TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA

Matematički kolokvijum (Baja Luka) MAT-KOL (Baja Luka) XIV()(2008), 59-83 TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Uvod Aleksadra Vasilić Prirodo-matematički fakultet Baja Luka, Mladea Stojaovića br. 2 E-mail: avasilic@blic.et Predmet razmatraja u matematičkoj statistici je populacija ili geerali skup elemeata. Kvatitativa ili kvalitativa karakteristika elemeata populacije zove se obilježje. Pod statističkim eksperimetom se podrazumijeva registrovaje vrijedosti obilježja X a ekom podskupu populacije, koji se aziva uzorak. Bito je da uzorak bude reprezetativa tj. elemete uzorka treba birati a slučaja ači, tako da se eutrališe svaka moguća zavisost izmed u posmatraog obilježja i uzorka. Osovi cilj matematičke statistike je da se a osovu statističkog eksperimeta dod e do zaključaka o epozatoj raspodjeli F (x) obilježja X, radi progoziraja budućih rezultata i evetualog preduzimaja mjera da ti rezultati budu što povoljiji. Neka se a populaciji statističkim eksperimetom bira elemet i registruje vrijedost obilježja. Rezultat eksperimeta je slučaja promjeljiva X. Poavljajući eksperimet puta složei eksperimet se opisuje - dimezioalom slučajom promjeljivom (X, X 2,..., X ) koja predstavlja slučaji uzorak. U daljem ćemo posmatrati takozvae proste slučaje uzorke. Defiicija Prost slučaja uzorak obima, iz populacije a kojoj obilježje X ima fukciju raspodjele F (x), je slučaji vektor (X, X 2,..., X ), pri čemu su X, X 2,..., X ezavise slučaje veličie sa istom fukcijom raspodjele F (x) kao i obilježje X. Fukcija raspodjele slučajog vektora (X, X 2,..., X ) je: F (x, x 2,..., x ) = P {X x, X 2 x 2,..., X x } = P {X x }P {X 2 x 2 }...P {X x } = F (x k ) 59

U realizovaom statističkom eksperimetu slučaji vektor (X, X 2,..., X ) predstavlja -torku brojeva (x, x 2,..., x ) i zove se realizacija uzorka. Defiicija 2 Neka je f : R R Borelova fukcija i (X, X 2,..., X ) uzorak uzet iz raspodjele F. Tad se slučaja veličia f(x, X 2,..., X ) zove statistika. Ovim radom opisae su tače i asimptotske raspodjele sledećih statistika:. Empirijska fukcija raspodjele; 2. Uzorački mometi (specijalo: uzoračka sredia i uzoračka disperzija); 3. Statistike poretka ( miimala, maksimala ili proizvoljog reda); 4. Uzoračka medijaa i kvatili; Empirijska fukcija raspodjele Empirijska fukcija raspodjele F (x) predstavlja uzorački ekvivalet teorijskoj fukciji raspodjele F (x) = P {X x}. Prije defiisaja empirijske fukcije raspodjele potrebo je podsjetiti se a slučaju veličiu idikatora dogad aja: I(X x) = {, za X x 0, za X > x (.) sa dvotačkastom raspodjelom ula-jeda: ( 0 I : F (x) F (x) ) (.2) Defiicija 3 Neka je (X, X 2,..., X ) prost slučaji uzorak iz raspodjele F. Slučaja veličia F : R R data sa F (x) = I(X k x), < x < (.3) zove se empirijska fukcija raspodjele. Kako su matematičko očekivaje i disperzija idikatora dogad aja dati sa: i i kako slučaja veličia EI(X k x) = F (x) DI(X k x) = F (x)( F (x)), k = 0,,..., F (x) = I(X k x) (.4) 60

predstavlja sumu od ezavisih jedako raspodijeljeih slučajih veličia sa dvotačkastom ula-jeda raspodjelom, to slučaja veličia (.4) ima biomu B(, F (x)) raspodjelu. Odatle slijedi da je za k = 0,,..., : P {F (x) = k} = P {F (x) = k } ( ) = (F (x)) k ( F (x)) k (.5) k sa matematičkim očekivajem: i disperzijom: E(F (x)) = F (x) (.6) D(F (x)) = F (x)( F (x)) (.7) Ako uzoračke vrijedosti X, X 2,..., X poredamo u eopadajući poredak X () X (2)... X () tada se iz X (), X (2),..., X () zove varijacioi iz. Realizaciju x (), x (2),..., x () varijacioog iza posmatramo a realizovaom uzorku, te za ju aalogo vrijedi x () x (2)... x (). Empirijska fukcija raspodjele može se odrediti a sledeći ači: 0, ako je x < x () k F (x) =, ako je x (k) x < x (k+), k, ako je x x (). (.8) Fudametala začaj empirijske fukcije raspodjele F (x) je u tome što oa, u svakoj fiksiraoj tački x, dobro aproksimira epozatu teorijsku fukciju raspodjele F (x) obilježja X, kad obim uzorka eograičeo raste. Naime, a osovu jakog Borelovog zakoa velikih brojeva za svaku fiksirau tačku x vrijedi skoro sigura kovergecija F (x) s.s F (x), (.9) Sledeća teorema, azvaa cetralom teoremom matematičke statistike, tvrdi da je gore avedea skoro sigura kovergecija uiforma po x (vidi [6]). Teorema. (Gliveko-Kateli) Neka je {F } N iz empirijskih fukcija raspodjele dobijeih a uzorku obima, uzetog iz raspodjele F. Vrijedi jedakost: P { lim sup x R F (x) F (x) = 0} = (.0) 6

Graiču raspodjelu statistike maksimalog odstupaja empirijske od teorijske fukcije raspodjele: D D (X, X 2,..., X ) = sup F (x) F (x), x R (.) x R uz pretpostavku da je F eprekida fukcija, odredio je A.N. Kolmogorov 933. godie. Sledećom teoremom je pokazao da graiča raspodjela statistike D e zavisi od fukcije F. Teorema.2 Ako je F eprekida fukcija, tada je lim P { D t} = k= = + 2 ( ) k e 2k2 t 2 ( ) k e 2k2 t 2, t > 0 (.2) Teorema.2 koristi se za provjeravaje statističke hipoteze da obilježje X ima pretpostavljeu fukciju raspodjele. Još jeda iteresata teorema govori o osobiama empirijskih fukcija raspodjela. To je teorema Smirova iz 944.godie, a koristi se za testiraje statističke hipoteze da su dva uzorka uzeta iz iste raspodjele. Teorema.3 (Smirov) Neka su F (x) i F 22 (x) empirijske fukcije raspodjela defiisae a ezavisim uzorcima (X, X 2,..., X ) i (X 2, X 22,..., X 22 ), uzetih iz iste populacije a kojoj obilježje X ima raspodjelu F, i eka je statistika jihovih maksimalih odstupaja D 2 = sup F (x) F (x). x R Ako je fukcija raspodjele F eprekida, oda za svaki pozitiva broj t vrijedi: lim P { 2 D, 2 + 2 t} = K(t) = + 2 2 2 Uzorački mometi ( ) k e 2k2 t 2. (.3) Posmatrajmo uzorak (X, X 2,..., X ) uzet iz raspodjele F. Defiicija 4 Uzoračka sredia je statistika koja predstavlja aritmetičku srediu kompoeti uzorka: X = X k (2.4) 62

Statistika X predstavlja uzorački ekvivalet matematičkom očekivaju E(X) kod teorijske raspodjele obilježja X. Defiicija 5 Uzoračka disperzija je statistika S 2 = (X k X ) 2 (2.5) gdje je sa X ozačea uzoračka sredia. Statistika S 2 predstavlja uzorački ekvivalet disperziji D(X) = E(X EX) 2 kod teorijske raspodjele obilježja X. Statistike X i S 2 su specijali slučajevi sledećih uzoračkih momeata. Defiicija 6 Običi uzorački momet reda k je statistika A k = Xi k (2.6) Statistika A k predstavlja uzorački ekvivalet teorijskom običom mometu reda k defiisaom sa m k = E(X k ). Defiicija 7 Cetrali uzorački momet reda k je statistika B k = (X i X ) k (2.7) Statistika B k predstavlja uzorački ekvivalet teorijskom cetralom mometu reda k defiisaom sa µ k = E(X EX) k. Na osovu gorjih defiicija je očigledo A = X i B 2 = S 2. U vezi sa uzoračkim mometima razmotrićemo ekoliko pitaja:. Numeričke karakteristike uzoračkih momeata; 2. Tača zajedička raspodjela statistika X i S 2 kod uzorka iz ormale raspodjele 3. Graiče raspodjele uzoračkih momeata, pri. 2. Numeričke karakteristike uzoračkih momeata Neka je X obilježje sa fukcijom raspodjele F, za koje vrijedi E(X) = m, D(X) = σ 2, E(X k ) = m k, E(X m) k = µ k (vidi se da je m = m i µ 2 = σ 2 ) i eka je (X, X 2,..., X ) uzorak uzet iz raspodjele F. 63

Primjer 2. Odrediti E(X ) i D(X ). Rješeje: E(X ) = E( = X k ) E(X k ) = m = m. (2.8) D(X ) = D( X k ) = 2 D(X k ) = 2 σ2 = σ2 (2.9) Primjer 2.2 Odrediti E(S 2 ) i D(S 2 ). Rješeje: E(S 2 ) = E( (X k X ) 2 ) = = E(X k X ) 2 E(X k ) 2 E(X 2 ) = (σ2 + m 2 ) ( σ2 + m2 ) Da bismo odredili D(S 2 ) prvo ad imo E(S 2 ) 2. E(S 2 ) 2 = E( = σ 2 σ2 = σ2 (2.20) (X k X ) 2 ) 2 64

Sada je = E( = E( Xk 2 X 2 ) 2 Xk 2 2 ( X k ) 2 ) 2 = E( 2 Xk 2 2 2 X k X j ) 2 ( )2 = E( 4 = k<j X 4 k + 2( )2 + 4 4 XkX 2 j 2 ) k<j ( )2 3 µ 4 + 2( )2 + 4 3 ( )µ 2 (2.2) D(S 2 ) = E(S 2 ) 2 (E(S 2 )) 2 Primjer 2.3 Odrediti E(A k ) i D(A k ). Rješeje: = D(A k ) = D( ( )2 3 (µ 4 3 µ2 2) (2.22) E(A k ) = E( = Xi k ) E(Xi k ) = m k = m k. (2.23) Xi k ) = 2 D(Xi k ) = 2 E(Xi k m k ) 2 = 2 (E(Xi k ) 2 2E(Xi k )m k + m 2 k) = 2 (m 2k m 2 k) = m 2k m 2 k (2.24) 65

Zadatak 2. Pokazati da je E(B k ) = µ k i D(B k ) = (µ 2k 2kµ k µ k+ µ 2 k + k 2 µ 2 µ 2 k ) 2.2 Zajedička raspodjela statistika X i S 2 kod uzorka iz ormale raspodjele Za početak avedimo samo defiicije dva tipa raspodjela bitih za razumijevaje pomeute zajedičke raspodjele iz aslova. Defiicija 8 (χ 2 - raspodjela ) Raspodjela Γ( 2, 2 ) odred ea gustiom f (x) = { 2 /2 Γ(/2) x/2 e x/2, ako je x > 0 0, ako je x 0 (2.25) zove se χ 2 raspodjela sa stepei slobode i ozačava sa χ 2. Metodom karakterističih fukcija lako se dokakazuje da ako su X, X 2,..., X ezavise slučaje veličie iz N (0, ) raspodjele, oda zbir jihovih kvadrata ima χ 2 -raspodjelu, tj. važi jedakost: χ 2 = X 2 + X 2 2 +... + X 2. Defiicija 9 (Studetova t raspodjela) Neka su X 0, X, X 2,..., X ezavise slučaje veličie sa N (0, ) raspodjelom. Raspodjela slučaje veličie t = X 0 (X2 + X2 2 +... + X2 ) = X 0 χ2 zove se Studetova t raspodjela sa stepei slobode, i ozačava sa t. Gustia t raspodjele je odred ea formulom f (x) = + Γ( 2 ) πγ( 2 )( + x2 ) (+)/2, x R (2.26) Pozavaje zajedičke raspodjele statistika X i S 2, u slučaju kada obilježje X ima ormalu raspodjelu, ima veliku primjeu u matematičkoj statistici a primjer prilikom ocjejivaja ili testiraja hipoteza o parametrima ormale raspodjele. Teoremu koja slijedi dokazao je Fišer još 925. godie, a je dokaz se može proaći u većii udžbeika statistike (vidi pr.[9]). Teorema 2. (Fišer) Neka je uzorak (X, X 2,..., X ) uzet iz ormale raspodjele N (m, σ 2 ). Tada vrijede tvrdje: 66

. Slučaje veličie X i S 2 su ezavise. 2. Slučaja veličia X m σ ima N (0, ) raspodjelu. 3. Slučaja veličia S2 σ 2 ima χ 2 raspodjelu. Koristeći prethodu Teoremu 2. i Defiiciju 9 dokazuje se još jeda vrlo važa i često korištea zajedička raspodjela statistika X i S 2. Opisaa je sledećim primjerom. Primjer 2.4 Neka je uzorak (X, X 2,..., X ) uzet iz ormale raspodjele N (m, σ 2 ). Odrediti raspodjelu slučaje veličie X m S. Rješeje: Ako je uzorak (X, X 2,..., X ) uzet iz ormale raspodjele N (m, σ 2 ), tada slučaja veličia X ima N (m, σ2 ) raspodjelu, odoso kao što tvrdi prethoda teorema, slučaja veličia X m σ ima N (0, ) raspodjelu. Sem toga, prema tvrdji prethode teoreme, slučaja veličia S2 σ ima χ 2 2 raspodjelu. Posmatrajmo količik: t = X m σ = S 2 σ 2 Iz Defiicije 9 slijedi zaključak da slučaja veličia ima t raspodjelu. X m S (2.27) t = X m S (2.28) 2.3 Graiče raspodjele uzoračkih momeata Za odred ivaje graičih raspodjela gorjih statistika koristimo graiče teoreme teorije vjerovatoće. Za formulisaje ovih teorema potrebo je defiisati kovergecije izova slučajih veličia. 2.3. Kovergecije izova slučajih vličia Razlikujemo 4 osova tipa kovergecija (vidi [5]): -kovergecija skoro siguro -kovergecija u sredjem reda p (0 < p < ) -kovergecija u vjerovatoći -kovergecija u raspodjeli Neka je X, X 2,... iz slučajih veličia defiisaih a istom prostoru vjerovatoća, sa istom fukcijom raspodjele F (x). 67

Defiicija 0 Niz slučajih veličia (X ) kovergira skoro siguro ka slučajoj veličii X, ako važi: P {ω : lim X (ω) = X(ω)} = (2.29) Ova kovergecija se ozačava sa X s.s. X,. Defiicija Niz slučajih veličia (X ) kovergira u sredjem reda p (za 0 < p < ) ka slučajoj veličii X, ako je E X p < i vrijedi: lim E( X X ) p = 0 (2.30) L Ova kovergecija se ozačava sa X p X,. Specijalo, kovergecija u sredjem reda p = 2 zove se kovergecija u s.k. sredje-kvadratom, i ozačava sa X X,. Defiicija 2 Niz slučajih veličia (X ) kovergira u vjerovatoći ka slučajoj veličii X, ako važi: ( ε > 0) lim P {ω : X (ω) X(ω) ε} = 0 (2.3) Ova kovergecija se ozačava sa X P X,. Defiicija 3 Niz fukcija raspodjele (F ) slabo kovergira ka fukciji raspodjele F, ako u svakoj tački eprekidosti fukcije F vrijedi: lim F (x) = F (x) (2.32) U tom slučaju se kaže da iz slučajih veličia (X ), sa odgovarajućim fukcijama raspodjele F (x) = P {X x}, kovergira u raspodjeli ka slučajoj veličii X, kojoj odgovara fukcija raspodjele F (x) = P {X x}. Ova kovergecija se ozačava sa X D X,. 2.3.2 Kratak pregled graičih teorema Kaže se da za iz (X ) slučajih veličia važi slabi zako velikih brojeva ako vrijedi: X k E(X k ) P 0,, (2.33) a za iz (X ) vrijedi jaki zako velikih brojeva ako je: X k E(X k ) s.s. 0,, (2.34) Sledeće teoreme daju potrebe, a eke i dovolje uslove da za posmatrai iz slučajih veličia (X ) važi eki zako velikih brojeva. 68

Teorema 2.2 (Čebišov) Ako iz ezavisih slučajih veličia (X ) ima koače disperzije, ograičee istom kostatom, tj. ( C > 0)( N)DX C (2.35) tad za jega važi slabi zako velikih brojeva (2.33). Teorema 2.3 (Hiči) Ako je (X ) iz ezavisih i jedako raspodijeljeih slučajih veličia sa koačim matematičkim očekivajem EX = m tad za iz vrijedi slabi zako velikih brojeva : P X k m, (2.36) Teorema 2.4 (Borel) Neka je S broj uspjeha posmatraog dogad aja u ezavisih eksperimeata, pri čemu je vjerovatoća uspjeha u svakom od eksperimeata jedaka p. Tada vrijedi: S P { lim = p} =. (2.37) Teorema 2.5 (. teorema Kolmogorova) Ako je (X ) iz ezavisih slučajih veličia, koje imaju koače disperzije, i koji zadovoljava uslov: tad za jega vrijedi jaki zako velikih brojeva (2.34). DX 2 < (2.38) Teorema 2.6 (2. teorema Kolmogorova) Ako je (X ) iz ezavisih slučajih veličia sa istom raspodjelom i koačim matematičkim očekivajem E(X ) = m, tad za jega vrijedi jaki zako velikih brojeva (2.34): X k s.s. m, (2.39) Teorema 2.7 (Cetrala graiča teorema Lideberg-Levija) Neka je (X ) iz ezavisih slučajih veličia sa istom raspodjelom, matematičkim očekivajem E(X ) = m i koačom disperzijom D(X ) = σ 2 > 0. Ako je S = X k oda za svako x R, pri vrijedi: P { S m σ x} 2π x e t2 /2 dt (2.40) 69

Gorja teorema se može formulisati i ovako: S E(S ) D(S ) D N (0, ), (2.4) odoso iz fukcija raspodjela rastućeg iza stadardizovaih suma (S ) ezavisih slučajih veličia kovergira ka ormaloj Gausovoj fukciji raspodjele. Više o graičim teoremama može da se vidi u [5]. Primjeom gore avedeih slabih i jakih zakoa velikih brojeva mogu se dokazati sledeće kovergecije statistika koje smo razmatrali a početku rada. Primjer 2.5 Dokazati da vrijedi: A k s.s. m k, Rješeje: Ako je (X, X 2,..., X ) uzorak uzet iz raspodjele F, tada su sve X i jedako raspodijeljee, ezavise i sa istim matematičkim očekivajem E(X i ) = m, i =,..,. Prema teoremi Hičia (2.36) za iz (X ) vrijedi slabi zako velikih brojeva: A k = X k i P m k, (2.42) Čak štaviše, prema drugoj teoremi Kolmogorova (2.39) za iz (X ) vrijedi i jaki zako velikih brojeva: A k = Xi k s.s. m k, (2.43) Napomea Specijala slučaj iz prethodog primjera za k = daje rezultat: A = X = X i s.s. m, ǒdoso uzoračka sredia skoro siguro kovergira ka matematičkom očekivaju obilježja X, kad obim uzorka eograičeo raste. Zadatak 2.2 Dokazati da vrijedi: B k s.s. µ k, Napomea 2 Specijala slučaj iz prethodog zadatka za k = 2 daje rezultat: B 2 = S 2 = (X k X ) 2 s.s. σ 2, odoso uzoračka disperzija skoro siguro kovergira ka disperziji obilježja X, kad obim uzorka eograičeo raste. Primjeom cetrale graiče i ostalih graičih teorema, u ekoliko sledećih primjera se dokazuju asimptotske raspodjele statistika A k i B k. 70

Primjer 2.6 Dokazati da vrijedi: A k N (m k, (m 2k m 2 k )/), pri Rješeje: Statistika A k = Xk i predstavlja sumu ezavisih i jedako raspodijeljeih slučajih veličia Xi k, sa matematičkim očekivajem E(Xk i ) = m k i disperzijom D(Xi k) = m 2k m 2 k (vidi Primjer 2.3). Prema tome, ormiraa suma A k E( A k ) D( Ak ) = Xk i E( Xk i ) D( Xk i ) = A k m k (m2k m 2 k ) ima pri graiču ormalu raspodjelu N (0, ), a osovu cetrale graiče teoreme (Teorema 2.7). Odatle slijedi da statistika A k ima asimptotski ormalu raspodjelu N (m k, (m 2k m 2 k )/) pri, čime je tvrdja dokazaa Napomea 3 Specijala slučaj u prethodom primjeru za k = dovodi do iza jedakosti: X E( X ) D( X ) = A E( A ) D( A ) = X i E( X i) D( X i) = X m σ 2 odoso kao i X N (m, σ 2 /), X m N (0, ), σ To zači da uzoračka sredia ima asimptotski ormalu raspodjelu N (m, σ 2 /) pri, a asimptotska raspodjela ormalizovae vrijedosti uzoračke sredie je ormala N (0, ) raspodjela Primjer 2.7 Dokazati da vrijedi: B k N (µ k, (µ 2k 2kµ k µ k+ µ 2 k + k 2 µ 2 µ 2 k )/), (2.44) Rješeje: 7

Polazi se od razlagaja B k = (X i X ) k = ( ) k [ Xi k 0 ( ) k = A k A (k ) X + ( ) k X k i X + ( ) k 2 X k 2 i X 2 ( ) k A (k 2) X 2 2 Uvedimo ormirae promjeljive C k a sledeći ači : ( ) k X k 3 i X 3 +... + ( ) k X k 3 ] ( ) k A (k 3) X 3 +... + ( ) k X k 3 (2.45) C k = A k m k σ k (2.46) gdje je i m k = EX k σk 2 = DX k = E(X k m k ) 2 = E(X 2k 2X k m k + m 2 k) = m 2k 2m 2 k + m 2 k = m 2k m 2 k odoso Tada je E(C k ) = 0 i σ 2 k = E((A k m k ) 2 ) = m 2k m 2 k D(C k ) = E( A k m k ) 2 = σ k σk 2 E((A k m k ) 2 ) = σ2 k σk 2 a mješoviti mometi su gdje su E(C k C j ) = E( A k m k A j m j ) σ k σ j = E[(A k m k )(A j m j )] σ k σ j = σ k σ j E[(A k m k )(A j m j )] = σ kj σ k σ j σ kj = E[(A k m k )(A j m j )] = m k+j m k m j, k j = 72

mješoviti mometi drugog reda. Iz prethodih rezultata slijedi da C k = A k m k N (0, ), σ k Dalje se uvrštavajem izraza za momete B k (iz 2.45) i µ k = E(X m) k ako obimih trasformacija dobija sledeća jedakost: (Bk µ k ) = σ k C k kσ µ k C + L (2.47) pri čemu za veličiu L dobijeu u gorjim trasformacijama, kao ostatak od izdvojee lieare kombiacije veličia C k i C, vrijedi kovergecija L P 0,. Kako C i C k imaju zajedičku asimptotski ormalu raspodjelu, a lieara kombiacija ormalo raspodijeljeih slučajih veličia takod e ima ormalu raspodjelu, to iz (2.47) slijedi dokaz tražee asimptotske ormale raspodjele za statistiku B k iz (2.44) Napomea 4 Specijala slučaj u prethodom primjeru za k = 2 dovodi do rezultata: B 2 N (µ 2, (µ 4 4µ µ 3 µ 2 2 + 4µ 2 µ 2 )/) tj. S 2 N (σ 2, (µ 4 σ 2 )/), To zači da statistika S 2 ima asimptotski ormalu raspodjelu N (σ 2, (µ 4 σ 2 )/), pri Primjer 2.8 Dokazati da zajedička raspodjela ma kog skupa promjeljivih (A k m k ) teži ormaloj raspodjeli sa ultim matematičkim očekivajem i drugim mometima: σ kk = σ 2 k = E[(A k m k ) 2 ] = m 2k m 2 k (2.48) σ kj = E[(A k m k )(A j m j )] = m k+j m k m j (2.49) Rješeje: Primjeom CGT za dvodimezioale raspodjele (vidjeti [4]) a par statistika A k = Xk i i A j = Xj i pokazuje se da zajedička raspodjela slučajih veličia (A k m k ) i (A j m j ) kovergira ekoj dvodimezioaloj ormaloj raspodjeli, pri. Primjejujući cetralu graiču teoremu za višedimezioale raspodjele (vidi pr. [0]) pokazuje se da pr. r slučajih veličia (Ak m k ), (A j m j ),..., (A q m q ) ima asimptotski r -dimezioalu ormalu raspodjelu sa ultim matematičkim očekivajem i drugim mometima odred eim relacijama (2.48) i (2.49) 73

3 Statistike poretka Člaovi varijacioog iza X (), X (2),..., X () zovu se statistike poretka (raga). Pri tom ako je X j = X (k) oda je rag X j = k. Ekstreme statistike poretka su statistika maksimuma i miimuma: kao i širia (raspo) uzorka: X () = M = max{x, X 2,..., X } (3.50) X () = m = mi{x, X 2,..., X } (3.5) R () = X () X () 3. Raspodjele statistika poretka Neka je obilježje X apsoluto-aprekidog tipa sa fukcijom raspodjele F (x) i gustiom f(x). Ako je fukcija raspodjele k te doje statistike raga X (k), k odred ea sa F X(k) (x) = P {X (k) x}, tada se gustia statistike X (k) može odrediti a sledeći ači (vidi [] i [3] ): f X(k) (x) = F X (k) (x) = x P {X (k) x} = x P {ajmaje k od slučajih veličia X s je x} = x = x = x = j=k P {> k uspjeha u pokušaja} ( j=k j=k j ) P {X x} j ( P (X x)) j ( ) F j (x) ( F (x)) j j ( ) (jf j (x)f(x)( F (x)) j + j +F j (x)( j)( F (x)) j ( f(x))) ( ) = f(x)( F j (x)( F (x)) ( ) j j j=k ( ) F j (x)( F ( ) j (x)) j j=k Kako se svi člaovi u gorjim sumama poištavaju, osim prvog u prvoj sumi i posledjeg u drugoj sumi, to imamo: ( ) = f(x)[ F k (x)( F (x)) ( ) (k ) k 74

Specijali slučajevi: ( ) F (x)( F (x)) ( ) ] }{{} = 0 = ( ) f(x) F k (x)( F (x)) k k =! (k )!( k)! F k (x)( F (x)) k f(x) (3.52) ) Za k = fukcija raspodjele statistike maksimuma je: F X() (x) = P {X () x} = P {max{x, X 2,..., X } x} = P {X x, X 2 x,..., X x} = P ( {X i x}) = = P {X i x} ( iz uslova ezavisosti X i ) F X(i) (x) = F (x) te je gustia za X () odred ea sa : f X() (x) = F X () (x) = F (x)f(x) (3.53) što se može dobiti i iz (3.52) za k =. 2) Za k = fukcija raspodjele statistike miimuma je: F X() (x) = P {X () x} = P {mi{x, X 2,..., X } x} = P {mi{x, X 2,..., X } > x} = P {X > x, X 2 > x,..., X > x} = P ( {X i > x}) = = P {X i > x} ( iz uslova ezavisosti X i ) ( P {X i x}) 75

= ( F X(i) (x)) = ( F (x)) te je gustia za X () odred ea sa : f X() (x) = F X () (x) što se može dobiti i iz (3.52) za k =. = ( F (x)) ( f(x)) = f(x)( F (x)) (3.54) Zajedička gustia raspodjele za slučaji vektor svih statistika raga a uzorku (X (), X (2),..., X () ) je: f (X(),X (2),...,X () )(x, x 2,..., x ) =! f(x i ) (3.55) za x < x 2 <... < x, za što se dokaz može vidjeti u [0]. Iz ove gustie mogu da se dobiju margiale gustie za bilo koju statistiku raga, kao i gustie za bilo koji podskup statistika raga. Na primjer, gustia podvektora (X (k ), X (k2 ),..., X (kr )), gdje je k < k 2 <... < k r, < r, slučajog vektora (X (), X (2),..., X () ), dobija se itegracijom gustie iz (3.55) po preostalim promjeljivim: f (X(k ),X (k2 ),...,X (kr ) )(x k, x k2,..., x kr ) =!F (x k ) k [F (x k2 ) F (x k )] k2 k...[f (x kr ) F (x kr )] kr kr [ F (x kr )] kr f(x k )f(x k2 )... f(x kr )/[(k ) (k 2 k )... (k r k r ) ( k r )] (3.56) za x k < x k2 <... < x k. Specijala slučaj u (3.56) je pr. margiala gustia za statistiku X (k), k : f X(k) (x k ) =! (k )!( k)! F k (x k )( F (x k )) k f(x) (3.57) što je u skladu sa dobijeim rezultatom u (3.52). 3.2 Asimptotske raspodjele statistika poretka Razmotrimo asimptotske poašaje raspodjela ekstremih statistika raga, maksimuma M = X () i miimuma m = X (), pri za iz {X i }, i =, ezavisih slučajih veličia sa istom fukcijom raspodjele F (x). Ovom problematikom se bavi teorija ekstremih vrijedosti. 76

Pokazao je da je raspodjela maksimuma data sa P {M x} = F (x) Niže avedei rezultati odose se a maksimume, ali se jedostavim trasformacijama mogu prilagoditi i miimalim vrijedostima pojava koje razmatramo, jer vrijedi: P {m x} = ( F (x)) i mi{x, X 2,..., X } = max{ X, X 2,..., X } Pri ispitivaju asimptotskog poašaja maksimuma, osovo pitaje je da li postoje izovi realih kostati a > 0 i b R, za koje vrijedi lim P {M b x} = F (a x + b ) = G(x) (3.58) a za svaku tačku eprekidosti x eke edegeerisae fukcije raspodjele G(x). Ako takvi izovi postoje zovu se ormirajuće kostate, a fukcija G(x) je graiča raspodjela liearo ormiraog maksimuma M. Defiicija 4 Fukcija raspodjele F (x) pripada oblasti privlačeja edegeerisae fukcije raspodjele G(x) ako postoje izovi realih brojeva a > 0 i b, N, tako da vrijedi: za svaku tačku eprekidosti fukcije G(x). lim F (a x + b ) = G(x) (3.59) Ovu pripadost ozačavamo sa F D(G). Pitaje koje se ametalo je koje fukcije G(x) se mogu pojaviti kao graiče fukcije raspodjele liearo ormiraog maksimuma iza od ezavisih slučajih veličia, sa istom fukcijom raspodjele F (x), pri? Dokazao je da je fukcija G(x) istog tipa kao fukcije iz parametarske familije: Geeralizovae raspodjela ekstremih vrijedosti (GREV) { G γ (x) = e (+γx) γ, + γx > 0, γ 0 (3.60) e e x, x R, γ = 0 lim G γ(x) = G 0 (x) (Gumbelova raspodjela) γ 0 Parametar γ zove se ideks raspodjele ekstremih vrijedosti. Jedoparametarska familija G γ (x), za različite vrijedosti γ, svodi se a jedu od tri familije, koje zavise od parametra oblika α > 0: Za γ = 0 dobija se Gumbelova raspodjela (slika ). Za γ > 0 dobija se Frešeova raspodjela ( smjea γ = /α, slika 2). Fukcije raspodjele G i G 2 su istog tipa ako postoje kostate a > 0 i b, takve da za svaki reala x vrijedi G 2 (x) = G (ax + b) 77

Za γ < 0 dobija se Vejbulova raspodjela (smjea γ = /α < 0, slika 3). Ove raspodjele defiišu se fukcijama raspodjela:.gumbelova rapodjela 2. Frešeova raspodjela (α > 0) G 0 (x) = e e x, < x < (3.6) G,α (x) = { 0, za x < 0 e x α, za x 0 (3.62) 3. Vejbulova raspodjela (α > 0) G 2,α (x) = { e ( x) α, za x < 0, za x 0 (3.63) Više o osobiama raspodjela ekstremih vrijedosti može da se vidi u [8]. U vezi sa raspodjelama G γ (x) je još jeda familija raspodjela ekstremih vrijedosti H γ (x) = + log G γ (x) koja se defiiše kao: Geeralizovaa Paretova raspodjela (GPR) H γ (x) = { ( + γx) γ, + γx > 0, γ 0 e x, x R, γ = 0 (3.64) lim H γ(x) = H 0 (x) ( ekspoecijala raspodjela) γ 0 Korišteje familije raspodjela GPR je sugerisao u radu Balkema i de Haa (974), kao i u radu Pickads III (975), koji su pokazali da je F u oblasti privlačeja D(G γ ), ako i samo ako je rep raspodjele F u odred eom smislu blizak repu raspodjele H γ. Više o klasi ovih raspodjela ekstremih vrijedosti može da se vidi u [7]. Familija H γ (x) za različite vrijedosti γ svodi se a jedu od tri familije: Za γ = 0 dobija se ekspoecijala raspodjela (slika 4). Za γ > 0 dobija se Paretova raspodjela ( smjea γ = /α, slika 5). Za γ < 0 dobija se Beta raspodjela ( smjea γ = /α < 0, slika 6). γ - parametrizacija avedeih familija raspodjela može se uopštiti uvod ejem parametra položaja µ i razmjere σ > 0 pri čemu se dobijaju kompleta GREV, odoso kompleta GPR: G γ,µ,σ (x) = G γ ( x µ σ ) (3.65) H γ,µ,σ (x) = H γ ( x µ σ ) (3.66) 78

0.4 mi=0, sigma= mi=-2, sigma= 0.3 mi=2, sigma= 0.2 0. -3-2 - 2 3 4 x µ exp( σ ) G 0,µ,σ(x) Gumbelove raspo- Slika : Grafici gustie g 0,µ,σ (x) = σ djele, za µ = 2, 0, 2 i σ =. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. g(x) alpha=2 alpha= 2 3 4 5 x Slika 2: Grafici gustie g,α (x) = αx (+α) e x α {, 2}, µ = 0, σ =. Frešeove raspodjele, za α 79

alpha=2 0.5 alpha=- alpha=-0.5 alpha=-0.25-4 -3-2 - Slika 3: Grafici gustie g 2,α (x) = α( x) α e ( x)α α { 0.25, 0.5,, 2}, µ = 0, σ =. Vejbulove raspodjele, za mi=0, sigma= m, sigma= 0.5 mi=0, sigma=2 2 3 Slika 4: Grafici gustia h 0,µ,σ (x) = e x µ σ različitim parametrima mjesta i razmjere. ekspoecijale raspodjele sa 80

alpha= alpha=2 0.5 alpha=0.5 2 3 4 5 Slika 5: Grafici gustie h,α,µ,σ (x) = x µ σ ( + σα ) α Paretove raspodjele, za α {0.5,, 2} i µ = 0, σ =. alpha=-3 3 2 alpha=- alpha=-0.5 alpha=-0.25 - -0.5 Slika 6: Grafici gustie h 2,α,µ,σ (x) = x µ σ ( σα )α Beta raspodjele, za α { 0.25, 0.5,, 3} i µ = 0, σ =. 8

Ne ograičavajući se a ekstreme statistike poretka tj. razmatrajući u opštem slučaju k-tu doju statitiku raga X (k) i k-tu gorju statistiku raga X ( k+) u varijacioom izu, dobija se rezultat da statistike i Y (k) = F X(k) Z (k) = ( F X( k+) ) imaju asimptotski pri gama raspodjelu odred eu gustiom g(x; p, q) = u kojoj su parametri q =, p = k, te je qp Γ(p) xp e qx, x > 0 (3.67) g(x;, k) = Γ(k) xk e x, x > 0 (3.68) 4 Uzoračka medijaa i kvatili Neka je (X, X 2,..., X ) uzorak uzet iz populacije sa fukcijom raspodjele F (x) i gustiom f(x). Neka je 0 < p < i eka je x p kvatil reda p raspodjele obilježja X, tj. F (x p ) = p. Pretpostavimo da je fukcija gustie f(x) eprekida i pozitiva u x p. Pomoću statistika raga X (), X (2),..., X () defiiše se uzorački kvatil K p reda p kao statistika raga X (k) kod koje je k = [p] +. Raspodjela uzoračkih kvatila za obilježja apsoluto-eprekidog tipa može da se dobije iz (3.57). Asimptotski, pri, uzorački kvatil K p ima graiču ormalu raspodjelu: tj. K p N (x p, p( p)(f(x p )) 2 ), (4.69) (Kp x p ) N (0, p( p)(f(x p )) 2 ), (4.70) Uzoračka medijaa predstavlja specijala slučaj uzoračkih kvatila K p, 0 < p <, za p = 2. Pomoću statistika raga X (), X (2),..., X () uzoračka medijaa defiiše se a sledeći ači: { X(k+), za = 2k + Me = X (k) +X (k+) 2, za = 2k. (4.7) Raspodjela uzoračke medijae za obilježja apsoluto-eprekidog tipa može takod e da se dobije iz (3.57). 82

Asimptotski, pri, medijaa ima graiču ormalu raspodjelu: Me(x) N (x, 2 4 f 2 (x )) (4.72) 2 gdje je x medijaa za odgovarajuću teorijsku raspodjelu obilježja, tj. F (x ) = 2 2 2. Asimptotsku raspodjelu uzoračkih kvatila proučavao je još Laplas prije skoro 200 godia. O ovijim rezultatima vezaim za ovu raspodjelu može se vidjeti u []. NAPOMENA: O ekim karakteristikama raspodjela pomeutih u ovom radu i jihovim graficima gustia, više može da se saza iz Atlasa raspodela (vidi [2]). Literatura [] Arold, B.C.(988): Bouds o the expected maximum, Comm. Statist. Theory ad Methods 7(7), 235-250 [2] Djorić, D.,Jevremović, V.,Mališić, J.,Nikolić--Dorić, V.(2007): Atlas raspodela, Grad eviski fakultet, Beograd [3] Caraux, G.,Gascuel,O.(992): Bouds o distributio fuctios of order statistics for depedet variates, Statistics ad Probability Letters 4 North-Hollad, 03-05 [4] Cramer, H.(946): Mathematical Methods of statistics, Priceto [5] Ivaović, B. (977): Teorija verovatoće, Nauča kjiga, Beograd, 268-284 [6] Ivković, Z.(989): Teorija verovatoća sa matematičkom statistikom, Nauča kjiga, Beograd, 4-43 [7] Maroh, F. (2000): Testig Extreme Value Models, Extremes, 3:4, 363-384 [8] Mladeović, P.(2002): Ekstreme vredosti slučajih izova, Matematički fakultet, Beograd, 53-92 [9] Mladeović, P.(995): Verovatoća i statistika, VESTA - Matematički fakultet, Beograd, 240-242 [0] Stojaović, M. S.(980): Matematička statistika, Nauča kjiga, Beograd, 54-59 [] Thomas S. Ferguso: Asymptotic Joit Distributio of Sample Mea ad a Sample Quatile, UCLA [2] http://home.jesus.ox.ac.uk/ clifford/a5/chap2/ode8.html [3] http://e.wikipedia.org/wiki/order-statistic 83