MEHANIKA-V. Inercijalni i neinercijalni sistemi reference

Transcript

1 4 MEHANIKA-V Inecijalni i neinecijalni sistemi efeence Fomulišući I Njutnov zakon ( Zakon inecije) koistili smo pojmove kao što su miovanje ili avnomeno ketanje Postavlja se pitanje koliko je opavdano koistiti ove pojmove pošto smo svesni da se sva tela u piodi keću i da se čak planeta Zemlja keće ubzano, pa samim tim i sva tela koja su na Zemlji Za azliku od Njutna koji je koistio pojmove kao što su apsolutni posto i veme i apsolutno ketanje kao pomena apsolutnog položaja, mi znamo da se u ealnom svetu pomena položaja tela (ketanje) može odediti samo u odnosu na neko dugo mateijalno telo Svako od njih možemo poglasiti za nepoketno i za njega vezati koodinatni sistem koji će onda biti nepoketan, a u odnosu na njega tela će miovati, avnomeno ili ubzano se ketatati Inecijalni sistem efence Možemo eći i da kaakte ketanja tela zavisi od kaaktea ketanja posmatača Pvi Njutnov zakon ne daje dovoljno infomacija o tome u odnosu na koji koodinatni sistem će telo, ako na njega ne deluju sile, po ineciji miovati ili se avnomeno pavolinijski ketati Naime, ketanje koje je avnomeno pavolinijsko u odnosu na jedan koodinatni sistem, može biti ubzano u odnosu na dugi sistem (koji se keće nekim ubzanjem u odnosu na pvi) To znači da I Njutnov zakon važi samo za specijalnu gupu koodinatnih sistema i da ne važi uvek Sistem za koji važi I Njutnov zakon naziva se inecijalni sistem efeence, a onaj za koji nije ispunjen ovaj zakon je neinecijalni sistem efeence Ekspeimentalnim putem je pokazano da se inecijalnim sistemom može smatati heliocentični sistem, koodinatni sistem u čijem je centu Sunce, a ose su, na odgovaajući način, upavljene pema dalekim zvezdama Inecijalnih sistema efeence može biti beskonačno mnogo, je svaki sistem koji se keće avnomeno pavolinijski (ili miuje) u odnosu na inecijalni sistem je, takođe, inecijalni sistem Poveimo da li je to tako Na slici je pikazan koodinatni sistem K (xoy) i koodinatni sistem K ( x Oy ) koji se keće u odnosu na sistem K, konstantnom bzinom v 0 y K y K v 0 M v 0 v v Posmatajmo tačku M koja se keće bzinom v u odnosu na koodinatni sistem K Njena bzina u odnosu na koodinatni sistem K pedstavlja vektoski zbi bzine v i v 0, tj: x v v + v0 v v v 0 ( ) o Pošto je v 0 const (kako smo petpostavili), onda je i x v const, ako je v const o odnosno: ako se tačka M keće avnomeno pavolinijski i u odnosu na sistem K Dugim ečima, ako je sistem K inecijalni, onda je i sistem K inecijalni sistem efeence

2 5 Ako bzina tačke M nije konstantna u odnosu na inecijalni sistem efeence K, onda tačka ima ubzanje i u odnosu na inecijalni sistem efeence K, pi čemu je: dv dv dv0 + a a, ( ) dt dt dt dv je je 0 0 (sistem K se keće avnomeno u odnosu na K) dt Znači da će tačka M imati isto ubzanje i za posmatača u sistemu K i za posmatača u sistemu K, pa se kaže da je ubzanje invaijantno u odnosu na izbo inecijalnog efeentnog sistema Navedimo, bez dokaza, osobine još nekih fizičkih veličina u inecijalnim sistemima efeence: U svim inecijalnim sistemima veme teče jednako Masa tela je konstantna i ne zavisi od izboa koodinatnog sistema i u svim inecijalnim sistemima je jednaka Rastojanje između dve tačke posmatano u istom tenutku iz dva inecijalna sistema efeence je jednako Relativna bzina dve tačke meena u istom tenutku je ista u svim inecijalnim sistemima efeence Množenjem izaza ( ) masom (koja je ista u svim inecijalnim sistemima) zaključujemo da sile uzajamnog dejstva dva ili više tela (ili fizičkog polja i tela) takođe ne zavise od izboa inecijalnog sistema efeence, što znači da su svi zakoni dinamike jednaki u svim inecijalnim sistemima Poslednji zaključak možemo pefomulisati na način da se ketanje nekog tela u sistemu efeence koji miuje odvija na isti način kao da se taj sistem keće avnomeno pavolinijski, pa, dakle, ne postoji način da pomoću nekog ekspeimenta utvdimo da li sistem miuje ili se avnomeno pavolinijski keće Tako dolazimo do fomulacije poznate pod nazivom Galilejev pincip elativnosti: Svi inecijalni sistemi su ekvivalentni i u njima su zakoni dinamike jednaki Ma koji od njih možemo smatati da je u miu, a da se svi ostali keću u odnosu na njega avnomeno pavolinijski Neinecijalni sistem efence y y j O i O i i slike vidimo da je: K K j j M xx + OO + v0t + Posmatajmo dva koodinatna sistema, K i K, za koje važi da je u početnom tenutku, t0: O O i v0 v0i je početna bzina sistema K u odnosu na sistem K Ako se sistem K keće pavolinijski avnomeno ubzano (ubzanjem a0 ) u odnosu na K, u nekom poizvoljnom tenutku biće: 1 OO ( v0 t + a0t ) i Neka su i, adijus vektoi položaja tačke M u sistemu K i K, edom Onda, sa 1 a t 0 i

3 6 Difeencianjem po vemenu ovog izaza dobijamo vezu između bzine tačke M meene iz sistema efeence K ( v ) i bzine te tačke u odnosu na sistem K ( v ): v v + ( v0 + a0t) i Ponovnim difeencianjem po vemenu, dobija se: a a + a 0 Dakle, možemo eći da ubzanje nije invaijantno u odnosu na neinecijalni sistem efeence, a nakon množenja gonjeg izaza masom jasno je da ni sila nije invaijantna u odnosu na neinecijalni sistem efeence: F F + ma0 F F ma 0 To znači da za posmatača u neinecijalnom sistemu efeence osim sila koje su posledica inteakcije tela sa dugim telima ( F ), postoji još neka sila koja nije uzokovana delovanjem nekog dugog tela, već ketanjem samog efeentnog sistema Iz gonjeg izaza vidimo da telo ima ubzanje u odnosu na neinecijalni sistem efeence čak i kada je suma svih sila koje deluje na njega jednaka nuli i kada se ono, zbog toga, keće avnomeno pavolinijski u odnosu na inecijalni sistem efeence Zato uvođenjem nove fizičke veličine inecijalne sile, oblika: F i ma 0 definišemo II Njutnov zakon za neinecijalne sisteme kao: F F + F i Da zaključimo: Pi opisivanju ketanja tela u neinecijalnim sistemima efeence možemo se služiti jednačinama dinamike, koje su ispavne samo za inecijalne sisteme, ako upoedo sa silama koje su uzokovane delovanjem dugih tela ili polja, uzmemo u obzi i tzv inecijalne sile Inecijalne sile su jednake poizvodu mase tela i sa obnutim pedznakom uzetom azlikom ubzanja koje telo ima u odnosu na inecijalni i neinecijalni sistem efeence Pime 1 y a0 a K K K K N 1 N N a x O Devojčica mase m50 kg stoji u kabini lifta, na platfomi na kojoj je moguće očitavati vednost sile kojom platfoma deluje na devojčicu (N) Podsetimo se anijeg tvđenja, da je masa invaijantna na izbo koodinatnog sistema i da ne zavisi od dejstva bilo koje sile na telo Tako

4 7 devojčica ima istu masu na tlu, u liftu koji se keće, na Mesecu ili Masu, svejedno Ono što nije isto su zakoni dinamike, pa će tako očitavanje na platfomi zavisiti od stanja ketanja lifta Takođe je jasno da će i devojčica, koja se nalazi u liftu i dečak, koji je van lifta (posmatača iz inecijalnog sistema efeence, K, vezanog za zemlju) očitati istu vednost sa platfome Različito je i njihovo objašnjenje tog očitavanja Neka se, u pvom slučaju kabina lifta ne keće, ili ako se keće, neka je to ketanje avnomenom bzinom u odnosu na dečaka (sistem K) Na devojčicu deluje sila Zemljine teže, vetikalno nadole i sila kojom platfoma deluje vetikalno na goe Dečak piše jednačinu ketanja devojčice na sledeći način: ma 0 N1 mg N1 mg Uzmemo li da je ubzanje Zemljine teže g98 m/s, dobijamo da se na platfomi očitava sila od N1 490N Devojčica se, sa duge stane, nalazi u stanju miovanja u odnosu na kabinu lifta (sistem K ), pa jednačine koje ona piše imaju isti oblik i daju isto, očekivano, ešenje U dugom slučaju, kabina lifta se penje ubzanjem a a j u odnosu na sistem K Dečak piše jednačinu ketanja devojčice koja se od njega udaljava (zajedno sa liftom, ubzanjem a) u obliku: ma N mg N ma + mg m( a + g) Ako je ubzanje lifta, np m/s, dobijamo da je N 640N Isto očitavanje platfome vidi i devojčica i, pošto zna da je sila kojom platfoma deluje na nju jednaka sili kojom je pitisnuta platfoma, ostaje joj da poveuje da se odjednom ugojila ili da m ponađe objašnjenje Jednostavnim ačunom ona uviđa da azlika iznosi 150N 50kg s Dakle, kao da je neka dodatna sila delovala na platfomu (u smeu supotnom od smea ubzanja lifta) i to sila koja je po intenzitetu jednaka poizvodu mase devojčice i ubzanja lifta Dakle, jednačina ketanja koju će napisati devojčica, kao posmatač iz neinecijalnog sistema efeence (K ) vezanom za lift, azlikovaće se od jednačine koju je napisao dečak, je sadži još jednu, inecijalnu silu Pošto se njen položaj ne menja u odnosu na kabinu lifta, suma svih sila koje na nju deluju moa biti jednaka nuli, tj: 0 N mg Fi N mg ma N m( g + a) Neka se, sada, kabina lifta spušta ubzanjem a a j, i neka je vednost tog ubzanja m/s Devojčica se pibližava dečaku ubzanjem a i on piše jednačinu ketanja u obliku (obati pažnju na oijentaciju y ose u sistemu K): ma N mg N m( g a) što, nakon poačuna odgovaa očitavanju sa platfome od 40N Devojčica (posmatač iz neinecijalnog sistema efeence, čiji se položaj nije pomenio u odnosu na kabinu lifta) veuje da se pokazivanje platfome može objasniti delovanjem inecijalne sile, čiji je intenzitet jednak poizvodu mase i ubzanja lifta, a sme supotan smeu ubzanja lifta, pa ona piše jednačine u obliku: 0 N + Fi mg N + ma mg N m g a ( ) Postavimo, na kaju, i jedno, pomalo, mobidno pitanje: Šta bi pokazivala platfoma kada bi se pekinula sajla kojom je vezana kabina lifta i kada bi lift počeo slobodno da pada? Odgovo je jasan, imajući u vidu izaze za N Pošto bi se kabina lifta tada spuštala ubzanjem a g, zamenom u gonji izaz dobijamo da bi platfoma pokazivala N0, što odgovaa tzv bestežinskom stanju

5 8 Potpuno istu analizu bismo mogli spovesti i u slučaju lifta za čiju tavanicu je učvšćena opuga na čijem je kaju telo mase m Jedina azlika je u tome što bismo umesto sile kojom podloga deluje na telo, pisali silu elastičnosti opuge koja se supotstavlja njenom istezanju usled povlačenja tela pod dejstvom sile teže Iz gonjih pimea jasno vidimo azliku između pojmova sile teže, koja uvek deluje na telo, nezavisno od stanja njegovog ketanja i posledica je gavitacionog pivlačenja od stane Zemlje i težine tela, koja očigledno zavisi od stanja ketanja Težinu, onda, definišemo kao nomalnu silu kojom telo deluje na podlogu ili kojom isteže konac ili opugu na kojoj visi Pime O ω T F cp F i K mg K Neka se sada devojčica našla na platfomi koja otia oko ose OO ugaonom bzinom ω Devojčica je posmatač u neinecijalnom sistemu efeence (znamo da je svako kužno ketanje ubzano ketanje) Na obodu platfome se nalazi štap za koji je zakačen konac na čijem kaju je kuglica mase m Dečak stoji na tlu u nepoketnom (inecijalnom) sistemu efeence Napišimo jednačine koje opisuju ketanje kuglice onako kako to ketanje vidi dečak i devojčica Dečak vidi da kuglica otia ugaonom bzinom ω, opisujući kužne putanje adijusa,usled čega ima centipetalno ubzanje a n, pa jednačinu ketanja kuglice može napisati u obliku: ma T + mg F T + mg n U odnosu na devojčicu, koja je u neinecijalnom sistemu efeence, kuglica ne menja svoj položaj u vemenu, pa suma svih sila koje na kuglicu deluju moa biti jednaka nuli To znači da moa postojati sila koja će biti istog pavca i intenziteta,a usmeena supotno od vektoskog zbia sila T i mg Ta sila, dakle, postoji samo u neinecijalnom sistemu (K ) i pedstavlja inecijalnu silu, Fi ma n (označena cvenom bojom), koja se naziva centifugalna sila Devojčica onda piše jednačinu ketanja za kuglicu u obliku: 0 T + mg + F F T + mg ma T + mg i i cp n