Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13 Determinanţi 8 14 Rangul unei matrice 14 15 Matrice inversabile 16 Capitolul 2 Sisteme de ecuaţii algebrice liniare 19 21 Introducere 19 22 Regula lui Cramer 20 23 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare generale 22 24 Sisteme de ecuaţii liniare omogene 25 Capitolul 3 Spaţii liniare 27 31 Noţiuni introductive 27 32 Subspaţii liniare 30 33 Baze în spaţii liniare Dimensiunea unui spaţiu liniar 31 34 Schimbări de baze 36 35 Operatori liniari 39 36 Matricea asociată unui operator liniar pe spaţii liniare finit dimensionale 43 37 Vectori proprii şi valori proprii pentru un operator liniar 45 Partea 2 ECUAŢII DIFERENŢIALE 51 Capitolul 4 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 53 41 Ecuaţii diferenţiale - introducere 53 42 Ecuaţii cu variabile separabile 57 43 Ecuaţii liniare de ordinul întâi 59 44 Ecuaţii cu diferenţiale exacte 61 Capitolul 5 Modele matematice descrise de ecuaţii diferenţiale 63 51 Răcirea (încălzirea) corpurilor 63 52 Dezintegrarea unei substanţe radioactive 67 53 Modelarea matematică a unor reacţii chimice 68 54 Un sistem biologic bicompartimental 68 iii

iv CUPRINS Capitolul 6 Existenţa şi unicitatea soluţiilor pentru problema Cauchy 71 61 Teorema de existenţă şi unicitate a lui Picard pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi scalare 71 62 Teorema de existenţă şi unicitate a lui Picard pentru sisteme diferenţiale de ordinul întâi 76 63 Teorema de existenţă şi unicitate a lui Picard pentru ecuaţii diferenţiale de ordin superior 79 Capitolul 7 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi 83 71 Sisteme diferenţiale liniare omogene Spaţiul soluţiilor 84 72 Sisteme liniare neomogene Formula variaţiei constantelor 89 73 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare 92 74 Ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi 97 Derivate şi integrale pentru funcţii de o variabilă 105 Derivate pentru funcţii de o singură variabilă 105 Integrale 107 Bibliografie 111

Partea 1 ALGEBRĂ

CAPITOLUL 1 Matrice şi determinanţi Două noţiuni pe care le vom întâlni foarte des pe parcursul cursului sunt cele de corp şi matrice 11 Corpuri Definiţia 111 Se numeşte corp un triplet (K, +, ) format dintr-o mulţime K şi două operaţii interne pe K, + : K K K (numită adunare) (x, y) x + y, x, y K : K K K (numită înmulţire) (x, y) x y = not xy, x, y K care satisfac următoarele condiţii: i) (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z K (asociativitatea adunării); ii) 0 K astfel încât x + 0 = 0 + x = x, x K (0 element neutru pentru adunare); iii) x K x K (numit opusul lui x) astfel încât x+( x) = ( x)+x = 0; iv) x + y = y + x, x, y K (comutativitatea adunării); v) (xy)z = x(yz), x, y, z K (asociativitatea înmulţirii); vi) 1 K \ {0} astfel încât x 1 = 1 x = x, x K (1 element neutru pentru înmulţire); vii) x K \ {0} x 1 K \ {0} (numit inversul lui x) astfel încât xx 1 = x 1 x = 1; viii) x(y +z) = xy +xz, x, y, z K (distributivitatea la stânga a înmulţirii faţă de adunare); ix) (y + z)x = yx + zx, x, y, z K (distributivitatea la dreapta a înmulţirii faţă de adunare) Observaţia 111 (1) Condiţiile i) iv) spun că (K, +) este grup comutativ (abelian) (2) Condiţia vi) implică 1 0 3

(3) Pentru inversul unui element x K \ {0} se mai foloseşte notaţia 1 x Dacă x K, y K \ {0}, atunci elementul xy 1 K se mai notează cu x y (4) Din condiţiile v) vii) rezultă că (K \ {0}, ) este grup Definiţia 112 Un corp (K, +, ) pentru care înmulţirea este comutativă (adică xy = yx, x, y K) se numeşte corp comutativ Exemplul 111 (1) Mulţimile Q, R, C sunt corpuri comutative în raport cu operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire (2) (Z, +, ) nu este corp, deoarece nu are loc condiţia vii) din definiţia corpului (3) (N, +) nu este nici măcar grup ( nu este verificată iii)!) Propoziţia 111 (1) (2) Într-un corp K nu există divizori ai lui 0, adică x, y K, cu x 0, y 0, rezultă xy 0 (altfel spus, xy = 0 implică x = 0 sau y = 0) (3) În orice corp K se pot simplifica elementele nenule: x, y, z K, x 0, xy = xz implică y = z şi yx = zx implică y = z 121 Definiţii şi notaţii 12 Matrice Definiţia 121 Fie m, n N Se numeşte matrice de tip m n (de tip (m, n)) peste corpul comutativ K o funcţie A : {1, 2,, m} {1, 2,, n} K Observaţia 121 K poate fi şi un inel comutativ unitar, cu 1 0 (adică verifică toate condiţiile din definiţia unui corp comutativ, mai puţin vii)) Dacă notăm A(i, j) = a ij K, 1 i m, 1 j n, vom putea scrie funcţia A sub forma unui tablou cu m linii şi n coloane ce cuprinde valorile sale: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn De aceea A se mai numeşte matrice cu m linii şi n coloane cu coeficienţi în K Numerele a ij se numesc elementele matricei A; o matrice de tip m n are mn elemente 4

O matrice pentru care m = n se numeşte matrice pătratică de ordin n În cazul unei matrice pătratice, sistemul ordonat de elemente (a 11, a 22,, a nn ) se numeşte diagonala principală a matricei, iar sistemul ordonat de elemente (a 1n, a 2 n 1,, a n1 ) se numeşte diagonala secundară a matricei Matricele se notează cu litere mari din alfabetul latin: A, B, C, Pentru a pune în evidenţă elementele unei matrice, se folosesc notaţiile: (a ij ) 1 i m, (a ij ) m n 1 j n Mulţimea matricelor de tip m n peste K se notează M m,n (K)Se observă că M m,n (Q) M m,n (R) M m,n (C) Dacă m = n, M n,n (K) = not M n (K) Matricele din M 1,n (K), n N se numesc matrice linie (sau vectori linie) de dimensiune n şi arată astfel: A = (a 11, a 12,, a 1n ) = not (a 1, a 2,, a n ) Matricele din M m,1 (K), m N se numesc matrice coloană (sau vectori coloană) de dimensiune m şi arată astfel: b 11 b 1 b 21 b 2 B = =not b m1 Observaţia 122 Conform definiţiei egalităţii funcţiilor, două matrice A = (a ij ) m n M m,n (K), B = (b kl ) p q M p,q (K) sunt egale dacă şi numai dacă sunt de acelaşi tip (m = p şi n = q) şi a ij = b ij pentru orice 1 i m, 1 j n Matricea O m n = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b m M m,n (K) se numeşte matricea nulă (zero) de tip m n Matricea pătratică 1 0 0 0 1 0 I n = M n (K) 0 0 1 se numeşte matricea unitate (sau identitate) de ordin n Dacă ordinul n este subînţeles, această matrice se poate nota şi I 5

122 Operaţii cu matrice Definiţia 122 Fie A, B M m,n (K), A = (a ij ) m n, B = (b ij ) m n Prin suma matricelor A şi B înţelegem matricea C = not A+B M m,n (K), C = (c ij ) m n, unde c ij = a ij + b ij, 1 i m, 1 j n Operaţia + se numeşte adunarea matricelor Definiţia 123 Dată A M m,n (K), A = (a ij ) m n, notăm A = ( a ij ) m n şi o numim opusa matricei A Definiţia 124 Date A M m,n (K), A = (a ij ) m n şi λ K, matricea λa = (λa ij ) m n este numită produsul matricei A cu scalarul λ Definiţia 125 Fie A M m,n (K), B M n,p (K), A = (a ij ) m n, B = (b jk ) n p Se numeşte produsul matricelor A şi B (în această ordine!) matricea C = not A B = AB M m,p (K), C = (c ik ) m p, unde c ik = n a ij b jk, 1 i m, 1 k p j=1 Operaţia se numeşte înmulţirea matricelor Exemplul ( 121 ) 1 0 1 Fie A = 3 2 2 A + B = Exemplul ( 122 ) 1 0 1 Fie A = 3 2 2, B = 2 3 ( 1 3 0 + 4 1 5 3 + 5 2 6 2 + 3 ( 3 4 ) 5 5 6 3 ) = 2 3 Atunci A = 2 3 Atunci 2 3 ( 4 4 4 8 4 1 ( 1 0 1 3 2 2 ) ) 2 3 2 3 Exemplul ( 123 ) 1 0 1 Fie A = M 3 2 2 2,3 (R), λ = 2 R Atunci ( ) ( ) 2 ( 1) 2 0 2 1 2 0 2 2A = = M 2 3 2 2 2 ( 2) 6 4 4 2,3 (R) Exemplul 124 ( ) 1 0 1 Fie A = 3 2 5 =, B = 2 3 6 8 4 5 7 9 1 3 2 3 3 Atunci A B = 1 6 + 0 5 + 1 1 1 8 + 0 7 + 1 ( 3) 1 4 + 0 9 + 1 2 3 6 + 2 5 + 5 1 3 8 + 2 7 + 5 ( 3) 3 4 + 2 9 + 5 2 = 5 11 2 33 23 40 Înmulţirea BA nu se poate efectua 2 3 6

Propoziţia 121 Fie K un corp comutativ (1) Adunarea matricelor cu coeficienţi în K este asociativă şi comutativă, adică: m, n N, A, B, C M m,n (K), (A + B) + C = A + (B + C) (2) şi, respectiv, A + B = B + A Înmulţirea matricelor peste K este asociativă: m, n, p, q N, A M m,n (K), B M n,p (K), C M p,q (K), (3) (4) (AB)C = A(BC) Înmulţirea matricelor este distributivă faţă de adunare: m, n, p N, A, Ã M m,n(k), B, B M n,p (K), A(B + B) = AB + A B şi (A + Ã)B = AB + ÃB Înmulţirea matricelor cu scalari are următoarele proprietăţi: λ, µ K, A, Ã M m,n(k), B M n,p (K), λ(a + Ã) = λa + λã; (λ + µ)a = λa + µa; (λµ)a = λ(µa); 1A = A; λ(ab) = (λa)b = A(λB) Demonstraţie Întrucât operaţiile se efectuează element cu element, proprietăţile revin la proprietăţile operaţiilor cu elemente din corpul K Observaţia 123 Înmulţirea matricelor nu este, în general, comutativă!în primul rând, pentru ca produsele de matrice AB şi BA să existe simultan, trebuie ca A şi B sa fie matrice pătratice de acelaşi ordin Chiar şi în acest caz, există perechi de matrice A,B pentru care AB BA De( exemplu, ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 0 0 ( 0 0 1 0 1 0 ) ( 1 0 0 0 = ) = 0 0 ( 0 0 1 0 ), în timp ce Corolar 121 Fie K un corp comutativ şi m, n M m,n (K) (1) (M m,n (K), +) este grup abelian (comutativ) (2) (M n (K), +, ) este inel unitar (adică are toate proprietăţile din definiţia 111 a corpului, mai puţin vii)) Idee de demonstraţie (1) Elementul neutru la adunare este matricea O m n, iar opusa la adunare a unei matrice A este A (2) Elementul neutru la înmulţirea matricelor pătratice de ordin n este matricea unitate I n 7

123 Transpusa unei matrice Definiţia 126 Dacă A M m,n (K), A = atunci matricea t A M n,m (K), t A = transpusa matricei A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn, se numeşte Când transpunem o matrice A, coloana j a matricei A devine linia j a matricei t A, 1 j n Definiţia 127 (1) (2) Dacă A M n (K), t A = A (adică a ij = a ji, 1 i, j n), spunem că A este matrice simetrică (3) Dacă A M n (K), t A = A (adică a ji = a ij, 1 i, j n), spunem că A este matrice antisimetrică Proprietăţi (1) dacă A M m,n (K), atunci t ( t A) = A; (2) dacă A M m,n (K), λ K, atunci t (λa) = λ t A; (3) dacă A, B M m,n (K), atunci t (A + B) = t A + t B; (4) dacă A M m,n (K), B M n,p (K), atunci t (AB) = t B t A 13 Determinanţi Scopul părţii următoare a cursului este de a aminti cum se rezolvă sistemele de ecuaţii algebrice liniare Pentru aceasta avem nevoie de rezultate referitoare la determinanţi Definiţia unui determinant face apel la noţiunea de permutare; de aceea primul paragraf din această secţiune este dedicat recapitulării câtorva elemente legate de permutări 131 Permutare Definiţia 131 Fie n N O funcţie bijectivă σ : {1, 2,, n} {1, 2,, n} se numeşte permutare (substituţie) de gradul n Aceasta se notează, de obicei: ( 1 2 3 n σ = σ(1) σ(2) σ(3) σ(n) 8 )

Observaţia 131 Faptul că σ este bijectivă ne spune că valorile σ(1), σ(2),, σ(n) sunt distincte două câte două şi sunt tot numerele 1, 2,, n, eventual în altă ordine Notăm mulţimea tuturor permutărilor de gradul n cu S n Mulţimea S n are n! elemente Semnul (signatura) unei permutări Definiţia 132 Fie σ S n o permutare de gradul n O pereche ordonată (i, j), cu 1 i < j n se numeşte inversiune a permutării σ dacă σ(i) > σ(j) Notăm cu m(σ) numărul tuturor inversiunilor permutării σ şi observăm că 0 m(σ) n(n 1)/2 Definiţia 133 Numărul { ε(σ) = ( 1) m(σ) 1, dacă m(σ) este număr par = 1, dacă m(σ) este număr impar se numeşte semnul (signatura) permutării σ Permutarea σ se numeşte pară dacă ε(σ) = 1 şi impară dacă ε(σ) = 1 Exemplul 131 Fie permutările de gradul 3: ( ) ( 1 2 3 1 2 3 σ 1 =, σ 2 3 1 2 = 1 3 2 Inversiunile permutării σ 1 sunt (1, 3), (2, 3); m(σ 1 ) = 2 ε(σ 1 ) = 1, deci σ 1 este o permutare pară Singura inversiune a permutării σ 2 este (2, 3); m(σ 2 ) = 1 ε(σ 2 ) = 1, deci σ 2 este o permutare impară ) 132 Determinanţi Definiţie şi reguli de calcul Fie A M n ((C)), A = (a ij ) m n, a ij C, 1 i, j n Definiţia 134 Numărul (11) det A = Σ σ Sn ε(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) se numeşte determinantul matricei A sau, mai simplu, determinant de ordin n şi se notează: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ) det A = (sau A sau a ij 1 i,j n a n1 a n2 a nn Produsul a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) se numeşte termen al determinantului de ordin n 9

Observaţia 132 (1) A se face distincţie între noţiunile de matrice şi determinant! O matrice este o funcţie; un determinant este un număr Matricele se notează între ( ), iar determinanţii, între (2) Noţiunea de determinant are sens numai pentru matrice pătratice Se obişnuieşte să se spună despre elementele, liniile, coloanele şi diagonalele matricei A că sunt elementele, liniile, coloanele, respectiv diagonalele determinantului det A Calculul determinanţilor În formula (11) avem o sumă de n! termeni, jumătate cu semnul + şi jumătate cu semnul - În cazurile n = 2, 3 această formulă se poate pune într-o formă mai simplu de folosit Determinanţi de ordin 2: din produsul elementelor de pe diagonala pricipală se scade produsul elementelor de pe diagonala secundară; altfel spus: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Determinanţi de ordin 3: se aplică regula lui Sarrus sau metoda triunghiului Regula lui Sarrus Se copie sub determinant elementele primelor două linii Se iau cu semnul + produsele de câte trei elemente de pe diagonala principală şi de pe cele două paralele la ea, situate sub ea Se iau cu semnul - produsele de câte trei elemente de pe diagonala secundară şi de pe cele două paralele la ea, situate sub ea a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33 Determinanţi de ordin n 4: se apelează la proprietăţile determinanţilor de ordin n, care simplifică de multe ori calculul 133 Proprietăţi ale determinanţilor de ordin n Propoziţia 131 Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse Altfel spus, det A = det (t A ), A M n (C) sau 10

a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Demonstraţie cu definiţia (11) = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn Observaţia 133 Din propoziţia 131 rezultă că dacă o proprietate e adevărată pentru liniile uui determinant, e adevărată şi pentru coloanele determinantului (şi reciproc) Propoziţia 132 Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr-o matrice unt nule, atunci determinantul matricei este nul Demonstraţie Fiecare termen din suma (11) conţine un element al liniei (coloanei) în cauză, deci toţi termenii determinantului sunt egali cu zero Propoziţia 133 Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau coloane) între ele,obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu opusul determinantului matricei iniţiale Demonstraţie cu definiţia (11) Propoziţia 134 Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul Demonstraţie Folosim propoziţia 133 Schimbând liniile identice între ele, deducem că det A = det A, de unde det A = 0 Propoziţia 135 Dacă înmulţim toate elementele unei linii (sau coloane) a unei matrice cu un număr α, obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu α înmulţit cu determinantul matricei iniţiale Altfel spus, a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n (12) αa i1 αa i2 αa in = α a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn (şi analog pentru coloane) Demonstraţie cu definiţia (11) 11

Observaţia 134 A se constata deosebirea între formula pentru determinanţi (12) şi formula : αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa i1 αa i2 αa in αa m1 αa m2 αa mn = α corespunzătoare înmulţirii matricelor cu scalari a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in a m1 a m2 a mn Propoziţia 136 Dacă elementele a două linii (coloane) a unei matrice sunt proporţionale, atunci determinantul matricei este nul Demonstraţie Liniile i şi j sunt proporţionale dacă există un număr α astfel încât a jl = αa il pentru orice 1 l n Demonstraţia urmează din propoziţiile 135 şi 134 Propoziţia 137 a i1 + a i1 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i2 + a i2 a in + a in a n1 a n2 a nn + şi corespunzător pe coloane Demonstraţie = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn cu definiţia determinantului a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn Definiţia 135 Fie A = (a ij ) n n o matrice pătratică de ordin n Spunem că linia i a matricei A este o combinaţie liniară de celelalte linii dacă există numerele α j, j = 1, 2,, i 1, i + 1,, n (posibil unele zero) astfel încât: a ij = α 1 a 1j + α 2 a 2j + + α i 1 a i 1 j + α i+1 a i+1 j + + α n a nj 12 +

Analog pentru coloane Propoziţia 138 Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelalte linii (respectiv coloane), atunci determinantul matricei este nul Demonstraţie Se aplică propoziţiile 137 şi 136 Propoziţia 139 Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (respectiv, coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea A Demonstraţie Se aplică propoziţiile 137 şi 136 Observaţia 135 Propoziţia 136 este un caz particular al propoziţiei 138 Propoziţiile 132, 134 sunt cazuri particulare ale propoziţiei 136 Amintim în continuare un procedeu prin care calculul unui determinat de ordinul n se reduce la calculul unor determinanţi de ordinul n 1 Definiţia 136 Fie d = a ij 1 i,j n un determinant de ordin n Fie 1 i, j n Determinantul de ordinul n 1 care se obţine suprimând linia i şi coloana j din determinantul d se numeşte minorul elementului a ij şi se notează d ij Numărul A ij = ( 1) i+j d ij se numeşte complementul algebric al elementului a ij în determinantul d Teorema 131 Fie d = a ij 1 i,j n un determinant de ordin n Atunci pentru orice 1 i n are loc egalitatea: (13) d = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in Egalitatea (13) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după linia i Demonstraţie laborioasă Corolar 131 Fie d = a ij 1 i,j n un determinant de ordin n Atunci pentru orice 1 i, j n, j i are loc egalitatea: a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = 0 Demonstraţie din propoziţia 134 şi teorema 131 Din teorema 131 şi propoziţia 131 se obţine o teoremă analoagă pentru coloane: Teorema 132 Fie d = a ij 1 i,j n un determinant de ordin n Atunci pentru orice 1 j n are loc egalitatea: (14) d = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj Egalitatea (13) poartă denumirea de dezvoltarea determinantului d după coloana j 13

Corolar 132 Fie d = a ij 1 i,j n un determinant de ordin n Atunci pentru orice 1 i, j n, i j are loc egalitatea: a 1j A 1i + a 2j A 2i + + a nj A ni = 0 Observaţia 136 În vederea simplificării calculului unui determinant, mai întâi vom aplica propoziţiile 131-139 pentru a obţine cât mai multe zerouri pe o linie (sau coloană), apoi vom aplica teorema 1 (respectiv, teorema 2) pentru acea linie (coloană) Exemplul 132 Să se calculeze 2 1 0 2 d = 1 2 1 4 1 1 2 2 1 4 2 7 2 1 0 0 d = (col4 col1) 1 2 1 3 1 1 2 1 = (dezvoltam dupa linia 1) 2( 1) 1+1 2 1 3 1 2 1 1 4 2 6 4 2 6 + +1( 1) 1+2 1 1 3 1 1 1 1 4 6 2 1 3 Dar 1 2 1 = 0, conform propoziţiei 136, întrucât liniile 1 şi 3 sunt 4 2 6 proporţionale Prin urmare, 1 1 3 0 0 2 d = 1 1 1 1 4 6 =(linia1 linia2) 1 1 1 1 4 6 = (dezvoltam dupa linia 1) 2( 1) 1+3 1 1 1 4 = 2(4 1) = 6 14 Rangul unei matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Fie A M m,n (C), A = a m1 a m2 a mn şi fie k N astfel încât 1 k min{m, n} Dacă în A alegem k linii şi k coloane, elementele care se găsesc la intersecţia acestor linii şi coloane vor forma o matrice pătratică de ordin k, al cărei determinant se numeşte minor de ordin k al matricei A 14

Definiţia 141 Fie A M m,n (C), A O m,n Spunem că matricea A are rangul r N, şi scriem rang A = r, dacă A are un minor nenul de ordin r, iar toţi minorii de ordin mai mare decât r, dacă există, sunt nuli Dacă A = O m,n, atunci rang O m,n = 0 Exemplul 141 Pentru matricea A = 1 3 3 2 = 7 0 ( 1 3 1 3 2 0 ), minorul Întrucât nu există minori de ordin mai mare, rangul matricei A este 2 Teorema 141 Fie A M m,n (C), A O m,n Atunci rang A = r dacă şi numai dacă există un minor nenul M r de ordin r al lui A, iar toţi minorii de ordin r + 1 obţinuţi prin bordarea lui M r cu elementele corespunzătoare ale uneia dintre liniile şi uneia dintre coloanele rămase, dacă există, sunt nuli 141 Calculul rangului unei matrice A O m,n Pasul 1: Întrucât A O m,n, matricea A are cel puţin un element nenul Se ia un element diferit de zero al matricei, care va reprezenta un minor de ordinul 1 nenul Pasul k + 1: Am construit în paşii anteriori un minor M k de ordin k nenul Bordăm acest minor cu elementele corespunzătoare ale uneia dintre liniile şi uneia dintre coloanele rămase (dacă există) În acest fel putem obţine toţi minorii de ordin k + 1 care-l conţin pe M k Dacă toţi aceşti minori sunt nuli sau dacă nu există astfel de minori, atunci rang A = k Dacă cel puţin un minor de ordin k + 1 este nenul, îl reţinem şi continuăm procedeul Exemplul 142 Fie A = 1 2 2 4 4 5 8 10 Întrucât matricea este de 3 1 6 2 tip 3 4, rangul ei este cel mult min{3, 4} = 3 Plecăm din colţul stânga sus al matricei - pasul 1: 1 0 rang A 1; - pasul 2: bordăm minorul cu elemente din linia 2 şi coloana 2: 1 2 4 5 = 5 8 = 3 0 rang A 2; - pasul 3: bordăm minorul cu elemente din linia 3 şi coloana 3: 15

1 2 2 4 5 8 = 0 (folosim propoziţia 136; prima şi ultima coloană sunt 3 1 6 proporţionale); bordăm minorul cu elemente din linia 3 şi coloana 4: 1 2 4 4 5 10 = 0 (folosim propoziţia 136; ultimele doua coloane sunt 3 1 2 proporţionale) Am epuizat toate liniile şi coloanele matricei A, deci rang A = 2 15 Matrice inversabile Fie A M n (C) o matrice pătratică Definiţia 151 Matricea A se numeşte singulară (degenerată) dacă deta = 0 şi nesingulară (nedegenerată) dacă deta 0 Definiţia 152 Matricea A se numeşte inversabilă dacă există o matrice B M n (C) astfel încât AB = BA = I n, unde 1 0 1 0 1 0 I n = M n(c) 0 0 1 este matricea unitate de ordin n Matricea B se numeşte inversa matricei A Observaţia 151 Şi matricea A este inversa lui B! Teorema 151 Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică Demonstraţie Presupunem prin reducere la absurd ca matricea A ar admite două inverse B, B Atunci, din definiţia 152 şi din asociativitatea înmulţirii matricelor, B = BI n = B(AB ) = (BA)B = I n B = B, contradicţie! În baza teoremei 151, putem introduce o notaţie pentru inversa matricei A, şi anume A 1 Propoziţia 151 ( Proprietăţi) (1) Dacă A este o matrice inversabilă, atunci şi A 1 este o matrice inversabilă şi (A 1 ) 1 = A (2) Dacă A este o matrice inversabilă, atunci şi t A este o matrice inversabilă şi (t A ) 1 = t ( A 1) Teorema 152 Fie A M n (C) Atunci A este inversabilă dacă şi numai dacă A este nesingulară 16

Demonstraţie se foloseşte faptul că rangul unui produs de matrice este mai mic decât rangul unui factor al produsului se construieşte efectiv inversa lui A Ştim că d = deta 0 Se defineşte matricea adjunctă matricei A: A 11 A 21 A n1 A A 12 A 22 A n2 =, unde A ij este complementul algebric A 1n A 2n A nn n n al elementului aflat pe linia i şi coloana j din matricea A, 1 i, j n (complemenţii algebrici ai elementelor de pe prima linie a lui A se aşază pe prima coloană din A etc) Atunci A 1 = 1 d A Într-adevăr, d 0 0 ( ) ( ) 1 1 A d A = d A A = 1 0 d 0 d = I n, 0 0 d conform teoremelor 131, 132 şi corolariilor lor Exemplul 151 Fie A = 2 1 3 0 4 3 Pentru a afla dacă A este 2 5 0 inversabilă, potrivit teoremei 152, trebuie ca deta 0 15 15 15 d = deta = 6 24 30 = 60 Atunci A = 6 6 6 şi 8 12 8 A 1 = 1 1 4 1 1 4 4 d A = 1 1 1 10 10 2 15 1 5 10 2 15 Se constată că, deşi în exemplul anterior A M 3 (Z), A 1 / M 3 (Z), datorită faptului că 1 / Z d În schimb, dacă A M n (Q) (respectiv M n (R)), atunci A 1 M n (Q) (respectiv M n (R)) 17

CAPITOLUL 2 Sisteme de ecuaţii algebrice liniare 21 Introducere Fie m, n N Considerăm un sistem algebric liniar de m ecuaţii cu n necunoscute x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (21) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m sau, în forma condensată, n (22) a ij x j = b i, 1 i m, j=1 unde a ij, b i C, 1 i m, 1 j n Se introduc următoarele matrice: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M m,n(c) a m1 a m2 a mn B = Ā = X = b 1 b 2 b m M m,1(c) a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m x 1 x 2 x n M n,1(c) M m,n+1(c) 19 matricea (coeficienţilor) sistemului; coloana termenilor liberi; matricea extinsă a sistemului; coloana necunoscutelor

Cu aceste notaţii, sistemul (21) poate fi scris, echivalent, sub forma ecuaţiei matriceale: (23) AX = B Definiţia 211 Un n-uplu de numere (α 1, α 2,, α n ) C se numeşte soluţie a sistemului (21) (sau (22)) dacă n a ij α j = b i, pentru orice i {1, 2,, m} j=1 Un sistem de ecuaţii liniare algebrice poate fi: compatibil determinat, dacă are o singură soluţie; compatibil nedeterminat, dacă admite mai mult decât o soluţie; incompatibil, dacă nu admite soluţii Exemplul 211 Sistemul { x1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 = 1 este incompatibil Sistemul { x1 + x 2 = 0 x 1 x 2 = 2 este compatibil determinat, având soluţia unică x 1 = 1, x 2 = 1 Sistemul { x1 + x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 este compatibil nedeterminat, deoarece orice pereche de numere complexe de forma (α, 1 α), α C este soluţie 22 Regula lui Cramer Regula lui Cramer se aplică pentru sisteme liniare în care: numărul de ecuaţii m este egal cu numărul de necunoscute n; det A 0 Se consideră sistemul: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (24) a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n, unde a ij, b i C, 1 i, j n Cu notaţiile din introducere (pentru m = n), acest sistem se rescrie sub forma ecuaţiei matriceale: (25) AX = B 20

Fie d = deta, numit determinantul sistemului şi d j, 1 j n, determinantul obţinut din d prin înlocuirea coloanei j cu coloana B a termenilor liberi ai sistemului De exemplu, d 2 = a 11 b 1 a 13 a 1n a 21 b 2 a 23 a 1n a n1 b n a n3 a nn Teorema 221 (regula lui Cramer) Dacă d = det A 0, atunci sistemul (24) (sau (25)) este compatibil determinat şi soluţia sa este dată de formulele lui Cramer: x 1 = d 1 d, x 2 = d 2 d,, x n = d n d Demonstraţie Deoarece matricea A este nesingulară, conform teoremei 152, ea este inversabilă Înmulţind relaţia AX = B la stânga prin inversa A 1, obţinem că X = A 1 B, adică x 1 x 2 x n = de unde x j = 1 d A 11 d A 12 d A 1n d n i=1 A 21 d A 22 d A 2n d A n1 d A n2 d A nn d A ij b i = d j d, 1 j n Exemplul 221 Să se rezolve sistemul: x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + 9x 3 = 8 b 1 b 2 b n = 1 d 1 d 1 d n A i1 b i i=1 n A i2 b i i=1, n A in b i Numărul de ecuaţii din sistem coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului, 1 1 1 1 0 0 d = 1 2 3 coloana 1 din celelalte =scad 1 1 2 1 4 9 1 3 8 = 1 2 3 8 = 1 8 2 3 = 2 0 21 i=1

Atunci putem aplica regula lui Cramer Calculăm: 0 1 1 0 1 0 d 1 = 2 2 3 coloana 2 din coloana 3 =scad 2 2 1 8 4 9 8 4 5 = 2 1 8 5 d 2 = 1 0 1 1 2 3 1 8 9 = (2 5 1 8) = 2; =scad coloana 1 din coloana 3 1 0 0 1 2 2 1 8 8 = 0 (ultimele două coloane au aceleaşi elemente); 1 1 0 d 3 = 1 2 2 1 4 8 =scad coloana 1 din coloana 2 1 0 0 1 1 2 1 3 8 = 1 2 3 8 = 1 8 2 3 = 2 Rezultă că: x 1 = d 1 d = 2 2 = 1 x 2 = d 2 d = 0 2 = 0 x 3 = d 3 d = 2 2 = 1 23 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare generale Fie un sistem algebric liniar cu m ecuaţii şi n necunoscute (posibil m n): a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (26) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Când ne propunem să rezolvăm un astfel de sistem, prima întrebare care apare este dacă acesta este compatibil, adică dacă admite soluţii 22

231 Studiul compatibilităţii sistemului (26) Considerăm matricea sistemului A şi matricea extinsă Ā: a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n b 2 A = a m1 a m2 a mn, Ā = a m1 a m2 a mn b m Se observă imediat că toţi minorii matricei A sunt şi minori in Ā, şi atunci rang A rang Ā Problema compatibilităţii sistemelor algebrice liniare este elucidată de următoarea teoremă: Teorema 231 (teorema Kronecker-Capelli) O condiţie necesară şi suficientă ca sistemul liniar (26) să fie compatibil este ca rang A =rang Ā Pentru a utiliza această teoremă în aplicaţii practice, primul pas este calculul rangului lui A Un minor nenul al lui A cu proprietatea că toţi minorii lui A care-l conţin sunt nuli se numeşte minor principal Fie d un minor principal pentru A; acesta este un determinant de ordin r = rang A În continuare, calculăm rangul matricei Ā d este minor (nenul) şi pentru matricea Ā Este suficient să verificăm dacă vreunul dintre minorii de ordin r + 1 ai lui Ā obţinuţi prin bordarea lui d este nenul Cum poate arăta un astfel de minor? Sau este şi minor pentru A (şi atunci ştim că este nul), sau este obţinut prin bordarea lui d cu elemente ale coloanei termenilor liberi şi elemente ale uneia dintre liniile rămase în Ā Un astfel de minor de ordin r + 1 va fi numit minor caracteristic Atunci teorema Kronecker-Capelli se poate reformula ca: Teorema 232 (teorema lui Rouché) O condiţie necesară şi suficien tă ca sistemul liniar (26) să fie compatibil este ca toţi minorii caracteristici să fie nuli 232 Determinarea soluţiilor sistemului (26) Presupunem că sistemul (26) este compatibil, adică rang A = rang Ā = r Presupunem, de asemenea, că un minor principal al sistemului se găseşte la intersecţia primelor r linii şi a primelor r coloane, adică a 11 a 12 a 1r a 21 a 22 a 2r (27) d = 0 a r1 a r2 a rr (ceea ce este o presupunere acceptabilă, deoarece în caz contrar am putea renumerota ecuaţiile şi necunoscutele) Dăm fără demonstraţie: 23

Teorema 233 Un determinant este nul dacă şi numai dacă una dintre liniile (respectiv, coloanele) sale este combinaţie liniară de celelalte linii (respectiv, coloane) În baza acestei teoreme, rezultă că orice linie a matricelor A, Ā este combinaţie liniară de primele r linii (pentru ca toţi minorii de ordin r + 1 care-l conţin pe d sunt nuli) De aici se obţine că orice ecuaţie a sistemului (26) este combinaţie liniară de primele r ecuaţii ale sistemului (26); cu alte cuvinte, orice soluţie a primelor r ecuaţii va satisface toate ecuaţiile sistemului (26) Este suficient, aşadar, să rezolvăm sistemul: (28) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a r1 x 1 + a r2 x 2 + + a rn x n = b r care este echivalent cu sistemul (26) Matricea coeficienţilor sistemului (28) are un minor nenul de ordin r exact d dat de formula (27) şi deci are rangul r Cum r n (rangul r al matricei A poate fi cel mult egal cu numărul ei de coloane n), distingem două cazuri: (29) Dacă r = n, atunci sistemul (28) are acelaşi număr de ecuaţii şi necunoscute, iar determinantul său este nenul, deci putem aplica regula lui Cramer pentru a afla soluţia (unică a) sistemului (28), care va fi şi soluţia sistemului (26) În acest caz, sistemul (26) este compatibil determinat Dacă r < n, atunci vom numi necunoscutele corespunzătoare minorului d 0 necunoscute principale În cazul nostru, x 1, x 2,, x r sunt necunoscutele principale Trecem în membrii drepţi ai ecua ţiilor (28) toţi termenii care conţin celelalte necunoscute x r+1,, x n (numite necunoscute secundare); necunoscutelor secundare le atribuim valori arbitrare λ r+1,, λ n, respectiv Se ajunge la un sistem de r ecuaţii cu r necunoscute: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1r x r = b 1 a 1r+1 λ r+1 a 1n λ n a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a 2r+1 λ r+1 a 2n λ n a r1 x 1 + a r2 x 2 + + a rn x n = b r a rr+1 λ r+1 a rn λ n care se rezolvă cu formulele lui Cramer, deducându-se soluţia: x 1 = x 1 (λ r+1,, λ n ) x 2 = x 2 (λ r+1,, λ n ) x r = x r (λ r+1,, λ n ) 24,,

Cum valorile λ r+1,, λ n sunt alese arbitrar, se obţin în acest mod o infinitate de soluţii distincte ale sistemului (29), deci o infinitate de soluţii distincte pentru sistemul (26), şi anume: x 1 = x 1 (λ r+1,, λ n ) x 2 = x 2 (λ r+1,, λ n ) x r = x r (λ r+1,, λ n ) x r+1 = λ r+1 x n = λ n, λ r+1,, λ n C Aşadar, sistemul (26) este în acest caz compatibil nedeterminat Observaţia 231 Pentru ca sistemul compatibil (26) să aibă soluţie unică, este necesar şi suficient ca rangul matricei sistemului să fie egal cu numărul necunoscutelor: rang A = n Exemplul 231 Să se rezolve sistemele: (1) (2) x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 0 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 2x 1 + 2x 2 2x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + 2x 2 x 3 = 1 ; ; (3) { x1 x 2 + x 3 = 1 3x 1 3x 2 + 3x 3 = 2 Răspunsuri: (1) sistem compatibil determinat, cu soluţia (1, 1, 0); (2) sistem compatibil nedeterminat, cu soluţiile (1 + λ, 0, λ), λ C; (3) sistem incompatibil 24 Sisteme de ecuaţii liniare omogene Un caz particular de sisteme algebrice liniare îl constituie sistemele de ecuaţii omogene Definiţia 241 Un sistem de ecuaţii algebrice liniare se numeşte omogen dacă termenul liber al fiecărei ecuaţii este nul 25

Forma generală a unui astfel de sistem este: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 (210) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 Aplicăm rezultatele precedente unui sistem omogen (1) Un sistem omogen este întotdeauna compatibil Aceasta se poate vedea direct, deoarece un astfel de sistem admite întotdeauna soluţia nulă: x 1 = x 2 = = x n = 0 sau putem aplica teorema lui Rouché, observând că toţi minorii caracteristici sunt nuli, pentru că au pe ultima coloană doar zerouri, întrucât toţi termenii liberi ai sistemului sunt 0 (2) Să presupunem că rang A = r dacă r = n (adică, dacă rangul matricei sistemului coincide cu numărul necunoscutelor), atunci soluţia nulă este singura soluţie a sistemului (210), deci sistemul este compatibil determinat; dacă r < n, atunci sistemul (210) este compatibil nedeterminat; el are şi soluţii nenule, care se găsesc după procedeul descris în secţiunea 232 Prin urmare: Un sistem de n ecuaţii liniare omogene cu n necunoscute are soluţii nenule dacă şi numai dacă determinantul său este nul Un sistem de ecuaţii liniare omogene în care numărul ecuaţiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor are soluţii nenule Exemplul 241 Rezolvaţi sistemul: { x1 + x 2 + 2x 3 = 0 2x 1 x 2 x 3 = 0 Răspuns: sistem compatibil nedeterminat, cu soluţiile ( λ3, 5λ3, λ ), λ C 26

CAPITOLUL 3 Spaţii liniare 31 Noţiuni introductive Definiţia 311 Fie V şi K un corp comutativ Spunem că V este spaţiu liniar (spaţiu vectorial) peste K (sau V este K spaţiu liniar (vectorial)) dacă: i) pe V este definită o operaţie internă: + : V V V astfel încât (V, +) să fie grup abelian; ii) este definită o aplicaţie (lege de compoziţie externă): : K V V (λ, v) λv (numită înmulţirea elementelor din V cu scalari în K) astfel încât u, v V, λ, µ K, au loc: 1) λ(u + v) = λu + λv 2) (λ + µ)u = λu + µu 3) (λµ)u = λ(µu) 4) 1u = u Elementele corpului K se numesc scalari şi se notează, de obicei, cu litere greceşti mici Elementele lui V se numesc vectori şi se notează cu litere latine mici Observaţia 311 Am folosit acelaşi simbol pentru adunarea din K şi cea din V, la fel pentru înmulţirea din K şi înmulţirea cu scalari; se deduce din context despre ce operaţie este vorba De asemenea, în cele ce urmează simbolul 0 va nota atât elementul neutru la adunare din K, cât şi elementul neutru la adunare din V ; deosebirea se face tot in funcţie de context Elementul 1 care apare în condiţia 4) este, desigur, elementul neutru la înmulţire din K Observaţia 312 Condiţiile 1) 3) din definiţia 311 exprimă compatibilitatea înmulţirii cu scalari faţă de adunarea din V, adunarea din K şi, respectiv, faţă de înmulţirea din K În particular, relaţiile 1), 2) dau distributivitatea înmulţirii cu scalari faţă de adunarea vectorilor şi, respectiv, faţă de adunarea scalarilor 27

Condiţia 4) este o condiţie naturală, care elimină operaţii externe banale, ca înmulţirea zero: λu = 0, λ K, u V Observaţia 313 Expresia spaţiu liniar nu are sens atâta timp cât corpul K peste care se consideră structura nu este precizat! Cele mai des întâlnite sunt R spaţiile liniare (numite şi spaţii liniare reale) şi C spaţiile liniare (numite şi spaţii liniare complexe) Exemple de spaţii liniare Orice corp comutativ K este K spaţiu liniar Adunarea din V = K este adunarea din corpul K, iar înmulţirea unui vector u V = K cu un scalar λ K este înmulţirea din corpul K: λu K Din definiţia corpului se observă că toate condiţiile din definiţia 311 sunt verificate În particular, R este spaţiu liniar real, iar C este spaţiu liniar complex Fie (K, +, ) un corp comutativ şi n N Mulţimea K n = {(u 1, u 2,, u n ); u i K, 1 i n} este un K spaţiu liniar, adunarea şi înmulţirea vectorilor cu scalari definindu-se pe componente: (u 1, u 2,, u n ) + (v 1, v 2,, v n ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u n + v n ), λ(u 1, u 2,, u n ) = (λu 1, λu 2,, λu n ), (u 1, u 2,, u n ), (v 1, v 2,, v n ) K n, λ K Se constată uşor că vectorul nul este 0 = def (0, 0,, 0), iar opusul unui vector (u 1, u 2,, u n ) este (u 1, u 2,, u n ) = def ( u 1, u 2,, u n ) În particular, R n = {x = (x 1, x 2,, x n ); x i R, 1 i n} este un spaţiu liniar real, cu operaţiile date astfel: x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) R n, λ R : x + y = (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) = def (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ), λx = λ(x 1, x 2,, x n ) = def (λx 1, λx 2,, λx n ) Analog, C n este spaţiu liniar complex, iar Q n este spaţiu liniar peste corpul Q Pentru m, n N, M m,n (R) este un spaţiu liniar real (mai general, dat K un corp comutativ, M m,n (K) este K spaţiu liniar) Cele două operaţii sunt adunarea matricelor şi înmulţirea matricelor cu scalari (a se vedea propoziţia 121, capitolul 1) 28

Fie în continuare K un corp comutativ fixat dăm câteva reguli de bază în calculul cu vectori: În propoziţia următoare Propoziţia 311 Fie V un K spaţiu liniar λ, µ K şi pentru orice u, v V, au loc egalităţile: Atunci, pentru orice i) λ0 = 0 ii) 0u = 0 iii) ( λ)u = λ( u) = (λu) iv) (λ µ)u = λu µu v) λ(u v) = λu λv vi) λu = 0 λ = 0 sau u = 0 vii) λ 0 şi λu = λv implică u = v viii) u 0 şi λu = µu implică λ = µ Demonstraţie i) Avem λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 Adunăm în ambii membri opusul elementului λ0 V ((V, +) este grup!) şi obţinem 0 = λ0 ii) 0u = (0+0)u = 0u+0u; adunăm în ambii membri opusul elementului 0u V şi rezultă 0 = 0u iii) Se arată mai întâi că ( λ)u este opusul elementului λu în V ; altfel spus, ( λ)u = (λu) Într-adevăr, folosind, pe rând, relaţiile ii), 2) din definiţia spaţiului liniar şi comutativitatea grupului (V, +), deducem: 0 = 0u = (λ + ( λ))u = λu + ( λ)u = ( λ)u + λu Rămâne de arătat că şi λ( u) este opusul elementului λu în V, adică λ( u) = (λu) Utilizând i), 1) din definiţia spaţiului liniar şi comutativitatea grupului (V, +), deducem: 0 = λ0 = λ(u + ( u)) = λu + λ( u) = λ( u) + λu iv) (λ µ)u = (λ + ( µ))u = λu + ( µ)u = iii) λu + ( µu) = λu µu v) λ(u v) = λ(u + ( v)) = λu + λ( v) = iii) λu + ( λv) = λu λv vi) : Presupunem că λu = 0 Dacă λ = 0, demonstraţia este încheiată Dacă λ 0, atunci, din faptul că (K \ {0}, ) este grup, rezultă că λ este inversabil Înmulţind în ambii mebri cu scalarul λ 1, se obţine: 0 = i) λ 1 0 = λ 1 (λu) = (λ 1 λ)u = 1u = u : Dacă λ = 0, atunci, conform punctului ii), λu = 0u = 0 Dacă u = 0, atunci, din i), λu = λ0 = 0 vii) Adunând opusul elementului λv în ambii membri ai egalităţii λu = λv, rezultă că λu λv = 0 v) λ(u v) = 0 Întrucât λ 0, din vi) se obţine u v = 0, adică u = v viii) Adunând opusul elementului µu în ambii membri ai egalităţii λu = µu, rezultă că λu µu = 0 iv) (λ µ)u = 0 Întrucât u 0, din vi) se obţine λ µ = 0, adică λ = µ 29

32 Subspaţii liniare Definiţia 321 Fie n N şi v 1,, v n V Orice vector de forma λ 1 v 1 + + λ n v n V, unde λ 1,, λ n K, se numeşte combinaţie liniară a vectorilor v 1,, v n Scalarii λ 1,, λ n se numesc coeficienţii acestei combinaţii liniare, iar n se numeşte lungimea combinaţiei liniare Dacă S V, orice combinaţie liniară a unui număr finit de vectori din S se numeşte combinaţie liniară de vectori din S Convenţie: Vectorul nul este singura combinaţie liniară a unei mulţimi vide de vectori Definiţia 322 Fie V un K spaţiu liniar O submulţime nevidă U a lui V se numeşte K subspaţiu liniar (vectorial) al lui V dacă u, v U, λ K, au loc u + v U şi λu U Vom scrie U K V sau U V Orice subspaţiu liniar conţine măcar vectorul nul Propoziţia 321 (de caracterizare) Fie V un K spaţiu liniar şi U V Sunt echivalente afirmaţiile: i) U K V ; ii) u, v U, λ, µ K, are loc λu + µv U; iii) n N, u 1,, u n U, λ 1,, λ n K, are loc λ 1 u 1 + + λ n u n U Demonstraţie i) ii) : Folosind definiţia 322, obţinem că: - pentru orice λ K, u U, rezultă λu U - pentru orice µ K, v U, rezultă µv U Atunci şi suma λu + µv este din U ii) iii) : Procedăm prin inducţie matematică Cazul n = 2 este ii) şi cazul n = 1 rezultă din ii) luând µ = 0 Presupunem că n 3 şi că am demonstrat că orice combinaţie liniară de vectori din U, de lungime cel mult n 1, aparţine tot lui U Atunci, pentru orice u 1,, u n U şi pentru orice λ 1,, λ n K, avem λ 2 u 2 + + λ n u n U, din ipoteza inductivă Prin urmare, λ 1 u 1 + (λ 2 u 2 + + λ n u n ) U, conform ipotezei ii) iii) i) Fie u, v K oarecare Luăm in iii) n = 2, u 1 = u, u 2 = v, λ 1 = λ 2 = 1 şi rezultă u 1 + u 2 U Pe de altă parte, pentru orice u U, λ K, luând n = 1, u 1 = u, λ 1 = λ în iii), se obţine că λu U Propoziţia 322 Fie V un K spaţiu liniar Intersecţia oricărei familii de subspaţii liniare ale lui V este subspaţiu liniar al lui V Demonstraţie Fie (U i ) i I o familie de subspaţii ale lui V Verificăm pentru U i condiţia ii) din propoziţia 321 Fie λ, µ K şi u, v U i i I i I Atunci u, v U i, pentru orice i I Din U i K V, rezultă că λu + µv U i pentru toţi i I Prin urmare λu + µv U i i I 30

33 Baze în spaţii liniare Dimensiunea unui spaţiu liniar 331 Sisteme de generatori Definiţia 331 Fie V un spaţiu liniar peste K şi S V o submulţime oarecare Numim subspaţiu liniar generat de S în V (sau înfăşurătoarea liniară a lui S în V ) intersecţia tuturor subspaţiilor liniare ale lui V care includ pe S Vom nota această mulţime cu K S sau S (dacă nu există pericol de confuzie) Deci: K S = {U K V S U} Din propoziţia 322 se observă că S K V, ceea ce justifică denumirea sa Definiţia 332 Dacă S = U, se spune că S este un sistem de generatori al subspaţiului U (sau că S generează subspaţiul U) Observaţia 331 < >= {0} Pentru a lămuri cititorul cum arată elementele din S, dăm următorul rezultat: Propoziţia 331 Fie V un K spaţiu liniar şi S V Atunci: a) S este cel mai mic (în sensul incluziunii) subspaţiu al lui V care include pe S Altfel spus: S V şi S S ; (31) pentru orice subspaţiu U V astfel încât S U, are loc S U b) Dacă S = {v 1,, v n }, atunci S este mulţimea combinaţiilor liniare de elementele lui S, adică: S = v 1,, v n = {λ 1 v 1 + + λ n v n λ 1, λ n K} c) Pentru o mulţime S V arbitrară, S este mulţimea combinaţiilor liniare finite de elemente ale lui S: S = {λ 1 v 1 + + λ n v n n N ; v 1, v n S; λ 1, λ n K} Demonstraţie a) Faptul că S este subspaţiu în V rezultă din propoziţia 322, iar faptul că S S, din definiţia lui S Pentru a demonstra (31), este suficient să observăm că un subspaţiu U al lui V care include pe S face parte din familia de subspaţii a căror intersecţie este, prin definiţie, S b) Demonstrăm egalitatea celor două mulţimi prin dublă incluziune : Ştim că v 1,, v n S S şi, aplicând punctul iii), propoziţia 321 pentru subspaţiul liniar S, rezultă că λ 1 v 1 + + λ n v n S, pentru orice λ 1,, λ n K : Mulţimea Ũ = {λ 1 v 1 + + λ n v n λ 1, λ n K} satisface condiţiile punctului iii) din propoziţia 321, deci este subspaţiu liniar în V În plus, pentru orice i {1, 2, n} fixat, alegând λ i = 1 şi λ j = 0 pentru 31

1 j n, j i, se obţine că v i Ũ ; aşadar S Ũ Utilizând relaţia (31), rezultă că S Ũ c) Fie C mulţimea din membrul drept Dacă S =, atunci = {0} = C Dacă S, atunci vom arăta că S C şi că C V ; prin (31) va rezulta că S C Orice v S se scrie sub forma 1 v C; de aici S C Fie acum λ, µ K şi u, v C arbitrari; demonstrăm că λu + µv C Într-adevăr, din u, v C rezultă că: -există n N, λ 1,, λ n K şi u 1,, u n S V astfel încât u = λ 1 u 1 + + λ n u n ; -există m N, µ 1,, µ m K şi v 1,, v m S V astfel încât v = µ 1 v 1 + + µ n v m Atunci λu + µv = (λλ 1 )u 1 + + (λλ n )u n + (µµ 1 )v 1 + + (µµ m )v m C Prin urmare, S C Pe de altă parte, C S, pentru că oricare ar fi v C, există n N, λ 1,, λ n K şi v 1,, v n S S astfel încât v = λ 1 v 1 + + λ n v n, de unde v S (conform punctului iii), propoziţia 321, aplicat subspaţiului liniar S V ) În concluzie, S = C Observaţia 332 Din punctul c) al propoziţiei 331 rezultă că submulţimea S a spaţiului vectorial V este sistem de generatori pentru V dacă şi numai dacă orice vector din V se scrie ca o combinaţie liniară de un număr finit de elemente din S Exemplul 1 Oricare ar fi spaţiul liniar V, {0} este subspaţiu liniar în V (numit subspaţiul nul) şi V este subspaţiu liniar în V Orice subspaţiu al lui V, diferit de {0} şi V, se numeşte subspaţiu propriu al lui V De exemplu, (0, 1) = {(0, λ) λ R} este subspaţiu propriu în spaţiul liniar real R 2 ( (0, 1) nu este subspaţiul nul {(0, 0)} pentru că (0, 1) (0, 1) ; (0, 1) nu este întreg spaţiul R 2 pentru că (1, 1) / (0, 1) ) Geometric, (0, 1) este axa ordonatelor Orice dreaptă prin origine este subspaţiu liniar în R 2 ; dreptele prin origine sunt singurele subspaţii liniare proprii în R 2 Exemplul 2 Fie spaţiul liniar real R n Fie: e 1 = (1, 0, 0,, 0) R n, e 2 = (0, 1, 0,, 0) R n, e i = (0,, 0, 1 locul i, 0,, 0) Rn, 1 i n, e n = (0,, 0, 1) R n 32

Atunci S = {e 1, e 2,, e n } este sistem de generatori pentru R n Într-adevăr, orice vector x R n poate fi scris x = (x 1, x 2, x n ), cu x i R, 1 i n, de unde: x = (x 1, 0, 0,, 0) + (0, x 2, 0,, 0) + + (0,, 0, x n ) = x 1 (1, 0, 0,, 0) + x 2 (0, 1, 0,, 0) + + x n (0,, 0, 1) 332 Liniară independenţă = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n Definiţia 333 Fie V un K spaţiu liniar a) Fie n N şi v 1,, v n V Spunem că mulţimea {v 1, v n } este liniar independentă (peste K) (sau vectorii v 1,, v n sunt liniar independenţi) dacă din λ 1,, λ n K cu λ 1 v 1 + + λ n v n = 0 rezultă λ 1 = = λ n = 0 (adică o combinaţie liniară de v 1,, v n este 0 dacă şi numai dacă toţi coeficienţii săi sunt 0) Observaţia 333 Dacă ar exista i j astfel încât v i = v j, atunci mulţimea {v 1, v n } nu ar fi liniar independentă, întrucât combinaţia linia ră v i v j este nulă, deşi coeficienţii săi sunt nenuli Aşadar în probleme de liniară independenţă putem presupune că vectorii v 1, v n sunt distincţi b) O familie infinită (v i ) i I de vectori din V se numeşte liniar independentă (peste K) dacă orice submulţime finită a sa este liniar independentă în sensul definiţiei de la punctul a) c) O familie de vectori din V care nu este liniar independentă se numeşte liniar dependentă Comparând cu definiţiile a),b), deducem că S V este liniar dependentă dacă şi numai dacă există n N, v 1,, v n S şi λ 1,, λ n K, nu toţi nuli, astfel încât λ 1 v 1 + +λ n v n = 0 O astfel de relaţie se numeşte relaţie de dependenţă liniară a vectorilor v 1,, v n Observaţia 334 Dacă 0 S, atunci S este liniar dependentă Dacă S este liniar independentă, atunci 0 / S Observaţia 335 Mulţimea {v 1, v n } este liniar independentă dacă şi numai dacă din λ 1,, λ n, µ 1,, µ n K şi λ 1 v 1 + + λ n v n = µ 1 v 1 + + µ n v n rezultă că λ i = µ i pentru toţi 1 i n (altfel spus, dacă un vector se scrie ca o combinaţie liniară de {v 1, v n }, atunci această scriere este unică) 333 Bază Dimensiunea unui spaţiu liniar Definiţia 334 O submulţime B a spaţiului liniar V se numeşte bază a lui V dacă satisface simultan condiţiile: B este liniar independentă şi B este sistem de generatori pentru V 33

Exemple de baze: Exemplul 1 este bază a spaţiului liniar {0} Exemplul 2 Dacă v V \ {0}, atunci {v} este bază în v = {λv λ K} Exemplul 3 Fiind dat un corp comutativ K, mulţimea B = {1} este bază a K spaţiului liniar K Într-adevăr, {1} este sistem liniar independent pentru că λ1 = 0 λ = 0; de asemenea, {1} este sistem de generatori pentru K deoarece oricare ar fi λ K, λ = λ1 B = {1} se numeşte baza canonică pentru corpul K Corpul K admite şi alte baze: dat orice element u K, u 0, mulţimea B = {u} este bază pentru K Mai precis, {u} este sistem liniar independent pentru că într-un corp nu există divizori ai lui 0, deci λu = 0 şi u 0 implică λ = 0; {u} este sistem de generatori pentru K deoarece orice element v K poate fi scris ca v = (vu 1 )u (amintim ca orice element nenul al unui corp este inversabil!) Exemplul 4 Familia {e 1, e 2,, e n } introdusă la pagina 32 este o bază a lui R n, numită baza canonică Am demonstrat că această mulţime generează spaţiul R n ; pentru a demonstra liniara independenţă este suficient să observăm că: λ 1 e 1 + + λ n e n = 0 λ 1 (1, 0, 0,, 0) + λ 2 (0, 1, 0,, 0) + +λ n (0,, 0, 1) = (0, 0, 0) (λ 1, 0, 0,, 0) + (0, λ 2, 0,, 0) + +(0,, 0, λ n ) = (0, 0, 0) (λ 1, λ 2,, λ n ) = (0, 0, 0) λ i = 0, i {1, 2,, n} Observaţia 336 Mai general, dat un corp comutativ K, în K spaţiul liniar K n se consideră mulţimea B n = {e 1, e 2,, e n }, unde e i = (0,, 0, 1, 0,, 0), 1 i n locul i Se arată, procedând la fel ca în spaţiul R n, că B n este bază în K n ; ea va fi denumită, de asemenea, baza canonică în K n Exemplul 5 Considerăm familia B mn = {E ij M m,n (K) 1 i m, 1 j n}, unde E ij este matricea având elementul de la intersecţia liniei i cu coloana j egal cu 1 şi restul elementelor nule B mn este bază în M m,n (K) (baza canonică) Pentru claritate, vom demonstra acest fapt în cazul m = n = 2; cazul general se tratează analog Avem B 22 = {E 11, E 12, E 21, E 22 } M 2 (K), unde ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 0 0 E 11 =, E 0 0 12 =, E 0 0 21 =, E 1 0 22 = 0 1 34

B 22 este sistem liniar independent pentru că, date λ 11, λ 12, λ 21, λ 22 K, au loc echivalenţele: ( λ11 0 0 0 λ 11 E 11 + λ 12 E 12 + λ 21 E 21 + λ 22 E 22 = 0 2 ( ) ( ) ( ) 0 λ12 0 0 0 0 + + = 0 0 λ 21 0 0 λ 22 ( ) 0 0 λ 0 0 ij = 0, i, j {1, 2} ) + ( ) λ11 λ 12 = λ 21 λ 22 ( 0 0 0 0 B 22 este sistem de generatori pentru M 2 (K) deoarece orice matrice ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 poate fi scrisă astfel: ( a11 0 A = 0 0 ) ( 0 a12 + 0 0 ) ( 0 0 + a 21 0 = a 11 E 11 + a 12 E 12 + a 21 E 21 + a 22 E 22 ) ( ) 0 0 + 0 a 22 Propoziţia 332 Fie V un K spaţiu liniar şi B V Atunci B este bază a lui V dacă şi numai dacă orice element din V se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de elementele lui B Dacă B = {f 1,, f n }, propoziţia de mai sus se enunţă: B este bază în V dacă şi numai dacă pentru orice v V, există şi sunt unice λ 1,, λ n K (numite coordonatele vectorului v în baza B) astfel încât v = λ 1 f 1 + + λ n f n Teorema 331 Fie K un corp Atunci orice K spaţiu liniar V admite o bază Mai mult, din orice sistem de generatori al lui V se poate extrage o bază Orice submulţime liniar independentă a lui V se poate completa până la o bază Definiţia 335 Fie V un K spaţiu liniar şi B o bază a sa Cardinalul lui B se numeşte dimensiunea lui V şi se notează dim K V (sau dim V, dacă nu există pericol de confuzie) Se demonstrează că orice două baze ale lui V au acelaşi cardinal, deci definiţia are sens Astfel, dacă mulţimea cu n elemente B = {f 1,, f n } este bază în V, atunci dim V = n (spunem că V este finit dimensional) Dacă V are o bază infinită, atunci V este infinit dimensional şi scriem dim V = ) 35