ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Σήματα- συμβολισμοί 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1-1 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5-1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -2-3 -3 x()=, x(-1),x(), x(1),. x()={,-2,-3,-1,, 1, 2, 3, 4, } x()={x()}={,x(-1),x(), x(1),.} x()={,-2,-3, -1,, 1, 2, 3, 4, } 2/56
Συμβολισμοί (συνέχεια) 5 4 3 2 1 x(5)= 2 x()=? x(5)=? x(-1)? x(2)? -1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -3 x()= -3 3/56
Βασικές ψηφιακές πράξεις Πρόσθεση {x 1 ()}+{x 2 ()}={x 1 ()+x 2 ()} Πολλαπλασιασμός Κλιμάκωση Μετατόπιση Αναδίπλωση {x 1 ()}.{x 2 ()}={x 1 ().x 2 ()} a{x()}={ax()}, x(/n) y()={x(-k)}, {x(+k)} y()={x(-)} Iσχύς σήματος E x =Σx()x * ()=Σ x() 2 Συσχέτιση - DFT Συνέλιξη φιλτράρισμα 4/56
Μετατόπιση y()=x(- d ) x() -3-2 -1 1 2 3 x(-2) -1 1 2 3 4 5 5/56
Αναδίπλωση y()={x(-)} 5 4 3 2 1-7 -6-5 -4-3 -2-1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -3 6/56
Συσχέτιση Η ετεροσυσχέτιση r xy (k) των ακoλουθιών x() και y() είναι μια ακολουθία που ορίζεται ως εξής: Εάν y()=x() η συσχέτιση r xx ονομάζεται αυτοσυσχέτιση r xy (k) = x()y( + k) = 1x() 1-1 2 4 6 8 1 12 14 16 rxx () = x()x() = = 5 y() ryy () = y()y() = = 5 x()*y() -1 2 4 6 8 1 12 14 16 1.5 -.5 2 4 6 8 1 12 14 16 rxy () = x()y() = = 2.5 7/56
Συσχέτιση (συνέχεια) συντελεστής συσχέτισης ρ xy (k) είναι η τιμή της συσχέτισης κανονικοποιημένη ως προς τις τιμές r xx () και r yy () που είναι και οι μέγιστες τιμές των r xx (k) και r yy (k): ρ xy ( k) = [r xx r Συνήθεις εφαρμογές: αποκάλυψη της περιοδικότητας σε σήματα με θόρυβο, εύρεση της καθυστέρισης σε δύο όμοια σήματα (πχ. Radar) xy () r (k) yy ()] 1 / 2 8/56
Συσχέτιση -Τυχαίοι αριθμοί 4 2 Η ακολουθία -2-4 2 4 6 8 1 15 1 1 5 5-4 -2 2 4-5 -1-5 5 1 ιστόγραμμα συσχέτιση 9/56
Συσχέτιση -παράδειγμα 1.5 x() 1.5 y() -.5 -.5-1 5 1 15-1 5 1 15 2 1 y()+oise.6.4.2 r xy (2) συσχέτιση -1 5 1 15 -.2 5 1 15 Το μέγιστο της συσχέτισης είναι στο r xy (2). Δηλ το σήμα y() έχει 2 χρονικές στιγμές καθυστέρησης σχετικά με το x() 1/56
Βασικά ψηφιακά σήματα Ένασήμαδιακριτούχρόνουx() είναι μία ακολουθία αριθμών και παριστάνεται ως : x()={x()}={,x(-1),x(), x(1),.} ={-3,-2, -1,, 1, 2, 3, 4 } δ() Μοναδιαία κρούση (ώθηση) u() Μοναδιαία βαθμίδα Εκθετική ακολουθία πραγματικών x()=a ήμιγαδικώνx()=e (σ+jω) τιμών Ημιτονικό σήμα 11/56
δ() Μοναδιαία κρούση (ώθηση) δ() δ() = 1 = δ( o 1 ) = = o o δ() ο 12/56
δ() Μοναδιαία κρούση παράδειγμα Να σχεδιασθούν τα σήματα: 1.5 x()=δ()+δ(-1)+δ(-2)+δ(-3) 2 4 3 x()=2δ()+3δ(-1)-δ(-3) 2 1 2 4 13/56
δ() και x() Μία οποιαδήποτε ακολουθία x() μπορεί να παρασταθεί σαν ένα σταθμικό άθροισμα συναρτήσεων δ() x() = x(k)δ( k) k= x() 3 2 x()=δ()+3δ(-1)+2δ(-2)+δ(-3) 1 2 4 14/56
u() - Μοναδιαία βαθμίδα u() u() = 1 < u( ο ) = 1 < ο ο u(-2) Σχέση u() και δ() : u( ) και = δ( m) m= δ( ) = u( ) u( 1) 15/56
Μοναδιαία βαθμίδα -παράδειγμα u() Να σχεδιασθούν u(- ) x()=u(-) x()=u(2-) u(2- ) 16/56
παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()=u()-u(-2) x() 2 = u() u( 2) = δ(m) δ(m) = δ(m) m= m= m= 1 = δ() + δ( 1) u() u(-2) Γραφικά: x() 17/56
παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()=u()u(2-) u() Γραφικά: u(2- ) x() 18/56
παράδειγμα (συνέχεια) Να σχεδιασθεί το σήμα x()=u(-)+u(-2) u(- ) u(-2) x() 19/56
Εκθετική συνάρτηση (ακολουθία) Πραγματικών x()=α Ή μιγαδικών τιμών x()=α (σ+jω) 1.8.6 x=.5.4.2 2 4 6 8 1 12 2/56
Ημιτονικό σήμα x()= )=Acos(ω ο ) Η ψηφιακή συχνότητα ω μετρείται σε rad/δείγμα Η αναλογική Ω μετρείται σε rad/sec x() = x(t) t= T = Αcos(Ωt) t T = Αcos(ΩΤs ) = s = s x() Αcos(ω) Τ s η σχέση μεταξύ ω και Ω είναι ω=ωτ s 21/56
Περιοδικότητα ημιτονικού σήματος x() Υπάρχει περιοδικότητα?? Αe jω =Αe j(+n)ω e j(nω) =1=e j2πm Nω=2πm ω=2πm/n. Εάν ω/2π δεν είναι ρητός αριθμός η μεν περιβάλλουσα αντιστοιχεί στο ημιτονικό σήμα, τα σημεία όμως του ψηφιακού σήματος δεν παρουσιάζουν περιοδικότητα. 22/56
Περιοδικότητα ημιτονικού σήματος - παραδείγματα Είναι το σήμα x()=συν(2) περιοδικό?? Εδώ είναι ω=2 Αρα: 2π 2π = = π = άρρητος ω 2 μή περιοδικό x()=συν(3π/5) 2π ω = ω=3π/5 2π 1 = 3π / 5 3 23/56
Ψηφιακά Συστήματα (Επεξεργαστές) x() διέγερση L[. ] y() απόκριση Γραμμικά συστήματα Αμετάβλητα με το χρόνο Αιτιατά Ευσταθή 24/56
Ψηφιακά Συστήματα (παράδειγμα) Τι είναι ένα σύστημα??? Παράδειγμα: Φίλτρο μέσης τιμής 3 σημείων L[. ] Πως περιγράφεται?? Παράδειγμα y() = x() + x( 1) + 3 x( 2) 25/56
Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα (ΓΧΑ LTI) Συνέλιξη 26/56
Γραμμικά (liear) συστήματα Ορισμός: L[a 1 x 1 ()+a 2 x 2 ()]=a 1 L[x 1 ()]+a 2 L[x 2 ()] για κάθε a 1, a 2, x 1, x 2 x 1 () Σύστημα y 1 () x 2 () Σύστημα y 2 () x 1 ()+x 2 () Σύστημα y 1 ()+y 2 () 27/56
Γραμμικά (liear) συστήματα (παράδειγμα 1) Το σύστημα που περιγράφεται από την Ε.Δ y()=3x()-4x(-1) είναι γραμμικό διότι: Για x1 y1 =3x1()-4x1(-1) Για x2 y2 =3x2()-4x2(-1) Για x=x1 +x2 y=3[x1()+x2()] 4 [x1(-1)+x2(-1)] = [3x1()-4x1(-1)] +[3x2()-4x2(-1)] =y1()+y2() 28/56
Γραμμικά συστήματα (παράδειγμα 2) x() Σύστημα y() =[x()] 2 Το σύστημα αυτό δεν είναι γραμμικό διότι: Για x 1 () y 1 ()= [x 1 ()] 2 Για x 2 () y 2 ()= [x 2 ()] 2 Για x()=x 1 ()+x 2 () y()= [x 1 ()+ x 2 ()] 2 Αλλά : [x1()] 2 +[x2()] 2 [x1()+ x2()] 2 Διατήρηση της συχνότητας (αντι)παράδειγμα: x()=si(ω) y()= si 2 (ω) = ½ +½ cos(2ω) 29/56
Συστήματα χρονικά αμετάβλητα (time-ivariat systems) Oρισμός: Εάν y()=l{x()} y(-k)=l{x(-k)} Σχηματικά: x() Σύστημα y() x(-κ) Σύστημα y(-κ) 3/56
Άλλες ιδιότητες Αιτιατότητα : h()= για < Ευστάθεια: φραγμένη είσοδος φραγμένη έξοδο BIBO stability αναγκαία και ικανή συνθήκη: h() < 31/56
Περιγραφή ΓΧΑ (LTI) συστημάτων Τα συστήματα που θα περιγράψουμε θεωρούμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα της μετατόπισης (liear time-ivariat) ΓΧΑ (LTI) Περιγράφονται: Με την κρουστική απόκριση - συνέλιξη Με την εξίσωση διαφορών Με την συνάρτηση μεταφοράς (πεδίο z) 32/56
Κρουστική απόκριση - h() Τι είναι δ() Σύστημα h() 33/56
Υπολογισμός της h() Αμεσα: από την εξίσωση διαφορών Παράδειγμα y()=1.5y(-1)-.85y(-2)+x() Αρα για x()=δ() y()=h() h()=δ()=1 h(1)=1.5h()+=1.5 h(2)=1.5 h(1)-.85h()=. =1.5 x 1.5-.85 x 1=1.4 Παρατήρηση: Δεν είναι υποχρεωτικό να βρίσκεται η h() από την εξίσωση διαφορών. δ() h() 34/56
y() Συνέλιξη - εισαγωγικά = x() h() y() = + k= x(k)h( k) αφορά ΓΧΑ-LTI συστήματα x 1 ()+x 2 () Σύστημα y 1 ()+y 2 () x() = k= x(k)δ( k) Σύστημα y() = k= x(k)h( k) 35/56
Συνέλιξη ΔΗΛΑΔΗ Για συστήματα ΓΧΑ (LTI) ηέξοδοςβρίσκεται ως η συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση: y() = κ= x(k)h( k) 36/56
Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() = κ= x(k)h( k) x(k) h(k) h(-k) x(k)*h(-k) y() = x(k)h( k) = κ = 1 1 = 1 37/56
Γραφική θεώρηση της Συνέλιξης y() = κ= x(k)h( k) x(k) h(1-k) x(k)*h(1-k) y(1) = x(k)h(1 k) = κ = 1 1+ 1.5 = 1.5 38/56
υπολογισμός συνέλιξης - παράδειγμα 1 x()= 1 1 1 1.5.5.5.5.5 h()=.3.25.2.15.1.5 --- ----------------------------------------------------------------------------- x(k) = 1 1 1 1.5.5.5.5.5 h(-k) =.5.1.15.2.25.3 y()=1x.3=.3 h(1-k) =.5.1.15.2.25.3 y(1)=1x.25+1x.3=.55 h(2-k) =.5.1.15.2.25.3 y(2)=1x.2+1x.25+1x.3 y(3)=..9 y(4)=...85 y(5)=...775 y(6)=...675 y(13)=.5x.5=.25 39/56
Παράδειγμα 2 Δίνεται x()=u()-u(-1) και h()=.9 u() Ζητείται η απόκριση y() H συνέλιξη των δύο σημάτων είναι 9 k y() = (1)(.9) u( k) =.9.9 k= 9 k= k u( k) < Στην περίπτωση αυτή u(-k)= για κ 9 y()= <9 Εχουμε u(-k)=1 για κ y() =.9.9 1.9 1.9 (+ 1) k + 1 =.9 = 1(1.9 1 k= ) 9 Στην περίπτωση αυτή u(-k)=1 για κ 9 y() =.9 9 k=.9 k =.9 9 k= (.9 1 ) k =.9 1.9 1.9 1 1 = 1.9 9 (1.9 1 ) 4/56
Υπολογισμός συνέλιξης με πίνακα.5.1.15.2.25.3 h Χ 1 1 1 1.5.5.5.5.5.3.3.3.3.3.15.15.15.15.15.25.25.25.25.25.125.125.125.125.125.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.15.15.15.15.15.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.25.25.25.25.25 To άθροισμα σε κάθε λωρίδα αποτελεί τα σημεία της h() h()=.3, h(1)=.25+.3 h(13)=.25 41/56
Απόδειξη (ερμηνεία) της συνέλιξης -συνοψη Βασίζεται στα εξής: Κάθε σήμα αναλύεται σε άθροισμα Επειδή το σύστημα είναι ανεξάρτητο του χρόνου για κάθε επιμέρους απόκριση ισχύει L[δ()]=h() x() = k= L[δ(-k)]=h(-k) x(k) δ( k) x(k)δ(-k) L[. ] x(k)h(-k) Επειδή το σύστημα είναι γραμμικό για το άθροισμα των όρων ισχύει y() = = x(k)h( k) 42/56
συνέλιξη - κάτι ακόμη.. Αν h() = γιά < και x() = γιά < Τα όρια της συνέλιξης γίνονται: y() = = + k = + k = x (k )h( x (k )h( k ) k ) = k = x (k )h( k ) 43/56
Συνδυασμός Ψηφιακών Συστημάτων Σε σειρά: y()= h 1 ()* h 2 ()*x()= h 2 ()* h 1 ()* x() (προσεταιριστική ιδιότητα) x() h 1 () h 2 () y() Παράλληλα: y()= [h 1 ()+ h 2 ()]*x()= h 1 ()*x()+ h 2 ()*x() (επιμεριστική ιδιότητα) h 1 () x() y() h 2 () 44/56
αποσυνέλιξη Εστω y()=x()*h() x() x(1) x(2)..x(k) h() h(1) h(2)..h(k) x() x(1) x(2)..x(k) h(k).. h(2) h(1) h() h(k).. h(2) h(1) h() h(k).. h(2) h(1) h() y()=x()h() y(1)=x()h(1)+x(1)h() y(2)=x()h(2)+x(1)h(1)+x(2)h() h(k).. h(2) h(1) h() y()=x()h()+x(1)h(-1)+. 1 h () = x() h (1) = x() y() { y(1) x(1)h() } 1 = h() x() y() k= 1 1 x( k)h(k ) 45/56
Παράδειγμα x =2 3 4 1 y =2 7 14 17 13 6 1 1 h () = x() y() = 2 / 2 = 1 1 { y(1) x(1)h() } = { 7 3 1} 2 h(1) = x() 2 1 = 1 { y(2) x(1)h(1) x(2)h() } = { 14 3 2 1 4} 2 h(2) = x() 2 1 = 1 { y(3) x(3)h() x(2)h(1) x(1)h(2) } = { 17 1 1 4 2 3 2} 1 h(3) = x() 2 1 = h=1 2 2 1 46/56
Εξισώσεις Διαφορών (Ε Δ) Ένα LTI σύστημα περιγράφεται από μία γενική εξίσωση διαφορών N M ak y( k) = b mx( m) k= m= y()-1.5y(-1)+.85y(-2)=x() ισοδύναμα γράφεται y() = M m= b N m x( m) a k y( k) k = 1 y()=1.5y(-1)-.85y(-2)+x() 47/56
Η εξίσωση διαφορών δίνει την πλήρη περιγραφή του συστήματος Οι αρχικές συνθήκες y(-k) γενικά είναι μη μηδενικές 48/56
παράδειγμα y()-y(-1)+.5y(-2)=x() διέγερση: x()=si(2π/6+π/6) u() αρχικές συνθήκες y(-1)=y(-2)= 2 x() 1 (α) -1-2 -2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 2 y() 1 (β) -1-2 -2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 (α) το σήμα εισόδου x() είναι ένα ημίτονο πλάτους 1 που εφαρμόζεται την στιγμή = (β) η απόκριση y() (οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές) 49/56
Οι δύο αποκρίσεις 2 1 y() -1-2 -2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 ημερικήλύσηπουείναι ένα ημίτονο με πλάτος=2 και η λύση της ομογενούς 2 2 y(μερική) 1-1 y(ομογενής) 1-1 -2-2 -2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2-2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 --> 5/56
Μεταβατικές αποκρίσεις Η λύση της ομογενούς Ε.Δ σχετίζεται με τα φαινόμενα που εμφανίζονται στην αρχή (ή στο τέλος) ενός σήματος Ουσιαστικά αυτή είναι η μεταβατική απόκριση και "επισκιάζει" την σταθερή απόκριση που συνήθως είναι και η επιθυμητή x() y() Το σήμα του σχήματος (α) είναι ένα συνημίτονο με 1 περιόδους (2 σημεία) που εμφανίζεται την χρονική στιγμή =21. Όπως φαίνεται στο (β) η απόκρισηείναι ουσιαστικά μόνο η μεταβατική απόκριση που εμφανίζεται στην αρχή και στο τέλος του σήματος. 51/56
Εξισώσεις διαφορών και διαγράμματα βαθμίδων Συνήθως μία εξίσωση διαφορών παριστάνεται και με ένα διάγραμμα βαθμίδων όπου τα στοιχεία είναι αθροιστές, πολλαπλασιαστές και καθυστερήσεις. Έτσι ένα σύστημα με Ε.Δ y()=.8y(-1)+x() παριστάνεται με το διάγραμμα: x() y().8 T 52/56
Κρουστικήαπόκρισηκαιεξ.διαφορών Εάν δίνεται η h() μπορεί να βρεθεί η Ε.Δ?? Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η Ε.Δ όταν δίνεται η κρουστική απόκριση h()=δ()+.5δ(- 1)+.1δ(-2) Αντικαθιστώντας h() y() και δ() x() έχουμε: y()=x()+.5x(-1)+.1x(-2) Παράδειγμα 2 Δίνεται η h()=a u() h(-1)=a -1 u(-1) ah(-1)=a u(-1) h()-ah(-1)=a u()- a u(-1) = a [u()-u(-1)] = a δ() = δ() (?) y()-ay( ay(-1)= x() 53/56
Εξισώσεις διαφορών και διαφορικές εξισώσεις Oι Ε.Δ μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από Διαφ. Εξισώσεις Όπως ένα ψηφιακό σύστημα από ένα αναλογικό Παράδειγμα R Το RC κύκλωμα περιγράφεται από την dy(t) x(t) Διαφ. Εξίσωση: RC + y(t) = x(t) dt Προσέγγιση της παραγώγου δίνει: y() y( 1) RC + y() = x() T Που μπορεί βέβαια να γραφεί σαν ΕΔ ως εξής: y()=ay(-1)+bx() C + y(t) _ 54/56
Βηματική απόκριση μπορεί να υπολογισθεί από την εξίσωση διαφορών θέτωντας x()=u() απότηνκρουστικήαπόκρισηδ() βάσει της σχέσεως u( ) = δ ( m) m= s( ) = m= h( m) 55/56
FIR και IIR Φίλτρα FIR (Fiite Impulse Respose) y() M = b m= m x( m) h() IIR (Ifiite Impulse Respose) y() = M m= b N m x( m) aky( k) k= 1 h() 56/56