BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Granična stanja prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

Sadržaj Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Kada u AB elementima naponi zatezanja dostignu čvrstoću betona pri zatezanju, dolazi do pojave prslina Naponi zatezanja se javljaju, pre svega, kao posledica delovanja opterećenja, ali i kao posledica prinudnih deformacija, npr. skupljanja betona, promene temperature Podrazumeva se da u AB elementu postoji dovoljna količina armature (minimalna armatura) koja je sposobna da, posle otvaranja prslina, bez plastifikacije prihvati celokupne napone zatezanja

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Osnovni uzrok pojave prslina je relativno niska čvrstoća betona pri zatezanju Oblik, širina, dužina i dubina prslina, njihov položaj, pravac prostiranja, međusobno rastojanje i ukupan broj, kao i trenutak pojave prslina i njihove promene u toku vremena, veoma su različiti i zavise od čitavog niza faktora Posmatraju se prsline izazvane naponima u betonu (naponske prsline)

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama U normalno projektovanim AB konstrukcijama prsline su neminovnost Proračun prslina se vrši zbog kontrole širine prslina Ograničenje širine prslina je zbog sprečavanja ulaska tečnosti i gasova kroz prsline radi: - zaštite armature od korozije - zaštite betona od korozije - obezbeđenja vodonepropustljivosti AB konstrukcija - obezbeđenja prihvatljivog estetskog izgleda isprskalih AB konstrukcija

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Proračunom prema graničnom stanju prslina dokazuje se da karakteristična širina prslina a pk (t) nije veća od granične vrednosti širine prslina a pu : a pk (t) a pu (1) Karakteristična širina prslina a pk (t) data je sa gde je a pm srednja širina prslina a pk (t) = 1.7 a pm (2) Ovim se obezbeđuje da verovatnoća da stvarna širina pojedinih prslina neće da bude veća od karakteristične širine iznosi 95%

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Proračun prslina zasniva se na pretpostavkama idealizovanog stanja prslina: - sve prsline su upravne na osu nosača - sve prsline se prostiru na celoj visini zategnute zone preseka - sve prsline su međusobno jednake širine, odn. širina svih prslina jednaka je srednjoj širini prslina a pm - sve prsline su ravnomerno raspoređene po dužini nosača, odn. međusobno rastojanje svih susednih prslina jednako je srednjem rastojanju prslina l pm - slika prslina je stabilizovana

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Srednja širina prslina a pm pretstavlja izduženje zategnute armature, relativno u odnosu na okolni zategnuti beton, na dužini jednakoj l pm

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Opšte napomene o prslinama Nastanak i pojava prslina pretstavljaju veoma kompleksnu pojavu Da bi se analizirala tako složena pojava, posmatra se jednostavno naponsko stanje - centrično zatezanje Rešenja za takav slučaj se proširuju i prilagođavaju složenijim naponskim stanjima Analiza prslina je u značajnoj meri empirijskog karaktera - zasnovana je na brojnim eksperimentima

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Eksperimentalna istraživanja prslina u AB nosačima

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Posmatra se simetrično armirana AB zatega opterećena centričnom silom zatezanja Z Posle otvaranja prve prsline pod opterećenjem Z r sve napone zatezanja u preseku na mestu armature prihvata armatura Na nekom rastojanju l p od prve prsline, zahvaljujući naponima prijanjanja između betona i čelika, ponovo se uspostavlja homogeno naponsko stanje Drugim rečima, stvara se uslov za pojavu sledeće prsline

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Centrično zategnut AB štap i pojava prslina

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Zanemarujući uticaj armature u Fazi I, koji je generalno mali, postavlja se uslov ravnoteže podužnih sila na dužini l p između dve susedne prsline: A b,ef f bz = lp 0 τ p (n π Φ) dx (3) gde je - n... broj armaturnih šipki prečnika Φ - τ p... napon prijanjanja između betona i armature - A b,ef... efektivna površina betona neposredno oko zategnute armature - f bz... čvrstoća betona pri zatezanju

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Ako se na dužini l p usvoji osrednjena vrednost napona prijanjnja τ pm, iz (3) može da se dobije srednje rastojanje između prslina: l pm = f bz τ pm A b,ef n π Φ2 4 Φ 4 = k Φ 1 k 2 (4) µ z gde je: - Φ... prečnik armature - µ z... koeficijent armiranja u odnosu na efektivnu površinu betona: µ z = A a A b,ef

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Srednje rastojanje između prslina i koeficijent k 2

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Efektivna širina zategnutog betona A b,eff

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina kao i: - k 1... koeficijent koji zavisi od kvaliteta adhezije armature - k 2... koeficijent koji zavisi od vrste naprezanja Koeficijent k 1 ima vrednosti: - za GA... k 1 = 0.8 - za RA... k 1 = 0.4 Koeficijent k 2 ima vrednosti: - za čisto savijanje... k 2 = 0.125 - za čisto zatezanje... k 1 = 0.25

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Rastojanje između prslina Eksperimenti su pokazali da izraz (4) ne daje dovoljno dobre rezultate, jer izrazom nije obuhvaćen uticaj koji na razmak prslina ima zaštitni sloj betona i međusobni razmak šipki armature Uzimajući u obzir i ove parametre, predložen je izraz za srednje rastojanje prslina u obliku ( l pm = 2 a 0 + e Φ 10 ) + k 1 k 2 Φ µ z (5) gde je - a 0... debljina zaštitnog sloja betona, uključujući i debljinu uzengije - e Φ... osovinsko rastojanje šipki armature

Sadržaj Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Kada ne bi postojala veza između betona i armature, srednja širina prsline a pm bila bi jednaka izduženju armature između dve prsline: a pm = ε II a l pm (6) gde je sa ε II a označena dilatacija armature u Fazi II Kako beton između prslina prihvata deo napona zatezanja, izduženje armature treba da se umanji za sadejstvo betona

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Prema tome, srednja vrednost dilatacije armature između dve prsline iznosi: ε am = ε II a ε a (7) gde ja sa ε a označeno umanjenje dilatacije zategnute armature zbog uticaja zategnute zone betona između prslina Posmatra se srednja dilatacija zategnute armature između prslina

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Srednja dilatacija zategnute armature ima vrednost koja se nalazi između najmanje moguće vrednosti ε I a za naponsko stanje Faze I (za računski model bez prsline) i najveće moguće vrednosti ε II a, za naponsko stanje Faze II (za računski model sa prslinom) Vrednost srednje dilatacije zategnute armature zavisi od sadejstva betona između prslina u prenošenju napona zatezanja Sa porastom sadejstva betona u prenošenju napona zatezanja srednja dilatacija zategnute armature opada, a sa smanjenjem sadejstva dilatacija armature raste

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Dilatacija zategnute armature na dužini l pm je promenljiva - zavisi od sadejstva okolnog zategnutog betona Dilatacija zategnute armature se kreće između dve vrednosti: 1 ε I a... dilatacija u preseku bez prsline... dilatacija u preseku bez prsline 2 ε II a Srednja dilatacija zategnute armature ε am između prslina data je sa ε am = (1 ζ) ε I a + ζ ε II a (8)

Srednja širina prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina U izrazu (8) sa ζ je označen koeficijent raspodele koji je funkcija intenziteta opterećenja: ( ) 2 ζ = 1 β 1 β σar 2 σ 0.4 za Z > Zr (M > M a II r ) ζ = 0 za Z Z r (M M r ) (9) gde je: - β 1... koeficijent koji zavisi od vrste čelika: za RA β 1 = 0.5, za GA β 1 = 1.0 - β 2... koeficijent kojim se uvodi uticaj vremenskih deformacija: za kratkotrajna dejstva β 2 = 1.0, za dugotrajna dejstva β 2 = 0.5 - σ ar... napon u zategnutoj armaturi neposredno pre pojave prslina

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Za čisto savijanje izraz (9) se koristi u obliku: ( ) 2 Mr ζ = 1 β 1 β 2 0.4 (10) M Za čisto zatezanje izraz (9) se koristi u obliku: ( ) 2 Zr ζ = 1 β 1 β 2 0.4 (11) Z Za složeno savijanje koristi se izraz (9) sa naponima σ ar i σ II gde je σa II napon u zategnutoj armaturi, u kritičnom preseku, od eksploatacionog opterećenja a,

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Momenat savijanja M r pri nastanku prslina

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Sila zatezanja Z r pri nastanku prslina

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Složeno savijanje i nastanak prslina

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Relativna srednja dilatacija je data sa ε am,r (t) = ε am (t) ε I bz (t) gde je ε am srednja dilatacija zategnute armature data sa (8), dok je ε I bz dilatacija betona u preseku bez prsline data sa ε I b = (1 ζ) εi a Konačno, relativna srednja dilatacija dobija se u obliku ε am,r (t) = ζ ε II a (t)

Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Širina prslina Srednja širina prslina a pm (t) data je sa a pm = ε am,r l pm, odn. sa a pm (t) = ζ ε II a l pm (12) Karakteristična širina prslina a pk (t) je za 70% veća od srednje širine: a pk (t) = 1.7 a pm (13) Karakteristična širina prsline mora da bude manja od granične prsline a pu a pk(t) a pu (14)

Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina Granična širina prslina a pu [mm], BAB 87

Proračun ugiba Najznačajnije deformacije konstrukcija su ugibi Ugibi konstrukcija su bitan aspekt u pravilnom funkcionisanju konstrukcija Bitan je uticaj deformacija i na nekonstruktivne elemente - pregradne zidove, ispune, fasade,... Proračunom prema graničnom stanju deformacija (odn. ugiba) dokazuje se da najveće deformacije (ugibi) v max (t) ne prelaze dozvoljene vrednosti: v max (t) v u (15)

Proračun ugiba Dozvoljene (granične) vrednosti ugiba su definisane relativno, u odnosu na raspon posmatranog dela konstrukcije Prema BAB 87 dozvoljene vrednosti ugiba su: - l/300... proste i kontinualne grede - l/150... konzole - l/750... kranske staze

Proračun ugiba Proračun ugiba u AB konstrukcijama ne može da se tačno izvrši Glavni razlozi zbog kojih je nemoguće da se precizno izračunaju deformacije su: - karakteristike materijala su (komplikovano) promenljive sa vremenom (skupljanje i tečenje betona) - preseci AB konstrukcija su isprskali - geometrijske karakteristike preseka se menjaju duž ose nosača na komplikovan način - samim tim, krutost AB nosača ne može da se tačno odredi - krutost oslonaca ne može da se precizno odredi (ne samo u pešačkom proračunu) - tačan intenzitet i trajanje opterećenja ne može da se tačno odredi

Proračun ugiba Određivanje deformacija (ugiba) vrši se primenom Principa virtuelnih sila, uz zanemarenje uticaja pomeranja oslonaca: ξ = s MM E J ds = 1 s r m (t) M ds = K m (t) M ds (16) s gde je: - ξ... generalisano pomeranje usled generalisane virtuelne jedinične sile P = 1 - M... momenti savijanja usled virtuelne sile P = 1 - M... momenti savijanja usled merodavnog eksploatacionog opterećenja - r m (t)... radijus krivine usled eksploatacionog opterećenja - K m (t)... krivina usled merodavnog eksploatacionog opterećenja

Proračun ugiba Krivina AB nosača se menja sa intenzitetom opterećenja koje deluje U početnoj fazi nižih naprezanja, kada se AB element nalazi u Fazi I, deformacije, odn. krivina u merodavnom preseku nije izražena i približno se linearno menja sa intenzitetom opterećenja U Fazi II, kada su preseci sa prslinama, krivina se povećava i znatno više se povećava sa povećanjem opterećenja Sa daljim porastom opterećenja dolazi do formiranja plastičnog zgloba u preseku i krivina se još više povećava (u skladu sa kapacitetom rotacije)

Promena krivine AB nosača sa opterećenjem

Proračun ugiba Faza I je elastično stanje u kome još uvek ni u jednom preseku grede nije prekoračena čvrstoća betona na zatezanje Deformacije mogu da se izračunaju preko linearne veze momenat - krivina koja važi za homogene materijale Faza II je stanje u kome je došlo do pojave prslina Određivanje zavisnosti momenat - krivina je znatno složenije zbog postojanja diskontinuiteta usled pojave prslina

Proračun ugiba Već posle pojave prve prsline znatno opada krutost AB elementa, odn. dolazi do naglog porasta krivine Kada se završi faza formiranja prslina, dostignuto je stabilizovano stanje prslina, dalji porast deformacija se odvija na račun proširenja već postojećih prslina Faza III je stanje pred lom nosača i dolazi do naglog porasta deformacija

Proračun ugiba Ako je procenat armiranja mali, u čeliku se javljaju prve plastične deformacije Deformisanje armature omogućava i betonu da uđe u stanje plastičnosti i da se formira plastični zglob Ako je procenat armiranja relativno veliki, u betonu nastaje krti lom pre nego što se formira plastični zglob

Proračun ugiba Srednja krivina AB elementa u vremenu t data je, približno, sa 1 r m (t) = K m(t) = dθ m(t) dx Prvi izvod obrtanja po koordinati duž ose štapa je, koristeći Bernulijevu hipotezu o ravnim presecima, jednak dθ m (t) dx = ε bm(t) y = ε bm(t) + ε am (t) h (17) Ovim se dobija veza između krivine i dilatacija poprečnog preseka

Promena krivine AB nosača sa opterećenjem

Proračun srednje krivine Srednja krivina u vremenu t zavisi od sadejstva okolnog zategnutog betona Srednja krivina se kreće između dve granične vrednosti: 1 K I (t)... krivina u preseku bez prsline 2 K II (t)... krivina u preseku sa prslinom Srednja krivina u vremenu t, za AB gredu izloženu čistom savijanju, može da se prikaže u obliku: K m (t) = K I (t) M M r K m (t) = (1 ζ) K I (t) + ζ K II (18) (t) M > M r

Proračun srednje krivine U izrazu (18) uvedene su oznake, osim K I (t) i K II (t), još i: - M r... momenat savijanja pri nastanku prslina - ζ... koeficijent raspodele (kao i u analizi prslina) dat sa ( ζ = 1 β 1 β Mr ) 2 2 M 0.4 za M > Mr (19) ζ = 0 za M M r - β 1... koeficijent koji zavisi od vrste čelika: za RA β 1 = 0.5, za GA β 1 = 1.0 - β 2... koeficijent kojim se uvodi uticaj vremenskih deformacija: za kratkotrajna dejstva β 2 = 1.0, za dugotrajna dejstva β 2 = 0.5

Zavisnost srednje krivine K m i opterećenja (M)

Proračun srednje krivine u vremenu t 0 Početna srednja krivina K m (t 0 ) u vremenu t = t 0 AB elementa izloženog čistom savijanju takođe se nalazi između dve granične vrednosti krivina: za presek bez prsline i za presek sa prslinom Zato se srednja krivina u vremenu t = t 0 prikazuje analogno izrazu (18): K m (t 0 ) = K I (t 0 ) M M r K m (t 0 ) = (1 ζ) K I (t 0 ) + ζ K II (20) (t 0 ) M > M r

Proračun srednje krivine K m (t 0 ) u vremenu t 0 Presek bez prslina u Fazi I Presek sa prslinom u Fazi II

Proračun srednje krivine u vremenu t 0 Krivine za presek bez prslina i za presek sa prslinom, prikazane u izrazu (20), date su, redom sa K I (t 0 ) = M E b (t 0 ) Ji I K II (t 0 ) = M E b (t 0 ) Ji II Uvodi se oznaka za krivinu preseka u vremenu t = t 0 usled momenta savijanja M, zasnovanu na momentu inercije bruto betonskog preseka J b : K b = (21) M E b (t 0 ) J b (22)

Proračun srednje krivine u vremenu t 0 Uvode se oznake za koeficijente za uticaj armature k I a = J b J I i k II a = J b J II i (23) To su odnosi momenta inercije bruto preseka i idealizovanih momenata inercije za presek bez i sa prslinom Sa ovim oznakama i sa (22), krivine preseka za presek bez prslina i sa prslinom (21) mogu da se prikažu kao K I (t 0 ) = k I a K b K II (t 0 ) = k II a K b (24) Sa ovim, srednja krivina u vremenu t 0 data je sa (20), pri čemu je koeficijent ζ dat sa (19)

Proračun srednje krivine u vremenu t Srednja krivina u vremenu t određuje se kao zbir početne krivine i promene krivine usled skupljanja i tečenja betona za naponska stanja I i II: K I (t) = K I (t 0 ) + K I (t) K II (t) = K II (t 0 ) + K II (t) Krivina AB elementa za naponsko stanje Faze I u vremenu t data je sa: K I (t) = ka I [ 1 + k I ϕ ϕ(t, t 0 ) ] K b + ks I ε s (t, t 0 ) d (25)

Proračun srednje krivine u vremenu t Slično, krivina AB elementa za naponsko stanje Faze II u vremenu t data je sa: K II (t) = k II a [ 1 + k II ϕ ϕ(t, t 0 ) ] K b + ks II ε s (t, t 0 ) d U izrazima (25) i (26) sa d je označena visina preseka, a uvedeni su koeficijenti ka, I ka II, kϕ, I kϕ II, ks I i ks II Preko koeficijenata ka, I ka II uvodi se uticaj armature i dati su sa (23) (26)

Proračun srednje krivine u vremenu t Preko koeficijenata k I ϕ, k II ϕ k I ϕ = 1 n J I i k II ϕ = 1 n J II i uvodi se uticaj tečenja betona: [ Ja + A a (y a2 y I i2)(y a2 y I i2 ) ] [ Ja + A a (y a2 y II i2 )(y a2 y II i2 ) ] (27) Preko koeficijenata k I s, k II s uvodi se uticaj skupljana betona: ks I = n Ji I A a d (y a2 yi2 I ) ks II = n Ji II A a d (y a2 yi2 II ) (28)

Proračun srednje krivine u vremenu t U izrazima (27) i (28) uvedene su oznake sa gornjim idneksom (...) U takvim oznakama figuriše n, što je broj ekvivalencije modula elastičnosti armature i betona ali u vremenu t, dakle odnos modula elastičnosti armature i efektivnog modula elastičnosti betona u skladu sa odredbama BAB 87 (odn. AAEM): n = E a E b,eff = E a = n (1 + χ ϕ) (29) E b0 /(1 + χ ϕ) jer je n = Ea E b0

Proračun srednje krivine u vremenu t Konačno, srednja krivina preseka u vremenu t data je sa (18): K m (t) = K I (t) M M r K m (t) = (1 ζ) K I (t) + ζ K II (30) (t) M > M r Sa izračunatom krivinom, ugib u vremenu t određuje se prema (16): v(t) = K m (t) M ds (31) Problem je što je potrebno da se odrede krivine u svim presecima nosača s

Proračun srednje krivine u vremenu t Ugib može da se odredi primenom numeričke integracije (za nosač jednostavnije konfiguracije) Raspon se podeli na izvestan broj konačnih delova, uz prethodno određivanje preseka gde je momenat savijanja jednak M r (nastanak prslina) U svim diskretnim presecima izračunaju se krivine u vremenu t i vrši se numerička integracija integrala (31) Primenom, npr. trapeznog pravila, dobija se v(t) = l jk [ Km,j (2M j + M k ) + K m,k (M j + 2M k ) ] l jk 6 (32)

Numerička integracija u proračunu ugiba

za proračun deformacija za proračun deformacija je preporučena od strane Evropskog komiteta za beton (CEB) se zasniva na pretpostavci o uprošćenom bilinearnom dijagramu opterećenje - ugib Vrednost ugiba u najvećoj meri zavisi od stanja deformacija u zoni nosača gde virtuelni momenti M i stvarni momenti savijanja M od posmatranog opterećenja dostižu svoje najveće vrednosti To je kritična zona, a presek u kome je najveći (stvarni) momenat savijanja M = M D označava se kao kritičan presek

za proračun deformacija za proračun deformacija zasniva se na pretpostavci da je koeficijent raspodele ζ konstantan duž raspona U proračunu koeficijenta ζ koristi se momenat pojave prsline za koji se usvaja da je jednak momentu pojave prsline M rd u kritičnom preseku Za momenat savijanja M u određivanju ζ usvaja se da je jednak vrednosti koje je jednaka geometrijskoj sredini momenata M rd i M D : M = M rd M D (33)

za proračun deformacija Sa ovim, naponi u armaturi koji figurišu u izrazu za koeficijent raspodele zeta dati su sa: σ r a1 = M rd z A a1 σ II a1 = M z A a1 gde je z krak unutrašnjih sila u kritičnom preseku Ako se posmatra nosač napregnut na čisto savijanje, izraz za određivanje koeficjenta raspodele ζ dat je sa ( ) 2 MrD ζ = ζ b = 1 β 1 β 2 (34) M D

za proračun deformacija Ako se u izraz (34) unese relacija (33), dobija se konačan izraz za koeficijent raspodele: ( ζ b = 1 β 1 β MrD 2 za M D > M rd (35) ζ b = 0 za M M r M D ) Kako je, sa učinjenim pretpostavkama, koeficijent raspodele u bilinearnoj metodi konstantna duž raspona ζ b = const, u proračunu ugiba ζ b može da se izvuče ispred integrala

za proračun deformacija Prema tome, izraz za ugib prema bilinearnoj metodi ima oblik: v = (1 ζ b ) K I M dx + ζ b K II M dx (36) s Prvi integral pretstavlja ugib u Fazi I, a drugi integral ugib u Fazi II na mestu prsline Proračuni krivina K I za homogeni presek i K II za isprskali presek za proizvoljan trenutak vremena vrši se primenom AAEM metode (na prikazan način) s

za proračun deformacija Ugib (36) može da se prikaže u obliku v(t) = v I (t) M M r v(t) = (1 ζ b ) v I (t) + ζ b v II (37) (t) M > M r Uvode se dodatne pretpostavke da su koeficijenti k a, k ϕ i k s konstantni duž raspona

za proračun deformacija Sa ovim pretpostavkama izrazi za ugibe za naponaska stanja za Fazu I i Fazu II mogu da se prikažu u obliku v I (t) = ka I [1 + kϕ I ϕ(t, t 0 )] K b M dx s + ks I ε s (t, t 0 ) M dx d s (38) v II (t) = ka II [1 + kϕ II ϕ(t, t 0 )] K b M dx s + ks II ε s (t, t 0 ) M dx d s

za proračun deformacija Uvode se oznake s K b M dx = v b s M dx = δ s l 2 8 gde je - v b... početni ugib neisprskalog elementa konstantne krutosti E b (t 0 ) J b - δ s... koeficijent koji zavisi od statičkog sistema nosača

za proračun deformacija Sa ovim oznakama izrazi za ugibe za naponaska stanja za Fazu I i Fazu II mogu da se prikažu u konačnom obliku v I (t) = ka I [1 + kϕ I ϕ(t, t 0 )] v b + ks I l 2 δ s 8d ε s(t, t 0 ) v II (t) = ka II [1 + kϕ II ϕ(t, t 0 )] v b + ks II l 2 δ s 8d ε s(t, t 0 ) (39) Linearizacija koja je usvojena u bilinearnoj metodi omogućava da se izrade odgovarajući dijagrami sa korekcionim koeficijentima koji uzimaju u obzir uticaje armature, prslina, tečenja i skupljanja betona

za proračun deformacija Proračun ugiba vrši se na način koji je uobičajen za elastične ugibe greda od homogenog materijala Posle toga, se uticaji koji su karakteristični za AB grede (armatura, prsline, skupljanje i tečenje) uzimaju u obzir primenom korekcionih koeficijenata Korekcioni koeficijenti se određuju pomoću odgovarajućih dijagrama (dati su u Priručniku CEB-a)

za proračun deformacija je približna emoirijska metoda dobijena na osnovu brojnih eksperimenata Koristi se posebno u USA, ali i u drugim zemljama, jer je (relativno) jednostavna i daje zadovoljavajuće rezultate Ugibi sa računaju na uobičajen način kao za elastične grede od homogenog materijala, ali se pri tome koristi efektivni momenat inercije J ef Ovaj postupak unet je u američke propise za betonske konstrukcije ACI 318-14

za proračun deformacija Efektivni momenat inercije J ef je definisan u obliku J ef = ( ) [ 3 Mr J b + 1 M ( ) ] 3 Mr Ji II (40) M Uvedene su sledeće oznake u (40): - J b... momenat inercije betonskog poprečnog preseka - Ji II... momenat inercije idealizovanog poprečnog preseka u Fazi II - M r... momenat pojave prsline, određen kao M r f bzs W b1 - M... momenat savijanja od opterećenja za koje se vrši proračun ugiba

Efektivni momenat inercije usled prslina

za proračun deformacija Upotrebom izraza (40) dovoljno dobro se aproksimira stvarno ponašanje AB elemenata sa prslinama opterećenim na savijenje, u domenu eksploatacionog opterećenja Za momente savijanja M > M r vrednost efektivnog momenta inercije kreće se između dve granične vrednosti J b i Ji II Što je veći odnos M/M r, vrednost J ef teži ka Ji II, odn. udeo zategnute zone betona između prslina na veličinu J ef postaje sve manji, čime se znatno manjuje i krutost grede

Odnos M K kod grednih nosača

za proračun deformacija Primenjujući izraz (40) za određivanje efektivnog momenta inercije grednog nosača, ugibu vremenu t = t 0 izračunava se prema relaciji - za uticaje stalnog opterećenja g: v g = k M g l 2 E b J ef (41) - za uticaje stalnog i korisnog opterećenja g + p: v g+p = k M g+p l 2 E b J ef (42) gde je k koeficijent koji zavisi od statičkog sistema (npr., za prostu gredu je k = 5/48)

za proračun deformacija Povećanje ugiba usled vremenskih deformacija betona, za stalno opterećenje, određuje se preko izraza: v g (t) = α ϕ v g (t 0 ) (43) gde je ϕ koeficijent tečenja, dok je α koeficijent kojim se uzima u obzir činjenica da prisustvo pritisnute armature smanjuje deo ugiba koji nastaje kao posledica vremenskih deformacija betona: α = 2 1.2 A a2 A a1 0.8

za proračun deformacija Da bi se smanjili ugibi usled tečenja, treba da se poveća količina pritisnute armature Ugib u proizvoljnom trenutku vremena t, usled stalnog i povremenog opterećenja, dobija se kao zbir početnog ugiba od ukupnog opterećenja g + p i priraštaj u vremenu t od stalnog opterećenja: v(t) = v g+p (t 0 ) + v g (t) (44) Treba da se istakne da superpozicija ugiba od dva različita opterećenja važi samo za stanje bez prslina

za proračun deformacija Kada se javljaju prsline, što je redovno slučaj u AB konstrukcijama pri delovanju maksimalnog eksploatacionog opterećenja, postoji izrazita nelinearnost funkcije opterećenje - deformacije, pa direktna superpozicije nije moguća: v g+p v g + v p Ugib u trenutku t, na delu elementa koji je isprskao, nelinearna je funkcija M, odn. opterećenja, tako da ne važi superpozicija

Superpozicija uticaja kod isprskalih AB elemenata Kod isprskalih AB elemenata veza opterećenja i ugiba je nelinearna, tako da ne važi princip superpozicije

Početno nadvišenje dela konstrukcije Jedna od mera za smanjenje ugiba usled stalnog opterećenja je da se delovi konstrukcije izvode sa početnim nadvišenjem To znači da se skela (i oplata) dela konstrukcije izvedu tako da postoji početno nadvišenje (ugib na gore) Skela se uklanja posle očvršćavanja betona i posle apliciranja dodatnog stalnog i korisnog opterećenja može da se postigne da konačni ugibi budu minimalni (ili nula)

Sadržaj Granična stanja prslina Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku 1 Granična stanja prslina Rekapitulacija: rastojanje prslina Rekapitulacija: širina prslina 2 3 Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Posmatra se pravougaoni presek AB elementa u kome vlada čisto savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenja Poznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka: dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitet materijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju samo momenat savijanja Nepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku

Određivanje napona u preseku Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Dvostruko armiran pravougaoni presek pod uticajem čistog savijanja: naponi i dilatacije

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Usvajaju se sledeće pretpostavke: 1 važi Bernulijeva hipoteza ravnih preseka - raspordela dilatacija po visini preseka je linearna 2 kompletnu silu zatezanja prihvata samo armatura - na delu ispod neutralne linije naponi u betonu jednaki su nuli (σ b 0) 3 veza napon - dilatacija za oba materijala (beton i čelik) data je Hukovim zakonom: σ b = E b ε b σ a = E a ε a = n E b ε a n = E a E b Odavde sledi da je i raspodela napona po visini preseka linearna

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Na osnovu usvojenih pretpostavki i definisanja odgovarajućih relacija između nepoznatih, broj nepoznatih veličina može da se svede na dve Za nepoznate veličine se biraju koeficijent položaja neutralne linije s i napon u betonu σ b (u najudaljenijem pritisnutom vlaknu) Broj uslova ravnoteže između spoljašnjih i unutrašnjih sila je takođe dva: N = 0, kao i M a = 0

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Uslovi ravnoteže između spoljašnjih i unutrašnjih sila su: N = 0 : Db + D a Z a = N = 0 Ma = 0 : D b (h x 3 ) + D a (h a 2 ) = M a = M (45) Položaj neutralne linije i dilatacije u zategnutoj i pritisnutoj armaturi mogu da se izraze preko dilatacije u betonu

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Koeficijent položaja neutralne ose s definisan je sa s = x/h i može da se prikaže preko dilatacija: s = x h = ε b ε b + ε a1 (46) Iz relacije (46) dobija se dilatacija u zategnutoj armaturi ε a1 = 1 s s ε b (47)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Iz sličnosti trouglova raspodele dilatacija dobija se dilatacija u pritisnutoj armaturi ε a2 = x a 2 x ε b = s α 2 s gde je α 2 koeficijent položaja pritisnute armature α 2 = a 2 h ε b (48)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Unutrašnja sila u betonu može da se prikaže kao D b = σ b b x 2 (49) Sile u pritisnutoj i zategnutoj armaturi date su u obliku: D a = σ a2 A a2 = E a ε a2 µ 2 b h = n E b s α 2 ε b µ 2 b h s Z a = σ a1 A a1 = E a ε a1 µ 1 b h = n E b 1 s ε b µ 1 b h s (50)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Izrazi za sile D b, D a i Z a unose se u uslov ravnoteže normalnih sila (45)/1, pa se dobija s 2 + n µ 2 s α 2 n µ 1 1 s = s s N b h E b ε b = 0 Sređivanjem se dobija kvadratna jednačina po koeficijentu položaja neutralne ose s: s 2 + 2 n (µ 1 + µ 2 ) s 2 n (µ 1 + µ 2 + α 2 ) = 0 (51)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku U prikazanim izrazima, kao što je poznato, n je broj ekvivalencije, t.j. odnos modula elastičnosti čelika i betona: n = E a /E b Položaj neutralne ose s određuje se iz uslova ravnoteže normalnih sila Iz dobijeog izraza za koeficijent s (51) vidi se da položaj neutralne ose ne zavisi od intenziteta spoljašnjeg opterećenja, već samo od količine i rasporeda armature u preseku Povećanjem spoljašnjih uticaja povećavaju se naponi u betonu iarmaturi, ali položaj neutralne ose ostaje isti

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Napon u betonu σ b određuje se iz uslova ravnoteže momenata Unošenjem izraza za unutrašnje sile u uslov ravnoteže momenata (45)/2 dobija se: σ b b x 2 (h x 3 ) + n σ b x a 2 x Deljenjem izraza sa b h 2 dobija se µ 2 b h (h a 2 ) = M a = M s σ b 2 (1 s 3 ) + n σ s α 2 b µ 2 (1 α 2 ) = M s b h 2 (52)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Najzad, rešavanjem jednačine (52) po σ b dobija se konačan izraz za napon u betonu σ b : σ b = M b h 2 s s 2 2 (1 s 3 ) + n µ 2 (s α 2 ) (1 α 2 ) (53) Izraz (53) se češće piše u obliku koji važi za poprečni presek proizvoljnog oblika, sa jednom ravni simetrije, koja se poklapa sa ravni savijanja i koji je izložen proizvoljnom savijanju (čistom ili složenom): σ b = M a b h 2 s J IIb + n µ 2 (s α 2 ) (1 α 2 ) (54)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Iz izraza (54) dobija se dilatacija u betonu ε b : ε b = σ b E b (55) U izrazu (54) uvedena je oznaka za integralnu funkciju J IIb koja je zavisna od oblika pritisnute zone betonskog preseka Za pravougaoni presek integralna funkcija J IIb zavisi samo od položaja neutralne ose: J IIb = s2 2 (1 s 3 ) = J Ib ζ b (56)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku U izrazu (56) uvedene su oznake - J Ib... integralna funkcija zavisna od oblika preseka, pomnožena sa bh σ b pretstavlja statički momenat površine pritisnuteog dela preseka u odnosu na težište idealizovanog preseka (pretstavlja neutralnu liniju) - J IIb /s... integralna funkcija zavisna od oblika preseka, pomnožena sa bh 2 σ b pretstavlja statički momenat sile pritiska u betonu u odnosu na težište zategnute armature - ζ b... krak unutrašnjih sila ζ b = J IIb J Ib 0.90

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Najzad, naponi u zategnutoj i pritisnutoj armaturi dobijaju se prema izrazima σ a1 = n σ b 1 s s σ a2 = n σ b s α (57) 2 s Dilatacije u armaturi date su, posle izračunatih napona, sa ε a1 = σ a1 E a ε a2 = σ a2 E a (58)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Posmatra se pravougaoni presek AB elementa u kome vlada složeno savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenja Poznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka: dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitet materijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju momenat savijanja i normalna sila pritiska Nepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku

Određivanje napona u preseku Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Dvostruko armiran pravougaoni presek pod uticajem složenog savijanja: naponi i dilatacije

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Sve pretpostavke, kao i postupak proračuna isti su kao što je prikazano za slučaj čistog savijanja Iz uslova ravnoteže normalnih sila dobija se kubna jednačina za keoficijent s: ( s 3 ea1 + 3 6n ) h 1 s 2 + 6n ( ea1 h µ 1 + e ) a2 h µ 2 α 2 = 0 ( ea1 h µ 1 + e ) a2 h µ 2 s (59)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku U jednačini (59) uvedene su oznake za ekscentricitet normalne sile N u odnosu na zategnutu i pritisnutu armaturu (videti prikazanu sliku): e a1 = e + y a1 = M N + d 2 a 1 e a2 = e y a2 = M N d 2 + a 2 (60) Kada se odredi položaj neutralne linije rešavanjem kubne jednačine, napon u betonu se izračunava iz izraza (54) Sa izračunatim naponom u betonu, naponi u armaturi se određuju iz relacija (57)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Posmatra se presek oblika T AB elementa u kome vlada čisto ili složeno savijanje, pod uticajem eksploatacionog opterećenja Poznate su geometrijske i mehaničke karakteristike preseka: dimenzije preseka, količina i raspored armature, kvalitet materijala, kao i sile u preseku, u ovom slučaju momenat savijanja i normalna sila pritiska Nepoznati su naponi i odgovarajuće dilatacije u preseku Pretpostavlja se da je neutralna osa unutar rebra x > d p

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Uz uobičajne oznake za gredu T preseka (B je aktivna širina ploče, d p je debljina ploče, b je širina rebra, d je ukupna visina grede), uvode se i oznake: µ 1 = A a1 bh δ = d p h µ 2 = A a2 bh α 2 = a 2 h n = E a E b (61)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Može da se pokaže da u integralne funkicje za gredu T preseka date sa J Ib = B s 2 ( ) B (s δ) 2 b 2 b 1 2 J IIb = B s 2 b 2 (1 s ( ) ( B (s δ) 2 3 ) b 1 1 s + 2δ ) 2 3 (62)

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Položaj neutralne linije s određuje se iz uslova ravnoteže normalnih sila Za slučaj čistog savijanja dobija se jednačina n(µ 1 + µ 2 ) s J Ib + n(µ 1 + µ 2 α 2 ) = 0 (63) Za slučaj složenog savijanja dobija se jednačina ( ea1 n h µ 1 + e ) a2 h µ 2 s + J IIb e a1 h J Ib ( ea1 + n h µ 1 + e ) (64) a2 h µ 2 α 2

Granična stanja napona Presek pod uticajem čistog savijanja Presek pod uticajem složenog savijanja Naponi u T preseku Prvo se odrede integralne funkcije za T presek (62), kao i koeficijenti (61) Kada se odredi položaj neutralne linije rešavanjem jednačina (63) ili (64), napon u betonu se izračunava iz izraza (54) Sa izračunatim naponom u betonu, naponi u armaturi se određuju iz relacija (57) Ukoliko se neutralna osa nalazi u ploči x < d p, proračun se (ponovo) sprovodi za pravougaoni presek širine B, pri čemu su koeficijenti armiranja µ 1 i µ 2 određeni u odnosu na B