I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Oaj koj cje praksu bez teorjskh osova slča je moreplovcu koj ulaz u brod bez krme busole e zajuć kuda se plov. ( LEONARDO DA VINCI ) P r e d a v a j a z a d r u g u s e d m c u a s t a v e (u akademskoj 9/. god)..3. Preslkavaja ( fukcje ) Pojam preslkavaja (fukcje) jeda je od ajvažjh matematčkh pojmova, koj se uvod zučava već krajem osove tokom cjele sredje škole. Zato b veća ovog odjeljka studetu trebala bt pozata (al e a užom vou strogost, preczost općetost). Ovdje ćemo uvest opšt pojam preslkavaja (fukcje) a vše (uobčajeh) ača (tutvo formalo). Neka su X Y skupov. Kažemo da je data fukcja (l preslkavaje) koja preslkava skup X u skup Y ako je po ekom pravlu svakom elemetu skupa X prdruže ek, potpuo određe, elemet skupa Y. Malo preczja defcja pojma fukcje glas: Defcja P.. Neka su X Y blo koja dva (epraza) skupa. Postupak (pravlo, zako) f koj svakom elemetu X prdružuje tačo jeda elemet Y zovemo preslkavaje (l fukcja) sa X u Y pšemo f: X Y l f(), X. Umjesto terma ''preslkavaje'' (odoso, fukcja) korste se sljedeć som: trasformacja (občo u slučaju da je XY), operator (aročto kad skupov X Y su skupov brojeva), fukcoal (občo kad je Y skup brojeva a X to užo je) dr. Gorje opse defcje pojma preslkavaja (fukcje) mogu se preczrat (upotrebom pojma bare relacje) a sljedeć ač: Defcja P.. Neka su X Y skupov f relacja z X u Y (tj. f X Y). Za relacju f kažemo da je preslkavaje (l fukcja) z X u Y pšemo f: X Y ako su (stovremeo) zadovolje sljedeć uslov: ( X )( Y ) (,) f; ((, ) f (, ) f ) ( ). Skup X u prethodm defcjama pojma fukcje zovemo dome(a) (l oblast defsaost, područje defcje, ulaz skup dr.) a skup Y zovemo kodome(a) (l atdome(a), područje vrjedost, zlaz skup). Ako je (, ) f, pšemo f() l f. Elemet X se zovu orgal, a elemet f() slke l vrjedost preslkavaja a elemetu. Poekad je za fukcju zgoda ozaka f(), X, Y, l aprosto f() (kojom se ozačava preslkavaje koje prevod tačku u f()), l čak govormo jedostavo o fukcj f() (mada je, strogo govoreć, f() elemet skupa Y dakle, pr. broj /za fkso /- a e fukcja). 9

Prmjetmo da uslov defcje P.. zač da je fukcja f defsaa a cjelom skupu X, tj. da X može bt orgal za fukcju f, dok uslov predstavlja zahtjev da je f jedozača, tj. da jedom orgalu može odgovarat samo jeda slka. Oba uslova mogu se ekvvaleto zamjet jedm uslovom: ( X )(! Y ) f(), pr čemu se smbol! korst u smslu ''postoj tačo jeda''. Ako u defcj P.. zostavmo ''potpuo određe'', dobjemo defcju všezačog preslkavaja (všezače fukcje). Pojam preslkavaja se uvod ovom defcjom: Defcja P.3. Neka su X Y dva skupa. Preslkavaje (l fukcja) skupa X u skup Y je uređea trojka (X, Y, f ), koja se sastoj od skupa X, kojeg zovemo dome, skupa Y, kojeg zovemo kodome, te ekog pravla f, pomoću kojeg svakom elemetu X prdružujemo ek, potpuo uređe, elemet Y (koj ovs o ). Uobčajea ozaka za preslkavaje je f: X Y l kraće f. O elemetma X često se govor kao o ezavso promjeljvoj (ezavsoj varjabl) l argumetu preslkavaja (fukcje), a o elemetu Y govor se kao o zavsoj promjeljvoj (zavsoj varjabl) preslkavaja (fukcje) f. Graf (grafk, djagram) preslkavaja (X, Y, f ) je skup F: {(, f()): X}( X Y). Umjesto ozake F često se korst ozaka G(f) l Γ f. Prmjetmo da u skladu sa defcjom P.., grafk fukcje f ustvar je šta drugo već sama fukcja f, tj. pojam fukcje postovjećuje se sa pojmom grafka. Ovaj prstup s logčke strae je u predost jer se e služ pojmom ''pravlo''. Međutm, prstup dat defcjom P.3. tutvo je blž a e dovod do poteškoća jer se u jemu može gledat samo ač govora, dok je matematčk smsao oaj z prstupa dat defcjom P.3. Prmjer..3.a). Kvadrraje realh brojeva je fukcja, R, R,. Nje grafk (u pravouglom Dekartovom koordatom sstemu) dat je a sl...3.a) Sl...3.a) Prmjetmo da se eprecza term pravlo u defcj P.3. može zemjet sa pojmom bara relacja koja zadovoljava uslove o o u defcj P.., čme defcja P.3. postaje preczja (formalja). Za dva preslkavaja (X, Y, f ) (X, Y, f ) kažemo da su jedaka ako je X X, Y Y, za svak X (X ) je f () f (). Preslkavaje : X Y defrao formulom (), X, zovemo ulagaje l kluzja. Ovo preslkavaje treba razlkovat od preslkavaja : X X, koje je defrao zrazom (), X, a zove se detteta l detčo preslkavaje (umjesto ozake korst se ozaka e, ε dr.).

Važa prmjer preslkavaja je bara operacja. Bara operacja a skupu X je (po defcj) svako preslkavaje ω : X X X (umjesto ozake ω se često korste ozake, *, sl.). Uređe par (X, ω ) se (u tom slučaju) zove grupod, a za X se kaže da je zatvore u odosu a operacju ω. Npr. su dvje bare operacje a parttvom skupu X P(I) prozvoljog skupa I. Slka skupa A X pr preslkavaju f: X Y je skup f(a) : { Y: A f()} Y, l kraće f(a) : {f(): A} Y. Skup svh vrjedost fukcje f: X Y je skup R(f) : {f(): X}, tj. R(f) f(x). Skup R(f) često se ozačava sa I m (f) zove se slka preslkavaja (skup (svh) vrjedost fukcje) f. Defcja P.4. Neka su f: X Y g: Z W dva preslkavaja ( dvje fukcje), takva da je R(f) Z. Tada preslkavaje h: X W defrao formulom h() g(f()), X ozačavamo sa g f l gf zovemo kompozcja preslkavaja (kompozcja fukcja l složea fukcja) f g (v. sl. sl..3.b)). Sl...3.b) Prmjer..3.b): Prhod od prodaje ulazca za fudbalsku utakmcu ovs o broju avjača. Broj avjača ovs o broju pobjeda domaća u prethodm susretma. Dakle, prhod od prodaje ulazca je fukcja broja pobjeda u prethodm utakmcama. Ovdje smo fukcju h prhoda dobl slagajem (kompozcjom) dvju fukcja: fukcje f koja pokazuje broj avjača u ovsost o broju pobjeda fukcje g koja pokazuje prhod od prodah ulazca u ovsost o broju avjača. Ako su f: X Y, g: Y Z h: Z W preslkavaja, oda je h (g f) (h g) f, tj. za kompozcju preslkavaja vrjed zako asocjacje. Osm toga, ako su : X X : Y Y detča perslkavaja, oda je f f f. Neka je X X, Y Y eka su f : X Y, f : X Y preslkavaja sa svojstvom da X mplcra f( ) f( ). Tada kažemo da je f prošreje (ekstezja) preslkavaja f, a f se zove sužeje (restrkcja) preslkavaja f. Najvažj je slučaj kada je Y Y tada se restrkcja ozačava sa f f X. Iverza slka skupa B( Y ) ( pr preslkavaju f : X Y (l orgal skupa B) je skup f ( B) { X : f ( ) B}.

Općeto f - je preslkavaje skupa Y u skup X, al se može tumačt kao preslkavaje skupa Y u skup P (X ) (parttv skup skupa X), tako da se elemetu Y prdruž elemet f ({} ) P (X ). Neka je f : X Y preslkavaje eka je A, B X ; C, D Y. Tada se lako vd da vrjede formule: ) f ( A B) f ( A) f ( B) 5) f ( C D) f ( C) f ( D) ) f ( A B) f ( A) f ( B) 6) f ( C \ D) f ( C) \ f ( D) 3) f ( A \ B) f ( A) \ f ( B) 7) A f ( f ( A) ) f C D f C f D f f C C f X 4) ( ) ( ) ( ) 8) ( ( )) ( ) C Ako je dato prslkavaje ( gf ) ( E) f g ( E). g : Y Z, te skup E Z, oda se lako ustaov da vrjed jedakost Za preslkavaje (fukcju) f : X Y kažemo da je surjekcja (l preslkavaje a) ako je f ( X ) Y, jekcja (l "-" preslkavaje) ako f ( ) f ( ) mplcra, bjekcja (l obostrao jedozačo preslkavaje) ako je f surjekcja jekcja. Neka je dato preslkavaje (fukcja) f : X Y. za preslkavaje g : Y X kažemo da je verzo preslkavaje (l verza fukcja) za f, ako je gf X fg Y Odmah se vd da za dato preslkavaje f može postojat samo jedo verzo preslkavaje. Ako za f : X Y postoj verzo preslkavaje, oda je f bjekcja, obruto, svaka bjekcja f ma verzo preslkavaje koje se občo ozačava sa f -. Prmjer.. 3. c) Fukcja f prkazaa a Sl...3.c) je očto jekcja, al je surjekcja, pa je bjekcja ema verze fukcje, dok fukcja g prkazaa a Sl...3.d) je jekcja, a surjekcja. Međutm, fukcja h prkazaa a Sl...3.e) je jekcja surjekcja, pa ma verzu fukcju h -. (Prkažte grafčk (shematsk) tu verzu fukcju provjerte da za ove fukcje h h - vrjede formule f f,( X f f,( Y!) ( ( )) ), ( ( )) ) X f Y X Y X Y g h Sl... 3. c) Sl... 3. d) Sl... 3. e) Prmjer.. 3. d) Odredmo verzu fukcju fukcje:

3 f : R R, f ( ). Rješeje: Rješavajem jedače po, za svak R dobjemo jedstveo rješeje. Dakle, f je bjekcja, a jea verza fukcja zadaa je formulom f ( ) 5. Kažemo da su skupov X Y ekvpotet (l ekvvalet) pšemo X~Y ako postoj bjekcja f : X Y. Relacja ekvpotecje je relacja ekvvalecje u odosu prema kojoj se skupov svrstavaju u dsjukte klase. Klasa kojoj prpada skup X zove se potecja l kardal broj skupa X, ozačava se kard(x) (l card(x) l X ). Za skup A kažemo da je koača akko A «( $ œ N ) A ~ {,,..., }. Ako je A «, oda kažemo da je kardal broj skupa A jedak. Ako je A ~ {,,..., }, oda kažemo da je kardal broj skupa A jedak pšemo A. Za skup A kažemo da je beskoača akko A je koača skup. Za skup A kažemo da je prebrojv (zbrojv) akko je A koača A ~ N. Kardal broj skupa N (tj. klasa ekvvalecje ~ kojoj prpada N) azvamo alef ula ozačavamo sa. Beskoača skup koj je ekvvaleta sa skupom prrodh brojeva je eprebrojv. Ako je ek skup A ekvvaleta sa skupom tačaka segmeta [,] kaže se da ma moć kotuuma pše se card(a) c. Npr., card(r) c. Zadatak P.. Neka je D skup svh studeata u dvora, a K skup svh jhovh mea. Fukcju f : D K defrat ćemo tako da svakom studetu prdružmo jegovo me. Da l je tako defraa fukcja užo jekcja? Kada je jekcja, a kada je?.3. Real brojev Real brojev (zajedo sa kompleksm) su osova matematčke aalze. Predmet ašh proučavaja u dferecjalom račuu su fukcje čj su dome kodome podskupov skupa R realh brojeva. Zbog toga je užo da se, prje ego što počemo sptvaje svojstava takvh fukcja jhovh gračh vrjedost, dobro upozamo sa glavm svojstvma realh brojeva. Postoj vše ača uvođeja realh brojeva. Možemo h podjelt a kostruktve (kod kojh se, polazeć od već uvedeog skupa racoalh brojeva, efektvo kostrušu real brojev) aksomatske. M ćemo korstt aksomatsk ač koj omogućava da ešto brže zvedemo osova pravla račuaja sa realm brojevma. Zapravo, glava svojstva realh brojeva ćemo ovdje popsat kao aksome jede matematčke strukture. Da je ovm aksomama ta struktura potpuo određea, tvrd tzv. teorema jedstveost, koju ećemo dokazvat. Egzstecja ovakve strukture u krajjoj lj osva se a skustvu. Ipak, moguće je dokazat da real brojev postoje ako prhvatmo postojaje prrodh brojeva (što, takođe, ećemo ovdje dokazvat)..3.. Polje realh brojeva Defcja.3.. Polje realh brojeva je skup R u kojem su defrae dvje bare operacje (koje zovemo sabraje možeje) jeda bara relacja (maje l jedako) tako da vrjed: (R ) (,, z R) ( ) z ( z) (asocjacja za sabraje), (R ) ( R) ( R) (egzstecja ule), (R 3) ( R) ( ( ) R) ( ) ( ) (egzstecja verzog elemeta za sabraje),

4 (R 4) (, R) (komutacja za sabraje), (R 5) (,, z R) ( ) z ( z) (asocjacja za možeje), (R 6) ( R\{}) ( R) (egzstecja jedce), (R 7) ( R\{}) ( - R) - - (egzstecja verzog elemeta za možeje), (R 8) (,, z R) ( z) z (dstrbucja možeja prema sabraju), ( ) z z z (R 9) (, R) (komutacja za možeje), (R ) (,, z R) ( ) ( z) z (traztvost relacje ) (R ) (, R) ( ) ( ) (atsmetrja relacje ), (R ) (, R) ( ) ( ) (usporedljvost), (R 3) (,, z R) z z (kompatblost relacje prema sabraju), (R 4) (, R) ( ) ( ) (kompatblost relacje prema možeju), (R 5) ako su A B epraz podskupov skupa R, takv da je za sve A, B, oda postoj elemet z R, takav da je z za sve A, B. Elemet skupa R zovu se real brojev. Ako je u ekom skupu G defraa bara operacja za koju vrjede aksome (R ) - (R 3), oda kažemo da je G grupa. Za grupu G kažemo da je komutatva l Abelova ako u joj vrjed (R 4). Elemet defra svojstvom (R ) zove se eutral elemet grupe, dok se elemet defra svojstvom (R 3) zove verz (suprot) elemet elemeta. Lako se vd da je eutral elemet grupe jedozačo određe, te da jedača a b ma jedstveo rješeje. To jedstveo rješeje ozačava se sa b - a tako da je po defcj b a b ( a) (koje se zove razlka broja b broja a). Tme je u skupu R uvedea operacja oduzmaja sa uobčajem svojstvma. Aalogo oduzmaju uvod se b operacja djeljeje realh brojeva pomoću b a b : a za a. a Aksome (R ) - (R 4) skazuju da je (R, ) (adtva) Abelova grupa, a aksome (R 5) - (R 7) (R 9) da je (R\{}, ) (multplkatva) Abelova grupa. Zajedo sa ovm aksomama, aksom (R 8) ozačava da je (R,, ) polje. Aksome (R ), (R ) (R ) skazuju da je bara relacja jeda relacja (totalog) uređaja. Ako u uređeom skupu vrjed aksom (R 5), oda kažemo da je taj skup uređajo potpu l da je potpu uređe skup. Prema tome, skup (R, ) realh brojeva je uređajo potpu. Grupa (G,, ), koja je uređe skup u kojoj je spuje aksom (R 3) azvamo uređea grupa. Prste u kojem vrjede aksome (R 3) (R 4) zove se uređe prste. Aksomama (R ) - (R 4) defrao je uređeo polje. Te aksome azvamo algebarskm aksomama skupa R. Uređea četvorka (R,,, ) je prmjer uređeog polja. Za uređeo polje kažemo da je potpuo uređeo polje ako vrjed još (R 5), tj. ako je to uređeo polje još uređajo potpuo. To zač da aksome (R ) - (R 5) skazuju da je (R,,, ) potpuo uređeo polje. Aksoma (R 5) je ajvažja za uvođeje osovh pojmova aalze oa se azva aksomom potpuost l aksomom eprekdost. Jaso je da se, za razlku od algebarskh aksoma, za aksomu potpuost e b moglo reć da predstavlja svojstvo skupa R koje je očgledo uobčajeo u radu sa realm brojevma. Međutm, oa je eophoda za aalzu, a e može se zvest z algebarskh aksoma. Jedo je moguće da se oa zamje ekm joj ekvvaletm skazom. Name, dokazuje se da je ta aksoma ekvvaleta pr. sa skazom (teorem o fmumu): (R 5 ) Ako je A R odozdo ograče epraza podskup od R, oda postoj ajveća doja međa f A R skupa A. Iz aksoma realh brojeva (R ) - (R 5) mogu se dokazat sva uobčajea pravla za račuaje s realm brojevma pozata z elemetare matematke. Ovdje ćemo avest ekolko th pravla pokazat kako se eka od jh mogu zvest (z algebarskh aksoma realh brojeva).

5 Za sve,, z, u, v R vrjede svojstva: () ( ) ; (v) ; () ; (v) ( ) ( ) ; () ( ) ( ) ( ) ; (v) ( ) (z u) z u ; (v) ( ) ( ) ; () < ; (v) ; () ( ) ; () ( ) ; (v) ( ) () ; (v) z (, z ) ; () ; (v) u v u u u ;, za, v ; v z v v v (v) ; ; () ( ); (v) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; () za >, >. *), Dokažmo svojstva (), () (): ) Po defcj verzog elemeta ( ) (prema (R 3)) je ( ) ( ( )), a po defcj elemeta ( ) je ( ). Iz jedozačost rješeja jedače a b sljed ( ). ) Kako je, to je ( ). Prema (R ) je, pa zbog jedozačost rješeja jedače a b sljed. Slčo se dobje relacja. 3) Prema (R 6) je, pa z (R ) mamo l > l <. Ako b blo <, oda b, zbog svojstva (v), blo >, pa b prema svojstvu (v) (R 4) blo ( ) ( ) >, što je kotadkcja s pretpostavkom <. Otuda sljed da preostaje jedo mogućost >. Skup R : { R : > } zove se skup (svh) poztvh brojeva, a skup R - : { R : < } skup (svh) egatvh brojeva. Prema tome, dokazal smo da R, tj. da je poztva broj. Za svak real broj R defra se apsoluta vrjedost (modul) realog broja zrazom:, za, : (.3..), za <. Iz (.3..) eposredo sljed da je **) ma {, }. (.3..) Iz (.3.) svojstva relacje odmah sljed da za svak ε > vrjede ejedakost < ε ε < < ε, ε ε ε, (.3.3.) > ε ( < ε > ε), ε ( ε ε). (.3.4.) Lako se dokazuje da apsoluta vrjedost, tj. fukcja : R R ma ova svojstva: ) ( R) ; 5) (, R) ; ) (, R) ; 6) (, R) ; 3) ( R) ; 4) ( R), ; 7) (, R), ( ). *) Ova relacja zmeđu harmojske, geometrjske, artmetčke kvadrate srede brojeva, prošruje se a slučaj od prozvoljo koačo mogo poztvh realh brojeva. Apsoluta vrjedost prozvoljog realog broja može se ekvvaleto defrat zrazom :, gdje se uzma artmetčka vrjedost korjea.

6 Npr., sabrajem ejedakost dobjemo ejedakost koja je ekvvaleta sa relacjom, ( ),. (.3.5.) Relacja (.3.5.) se azva ejedakost trougla ma važu ulogu u mogm dokazma u aalz u jem prmjeama. Prmjer.3.. Rješmo jedače: a) 3 ; b) 3 ; c) ; d). Rješeje: Ako je azačeo u kojem skupu treba rješt datu jedaču l ejedaču, oda je uobčajeo smatrat da to treba uradt u skupu R realh brojeva. a) 3 ± 3 ( 3 3 ) ( 4 ). b) Jedača 3 ema jedog rješeja u skupu R jer je za svak R. c) Za < data jedača ema rješeja u R. Za data jedača se svod a etaču jedakost, a za > vrjed ( ) ( ½ ), tj. u tom slučaju e postoj jedo rješeje u skupu R. Dakle, jedača ema jedog rješeja u R. d) ( ± ) ½. Prmjer.3.. Nacrtajmo grafk fukcje: a) f : R R, f () ; b) g ( ) sg :,,, >,, <. Rješeje: Grafk fukcje f prkaza je a sl..3.., a grafk fukcje g a sl..3.. f () g () sg Sl..3.. Sl..3.. Prmjedba.3.. Geometrjsk, predstvlja udaljeost tačke a brojevom pravcu, koja predstavlja reala broj, od shodšta (sl..3.3.).

7 Sl..3.3. Prmjer.3.3. Rješmo ejedaču: a) 3 < 5 ; b) 3 5. Rješeje: a) Prmjette da mora bt 5 >, tj. > 5. Pomoću svojstva (.3.3.) dobjemo 3 < 5 5 < 3 < 5 ( 4 < 5 < 6) ( b) Iz a) eposredo sljed da je skup R svh rješeja date ejedače dat sa R (, 4 ] [6, ). 5 Zadatak.3.. Rješte sljedeće jedače ejedače: a) 3 9; b) 3 9; c) ; d) 3 ; e) ( 8 ) ; Zadatak.3.. Isptajte da l za dat > postoj > takav da je. f) g) 3 ; <. 4, 6). 5 Zadatak.3.3. Provjerte da l vrjed: a) [,4] 3 [7,]; b) [ a, a] a, (a > ); c) < < 3 < 5; d) 3 < < <. 8 4 6 Prmjer.3.4. Isptajmo da l skupov A, B maju supremum, fmum, maksmum mmum u R, ako je: A : { R : 3 5}, B : { R : 5 6 > }. Rješeje: Iz 3 5 5 3 5 sljed da je A [, 8], pa je skup A ograče (odozdo je ograče sa svakm realm brojem koj je maj l jedak, a odozgo je ograče sa svakm realm brojem koj je već l jedak broju 8 ). Pr tome je f A, sup A 8. Kako je A, 8 A, to je ujedo ajmaj ( pa mmal / počet) elemet skupa A, a 8 je ajveć ( pa maksmal) elemet skupa A, tj. m A, ma A 8. Za < vrjed 5 6 > 5 6 > 5 6 < ( ) ( 3) < 3 < <, dok za vrjed 5 6 > 5 6 > 5 6 < < < 3.

Otuda sljed da je B ( 3, ) (, 3), pa je f B 3, sup B 3. Skup B je ograče. Kako 3 B 3 B, to skup B ema mmal maksmal elemet. Zadatak.3.4. Dokažte da je: a) ma { R } ; b) m {s R } ; c) f { d) sup{ R } ; R }. (Prmjette da je preslkavaje bjekcja f : R (, ), jer je g() verzo preslkavaje g: (, ) R za f!) 8 Zadatak.3.5.* Odredte verzu fukcju fukcje f : R (-,), f() skup realh brojeva, a zatm skcrajte grafke th fukcja., gdje je R.3.. Nek stakut podskupov skupa realh brojeva Proučavajem artmetke algebre upozal smo se ajprje s prrodm brojevma, zatm s ulom s cjelm egatvm brojevma, koj zajedo s prrodm brojevma če skup cjelh brojeva. Zatm smo se upozal s razlomljem brojevma, poztvm egatvm. Cjel razlomlje brojev zovu se jedm meom racoal brojev. Upozal smo dalje racoale brojeve l beskoače eperodče razlomke te smo racoale racoale brojeve zajedo zval real brojev. Polazeć od skupa N : {,, } prrodh brojeva (koj je osov pojam e defra se) prošrvajem brojevog područja dolaz se do svh vrsta brojeva, pa se ujedo upozaju svojstva th brojeva. Name, veoma dugo ljud su pozaval samo prrode brojeve u jma su uočaval zvjese zakotost, koje su postepeo uoblčaval u zakoe algebarskh operacja. Razvoj društva je doveo do razvoja brojeva otkrća cjelh brojeva. Taj proces je bo postepe. Uvođejem skupa cjelh brojeva u matematku, prmjejva su u jemu zako algebarskh operacja koj su vrjedl u skupu prrodh brojeva. Tme je, u stvar, prmjeje tzv. prcp permaecje sa skupa prrodh brojeva u skup cjelh brojeva. (Općeto, ako zamo da za dva skupa A, B, (A B), važ zako permaecje, oda sva svojstva koja važe u skupu A važe u skupu B.) U ovom odjeljku pokazujemo kako se u okvru aksomatsk uvedeog skupa R realh brojeva mogu uvest jegov uobčaje podskupov N prrodh brojeva, Z cjelh brojeva Q racoalh brojeva. Neka je N : (N α : α A) famlja svh podskupova N α skupa R koj maju ova dva svojstva: N α, N α N α. Očto je R elemet famlje N, pa ta famlja je praza. Neka je N : Nα. Odmah sljed da je N N. Ovako defra skup N ( R) zove se α A skup prrodh brojeva, a jegov elemet zovu se prrod brojev. Lako se pokazuje da su prrod brojev poztv, tj. da je N R (jer R, a R povlač >, pa je >, odakle je R, tj. R N ). Na skupu N prrodh brojeva defrao je preslkavaje π : N N zrazom π (). Pr tome se kaže da je π () sljedbek broja poekad se pše π (). Sada se lako dokaže da

9 za skup N ovako defrao preslkavaje π vrjed ova teorema (koja ače predstavlja tzv. Peaove aksome pomoću kojh je taljask matematčar logčar Guseppe Peao (858-93) dao potpuu karakterzacju skupa prrodh brojeva, tako da se skup prrodh brojeva N može defrat kao epraza skup N koj zadovoljava te aksome): Teorema.3.. (N ) Defrao je preslkavaje π : N N (tj. postoj fukcja π sa N u N ). (N ) Postoj bar jeda elemet u N (ozačavamo ga sa ). (N 3) ( N) π (). (N 4) Ako je π (m) π () za eke m, N, oda je m, tj. π je bjekcja. (N 5) (Aksom dukcje). Ako je S podskup od N, koj ma ova dva svojstva: S, ( N) S π() S, oda je S N. Pr zgradj teorje prrodh brojeva, osobtu ulogu ma aksom dukcje, z kojeg prozlaz prcp (potpue) matematčke dukcje koj glas: Ako ek skaz I() ma ove dvje osobe: () I() je tača skaz za ; () Implkacja I() I() vrjed za svak prroda broj, oda je skaz I() tača za sve prrode brojeve. Neka je (G, ) grupa G G. Ako je G grupa s obzrom a operacju, oda kažemo da je (G, ) podgrupa grupe (G, ). Aalogo se defra potpolje (F,, ) polja (F,, ). Neka je Z : (Z β, β B) famlja svh podgrupa grupe (R, ) koje sadrže broj. Neka je Z : Z β. Odmah se vd da je Z podgrupa od (R, ) Z, pa je Z Z. β B Skup Z zove se skup cjelh brojeva, a jegov elemet zovu se cjel brojev. Lako se vd da je Z ( N) {} N, gdje je N { : N}. Neka je C : {Q γ : γ Γ } famlja svh Q γ potpolja polja R eka je Q : Q γ. γ Γ Tada je očto Q C. Skup Q se zove skup racoalh brojeva, a jegov elemet se zovu racoal brojev. Skup R \ Q I se zove skup racoalh brojeva, a jegov elemet zovu se racoal brojev. Jaso je da vrjed Q I R, a kako je Q Z, to je Z Q. Ako za zraze - ( - ) (, R, ) uvedemo uobčajeu ozaku dokazuje da vrjed: z Q { : z Z N}., oda se lako Takođe se dokazuje da postoj surjekcja f : N Q, te da u svakom tervalu (a, b) ( R), a < b, ma bar jeda racoala bar jeda racoala broj (tj. da su skupov Q I gust a prostoru R realh brojeva). Rad jedostavje formulacje ekh svojstava / teorema u aalz se uvod prošre prostor / skup realh brojeva R. Po defcj je R R {, }, gdje su, dvje međusobo razlčte ove tačke. Uređaj se prošruje sa R a stavljajuć < < za svak R. R

Prmjer.3.5. Dokažmo da je racoala broj. Name, ako b za dva relatvo prosta prroda broja p q (pretpostvka da su p q relatvo prost p e umajuje opštost razmatraja) blo, M(p, q), oda b sljedlo da je p q, a to b q začlo da je p para broj, jer je kvadrat parog broja para, dok je eparog epara. Dakle, moralo b vrjedt p m za ek m N, tj. p 4m q, odoso q m, što daje da je q para. Međutm, to je u kotradkcj s pretpostavkom da su p q relatvo prost prrod brojev. To zač da je racoala broj. Zadatak.3.5.* Odredte sve racoale reale brojeve za koje je log ( 4 ) co broj. 7 I. 5,, 3, 4. 4 4 II. 5,, 3 4, 4. 4 7 4 III. 5,, 3, 4, 5. 5 4 4 7 7 4 IV. 5,, 3, 4, 5. 4 4 7 Za postojaje racoalh brojeva zal su još starogrčk matematčar. Odmah je vdljvo da svak racoal broj možemo aproksmrat racoalm brojem s uaprjed zadaom tačošću. Tako, pr., zamo da su racoal (decmal) brojev 3; 3,; 3,4; 3,4; 3,45; 3,459 aproksmacje broja π. Lako se uvjeravamo da je ajtačja aproksmacja broja π m razlomcma oblka r, data sa m, 7..3.3. Posljedce aksome eprekdost U prethodm odjeljcma smo avel eke posljedce algebarskh aksoma realh brojeva (R ) (R 4). Takođe smo avel čjecu da je aksoma eprekdost (R 5) ekvvaleta sa teoremom o fmumu. Sada ćemo avest još eke važe posljedce aksome eprekdost realh brojeva. Počet ćemo sa važm teoremom o supremumu, koj je e samo posljedca, već jeda od ekvvaleata aksome eprekdost, tj. koj može da stoj umjesto je u popsu aksoma realh brojeva. Iz defcje supremuma podskupa A uređeog skupa (X, ) kao ajmaje (ako postoj) od jegovh majoraata sljed da je sup A oaj elemet X za koj važ: () (a A) a () ( (a A) a ). Odavde z postojaja algebarskh operacja u skupu R realh brojeva sljed da se karakterzacja supremuma u skupu R (a aalogo se zražava korsa karakterzacja fmuma podskupa A u R! ) može zrazt u sljedećem oblku: sup A ( ( a A) a ) ( ε > ) ( a A) a > - ε. Teorema.3.. (Teorema o supremumu). Svak epraza, odozgo ograče podskup skupa R realh brojeva ma supremum u R. Dokaz: Pretpostavmo da je A R, A Ø, odozgo ograče podskup od R. Neka je B : { R ( A) }. Tada je B skup svh majoraata skupa A. Prema pretpostavc, skupov A B su epraz važ svojstvo da je za sve A, B. Prema aksom (R 5) postoj elemet z R, * Zadatak sa spta z IM (samo je jeda od pouđea četr odgovora I, II, III IV tača). 3

takav da je z za sve A, B. Očto je reala broj z jeda majorata skupa A, stovremeo, ajmaja od jegovh majoraata, pa je z sup A ( R). Tme je dokaz teoreme završe. Sljedeće dvje posljedce aksome eprekdost (R 5) predstavljaju još dva važa svojstva realh brojeva za koje se može pokazat da uzeta zajedo predstavljaju ekvvalet te aksome (pa, dakle, ekvvalet teorema o supremumu). Teorema.3.3. (Arhmedov aksom). Neka su dat brojev a,b R, a>. Tada postoj broj N takav da je a>b (sl..3.4). 3 Sl..3.4. Dokaz: Pretpostavmo suproto ), tj. pretpostavmo da e postoj broj N takav da je a>b. Tada b vrjedlo da je a b za svak N, pa b skup Na {a N } bo ograče odozgo brojem b. Zato b prema teoremu o supremumu postojao sup (Na) b, što pokazuje da broj b a e može bt majorata skupa Na. Zato b postojao broj N takav da je a > b a. No, oda b blo a a > b, tj. ( ) a > b. Kako je ( )a Na, došl smo u kotradkcju sa b sup Na teorema je dokazaa. Teorema.3.4. (Catorov aksom). Neka je za svak N dat segmet eka m povlač [a m, b m ] [a, b ], tj. a a m b m b. Tada je [a, b ] Ø, odoso, preczje, vrjed [a, b ] [a, b], gdje je N a : sup { a N }, b : f { b N }(sl..3.5.). N [a, b ] ( R) Sl..3.5. Umjesto teoreme.3.3. često se dokazuje tzv. Arhmedovo svojstvo uređeog polja R: Za prozvolje poztve brojeve a,b postoj ( jedstveo je određe) prroda broj, takav da je (-)a b < a. Lako je vdjet da avedeo Arhmedovo svojstvo ostaje da važ ako su a,b R prozvoljog zaka, s tm da se broj u tom slučaju bra z skupa Z cjelh brojeva umjesto z skupa N prrodh brojeva. U tom slučaju za a dobjemo važu relacju (b R)!( Z) - b <. Takav broj - zove se cjel do broja b ozačava se sa b. ) Neposredo z Arhmedovog aksoma sljede sljedeće jedostave, al važe, posljedce: Posljedca.3.. () Za svak poztva broj ε postoj prroda broj, takav da je < < ε. () Ako je eegatva reala broj za svak N važ <, oda je. Ovdje, a a ekm drugm mjestma ovog kursa, korstmo drekt dokaz kao jeda od dva opća ača dokazvaja.

3 Dokaz: Iz Arhmedovog svojstva sljed da postoj N, takav da je <ε, odakle je < < ε, tj. vrjed (). Čjeca () sljed z (). Posljedca.3.. Za sve a,b R za koje je a<b, postoj racoala broj, takav da je a < < b. Zbog svojstva racoalh brojeva zražeog posljedcom.3.. kaže se da je skup Q gust u skupu R. Algebarske aksome realh brojeva amogućuju da se sa realm brojevma može obavljat pet račuskh operacja: sabraje, oduzmaje, možeje, djeljeje stepeovaje cjelm zložocem, dok aksoma eprekdost omogućava da uvedemo korjeovaje l, što je sto, stepeovaje racoalm zložocem. O stepeovaju, uključujuć stepeovaje sa prozvoljm realm zložocem, dat ćemo odgovarajuće detalje u aredm zlagajma..3.4. Metod dukcje, stepe Newtoova boma formula U odjeljku.3.. je formulsa prcp matematčke dukcje, koj eposredo sljed z aksoma dukcje. Tm prcpom služmo se u mogm slučajevma u kojma ek skaz zavs od prrodog boja, pa u slučaju kada želmo defrat eko preslkavaje f : N X skupa N u skup X. U tom slučaju propsujemo f() X ( l, općetje, f( ), gdje je ek fksra prroda broj) zadajemo ek rekurzv postupak pomoću kojeg prošrujemo preslkavaje f sa skupa {,,, } (odoso, sa skupa {,,, }) a kojem je f već defrao, a skup {,,,, } (odoso, a skup {,,,, }). Dokazuje se da vrjed sljedeć tzv. prcp defcje dukcjom: Neka je za svak N dato preslkavaje ϕ : X X eka je X. Tada postoj jedo samo jedo preslkavaje f : N X takvo da je: f(), ( N) f() ϕ ( f(), f(),.., f() ). (.3.6) Aalogo, ako je dat m N, m>, preslkavaje ϕ : X X za svak {,,, m-}, oda dobjemo jedstveo preslkavaje f : {,,, m} X takvo da vrjed (.3.6) za svak {,,, m-}. Prcpom defcje dukcjom se često služmo to občo bez zrčtog specfcraja preslkavaja ϕ. Posebo je čest slučaj kada preslkavaje ϕ zavs samo od ezavso promjeljve. Tada se dobje jedstveo preslkavaje f(), ( N) f() ϕ ( f()). (.3.7) Ako je ϕ ϕ, ϕ : X X, oda relacja (.3.7) prelaz u ( još jedostavju ) relacju ( N) f() ϕ ( f()). (.3.8) Prmjer.3.6. Ilustrujmo prcp defcje dukcjom a prmjeru defraja fukcje faktorjel. 3) U tom smslu eka je X : N, : eka je preslkavaje ϕ : X X dato formulom ϕ () (). Tada, prema prcpu dukcje, zaključujemo da postoj jedstveo preslkavaje f : N N takvo da je f(), f() ϕ ( f()) f() (). To preslkavaje zovemo fukcja faktorjel f() ozačavamo sa!. Dakle, fukcja f() :! je potpuo određea svojstvm!, ()!! (). Občo se fukcja! defra za pomoću jedakost!. 3) Preczje, fukcje des faktorjel, jer se u ovje vrjeme korst fukcja ljev faktorjel.

Lako se dokazuje matematčkom dukcjom (metodom matematčke dukcje) da za svak N vrjed jedakost!. U prmjeama, kada želmo dokazat da eka tvrdja T() vrjed za svak N, občo apravmo sljedeća tr koraka: ) baza dukcje (, l, općetje, N): Provjermo / pokažemo da tvrdja T() vrjed za (odoso, za ), ) duktva pretpostavka ( k, odoso k ): Pretpostavmo da tvrdja T() vrjed za prroda broj k, 3) korak dukcje ( k) : Korsteć duktvu pretpostavku pokažemo da tvrdja T() vrjed za prroda broj k. Tada prema prcpu matematčke dukcje zaključujemo da tvrdja T() vrjed za svak N (odoso, za svak N, ). Prcp defcje dukcjom omogućava am da deframo moge ove pojmove ozake. Tako, m pr., deframo sumu od m realh brojeva,..., m R, gdje je m N, a sljedeć ač:... m m Za svak {,..., m-} R deframo preslkavaje ϕ () : R eka ma ulogu tačke (koja se pojavljuje u formulacj prcpa defcje dukcjom). Tada postoj jedo jedo preslkavaje f : {,..., m} R takvo da za svak {,..., m-} vrjede relacje: f(), f() ϕ (f()) f(). (.3.9) Relacjama (.3.9) je potpuo određe broj f(m), koj se ovako prdruže m-torc (,..., m ) R m ozačava sa, l m zove se suma (l zbr) od m člaova,..., m. Korsteć ove ozake relacje (.3.9) možemo apsat u oblku,. (.3.) Na aaloga ač defra se prozvod ( produkt )... realh brojeva,..., tako da vrjed,. (.3.) Specjalo, ako je..., oad se z (.3.) dobje jer se dukcjom lako dokaže da je Ako je..., oda se prozvod, ako je za svak {,..., }. zove -t stepe ( l -ta potecja) broja, ( N), ozačava se sa. Pr tome se zove ekspoet ( l zložlac ), a baza ( l osova ) stepea. Prema (.3.) mamo,. (.3.) 33 Iz formule (.3.) dobje se dukcjom da za sve m, N za sve formule a m a a m, (a m ) a m, (ab) a b. a,b R vrjede pozate

34 Osm toga, dobjemo da važe sljedeće relacje: a < b a < b, a > a >, (a > m > ) a m > a. Po defcj stavljamo za svak N a R\{}, a (a - ), a. U ozakama k k lako je formulsat dokazat eka poopšteja prethodo avedeh aksoma tvrdj za reale brojeve. Tako se, pr., dobje da za asocjatvost, komutatvost dstrbutvost, te da vrjede svojstva: ) (,..., ) ; ) ( {,..., }) ; 3) (,..., ) ; 4) (poopšteje ejedakost trougla); 5). Dokažmo, pr. ejedakost 4). Za tvrdja je očta. Pretpostavmo da za svak k {,..., -} vrjed (, R) poovo (.3.) dobjemo k čme je tvrdja 4) dokazaa za svak N. k k. Tada prmjeom (.3.), svojstva Kompozcjom sabraja stepeovaja dobjemo polome ( polomske fukcje ) P() : a a... a a, vrjede poopšte zako (.3.3) gdje je a,..., a R, N : N {}. Brojev a,..., a zovu se koefcjet poloma o potpuo određuju polom, a dokazuje se obrato, da polom potpuo određuje svoje koefcjete. Ako je a, kažemo da je polom (.3.3) stepea (stupja). k Polom su defra za svak R, tj. svak polom je fukcja koja preslkava R u R. Polom su, sa račuarske tačke gledšta, ajjedostavje fukcje, jer se jhova vrjedost u svakoj tačk R može zračuat samo prmjeom osovh operacja. Lako se dokaže da se kompozcjom poloma dobju poovo polom. To specjalo k vrjed za kompozcju poloma -tog stepea, pa je () a. Koefcjet ovog poloma se često pojavljuju zovu se bom koefcjet. T se koefcjet občo ozačavaju sa, (, N, ), pr čemu se čta : e ad (l e zad l e povrh ). k k k,

35 Bom koefcjet se mogu defrat formulom! :!( )! (.3.4) Iz (.3.4) svojstva fukcje faktorjel lako se dobje da je ( N ), te da vrjede sljedeća osova svojstva bomh koefcjeata ( za sve, N, ): () ; () ; (). Svojstvo () se zove Pascalova 4) jedakost z je se dukcjom po lako zaključ da su bom koefcjet prrod brojev. Rad sporazumjevaja potrebo je razradt sstem ozačavaja meovaja brojeva u kojem se svakom broju prdružuje određe smbol me. Dosad smo, u okvru aksomatskog uvođeja realh brojeva, korstl samo smbole,,. Prmjetmo da polom omogućuju da uvedemo ozake za sve prrode brojeve. Najvše se korst tzv. decmal (l dekad) ač ozačavaja brojeva. Tu uvodmo još ove posebe smbole azve za jh: broj ozačavamo sa smbolom azvamo ga dva, broj ozačavamo sa 3 ma me tr,..., broj 8 ozačavamo sa 9 zovemo devet. Brojeve z skupa {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} zovemo decmale (l dekade) cfre ( l decmale zameke). Broj 9 ozačavamo sa smbolom, a ma azv deset. Dokazuje se da za svak prroda broj N postoj jedstve polom P kojem su koefcjet decmale cfre za koj je P(). Decmala ozaka (decmal prkaz) broja dobje se tako da se redom spšu koefcjet a a -...a a poloma P. Npr. za broj 6 () 5 7 () 4 () 3 8 () ()9 korstmo ozaku 6789. Napomemo da je čtaje majh brojeva u svakom jezku dobro utvrđeo. Decmalo predstavljaje egatvh cjelh brojeva vrš se tako što se ozaka za prozvolja egatva co broj z Z dobje psajem zaka - (mus) pred ozakom za prroda broj -z N. Decmalo predstavljaje (ozačavaje) racoalh brojeva (koj su užo cjel brojev) realh brojeva objast ćemo u poglavlju o beskoačm redovma. Takođe apomemo da je decmal sstem specjal slučaj tzv. pozcoog ozačavaja brojeva. Ako se umjesto broja uzme ek drug prroda broj b>, dobje se sstem s bazom b. Osm decmalog (b), ajpozatj sstem su djadsk l bar (b), duodecmal (b) seksagezmal (b6) sstem. Bar sstem, u kojem su jede cfre, ma važu ulogu jer taj sstem korste dgtal račuar. ) Prmjer.3.7. Navedmo ekolko prmjera 3 4 5 6 7! 6 4 7 54 ; ) 6 3) 4) 6! 6! 6 6 6! 6! 6 5 6; 5;!(6 )!!5!!(6 )!!4!! ( )... ( ) ( )( )... ( )... ( )!( )!! ( )( )...!, (, N, ). Relacjama!! :;!! : ; ()!! :!!() ( N ), defra se fukcja dvostruk faktorjel!! ( N ). 4) Blase Pascal (63 66) velk fracusk matematčar, fzčar flozof.

36 Idukcjom lako se zaključ da za svak N vrjed: () ()!!! ; ( )! () ( )!!,! odakle, za N sljede jedakost ()!! 4... (), ()!! 3... (). Pascalova jedakost se može skorstt da se bom koefcjet zoro prkažu u oblku tzv. Pascalovog trougla (Pascalovog pravla): Bom koefcjet,,, 3,,, 3 3 3 4,,, 3, 4 4 6 4 5,,, 3, 4, 5 5 5 6,,, 3, 4, 5, 6 6 5 5 6 l, zbog smetrje, u kraćem oblku 3 3 4 6 4 5 5 U Pascalovom trouglu svak red započje završava brojem. Drug broj u blo kojem redu jedak je zbru prvog drugog broja z prethodog reda, treć broj se dobje sabrajem drugog trećeg broja z prethodog reda td., tj. zbr dva susjeda koefcjeta daje koefcjet spod jh u sljedećem redu. Posmatrajem sljedećh specjalh slučajeva ( ), ( ), ( ) 3 3 3 3 3, ( ) 4 4 4 3 6 4 3 4 ; td. aslućujemo da vrjed opšta formula: Teorema.3.5. Za svak prrod broj za sve, R važ relacja ( )......, (.3.5) koja se zove boma formula 5) l Newtoova 6) (boma) formula (l bom razvoj). 5) Boma formula za bla je pozata već starogrčkom matematčaru Eukldu (IV-III v. pr.. e.). Mog su ljud radl a jeom dokazu, a prv ga je ačo orvešk matematčar Nels Herk Abel (8-89). 6) Sr Isac Newto (64-77) eglesk fzčar matematčar koj je svojm revolucoarm otkrćma domrao matematkom fzkom 7. stoljeća.

37 Dokaz: Dokaz ćemo provest matematčkom dukcjom po. Za ljeva straa formule (.3.5) je zraz, a jea desa straa se svod a zraz, odoso a bom, tj. za tvrdja je stta. Pretpostavmo sada da tvrdja (teoreme.3.5.) važ za ek N, tj. da važ (.3.5). Pomožmo tu jedakost sa. Tada dobjemo: ( ) ( )............. ) ( Odavde, korsteć jedakost, te grupšuć po dva člaa gorje sume uz detče stepee, te prmjeom Pascalove jedakost dobjemo: ( ),...... što pokazuje da (.3.5) vrjed za ekspoet. Po prcpu matematčke dukcje zaključujemo, dakle, da (.3.5) vrjed za svak N. Tme je dokaz teoreme.3.5. završe. Izraz T : u bomoj formulu (.3.5) zove se ()-v čla. Prmjer.3.8. Iz bome formule se lako provjer da sljede sljedeća dodata (zamljva, al e tolko važa) svojstva bomh koefcjeata: a) ; b) ; ) ( c)... 5 3... 4. Korsteć se Pascalovm trouglom možemo lako odredt bome koefcjete apsat bomu formulu za male vrjedost broja N. Prmjer.3.9. Odredmo koefcjete u bomom razvoju zraza (a - b) 8. Rješeje: Prmjeom bome formule dobjemo: ( ), 8 8 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) a b a b a b tj. koefcjet u ( ) - vom člau T je za,..., 8. Prmjer.3.. U razvjeom oblku stepea koefcjet trećeg člaa je za 44 već od koefcjeta drugog člaa. Nađmo čla koj e sadž. Rješeje: Iz prvog uslova sljed da je, odakle je. U razvoju zraza 3 4 ( ) po bomoj formul, (k ) - v čla je, a ovaj čla e sadrž akko je 33 k, tj. akko je k 3. Defcja bomog koefcjeta, tj. fukcja (, ) (, N, <) može se poopštt (prošrt) a poopšte bom koefcjet: 44 4 8 8 ( ) ( ) 3 33 4 k k k k k

38 Ako je a reala broj k eegatva co broj, fukcja (a, k) a ( a )... ( a k ) a, : k! k, (a R, k ). defraa je formulom a k (a R, k N), (.3.6) a k Prmjetmo da ako je a<k oda je ako su a, k N, dok je ako a N. Osm toga, prmjetmo da svojstvo smetrje bomh koefcjeata e važ za poopštee bome koefcjete, tj. e važ ako se zamje sa prozvoljm realm brojem a, dok ostala dva svojstva (tj. svojstva () ()) ostaju u važost (s tm da u svojstvu () e može se zamjet sa brojem -.) Prmjer.3.. a) ( 3) 3 ; b) / ; c) ( ). 8 Prmjer. 3.. Uzastopom prmjeom Pascalove jedakost dobjemo dettet a a a a a ( a R, N... ). Dokazuje se da važ ovo svojstvo: Sv brojev ( k,,..., ) su epar akko je oblka m (m N). k Takođe se dokazuje da se maksmal bom koefcjet za fkso dobje za k, tj. k za co do od. Zadatak.3.6. Dokažte da za svak prroda broj za sve,, z R važ tzv. troma formula ( z) c(, j, ) j z j, gdje je! c (, j, ): (tzv. trom j! j! ( j)! koefcjet). Troma formula se prošruje a tzv. polomu formulu koja daje razvoj poloma (... m ). Matematčkom dukcjom po lako se zaključ da važ (vrlo elemetara al korsa) Beroulljeva ejedakost 7) koja je data sljedećom mplkacjom: ( N) ( R) - (). (.3.7) U gorjoj ejedakost zak može se zamjet sa > uz uslov da je ( -). No, važ tzv. poopštea Beroulljeva ejedakost () > ( N\{}, -, ). (.3.8) Napomemo da se pod pojmom dukcja podrazumjeva zaključvaje kojm se z stavova koj se odose a koača broj pojedh slučajeva ste vrste zvod jeda opšt stav, tj. stav koj se odos a sve slučajeve te vrste. Takav metod zaključvaja se takođe zove emprjska dukcja, fzčka dukcja l epotpua dukcja, za razlku od matematčke dukcje koja se još azva potpua dukcja, l savršea dukcja l zaključvaje od a l rekurzvo dokazvaje. Nepotpuom dukcjom se mogu dobt pogreš zaključc. Tako je, pr. Lebz 8) dokazao da 3 ( 3 -), 5 ( 5 -), 7 ( 7 -) (za svak N ) odatle zaključo da k ( k -) (za svak epara prroda broj k za svak N ). Međutm, o je sam uskoro prmjeto da broj 9 - (5) je djeljv sa 9. I ek drug velk matematčar (pr. fracusk matematčar P. Fermat ) su metodom epotpue dukcje dobjal pogreše zaključke. 7) Jakob Beroull (654 75) švajcarsk matematčar (holadskog porjekla) z pozate porodce matematčara. 8) Gottfre Wlhelm Lebz (646 76) jemačk matematčar, flozof psac. U vez prmata a autorsko pravo o dferecjalom račuu upao je u žestoke rasprave s Newtoom, koje su trajale sve do jegove smrt. Newto je otkro dferecjal raču goda raje od Lebza, al je Lebz ezavso od Newtoa 684. gode to prv objavo. a k

39 Prmjer.3.3. Navedmo prmjer koj pokazuje eophodost prvog uslova u prcpu matematčke dukcje: Ako pretpostavmo da je jedakost... (*) tača za k, tj. ako važ... k k, oda takođe važ jedakos... k k k k k k, pa dakle (*) važ za k. Međutm, relacja (*) je tača za jeda prroda broj, jer zraz a jeoj ljevoj stra je - (kao zbr od člaova geometrjske progresje čj je kolčk broj ). Zadatak.3.7.* Neka je M masa Zemlje, m masa Mjeseca, a l rastojaje zmeđu sredšta Zemlje Mjeseca Na kom rastojaju od cetra Zemlje mora da se alaz međuplaetara raketa lasraa sa Zemlje u pravcu Mjeseca, da b ta raketa mogla astavt dalje kretaje u pravcu Mjeseca bez upotrebe gorva samo pod utcajem prvlače sle Mjeseca? Masa rakete je m. (Iz astroomje je M pozato da je 8.) m (Rezultat. Postavlje problem se svod a odgovarajuću kvadratu ejedaču po epozatoj, gdje je rastojaje rakete od cetra Zemlje. Rješavajem te ejedače dobje se l > >,9 l.) Zadatak.3.8.* Dokažte ejedakost: 3 > 4 ( N, ). 3 Zadatak.3.9.** Nađte sve racoale sabrke u razvoju zraza ( ) 4 3 po Newtoovoj bomoj formul.... I. Osm čla razvoja zadaog zraza je racoala. II. Sedm čla razvoja zadaog zraza je racoala. III. Šest čla razvoja zadaog zraza je racoala. IV. Devet čla razvoja zadaog zraza je racoala. Zadatak.3..* Laboratorjska sptvaja modela rječog čamca zvode se u bazeu za sptvaje uz promjeljve brze modela vode. Odredte kakve moraju bt te brze, da b model čamca, krećuć se ravomjero, prelazo 6 m u smjeru toka ajmaje za a sec, a u suprotom smjeru ajvše za b sec. Dobjea rješeja predstavte geometrjsk (uzmajuć za a, b kokrete odgovarajuće vrjedost). ([Mlčć - Ušćumlć]. 7. Nejedakost apsolute vredost. Zad. 69. (Prošre.)) * ) Zadatak zadava za domaću zadaću (DZ) z Ižejerske matematke (IM) a Elektrotehčkom fakultetu Uverzteta u Sarajevu. ** ) Zadatak sa spta z IM.