2. NIZOVI 1 / 78
Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može biti bilo koji epraza skup. Nas će ajviše zaimati slučajevi kada je taj skup R, C, ili skup realih ili kompleksih fukcija.
Niz i podiz 3 / 78 Primjeri izova: 1. Niz (a ) s a = 1, N, je iz u R. 2. Niz (a ) s a = + i, N, je iz u C. 3. Niz (a ) je iz realih fukcija, gdje je N, a : R R fukcija defiiraa s a (x) = si x, x R.
Niz i podiz 4 / 78 Defiicija Neka je (a ) u R. Niz (a ) je rastući ako N, a a +1. Niz (a ) je strogo rastući ako N, a < a +1. Niz (a ) je padajući ako N, a a +1. Niz (a ) je strogo padajući ako N, a > a +1. Napomea. Ova defiicija, iako se čii slabijom, ekvivaleta je s defiicijom mootoosti fukcije.
Niz i podiz 5 / 78 Defiicija Za iz b : N S kažemo da je podiz iza a : N S, ako postoji strogo rastući iz p : N N u N takav da je b = a p. U ozakama (b ) i (a ) za izove pisali bismo b = b() = (a p)() = a[p()] = a p() = a p. Podiz ekog iza dobijemo tako da izbacimo eke člaove polazog iza, a preostali člaovi zadržavaju prijašji me dusobi poredak.
Niz i podiz Zadatak Neka je (p ) strogo rastući iz u N. Tada vrijedi N, p. Rješeje. Dokažimo tvrdju matematičkom idukcijom. Baza idukcije, Jaso je da vrijedi 1 p 1. Pretpostavimo da za N vrijedi p. Tada je p +1 > p, tj. p +1 >, pa mora biti p +1 + 1. 6 / 78
7 / 78 Limes iza u R Nizovi Limes iza u R Defiicija Niz realih brojeva (a ) kovergira ili teži k realom broju a R ako svaki otvorei iterval polumjera ε oko točke a sadrži gotovo sve člaove iza. Tada a zovemo graiča vrijedost ili limes iza (a ) i pišemo a = lim a ili a = lim a. Napomea. gotovo svi = svi osim koačo mogo jih Da je iz kovergeta, možemo zapisati ovako: ( ε > 0), ( ε N), ( N), (( > ε ) ( a a < ε)).
Limes iza u R 8 / 78 Ako iz e kovergira oda kažemo da o divergira.
9 / 78 Nizovi Neograičei rast (pad) iza Limes iza u R Defiiramo okolie od + kao itervale oblika E, +, gdje je E > 0. Kažemo da iz (a ) u R divergira k + ako svaka okolia od + sadrži gotovo sve člaove iza, tj. ( E > 0), ( ε N), ( N), (( > ε ) (a > E)). U tom slučaju možemo govoriti o kovergeciji iza (a ) u R = [, + ] i pišemo lim a = +. Aalogo možemo defiirati lim a =.
Limes iza u R Primjer Pokažimo da iz ( 1 ) kovergira i lim 1 = 0. Uzmimo ε > 0 po volji. Iz Arhimedovog aksioma slijedi postojaje m N tako da vrijedi m ε > 1. za > m vrijedi ε > mε > 1. ε = m je tražeo rješeje. Naime, N, > ε ε > ε ε > 1 1 < ε 1 0 < ε. 10 / 78
Limes iza u R Teorem (2.1) 1. Kovergeta iz u R ima samo jedu graiču vrijedost. 2. Kovergeta iz u R je ograiče. Dokaz: 1. Pretpostavimo da kovergeta iz (a ) ima dvije graiče vrijedosti a, b R, a b. za ε = a b > 0 postoje a, b N takvi da vrijedi ( > a ) ( a a < ε 2 ) i ( > b) ( a b < ε 2 ). za ε = max{ a, b } imamo > ε a b a a + a b < ε 2 + ε 2 = ε = a b ), što je očita eistia. limes mora biti jedistve. 11 / 78
Limes iza u R 12 / 78 2. U defiiciji limesa uzmimo ε = 1. postoji ε N tako da > ε a a < 1. Sada za > ε imamo a a a + a 1 + a. Neka je M = max{ a 1,..., a ε, 1 + a }. Tada vrijedi N, a M, tj. iz je ograiče. Q.E.D.
Limes iza u R 13 / 78 Primjer Sama ograičeost ije dovolja za kovergeciju iza. Niz defiira s a = ( 1), N, tj. iz 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... je očigledo ograiče. 1 ije limes jer za ε = 1 2 izva itervala [1 1/2, 1 + 1/2] se alazi beskoačo člaova iza. To zači da se uutar itervala e alaze gotovo svi člaovi iza (iako ih je beskoačo). Iz istih razloga -1 ije limes.
Limes iza u R 14 / 78 Za očekivati je da podizovi iza aslje duju dobra svojstva origialog iza. Teorem (2.2.) Svaki podiz kovergetog iza u R i sam je kovergeta i ima istu graiču vrijedost kao i iz.
Limes iza u R Dokaz: Neka je (a ) kovergeta iz u R, a = lim a, i eka je (a p ) bilo koji jegov podiz. Uzmimo bilo koji ε > 0. a = lim a postoji ε N takav da > ε a a < ε. iz (p ) je strogo rastući iz u N i zadatak N, p. ( N), ( > ε ) (p > ε ) ( a p a < ε), Dakle, a = lim a p. Q.E.D. 15 / 78
Limes iza u R 16 / 78 Od iteresa je aći jedostavo provjerive dovolje uvjete za kovergeciju iza. Teorem (2.3.) Svaki ograiče i mooto iz u R je kovergeta. Dokaz: Neka je iz (a ) rastući, tj. N, a a +1. Ograičeost rastućeg iza zači ograičeost skupa A = {a ; N} odozgo. Postoji a = sup A R.
Limes iza u R 17 / 78 Iz defiicije supremuma skupa A imamo: 1. N, a a, 2. ε > 0, ε N, a ε < a ε. Iz 1. i 2. i rasta iza (a ) imamo ε > 0, ε N, N, > ε a ε < a ε a a < a + ε a a < ε. Dakle, lim a = sup{a : N}. Aalogo se za padajući iz pokaže lim a = if{a ; N}. Q.E.D.
Limes iza u R 18 / 78 Primjer Mootoost ije uža za kovergeciju iza. Npr. iz kovergira k 0, a ije mooto. ( 1)
Limes iza u R Teorem Neka je (a ) iz i eka su (a 2 ) i (a 2+1 ) kovergeti podizovi tako da vrijedi lim a 2 = lim a 2+1 = L. Tada je i iz je (a ) kovergeta i vrijedi lim a = L Dokaz: Neka je ε > 0 (proizvolja). (a 2 ) je kovergeta = postoji 1 N takav da vrijedi > 1 = a 2 L < ε (a 2+1 ) je kovergeta = postoji 2 N takav da vrijedi > 2 = a 2+1 L < ε Neka je ε veći od 2 1 i 2 2 + 1, pr. ε = max{2 1, 2 2 + 1}. 19 / 78
Limes iza u R 20 / 78 Neka je > ε. Ako je para, = 2k tada > ε = 2k > 2 1 = k > 1 = = a 2k L < ε = a L < ε Aalogo, ako je epara, = 2k + 1 tada > ε = 2k + 1 > 2 2 + 1 = k > 1 = = a 2k+1 L < ε = a L < ε Zači > ε = a L < ε Q.E.D.
Operacije s kovergetim izovima 21 / 78 Operacije s kovergetim izovima Za izove (a ) i (b ) u R možemo defiirati ove izove (a ) ± (b ) = (a ± b ) λ(a ) = (λa ) za λ R, (a b ), Skup izova je vektorski prostor. Kako se limes poaša kod ovih operacija s izovima?
Operacije s kovergetim izovima 22 / 78 Teorem (2.4.) Neka su (a ) i (b ) kovergeti izovi u R. Tada vrijedi: 1. Niz (a ± b ) je kovergeta i 2. Niz (a b ) je kovergeta i lim (a ± b ) = lim a ± lim b. lim (a b ) = lim a lim b.
Operacije s kovergetim izovima 23 / 78 3. Ako je N, b 0, i lim b 0, oda je i iz kovergeta i ( ) a lim = lim a. lim b 4. Niz ( a ) je kovergeta i b lim a = lim a. 5. Za λ R iz (λa ) je kovergeta i lim λa = λ lim a. ( a b )
Operacije s kovergetim izovima 24 / 78 Dokaz: Neka su lim a = a i lim b = b. 1. (a ) i (b ) kovergeti Za ε > 0 postoje 1, 2 N takvi da N vrijedi, ( > 1 ) ( a a < ε 2 ) i ( > 2 ) ( b b < ε 2 ). Za ε = max{ 1, 2 } vrijedi ( > ε ) ( a a < ε 2 ) i ( > ε ) ( b b < ε 2 ).
Operacije s kovergetim izovima 25 / 78 Odavdje slijedi da > ε a + b (a + b) a a + b b < ε 2 ) + ε 2 ) = ε, tj. iz (a + b ) je kovergeta i lim (a + b ) = lim a + lim b. Aalogo se dokazuje tvrda za iz (a b )
Operacije s kovergetim izovima 26 / 78 2. (a ) kovergeta (a ) ograiče, tj. postoji M > 0 takav da N, a M. (a ) i (b ) kovergeti Za ε > 0 postoje 1, 2 N takvi da N vrijedi ( ) ε ( > 1 ) a a < i M + b ( ) ε ( > 2 ) b b <. M + b
Operacije s kovergetim izovima 27 / 78 Za ε = max{ 1, 2 } je ( > ε ) ( > ε ) ( ) ε a a < M + b ( ) ε b b <. M + b i te ( > ε ) a b ab = a b a b + a bab a b b + a a b < < M ε M + b + ε b = ε. M + b
Operacije s kovergetim izovima 28 / 78 3. Pokažimo da vrijedi lim 1 b = 1 b. Za ε = b 2 > 0 postoji 0 N tako da N, > 0 b b < b 2 b b 2 1 b 1 b 2. Sada za proizvolja ε > 0 postoji 1 N tako da N vrijedi ( > 1 ) ( b b < ε b 2 2 ).
Operacije s kovergetim izovima 29 / 78 Uzmimo ε = max{ 1, 2 }, pa N vrijedi > ε 1 1 b b = b b b b < ε b 2 2 b 2 b = ε. lim a b = lim ( ) 1 a b = lim a lim 1 b = a 1 b = a b
Operacije s kovergetim izovima 30 / 78 4. Iz ejedakosti x y x y slijedi > ε a a a a < ε. 5. Tvrdja slijedi direkto iz tvrdje 2. Za bilo koji λ R defiiramo kostati iz b = λ, N. Tvrdja 2. lim λa = lim b a = lim lim b a = λa. Q.E.D.
Operacije s kovergetim izovima 31 / 78 Napomea. Skup svih kovergetih izova u R je vektorski prostor. Osim operacija, a skupu R imamo zada ure daj. Kovergecija izova je u skladu s tim ure dajem.
Operacije s kovergetim izovima 32 / 78 Teorem (2.5. teorem o sedviču) Neka su (a ) i (b ) kovergeti izovi u R. 1. Ako je N, a b, oda je 2. Ako je (c ) iz za kojeg vrijedi lim a lim b. N, a c b i lim a = lim b = c, oda je (c ) kovergeta i lim c = c.
33 / 78 Nizovi Operacije s kovergetim izovima Dokaz: 1. Neka je iz (c ) kovergeta i takav da vrijedi Tada je lim c = c 0. N, c 0. Kada bi bilo c < 0, oda bi u okolii bili gotovo svi člaovi iza. To ije moguće zbog c + c 2 < 0. c c 2, c + c 2 Sada za slijedi tvrdja. c = b a, N,
Operacije s kovergetim izovima 34 / 78 2. (a ) i (b ) kovergeti i imaju isti limes c Za ε > 0 postoje 1, 2 N takvi da vrijedi N, ( > 1 ) ( a c < ε) i ( > 2 ) ( b c < ε). Za ε = max{ 1, 2 } vrijedi > ε c ε < a c b < c + ε c c < ε. Q.E.D.
Primjeri kovergetih izova 35 / 78 Primjeri kovergetih izova Primjer Niz a = 1 je kovergeta za svaki α > 0 i vrijedi α lim 1 α = 0.
Primjeri kovergetih izova 36 / 78 Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a < ε 1 α < ε α > ε 1 > ε 1 α Neka je ε > 0 proizvolja. Tada postoji ε N za koji vrijedi ε > ε 1 α. Tada vrijedi > ε = > ε 1 α = a < ε
Primjeri kovergetih izova 37 / 78 Primjer Niz a = α divergira k + za svaki α > 0 : lim α = +.
Primjeri kovergetih izova 38 / 78 Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo velik. Za bilo koji E > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a > E α > E > E 1 α Neka je E > 0 proizvolja. Tada postoji E N za koji vrijedi E > E 1 α. Tada vrijedi > E = > E 1 α = a > E
Primjeri kovergetih izova 39 / 78 Primjer Niz a = a je kovergeta za svaki a, a < 1, i vrijedi lim a = 0.
Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Promatramo a 0 = a = a < ε pa b.s.o. (bez smajeja općeitosti) pretpostavljamo da je 0 < a < 1. Za a = 0 tvrdja je očita: a = 0 = 0. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a < ε a < ε l a < l ε > l ε l a Zadja ejedakost se okreula zbog l a < 0 a < 1. Neka je ε > 0 proizvolja. Tada postoji ε N za koji vrijedi ε > l ε l a. Tada vrijedi > ε = > l ε l a = a < ε 40 / 78
Primjeri kovergetih izova 41 / 78 Primjer Niz a = a divergira k + za svaki a > 1 : lim a = +.
Primjeri kovergetih izova 42 / 78 Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo velik. Za bilo koji E > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a > E a > E l a > l E > l E l a Zadja ejedakost se ije okreula zbog l a > 0 a > 1. Neka je E > 0 proizvolja. Tada postoji E N za koji vrijedi E > l E l a. Tada vrijedi > E = > l E l a = a > E
Primjeri kovergetih izova 43 / 78 Primjer Vrijedi lim = 1. Rješeje. Za bilo koji ε > 0 po biomom teoremu je: (1 + ε) = 1 + ε + Uzmimo ε N za koji vrijedi ( 1) 2 ε 2 + + ε > 1 2 ε 2. ( ε 1)ε 2 > 2. Tada vrijedi > ε (1 + ε) > 1 2 ε 2 > ε 1 2 ε 2 >,
Primjeri kovergetih izova 44 / 78 odoso > ε 1 < < (1 + ε). Jer je fukcija x x strogo rastuća: ( > ε ) 1 < < 1 + ε.
Primjeri kovergetih izova 45 / 78 Primjer Za a > 0 vrijedi lim a = 1. U slučaju 1 < a je za gotovo sve N, te za gotovo sve N. 1 < a < 1 < a < Sada tvrdja slijedi iz teorema o sedviču. Ako je a < 1 oda je 1 a > 1, pa je lim 1 a = 1 lim a = 1.
Primjeri kovergetih izova 46 / 78 Primjer Niz a = l je kovergeta i vrijedi l lim = 0.
Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki 0 < a < ε 0 < l < ε 0 < l 1 < ε 1 < 1 < e ε Neka je ε > 0 proizvolja. Jer je lim 1 = 1 tada postoji ε N za koji vrijedi > ε = 1 < 1 < e ε. = 0 < a < ε 47 / 78
Primjeri kovergetih izova 48 / 78 Primjer Niz a = α je kovergeta za svaki α i a > 1 i vrijedi a α lim a = 0. Napomea. Ovaj primjer pokazuje da ekspoecijala fukcija raste brže od bilo koje potecije. Napomea. Ako je α 0 tvrdja slijedi jedostavo iz prethodih primjera. Zato ćemo u dokazu razmatrati samo slučaj α > 0.
49 / 78 Nizovi Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Promatramo slučaj za α > 0. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki Jer je a < ε α < ε α l l a < l ε a α postoji 1 takav da vrijedi ( l a α l ) > l ε lim l = 0 > 1 = l < 1 l a 2 α = l a α l l a α = l a 2α = l a 2α
Za > 1 će biti a < ε ako ( l a α α l ) > α l a 2α Neka je ε > 0 proizvolja. Tada postoji ε N za koji vrijedi Sada > ε = > = a < ε > ε > 1 i ε > 2 l ε l a Primjeri kovergetih izova = l a 2 2 l ε l a. 2 l ε l a. > l ε ( l a = α α l ) > l ε = 50 / 78
Primjeri kovergetih izova 51 / 78 Primjer Niz a = a! je kovergeta za svaki a R i vrijedi a lim! = 0. Napomea. Ovaj primjer pokazuje da faktorijele rastu brže od ekspoecijala fukcija. Napomea. Ako je a 1 tvrdja slijedi jedostavo iz prethodih primjera. Ako je a < 1 tada promatramo a = a. Zato ćemo u dokazu razmatrati samo slučaj a > 1.
52 / 78 Nizovi Primjeri kovergetih izova Rješeje. Cilj am je pokazati da je a proizvoljo male. Promatramo slučaj za a > 1. Za bilo koji ε > 0 želimo pokazati da je za dovoljo veliki a < ε a! < ε a 1 Neka je m > a (postoji takav m). Ozačimo Za k > m je = a! = a 1 a! = a 1 a 2... a m 1 α = a 1 a 2... a m 1 a m a m a 2... a m 1 a k < a m. a 2 a 3... a < ε a m + 1... a a m. a m + 1... a < α a m... a m = α ( a m ) m
Primjeri kovergetih izova 53 / 78 Jer je a m < 1 = lim ( a m ) m = 0 a ( a ) m! < α a ( a ) m, za > m = lim m! lim α = 0 m
Primjeri kovergetih izova 54 / 78 Primjer Nizovi a = ( 1 + 1 ), N, i b = k=0 su kovergeti i imaju isti limes. Niz b = je očigledo strogo rastući. k=0 Pokažimo da je i ograiče, i da vrijedi 1, N, k! 1, N, k! b < 3, N.
Primjeri kovergetih izova Vrijedi b +1 = 1 + 1 ( ) 1 1! + 2! + + 1 = ( + 1)! = 2 + 1 2 < 2 + 1 2 ( 1 + 1 ) 3 + + 1 < ( + 1) 3 ( 1 + 1 2 + 1 3 2 + + 1 ) = 2 = 2 + 1 2 (b 1), Vrijedi rekurzija b +1 < 2 + 1 2 (b 1), N. 55 / 78
Primjeri kovergetih izova 56 / 78 Tvrdja slijedi idukcijom. b 1 = 2 < 3, i N, b < 3 b +1 < 2 + 1 2 (b 1) < 2 + 1 (3 1) = 3. 2 Niz (b ) je kovergeta.
Primjeri kovergetih izova Primjeom biome formule a iz ( a = 1 + 1 ), N, slijedi a = = = < k=0 k=0 k=0 k=0 ( k ) 1 k = ( 1) ( k + 1) k! k = ( 1 1 1 ) ( 1 k 1 ) < k! 1 k! = b. Niz (a ) je odozgo ograiče. 57 / 78
Primjeri kovergetih izova 58 / 78 Zbog k=0 1 p + 1 1 p, za 0 p, vrijedi [ ( 1 a +1 = 1 1 ) ( 1 k 1 ) ] + k! + 1 + 1 1 + ( + 1) +1 > a, (a ) rastući i ograiče (a ) kovergeta.
Primjeri kovergetih izova 59 / 78 Sada za bilo koji čvrsti p N i svaki > p imamo a > p k=0 ( 1 1 1 ) ( 1 k 1 ). k! Prethoda ejedakost za daje lim a lim p k=0 ( 1 1 1 ) ( 1 k 1 ) k! = p k=0 1 k! = b p. tj. Odatle slijedi lim a b p, p N. lim a lim b.
Primjeri kovergetih izova 60 / 78 Zbog raije pokazae ejedakosti a < b, N, je lim a lim b, Ovaj limes ozačavamo ozakom e i lim a = lim b. lim a = lim b = e 2.71828182.
Primjeri kovergetih izova 61 / 78 Primjer Niz a =! je kovergeta i vrijedi! lim = 0. Napomea. Ovaj primjer pokazuje da raste brže od!.
Primjeri kovergetih izova 62 / 78 Rješeje. Promotrimo a a +1 =!!( + 1)( + 1) ( ( + 1) = (+1)! ( + 1)! = = 1 + 1 ) 2 (+1) +1 Zadja ejedakost vrijedi jer je (1 + 1/) rastući iz pa su svi člaovi iza veći od prvog: 1 + 1/1) 1 = 2. = a +1 a 2... 1 2 +1 = lim a = 0.
Sažetak Nizovi Primjeri kovergetih izova lim 1 α = 0, α > 0 lim α = +, α > 0 lim a = 0, a < 1 lim a = +, a > 1 lim = 1 lim a = 1, a > 0 lim lim α a = 0, α, a > 1 a! = 0, a lim! = 0, a lim ( 1 + 1 ) = e lim ( 1 + α ) = e α, α lim l = 0 63 / 78
64 / 78 Nizovi Svojstva ograičeog iza Svojstva ograičeog iza Lema (2.1.) Svaki iz (a ) u R ima mooto podiz. Dokaz: Neka je A m = {a ; m}. Promatramo dva slučaja: 1. m N tako da skup A m ema maksimum. 2. m N skup A m ima maksimum.
Svojstva ograičeog iza 1. slučaj. Bez smajeja općeitosti uzmimo da je m = 1. (A 1 ema maksimuma) N k N, k > i a k > a. Počimo s = 1. Na demo prvi čla iza iza a 1 koji je veći od jega. Odredili smo p 1 takav da je a p1 > a 1. Sada promatramo skup A p1. Ovaj skup isto ema maksimum, jer kada bi ga imao, oda bi i prethodi A 1 imao. M Na demo prvi čla iza iza a p1 koji je veći od jega. Odredili smo p 2 takav da je a p2 > a p1. itd. Dobivamo strogo rastući iz (p ) u N takav da je a p < a p+1, N, tj. podiz (a p ) je strogo rastući. 65 / 78
Svojstva ograičeog iza 66 / 78 2. slučaj. Neka je b 1 = max A 1. Na demo prvi maksimum. tj. me du oim k N za koje je a k = b 1 uzmimo ajmaji i ozačimo ga s p 1. Sada gledamo A p1 +1. Neka je b 2 = max A p1 +1. Vrijedi b 2 b 1. Uzmemo prvi maksimum. i ozačimo ga s p 1. Vrijedi a p2 a p1, itd. Tim postupkom dobijemo strogo rastući iz (p ) u N takav da je a p a p+1, N, tj. podiz (a p ) je padajući. Q.E.D.
Svojstva ograičeog iza 67 / 78 Korolar (2.2.) Za koačo izova a (1), a (2),..., a () postoji strogo rastući iz p : N N takav da su svi podizovi a (1) p, a (2) p,..., a () p mootoi. U teoremu 2.1. i prijašjem primjeru smo vidjeli da je ograičeost iza uža, ali e i dovolja za kovergeciju toga iza. Slijedeći teorem govori o tome što se ipak može zaključiti iz ograičeosti iza.
Svojstva ograičeog iza 68 / 78 Teorem (2.6. Weierstrass) Ograiče iz u R ima kovergeta podiz. Dokaz: Pomoću leme 2.1. možemo aći mooto podiz zadaog iza. Niz je ograiče svaki jegov podiz je ograiče. Podiz je ograiče i mooto podiz je kovergeta (Teorem 2.3.) Q.E.D.
Svojstva ograičeog iza 69 / 78 Defiicija Kažemo da je α R gomilište iza (a ) realih brojeva, ako postoji podiz (a p ) iza (a ) takav da vrijedi lim a p = α. Iz defiicije slijedi da je α R gomilište iza (a ) ako i samo ako ε > 0 okolia α ε, α + ε sadrži beskoačo člaova iza.
Svojstva ograičeog iza 70 / 78 Primjer i. Svaki ograičei iz ima barem jedo gomilište u R. ii. Svaki kovergeta iz ima točo jedo gomilište, a to je graiča vrijedost. iii. Niz iz primjera??. ima točo dva gomilišta jer je ( 1) 2 1 i ( 1) 2 1 1. iv. Skupovi N i Q su ekvipoteti, tj. postoji bijektivi iz r : N Q. Tada je R skup svih gomilišta iza (r ), tj. svaki reala broj je limes ekog iza racioalih brojeva. v. Niz () ema iti jedo gomilište u R.
71 / 78 Nizovi Ekspoecijale fukcije a R Ekspoecijale fukcije a R Defiirat ćemo ekspoecijalu fukciju exp : R 0, + kao limes iza fukcija. Za svaki N defiiramo fukcije f : [0, + 0, + tako da vrijedi ( f (x) = 1 + x ), x [0, +. Defiicija Kažemo da iz fukcija (f ), gdje su f : I R, I R, kovergira običo ili po točkama k fukciji f : I R a itervalu I, ako iz brojeva (f (x)) kovergira k f (x), x I.
Ekspoecijale fukcije a R 72 / 78 Propozicija (2.2.) Niz fukcija (f ), gdje su f : [0, + 0, +, N, defiirae s f (x) = ( 1 + x ), x [0, +. kovergira a skupu [0, +. Fukcija f : [0, + 0, +, zadovoljava : 1. f (0) = 1, 2. f (1) = e, f = lim f, 3. f (x + y) = f (x)f (y), x, y [0, +.
Ekspoecijale fukcije a R Dokaz: Uzmimo x 0 i pokažimo da je iz f (x) strogo rastući i ome de. Vrijedi f (x) = k=0 ( ) x k k k = k=0! x k k!( k)! k = = = < k=0 k=0 k=0 1 ( 1)... ( k + 1) k! k x k = ( 1 1 1 ) (... 1 k 1 ) x k < k! ( 1 1 1 ) (... 1 k 1 ) x k x +1 + k! + 1 + 1 ( + 1) +1 = = f +1 (x), 73 / 78
Ekspoecijale fukcije a R 74 / 78 (f (x)) je strogo rastući iz. Neka je m N takav da je x m. Tada je f (x) f (m), N. Za podiz (f m (m)) strogo rastućeg iza (f (m)) vrijedi f m (m) = f (1) m, N. U primjeru je pokazao f (1) 3, N, f (x) 3 m, N. Niz je ograiče i rastući Niz (f (x)) je kovergeta x [0, +.
75 / 78 1. f (0) = 1 Nizovi Ekspoecijale fukcije a R f (0) = 1 = 1 f (0) = lim f (0) = lim 1 = 1 2. f (1) = e ( f (1) = 1 + 1 ) f (1) = lim f (1) = lim ( 1 + 1 ) = e 3. f (x + y) = f (x)f (y), x, y [0, + Za x, y 0 imamo ( 1 + x ) ( 1 + y ) = ( 1 + x + y + xy ) ( 2 1 + x + y ).
76 / 78 Vrijedi = Nizovi Ekspoecijale fukcije a R ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x + y ) = ( 1 + x + y + xy ) ( 2 1 + x + y ) = = xy 2 0 [ 1 k=0 ( 1 + x + y + xy ) 1 k ( 2 1 + x + y ) ] k, ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x + y ) xy (1 2 + x ) 1 ( 1 + y xy ) 1 1 ( 1 + x ) 1 ( 1 + y ) 1 1 k=0
Ekspoecijale fukcije a R Sada iz prethode ejedakosti za dobijemo lim [ ( 1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + x + y ) ] = 0, odakle slijedi svojstvo 3. Q.E.D. Sada defiiramo fukciju exp : R 0, + a slijedeći ači: Pokažimo da vrijedi exp(x) = f (x) ; x 0, 1 f ( x) ; x < 0. exp(x + y) = exp(x) exp(y), x, y R. 77 / 78
Ekspoecijale fukcije a R 78 / 78 Dokaz ovisi o predzaku x i y. x > 0, y > 0 Direkto iz Propozicije 2.2.: exp(x + y) = f (x + y) = f (x)f (y) = exp(x) exp(y) x < 0, y < 0 Direkto iz Propozicije 2.2.: exp(x + y) = x > 0, y < 0, x + y > 0 1 f ( (x + y)) = 1 = exp(x) exp(y). f ( x)f ( y) f (x) = f (x + y + ( y)) = f (x + y)f ( y) 1 exp(x + y) = f (x + y) = f (x) = exp(x) exp(y). f ( y) x > 0, y < 0, x + y < 0 aalogo. x < 0, y > 0, x + y < 0 i x < 0, y > 0, x + y > 0 aalogo.