ] ΔT 2 [s 2 ] ΔL[cm] 10 40 2 1 20 80 4 1 30 120 6 1 40 160 8 1 50 200 10 1 60 241 12 1

Koeficijent pravca Grafička metoda Koeficijent pravca k y B B y A A

Koeficijent pravca Metod najmanjih kvadrata Računski metod Više računa, ali veća i tačnost Ako je linearna zavisnost oblika: Koeficijenti a, b se dobijaju preko formula: 1 w i y y a b 2 w w w 2 2 b w wy wy w a w wy 2 wy w b w w 2 a

Konačan rezultat Tražena vrednost je izražena preko koeficijenta pravca dobijene prave Izračunava se tražena vrednost Određuje se njena greška greška indirektnog merenja Rezultat sa greškom i mernom jedinicom se predstavlja u zaokruženom odgovarajućem obliku g=(9.81±0.01)m/s 2

U izveštaju... Obrazložiti svaki postupak Navesti ključne formule i rezultate Ispoštovati sva navedena pravila računanja i predstavljanja rezultata Diskusija rezultata Izveštaj je tekst formule i drugi elementi se uklapaju u dosledne rečenice