CAPITOLUL 4 CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ

CAPITOLUL 4 CERCETAREA STATISTICĂ PRIN SONDAJ Coderaţ prelmare Î captolele precedete am dcutat depre pobltăţle de culegere a datelor pe baza metodelor de obervare totală au parţală, ca ş depre modaltăţle de decrere a datelor pr dcator tattc, uzual obţuţ pe baza colectvtăţlor parţale. Am văzut, de aemeea, că fereţa tattcă repreztă proceul pr care obţem formaţ ş tragem cocluz refertoare la colectvtăţ geerale, pe baza eşatoaelor. Etă două tehc geerale petru realzarea fereţe tattce: proceul de etmare ş cel de tetare a potezelor tattce. Î captolul aceta vom urmăr ă cuoaştem fudametele proceulu de etmaţe ş ale celu de tetare a potezelor tattce, vtale petru defăurarea uor cercetăr tattce. Terme chee crteru de emfcaţe. dtrbuţe de eşatoare eroare de etmaţe eroare de geul I eroare de geul II eroare lmtă admblă eroare mede de reprezetatvtate eşato etmaţe etmator terval de îcredere poteză tattcă parametru probabltatea ue eror de geul I probabltatea ue eror de geul II elecţe tatcă odaj aleator mplu odaj aleator tpc odaj cu revere odaj fără revere odaj î cubur tet tattc volum al eşatoulu

STATISTICĂ ECONOMICĂ Noţu teoretce 4.. INTRODUCERE Cercetarea tattcă urmăreşte obţerea formaţlor ce permt caracterzarea, d puct de vedere cattatv, a feomeelor de maă. Etă două modaltăţ de obţere a acetor formaţ ş aume: e pot culege date depre toate utăţle ce alcătuec colectvtatea cercetată au e poate electa o ubcolectvtate pe care ă o aalzăm ş pe baza formaţlor obţute ă tragem cocluz, ă geeralzăm rezultatele petru colectvtatea de aamblu. Prma cale prezetată ete cea a ue cercetăr tattce totale, ar cea de-a doua a cercetăr tattce pr odaj. Î codţle ecoomco-ocale de atăz, câd ete evoe de formaţ rapde, multple ş complee, metoda prcpală de obţere a formaţlor tattce tde ă devă, practc, aceea a odajulu tattc, pr care e obţ date emprce ş, prtr-o terpretare probabltcă, e etmează dcator petru populaţa totală. Metoda odajulu poate aşadar ă alveze tmp ş ba oferd formaţ depre etur larg de date fără ca ă fe eceară obervarea ş cercetarea tuturor elemetelor ce alcătuec colectvtatea. Proceul va cuprde atuc două etape: etapa decrptvă, î care e culeg date ş e calculează dcator ce caracterzează ubcolectvtatea aalzată etapa fereţală, î care rezultatele obţute petru aceată ubcolectvtate e etd, î terme probabltc, la colectvtatea geerală. Ete de meţoat faptul că, dacă metodele tattce decrptve pot f aplcate atât ue colectvtăţ totale cât ş uea parţale, î chmb etapa de fereţă tattcă ete pecfcă cercetăr pr odaj. 4.. NOŢIUNI SPECIFICE DEFINIŢIE: Selecţa tattcă repreztă operaţa de etragere a ue părţ dtr-o colectvtate tattcă, a ue ubcolectvtăţ umtă ş eşato, motră, colectvtate parţală au colectvtate de elecţe.

Vom ota volumul colectvtăţ geerale cu N ş volumul colectvtăţ de elecţe cu, N-. Î cazul î care datele au fot tematzate î r grupe după varaţa ue caractertc de grupare, vom avea: r N N (4.) r (4.) Meda artmetcă, prcpalul dcator al tedţe cetrale, va f otat cu µ î cazul î care ete parametrul colectvtăţ totale ş cu î cazul î care ete u dcator obţut prtr-o cercetare tattcă pr odaj. Parametrul colectvtăţ geerale e calculează: N µ (4.3) N au dacă datele au fot tematzate î r grupe obţâdu-e o ere de dtrbuţe de frecveţe: r N µ, r (4.4) r N Idcatorul tattc obţut petru eşato meda etmatorul parametrulu, ete: (4.5) au î cazul ue er de dtrbuţ de frecveţe:

STATISTICĂ ECONOMICĂ r r (4.6) U alt dcator mportat, dpera, e va ota cu σ dacă ete parametru obţut î colectvtatea geerală ş cu dacă ete etmatorul parametrulu, obţut pe u eşato. Atfel, parametrul colectvtăţ geerale ete: N ) ( N µ σ (4.7) repectv î cazul datelor grupate: µ σ r r N N ) ( (4.8) ar etmatorul dpere d colectvtatea geerală, aume dpera eşatoulu: ) ( (4.9) au î cazul dtrbuţe de frecveţe:

r r r r r r ) ( (4.0) Atuc câd eşatoaele ut de volum mare (>30), e poate reuţa la căderea lu d umtorul dpere. Î cazul caractertclor bare (de tp alteratv), mbolurle perech utlzate petru parametr d populaţa geerală ş petru etmator obţuţ î eşato vor f: petru meda artmetcă: parametrul colectvtăţ geerale: N M p (4.) etmatorul obţut î eşato: m f (4.) Dpera caractertc alteratve e va ota î populaţa geerală cu: p) p( σ (4.3) ar î eşato (etmatorul dpere d colectvtatea geerală): ( ) f f (4.4)

STATISTICĂ ECONOMICĂ Populaþe (colectvtate geeralã) eºato Fg. 4. - Proceul fereţe tattce 4.3. TIPURI DE SONDAJ Î elecţa aleatoare e dtg următoarele tpur de odaj: odajul mplu aleator; odajul tpc (tratfcat); odajul de er (cubur); odajul î ma multe trepte; odaj ecveţal. 4.4. DISTRIBUŢII DE EŞANTIONARE. PROPRIETĂŢI ALE DISTRIBUŢIILOR DE EŞANTIONARE Deoarece datele d eşatoae ut valor obervate ale varablelor aleatoare, dcator tattc calculaţ petru u eşato vor vara îtr-u mod aleator de la eşato la eşato. Populaţa tattcă (colectvtatea) Eşato Eşato Eşato Idcator Idcator Idcator

Î prvţa mede de elecţe, dcator tattc obţut pe eşato, trebue arătat că, dferet de forma dtrbuţe de frecveţe d colectvtatea geerală, meda dtrbuţe de eşatoare a mede de elecţe ( ) ete egală cu µ, meda colectvtăţ geerale (petru eşatoae mar). µ ( ) µ U alt parametru al dtrbuţe de eşatoare, dpera mede de odaj e calculează ca: σ σ (4.5) Eroarea tadard a mede de odaj ete σ, adcă abaterea mede pătratcă a mede de elecţe de la parametrul µ: σ σ σ (4.6) Evdet, cum σ (dpera colectvtăţ geerale) ş σ (abaterea mede pătratcă d colectvtatea geerală) ut ecuocute, ele e etmează pr (dpera de odaj) ş (abaterea mede pătratce de odaj). Se obţe, atfel, etmatorul dpere mede de odaj ( ): (4.7) ş etmatorul eror med a mede de odaj (adcă eroarea mede de reprezetatvtate):

STATISTICĂ ECONOMICĂ (4.8) Î prvţa dtrbuţe de eşatoare a mede de elecţe, ă ma otăm că î cazul populaţlor ormal dtrbute (cu dtrbuţ de probabltate ormală), dtrbuţa de eşatoare a mede de elecţe ete ormală, dferet de umărul elemetelor d eşato (de volumul eşatoulu). 4.5. SONDAJUL ALEATOR SIMPLU REPETAT 4.5.. Determarea eror med de reprezetatvtate Î cazul ue varable cattatve, de tp ealteratv, petru etmarea parametrulu meda colectvtăţ geerale (µ) ete ecear ă calculăm meda de odaj ( ) (formulele 4.5 au 4.6). Dpera medlor de elecţe ete: (4.9) Eroarea mede de reprezetatvtate (abaterea mede pătratcă a mede de odaj) e determă pe baza datelor d eşato ca: (4.0) 4.5.. Determarea eror lmtă Petru a cotru acet terval de îcredere vom determa, îtâ, eroarea lmtă mamă admblă. Cum meda de odaj ( ) ete varablă aleatoare ormal dtrbută, de mede µ ş abaterea mede pătratcă σ σ /, îeamă că varabla ormală ormată (reduă) corepuzătoare ete:

µ z (4.) σ µ z (4.) Petru probabltatea cu care garatăm rezultatele 00(-α)%, eroarea lmtă (mamă) admblă ete: zα / zα / (4.3) 4.5.3. Determarea tervalulu de îcredere petru meda µ Itervalul de îcredere calculat pe baza eror lmtă mamă admblă ete: ± zα / Petru u eşato de volum ormal au mare, mărmea relatvă a tervalulu de îcredere poate ă fe prezetată chematc atfel (Fg. 4.3) Iterval de îcredere petru -α0.999 Iterval de îcredere petru -α0.99 Iterval de îcredere petru -α0.95 Iterval de îcredere petru -α0.90 Meda eşatoulu Fg. 4.3 - Mărmea relatvă a tervalulu de îcredere petru u eşato de volum mare

STATISTICĂ ECONOMICĂ < µ < + (4.4) Itervalul de îcredere ( ± ) ete garatat cu velul de îcredere ale, ceea ce face ca aceată etmare ă fe preferablă etmăr puctuale. Itervalul de îcredere petru velul total al caractertc ete: N( N ) < < N( + ) (4.5) EXEMPLUL 4.: Să e determe tervalul de îcredere, garatat cu o probabltate de 99%, petru meda ş velul total al ue caractertc umerce X, dacă eşatoul electat aleator repetat de 36 de utăţ, adcă 5% d colectvtatea geerală ete de mede 800 ş abatere mede pătratcă 60. Rezolvare: Eroarea mede de reprezetatvtate va f: Eroarea lmtă mamă admblă: α z /.58 0 5.8 60 0 6 Itervalul de îcredere petru parametrul colectvtăţ geerale ete dat de: < µ < + 800-5.8 < m < 800+5.8 774. < m < 85.8 ar petru velul total al caractertc tudate: N( ) < < N( + 55744 < < 594576 ) Acet tervale de îcredere ut garatate cu o probabltate de 99%.

4.5.4. Determarea volumulu eşatoulu au z α / (4.6) L zα / (4.7) Soluţa poate f cră ca: au (zα / ) (4.8) 4(z α / ) L (4.9) Degur, ş ac e foloeşte ca o etmaţe a lu σ, î geeral ecuocută. Valoarea apromatvă a lu poate f cuocută dtr-o cercetare pr odaj ateroară. Ca o alteratvă, putem aproma ampltudea împrăşter A a obervaţlor ş apo, ub preupuerea tedţe de ormaltate a dtrbuţe, putem calcula: A / 6 (4.30) EXEMPLUL 4.: Să e determe volumul eşatoulu ecear petru a etma meda ue colectvtăţ (µ) cu o eroare lmtă de 0. ş o probabltate de garatare a rezultatelor de 95%, ştd dtr-o cercetare ateroară că dpera ete apromatv egală cu 6.. Aceaş cerţă petru lugmea tervalulu de îcredere de 0.. Rezolvare: Petru: 0. 00(-α)% 95% > z α/ z 0.05.96

STATISTICĂ ECONOMICĂ 6. rezultă: z / (.96) 6. α 585.84 586 utăţ tattce (0.) Î cazul î care îtreaga lugme a tervalulu de îcredere ete de 0. (evdet o precze crecută), vom avea: 4 z α/ 4 (.96) 6. 343.36 344 utăţ tattce L (0.) 4.5.5. Determarea probabltăţ de garatare a rezultatelor 00(-α)% Coefcetul de îcredere ete -α, petru care P(-z α/ < Z < z α/ )-α. Atuc, d formula eror lmtă (mamă) admblă rezultă: zα / (4.3) D tabelele prvd dtrbuţa ormală ormată e poate determa apo probabltatea 00(-α)% de garatare a rezultatelor. EXEMPLUL 4.3: Să e determe velul de îcredere petru etmaţa prvd meda colectvtăţ geerale (µ), dacă volumul eşatoulu ete 00 utăţ tattce, meda eşatoulu 58600, abaterea mede pătratcă 8000, ar tervalul de îcredere dort ete de 4000. Rezolvare: ş z 000 00 8000 α /.5 -αp(-.5<z<.5)(0.4938)0.9876 Probabltatea cu care garatăm rezultatele ete de 98.76%.

4.5.6. Partculartăţ ale odajulu de volum redu Dacă eşatoul ete de volum redu (<30), ar abaterea mede pătratcă d colectvtatea geerală (σ) ete ecuocută ş îlocută cu ( µ ) cea d eşato ( ), tattca ete o tattcă t cu (-) grade / ( µ ) de lbertate. Dtrbuţa de eşatoare a tattc ete o / dtrbuţe de probabltate t cu codţa ca populaţa geerală ă fe ormal dtrbută. Itervalul de îcredere petru meda m d colectvtatea geerală ete, î acet caz: t t α /, < µ < + α /, (4.3) EXEMPLUL 4.4: Preupuem că u umăr de 5 mprmate ut electate petru a e calcula meda umărulu de caractere mprmate pâă la termarea cartuşulu de mprmare. Petru eşatoul electat e obţ:.3 mloae caractere; 0.7 mloae caractere. Să e formeze u terval de îcredere, garatat cu o probabltate de 99%, petru meda umărulu de caractere mprmate (m), î colectvtatea geerală. Rezolvare: Dacă preupuem că umărul de caractere mprmate ete ormal dtrbut, atuc, petru 5: t α/,- t 0.005;4.977 Itervalul de îcredere ete: t t α /, < µ < + α /, 0.7 0.7.3.977 < µ <.3 +.977 5 5.0 < µ <.44

STATISTICĂ ECONOMICĂ 4.6. SONDAJUL ALEATOR SIMPLU NEREPETAT 4.6.. Determarea eror med de reprezetatvtate Dpera mede de elecţe ete dată de relaţa: σ N σ (4.33) N ş etmată (î cazul σ ecuocută) pr: N (4.34) N Abaterea mede pătratcă a mede de elecţe (măurător al eror med de reprezetatvtate) ete: etmată pr: σ N σ (4.35) N N (4.36) N N N Termeul e umeşte coefcet de corecţe î populaţe N N ftă au factor de ehautvtate, ar raportul /N repreztă fracţa de odaj. 4.6.. Determarea eror lmtă Determarea eror lmtă mamă admblă e face, î cazul odajulu fără revere, ţâd eama de eroarea mede de reprezetatvtate:

zα / ( ) zα / N (4.37) 4.6.3. Determarea tervalulu de îcredere petru meda µ Itervalul de îcredere petru meda µ d colectvtatea geerală, corepuzător probabltăţ 00(-α)% de garatare a rezultatelor ete: < µ < + (4.38) zα / < µ < + zα / (4.39) N N N < < zα / N + zα / (4.40) N N N EXEMPLUL 4.5: U eşato aleator de 80 de obervaţ a fot electat erepetat dtr-o populaţe ormal dtrbută de volum N800 de utăţ. Î urma calculelor a rezultat valoarea mede a caractertc î eşato 4. ş abaterea mede pătratcă.6. Să e determe tervalul de îcredere, garatat cu o probabltate de 95%, petru meda colectvtăţ geerale (µ) ş petru valoarea agregată a caractertc N. Rezolvare:.6 0.9 0.76 N 80 α z / z0.05.96 0.76 0.54 4.-0.54< µ <4.+0.54 3.56< µ <4.64

STATISTICĂ ECONOMICĂ 0848 N < < 7 4.6.4. Determarea volumulu eşatoulu z N z α / α / (4.4) z + N z α / α / + N 4.7. ESTIMAREA PROPOR ŢIEI ÎN CAZUL SONDAJULUI ALEATOR SIMPLU Utlzarea lu f petru a etma populaţa p ete mlară cu utlzarea lu petru etmarea parametrulu µ. 4.7.. Determarea eror med de reprezetatvtate Dpera medlor de elecţe (adcă dpera proporţlor eşatoaelor) va f atuc: p( p) σ f (4.4) etmată (petru că, de obce, proporţa p d colectvtatea geerală ete ecuocută), pr: f ( f ) f (4.43) Atuc, abaterea mede pătratcă a proporţlor d eşatoae, ce repreztă eroarea mede de reprezetatvtate ete calculată, pe baza datelor d eşato: f ( f ) f petru elecţe repetată (4.44) ş

f ( f ) f petru elecţe erepetată (4.45) N 4.7.. Determarea eror lmtă Îlocud eroarea mede de reprezetatvtate calculată ateror obţem eroarea lmtă (mamă admblă): ş f f ( f ) α / f zα / petru elecţe repetată (4.46) z f f( f) α / f zα / petru elecţe erepetată (4.47) N z 4.7.3. Determarea tervalulu de îcredere petru proporţa p Itervalul de îcredere petru proporţa p d colectvtatea geerală ete dat de: adcă: f- f < p < f+ f (4.48) f ( f ) f ( f ) zα / < p< f + zα / petru elecţe repetată (4.49) f ş f( f) f( f) f zα / < p< f + zα / (4.50) N N petru elecţe erepetată, garatat cu o probabltate 00(-α)%. Petru etmarea umărulu de răpuur afrmatve, tervalul de îcredere ete dat de: N(f ) < M < N(f + ) (4.5) f f

STATISTICĂ ECONOMICĂ EXEMPLUL 4.6: Preupuem că d 00 de peroae electate aleator ş achetate, 30 au o ope favorablă depre u produ ou. Să e etmeze cu o probabltate de 90%, tervalul de îcredere petru proporţa oplor favorable d colectvtatea geerală (locutor uu oraş). Rezolvare: f ( f ) 0. f 0.046 00 z z.64 0.046 f α / f 0.05 f 0.3-0.075 < p < 0.3+0.075 0.5 < p < 0.375 4.7.4. Determarea volumulu eşatoulu 0.075 (7.5%) Petru elecţa aleatoare repetată volumul eşatoulu ete dată de relaţa: z f ( f ) (4.5) f ar petru elecţa fără revere ete dată de relaţa: z f ( f )N z f ( f ) (4.53) f N + z f ( f ) z f ( f ) f + N 4.7.5. Determarea probabltăţ de garatare a rezultatelor 00(-α)% Petru a obţe velul de îcredere au probabltatea de garatare a rezultatelor, atuc câd folom proporţa f d eşato petru a etma proporţa p d colectvtatea geerală, vom rezolva ecuaţa: f zα / (4.54) f ( f )

ş apo vom determa: P(-z α/ < Z < z α/ ) -α 4.8. SONDAJUL ALEATOR TIPIC (STRATIFICAT) Varaţa ître tratur u flueţează, î cazul elecţe tratfcate, eroarea mede de reprezetatvtate, deoarece aeată varaţe ete prec reflectată î eşato. Cu alte cuvte, vom f gur că cel puţ d puctul de vedere al factorulu de tratfcare populaţa ete corect reprezetată î eşato ş crterul ale u ma cottue ură petru eroarea mede de reprezetatvtate. Coderâd dtrbuţa ue colectvtăţ după varabla X, putem reprezeta grafc efcactatea ue tratfcăr î cadrul odajulu ca î Fg. 4.4. 0 0 a) b) Fg. 4.4 - Sodaj tratfcat: a. odaj efcet; b. odaj efcet 4.8.. Calculu dcatorlor petru o varablă cattatvă Petru a calcula u etmator edeplaat al mede colectvtăţ geerale, vom determa meda artmetcă poderată a medlor traturlor. Atfel, î colectvtatea geerală, vom troduce otaţle:

STATISTICĂ ECONOMICĂ N µ meda tratulu (4.55) j j N h µ N µ h N Petru eşato vom ota: meda geerală (4.56) j j meda tratulu (4.57) h meda eşatoulu (4.58) h Putem cre eroarea mede de reprezetatvtate: σ σ (4.59) t σ, î geeral, ete ecuo- au, pe baza datelor d eşato (petru că cut): t (4.60) Atuc, eroarea lmtă (mamă admblă) ete: z α (4.6) t / t petru probabltatea 00(-α)% de garatare a rezultatelor.

Itervalul de îcredere petru meda colectvtăţ geerale ete dat de: t < µ < + (4.6) t t t Determarea volumulu eşatoulu e va efectua ş ac pord de la formula eror lmtă: t z α / t z α / care pr prelucrare coduce la: z / α (4.63) t Î cazul elecţe aleatoare tratfcate fără revere, e va ţe eama de coefcetul corecţe fte î populaţe ş vom avea: eroarea mede de reprezetatvtate: t N N (4.64) eroarea lmtă admblă la u coefcet de îcredere (-α): t zα / N (4.65) volumul eşatoulu:

STATISTICĂ ECONOMICĂ z α / (4.66) z α / + t N EXEMPLUL 4.7: U cercetător ete tereat î determarea alarulu medu petru agajaţ ue frme. Î frmă lucrează 850 de peroae, d care 500 agajaţ permaet ş 350 colaborator. Se electează aleator tratfcat proporţoal 0% d efectv: 50 de agajaţ permaet ş 35 colaborator ş e doreşte garatarea etmaţe cu o probabltate de 95%. Î urma prelucrăr datelor, e obţ următoarele rezultate: Agajaţ permaet Colaborator 60 m le 00 m le 35 m le 40 m le 50 35 Rezolvare: N 87.65 m le N t 070.94 Eroarea mede de reprezetatvtate (e preupue elecţe erepetată) ete: t 070.94 0.9 3.8 m le N 85 Eroarea lmtă petru α0.05 ete: zα z.96 3.8 64.33 m le t / t 0.05 t

Itervalul de îcredere petru alarul medu d colectvtatea geerală: 87.65 64.33 < µ < 87.65 + 64.33 m le 753.3 < µ < 88.99 m le garatat cu o probabltate de 95%. 4.8.. Alegerea umărulu de tratur ş repartzarea volumulu eşatoulu pe tratur Alegerea umărulu de tratur mpue două remarc. Prma ete de ord teoretc: deală ete tratfcarea la mamum, adcă alegerea uu umăr cât ma mare de grupe. Cea de-a doua ete de ord practc: rareor e pot depăş 0 tratur ş, de obce, lmtele traturlor ut mpue de formaţle dpoble d baza de odaj. Determarea volumulu eşatoulu î cazul elecţe aleatoare tratfcate mpue ş alocarea acetua pe tratur. Etă două pobltăţ de repartzare a volumulu eşatoulu () pe tratur: o repartţe proporţoală ş o repartţe optmă. Dacă dperle d terorul traturlor ut egale, petru u umăr dat de utăţ tattce eşatoate (), dpera pe aamblu ete mmă câd fracţle de odaj ut detce (elecţe tpcă proporţoală). Proporţle ut determate de poderle traturlor, adcă: N N (4.67) Cea de-a doua pobltate de repartzare (elecţe tpcă optmă) preupue o fracţe de odaj varablă de la u trat la altul. Petru o elecţe tpcă optmă, fracţle de odaj vor f proporţoale cu abaterle med pătratce.atuc, petru tratul volumul ubeşatoulu ete dat de: ş evdet h N (4.68) h N.

STATISTICĂ ECONOMICĂ 4.8.3. Etmarea proporţe petru o varablă alteratvă Eroarea mede de reprezetatvtate, calculată pe baza datelor d eşato ete dată de: petru elecţe tratfcată repetată: ft f ( f ) (4.69) petru elecţe tratfcată erepetată: f ( f ) ft (4.70) N Eroarea lmtă (mamă admblă), la u prag de emfcaţe α, e calculează ca: zα (4.7) ft / ft ar tervalul de îcredere petru proporţa p d colectvtatea geerală: f p< f + (4.7) ft ft De aemeea, e adaptează corepuzător formulele petru determarea volumulu eşatoulu ş repartzarea acetua pe tratur. 4.9. SONDAJUL DE SERII (CUIBURI) Î odajul î cubur, populaţa, ma mult au ma puţ împrăştată, ete ubdvzată î cubur. Petru fecare atfel de cub e poate calcula o made. Î fecare d cuburle etrae toţ dvz ut obervaţ ş atuc meda, ete cuocută fără eroare (de odaj, eelmâdu-e pobltatea erorlor de obervaţe).

Hazardul poate alege u cub aemăător cu altul, dec î care cele două med de cub ă fe egale. De aceea fluctuaţa de eşatoaj depde de egaltatea medlor de grup. Dpera totală σ ete egală cu uma dperlor ître cubur (grupur) σ c ş tracubur. Cum σ ete fă, precza uu odaj î cubur ete cu atât ma buă cu cât σ c ete ma mcă ş cu cat varaţa î terorul cuburlor ete ma mare. (Fg. 4.5). 0 0 a. b. Fg. 4.5 - Efcactatea uu odaj î cubur: a. cubur efcete: medle de grup marcate pr pucte ut puţ dperate; b. cubur efcete: medle cuburlor ut la fel de dperate ca ş valorle dvduale Dpera (varaţa) totală ete alcătută d do terme: dpera tercubur ş dpera tracubur: N N N σ (X X) + σ σc + σ, (4.73) N N N Dpera tergrupur eprmă egaltatea dverelor med de grupă ître ele. 4.0. TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE ÎN FUNDAMENTAREA DECIZIILOR

STATISTICĂ ECONOMICĂ Deeor, maager trebue ă fe pregătţ ă a decz prvd acţule vtoare pe baza formaţlor dpoble. Î proceul de luare a deczlor, e emt poteze pe care le pot teta ştţfc utlzâd metodele ş tehcle tattce. DEFINIŢIE: Ipoteza tattcă ete poteza care e face cu prvre la parametrul ue repartţ au la legea de repartţe pe care o urmează aumte varable aleatoare. 4.0.. Cocepte ş eror î tetarea potezelor tattce Î tattcă, potezele apar îtotdeaua î perech: poteza ulă ş poteza alteratvă. Ipoteza tattcă ce urmează a f tetată e umeşte poteză ulă ş ete otată, uzual, H 0. Ea cotă îtotdeaua î admterea caracterulu îtâmplător al deoebrlor, adcă î preupuerea că u etă deoebr eeţale. Repgerea poteze ule care ete tetată mplcă acceptarea ue alte poteze. Aceată altă poteză ete umtă poteză alteratvă, otată H. Procedeul de verfcare a ue poteze tattce e umeşte tet au crteru de emfcaţe. O ecveţă geerală de paş e aplcă la toate tuaţle de tetare a potezelor tattce. ) Se detfcă poteza tattcă pecală depre parametrul populaţe au legea de repartţe (H 0 ). ) Îtotdeaua poteza ulă ete îoţtă de poteza alteratvă (de cercetat), H, ce repreztă o teore care cotrazce poteza ulă. Ea va f acceptată doar câd etă ufcete dovez, evdeţe, petru a e tabl că ete adevărată. 3) Se calculează dcator tattc î eşato, utlzaţ petru a accepta au a repge poteza ulă ş e tableşte tetul tattc ce va f utlzat drept crteru de acceptare au de repgere a poteze ule. 4) Se tableşte reguea crtcă, R c Reguea crtcă ete delmtată de valoarea crtcă, C puctul de tăetură î tablrea acetea.

Î baza leg umerelor mar, uma îtr-u umăr foarte mc de cazur puctul rezultat d odaj va cădea î R c, majortatea vor cădea î afara regu crtce. Nu ete îă eclu ca puctul d odaj ă cadă î reguea crtcă, cu toate că poteza ulă depre parametrul populaţe ete adevărată. Eroarea pe care o facem elmâd o poteză ulă, deş ete adevărată, e umeşte eroare de geul îtâ. Probabltatea comter ue atfel de eror repreztă rcul de geul îtâ (α) ş e umeşte vel au prag de emfcaţe. Nvelul de îcredere al uu tet tattc ete (-α) ar î epree procetuală, (-α)00 repreztă probabltatea de garatare a rezultatelor. Eroarea pe cere o facem acceptâd o poteză ulă, deş ete fală, e umeşte eroare de geul al dolea, ar probabltatea (rcul) comter ue atfel de eror e otează cu β. Puterea tetulu tattc ete (-β). f( ) H 0 H α β µ 0 C µ Fg. 4.6 - Legătura dtre probabltăţle α ş β Cum, o dată cu creşterea volumulu al eşatoulu, abaterle med pătratce ale dtrbuţlor petru H 0 ş H dev ma mc ş, evdet, atât α, cât ş β decrec (Fg. 4.7).

STATISTICĂ ECONOMICĂ f( ) H 0 H α β µ 0 C µ Fg. 4.7 - α ş β câd volumul eşatoulu ' > 5) După ce am tablt pragul de emfcaţe ş reguea crtcă, trecem la paul următor, î care vom face prcpalele preupuer depre populaţa au populaţle ce ut eşatoate (ormaltate etc.). 6) Se calculează apo tetul tattc ş e determă valoarea a umercă, pe baza datelor d eşato. 7) La ultmul pa, e deprd cocluzle: poteza ulă ete fe acceptată, fe repă, atfel: a) dacă valoarea umercă a tetulu tattc cade î reguea crtcă (Rc), repgem poteza ulă ş cocluzoăm că poteza alteratvă ete adevărată. Vom şt că aceată decze ete corectă doar î 00 α % d cazur; b) dacă valoarea umercă a tetulu u cade î reguea crtcă (Rc), e acceptă poteza ulă H 0. Ipoteza alteratvă poate avea ua d tre forme (pe care le vom eemplfca petru tetarea egaltăţ parametrulu meda colectvtăţ geerale, µ cu valoarea µ 0 ): ) H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 (µ < µ 0 au µ > µ 0 ); ş acet tet ete u tet blateral; ) H 0 : µ µ 0

H : µ > µ 0 care ete u tet ulateral dreapta; ) H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 care ete u tet ulateral tâga. α/ α/ α α µ µ µ a) b) c) Fg. 4.8 - Reguea crtcă petru: a) tet blateral; b) tet ulateral tâga; c) tet ulateral dreapta 4.0.. Tetarea poteze prvd meda populaţe geerale (µ) petru eşatoae de volum mare ) î cazul tetulu blateral, potezele ut: H 0 : µ µ 0 (µ - µ 0 0) H : µ µ 0 (µ - µ 0 0) (adcă µ < µ 0 au µ > µ 0 ); µ 0 µ 0 µ 0 z (4.74) σ σ Reguea crtcă Rc ete dată de: Rc: z< - z α/ au z> z α/ µ 0 Repgem H 0 dacă < zα / σ µ 0 au > zα / σ

STATISTICĂ ECONOMICĂ ) petru tetul ulateral dreapta, potezele ut: H 0 : µ µ 0 (µ - µ 0 0) H : µ > µ 0 (µ - µ 0 >0); Repgem poteza H 0 dacă µ 0 > z σ α ) Petru tetul ulateral tâga, potezele ut: H 0 : µ µ 0 (µ - µ 0 0) H : µ < µ 0 (µ - µ 0 <0); Repgem poteza H 0 dacă µ 0 σ < z α 4.0.3. Tetarea poteze prvd dfereţa dtre două med petru eşatoae de volum mare U etmator al dfereţe (µ - µ ) ete dfereţa dtre medle eşatoaelor ( ). σ σ σ( ) + (4.75) ude σ ş σ ut dperle celor două populaţ eşatoate, ar ş ut volumele eşatoaelor repectve. Î cazul î care dperle celor două populaţ eşatoate ut egale, σ σ σ : σ( ) σ + (4.76) Î acete codţ, potezele tattce ce urmează a f tetate vor f: ) tet blateral

H 0 : (µ - µ ) D H : (µ - µ ) D [(µ - µ )>D au (µ - µ )<D] ) tet ulateral dreapta H 0 : (µ - µ ) D H : (µ - µ ) > D ) tet ulateral tâga H 0 : (µ - µ ) D H : (µ - µ ) < D Tetul tattc utlzat are forma: z ( ) D σ ( ) Reguea crtcă ete dată de: ) z< - z α/ au z> z α/ ) z> z α ) z< - z α 4.0.4. Tetarea poteze prvd meda populaţe geerale (µ) petru eşatoae de volum redu Î locul tattc z care ecetă cuoaşterea (au o buă apromare) a lu σ, vom folo tattca: µ 0 µ 0 t (4.77) ( ) ude: ) tet blateral

STATISTICĂ ECONOMICĂ H 0 : µ µ 0 H : µ µ 0 (µ < µ 0 au µ > µ 0 ); ) tet ulateral dreapta H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 ) tet ulateral tâga H 0 : µ µ 0 H : µ < µ 0 Tetul tattc utlzat: µ 0 µ 0 t Preupuerea pecală ce trebue făcută ete aceea că populaţa geerală ete ormal au apromatv ormal dtrbută. Reguea crtcă ete dată de: ) t > t α/,- au t < - t α/,- ) t > t α,- ) t < - t α,- 4.0.5. Tetarea poteze prvd dfereţa dtre două med petru eşatoae de volum redu Î codţle î care preupuem că cele două colectvtăţ geerale au dper egale ( σ σ σ ), u etmator al dpere (varabltăţ) totale d cele două populaţ combate ete: ( ) + ( ) c (4.78) +

au c ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) (4.79) + Ipotezele tattce vor f, î acete codţ: ) tet blateral H 0 : µ µ (µ - µ D) H : µ µ (µ - µ D) ) tet ulateral dreapta H 0 : µ µ (µ - µ D) H : µ > µ (µ - µ > D) ) tet ulateral tâga H 0 : µ µ (µ - µ D) H : µ < µ (µ - µ < D) t Tetul tattc t va avea forma: ( ) D ( ) c + ( ) + ( ) D ( + ) + Reguea crtcă ete dată de: ) t< - t au t> t α /,+ α /, + ) t> t α, + ) t< t + α,

STATISTICĂ ECONOMICĂ Îtrebăr recaptulatve. Defţ coceptul de elecţe tattcă.. Arătaţ avatajele utlzăr elecţe tattce. 3. Ce ete eşatoul? 4. Ce repreztă oţuea de eroare de etmaţe? 5. Arătaţ prcpalele oţu perech pecfce elecţe tattce. 6. Care ut prcpalele etape ale realzăr uu odaj tattc? 7. Pr ce e caracterzează o dtrbuţe de eşatoare? 8. Sodajul aleator mplu repetat: caractertc, eroare de reprezetatvtate, eroare lmtă admblă, terval de îcredere. 9. Cum e determă volumul eşatoulu î cazul odajulu aleator mplu repetat ş erepetat. De ce factor depde? 0. Determarea eror de reprezetatvtate, a eror mam admble ş a tervalulu de îcredere î cazul utlzăr odajulu mplu aleator erepetat.. Cum e determă probabltatea de garatare a rezultatelor î cazul odajulu aleator mplu repetat ş erepetat?. Determarea tervalulu de îcredere î cazul odajulu aleator mplu de volum redu. 3. Determaţ dcator de odaj, erorle ş tervalul de îcredere petru caractertca alteratvă î cazul odajulu mplu aleator. 4. Volumul eşatoulu ş probabltatea de garatare a rezultatelor petru caractertca alteratvă odaj mplu aleator. 5. Ce partculartăţ preztă odajul tratfcat? 6. Î ce codţ e foloeşte ş care ut avatajele utlzăr odajulu tpc î cercetarea tattcă? 7. Calculul dcatorlor de odaj petru o caractertcă cattatvă, î cazul odajulu tpc. 8. Cum e alege umărul de tratur ş cum e repartzează volumul eşatoulu pe tratur? 9. Calculul dcatorlor de odaj petru o caractertcă alteratvă î cazul odajulu tratfcat. 0. Sodajul de er cocept, utlzare, partculartăţ, avataje.. Ce repreztă poteza ulă îtr-u proce de tetare de poteze tattce?. Ce repreztă poteza alteratvă îtr-u proce de tetare de poteze tattce?

3. Ce repreztă tetul au crterul de emfcaţe? 4. Ce repreztă reguea crtcă? 5. Câd comtem o eroare de geul îtâ? 6. Câd comtem o eroare de geul al dolea? 7. Ce repreztă α ş β? 8. Care ut paş î cotrurea uu tet tattc? 9. Cum e tetează poteza prvd meda ue colectvtăţ geerale î cazul eşatoaelor mar? 30. Cum e tetează poteza prvd meda ue colectvtăţ geerale î cazul eşatoaelor de volum redu? 3. Cum e tetează poteza prvd dfereţa dtre medle a două colectvtăţ geerale, î cazul eşatoaelor mar? 3. Cum e tetează poteza prvd dfereţa dtre medle a două colectvtăţ geerale, î cazul eşatoaelor de volum redu?