I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

Transcript

1 I N Ž N S A M A T M A T I A 96 Pojam tegrala šestrkog emaoog tegrala Posmatrat ćemo podskpoe prostor reale fkcje defrae a om podskpoma Napomemo da shema kostrkcje šestrkog emaoog tegrala je slča jedodmeoalom slčaj kao što ćemo djet Neka je [a b ] [a b ] [a b ] { : a b } pr čem je segmet [a b ] a Skp aa se kako amo atorem dmeoalm paraleloppedom l dmeoalm segmetom a prostor Zatoreom dmeoalom paralelopped prdržje se broj µ b a koj se aa kldom olmeom l mjerom dmeoalog segmeta Oaj olme se često oblježaa sa Ako je a b a b a b otore dmeoal paralelopped l dmeoal teral prostor tada se ma da je µ µ Napomemo da slčaj polotoreog dmeoalog terala * a b ] a b ] l polatoreog dmeoalog terala * [a b [a b ma se da je µ * µ efra se mreža podjela dmeoalog segmeta a sljedeć ač: Sak segmet [a j b j ] a j koj čestj formraj dmeoalog segmeta podjel se tačkama: a j j j j < < < b j j Odade sljed da hper ra date jedačama j < j < j j djele dmeoal segmet a ćelja tačaka takh da je U j a j Npr a j mamo da je [a b ] [a b ] pa je a < < b a < < b Geometrjsk mamo: j koje emaj ajedčkh trašjh b a a b Važ sljedeća teorema: Teorema 96 Neka je σ { : } mreža podjela dmeoalog segmeta Tada až jedakost µ µ U µ a j j

2 Osoba aedea oom teoremom aa se adtost mjere Mrež podjel dmeoalog prostora aamo podjelom tog segmeta daljem tekst dmeoala segmet oemo kratko segmet efcja 96 Ako je σ mreža podjela segmeta a ćelje σ a tada mrež podjel σ * segmeta aamo prodžejem mreže podjele σ ako se ćelje mreže podjele σ djele a še ćelja međ kojma eke ostaj možda epromjejee Neka je fkcja f preslkaaje ogračeo a segmet eka je σ { : } mreža podjela segmeta Oačmo sa M sp { f } m f { f } efcja 96 Sme S σ f M S σ f m aaj se respekto gorjom dojom arbooom smom l dojom gorjom tegralom smom a fkcj f mrež podjel σ segmeta Važ sljedeća trdja: Trdja 96 Skp sh gorjh dojh arbooh sma je eograče pr tome až ejedakost : S σ f S σ f efcja 963 Neka je {σ } skp sh mogćh mrežh podjela segmeta a ćelje Tada brojee _ f d f { S } σ { } f σ { } f d sp S σ f { σ } aamo respekto gorjm dojm arboom tegralom dojm gorjm emaom tegralom ogračee fkcje f a segmet efcja 964 Za fkcj f kažemo da je tegrabla po ema l emaoom smsl a dmeoalom segmet ako až jedakost _ f d f d Zajedčka rjedost gorjeg dojeg emaoog tegrala aa se tegralom l strkm emaom tegralom fkcje f a segmet oačaa se sa f d l sa f dd d Skp sh fkcja koje s tegrable po ema a segmet oačaamo sa Ako je fkcja f preslkaaje f : ogračea fkcja tada až trdja: Trdja 96 Ako je σ * prodžeje mreže podjele σ segmeta oda aže ejedakost : f S σ f S σ f S * f S * σ Važe sljedeće posljedce aedee trdje 96 : posljedca: Za proolje mreže podjele σ σ segmeta až ejedakost S σ f S σ f σ

3 oka: Neka s σ σ proolje mreže podjele segmeta Tada ajedčka podjela σ σ σ * predstalja jhoo prodžeje pa je prema aedeoj trdj 96 : S σ f S σ* f S * f S σ f posljedca: Važ ejedakost σ f d f d Važ sljedeća teorema koj aodmo be dokaa: Teorema 96 Za ograče fkcj f až f oda samo oda ako a prooljo ε > postoj mreža podjela σ segmeta taka da je S σ f S σ f M m ω < ε gdje je ω osclacja fkcje f a ćelj pomete podjele σ Neka je sada σ proolja mreža podjela dmeoalog segmeta a ćelje a pr čem je d σ ma d a d je djametar ćelje Ummo prooljo tačk ξ formrajmo sm S σ f ξ efcja 965 Sma S σ f aa se tegralom l emaoom smom fkcje f a dmeoalom segmet a jego mrež podjel σ I ejedakost m f ξ M a sljed da aže ejedakost: S σ f S σ f S σ f efcja 966 ažemo da postoj grača rjedost _ lm d σ S σ f I ako a ε > postoj broj δ δε > taka da a sak mrež podjel σ dmeoalog segmeta a koj je d σ < δ a eoso od bora tačaka ξ až: S σ f I < ε Važ sljedeće dje teoreme koje aodmo be dokaa: Teorema 963 Ako postoj lm d σ S σ f I tada fkcja f pr tome až jedakost : lm d σ S σ f f d Teorema 964 Ako fkcja f koja je jedaka I I tada postoj grača rjedost f d Posljedje dje teoreme pokaj ekaletost defcja lm d σ S σ f 97 Osoa sojsta šestrkog emaoog tegrala Sljedeća sojsta ogračee fkcje f a segmet sljede defcje pojma oog tegrala a dokaj se gračm prelaom odgoarajćm tegrablm smama Ako je fkcja f c a to je kostata a segmet oda je oa tegrabla pr tome až jedakost: 3

4 c f d Ako je fkcja f c a c je kostata oda fkcja c f pr tome až jedakost: c f d c f d 3 Ako s fkcje f g tada fkcja f g pr tome až jedakost: f g d f d g d 4 Ako s fkcje f g f g a tada až ejedakost: f d g d efcja 97 Neka je skp M podskp metrčkog prostora X Za skp M kažemo da je kompakta prostor X ako sakog a možemo dojt pod koj koergra ka elemet X ako M tada kažemo da je skp M kompakta sebe l kraće da je skp M kompakta Važ sljedeća trdja: Trdja 97 a b skp M bo kompakta potrebo je dooljo da bde ograče a da b skp M bo kompakta seb l da b bo kompakta potrebo je dooljo da bde ograče atore efcja 97 Za skp prostora kažemo da ma mjer la po Lebeg ako a ε > postoj prebroj pokrač { j j N} tog skpa dmeoalog segmeta j prebroj pokrač: { j j N} dmealm teralma j taka da je j j < ε I date defcja 97 sljed da ako skp ma mjer la po Lebeg ako je skp A pra podskp skpa tada skp A ma mjer la po Lebeg k Trdja 97 Prebroj skp tačaka je skp mjere la po Lebeg oka: Neka je ε > prooljo Tada a sak tačk j možemo abrat dmeoala ε ε ε segmet j taka da je j j mjera j < sljed < ε j j j j j Teorema 97 Ako je U j j j sak skp j ma mjer la po Lebeg oda skp ma mjer la po Lebeg oka: Neka je ε > proolja ako je po pretpostac teoreme sak skp j skp mjere ε la po Lebeg to postoj prebroj pokrač W j { j : N} skpa j taka da je j < j a j N famlja W { W j : j N } prekra skp ako amo famlja { j : j N } je prebroj skp amo da prebroja ja prebrojh skpoa je prebroj skp Važ: ε ε j < ε j j j 4

5 efcja 973 Za skp tačaka kažemo da ma mjer la po orda ako a ε > postoj koača pokrač { } j j tog skpa dmeoalm segmetma j koača pokrač { } j j dmeoalm teralma j taka da je j < ε I date defcje 973 sljed da sak podskp po Lebeg mjere la po orda je skp mjere la Teorema 97 ompakta skp tačaka prostora mjere la po orda koj je mjere la po Lebeg je skp Teorema 973 Lebegoa teorema Neka je fkcja f : ogračea a dmeoalom segmet kldoog prostora eka je skp A skp tačaka prekda fkcje f Tada je fkcja f tegrabla po emaoom segmet oda samo oda kad je skp A mjere la po Lebeg 98 Itegral fkcje adae a prooljom skp efcja 98 Neka je A eka je A kcja X : A defraa sa X aa se karakterstčom fkcjom skpa A \ efcja 98 Neka je gdje je ek dmeoal segmet eka je fkcja f : ogračea a segmet Uma se po defcj da je f d f X d ako je fkcja X tegrabla a segmet pr tome pšemo da f Odje je f restrkcja fkcje f : efrajmo sada emao tegral fkcje koja je defraa a prooljom skp dmeoalog kldoog prostora korsteć prethod defcj efcja 983 Neka je skp f : ogračea fkcja eka je gdje je ek dmeoal segmet prostor f efrajmo fkcj sa \ Ako je fkcja tada po defcj mamo da je f d d 99 Mjerljost skpa po orda Ptaje mjerljost skpa fkcj sko je eao a tegrablost po emaooj karakterstčoj Teorema 99 kcja X : gdje je tegrabla je a skp oda samo oda kada je graca skpa skp mjere la po Lebeg 5

6 oka: Neka je gdje je ek dmeoala segmet prostora Prema aprjed datoj defcj a slčaj f a segmet mamo da je d X d ako tegral sa dese strae postoj odoso ako je fkcja X tegrabla a a Neka je tačka trašja tačka Tada prema defcj pojma trašje tačke postoj sfera δ taka da je X a δ rgm rječma fkcja X je eprekda sakoj trašjoj tačk skpa fkcja jedaka kostat okol eke tačke kako amo je eprekda toj tačk b Neka je spoljašja tačka odos a skp Tada prema defcj spoljašje tačke postoj okola δ \ taka da je sakoj tačk δ X tj fkcja X je eprekda tačk koja je spoljašja odos a skp c Neka tačka prpada grac skpa Tada kako amo prooljoj okol δ postoje tačke take da je X X pr čem je tačka δ a tačka δ \ Odade sljed da je fkcja X prekda tačk I dokaaog a b sljed da skp tačaka prekda fkcje X se poddara sa gracom skpa pa je prema Lebegooj teorem fkcja X tegrabla a segmet tj postoj X d oda samo oda kada je graca skpa skp mjere la po Lebeg Om je doka teoreme arše efcja 99 Ograče skp tačaka prostora čja graca predstalja skp mjere la po Lebeg aa se mjerljom po orda a jegoa mjera X data je sa µ X d aa se često dmeoalm olmeom l ordaoom mjerom skpa Napomemo da se jedodmeoala olme aa džom a dodmeoala poršom Skp koj je mjerlj po orda se aa ordaom l dooljem skpom 9 Osobe ordaoh skpoa Sljedećom teoremom date s aže osobe ordaoh skpoa Teorema 9 Ako s skpo podskpo prostora predstaljaj ordaoe skpoe tada: presjek je ordao skp ; e ordao skp a ako s s skpo dsjkt tada až jedakost µ µ µ ; 3 skp \ pr čem je je ordao skp pr tome až jedakost µ \ µ µ oka: Graca skpa \ sadržaa je j graca skpoa ako je saka graca oh skpoa mjere la po Lebeg to je graca skpa \ mjere la po Lebeg tj skp \ je mjerlj po orda Tačost prog djela trdje sljed takođe čjece da je graca je sadržaa j graca Neka je eka je segmet proolja dmeoala segmet koj sadrž Sljed : X \ X \ X \ 6

7 pa je očgledo X X X a Sada je µ µ d X X d X d X d X d X d µ µ µ X d što je trebalo dokaat 3 Graca skpa \ predstalja skp mjere la jer o prpada j graca skpoa ako je \ \ to a oso posljedje jedakost osobe aedee pod sljed da je µ \ µ µ čega sljed tačost aedee jedakost Om je doka teoreme arše 9 Osoa sojsta šestrkog emaoog tegrala a kompakt Neka je kompakt kldoom prostor eka je f : tegrabla a posmatraom kompakt Tada až: restrkcja fkcje f a kompakt tegrabla je fkcja a ; ako je gdje s kompakt be ajedčkh trašjh tačaka oda až jedakost f d f d f d Oo sojsto tegrala aa se sojstom adtost; 3 ako s fkcje f g αβ prooljo tada je fkcja α f β g pr tome až jedakost: α f β g d α f d β g d Oo sojsto tegrala aa se sojstom learost; 4 ako s fkcje f g f g a oda až : f d g d ; 5 ako je fkcja f oda je f pr tome až : f d f d ; 6 ako s f g g l g a m f { f } M sp { f } oda postoj broj µ taka da je m µ M pr tome až jedakost: f g d µ g d Ako je pored aedeh sloa fkcja f eprekda a kompakt tada postoj tačka ξ taka da až jedakost : f g d f ξ g d Oa osoba je poata teorj kao teorema o sredjem; 7 ako s f g tada fkcja f g oka: okaat ćemo samo eke od aedeh sojstaa šestrkog tegrala I sloa da f sljed da je fkcja : defraa sa f \ tegrabla a tj oa adooljaa slo Lebegoe teoreme a pa je jea restrkcja f tegrabla fkcja a kompakt 3 Neka je segmet proolja dmeoal segmet koj sadrž kompakt eka s : G : fkcje defrae sa f g G \ \ Tada a proolj σ podjel segmeta až jedakost: S σ α β G α S σ β S σ G ako klas tegrablh fkcja a G to po pretpostac desa straa posljedje jedakost ma grač rjedost a dσ koja je jedaka: 7

8 d β G d α f d α β g d Sljed da ljea straa aedee jedakost ma grač rjedost a dσ koja je jedaka Om je osoba dokaaa def β G d α f def α β g d 4 Neka s fkcje G adae a st ač kao pr doka osobe 3 Tada a proolj σ podjel segmeta a ćelje pr prooljom bor tačaka ξ až ejedakost: S σ S σ G Prelaskom a grač rjedosta a dσ mamo da je prema raje aedem osobama a šestrk tegral a segmet : d G d tj f d g d Om je osoba dokaaa 5 Neka je proolja segmet prostora koj sadrž kompakt Tada fkcja gdje je fkcja defraa sa: f \ ako fkcja adooljaa sloe Lebegoe teoreme to fkcja adooljaa sloe ste teoreme jer se skp tačaka prekda fkcje l poddara sa skpom tačaka prekda fkcje l je sadrža jem Odade sljed da tj Sada ejedakost f f f sljed prema aedeom sojst 4 da je f d f d f d tj Om je osoba dokaaa f d f d 9 Sođeje šestrkog tegrala a astope tegrale o sada smo goorl o defraj šestrkog tegrala slo postojaja jegom osobama Naedmo teorem koja ajedo s teoremom o amje promjeljh predstalja strmet a račaaje šestrkog tegrala Teorema 9 bje sta Neka je segmet prostor m koj predstalja drekt prood segmeta m segmeta Ako je fkcja f : tegrabla a segmet tada sljedeć tegral : f d d d f d d f d storemeo postoje međsobo s jedak sljedeće apomee: f d d predstalja aprjed defra šestrk tegral fkcje f promjeljh a segmet ; smbol d f d treba shatt a sljedeć ač: a fksrao treba račat f d a atm dobe fkcj : tegrrat a segmet pr 8

9 tome ako a eko tegral f d e postoj tada treba et jedako blo kojem broj međ I f d I f d e skljčjć same rjedost okaje se tada da fkcja ; 3 st smsao ma smbol _ d f d I I Napomemo da proces dokaa oe teoreme se ma da je skp tačaka kojma je I skp mjere la po Lebeg segmet Isto tako skp tačaka kojma I f d e postoj je takođe skp mjere la po Lebeg segmet Uastopo račaaje tegrala fkcje f po segmet atm po l obrto aamo astopm tegralma posmatrae fkcje Naedmo posljedce bjee teoreme Posljedca 9 ako je segmet drekt prood segmeata [a b ] a to astopom prmjeom bjee teoreme dobamo: f d b a d b a d b f a Posljedca 9 Ako je ograče skp prostor a { ; ϕ ϕ } Ako fkcja f tada až jedakost: f dd d ϕ ϕ f d d 93 Zamjea promjeljh šestrkom emaoom tegral Neka je dato ajamo jedoačo reglaro preslkaaje oblast G t t t t t t M t t t Tada aže sljedeće teoreme koje aodmo be dokaa Teorema 93 Slka glatke lje je glatka lja Posljedca 93 Oblast sa djelmčo glatkom gracom preslkaa se oblast sa djelmčo glatkom gracom Teorema 93 Slka mjerlje atoree oblast oblast pr tome až jedakost µ dt dt dt T t t t akobja T G predstalja takođe mjerlj atore Teorema 933 Neka je tegrabla fkcja a oblast slka atoree mjerlje oblast Tada až jedakost : T eka je f 9

10 f [ t t t t t t t t t ] dt dt dt dd d f t t t T okret prmje šestrkog emaoog tegrala a kompakt m ćemo posmatrat da slčaja: Neka je kompakt sa gracom koja je djelmčo glatka kra eka je fkcja f : tegrabla po ema a kompakt Tada se je tegral f d aa dojm tegralom oačaa se sa f d d Neka je 3 kompakt sa gracom koja je djelmčo glatka porš eka je fkcja f : tegrabla a kompakt Tada emao tegral f d aamo trojm tegralom fkcje f a kompakt oačaamo ga sa f d d d 94 Prmjee dojh trojh tegrala Na ekolko prmjera ćemo pokaat kako se metode tegralog rača fkcja še promjeljh korste geometrj Pr tome ćemo smatrat da s oblast po kojma ršmo tegracj mjere a da to posebo e aglašaamo 94 Iračaaje apreme tjela Neka je sa f data porš prostor 3 sa koordatm sstemom O sl 94 Sa l ' oačmo grac kotr oblast Cldarska porš sa odljom drektrsom l ' odcama geeratrsom paralelm os O sječe porš čja je jedača f po kroj l Sa V oačmo aprem tjela ogračeog cldarskom porš oblast porš f Tada je V f d d 94 Name prema forml µ d d d a 3 mamo V d d d što se a oso jedače a račaje tegrala može apsat kao V f d d d f d d Ako je jedača porš data sa ϕ oda je aprema V opsaog tjela data formlom V ϕ d d Prmjer 94 Neka je tjelo prostor 3 sa koordatm sstemom ekartom praoglm ogračeo parabolodom datm sa cldarskm poršma f l l ' Sl 94

11 O ra Sa oačmo oblast međ krgoa Zaprema V tjela data je tegralom V d d edače dath krgoa polarom koordatom sstem maj oblk r cos θ r cos θ; smjeom promjeljh sa r θ dobja se cosθ 3 4 cosθ cos θ 5 cos 4θ V dθ r dr [ ] cosθ θ cos θ θ θ cos θ θ cosθ 4 r d 4 d d 8 d 5 θ θ s θ s 4θ Mjera porša porš Neka je f jedača porš S Pr tom s fkcja f je parcjal ' f ' f od f f eprekd a mjerom skp Uočmo proolj podjel T {V : k} skpa sakom elemet V abermo tačk ξ η U tačk ξ η ζ gdje je ζ f ξ η kostrrajmo taget raa date porš Sa oačmo do tagete ra koj se projektra a V a k Ako sa γ oačmo gao međ tagete ra ra O oda je cosγ ' ' f ξ η f ξ η Mjera porša µs porš S defra se kao lmes µs lm µ λ T Ako prmjetmo da je µ V µ cos γ oda je odoso orsteć oake p k ' ' µs f ξ η f ξ η µ V λ T k lm µs ' ' f d d f q posljedj jedakost pšemo oblk p µs p q d d 94 Podtegral ra jedakost 94 aa se elemetom porše Oačmo l ga sa ds mamo ds p p q d d odoso µs ds Prmjer 94 Iračajmo porš P sfere Posmatrajć gorj polsfer majć d da je

12 prema forml 94 mamo P d d Prelaeć a polare koordate dobjemo P 4 r dr r d θ Ako je porš S data mplcto jedačom ako je ' a oda eš obr da je ' ' ' ' a porš µs porš S mamo µs d d ' ' ' ' Na kraj pretpostamo da je porš S data parametarsk ϕ ψ χ gdje s ϕ ψ χ kao jho parcjal od eprekd Pretpostamo da je bar jeda od tr akobjaa ralčt od le Neka je određeost rad a Sjetmo se da ektor ormale tagete ra tačk ma oblk Ueš obr da ektor ormale tagete ra porš f tačk ma oblk p q ršeć smje ϕ ψ tegral µs p d d q p dobje se µs d d gdje se oblast fkcjom ϕ ψ preslkaa bjekto a Odade sljed da je mjera µs porš S data raom µs d d orsteć oake a t Gasoe koefcjete porš G lako se račaa da se µs može apsat oblk µs d d G 943 lemet porše oom slčaj dat je raom

13 ds G d d Zadatak 94 Ako je [ f : data sa f dokažte da tegral f d d dergra mada koergraj oba astopa tegrala d f d d f d Zadatak 94 okaat rhleo forml a d f d a f d a > a eprekd fkcj f : { a } Zadatak 943 U ra dat je četerogao S tj A B C 3 3 Preslkaaje ra raa dato je jedačama: * Nać slk četerogla ra Iračat tegral d d korsteć smje * gdje je P { } P Zadatak 944 okaat da je d d 3/ Zadatak 945 okaat da je lm s dd lm s te odatle akljčt da tegral s dd dergra dd Zadatak 946 Nađte porš djela sfere međ da merdjaa dje paralele Upta: Neka je polprečk sfere poat Napšte jedač sfere parametarskom oblk brajć < kao dž merdjaa / / kao šr paralele tj prmjete parametarske jedače porš S: cos cos s cos s Zatm prmjete forml 943 3