MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE

ELEKTROTEHNIČKI AKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA IZIKA I --pedavanja za 3. sedmicu nastave MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE.3.3 Kužno ketanje/gibanje Kada ubzanje mateijalne tačke nema isti pavac kao bzina, već s bzinom zatvaa ugao azličit od nule, mateijalna tačka uvijek će se ketati po zakivljenoj liniji. Pimje takvog ketanja je kužno ketanje/ gibanje. Ketanje mateijalne tačke po kužnici je ketanje u avni. Neka kužnica leži u (x, y) avnini Catesijevog koodinatnog sustava (ct..8). Položaj mateijalne točke možemo opisati Catesijevim koodinatama x i y ili polanim koodinatama i ϕ. Kako je putanja kužnica, iznos adijusa vektoa je konstantan, te se pi ketanju mijenja samo polana koodinata ϕ. Ct..8 Veza između Catesijevih i polanih koodinata mateijalne tačke je: x = cosϕ y = sinϕ Kut/ugao ϕ se obično izažava u adijanima i jednak je količniku luka s i pulupečnika s 18 ϕ = ( ad ) 1 ad = = 57,3 π Iz ove elacije slijedi izaz za peđeni put: 8

s = ϕ Deivianjem puta s po vemenu, dobiva se tzv. obodna (lineana) bzina v: ds dϕ v = = = ω gdje je dϕ ω = ugaona/kutna bzina. Jedinica za ugaonu/ kutnu bzinu je ad s -1 ili s -1, budući da dopunsku jedinicu ad često ne pišemo. Kutna/ugaona bzina je vekto; čiji je smje na pavcu ose otacije i odeđen je pavilom desne uke. Ako psti desne uke slijede mateijalnu točku, palac pokazuje smje ω. Ct..9 Pavac ugaone/kutne bzine uvijek je okomit na avninu kuženja. Obodna/peifena bzina v uvijek je okomita i na vekto i na vekto ω (ct..9). Kut između i je π, tj sinα = 1. Zbog toga može se vektoski napisati kao: v = ω ili v = ω Jednoliko kužno ketanje/gibanje je kuženje s konstantnom uganom bzinom: dϕ = ω = konst. Integianjem dobivamo ϕ ϕ + ωt = 9

gdje je ϕ ugao u momentu t =. Za opisivanje jednolikog kužnog ketanja koisno je definiati fekvenciju i vijeme potebno za jedan puni kug-peiod. Očito je za jednoliko kužno ketanje: ω = πf, T = 1 f Jednoliko kužno ketanje je zapavo ubzano ketanje, je se pi njemu stalno mijenja smje obodne/peifene bzine, ct..1, iako joj iznos ostaje konstantan. Iznos pomjene bzine v jednak je v = v ϕ. Podijelimo li obje stane ove elacije sa t uz ganični pijelaz t, dobivamo iznos za ubzanje koja mijenja smje bzine : v v ϕ a = = = vω t lim t lim t t Ova akceleacija ima smje pema sedištu kužnice i zbog toga, zovemo je adijalna (nomalna) ili centipetalna akceleacija. Ct..1 Ako sa označimo jedinični adijus vekto usmjeen pema sedištu kužnice, izaz za adijalnu akceleaciju možemo pisati vektoski: a v = ω = = ω v.3.3 Nejednoliko kužno gibanje Pi nejednolikom kuženju iznos obodne/peifene bzine nije više konstantan već se mijenja s vemenom. 1

Zbog toga je ukupna akceleacija sastavljena od adijalne akceleacije a i tangencijalne akceleacije a t. Radijalna komponente akceleacije je u smjeu. Tangencijalna komponenta akceleacije je u smjeu tangente. Tangencijalna akceleacija nastaje zbog pomjene iznosa peifene/obodne bzine: ( ω) dv d dω a t = = = α gdje je dω d ϕ α = = ugaona/ kutna akceleacija (ubzanje). Jedinica ugaone/kutne akceleacije je ad s -. Ako ugaonu akceleaciju definiamo kao vekto čiji je smje okomit na avan kuženja, tada možemo napisati u vektoskom obliku: a t = α Pi jednolikom ketanju po kužnici ω = konst. odnosnoα = te je i tangencijalna akceleacija nula. Pi nejednolikom kužnom ketanju postoji i adijalna i tangencijalna akceleacija. Radijalna ima smje, dakle pema sedištu kužnice, dok je duga u smjeu tangente. One su okomite jedna na dugu pa ukupnu akceleaciju a dobivamo kao a = a t + a Poseban slučaj nejednolikog kužnog ketanja je ketanje s konstantom ugaonom akceleacijom ( α = konst.). Zakone takvog ketanja možemo dobiti uzimajući u obzi da je α = konst. i da je u tenutku t=, kut ϕ =, a ω = ω. Integiajući izaz dω = α dobivamo: ω ω dω = t α 11

odnosno ω = αt + ω Integianjem izaza ϕ = ( αt + ω ) dobivamo izaz za ugao/ kut: ϕ t d ( αt + ω ) = αt dϕ = + ϕ odnosno 1 = t t ϕ α + ω + ϕ t t ω Ovi izazi analogni su izazima za pavolinijsko ketanje. Tablica pokazuje fomalnu analogiju među fomulama pavolinijskog i kužnog ketanja. Ako u fomule pavolinijskog ketanja umjesto s, v i a uvstimo ϕ, ω, α dobivamo fomule kužnog ketanja. Pavolinijsko ketanje ds v = d s a = s = vt + s 1 s = at + v v = as + v t + s Kužno ketanje dϕ ω = d ϕ α = s = ωt + ϕ 1 s = αt + ω t + ϕ v = αϕ + ω 3. DINAMIKA ČESTICE 3.1. Uvod U kinematici smo poučavali zakone ketanja bez obzia na uzoke koji su to ketanje poizveli. Sada ćemo poučiti dinamiku koja azmata fizikalne uzoke ketanja Osnova dinamike su ti Newtonova asksioma/zakona koje je još 1686. fomuliao engleski fiziča Isaac Newton. Iz tih aksioma može se izgaditi tzv. klasična ili Newtonova mehanika. Newtonova mehanika izvsno opisuje makoskopske pojave, dakle tijela dimenzija većih od atoma i molekula, te bzine mnogo manje od bzine svjetlosti. 1

Za opisivanje mikosvijeta (atoma i molekula) moaju se pimjeniti zakoni kvantne mehanike, a za velike bzine upotebljavaju se zakoni elativističke mehanike(einsteinova teoija elativnosti). Osnovne fizikalne veličine dinamike su sila i masa. U fizici silu opisujemo pomoću njenog djelovanje. izička veličina kojom se mjee inteakcije između tijela naziva se sila. Djelovanje sile može biti dvojako: sila može ubzati ili uspoiti neko tijelo; tj. pomjeniti mu stanje ketanja, sila može pomjeniti oblik tijela (defomacija). U dinamici se poučava samo pvo djelovanje sila, tj. sila kao uzok pomjene stanja ketanja nekog tijela. Danas je poznato da postoje četii osnovna tipa međudjelovanja među česticama (molekulama, atomima, te elementanim česticama). To su gavitacijska sila, elektomagnetska sila, sila slabe inteakcije i sila jake inteakcije. Gavitacijska sila djeluje između tijela po Newtonovom zakonu gavitacije: m m = 1 γ gdje su m 1 i m mase tijela koje međudjeluju a, astojanje između centaa masa tih 11 tijela, γ = 6,67 1 Nm kg gavitacijska konstanta, jedinični vekto. Intenzitet gavitacijskih sila sazmjean je masama tijela a opada sa kvadatom astojanja između njih, usljed toga ove sile dolaze do izažaja kod tijela velikih masa, kao što su nebeska tijela, i djeluju na velikim astojanjima. Elektomagnetne sile potiču usljed međudjelovanja naelektisanih tijela. Ukoliko su naelektisanja u elativnom miovanju, inteakcija je izažena tzv. Coulombovom silom 1 q q 1 = ± 4πε gdje su q 1 i q naelektisanja a -astojanje između centaa tih naelektisanja, 1 1 ε = 8,85 1 m dielektična konstanta vakuuma. Ukoliko se naelektisanje keće u mangetnom polju B, na njega djeluje magnetna sila: = q ( v B) gdje je v bzina naelektisanja, q naboj a B magnetska indukcija. Ako osim mangetskog, na naboj djeluje i elektično polje, ukupna elektomagnetska (Loentzova) sila je vektoski zbo elektične i magnetske sile: = qe+ q v xb Međudjelovanje između molekula, atoma kao i sile unuta atoma su elektomagnetske piode, koje dolaze do izažaja na elativno malim astojanjima. Intenzitet elektomagnetskih inteakcija je mnogo puta veći od intenziteta gavitacijskih. Nukleane sile djeluju između čestica atomskog jezga bez obzia na njihovo naelektisanje. Nukleane sile djeluju na malim astojanjima, oko 1-15 m i velikog su intenziteta, većeg i od elektomagnetskog. 13

Masa je svojstvo svakog tijela koje odeđuje njegovo ponašanje pi djelovanju sile: što je masa tijela veća ono je tomije (intetnije), to ga je teže ubzati ili uspoiti, tj. pomjeniti mu stanje ketanja. Masa je mjea tomosti (inecije) tijela. Kvantitativna mjea za ineciju pedstavlja fizikalnu veličinu koja se zove masa. Ova fizikalna veličina odeđuje inetna i gavitacijska svojstva tijela.. 3.. Pvi Newtonov aksiom/zakon Još je Galilei uočio da tijelo na koje ne djeluju vanjske sile ostaje na miu ili se keće jednoliko po pavcu. Da pokenemo tijelo koje miuje potebna je odeđena sila; takođe, tijelo koje se keće jednoliko po pavcu ostat će u tom stanju ketanja sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila.. Svojstvo tijela da odžava svoje stanje ketanja/ketanja ili miovanja zovemo, tomost ili inecija. ustajnost Poučavajući Galileieva azmatanja, došao je Newton do svojeg pvog zakona/aksioma Svako će tijelo ostati u stanju miovanja ili jednolikog ketanja po pavcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne pomijeni. Pvi Newtonov aksiom se često zove i pincip inecije. Položaj tijela odeđujemo s obziom na neko dugo tijelo (okolinu) izboom efeentnog sistema/sustava. Pvi Newtonov zakon ne važi u svakom efeentnom sistemu. Sistemi u kojima važi pvi Newtonov aksiom su inecijalni sistemi/ sustavi; pihvaćanjem ovog aksioma oganičili smo se na opisivanje pojava u inecijalnim sustavima. Svaki sistem koji miuje ili se keće jednoliko po pavcu s obziom na neki inecijalni sistem opet je inecijalni sistem. Miovanje i jednoliko ketanje po pavcu avnopavni su. Tijelo koje u jednom inecijalnom sistemu miuje u dugom inecijalnom sistemu može miovati ili se ketatii jednoliko po pavcu. 3.3. Dugi Newtonov aksiom/zakon Dugi aksiom opisuje kako se ponaša tijelo kad na njega djeluje odeđena vanjska sila. Iz iskustva je poznato, a i bojni pokusi mogu potvditi, da je akceleacija tijela popocionalna sili i ima smje sile. Konstanta popocionalnosti između sile i akceleacije je masa tijela m: = m a (3.1) Masa je mjea za ineciju (tomost) tijela: što je masa tijela veća, to je za isto ubzanje potebna veća sila. Masa koja se pojavljuje u gonjoj elaciji naziva se, upavo zbog tog svojstva, tomom masom tijela. Ovu vezu između sile, mase i akceleacije zovemo dugi Newtonov zakon u neelativističkom obliku ili jednadžba ketanja. Napisan u ovom obliku. Newtonov aksiom vijedi u ganicama valjanosti Newtonove mehanike, tj. za bzine mnogo manje od bzine svjetlosti i zato se i zove neelativistički. Pomoću gonje jednadžbe možemo izvesti jedinicu za silu = m a = 1kg 1ms = 1kg ms = 1N [ ] [ ][ ] 14

Jedinica za silu je dakle 1 njutn (N). 1N je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubzanje od 1 m/s. Da bismo općenito fomiliali. Newtonov aksiom, potebno je definiati količinu ketanja/ketanja tijela (impuls tijela). To je vektoska veličina jednaka poduktu mase i bzine: p = m v (3.) Newtonova fomulacija dugog aksioma/zakona glasi: Bzina pomjene količine ketanja/ketanja popocionalna je sili i zbiva se u pavcu te sile: d m v dp = = (3.3) Ovako napisan. Newtonov aksiom vijedi i za velike bzine (upoedive s bzinom svjetlosti); zato se fomula (3.3) često zove elativistički oblik dugog Newtonovog aksioma. omula (3.3.) pelazi u (3.1.) u slučaju kad su bzine tijela malene u uspoedbi s bzinom svjetlosti (v << c). U tom slučaju masa tijela je konstantna, te je: d m v m dv = = = ma (3.3) Ova jednadžba pedstavlja difeencijalnu jednadžbu ketanja tijela, u kojoj je ezultanta svih inteakcija tijela mase m sa svim dugim tijelima, a a ubzanje tijela u odnosu na neki inecijalni sistem. Pvi i dugi Newtonov aksiom su neovisni je pvi konstatia svojstva tijela, a dugi kaakteizia ketanje tijela pod djejstvom sile. Jednadžba (3.3) pedstavlja dugi Newtonov zakon u vektoskom obliku. Odgovaajuće skalane jednadžbe su: x y z vx = m d = m d x y = m dv = m d y (3.5) dvz = = m d z Težina Težina tijela (G) je sila kojom tijelo djeluje na hoizontalnu podlogu ili na objesište u slučaju da je obješeno. Težina tijela uzokovana silom teže, usmjeena je vetikalno pema dolje i iznosi: G = m g (3.6) akceleacija sile teže. gdje je g 981,, 15

3.3. Teći Newtonov aksiom/zakon U pvom i dugom Newtonovom aksiomu govoi se o sili ili silama koje djeluju na odeđeno tijelo, ne vodeći ačuna o izvoima tih sila. Pošto sila u kajnjem slučaju kaakteizia inteakciju dva tijela, njihova uloga pi inteakciji se definia tećim Newtonovim zakonom/aksiomom koji glasi: Svakom djelovanju (akciji) uvijek je supotno i jednako potudjelovanje (eakcija). Djelovanja dvaju tijela jednog na dugo uvijek su jednaka i potivnog smjea. Teći Newtonov aksiom kao i pva dva potiče iz uopštavanja ekspeimentalnih činjenica. Na pimje, ako tijelo A (Zemlja) mase m A djeluje na tijelo B(kamen) mase m B, silom BA ct. 3.1., onda će i tijelo B djelovati na tijelo A silom AB pavcu a supotnog su smjea, pa se može napisati:. Ove sile su jednake po iznosu i BA = AB (3.7) (Jedna od ovih sila, ecimo BA, zove se akcija i njena napadana točka je u tijelu B (kamenu), odnosno sila BA napada tijelo B. Duga sila tj. AB zove se eakcija, njena napadna točka je u tijelu A Zemlji) koje napada. Koju, od pomenutih sila, ćemo nazvati akcijom a koju eakcijom sa fizičkog stanovišta je sasvim svejedno, je su obe bile iste piode. Pod dejstvom sila BA i AB, espektivno tijelo B i tijelo A mogu pomjeniti stanje ketanja (dinamičko djelovanje sile) ili pak izvšiti kakvu defomaciju svog oblika (statičko djejstvo sila). Ct. 3.1. Kaakteistike ketanja tijela pod djelovanjem sile odeđene su dugim Newtonovim aksiomom po kojem, u našem pimjeu, tijela dobivaju ubzanja: BA AB ab = i aa = m B m A dakle pema jednadžbi (3.7) dobivamo:; m A m B ab = m A aa ili ab m a = A B odnosno 16

B aa = m ab (3.8) m A Dakle, oba tijela mijenjaju stanje ketanja/ketanja (dobivaju ubzanja) zbog uzajamnog djelovanja, samo je ta pomjena, pema jednadžbi (3.8) obnuto popocionalna masi tijela. djelovati na stol silom Q čiji je pavac vetikalan a smje na niže (ka centu Zemlje). Napadna tačka sile Q će se nalaziti na stolu. S duge stane, stol će djelovati na uteg silom R čiji je pavac i iznos isti kao kod Na osnovu azmatanja sva ti Newtonova aksioma kao jedinstvene cjeline, za inecijalne sustave može se zaključiti slijedeće: svako ubzanje tijela uvjetovano je nekom silom. Svaka sila je mjea djelovanja nekih dugih tijela na uočeno tijelo i na kaju, sile imaju kaakte uzajamnog djelovanja. Aksiome koje je fomuliao Newton pedstavljaju uopštavanje iskustvenih činjenica koje su bile poznate i pije njega. Newtono-zasluga je u tome đto je on pokazao da se sva mehanička ketanja mogu opisati pomoću pomenuta ti aksioma, uzetih kao osnova mehanike, pa se često ta mehanika zove i Newtonova mehanika. 17