INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE 5.. Izvod reale fukcije jede reale promjeljive 5... Pojam izvoda (derivacije) fukcije (Latiska izreka.) Neka je a otvoreom itervalu J (= (a, b) R) defiiraa reala fukcija jede reale promjeljve. Neka je proizvolja fiksiraa tačka iz J. Ozačimo sa takav reala broj da + J. Broj Δy : = f ( + ) f ( ) azivamo priraštaj fukcije f u tački, odoso priraštaj fukcije f u tački koji odgovara priraštaju argumeta. Tada možemo formirati količik f ( + ) f ( ). (5..) Pustimo sada da teži ka uli. Ako se pri tome desi da količik (5..) teži ka koačom broju, oda taj broj azivamo izvodom ili derivacijom fukcije f () u tački (po argumetu ). U ovom slučaju za fukciju f se kaže da ima (koača) prvi izvod ili samo izvod u tački. Izvod fukcije f () u tački (ako postoji) ozačavamo sa f ( ). Prema tome, po defiiciji je f ( + ) f ( ) f ( ) =, (5..) pod pretpostavkom da es a desoj strai u (5..) postoji i da je koača. Primijetimo da se izvod fukcije f u tački može pisati i u obliku f ( ) f ( f ( ) = ). (5..3) Ako fukcija f () ima u tački izvod f ( ), oda se kaže da je oa u toj tački derivabila ili da je u toj tački diferecijabila. Otkuda ovaj drugi termi objasit ćemo u aredom odjeljku. Operacija kojom se polazeći od fukcije f () dolazi do jeog izvoda (u tački ) aziva se deriviraje ili difereciraje (u tački ). Ako fukcija f () ima izvod u svakoj tački J, oda kažemo da je oa derivabila ili diferecijabila a J. Izračuavaje i ispitivaje izvoda, te jiovo korišteje u matematici i drugim aukama aziva se diferecijali raču. 5
5 Pored ozake f ( ) (za izvod fukcije f () u tački ), koja potiče od Lagragea upotrebljavaju se i ozake: df ( ) i D f ( ). d Posljedja ozaka potiče od Caucyja, a pretposljedja od Leibiza. df Umjesto ovi ozaka koriste se i kraće ali eprecizije ozake: f,, D f. d Kod ovi ozaka e vidi se u kojoj tački je izvod račuat. dy Ako umjesto f () pišemo y ( y = f ()), oda za izvod koristimo i ozake: y,, D y. Ako, pak, d oćemo da je izvod račuat u odosu a argumet, oda pišemo: f ( ), D f ( ). Često se priraštaj argumeta ozačava sa, pa se piše f ( + ) f ( ) f () =. (5.. ) Skup svi tačaka D( f ) u kojima fukcija f ima izvod (koača) čii dome fukcije a f (). Fukciju f također azivamo izvodom (ili derivacijom) fukcije f, ili izvodom fukcijom. Primjeri 5... a) Neka je f () : = c = cost. Tada za svaki R imamo da je f ( + ) f ( ) c c f () : = = =, tj. (c) =. b) Neka je f () : =, N. Za svaki (N\{}) imamo: ( + ) = + + + +, odakle je ( + ) ( ) f () = = + + + =, tj. ( ) =. Za = vrijedi ( + ) f () = = =, tj. () =. Ako je α R proizvolja (fiksira), dokazuje se da važi ista formula (kao i kad je priroda): ( α ) = α α (za svaki R za koji obje strae ove jedakosti imaju smisla u R). Primjeri 5... a) (a ) = a + a a = a = a l a > ); specijalo je (e ) = e ( R). si cos + si( + ) si b) (si ) = = = cos, ( R)., ( R, a > ), tj. (a ) = a l a ( R, a si si + cos( + ) cos c) (cos ) = = = si, ( R). Primijetimo da se postupkom difereciraja fukciji pridružuje jea izvoda fukcija, pa je a taj ači defiira jeda operator D (diferecijali operator): D f = f. Zadatak 5... Izračuajte prvi izvod zadai fukcija u tački = : a) f () = + + 9; b) f() = e ; c) f () = (5 8 ) 3 ; d) f () = l ; e) f () = arc tg.
l + l( + t) t f ( ) f () Rješeje. d) f () = = = = = / t t = l( + t) = t t t = l e = =. 5... Geometrijsko začeje izvoda Neka je ( p) eka prava u y ravi. Ako ova prava ije okomita a osu, oda kažemo da je to kosa prava. Ako a pravoj ( p) od dva moguća smjera odaberemo jeda kao pozitiva, oda kažemo da je ( p) orijetisaa prava. Na slikama ćemo orijetaciju prave ozačavati strelicom. Dogovorimo se sljedeće. Ako drugačije e bude izričito kazao, mi svaku kosu pravu smatramo orijetisaom s lijeva udeso, tj. u skladu sa rastom argumeta. Pravu koja je okomita a y osu orijetisat ćemo od slučaja do slučaja odozdo prema gore ili odozgo prema dole. Uvedimo sad pojam ugla između orijetisai pravi. Neka su date dvije prave ( p ) i ( p ) koje se sijeku u tački M. Oda pod uglom između ovi orijetisai pravi podrazumijevamo ugao za koji treba rotirati pravu ( p ) oko tačke M da se po pravcu i smjeru poklopi sa pravom ( p ). Napomeimo da ugao između dvije orijetisae prave ije jedozačo određe. Naime, ako je α ugao između ( p ) i ( p ), oda je očito i α +kπ (k =, ±, ±,... ) ugao između ( p ) i ( p ). Ako su prave ( p ) i ( p ) paralele, oda smatramo da je ugao između ji +kπ (k =, ±, ±,...) odoso π +kπ (k =, ±, ±,... ) već prema tome da li im se smjerovi poklapaju ili su suproti. Da bi izbjegli ovu eodređeost ugla između orijetisai pravi, mi ćemo od sada pod uglom između pravi ( p ) i ( p ) podrazumijevati oaj ugao između koji ima ajmaju apsolutu vrijedost. Ako se ovako ( p) y dogovorimo, oda ugao između ( p ) i ( p ) uvijek pripada ( p) π π π itervalu,. Pri tome aravo smatramo da su prave ( π < α < γ = γ α p ) i ( p ) orijetisae slijeva udeso. δ β Neka je ( p) orijetisaa prava. Nama će biti važa ugao koji osa čii sa ovom pravom. Po ašem dogovoru taj π π < β < π π ugao uvijek pripada segmetu δ =, (sl. 5.5.). Sl. 5... Neka je u y ravai zadaa kriva (K) i eka je M tačka a toj krivoj. Uzmimo sada bilo koju drugu tačku M koja pripada toj krivoj (K). Kroz tačku M povucimo sekatu M M. Pretpostavimo da je kriva (K) eprekida u tački M. Pustimo sada da M M ostajući a krivoj (K). Tada će sekata M M mijejati svoj položaj u ravi i stalo prolaziti kroz tačku M. y Ako se pri tome desi da sekata M M teži ka p ekoj potpuo određeoj pravoj (koja prolazi kroz f ( + ) M M ) oda se ta prava aziva tagetom krive (K) u y = f () tački M i kaže se da kriva (K) u tački M ima f ( ) tagetu. M 5 α(, ) α( ) + Sl. 5..
53 Ako pak pri ovome (M M ) sekata kriva ema tagete u tački M. M M e teži ikakvoj određeoj pravoj oda se kaže da Pretpostavimo sada da am je kriva (K) zadata jedačiom y = f (), gdje je f () eka fukcija a itervalu J. Neka je M = (, f ( )) tačka sa aše krive. I eka je M bilo koja druga tačka a toj krivoj. Njeu apscisu ozačimo sa +, tada je ordiata jedaka f ( +), tj. M = ( +, f ( + )). Pretpostavimo još da je fukcija f () eprekida u tački. Povucimo sekatu M M (sl. 5..). Ugao koji sekata M M čii sa osom ozačimo sa α (, ). Pretpostavimo sada da aša kriva u tački M ima kosu tagetu. Neka je ( p ) ta tageta. Ugao koji oa čii sa osom ozačimo sa α ( ). Napomeimo sada da M M akko. Pustimo sada da, tj. da M M. Tada će sekata M M težiti ka tageti ( p ). Zbog toga će α (, ) α ( ) kad. Odavde slijedi da tg α (, ) tg α ( ) kad. (5..4) Ovdje smo iskoristili čijeicu da je tg eprekida fukcija. S druge strae, sa slike 5... vidimo da je Δ y f ( tg α (, ) =, tj. tg α ( + ) f ( ), ) =. Sada (5..4) možemo pisati u obliku f ( + ) f ( ) tg α ( ) kad. (5..5) π Pošto je tageta ( p ) kosa tageta, to je α ( ) ±. To zači da je tg α ( ) koača broj. Sada iz (5..5) zaključujemo da fukcija f () u tački ima izvod f ( ) i da je f ( ) = tg α ( ). (5..6) Dakle, ako kriva y = f () ima kosu tagetu u tački M = (, f ( )), oda fukcija f () ima u tački izvod f ( ) i vrijedi (5..6), gdje je α ( ) ugao koji ta tageta čii sa osom. Pretpostavimo sad obruto, da fukcija f () ima u tački izvod f ( ). To zači da f ( + ) f ( ) f ( ) kad. (5..7) Kako je f ( + ) f ( ) = tg α (, ), to (5..7) možemo pisati u obliku tg α (, ) f ( ) kad. No, budući da je fukcija arctg eprekida fukcija, to odavde dobijemo da α (, ) arctg f ( ) kad. Zači, ugao α (, ) koji sekata M M čii sa osom kad, tj. kad M M, teži ka broju arctg f ( ). Ovo pak zači da se sekata M M približava pravoj koja prolazi kroz tačku M i sa osom gradi ugao arctg f ( ). Sve ovo zači da kriva (K) ima u tački M kosu tagetu i da ta tageta sa osom čii ugao arctg f ( ). Ako taj ugao ozačimo sa α ( ) oda imamo da je Ovo je pak isto kao i ) = tg α ( ). α ( ) = arctg f ( ).
Dakle, ako fukcija f () ima u tački izvod f ( ), oda kriva (K) ima u tački M = (, f ( )) kosu tagetu i za ugao koji ta tageta čii sa osom poovo vrijedi jedakost (5..6). Iz svega ovog zaključujemo sljedeće: Kriva y = f () ima u tački M = (, f ( )) kosu tagetu akko fukcija f () ima u tački izvod f ( ) i u slučaju da taj izvod postoji, oda slijedi: f ( ) = tg α ( ), gdje je α ( ) ugao koji tageta čii sa osom. Drugim riječima, f ( ) u tački je koeficijet smjera tagete krive y = f () povučee u tački M. Na osovu ovoga mi možemo lako apisati jedačiu tagete koja je povučea u tački M = (, f ( )) krive y = f () pod pretpostavkom da ta tageta postoji, tj. pod pretpostavkom da postoji izvod f ( ). Iz aalitičke geometrije mi zamo da jedačia krive koja prolazi kroz tačku M = (, f ( )) ima oblik y f ( ) = k ( ), gdje je k koeficijet smjera te prave. Pošto je koeficijet tagete f ( ), to odavde imamo da jedačia pomeute tagete ima sljedeći oblik: y f ( ) = f ( ) ( ). Prava koja je povučea kroz tačku M = (, f ( )) i koja je okomita a tagetu u toj tački aziva se ormala te krive u tački M. Ako je f ( ), oda je (kao što zamo iz aalitičke geometrije) koeficijet smjera ormale jedak. Dakle, jedačia ormale aše krive u tačaki M ima f ( ) oblik: y y f ( ) = ( ). (5..8) f ( ) M 54 Ako je f ( ) =, tj. ako je tageta paralela sa osom i dakle, ormala okomita a osu, oda je očigledo da jedačia ormale glasi = (sl. 5..3). Napomeimo da jedačiu ormale, tj. jedačiu (5..8) možemo apisati u obliku f ( ) ( y f ( )) = ( ). (5..9) Važo je apomeuti da ovaj oblik jedačie ormale obuvata i slučaj f ( ) =. Sl. 5..3. Na kraju, spomeimo još da je problem tagete bio jeda od problema koji su doveli do izgradje diferecijalog račua. 5..3. Meaičko začeje izvoda Drugi problem koji je doveo do diferecijalog račua jeste problem defiicije brzie materijale tačke. Ako se materijala tačka kreće po pravcu jedoliko, tj. ako u jedakim vremeima prelazi s jedake puteve, oda se pojam brzie defiira jedostavo. Brziom se tada aziva broj, gdje je t t vrijeme kretaja, a s pređei put. To zači da je ustvari brzia jedolikog kretaja put pređe u jediici vremea. No, kako treba defiirati brziu u slučaju da kretaje ije jedoliko? Postupa se ovako: Neka je s = s(t) put koji je materijala tačka prešla za vrijeme t. Uzmimo sad fiksirao t i prirast vremea Δt. Put koji je materijala tačka prešla do mometa t jedak je s(t ), a put koji
je materijala tačka prešla do treutka t + Δt jedak je s(t + Δt). No, tada je s(t + Δt) s(t ) put koji je materijala tačka prešla u itervalu od t do t + Δt. s ( t + Δt) s ( t) Broj aziva se prosječom brziom materijale tačke u vremeskom itervalu Δt od t do t + Δt. Prosječa brzia o kretaju aše materijale tačke daje sljedeću iformaciju. Oa pokazuje kojom brziom treba jedoliko da se kreće materijala tačka da bi od mometa t do mometa t + Δt prešla put Δs = s(t + Δt) s(t ). No, ta brzia e daje iformaciju o tome kakvo je bilo staje kretaja u pojediim mometima t i t + Δt. Zbog toga je prirodo pustiti da Δt i tražiti es s ( t + Δt) s ( t) Δt. Δt Ovaj es aziva se treutom brziom aše materijale tačke u mometu t. S druge strae, mi zamo da je ovaj es jedak s(t ), tj. o je jedak izvodu fukcije s(t) u tački t. Dakle, mi treutu brziu materijale tačke defiiramo kao izvod puta po vremeu. U ovome se sastoji meaičko začeje izvoda. Može se ovo razmatraje i poopštiti. Neka je p() bilo koja veličia koja zavisi od ezaviso promjeljive. Tada izvod p() ozačava brziu kojom se mijeja veličia p() u odosu a promjeu veličie. 55 5..4. Jedostrai izvodi i beskoača izvod Defiicija 5... Graiče vrijedosti f ( + ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = = =, _ _ + _ + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = = + + + ako postoje, azivamo, redom, lijevim i desim izvodom fukcije f u tački. Lijevi i desi izvod azivamo jedostraim izvodima. Iz svojstva esa fukcije slijedi da ako je f _ ( ) = f + ( ), oda fukcija f u tački ima izvod f ( ) i pri tom je f ( ) = f _ ( ) = f + ( ). Geometrijsko začeje pojmova lijevog i desog izvoda je lako uočljivo (v., pr., str. u kjizi: ADNAĐEVIĆ, D., KADELBURG, Z., Matematička aaliza I, Nauka, Beograd, 995). Ako fukcija f, posmatraa a segmetu [a, b], (a < b), ima izvod u itervalu (a, b), zatim lijevi izvod u tački b i desi izvod u tački a, oda se često kaže da f ima izvod a segmetu [a, b]. Uzimajući u obzir geometrijsku iterpretaciju izvoda kao koeficijeta pravca tagete i očitu čijeicu da tageta krive može biti vertikala, defiicija pojma izvoda se proširuje i a takve slučajeve, tako da imamo sljedeću defiiciju. Defiicija 5... Za fukciju f : D K (D, K R) kažemo da u tački D ( tačka gomilaja skupa D) ima beskoača izvod koji je jedak + (ili ) ako je f ( ) f ( ) f ( ) f ( = + (ili ) = ).
56 Aalogo se defiira i pojam jedostraog beskoačog izvoda. Ako fukcija ima beskoača izvod u ekoj tački svog domea, oda oa u toj tački može (ali e mora) da bude eprekida (v. sljedeće primjere). Primjer 5..3. a) Fukcija f () : = 3 je očito defiiraa i eprekida u svakoj tački R. U tački je 3 f ( ) f () = = = +, 3 tj. zadaa fukcija f u uli ima beskoača izvod. b) Fukcija g zadaa formulom g() = sg ima u uli beskoača izvod, jer je g( ) g() sg = = c) Fukcija f () = 3 je defiiraa i eprekida za svaki R. U tački je f( ) f() = =±, ± 3 ± pa fukcija f () u uli ema izvoda (i koačog i beskoačog), ali su joj lijevi i desi izvod beskoači: f _ () =, f + () = +. = + 5.. Diferecijabilost i diferecijal fukcije. Pojam izvoda fukcije f u tački proširujemo i a slučaj kada je fukcija f defiiraa a proizvoljom skupu D ( R) kome je tačka gomilaja koja mu pripada. U tom smislu, ako drugačije e azačimo, podrazumijevat ćemo da je zadaa fukcija f oblika f : E R, (E R). (5..) Kao eposreda posljedica defiicije izvoda dobije se jeda korisa formula. Teorema 5... (Teorema o koačom priraštaju fukcije). Ako fukcija f oblika (5..) ima izvod u tački gomilaja, oda je priraštaj možemo predstaviti u obliku f () f ( ) = f ( ) ( ) + ω () ( ), (5..) pri čemu je ω () (= ω ( ; )) eprekida fukcija u tački i jedaka uli u toj tački, tj. ω () = ω ( ) =. Dokaz: Defiirajmo fukciju ω a skupu E formulom: Tada je ω () = f ( ) f ( ) f, za =. ( ), za, ω ) = f ( ) f ( ) =. Kako postoji graiča vrijedost ω () =, to možemo izvršiti, kako je to već urađeo, produžeje fukcije ω () po eprekidosti u tački. Ovim je teorema 5... dokazaa. Formula (5..) ili, što je isto, formula f ( + ) f ( ) = f ( ) + ω (), odoso formula
57 f ( + ) = f ( ) + f ( ) + ω (), aziva se formula o razlagaju. Priraštaj zada formulom (5..) može se apisati i u obliku: f ( ) ( ) + o( ), ( ), tj. vrijedi f () f ( ) = f ( ) ( ) + o( ), ( ), što predstavlja asimptotsku jedakost. Tvrdja 5... Fukcija f koja ima izvod u tački eprekida je u toj tački. Dokaz: Zaista, iz dokazae jedakosti (5..) slijedi da je [ f ( ) f ( )] = [ f ( ) ( ) + ω ( ) ( ) ] =, odoso f () = f ( ), čime je tvrdja 5... dokazaa. Napomeimo da obruta tvrdja od 5... e važi, tj. da eprekida fukcija u tački e mora imati izvod u toj tački, tj. eprekidost u tački je potreba ali e i dovolja uslov za postojaje (koačog) izvoda u toj tački. To se vidi iz sljedećeg primjera. *) Primjer 5... Posmatrajmo fukciju f () : =, R. Ova fukcija je eprekida za svaki R, pa je eprekida i za =. Pogledajmo da li ova fukcija ima izvod u tački =. Neka je f ( + ) f () i formirajmo količik. Imamo: f ( + ) f () + = =. Zači vrijedi f ( + ) f () Δ =, ( ). (5..3) Δ Neka je >. Tada je =, pa za (5..3) dobijemo: f ( + ) f () Δ = =. Δ Ako pretpostavimo da, imamo f ( + ) f (), kad, tj. f ( + ) f () =. (5..4) Za < je =, pa iz (5..3) dobijemo f ( + ) f () = =. Δ Ako pretpoistavimo da, oda odma dobijemo da vrijedi: f ( + ) f () = =. Δ *) Postoje primjeri fukcija koje su eprekide u svakoj tački R ali emaju izvod i u jedoj tački. Takvi primjeri su aalitički komplikovai, a zasovai su a ideji da se posmatra graiči slučaj iza eprekidi fukcija od koji svaka sljedeća ima sve više "špiceva" u kojima ema (jedistveu) tagetu. Jeda takva (Weierstrassova) fukcija f je zadaa izrazom f () = (cos(3 )) /. (Vidjeti zadatak 48 za jeda takav primjer u kjizi: MERKLE, M., = Matematička aaliza pregled teorije i zadaci, Beograd 994.)
58 Ako pretpoistavimo da tj., oda odma dobijemo da vrijedi: f ( + ) f (), kad, f( + ) f() =. Odavde i iz (5..4) vidimo da je f ( +) f() f ( + ) f(). f ( + ) f() No, ovo pokazuje da e postoji es. Δ To pak zači da aša fukcija ema uzvod u tački = (iako je oa u toj tački eprekida). Prema tome, možemo kazati da pojam izvoda ima lokali karakter. Defiicija 5... Za fukciju f zadau sa (5..) kažemo da je diferecijabila u tački E ako je tačka gomilaja skupa E i ako se je priraštaj u tački može apisati u obliku f () f ( ) = L( ) + ω() ( ), (5..5) pri čemu je L reala broj (L R), a ω() eprekida fukcija u tački i jedaka u toj tački, tj. ω () = ω ( ) =. Iz avedee defiicije 5... slijedi da ako je fukcija f diferecijabila u tački, tada je oa i eprekida u toj tački, tj. eprekidost u tački je potreba uslov za diferecijabilost fukcije u toj tački. Defiicija 5... Ako je fukcija f oblika (5..) diferecijabila u svakoj tački E, tada kažemo da je oa difeercijabila a skupu E i kratko se kaže (odoso pišemo) f D(E). Važi sljedeća teorema o potrebom i dovoljom uslovu diferecijabilosti reale fukcije jede reale promjeljive: Teorema 5... Da bi fukcija f bila diferecijabila u tački potrebo je i dovoljo da postoji f ( ) R (tj. da fukcija f ima koača izvod f ( )). Dokaz: Dokažimo da je uslov potreba. Iz pretpostavke da je fukcija f diferecijabila u tački, prema (5..5) imamo: f ( ) f ( ) = L + ω (), za svaki E,. Iz ove jedakosti, prelaskom a graiču vrijedost za, dobijemo f ( ) f( ) = L = f ( ) R. Ovim je potreba uslov i dokaza. Dovolja uslov slijedi iz pretodo dokazae teoreme 5.4.. Iz teoreme 5... slijedi da pojmovi fukcija f diferecijabila u tački i fukcija f ima (koača) izvod u tački zače jedo te isto za realu fukciju jede reale promjeljive. Iz teoreme 5... takođe slijedi da se priraštaj diferecijabile fuckije f u tački prikazuje a jedistve ači u obliku (5..5). Stvaro, eka je f () f ( ) = L( ) + ω () ( ), f () f ( ) = L * ( ) + ω * () ( ), pri čemu je L L *, ω () ω * ().
Prema teoremi 5... slijedi da je L = L * = f ( ). Sada je [ω () ω * ()] ( ) =. Iz ove jedakosti za iz defiicije pojma diferecijabilosti slijedi da je ω ( ) = ω * ( ) =. Ovim je tvrđeje i dokazao. Defiicija 5..3. Ako je fukcija f oblika (5..) diferecijabila u tački, oda se izraz f ( ), precizije, fukcija a f ( ), odoso lieara fukcija po : f ( )( ), aziva diferecijalom fukcije f u tački i ozačava se sa: df ( )() ili df ( ; ) ili df (, ) i sl., tj. df ( )() = f ( ), df (, ) = f ( )( ) ili kraće df ( ) = f ( ). Ako fukcija y = f () oblika (5..) ima izvod (tj. diferecijala je) a ekom skupu E * E, tada uvedeu ozaku za diferecijal zamjejujemo sa dy = df () = f ( ), pri čemu je proizvolja tačka iz E * ( E * ), a ima odgovarajuću vrijedost. 59 5.3. Pravila (formalizam) difereciraja 5.3.. Osova pravila difereciraja Napomeimo prvo, da skup diferecijali fukcija oblika (5..) u tački E predstavlja vektorski prostor ad poljem (R) reali brojeva, a preslikavaje koje elemetima ovog skupa pridružuje vrijedost ovog izvoda je liearo preslikavaje tog prostora u skup reali brojeva. Iz teoreme 5.., defiicie pojma izvoda pomoću graiče vrijedosti i svojstava graiči vrijedosti slijedi eposredo sljedeća teorema kojom su data osova pravila difereciraja: Teorema 5.3.. Ako su fukcije f i g oblika (5..) diferecijabile u tački E, oda su i f fukcije f + g, f g, (g () ) diferecijabile u tački i pri tome važe jedakosti: g ( ) ( ) ( ) a) ( f ± g )() = f () ± g (); b) cf = c f, gdje je c proizvolja reala kostata; b) ( f g ) () = f () g() + f () g (); d) f g ( ) = f ( ) g( ) f ( ) g ( ) [ g( ) ], (g () ). Važe sljedeće posljedice avedee teoreme: (i) Izvod od lieare kombiacije diferecijabili fukcija oblika (5..) u tački E jedak je liearoj kobiaciji izvoda ti fukcija u toj tački, tj. i= c f ( ) = i i i= c f ( ) gdje su c, c,..., c R proizvolje reale kostate. (ii) Ako su fukcije f, f,..., f oblika (5..) diferecijabile u tački E, oda je i jiov proizvod diferecijabila fukcija i pri tome važi jedakost ( f f... f )() = f () f ()... f () + f () f ()... f () + f () f ()... f (). Specijalo je ( f f... f )() = ( f ()) = f () f (), za N. (iii) Možeći avedee jedakosti pod a), b), c) i d) u teoremi 5.3.. sa priraštajem argumeta u tački dobijemo sljedeća osova svojstva diferecijala: d ( f ± g)() = df () ± dg(); d( c f )( ) = cd f( ) ; i i,
6 d ( f g)() = df () g() + f () dg(); d f g df ( ) g( ) f ( ) dg( ) ( ) = [ g( ) ], (g () ). 5.3.. Izvod iverze i složee fukcije Teorema 5.3.. (Stav o izvodu iverze fukcije). Neka je fukcija f eprekida, strogo mootoa a itervalu (a, b) koja ima izvod različit od ule u tački (a, b). Tada iverza fukcija f ( = g ) ima izvod u tački y = f ( ) (a, b ) = f ((a, b)) koji je jedak, tj. f ( ) ( f ( )) =. f ( ) Dokaz: Neka su ispujei uslovi teoreme. Tada, kako zamo, postoji iverza fukcija f = g, koja je eprekida i strogo mootoa a itervalu (a, b ), pa je g( y) g( y ) za y y. Kako je po pretpostavci fukcija f diferecijabila u tački, to je f () f ( ) = ( ) [ f ( ) + ω ()], pri čemu je ω () = ω ( ) =. Iz posljedje jedakosti slijedi da je y y =[g( y) g( y )] [ f ( ) + ω (g( y))], jer za f () = y je = g( y), a za f ( ) = y je = g( y ), pri čemu je ω (g( y)) = ω (g( y )) = = ω ( ) =. Iz posljedje jedakosti imamo da je g( y) g( y) = y y f ( ) + ω( g( y)) za y = y. Prelaskom a graiču vrijedost za y y dobijemo da je g ( y ) =, što je i trebalo f ( ) dokazati. Teorema 5.3.3. (Stav o izvodu složee fukcije). Neka je fukcija f defiiraa a itervalu (a, b) R, a fukcija g defiiraa a itervalu (a, b ) R koji je sadrža u f ((a, b)). Ako je fukcija f diferecijabila u tački iz itervala (a, b), a fukcija g diferecijabila u tački f ( ) (a, b ), oda je i složea fukcija F = g o f diferecijabila u tački i je izvod je jedak g( f ( )) f ( ). Dokaz: Kako je po pretpostavci fukcija g(u) za u = f () diferecijabila fukcija u tački f ( ) = b to je g(u) g(b) = (u b)[g (b) + ω (u)], gdje je ω (u) = ω (b) =. u b Iz pretpostavke da je i fukcija f diferecijabila u tački imamo da je u b = f () f ( ) = ( ) [ f ( ) + ω ()], pri čemu je ω () = ω ( ) =. Formirajmo sada priraštaj fukcije F u tački F() F( ) = g[ f ()] g[ f ( )] = g(u) g(b) = (u b) [g (b) + ω (u)] = ( ) [ f ( ) + ω ()] [g (b) + ω (u)]. Iz ove jedakosti slijedi F( ) F( F ( ) = ) = g(b) f ( ) = g( f ( )) f ( ), jer je ω () = i ω (u) = ω ( f ()) = ω ( f ( )) = ω (b) =. Ovim je teorema i dokazaa. y y
6 Napomeimo da radi kratkoće pisaja često izostavljamo pisaje argumeta avedei fukcija, ali i avodimo kao idekse ti fukcija. Tako se i izvod složee fukcije kraće piše u obliku F = g u u = g u f. Napomeimo takođe da dokazaa teorema važi i za slučaj proizvoljog koačog broja međuargumeata. α α = α ( α R) R imaju smisla u R ); specijalo je: 5.3.4. Tablica izvoda i teika difereciraja Navodimo sada tablicu izvoda (derivacija) osovi fukcija (osovi elemetari fukcija, iperbolički i iverzi iperbolički fukcija). Budući da se elemetare fukcije dobijaju iz osovi elemetari fukcija koačom primjeom aritmetički operacija i operacije kompozicije fukcija, to se pomoću ove tablice i teorema o osovim pravia difereciraja (deriviraja) i o izvodu složee fukcije može dobiti koača izvod proizvolje elemetare fukcije (u svakoj tački u kojoj o postoji), što je često mogo jedostavije ego izračuavati izvod direkto po defiiciji. Jaso, u slučajevima fukcija koje isu elemetare ova teika tabličog deriviraja ije uvijek moguća, pa se tada izračuavaje izvoda vrši i direkto po defiiciji (pr. u tačkama u kojima se sa jedog prelazi a drugi aalitički izraz kada je fukcija zadaa pomoću dva ili više aalitički izraza). I. ( C) = ( C = cost) ( R) ; II. ( ) ( za svaki za koji izrazi a desoj i lijevoj strai ove jedakosti a) () = ; b) ( ) = ; c) = ; d) ( ) = ; III. ( a ) = a l a, ( a> ) ( R) ; specijalo je (e ) = e ; IV. (log ) =, ( < a ) ( R) ; specijalo je a l a (l ) = ; V. a) (si ) = cos ( R), b) (cos ) = si ( R), c) π cos + (tg ) =, ( kπ, k Z), d) si (ctg ) =, ( kπ, k Z ) ; VI. a) (arcsi ) =, ( < ) ; b) (arccos ) =, ( < ) ; c) + (arc tg ) =, ( R ) ; d) (arcctg ) =, ( R ) ; + VII. a) (s ) = c ( R ), b) (c ) = s ( R), c) VIII. a) b) c) c (t ) = ( R ), d) (ct ) = ( ) ; = + = R, (ar s ) (l ( + )) ( ) + = ± =± >, (ar c ) (l ( )) ( ) + l (ar t ) = = ( < ), d) s + l (ar ct ) = = ( > ). Tabliči izvodi u I. VIII. mogu se izračuati direkto po defiiciji; ekoliko ovi izvoda je dobijeo u avedeim primjerima o izvodima, a eki se mogu dobiti i primjeom pravila
6 difereciraja. Tako, pr., primjeom teoreme o izvodu iverze fukcije dobijemo da iz y = i y y = ar ct slijedi da je = =,( ) (ct y) /s y ct y (ar ct ) = = >. Kako su izvodi osovi elemetari fukcija takođe elemetare fukcije, to se, primjeom osovi pravila difereciraja (tj. pravila izračuavaja izvoda zbira, proizvoda i količika) i pravila difereciraja kompozicije fukcija, može vidjeti da su ivodi svi elemetari fukcija, poovo elemetare fukcije. Otuda slijedi da je operacija difereciraja zatvorea u skupu elemetari fukcija. 5.4. Geometrijsko začeje (geometrijska iterpretacija) diferecijala i diferecijal složee fukcije Izvod diferecijale fukcije oblika (5..) u tački D, kao što zamo, geometrijski predstavlja koeficijet smjera tagete u tački (, f ( )), pa jedačia tagete u toj tački glasi l() = f ( ) ( ) + f ( ), pri čemu je l( ) = f ( ), iz čega slijedi da je df (, ) = f ( ) ( ) = l() l( ). Prema tome, diferecijal fukcije f u tački geometrijski predstavlja prirast fukcije l u tački, tj. prirast ordiate tagete u tački a grafik fukcije f (). Teorema 5.4.. (Diferecijal složee fukcije). Diferecijal složee fukcije jedak je proizvodu izvoda te fukcije po međuargumetu i diferecijala međuargumeta. Dokaz: Neka je fukcija y = f () defiiraa a itervalu (a, b) R i diferecijabila u tački (a, b). Neka je fukcija = ϕ (t) defiiraa a itervalu (α, β ) R i diferecijabila u tački t (α, β ), pri čemu je ϕ ((α, β )) (a, b). Iz avedeog i prema pretodoj teoremi slijedi da je kompozicija F = f o ϕ diferecijabila u tački t i da je je izvod u toj tački dat sa: F (t) = f () ϕ (t) = f (ϕ (t)) ϕ (t). Sada je diferecijal fukcije y = f () za = ϕ (t) po defiiciji: dy = df () = [ f (ϕ (t))] Δt = f (ϕ (t)) ϕ (t) Δt = f () d, gdje je d = ϕ (t) Δt, što je i trebalo dokazati. Prema tome ako je argumet fukcije f () direkta ezaviso promjeljiva, a e međuargumet, oda se uzima po dogovoru da je diferecijal argumeta jedak jegovom priraštaju, tj. d =. Usvajajući ovaj dogovor jedakost dy = df () = f () d važi uvijek bez obzira da li je direkto ezaviso promjeljiva ili međuargumet. Naprijed kazao predstavlja ivarijatost forme diferecijala (prvog reda). Teorema 5.4.. (Stav o približom određivaju vrijedosti fukcije). Ako je f (), oda Δ y je =, pri čemu je y = f () fukcija oblika (5..). Δ dy Dokaz: Iz pretpostavke teoreme slijedi da se priraštaj fukcije Δy = Δ f () u tački može apisati sa: Δy = Δ f () = f ( + ) f () = f () + ω ( + ),
63 ω( + ) pri čemu je = + df ( ) f ( ) f ( ) Δ f( ) slijedi da je =, tj. Δ df( ) Δ f () df () za ili f ( + ) f () + f () za. Posljedja relacija predstavlja približu vrijedost fukcije f u tački + ako je pozata jea vrijedost u tački, jaso, uz učijee pretpostavke u teoremi. Δ f ( ) [ f ( ) + ω( + ) ] ω ( + ) = ω () =. Iz jedakosti = Δ Teorema 5.4.3. (Stav o ajboljoj lokaloj aproksimaciji fukcije). Neka je fukcija f oblika (5..) diferecijabila u tački E. Ako je l() = f () + ( ) f ( ) i L() = f ( ) + k ( ), pri čemu je k f ( ), oda u dovoljo maloj okolii U( ) tačke važi ejedakost : f () l() < f () L() za svaki U ( ) i. E 5.5. Upotreba Leibizove ozake izvoda Iz jedakosti dy = df () = f () d za fukciju y = f () koja ima izvod u tački slijedi da možemo pisati dy df ( ) = = f ( ) = y, d d dy df ( ) pa se ili uzima i kao ozaka za izvod fukcije y = f () u tački. Ova ozaka za izvod, d d koju je uveo Leibiz, ima svoje predosti, a aročito u slučajevima kada je fukcija f zadaa formulom koja pored ezaviso promjeljive sadrži i druga slova, pa u ovim slučajevima pisaje df ( ) izvoda u obliku aglašava kao ezaviso promjeljivu. d Napomeimo da izvod fukcije f date sa (5..) u tački E ozačavamo često i sa simboa: d d f ( ) i f ( ), d d = d pri čemu se aziva često i operator izvoda. d Napomeimo da kada se radi o složeoj fukciji y = f (u), u = ϕ (), tada je zgodije pisati je izvod u Leibizovoj ozaci u obliku: dy dy du = d du d umjesto y = y u u. Isto tako i izvod iverze fukcije zgodije je pisati u obliku: umjesto u obliku gdje je g iverza fukcija fukcije f. g (y) = d = dy dy d f ( ) za f (),
64 Iz aprijed kazaog slijedi da se diferecijali mogu posmatrati kao razlomci. Ovim smo objasili df ( ) pretodo uvedeu Leibizovu ozaku za izvod fukcije. d 5.6. Izvodi i diferecijali višeg reda Neka je fukcija f oblika (5..) diferecijabila u tački E i u ekoj okolii U( ) = K(, δ) = ( δ, +δ), (δ > ), tačke, tj. u okolii U( ) defiiraa je fukcija f. Ako je fuckija f diferecijabila u tački, oda je izvod u toj tački azivamo drugim izvodom fukcije f u d f d d tački i ozačavamo ga sa f ( ) ili ( ) ili ( ) d f ili f( ). d d = Ako drugi izvod fukcije f postoji u svakoj tački skupa E, oda fukciju f () ozačavamo i sa d f f ili sa. d Aalogo po idukciji defiira se izvod tog reda ili ti izvod fukcije f kojeg ozačavamo sa f () d f ili sa. Njegova vrijedost u tački E je vrijedost izvoda (prvog izvoda) fukcije d ( ) f u tački. Data defiicija pretpostavlja egzisteciju svi izvoda f ( j), j =,,..., ( ) u ekoj okolii tačke kao i diferecijabilost fukcije f ( ) u tački. Tako je f () () = ( f ( ) ()) ili d f ( ) d d d f ( ) d d =. Defiicija 5.6.. Kažemo da je fukcija f diferecijabila puta u tački E ako oa ima (koača) ti izvod u toj tački. Ako fukcija f oblika (5..) ima izvod tog reda a skupu E, oda kažemo da je oa diferecijabila puta a skupu E. Ako f () C(E) ( C(E) je skup svi eprekidi ograičei fukcija defiirai a E), oda pišemo f C i kažemo fukcija f pripada klasi C (ili da je klase C ) a skupu E. Defiicija 5.6.. Za fukciju f oblika (5..) kažemo da je beskoačo (puta) diferecijabila a skupu E ako za N oa ima izvod tog reda a skupu E. U ovom slučaju pišemo f C i kažemo da fukcija f pripada klasi C a skupu E. Navedimo svojstva fukcija oblika (5..) koje su diferecijabile dovolja broj puta a skupu E. Idukcijom po m (za (i)) i po (za (ii)) zaključuje se da važe jedakosti: (i) m m+ d d f d f =, m m+ d d d d d f d g f g = + d d d d d d f d (ii) ( + ) i ( λ f ) = λ, gdje je λ reala kostata, tj. λ = cost R. Lako se vidi da skup svi reali fukcija oblika (5..) koje imaju izvod tog reda a skupu E obrazuju vektorski prostor ad poljem R i da je preslikavaje f d f d liearo preslikavaje. Sljedećom teoremom daje se pravilo, pozato kao Leibizova formula, koje daje mogućost izračuavaja izvoda tog reda od proizvoda dvije puta diferecijabile fukcije.
65 Teorema 5.6.. Neka fukcije f i g oblika (5..) imaju izvode tog reda a skupu E. Tada za E postoji ( f g) () () i pri tome važi jedakost gdje je c j ( f g) () j ( j) ( j) () = c f ( ) g ( ), j = = j kombiacija od elemeata j tog reda, pri čemu je f () = f i g () = g. Teorema 5.6.. dokazuje se metodom matematičke idukcije. Defiirajmo sada pojam diferecijala višeg reda. Neka je fukcija f oblika (5..) puta ( ) diferecijabila u tački E. Tada u ekoj okolii U( ) tačke postoje i eprekidi su svi izvodi fukcije f zaključo sa ( ) im redom. Kako je izvod f defiira u svakoj tački U( ) E, to je u toj okolii defiiraa i fukcija f (), za dozvoljee vrijedosti. Po pretpostavci ova fukcija je diferecijabila u tački, pa u toj tački oa ima izvod f ( ), jer je kostata koja e zavisi od. Defiicija 5.6.3. Drugim diferecijalom ili diferecijalom drugog reda fukcije f oblika (5..) u tački koji odgovara vrijedosti aziva se diferecijal fukcije f () u toj tački i ozačava se sa d f ( ) (). Iz date defiicije slijedi da je d f ( ) () = d ( f () ) = = d ( f ()) = = f () Δ. Defiicija 5.6.4. Diferecijalom tog reda ili tim diferecijalom fukcije f u tački koji odgovara vrijedosti defiira se po idukciji kao diferecijal fukcije u posmatraoj tački i ozačava se sa d f ( ) (). Slijedi da je d f ( ) () = f () ( ) Δ za R. Napomeimo da se diferecijal višeg reda fukcije f u tački običo piše u obliku d j f ( ) = f ( j) ( ) d j ( j =,,..., ). Iz posljedje jedakosti imamo da je d f ) d ( = f () ( ), f ( ) ( ) odakle i slijedi pretodo uvedea ozaka za - ti izvod fukcije f u tački, koju je uveo Leibiz. Napomeimo da svojstvo ivarijatosti forme diferecijala višeg reda u opštem slučaju ije očuvao. Npr., eka je y = f (), (a, b) i = ϕ (t) za t (α, β ), pri čemu je ϕ ((α, β )) (a, b). Neka je fukcija ϕ (t) dva puta diferecijabila a ietrvalu (α, β ), a fukcija f () dva puta diferecijabila a itervalu (a, b). Prvi diferecijal za fukciju y = f (ϕ (t)) je kao što zamo zada formulom dy = f () d, pri čemu je d = ϕ (t) dt, koji ije kostata, ego je fukcija od t u posmatraoj tački. Sada za drugi diferecijal prema avedeoj defiiciji imamo: d y = d ( f () d) = d ( f ()) d + f () d(d) = f () d + f () d. Na osovu svojstva izvoda višeg reda i defiicije pojma diferecijala višeg reda imamo sljedeća osova svojstva diferecijala višeg reda: d m (d f ) = d m + f ; d ( f + g) = d f + d g ; 3 d (λ f ) = λ d f, λ R, pri čemu se pretpostavlja da su fukcije f i g potreba broj puta diferecijabile fukcije (u tački ili a skupu u R). Δ
66 Zadatak 5.6..* ) Primjeom logaritamskog izvoda izračuajte izvod f ( ) (Fid f ( ) by logaritmic differetiatio) ako je: a) 3 + f ( ) ; 4 ( 3 ) [ Rezultat: a) c) = b) 3 e f ( ) ; ( + 3) = c) 3 + ; 4 + ( 3 ) 3 + 3 + f ( ) + l b) f ( ) ; d) f l + = ; d) f ( ) = (l ) (za > ). 4( ) f ( ) + 3 ; + 3 ( ) + l l.] Zadatak 5.6..* ) Reala fukcija f α jede reale promjeljive zadaa je formulom fα α α a) Odredite prirodi dome Dom ( f α ). ( ): = sg ( ) l ( + ), ( Z ). b) Izračuajte izvode prvog i drugog reda zadae fukcije f α i jee reciproče fukcije f α u svakoj od tačaka jiovi domea (u kojima postoje kao koači ili beskoači). c) Odredite prirode domee i ispitajte eprekidost i diferecijabilost fukcija f i f (izvoda prvog i drugog reda zadae fukcije f ). d) dredite jedačie tagete i ormale u proizvoljoj tački u kojoj postoje kao i evetuale prelome i povrate tačke grafika reciproče fukcije. f Zadatak 5.6.3.* ) Zadaa je reala fukcija f jede reale promjejljive: 3+ 4 3 f () : = arc si e. a) Nađite prirodi dome D( f ) zadae fukcije f. b) Izračuajte izvod trećeg reda zadae fukcije f. c) Sa i bez primjee teoreme o izvodu iverze fukcije, ađite izvod (prvog reda) i ispitajte diferecijabilost iverze fukcije f zadae fukcije f. Zadatak 5.6.4.* ) a) Dužia s telegrafskog voda je s f : b +, 3b = gdje je b rastojaje između osloaca voda, a f ajveći ugib. Za koliko se povećava ugib f, kada se dužia voda usljed zagrijavaja poveća 3b ds za d s (gdje je d s diferecijal fukcije s)? [Rezultat. d f =.] b) Količia Q elektriciteta, koja protiče kroz provodik, počijući od mometa t = zadaa je formulom Q = 8t 5 t + (kuloa). Izračuajte jačiu I struje a kraju k - te sekude ako je k zbir svi cifara vašeg jedistveog matičog broja (JMB). 8 f * ) Zadatak sa ispita i DZ iz Mat. I / IM.