. (2.116) v r. Prvi član s desne strane (2.119) je jednak nuli iz razloga što su vektori v = i p kolinearni: r r r. r d L0 =. (2.

Transcript

1 48 DINAMIKA.9 Dinamika otacije.9. Momentna jednačina za mateijalnu tačku Posmatamo kivolinijsko ketanje mateijalne tačke, mase m, koja u datoj tački putanje ima bzinu v, vekto položaja u odnosu na efeentnu tačku O i na koju deluje ezultantna sila F ez kao na slici.8. Pomnožimo levu i desnu stanu j-ne ketanja vektoski s leve stane vektoom položaja: dp F ez =. (.6) v p L m F ez Definišimo novu fizičku veličinu koju ćemo nazvati moment M količine ketanja mateijalne tačke, u odnosu na efeentnu tačku O, na sledeći način: L = p. (.7) Pavac vektoa L je nomalan na avan u kojoj leže vektoi i p Slika.8 Uz izvođenje momentne j-ne, sme je u smeu penetacije desne zavojnice kada se okeće u smeu od vektoa ka vektou p, a intezitet je dat elacijom: L = p sin, p. (.8) ( ( )) Nađimo sada pvi izvod po vemenu izaza (.7): d L d d dp dp = ( p) = p + = v p +. (.9) d Pvi član s desne stane (.9) je jednak nuli iz azloga što su vektoi v = i p kolineani: d L dp =. (.) Na osnovu (.6) i (.) dobijamo: d L F ez =. (.) Definisaćemo novu fizičku veličinu koju ćemo nazvati moment sile (u našem slučaju ezultujuće sile) u odnosu na efeentnu tačku O na sledeći način: M ez = F ez. (.) ( ) Pincip odeđivanja pavca i smea vektoa M e ez je isti kao i kod vektoa L, a intenzitet je: M ez = F ez sin( (, F ez ). (.3) Iz (.) i (.) dobijamo da je moment ezultujuće sile jednak bzini pomene momenta količine ketanja: d L M ez =. (.4)

2 .9. II Njutnov zakon za otaciju mateijalne tačke Posmatamo otaciono ketanje mateijalne tačke, mase m, bzine v, po kužnici polupečnika R =. Moment količine ketanja mateijalne tačke u odnosu na efeentnu tačku O, koja se nalazi na osi otacije, je: = mv = m (. (.5) LO ) Pimenjujući jednakost iz vektoske analize: a b c = b ac c ab. (.P9) ( ) ( ) ( ) dobijamo da je: LO = m[ ( ) ( ) ]. (.6) Kako je = = + // i = cos ( α ) = // to je: [ = m // + ( // + ) ]. (.7) LO // Sada ćemo iskoistiti identitet: // = // ot( //) = // ot( //) = //.(.8) Iz (.7) i (.8) dobijamo: ( LO = m + m // ) = LO + L.(.9) O.9 Dinamika otacije 49 Vekto momenta količine ketanja možemo pedstaviti zbiom dve komponente: jedne u pavcu i smeu vektoa ugaone bzine-aksijalni moment količine ketanja ( LO ) i duge po pavcu, a supotnog smea u odnosu na vekto -centifugalni moment količine ketanja ( L ). O Ako se efeentna tačka izabee u centu kužne putanje O C, tada je = // LO =. U tom slučaju je: LC = LC = m. (.3) Iz momentne jednačine za mateijalnu tačku sledi: d L ( m c d M Cez = = ). (.3) Moment inecije mateijalne tačke je I = m, tako da je: di d M Cez = + I. (.3) Kako se otacija vši po kužnici konstantnog polupečnika i ako se masa mateijalne tačke ne menja, moment inecije mateijalne tačke je konstantan i dobija se: d M Cez = I = I α. (.33) Izaz (.33) pedstavlja II Njutnov zakon za otaciju. LO C // LO LO α O Slika. Rotaciono ketanje mateijalne tačke m v

3 5 DINAMIKA.9.3 Zakon odžanja vektoa momenta količine ketanja Ako je ezultantni moment spoljašnjih sila jednak nuli onda se ketanje mateijalne tačke odvija tako da joj je moment količine ketanja u vemenu nepomenljiv: d LO M Oez = = LO = const. (.34) Kao pime zakona navešćemo ketanje Zemlje oko Sunca. Putanja Zemlje je eliptična, a u jednoj od žiža nalazi se Sunce (vidi sl..p). Zemlja se keće pod dejstvom gavitacione sile Sunca. Kako je gavitaciona sila konzevativna onda je ona centalno-adijalna. M Oez = F g ms m = -γ = Z = ms m γ Z. (.P) Vektoski poizvod dva kolineana vektoa jednak je nuli. Pošto je moment ezultujuće spoljašnje sile jednak nuli vekto momenta količine ketanja Zemlje pi evoluciji oko Sunca odžava se konstantnim u vemenu = const LS. (.P).9.4 Rad i snaga pi otacionom ketanju Posmatamo otaciju mateijalne tačke, ugaone bzine, kao na slici.. lementani ad nad česticom pod dejstvom ezultujuće sile je: daez = F ez ds. (.35) Kako je ds d = v i v = to (.35) možemo napisati u obliku: daez = F ez ( ). (.36) Uzimajući u obzi osobinu mašovitog poizvoda vektoa: a b c = c a b = b c a, (.P) ( ) ( ) ( ) v Z F g Slika.P Revolucija Zemlje oko Sunca O F ez ds Slika. Uz ad i snagu pi otacionogm ketanju m.t. (.36) možemo pisati u obliku: daez = F ez = M Oez. (.37) gde je M Oez moment, u odnosu na efeentnu tačku O, ezultujuće sile koja deluje na mateijalnu tačku. Kako je vekto elementanog pebisanog ugla dθ =, (.37) možemo napisati u obliku: daez = M Oez dθ. (.38) Izaz za konačni ad pi otaciji mateijalne tačke iz položaja u dobijamo integacijom (.38): θ θ Aez = M Oez dθ = M Oez cos( ( M Oez, dθ ) dθ. (.39) Kako snaga pedstavlja bzinu všenja ada: θ θ S

4 3. Lineani hamonijski oscilato 5 ( M Oez) = M d Aez d P = = Oez. (.4) Izazi za ad i snagu pi otaciji kutog tela su identični samo što u tom slučaju M Oez pedstavlja sumu momenata, u odnosu na efeentnu tačku O, spoljašnjih sile koje deluju na kuto telo..9.5 Kinetička enegija otacije Kinetička enegija otacije mateijalne tačke, mase m, je: m v m kot = = v v m m = v ( ) = ( v). (.47) = ( m v) = LO O m v Slika. Uz kinetičku enegiju otacije kutog tela Pedstavljajući moment količine ketanja peko aksijalne i centifugalne komponente dobijamo: ( + ) kot = LO LO. (.49) = LO + LO Kako su i LO kolineani vektoi, a i L O uzajamno nomalni vektoi to je: = LO I. (.5) kot = 3. Mehaničke oscilacije Spadaju u gupu opštih peiodičnih ketanja, koja se odvijaju u oganičenom delu postoa po tajektoiji koja se ponavlja nakon odeđenog vemena-peioda ketanja. Tajektoija leži u jednoj avni i na njoj moa postojati tačka simetije (vidi sl.3.). 3. Lineani hamonijski oscilato (LHO) Slika 3. Tačke simetije na tajektoiji oscilatonih ketanja Telo koje vši ketanje po zakonima pavolinijskog ketanja (otud naziv lineani), a bzina, ubzanje i lučna koodinata mu se menjaju po hamonijskim zakonima (otud naziv hamonijski). Posmatamo jednodimenzionalno ketanje tela, duž pavca ose, koje se nalazi u fizičkom polju i ima potencijalnu enegiju p ( ). Kog oblika moa biti potencijalna enegija da bi se telo ponašalo kao LHO? Potencijalna enegija moa u tački simetije moa imati minimalnu vednost. Uzmimo da je tačka simetije = i da je ta minimalna vednost jednaka nuli. To možemo uaditi je poizvoljno biamo efeentni nivo potencijalne enegije. Kako je u tački simetije minimum

5 5 3 MHANIČK OSCILACIJ potencijalne enegije to pvi izvod potencijalne enegije po koodinati u tački simetije moa imati vednost nula. Osim toga dugi izvod potencijalne enegije u tački simetije moa imati vednost veću od nule. Dakle, imamo sledeću situaciju: d d d d p p p ( = ) =, / = = i / > =. (3.) Razvijanjem potencijalne enegije u Tejloov ed u okolini tačke simetije ( = ) dobijamo: 3 3 d p d p d p p ( ) = p ( = ) + / = + / = + / = + K 3 (3.)! d! d 3! d Zadžavanjem pva ti člana u azvoju u ed i uzimanjem u obzi (3.) dobijamo potencijalnu enegiju u obliku: p d =, (3.3)! d p ( ) / = k d p gde je k pozitivna konstanta vednosti k = / > =. d Dobili smo oblik funkcije koji teba da ima potencijalna enegija da bi se telo kada se nađe u potencijalnom polju ketalo kao LHO. Konzevativna sile, koja deluje na telo, oblika je: d p F kon = i = k i. (3.4) d Ova sila se naziva estituciona, stoga ćemo je obeležavati kao F es, ili kvazielastična (iz azloga što smo izaz za potencijalnu enegiju apoksimiali). Ona deluje po pavcu ketanja, intezitet joj je popocionalan astojanju tela oačke simetije (avnotežnog položaja), a sme joj je takav da teži vaćanju tela u avnotežni položaj. Napišimo sada II Njutnov zakon za ketanje tela koje je izloženo dejstvu estitucione sile: ma = F es. (3.5) Kako se ketanje vši duž pavca ose (3.5) svodi se na: d m i = k i. (3.6) Skalanim množenjem leve i desne stane (3.6) otom i i deljenjem sa masom tela m dobijamo homogenu difeencijalnu jednačinu II eda sa konstantnim koeficijentima: d k + =. (3.7) m Uvođenjem konstante = k m koju nazivamo kužna fekvencija (teba uočiti da to nije ugaona bzina) pethodna j-na dobija oblik: Teba naći vemensku zavisnost ( t) obliku: d + =. (3.8) = koja zadovoljava (3.8), a koju možemo napisati u d d + =. (3.9)

6 Množenjem leve i desne stane sa pomeajem tela odnosno, Integacijom (3.) dobijamo: Množenjem (3.) sa masom tela m : 3. Lineani hamonijski oscilato 53 d dobijamo: Odakle dobijamo da je mehanička enegija tela konstantna: d d d + d =, (3.) v dv + d =. (3.) v + = C, C = const. (3.) m v + m = mc. (3.3) k p = k + p mc, (3.4) meh = što je i posledica toga što na telo deluje samo konzevativna sila. Iz (3.3) dobijamo izaz za bzinu: v = C =. (3.5) C Uvođenjem smene = C (3.5) svodi se na: v =. (3.6) (3.6) definiše oblast u kojoj se telo keće. Bzina ima fizički smisao kada je potkoena veličina veća ili jednaka nuli, odnosno. Iz tog azloga opavdano je uvesti smenu: = sinϕ, (3.7) odakle dobijamo: ( t) ( ϕ( t) ) = sin. (3.8) Sada teba naći zavisnost ϕ = ϕ() t. Nađimo pvi izvod po vemenu (3.8): Iz (3.6), (3.8) i (3.9) dobijamo: odnosno: Integacijom (3.) dobijamo izaz: ( t) d ( t) dϕ = cos( ϕ() t ). (3.9) dϕ ( sin ( ϕ() t )) = cos( ϕ() t ), (3.) ( t) ( t) dϕ =. (3.) ( ) = t ϕ t. (3.)

7 54 3 MHANIČK OSCILACIJ Iz (3.8) i (3. ) dobijamo taženo ešenje difeencijalne jednačine (3.8): ( t) = ( t ϕ ) sin +. (3.3) Fizička veličina ϕ () t naziva se faza. To je bezdimenzionalna fizička veličina koja na implicitan način definiše položaj oscilatoa. ϕ pedstavlja vednost faze u tenutku t = i naziva se početna faza, = ma pedstavlja maksimalnu vednost koodinate, odnosno maksimalno udaljenje tela od avnotežnog položaja i naziva se amplituda. Nadalje u izazima za elongaciju umesto pisaćemo ma. () t je tenutna udaljenost tela od avnotežnog položaja i naziva se elongacija. Izaz za bzinu tela dobijamo nalaženjem pvog izvoda po vemenu izaza za elongaciju u (3.3): () t d v() t = = vma cos( t ) = vma sin( t + π ), (3.4) gde je v ma = ma. Bzina fazno pednjači u odnosu na elongaciju za ugao π. Izaz za ubzanje dobijamo nalaženjem pvog izvoda bzine po vemenu: () t dv a () t = = ama sin( t ) = ama sin( t + π ), (3.5) gde je a ma = vma = ma. Ubzanje fazno pednjači u odnosu na elongaciju za ugao π. Jedna oscilacija je deo ketanja pi kome telo, polazeći iz odeđenog položaja, dva puta pođe koz avnotežni položaj, dva puta dođe u amplitudni položaj i ponovo dođe u početni položaj. Veme tajanja jedne oscilacije ili peiod ketanja dobijamo iz j-ne (3.3). U tenutku t telo se nalazi u položaju: i nakon jedne oscilacije u tenutku t ( ) ( ϕ ) t, (3.6) = ma sin t + ponovo se nađe u istom položaju: ( ) = ( ) ( ) t ma sin t = t. (3.7) Kako je sinusna funkcija peiodična f-ja, sa peiodom π to iz (3.7) sledi: Veme tajanja jedne oscilacije T t + π = t. (3.8) = t t dobijamo iz (3.8): π T =. (3.9) Fekvencija oscilovanja definiše se kao boj oscilacija u jedici vemena. Ako se n za veme τ = nt, onda je fekvencija: jedinica za fekvenciju u SI je Hec [ ] oscilacija desi n n υ = = =. (3.3) τ nt T H z, H z = s. Iz (3.9) i (3.3) dobijamo vezu između kužne fekvencije i fekvencije: = π υ. (3.3) Ako υ shvatimo kao polupečnik ecipoočne vednosti vemenskog intevala, onda analogno sa obimom kuga, nazivamo kužnom fekvencijom. Kinetičku enegiju tela pi oscilatonom ketanju dobijamo iz (3.4):

8 k 3. Lineani hamonijski oscillato 55 cos ). (3.3) 4 () t = m () t = m ( t ) = m [ + cos( t + ϕ ] v Potencijalnu enegiju tela pi oscilatonom ketanju dobijamo iz (3.3): p sin ). (3.33) 4 () t = k () t = m ( t ) = m [ cos( t + ϕ ] Kao što vidimo kinetička i potencijalna enegija imaju dvostuko veću vednost kužne fekvencije od elongacije, bzine i ubzanja. Ukupna enegija ima konstantnu vednost: + = m const. (3.34) meh = k p = Ovakav tip oscilacija s konstatnom mehaničkom enegijom, odnosno amplitudom oscilovanja, nazivaju se nepigušene oscilacije. 3.. Peiod oscilovanja matematičkog klatna Telo značajne mase ali zanemaljivo malih dimenzija, tako da ga možemo smatati mateijalnom tačkom, obešeno o lak, neistegljiv konac dužine l, zanemaljive mase u odnosu na masu tela, koje osciluje u vetikalnoj avni nazivamo matematičkim klatnom. Kada se telo izvede iz avnotežnog položaja za mali ugao (između i 5 ) i pusti započeće hamonijsko oscilatono ketanje pod uticajem gavitacione sile Zemlje. Položaj tela tokom ketanja odeđen je ugaonom koodinatom θ (vidi slike 3. ). II Njutnov zakon za otaciju je C M = Iα θ l Cez. (3.36) T τ Rezultujuća spoljašnja sila je: n e F ez = F g + T, (3.37) n a ezultujući moment u odnosu na tačku C: F g M Cez = l n F ez = l n ( F g + T ). (3.38) Slika 3. Matematičko klatno Kako je T = T n gonju j-nu možemo napisati u obliku: M Cez = l n F g l n T n. (3.39) Dugi član s desne stane jednak je nuli je imamo vektoski poizvod dva kolineana vektoa. n F g = n F g sin( π θ ) e = mg sinθ e. (3.4) Iz (3.39) i (3.4) dobijamo da je moment ezultuluće spoljašnje sile u odnosu na tačku C : = lmg sinθ e. (3.4) M Cez Moment inecije matematičkog klatna u odnosu na tačku C je: Ugaono ubzanje možemo napisati u obliku: I = ml. (3.4) d θ α = e. (3.43)

9 56 3 MHANIČK OSCILACIJ Iz (3.4)-(3.43) dobijamo homogenu difeencijalnu j-nu dugog eda sa konstantnim koeficijentima oblika: d θ g + sinθ =, (3.44) l koja ne liči na jednačinu koja opisuje ketanja LHO. Međutim, kako su uglovi maksimalnog otklona veoma mali (petpostavka s početka azmatanja) možemo smatati da je sin θ θ. Tako da (3.44) popima oblik: d θ g + θ =, (3.45) l koji opisuje ketanje LHO. Na osnovu (3.45) dolazimo do zaključka da je: i da se ugaona koodinata menja po zakonu: = g l T = π l g, (3.46) ( ) = ( t ϕ ) gde je θ ma najveći ugaoni otklonod vetikalnog položaja. Kinetička enegija otacije matematičkog klatna je: θ t θ ma sin +, (3.47) d θ k = I = ml θ ( ϕ ) ( θ θ ma cos t + = mgl ma ). (3.48) Gavitaciona potencijalna enegija matematičkog klatna je: p = mgh, (3.49) gde je h visina u odnosu na avnotežni položaj koji uzimamo za nulti nivo potencijalne enegije. Sa slike 3. vidimo da je: θ mali ugao θ cos ( cos ) θ h = l l θ = l θ = l sin l. (3.5) Iz (3.49) i (3.5) dobijamo pibližni izaz za potencijalnu enegiju: mgl Mehanička (ukupna) enegija matematičkog klatna je: p θ. (3.5) meh = k + p = mglθ ma = const. (3.5) 3.. Peiod oscilovanja tozionog klatna Telo koje može da vši oscilatono ketanje u hoizontalnoj avni usled elastičnih svojstava vetikalno postavljene žice, koja je jednim kajem pičvšćena za njega, a dugim za oslonac, naziva se toziono klatno. Ako telo zaotiamo za izvestan ugao dolazi do uvijanja žice u kojoj se, usled elestičnih svojstava, javlja moment tozije koji se supostavlja uvijanju. Ako ugao uvijanja nije velik tako da se nalazimo u ganicama elastičnosti onda je intenzitet tozionog momenta popocionalan uglu uvtanja. Za slučaj kao na sl.3.3 moment tozije je: θ e Slika 3.3 Toziono klatno

10 3. Lineani hamonijski oscilato 57 M to = cθ e, (3.53) gde je c koeficijenat tozije za mateijal žice.ubacivanjem (3.53) u II Njutnov zakon za otaciju dobijamo: odnosno: Rešenje (3.55) je oblika: gde je: d θ θ e = I, (3.54) c d θ c + θ =. (3.55) I ( ) = ( t ϕ ) θ t θ ma sin +, (3.56) = c I T = π I c. (3.57) Kinetička enegija otacije tozionog klatna je: dθ k = I = I θ ma cos ( t ) = cθ ma cos ( t ). (3.58) Kako je moment tozije popocionalan uglu uvijanja i teži da vati telo u avnotežni položaj, na osnovu analogije sa estitucionom silom koanslatonog ketanja, gde je p = k, dolazimo do izaza za potencijalnu enegiju elastične defomacije: p = cθ = cθ ma sin ( t ). (3.59) Mehanička enegija tozionog klatna je: = k + p c θ ma. (3.6) meh = 3..3 Peiod oscilovanja fizičkog klatna Kuto telo poizvoljnog oblika koje vši oscilatono ketanje oko fiksne hoizontalne ose usled dejstva gavitacione sile naziva se fizičko klatno. Matematičko klatno pedstavlja idealizovan slučaj fizičkog klatna. Kuto telo osciluje oko ose koja polazi koz tačku O i nomalna je na avan cteža (vidi sliku 3.4 ). II Njutnov zakon za otaciju kutog tela na slici 3.4 glasi: O ( ) e M Oez = s F g = I Oα, (3.6) s C θ e gde je I O moment inecije tela u odnosu na osu otacije.ako je I C moment inecije tela u odnocu na osu koja polazi koz centa mase tela (tačka C ) i koja je paalelna osi otacije onda je po Štajneovoj teoemi: F g gde je m I O = I C + m s, (3.6) masa tela, a s astojanje centa mase od ose otacije. Iz (3.6) sledi: Slika 3.4 Fizičko klatno

11 58 3 MHANIČK OSCILACIJ odnosno: Za male maksimalne uglove otklona klatna d θ smg sinθ e = I O e, (3.63) d θ smg + sinθ =. (3.64) I O sin θ θ dobija se: odakle zaključujemo da je peiod oscilovanja fizičkog klatna: d θ smg + θ =, (3.65) I O ( ) mgs T = π = π I mgs = π I C + m s. (3.66) 3..4 Telo obešeno o elastičnu opugu koja osciluje u vetikalnoj avni U položaju () opuga je neopteećena i stoga nedefomisana. Njen donji kaj nalazi se u položaju definisanom koodinatom =. Opugu opteetimo telom mase m i usled toga opuga će se izdužiti za st, odnosno dolazi u novi položaj statičke avnoteže (položaj () na slici 3.5). Ulogu estitucione sile ima elastična sila opuge, intenziteta: k F el =, (3.67) gde k pedstavlja kutost opuge ([] k = N m ). U položaju (), gde telo miuje: F g = F es mg = k st, (3.68) Iz (3.68) dobijamo: mg st =. (3.69) k U položaju () dodatnom silom delujemo na opugu, istegnemo je i pustimo. U poizvoljnom položaju napišemo II Njutnov zakon smatajući da masu opuge možemo zanemaiti u odnosu na masu tela: d m i = ( mg k) i, (3.7) odakle dobijamo: d k + = g. (3.7) m Dobili smo nehomogenu difeencijalnu jednaččinu II eda sa konstantnim koeficijentima. Svodimo je na homogenu jednačinu na sledeći način: d k mg + =, (3.7) m k i st ( ) ( ) ( 3) F es F g Slika 3.5 Oscilovanje tela obešenog o opugu u vetikalnoj avni

12 ili uzimajući u obzi (3.69) i definiciju kužne fekvencije: 3. Pigušene oscilacije 59 d + st ( ) d d ( ) ( ) = d st st d Kako je st = const = =. Iz goe navedenog azloga (3.73) možemo napisati u obliku: d ( ) Rešenje ove difeencijalne j-ne nam je poznato: odnosno:. (3.73) st + ( ) = st. (3.74) ( t ϕ ) st = ma sin +, (3.75) ( ϕ ) = st + ma sin t +. (3.75a) Telo obešeno o elastičnu opugu vši hamonijske oscilacije oko novog položaja statičke avnoteže čiji je položaj definisan sa st. Pi koišćenju Zakona odžanja enegije u izazu za potencijalnu enegiju teba uzeti zbi gavitacione potencijalne i potencijalne enegije elastične defomacije: meh = mv = k mg + const. (3.76) Za telo okačeno o elastičnu opugu koje osciluje u houzontalnoj avni na čvstoj podlozi jednačina ketanja je oblika = ma sin ( t ). U avni nomalnoj na pavac ketanja deluju gavitaciona sila i sila eakcije podloge koje su iste po intezitetu tako da je =. 3. Pigušene oscilacije Kod idealnog hamonijskog oscilatoa zan i smo uticaj otponih sila sedine koje pouzokuju da amplituda oscilatoa postepeno, tokom oscilovanja, opada ka nultoj vednosti. U većini slučajeva otpona sila sedine je diektno popocionalna bzini tela, a po smeu se supostavlja ketanju tela. II Njutnov zakon u tom slučaju je oblika: gde je b = const. Gonju j-nu možemo napisati u obliku: d = k bv, (3.77) d d + α + =, (3.77a) gde je α = b m = const. Rešenje ove difeencijalne j-ne taži se u obliku: ( t) A e Uvštavanjem (3.78) u (3.77a) dobijamo kvadatnu jednačinu oblika: čija su ešenja: st =. (3.78) s + αs + =, (3.79) α s, = ± α. (3.8) st

13 6 3 MHANIČK OSCILACIJ Razlikovaćemo ti slučaja: ) α < b < km U ovom slučaju dobijamo konjugovano-kompleksna ešenja: s = α ± j α, j =. (3.8), Ubacivanjem (3.8) u (3.78) i nakon izvesnih algebaskih tansfomacija ešenje se dobija u obliku: ( ) αt ( t) = Ce sin( t ϕ ) +, (3.8) v+ α + gde je C =, = α, v = v( t = ), = ( t = ) i ϕ = acsin. C Izaz u (3.8) opisuje kvazi-peiodično ketanje (vidi sliku 3.6a ). U slučaju da je pigušenje beznačajno b α kvazi-peiodično ketanje se svodi na ketanje LHO. Odnos dveju uzastopnih amplituda definiše stepen pigušenja. Neka se telo u tenutku t nađe α t α t amplitudnom položaju ( t) = C e sin( t ) = C e. U tenutku t = t + T amplituda α t α ( t +T ) iznosi ( t) = C e sin( t ) = C e. Stepen pigušenja je: ( t ) ( ) αt t Logaitamski dekement pigušenih oscilacija definišemo kao: ( t ) ( ) = e. (3.83) ( e T ) T α δ = ln = ln = α. (3.84) t Fakto amotizacije (fakto dobote) definišemo kao ecipočnu vednost elativne pomene enegije osilatoa u toku jedne oscilacije: Δ Q = = Kako su enegije oscilatoa i enegije u amplitidskim položajima to je: Iz (3.85) i (3.86) dobijamo: = k ( ) i k ( ) t ( t) ( ) =. (3.85) = t. (3.86) α = = ( e ). (3.87) t Q T Za mala pigušenja kada je αt b α e <<, koisteći apoksimaciju + e +, za dobijamo: Q =. (3.88) α T δ

14 ) α > b > km Rešenje (3.77) u ovom slučaju je oblika: t () t = Ce + C e s t s. (3.89) Ovo je slučaj apeiodičnog ketanja koji nije od velikog inteesa za nas. 3.3 Pinudne oscilacije 6 T = e αt π e αt t Slika3.6b Apeiodično ketanje t Slika 3.6a Kvazipeiodično ketanje 3) α = b = km Rešenje (3.77) u ovom slučaju je oblika Ovo je slučaj kitičnog amotizovanog ketanja. t ( t) ( t) Sl.ika.6c Kitično amotizovano ketanje = e α A + A. (3.9) 3.3 Pinudne oscilacije Realni oscilato može se odžavati u stanju oscilovanja (a to je i potebno) pomoću spoljašnje peiodične sile oblika: ( t) F = F sin. (3.9) U tom slučaju II Njutnov zakon napisan za ealni oscilato ima oblik: odakle dobijamo: d P P d = k bv + F, (3.9) d F P α + = sin( P t). (3.93) m + Rešenje tažimo u obliku () t () t ( t) odnosno: =, gde je homogeni deo ešenje j-ne: h + d h a patikulani deo je ešenje jednačine: odnosno: d p dh α + =, (3.94) + h αt ( t) = sin ( t ) h C e, (3.95) d p F P α + p = sin( P t), (3.96) m p + ( t) = Asin( t ) p P +θ. (3.97) t

15 6 3 MHANIČK OSCILACIJ U stacionanom ežimu ada (posle dovoljno dugog vemena popima nultu vednost tako da je: () t = ( t) = Asin( t ) t ) homogeni deo ešenja p P +θ. (3.98) Vaćanjem (3.98) u (3.93) i izjednačavanjem članova s leve i desne stane uz sin( P t) cos( t) dobijamo sledeće izaze za amplitudu i početnu fazu: P i A = F, (3.99) m ( ) ( Pb m + P) b θ = actg. (3.4) k P + m P Analiziaćemo ti katakteistična slučaja. ) Ako je postopeiodična sila slabo pomenljiva, odnosno P veoma mala, u tom slučaju je >>, i za mala pigušenja b iz (3.99) dobijamo da je: P F A = m F k. (3.4) Spoo pomenljiva sila samo izbacuje oscilato iz avnotežnog položaja i on započinje ketanje kao LHO date amplitude i kužne fekvencije. ) Za veoma bze pomene postopeiodične sile, odnosno za velike vednosti P, dobijamo: A F. (3.4) m U ovom slučaju inecija oscilatoa dolazi do izažaja i iz tog azloga je amplituda obnuto sazmena masi oscilatoa. 3) = P ezonancija F A =. (3.43) b P Pi malim pigušenjima ( b ) amplituda popima ogomne vednosti što može dovesti do peteanog napezanja mateijala oscilatoa i dovesti do neželjenih posledica. P