1.4. Πυθόριο θώρημ ΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤ 1 ίνοντι οκτώ ίσ ορθοώνι τρίων μ κάθτς πλυρές, κι υποτίνουσ κι τρί ττράων μ πλυρές,, ντίστοιχ. ) Ν υπολοίστ τ μδά, Ε, Ε 1, Ε 2 των διπλνών τριώνων κι ττρώνων. ) Ν τοποθτήστ κτάλληλ τ τρίων κι ττράων, ώστ ν σχημτίσουν δύο νέ ττράων, πλυράς ( + ). Λύση ) Έχουμ ότι: = 2 E 1 E 2 E Ε = 2 Ε 1 = 2 Ε 2 = 2 ) ρκί ν τ τοποθτήσουμ όπως φίντι στ πρκάτω σχήμτ. Πρτηρούμ ότι μπορούμ ν ράψουμ το μδόν των ίσων ττρώνων πλυράς ( + ) μ δύο διφορτικούς τρόπους: 1ος τρόπος: Ε 1 + Ε 2 + 4 πό το πρώτο ττράωνο που ποτλίτι πό 4 τρίων κι τ δύο ττράων πλυράς, ντίστοιχ. 2ος τρόπος: Ε + 4 πό το δύτρο ττράωνο που ποτλίτι πάλι πό 4 τρίων κι το ττράωνο πλυράς. E 2 E 1 Επομένως, θ ισχύι ότι: Ε 1 + Ε 2 + 4 = Ε + 4 ή Ε 1 + Ε 2 = Ε ή 2 + 2 = 2 Η σχέση υτή, που συνδέι τις κάθτς πλυρές μ την υποτίνουσ νός τριώνου, κφράζι το Πυθόριο θώρημ, δηλδή ισχύι: E
128 Μέρος - 1.4. Πυθόριο θώρημ 2 2 2 ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Σ κάθ ορθοώνιο τρίωνο το άθροισμ των ττρώνων των δύο κάθτων πλυρών ίνι ίσο μ το ττράωνο της υποτίνουσς. Πρτήρηση: Στο διπλνό σχήμ το τρίωνο ίνι ορθοώνιο στο. Σύμφων μ το Πυθόριο θώρημ ισχύι ότι: 2 = 2 + 2, δηλδή το μδόν του μάλου πορτοκλί ττρώνου ίνι ίσο μ το άθροισμ των μδών των δύο πράσινων ττρώνων. Το ντίστροφο του Πυθορίου θωρήμτος Στην ρχί ίυπτο ι την κτσκυή ορθών ωνιών χρησιμοποιούσν το σκοινί του πρπάνω σχήμτος. Όπως λέπουμ, το σκοινί έχι 13 κόμπους σ ίσς ποστάσις μτξύ τους που σχημτίζουν 12 ίσ υθύρμμ τμήμτ. Κρτώντς τους κρίους κόμπους νωμένους κι τντώνοντς το σκοινί στους κόκκινους κόμπους, σχημτίζτι το τρίωνο, το οποίο οι ρχίοι ιύπτιοι πίστυν ότι ίνι ορθοώνιο μ ορθή ωνί την κορυφή. Μτνέστρ, οι ρχίοι Έλληνς πλήθυσν τον ισχυρισμό υτό ποδικνύοντς την πόμνη νική πρότση, που ίνι νωστή ως το ντίστροφο του Πυθορίου θωρήμτος: ν σ έν τρίωνο, το ττράωνο της μλύτρης πλυράς ίνι ίσο μ το άθροισμ των ττρώνων των δύο άλλων πλυρών, τότ η ωνί που ρίσκτι πένντι πό τη μλύτρη πλυρά ίνι ορθή. ΕΦΡΜΟΗ 1 Ν πληθύστ το Πυθόριο θώρημ στο τρίωνο του διπλνού σχήμτος. 5 Ε 12 13 Ζ Λύση: Στο τρίωνο ΕΖ οι κάθτς πλυρές έχουν μήκη 5 κι 12, οπότ το άθροισμ των ττρώνων των κάθτων πλυρών ίνι 5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169. Επιπλέον, η υποτίνουσ έχι μήκος 13 κι το ττράωνό της ισούτι μ: 13 2 = 169. Επομένως, ισχύι το Πυθόριο θώρημ, φού: 5 2 + 12 2 = 13 2.
Μέρος - 1.4. Πυθόριο θώρημ 129 ΕΦΡΜΟΗ Λύση: ) 2 Στο διπλνό σχήμ, το τρίωνο έχι πρίμτρο 150 m. ) Ν ρίτ τον ριθμό x. ) Ν ποδίξτ ότι το τρίωνο ίνι ορθοώνιο. Η πρίμτρος του τριώνου ίνι: + + = 5x + 10 + 6x + 5 + 3x 5 = 14x + 10. Σύμφων μ την κφώνηση ίνι: 14x + 10 = 150 ή 14x = 150 10 ή 14x = 140 ή x = 140 14. Άρ x = 10. 5x+10 6x+5 3x 5 ) ι x = 10 τ μήκη των πλυρών (σ μέτρ) ίνι: = 5 10 + 10 = 60, = 3 10 5 = 25, = 6 10 + 5 = 65. Επομένως: 2 + 2 = 60 2 + 25 2 = 3600 + 625 = 4225. Επίσης: 2 = 65 2 = 4225. Επομένως: 2 + 2 = 2 κι σύμφων μ το ντίστροφο του Πυθορίου θωρήμτος το τρίωνο ίνι ορθοώνιο. ΕΦΡΜΟΗ 3 Έν ράφι ίνι στρωμένο σ έν κτκόρυφο τοίχο μ έν μτλλικό στήριμ μήκους = 32,6 cm. ν = 27,7 cm κι = 17,2 cm, ν ξτάστ ν το ράφι ίνι οριζόντιο. Λύση: Το ράφι θ ίνι οριζόντιο, μόνο ν ίνι κάθτο στον τοίχο, δηλδή ν το τρίωνο ίνι ορθοώνιο στο. Είνι: 2 + 2 = 27,7 2 + 17,2 2 = 767,29 + 295,84 = 1063,13. Επίσης: 2 = 32,6 2 = 1062,76. Επομένως: 2 + 2 2, οπότ το τρίωνο δν ίνι ορθοώνιο. ΕΦΡΜΟΗ 4 Στο διπλνό σχήμ δίντι ττράωνο πλυράς 12 cm. To σημίο Μ ίνι το μέσο της πλυράς κι Ρ = 3 cm. ) Ν υπολοίστ τ Μ 2, ΜΡ 2 κι Ρ 2. ) Ν ποδίξτ ότι το τρίωνο ΜΡ ίνι ορθοώνιο στο Μ. Μ 3 12 Ρ Λύση: ) φού το Μ ίνι μέσο του, ίνι Μ = Μ = 6 (cm). Eπίσης: Ρ = 12 3 = 9 (cm). πό το Πυθόριο θώρημ στο ορθοώνιο τρίωνο Μ έχουμ: Μ 2 = 2 + Μ 2 = 12 2 + 6 2 = 144 + 36 = 180.
130 Μέρος - 1.4. Πυθόριο θώρημ Ομοίως, στο ορθοώνιο τρίωνο ΜΡ έχουμ: ΜΡ 2 = Μ 2 + Ρ 2 = 6 2 + 3 2 = 36 + 9 = 45, κι στο ορθοώνιο τρίωνο Ρ έχουμ: Ρ 2 = 2 + Ρ 2 = 12 2 + 9 2 = 144 + 81 = 225. ) Είνι Μ 2 + ΜΡ 2 = 180 + 45 = 225 = Ρ 2, οπότ σύμφων μ το ντίστροφο του Πυθόριου θωρήμτος, το τρίωνο ΜΡ ίνι ορθοώνιο στο Μ. ΕΡΩΤΗΣH ΚΤΝΟΗΣΗΣ Στις πρκάτω ρωτήσις 1-4 τ τρίων ίνι ορθοώνι στο. Ν πιλέξτ τη σωστή πάντηση. 1 6 cm x x = 7 cm 9 cm 10 cm 12 cm 8 cm 2 x 5 cm x = 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 4 cm 3 10 cm 26 cm x = 14 cm 20 cm 24 cm 30 cm x 4 17 cm = κι =15 κι =13 κι =12 κι =8 κι = =8 =10 =13 =9 ΣΚΗΣΕΙΣ 1 Ν ρίτ το μδόν του κόκκινου ττρώνου στ πόμν σχήμτ. 2 Ν ποδίξτ ότι τ πρκάτω τρίων ίνι ορθοώνι. 25 m 2 24 25 7 12 16 20 8 15 17 5,76 m 2 1m 2 9 m 2 0,64 m 2 1 m 2 3 ) ίντι έν τρίωνο μ μήκη πλυρών 6 cm, 8 cm κι 10 cm. N ποδίξτ ότι το τρίωνο ίνι ορθοώνιο. ) Ν ποδίξτ ότι το τρίωνο που έχι διπλάσις πλυρές πό τις πλυρές του, κθώς κι το τρίωνο που έχι τις μισές πλυρές πό τις πλυρές του, ίνι πίσης ορθοώνιο.
Μέρος - 1.4. Πυθόριο θώρημ 131 4 Το τρίωνο του πρκάτω σχήμτος ίνι ισοσκλές μ = = 10 dm κι = 12 dm. Ν υπολοίστ το μδόν του ττρώνου που έχι πλυρά ίση μ το ύψος του τριώνου. 8 H διτομή νός κνλιού ίνι σχήμτος ισοσκλούς τρπζίου μ πλυρές: = = 5 m, = 7 m κι = 13 m. Ν υπολοίστ το ύψος x του κνλιού. 13 m 10 dm 10 dm x x 5 m 5 m 7 m 12 dm 9 Ποι πό τις τοποθσίς Ε,, ίνι πλησιέστρ στην πόλη ; 5 6 7 Ν υπολοίστ το μδόν του μπλ ττρώνου το οποίο έχι πλυρά ίση μ τη διώνιο 1 m του ορθοώνιου. ι ν σχημτίσι ορθή ωνί μ δύο ξύλιν δοκάρι (όπως λέμ ι ν «ωνιάσι» τ δοκάρι), ένς τχνίτης μτράι στο έν δοκάρι = 30 cm κι στο άλλο = 40 cm. Στη συνέχι, τ τοποθτί κτάλληλ, ώστ ν ίνι = 50 cm. Μπορίτ ν ξηήστ ιτί ίνι σίουρος ότι η ωνί που σχημτίζουν τ δοκάρι ίνι ορθή; Ο χρττός του διπλνού σχήμτος ίνι ρόμος μ διώνις 12 dm κι 16 dm. N ρίτ την πρίμτρο κι το μδόν της πιφάνις του χρττού. 2,1 m 90 40 cm 30 cm 50 cm Ο E 8 m Ι ΙΣΚΕΣΗ: Στο διπλνό σχήµ έχουµ έν ορθοώνιο τρίωνο ( =90 ) µ µήκος υποτίνουσς κι µήκη κάθτων πλυρών κι. Εξωτρικά του τριώνου έχουµ κτσκυάσι τρί ττράων µ µήκη πλυρών, κι ντίστοιχ. Χρησιµοποιώντς τ χρωµτιστά «κοµµάτι» που ποτλούν τ ττράων των κάθτων πλυρών, µπορίτ ν «µίστ» το µάλο κρίζο ττράωνο της υποτίνουσς φρµόζοντς κριώς τ χρωµτιστά κοµµάτι χωρίς το έν ν πικλύπτι το άλλο; 17 m 12 m 9 m
132 Μέρος - 1.4. Πυθόριο θώρημ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ To Πυθόριο θώρηµ Το Πυθόριο θώρηµ ποτλί έν πό τ πιο κοµψά λλά τυτόχρον κι πιο σηµντικά θωρήµτ µ πολλές φρµοές. Η νκάλυψη του θωρήµτος, ν κι πρδοσικά ποδίδτι στον Πυθόρ το Σάµιο (585-500 π.χ.), δν ίνι έιο ότι έιν πό υτόν ή πό κάποιον πό τους µθητές του στην Πυθόρι Σχολή που ίδρυσ. Όµως ίνι έιο πως ίτ ο ίδιος ίτ οι µθητές του διτύπωσν την πρώτη πόδιξη. Σύµφων µ την πράδοση, οι θοί νκοίνωσν στον Πυθόρ το οµώνυµο θώρηµ κι ότν το πέδιξ, ι ν τους υχριστήσι, έκν θυσί 100 οδιών. ι τον λόο υτό, το Πυθόριο θώρηµ νφέρτι συχνά κι ως θώρηµ της κτόµης. Επιπλέον, οι Πυθόριοι διτύπωσν κι πέδιξν το ντίστροφο του θωρήµτος. Πολλοί µθηµτικοί, διάσηµοι κι µη, προσπάθησν ν ποδίξουν το Πυθόριο θώρηµ µ δική τους νξάρτητη µέθοδο. νάµσ σ υτούς υπάρχουν κι προσωπικότητς, όπως ο Leonardo da Vinci κι ο πρόδρος των ΗΠ Garfield. To 1940 o Elisha Scott Loomis πριέλ 365 διφορτικές ποδίξις του Πυθόριου θωρήµτος σ έν ιλίο. Επνάληψη Κφλίου 1 Eμδά Επίπδων Σχημάτων - Πυθόριο θώρημ Το μδόν μις πίπδης πιφάνις ίνι ο θτικός ριθμός που κφράζι το πλήθος των μονάδων μέτρησης, το οποίο χριάζτι ν πάρουμ, ώστ ν κλύψουμ τη δοσμένη πιφάνι. Μονάδς μέτρησης μδών 1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 Εμδά των σικών πιπέδων σχημάτων. Ττράωνο Oρθοώνιο Πρλληλόρμμο Ε = 2 Ε = υ Ε = υ Oρθοώνιο τρίωνο Τυχίο τρίωνο Τρπέζιο Ε = 1 2 υ Ε = 1 2 υ υ Ε = 1 2 (+) υ Πυθόριο θώρημ: 2 + 2 = 2 Σ κάθ ορθοώνιο τρίωνο το άθροισμ των ττρώνων των δύο κάθτων πλυρών ίνι ίσο μ το ττράωνο της υποτίνουσς. ντίστροφο Πυθόριου θωρήμτος ν σ έν τρίωνο το ττράωνο της μλύτρης πλυράς ίνι ίσο μ το άθροισμ των ττρώνων των δύο άλλων πλυρών, τότ η ωνί που ρίσκτι πένντι πό τη μλύτρη πλυρά ίνι ορθή.