. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni pravac p paralelan s osi y tako da se njegovo ishodište podudara s točkom A(, 0) kružnice. Zamislimo da se pravac p namata oko kružnice; dio pravca na kojem su smješteni pozitivni realni brojevi suprotno gibanju kazaljki na satu, a dio pravca na kojem su smješteni negativni realni brojevi u smjeru gibanja kazaljki na satu. Interval [0, pravca p preslikat će se na čitavu kružnicu jer je njezin opseg. Istoće se dogoditi sa svakim intervalom duljine.natajse način svaki realni broj t s brojevnog pravca p preslikava u jednu točku E(t) na kružnici k.jedinična kružnica na koju su na navedeni način smješteni realni brojevi naziva se brojevna ili trigonometrijska kružnica. Broju 0, kao i broju,pridružena je točka (, 0), broju točka (0, ),broju točka (, 0), a broju točka (0, ). Vrijedi: E(t + k) =E(t) ; t R i k Z. Pretvorba stupnjeva u radijane i obrnuto α rad = α 80 α = α rad 80 Radijani 0 5 7 5 5 7 Stupnjevi 0 0 5 0 90 0 5 50 80 0 5 0 70 00 5 0 0
.. Ponovimo Glavna mjera kuta Glavna mjera α kuta s mjerom α odreduje - se iz formule: α = α 0, α = α 0 pri čemu x označuje najveći cijeli broj, manji ili jednak od broja x,0 α < 0, α 0 α <. k = je broj punih okretaja, tj. namotaja pravca na brojevnu 0 kružnicu. Definicije trigonometrijskih funkcija Neka je t po volji odabran realan broj, a E(t) njemu pridružena točka brojevne kružnice. Tada je E(t) =(cos t, sin t). Apscisa točke E(t) naziva se kosinus broja t ioznačuje se s cos t. Ordinata točke E(t) naziva se sinus broja t ioznačuje se sa sin t. Neka je t po volji odabran realan broj, t + k,ae(t) njemu pridružena točka brojevne kružnice. Neka je pravac p tan- genta kružnice paralelna s osi y koja dodiruje kružnicu u točki (, 0). Presjek pravca OE(t) s tangentom p označimo s P.Tadaje P(t) =(, tg t). Ordinata točke P u kojoj pravac OE(t) siječe tangentu p naziva se tangens broja t i označuje se s tg t. Neka je t po volji odabran realan broj, t k,ae(t) njemu pridružena točka brojevne kružnice. Neka je pravac q tangenta kružnice paralelna s osi x koja dodiruje kružnicu u točki (0, ). Presjek pravca OE(t) s tangentom q označimo s Q.Tadaje Q(t) =(ctg t, ). Apscisa točke Q u kojoj pravac OE(t) siječe tangentu q naziva se kotangens broja t ioznačuje s ctg t.
. Trigonometrijske funkcije Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih posebnih realnih brojeva t 0 5 sin t 0 cos t tg t 0 ctg t t 7 5 0 0 0 0 5 7 sin t 0 cos t tg t 0 ctg t 0 0 0 0 Predznaci trigonometrijskih funkcija po kvadrantima I. II. III. IV. sin t + + cos t + + tg t + + ctg t + +
.. Ponovimo Osnovni (temeljni) trigonometrijski identiteti () sin t + cos t = = sin t = cos t, cos t = sin t () tg t = sin t cos t () ctg t = cos t sin t () tg t ctg t = = tg t = ctg t, ctgt = tg t Osnovne veze izme - du trigonometrijskih funkcija sin t cos t tg t ctg t sin t ± cos t cos t ± sin t tg t ± + tg t ± + tg t ± + ctg t ctg t ± + ctg t tg t sin t ± sin t ± cos t cos t ctg t ctg t ± sin t sin t cos t ± cos t tg t Svojstva trigonometrijskih funkcija Parnost i neparnost Za funkciju f : R R kažemo da je: parna,akoje f (x) =f (x), x R neparna, akoje f (x) =f (x), x R. Graf parne funkcije simetričan je s obzirom na os y, a graf neparne funkcije simetričan je s obzirom na ishodište koordinatnog sustava. Kosinus je parna, a sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije, tj. vrijedi: cos(t) =cos t tg(t) =tg t sin(t) = sin t ctg(t) = ctg t, t R 5
. Trigonometrijske funkcije Periodičnost Funkcija f (x) je periodična s periodom P 0, ako vrijedi: i) (x + P) D f, x D f ii) f (x + P) =f (x), x D f Najmanji pozitivni period naziva se temeljni (osnovni) period. Funkcije sinus i kosinus su periodične funkcije s temeljnim periodom P =,a funkcije tangens i kotangens su periodične funkcije s temeljnim periodom P =. sin(t + ) =sin t tg(t + ) =tg t cos(t + ) =cos t ctg(t + ) =ctg t Funkcije f (t) = sin(ωt + ϕ) i f (t) = cos(ωt + ϕ) su periodične funkcije s temeljnim periodom ω. Funkcije f (t) = tg(ωt + ϕ) i f (t) = ctg(ωt + ϕ) su periodične funkcije s temeljnim periodom ω. Omedenost - Funkcije sinus i kosinus su omedene, - a funkcije tangens i kotangens su neomedene. - sin t cos t Adicijski teoremi Za sve realne brojeve s i t vrijedi: sin(t ± s) =sin t cos s ± cos t sin s tg t ± tg s tg(t ± s) = tg t tg s cos(t ± s) =cos t cos s sin t sin s ctg t ctg s ctg(t ± s) = ctg s ± ctg t Formule redukcije Za svaki realni broj t vrijedi: t + t t + t t + t t + t sin cos t cos t sin t sin t cos t cos t sin t sin t cos sin t sin t cos t cos t sin t sin t cos t cos t tg ctg t ctg t tg t tg t ctg t ctg t tg t tg t ctg tg t tg t ctg t ctg t tg t tg t ctg t ctg t
.. Ponovimo Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta sin t = sint cos t tg t = tgt tg t cos t = cos t sin t ctg t = ctg t ctgt Trigonometrijske funkcije polovičnog kuta sin t cos t = ± tg t cos t = ± + cos t cos t + cos t = ± ctg t + cos t = ± cos t Univerzalna zamjena sin t = tg t cos t = tg t + tg t + tg t tg t = tg t ctg t = tg t tg t tg t Transformacija umnoška u zbroj sin t cos s = [sin(t + s)+sin(t s)] cos t sin s = [sin(t + s) sin(t s)] cos t cos s = [cos(t + s)+cos(t s)] sin t sin s = [cos(t s) cos(t + s)] Transformacija zbroja u umnožak sin t + sin s = sin t + s cos t s sin t sin s = cos t + s sin t s cos t + cos s = cos t + s cos t s cos t cos s = sin t + s sin t s 7
. Trigonometrijske funkcije Napomena: sin t + cos t = cos t sin t = cos t } + sin t + cos t = cos t sin t = cos t } cos t = + cos t / : sin t = cos t / : cos t = + cos t sin t = cos t Ove dvije formule imaju veliku primjenu pri rješavanju integrala. Supstitucijom t t i korjenovanjem dobivamo trigonometrijske funkcije polovičnog kuta... Zadaci Kut i brojevna kružnica Zadatak. Mjeru kuta izraženu u radijanima pretvori u stupnjeve, minute i sekunde: a) 9 rad b) rad Rješenje: Primijenit ćemo formulu: α = α rad a) α rad = 9 rad, α = 9 80 = 05 80 b) α rad = rad, α = 80 = 9.88 = 9 0 59 Zadatak. Mjeru kuta izraženu u stupnjevima izrazi u radijanima: a) 8 5 b) 900 Rješenje: Primijenit ćemo formulu: α rad = α 80 a) α = 8 5, α rad = 8 5 b) α = 900, α rad = 900 = 5 rad 80 80 = 0.88 rad 8
.. Zadaci Zadatak. Odredi glavnu mjeru kuta: 5 a) b) 5 c) 8 d) 00 e) 75 8 5 f) 85 5 Rješenje: a) α = 5 8 α = α = 5 8 = 5 5 = 8 8 = 8 b) α = 5 α = α = 5 c) α = α = α = 5 (9) = 5 = = =.50 d) α = 00 α = α = 00 = 00 (9) = 0.088 5 8 = 5 8.9 5 = 5 9. + 588 = 7 =. e) α = 75 8 5 α = α 0 = 75 8 5 0 00 = 00 90.99 75 8 5 0 0 = 75 8 5 0. 0 = 75 8 5 () 0 = 75 8 5 + 90 = 07 5 f) α = 85 5 85 α = α 0 = 85 5 5 0 0 0 = 85 5. 0 = 85 5 0 = 85 5 70 = 5 5 9
. Trigonometrijske funkcije Zadatak. U kojem se kvadrantu nalazi točka pridružena broju t = 95? Rješenje: Da bismo odredili u kojem se kvadrantu nalazi točka T = E(t) trebamo odrediti glavnu mjeru broja t : t t = t 95 t = 95 t = 95.87 t = 95 t = 95 t = 5.5 Dakle, E(95) =E(5.5). 5.5,, tj. točka pridružena zadanom broju nalazi se u IV. kvadrantu. Trigonometrijske funkcije Zadatak 5. Odredi na brojevnoj kružnici točku E(t) ako je: a) sin t =,cost < 0 b) cos t =,sint < 0 c) tg t =, cost > 0 d) ctg t =,sint > 0 Rješenje: a) sin t =,cost < 0 sin t = je ordinata tražene točke E(t) pa ( povučemo paralelu s osi x utočki 0, ). Paralela siječe brojevnu kružnicu u dvije točke, jedna od njih nalazi se u I., a druga u II. kvadrantu. Zbog uvjeta cos t < 0 odabiremo točku iz II. kvadranta. 0
.. Zadaci b) cos t =,sint < 0 cos t = je apscisa tražene točke E(t) ( pa povučemo paralelu s y -osi u točki, 0 ). Paralela siječe brojevnu kružnicu u dvije točke, jedna od njih nalazi se u II., a druga u III. kvadrantu. Zbog uvjeta sin t < 0 odabiremo točku iz II. kvadranta. c) tg t =, cost > 0 tg t = jeordinatatočke P u kojoj pravac OE(t) siječe tangentu koja dodiruje brojevnu kružnicu u točki A(, 0).Prvopovučemo tangentu na brojevnu kružnicu u točki A(, 0),a zatim na njoj označimo točku P(, ).Točku P spojimo s ishodištem. Pravac OP siječe brojevnu kružnicu u dvije točke, jedna od njih se nalazi u II., a druga u IV. kvadrantu. Zbog uvjeta cos t > 0 odabiremo točku iz IV. kvadranta. d) ctg t =,sint > 0 ctg t = je apscisa točke Q u kojoj pravac OE(t) siječe tangentu koja dodiruje brojevnu kružnicu u točki B(0, ).Prvopovučemo tangentu na brojevnu kružnicu u točki B(0, ),a ( ) zatim na njoj označimo točku Q,.Točku Q spojimo s ishodištem. Pravac OQ siječe brojevnu kružnicu u dvije točke, jedna od njih nalazi se u I., a druga u III. kvadrantu. Zbog uvjeta sin t > 0 odabiremo točku u I. kvadrantu. Zadatak. Naznači na brojevnoj kružnici skup svih rješenja nejednadžbe: a) sin x d) cos x b) cos x < e) tg x < c) sin x <