ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 3 Η συνάρτηση f() α β γ δ με α,β, γ, δ και α έχει πάντα ένα σημείο καμπής Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν στο σημείο καμπής, τότε και η h f g έχει στο καμπής σημείο 3 Δίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο και ότι η γραφική της παράσταση πάνω από τον άξονα Αν υπάρχει κάποιο σημείο A,f( ) της C f του οποίου η απόσταση από τον άξονα οριζόντια μέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη της C f 4 Η ευθεία κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: 3 α) f() 5 Αν η f παραγωγίσιμη στο 6 Αν οι συναρτήσεις f g παραγωγίσιμη στο 3 β) g() ( ), τότε lim f f και g παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση f 7 Αν μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ 8 Η συνάρτηση f 9 Αν στο εσωτερικό σημείο τοπικό ακρότατο της f γνησίως φθίνουσα στο του πεδίου ορισμού της f ισχύει Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f,υπάρχει το πολύ μία ρίζα της f Αν f, τότε το f f για κάθε τότε υπάρχουν δύο διαφορετικές εφαπτόμενες της C f παράλληλες μεταξύ τους Αν η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο και fα fβ, f για κάθε α,β α,β, α β, τότε ισχύει 3 Αν γραφική παράσταση της συνάρτησης f δίνεται από το παρακάτω σχήμα, τότε:
i) το πεδίο ορισμού της f το, 4 ii) το πεδίο ορισμού της το f, 4 iii) f () για κάθε, 4 iv) υπάρχει ΘΕΜΑ Β, 4 : f ( ) (μ 6,5) 3 ημ α, Δίνεται η συνάρτηση f ημ α, Β Να βρείτε τη τιμή της παραμέτρου α για την οποία η f συνεχής στο πεδίο ορισμού της μονάδες 7 Έστω α Β Να δείξετε ότι υπάρχει π, τέτοιο, ώστε f μονάδες 6 Β3 Να δείξετε ότι δεν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο π, π μονάδες 6 Β4 Να δείξετε ότι η f ΘΕΜΑ Γ Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για κάθε C δέχεται οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο με τετμημένη ξ π, π, με f, f και Γ Να αποδείξετε ότι f για κάθε, και f f f μονάδες 6 για κάθε μονάδες 7 Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, α, α τέτοιο, ώστε αf ξ α α μονάδες 7 Γ3 Να βρείτε το πρόσημο της f μονάδες 5 Γ4 Να βρείτε τις ασύμπτωτες της f μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f: ικανοποιεί τη σχέση: Δ Να αποδείξετε ότι:, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f () f, η οποία e f f f f για κάθε f ln e, μονάδες 7 Δ Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα μονάδες 7 Δ3 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής μονάδες 6 Δ4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln e συν έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα π, μονάδες 6 Καλή Τύχη! y O 4
Λύσεις ΘΕΜΑ Α Σ Λ 3 Σ 4β 5Λ 6 Σ 7Λ 8 Λ 9 Λ Σ Λ Λ 3i Σ iiλ iiiλ ivσ ΘΕΜΑ Β Β lim f 3 lim, lim f lim f Η f συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα, και, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Για να η f συνεχής στο πεδίο ορισμού της πρέπει να συνεχής και στο και αυτό συμβαίνει όταν lim f lim f f 3 Β Είναι f, συνεχής στο f, δηλαδή f f, λόγω του θbolzano υπάρχει, τέτοιο, ώστε, και επειδή η f Β3 Είναι f Επειδή f f δεν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο, 3 f f f Β4 lim lim lim, f f lim lim lim f f f f Επειδή lim lim η f παραγωγίσιμη στο με f Η f παραγωγίσιμη στο, με f 6 και παραγωγίσιμη στο, με f 4 οπότε παραγωγίσιμη στο,, f f Είναι f, f δηλαδή και επειδή η f συνεχής στο,, λόγω του θbolzano υπάρχει, f Επειδή η f συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο και λόγω του θrolle υπάρχει, τέτοιο, ώστε f τέτοιο, ώστε f f, ΘΕΜΑ Γ Γ Έστω g f,, Η g παραγωγίσιμη στο, g f f f f για κάθε, Παρατηρούμε ότι g f g και Για κάθε g g f f g για κάθε g g f f με, άρα η g γνησίως φθίνουσα στ
wwwaskisopolisgr Γ Από το θεώρημα μέσης τιμής για την f, υπάρχει, τέτοιο ώστε f f f f f f f Επειδή f και επειδή, f f, 4 άρα f f Επειδή για f, έχουμε: f f f f f Γ3 Επειδή η f συνεχής στο, και f, Επειδή f, f για κάθε, Γ4 Επειδή f για κάθε, για κάθε, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο και lim, άρα και lim f, οπότε η ευθεία, δηλαδή ο άξονας yy κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f Επειδή f για κάθε και lim, θα και lim f, άρα η ευθεία y, δηλαδή ο άξονας οριζόντια ασύμπτωτη της C f ΘΕΜΑ Δ Δ e f f f f e f e f e f e f e f e f e f c e f f e c, c () Για η () γίνεται: c c, άρα e f f e e f e () g e Έστω g e, Η g παραγωγίσιμη στο με Είναι g e e Για κάθε g g, g g, Η g έχει ελάχιστο το g g για κάθε, οπότε g e e και για κάθε g, άρα και η () γίνεται: e e e f f ln e c, c Για f c c, άρα f ln e, 4
e e Για κάθε e f e e Δ f f, Η f έχει ελάχιστο το για κάθε, f f, f f και για κάθε f, άρα Δ3 f e e e e e e e e e e e e e f e e Έστω h e e, Η h παραγωγίσιμη στο με h e e e e h e Για κάθε h h, και για κάθε h h, Είναι lim e lim lim DLH άρα lim h lim e e e e lim h lim e e lim e h e Ακόμη και Στο διάστημα, Επειδή,e h lim h,h,e υπάρχει, η μοναδική ρίζα της h στο, η h συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα τέτοιο, ώστε h και h, Στο διάστημα, η h συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα h h, lim h,, Επειδή, υπάρχει η μοναδική ρίζα της h στο h άρα το τέτοιο, ώστε h και h,, Για κάθε h h f f h Για κάθε Η f έχει σημείο καμπής το,f κοίλη στο, άρα το h h h f f κυρτή στο, h Για κάθε h h f f κυρτή στο, h Για κάθε Η f έχει σημείο καμπής το,f h h f f ln e,, Δ4 Έστω Είναι και ln e κοίλη στο,
g g e ln e ln Επειδή και η φ συνεχής στο,, λόγω του ΘBolzano υπάρχει, τέτοιο, ώστε 3 e e Η φ παραγωγίσιμη στο,, αφού f e e Από το Γ g, και 3 με και για κάθε,, άρα η φ γνησίως αύξουσα στο,, οπότε η 3 η μοναδική ρίζα της