MATEMATIKA ZADATCI: Nađite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: y' + y e = Odredite partikularno rješenje obične diferencijalne jednadžbe za koje itovremeno vrijede jednakoti y'' + 4 y = 0 π y =, π y' = 3 Nađite partikularno rješenje obične diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet dy - ( y) ( y) d = 0 y() = 0 4 Odredite jednadžbu krivulje zadane običnom diferencijalnom jednadžbom a točka A(0,) joj je tacionarna točka y'' + y'+ y = 0, 5 Nađite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe 6 Riješite Cauchyjev problem: dy ( y ) d = 0 y'' + y = e t, y(0) = 0, y'(0) = 7 Odredite jednadžbu krivulje koja prolazi točkom T(0,), a pripada porodici krivulja koja je zadana običnom diferencijalnom jednadžbom ( + ) y' = 0 Bojan Kovačić & Dražen Blanuša Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 8 Riješite Cauchyjev problem: y'' y = e, y(0) = 0, y'(0) = 9 Nađite partikularno rješenje obične diferencijalne jednadžbe za koje vrijedi jednakot y' + y in = 0 Običnom diferencijalnom jednadžbom π y 0 = y'' + y' + y = 0 zadana je porodica krivulja u ravnini Odredite krivulju te porodice koja prolazi točkom T(,) i ima koeficijent mjera tangente krivulje u toj točki jednak Nađite partikularno rješenje obične diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početni uvjet y dy e d = 0 y(0) = Porodica krivulja zadana je običnom diferencijalnom jednadžbom y'' in = 0 Odredite krivulju iz te porodice koja prolazi točkom T(0,0) i ima koeficijent mjera tangente u toj točki k t = 3 Nađite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe 4 Riješite Cauchyjev problem: y' + (in ) y = in y'' + 3 y' + 3 y = 0, y(0) =, y'(0) = 0 Bojan Kovačić & Dražen Blanuša Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 5 Nađite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe y' + 6 Riješite ljedeći Cauchyjev problem: y = y'' + y' + y =, y(0) =, y'(0) = 7 Porodica krivulja zadana je diferencijalnom jednadžbom y'' + y' = 0 Odredite krivulju iz te porodice koja prolazi točkom T(,) i ima koeficijent mjera tangente u toj točki k t = 8 Nađite partikularno rješenje obične diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava početne uvjete 9 Riješite ljedeći Cauchyjev problem: 0 Riješite ljedeći Cauchyjev problem: Riješite ljedeći Cauchyjev problem: y'' + y' = y(0) = 0, y'(0) = y'' + 4 y = e co( ), y(0) = 0, y'(0) = 0 y" + y = +, y(0) = 0, y'(0) = 0 y" + 6 y' + 9 y =, y(0) = 0, y'(0) = Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 3 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: ( y + ) d + ( y y) dy = 0 3 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y' + y + e = 0 4 Nađite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: y'' y' = 0 5 Pomoću Laplaceove tranformacije odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' + 5 y = co( ), y(0) =, y'(0) = 0 6 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: ( 4) y' + y = ( + ) 7 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe y' tg = y 8 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: 6 y = y'' + y' 9 Pomoću Laplaceove tranformacije odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' 4 y' + 4 y = 4, y(0) = y'(0) = 30 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y ' y = y '' 3 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: y ctg y' = in 3 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y y' = ( ) ( + ) Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 4 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 33 Pomoću Laplaceove tranformacije odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' 8 y' + 7 y = 4, y(0) = 4, y'(0) = 8 34 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y' + (co ) y = co( ) 35 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: ln y (e + ) y' y e = 0 36 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: y'' y' 3 y = 0 37 Pomoću Laplaceove tranformacije odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' + y = e, y(0) = y'(0) = 38 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y' + y = ( ) ( + ) + 39 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: ( + ) dy + (tgy) d = 0 40 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: y'' + 8 y' + 6 y = 0 4 Pomoću Laplaceove tranformacija odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' y' + y = e, y(0) = y'(0) = 4 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y y co d + ( ) ( + ) in d y = 0 Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 5 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 43 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe 5 y'' + y' + y = 0 44 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: y' + (ctg ) y = 45 Pomoću Laplaceove tranformacije odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' + y' = 8 ( + ), y(0) =, y'(0) = 0 46 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y' + ( tg ) y = 47 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: y ln y dy d = 0 arctg + 48 Odredite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe 4 y'' 5 y' + y = 0 49 Pomoću Laplaceovih tranformacija odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' y' =, y(0) =, y'(0) = 4 50 Odredite tip obične diferencijalne jednadžbe i riješite je: y' = y + 5 Nađite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: ( + y) d ( ) ( + + ) (y ) dy = 0 5 Nađite opće rješenje obične diferencijalne jednadžbe: 9 y'' y' + 4 y = 0 53 Pomoću Laplaceove tranformacije odredite funkciju y = y() iz uvjeta: y'' y' = 3 ( ), y(0) =, y'(0) = 0 Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 6 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA RJEŠENJA ZADATAKA Napomena: Ukoliko nije drugačije itaknuto, pretpotavlja e da u C, C, C R realne kontante Zadana obična diferencijalna jednadžba ima oblik y' + P() y = Q() Zaključujemo da e radi o nehomogenoj linearnoj običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda Njezino e rješenje određuje prema formuli y = e Q( ) e d + C P( ) d P( ) d Stoga najprije moramo ''očitati'' funkcije P() i Q() Funkcija P() je funkcija koja ''množi'' traženu funkciju y Vidimo da je P() = Funkcija Q() je ''lobodni član'', tj ona ''toji ama'' na denoj trani jednadžbe Vidimo da je Q() = e Preotaje te funkcije uvrtiti u navedenu formulu za računanje rješenja Imamo redom: Sad ikoritimo jednakot: P( ) d P( ) d y = e Q( ) e d C +, d d y = e e e d + C, ln ( ), ( ) = + ln y e e e d C ln( ) ln y = e e e d + C e ln =, za vaki > 0, pa dobivamo: ( ) y = e d + C ( y = e d + C ), Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 7 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Izračunajmo zaebno integral I = e d Taj e integral računa metodom parcijalne integracije: pa lijedi: u = du = d Tako je opće rješenje polazne jednadžbe: v = e dv = e d I = e d = e e d = e e ( ) y = e e + C, C R Zadana diferencijalna jednadžba je homogena linearna diferencijalna jednadžba reda kontantnim koeficijentima Da bimo je riješili, najprije moramo ataviti i riješiti pripadnu karakteritičnu jednadžbu Ona u ovom lučaju glai: Rješenja te jednadžbe u komplekni brojevi k + 4 = 0 k = i, k = i Očitamo realni i imaginarni dio bilo kojega od dobivenih rješenja (uzet ćemo k ): a = Re(k ) = 0, b = Im(k ) = Opće rješenje zadane jednadžbe računamo prema formuli: [ co( ) in( )] a y e C b C b = + U tu formulu uvrtimo a = 0 i b = pa dobivamo: odnono, zbog e 0 =, y = e 0 [C co( ) + C in( )], y = C co( ) + C in( ) Nepoznate kontante C i C odredit ćemo iz početnih uvjeta Umjeto najprije uvrtimo π, a umjeto y uvrtimo Dobit ćemo: Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 8 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA π π = C co + C in, = C co( π ) + C in( π ) = C, C = Za uvrštavanje podataka iz drugoga uvjeta najprije moramo izračunati y' Imamo: y' = C in( ) + C co( ) π U tu jednakot ada uvrtimo C =, = i y' = Dobit ćemo: π π = ( ) in + C co, = in(π) + C co(π), = C, C = Da dobijemo konačno rješenje zadatka, u formulu y = C co( ) + C in( ) uvrtimo dobivene vrijednoti kontanti C i C : y = co( ) in( ) 3 Odmah vidimo da zadana obična diferencijalna jednadžba ima oblik F () G (y) d + F () G (y) dy = 0 pri čemu je F () =, F () =, G (y) = ( y) ( y), G (y) = Zaključujemo da e radi o običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda a epariranim varijablama Njezino je opće rješenje dano formulom: G ( y) G ( y) F ( ) = C F ( ) dy d + U tu formulu uvrtimo F () =, F () =, G (y) = ( y) ( y), G (y) = Radi jednotavnoti, izračunat ćemo poebno lijevu, a poebno denu tranu Imamo redom: Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 9 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Lijeva trana: ( ) = G ( y) ( y) ( y) G y dy dy Ovaj e integral rješava tako da podintegralnu funkciju ratavimo na parcijalne razlomke Drugim riječima, tražimo realne brojeve A i B tako da vrijedi: A B = + ( y) ( y) y y Pomnožimo tu jednakot ( y) ( y) pa ćemo dobiti: = A ( y) + B ( y) Grupiramo poebno koeficijente uz y, a poebno lobodne članove: = y ( A B) + ( A + B) Izjednačavanjem koeficijenata lijeve i dene trane dobivamo utav dviju linearnih jednadžbi dvije nepoznanice: Njegovo je rješenje A =, B = Stoga je odnono A B = 0 A + B = =, ( y) ( y) y y = ( y) ( y) y y Vratimo e na računanje nepoznatoga integrala Umjeto podintegralne funkcije uvrtimo gornji ratav: y dy = dy dy = ln( y ) ln( y ) = ln ( y) ( y) y y y (Zbog glatkoće rješenja, apolutna vrijednot dobivena kao rezultat integriranja može e zanemariti) Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 0 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
Dena trana: Odmah imamo: ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA Tako mo dobili jednakot: F ( ) d + C = d + C = + C F ( ) y ln = + C y Iz te jednakoti trebamo izraziti varijablu y pomoću varijable Kako bimo e riješili ''nezgodnoga'' logaritma na lijevoj trani, potenciramo i lijevu i denu tranu bazom prirodnoga logaritma (e) Dobit ćemo: y = e y + C + C + C y = y e e, + C + C y ( e ) = e, e y = e + C + C Da bimo ovaj izraz još pojednotavnili, tavimo C = e C pa dobivamo: C e y = C e, C > 0 Nepoznatu kontantu C odredit ćemo tako da u ovu jednakot uvrtimo = i y = 0 Dobivamo:, Konačno je: 0 =, C e C e C e = 0, C = = e e e e e e e e y = = Bojan Kovačić & Dražen Blanuša Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 4 Najprije moramo riješiti običnu diferencijalnu jednadžbu y'' + y' + y = 0 To je homogena linearna diferencijalna jednadžba reda kontantnim koeficijentima Slično kao u zadatku, najprije moramo ataviti i riješiti pripadnu karakteritičnu jednadžbu Ona u ovom lučaju glai: Njezina u rješenja k + k + = 0 k = k = Vidimo da mo dobili dva jednaka realna rješenja pa lijedi da je opće rješenje početne obične diferencijalne jednadžbe y = e (C + C ) Nepoznate kontante C i C odredit ćemo iz daljnjega uvjeta ikazanoga u zadatku, a taj je da točka A mora biti tacionarna točka tražene krivulje ''Prevedeno'' na jezik običnih diferencijalnih jednadžbi, to znači da itovremeno moraju vrijediti obje ljedeće jednakoti: y(0) = (jer tražena krivulja prolazi točkom A) y'(0) = 0 (jer prva derivacija funkcije y u točki A mora biti jednaka 0) Uvrtimo najprije = 0 i y = u dobiveno opće rješenje početne obične diferencijalne jednadžbe Dobivamo: tj = e 0 (C + C 0), C = Sada deriviramo dobiveno opće rješenje početne obične diferencijalne jednadžbe (kao derivaciju umnoška dviju funkcija, tako je jednotavnije): y' = e (C + C ) + C e U tu jednakot uvrtimo = 0, y' = 0 i C = Dobivamo: Odavde je 0 = ( + 0) + C C = Bojan Kovačić & Dražen Blanuša Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Prema tome, tražena je krivulja y = e ( + ) 5 Odmah vidimo da zadana diferencijalna jednadžba ima oblik F () G (y) d + F () G (y) dy = 0 pri čemu je F () =, F () =, G (y) = y, G (y) = Zaključujemo da e radi o običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda a epariranim varijablama Njezino je opće rješenje dano formulom: G ( y) G ( y) F ( ) = C F ( ) dy d + U tu formulu uvrtimo F () = F () =, G (y) = y, G (y) = Radi jednotavnoti, izračunat ćemo poebno lijevu, a poebno denu tranu Imamo redom: Lijeva trana: G ( y) dy G y = dy ( ) y Dobiveni integral određujemo koriteći tablicu neodređenih integrala U njoj nalazimo: d ln a + = b + C b a a b a b pa uvrštavanjem a = b = i zamjenom varijable varijablom y dobivamo: y + dy = ln y y Zbog potrebne glatkoće rješenja, apolutnu vrijednot opet možemo zanemariti Dena trana: Odmah imamo: Tako mo dobili jednakot F ( ) d + C = d + C = + C F ( ) Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 3 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA y + ln = + C y Iz te jednakoti trebamo izraziti varijablu y pomoću varijable Pomnožimo je najprije : y + ln = + C y Potenciramo i lijevu i denu tranu dobivene jednakoti bazom prirodnoga logaritma: y + = e y + C y + = y e e + C + C, + ( ) C + C y e = e +, e y = e + C + C Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 4 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb, + Opet radi jednotavnoti možemo uveti novu kontantu: C = e C > 0 Tako konačno dobivamo traženo opće rješenje: C e y = C, C > 0 + e 6 Zadani početni problem rješavamo rabeći Laplaceovu tranformaciju Pođimo od zadane obične diferencijalne jednadžbe Najprije u tablici Laplaceovih tranformata pronađemo čime trebamo zamijeniti y'', čime y, a čime funkciju na denoj trani te jednadžbe Imamo: y'' F() y(0) y '(0), y F(), e t (e t tranformiramo tako da u tablici Laplaceovih tranformata nađemo funkciju f() = e a i uvrtimo a = ) + Tako polazna obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: U tu jednakot uvrtimo početne uvjete: F( ) y(0) y '(0) + F( ) = +
MATEMATIKA y(0) = 0 i y'(0) =, nakon toga ve članove koji ne adrže F() prebacimo na denu tranu, a na lijevoj trani iz preotalih članova izlučimo F() Redom dobivamo: ( ) 0 + ( ) =, + ( ) + ( ) = +, + + + F( ) ( + ) =, + + F( ) = F F F F ( + ) ( + ) Da odredimo inverz Laplaceova tranformata na denoj trani poljednje jednakoti, taj tranformat moramo rataviti na parcijalne razlomke Drugi faktor u nazivniku je ireducibilan nad R (tj ne može e rataviti na umnožak jednotavnijih faktora čiji u koeficijenti realni brojevi), pa će e ratav atojati od ukupno dva razlomka U brojniku razlomka čiji je nazivnik + bit će kontanta (polinom tupnja 0), a u brojniku razlomka čiji je nazivnik + + bit će polinom tupnja Imamo redom: + A B + C = +, + + + + ( ) ( ) + = A + + B + C + ( ) ( ) ( ), + = A + A + B + C + B + C, + = A + B + B + C + A + C ( ) ( ) ( ) Izjednačavanjem koeficijenata na lijevoj i denoj trani dobivamo ljedeći utav triju linearnih jednadžbi tri nepoznanice: Zbrojimo li ve tri jednadžbe, dobivamo: A + B = 0, B + C =, A + C = A + B + C = 3 Kad od te jednakoti oduzmemo prvu jednadžbu utava, dobivamo: Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 5 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA C = 3 Na potpuno analogan način e dobiju i vrijednoti preotalih dviju nepoznanica: A =, B = Prema tome, traženi ratav na parcijalne razlomke glai: + 3 = + ( + ) ( + ) + + + Sada možemo odrediti traženi inverz, i to prema načelu ''pribrojnik po pribrojnik'', što mijemo jer u Laplaceova tranformacija i njezin inverz linearni operatori Već mo vidjeli da je Laplaceov tranformat od e t jednak Laplaceova tranformata adrži invertiramo) Izraz + jednak + e t je poeban lučaj izraza + a Zbog toga je inverz + (kontantu uvijek prepišemo, a izraz koji (za a = ) kojega imamo u tablici Inverz toga Laplaceova tranformata je co(a t), pa lijedi da je inverz pribrojnika co t Napokon, izraz + a je poeban lučaj izraza + a + Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 6 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb jednak (za a = ) kojega imamo u tablici Inverz toga Laplaceova tranformata je in(a t), što znači da je inverz pribrojnika jednak 3 in t Dakle, traženo rješenje Cauchyjeva problema je: y = e t co t + 3 in t 7 Zapišimo najprije zadanu diferencijalnu jednadžbu u ljedećem obliku: 3 +
MATEMATIKA y' = ( + ) Premda je riječ o običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda a epariranim varijablama, ne moramo razdvajati varijable, već polaznu jednadžbu možemo riješiti izravnim integriranjem To ćemo integriranje proveti rabeći metodu zamjene (uptitucije) Imamo redom: dt y = d = { t = +, dt = d} = = = + C ( + ) t t + Da bi krivulja prolazila točkom T(0,), za = 0 vrijednot funkcije y mora biti jednaka Stoga u dobivenu jednakot umjeto uvrtimo 0, a umjeto y uvrtimo Dobijemo: otkuda je Tražena je krivulja, dakle, = + C, C = 3 y = + 3, + 3 + y = + 8 Zadani početni problem rješavamo rabeći Laplaceovu tranformaciju Pođimo od zadane obične diferencijalne jednadžbe Najprije u tablici Laplaceovih tranformata pronađemo čime trebamo zamijeniti y'', čime y, a čime funkciju na denoj trani te jednadžbe Imamo: y'' F() y(0) y '(0), y F() (uvijek!), e (e tranformiramo tako da nađemo funkciju e a i uvrtimo a = ) Tako polazna obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: U tu jednakot uvrtimo početne uvjete: F( ) y(0) y '(0) F( ) = y(0) = 0 i y'(0) =, Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 7 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA nakon toga ve članove koji ne adrže F() prebacimo na denu tranu, a na lijevoj trani iz preotalih članova izlučimo F() Redom dobivamo: ( ) 0 ( ) =, ( ) ( ) = +, + F( ) ( ) =, F( ) =, F F F F ( ) ( ) F( ) =, ( ) ( ) ( + ) F( ) = ( ) ( + ) Da odredimo inverz Laplaceova tranformata na denoj trani poljednje jednakoti, taj tranformat moramo rataviti na parcijalne razlomke Na temelju oblika nazivnika tranformata zaključujemo da ćemo imati ukupno 3 razlomka U brojniku vakoga od njih bit će neka realna kontanta (polinom tupnja 0) Imamo redom: A B C = + + + + ( ) ( ) ( ) = A + + B + + C ( ) ( ) ( ) ( ), = A + B + + C + ( ) ( ) ( ), = A A + B + B + C C + C ( ) ( ) ( ),, = A + C + B C + B + C A Izjednačavanjem koeficijenata lijeve i dene trane poljednje jednakoti dobivamo ljedeći utav triju linearnih jednadžbi tri nepoznanice: A + C = 0 B C = B + C A = 0 Zbrojimo li ve tri jednadžbe toga utava, odmah dobivamo B = Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 8 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Iz druge jednadžbe je tada pa iz prve jednadžbe odmah lijedi C =, 4 A = 4 Stoga je F ( ) = 4 + ( ) 4 + Sada možemo odrediti inverze Laplaceovih tranpormata na denoj trani poljednje jednakoti Već mo vidjeli da je Laplaceov tranformat od e jednak Zbog toga je inverz Laplaceovoga tranformata jednak e 4 ( ) 4 Izraz poeban je lučaj izraza (za a = ) Iz tablice Laplaceovih tranformata ( ) ( a) vidimo da je inverz toga Laplaceova tranformata jednak e a Stoga je inverz Laplaceova tranformata jednak e ( ) Napokon, inverz Laplaceova tranformata jednak je e, pa lijedi da je inverz + Laplaceova tranformata jednak e 4 + 4 Tako je traženo partikularno rješenje: 9 Zadana diferencijalna jednadžba ima oblik y = e + e e 4 4 y' + P() y = Q() Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 9 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA pa zaključujemo da e radi o nehomogenoj linearnoj običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda Da bimo je riješili, najprije moramo ''očitati'' funkcije P() i Q() Vidimo da je: P() =, Q() = in Te funkcije uvrtimo u formulu za računanje općega rješenja nehomogene linearne obične diferencijalne jednadžbe reda: Imamo redom: ( ) d y = e Q( ) e P P( ) d d + C Izračunajmo zaebno integral d d y = e in e d + C, ln ln ( in ), ( ) ( in ), ( in ) y = e e d + C ln( ) ln y = e e d + C in, y = d + C y = d + C I = in d Taj e integral računa metodom parcijalne integracije: pa lijedi: u = du = d v = co dv = in d in d = co + co d = co + in Stoga je opće rješenje polazne obične diferencijalne jednadžbe: y = (in co + C) Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 0 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Nepoznatu kontantu C odredit ćemo iz početnoga uvjeta U gornju jednakot umjeto uvrtimo π, a umjeto y uvrtimo 0 Dobit ćemo: Traženo partikularno rješenje je: π π π 0 = in co C, π + 0 = ( 0 + C), π 0 = + C, C = y = (in co ) 0 Riješimo najprije zadanu običnu diferencijalnu jednadžbu Riječ je o homogenoj linearnoj diferencijalnoj jednadžbi reda kontantnim koeficijentima Stoga najprije moramo ataviti i riješiti pripadnu karakteritičnu jednadžbu U ovom lučaju ona glai: k + k + = 0 Njezina u rješenja k = k = Vidimo da mo dobili dva jednaka realna rješenja pa lijedi da je opće rješenje početne obične diferencijalne jednadžbe y = e (C + C ) Nepoznate kontante C i C odredit ćemo iz daljnjih uvjeta ikazanih u zadatku Najprije ih ''prevedimo'' na jezik jednadžbi Zahtjev da krivulja prolazi točkom T(,) možemo zapiati u obliku y() = Zahtjev da koeficijent mjera tangente na krivulju u točki T mora biti jednak možemo zapiati u obliku Dakle, u dobiveni izraz najprije uvrtimo = i y = : y'() = y = e - (C + C ) Bojan Kovačić & Dražen Blanuša Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA = e C C ( + ), otkuda je e = C + C Sada deriviramo izraz y = e - (C + C ) (kao derivaciju umnoška, tako je jednotavnije) pa dobijemo: y' = e (C + C ) + e C U dobivenu jednakot uvrtimo = i y' = pa dobivamo: Uvažimo jednakot C + C = e, pa dobivamo: Sada iz lijedi Uvrtimo izračunate vrijednoti u jednakot pa dobivamo: odnono = e (C + C ) + e C, = e (C + C ) + e C = e e + e C, = + e C, = e C, C = e C + C = e C = e y = e - (C + C ) y = e ( e + e ), y = e ( ) Odmah uočavamo da zadana obična diferencijalna jednadžba ima oblik Bojan Kovačić & Dražen Blanuša Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA F () G (y) d + F () G (y) dy = 0 pri čemu je F () = e, F () =, G (y) =, G (y) = y Zaključujemo da e radi o običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda a epariranim varijablama Formula za određivanje općega rješenja te jednadžbe glai: G ( y) F ( ) = C F ( ) dy d + G ( y) U tu jednakot uvrtimo F () = e, F () =, G (y) =, G (y) = y pa dobivamo: y dy = e + C, y dy = e + C (Predznak kontante C ne moramo mijenjati) Izračunajmo zaebno integrale na lijevoj i denoj trani te jednakoti Lijeva trana: Dena trana: y dy = y (tablični integral!) Integral na denoj trani računamo metodom parcijalne integracije: u = du = d v = e dv = e d pa imamo: Tako mo dobili: e d = e e d = e e = + y e e C Nepoznatu kontantu C dobit ćemo iz početnoga uvjeta y(0) = U jednakot Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 3 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA = + y e e C umjeto uvrtimo 0, a umjeto y uvrtimo pa dobivamo: Traženo je rješenje, dakle, 0 0 = 0 e e = 0 + C, 3 C = + C, 3 = +, y e e = + 3, y e e y = e e + 3 Riješimo najprije zadanu običnu diferencijalnu jednadžbu Premda je riječ o nehomogenoj linearnoj diferencijalnoj jednadžbi reda koju (u pravilu) rješavamo rabeći Laplaceovu tranformaciju, ovdje možemo potupiti brže i kraće Zapišemo jednadžbu u obliku y'' = in, pa je riješimo dvotrukim izravnim integriranjem: ( in ) y = d d y = ( co + C ) d, y = co d + C d, y = in + C + C Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 4 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb Nepoznate kontante C i C izračunat ćemo koriteći daljnje uvjete ikazane u zadatku To što krivulja prolazi točkom T(0,0) znači da je y(0) = 0 To što krivulja u točki T ima koeficijent mjera tangente jednak znači da je y'(0) =
MATEMATIKA Tako u izraz y = in + C + C najprije umjeto uvrtimo 0 i umjeto y uvrtimo 0 Dobit ćemo: otkuda je odmah 0 = -in 0 + C 0 + C, C = 0 Dakle, imamo jednu kontantu manje Deriviramo ada izraz y = in + C (budući da je C = 0, tu kontantu izotavljamo) pa dobijemo: y' = co + C U tu jednakot umjeto opet uvrtimo 0, a umjeto y ovoga puta uvrtimo : otkuda je odmah Rješenje zadatka je krivulja čija je jednadžba: = co 0 + C, C = y = in 3 Zadana obična diferencijalna jednadžba ima oblik y' + P() y = Q() pa zaključujemo da e radi o nehomogenoj linearnoj običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda Da bimo je riješili, najprije moramo ''očitati'' funkcije P() i Q() Vidimo da je: P() = Q() = in Te funkcije uvrtimo u formulu za računanje općega rješenja nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe reda: Imamo redom: ( ) d y = e Q( ) e P P( ) d d + C Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 5 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA in d in d y = e in e d C +, co ( ) co y = e e d + C in Integral u okrugloj zagradi rješavamo rabeći uptituciju t = co, dt = in d Tako dobijemo: Stoga je traženo opće rješenje: co t t co in e d = e dt = e = e co co y e e C = ( + ), co y C e C = +, R 4 Diferencijalna jednadžba potavljena u zadatku je homogena linearna obična diferencijalna jednadžba reda Možemo je riješiti bilo pomoću karakteritične jednadžbe, bilo pomoću Laplaceove tranformacije Opredijelit ćemo e za prvi način, tj riješit ćemo je pomoću karakteritične jednadžbe U ovom lučaju ta jednadžba glai Rješenja te jednadžbe u komplekni brojevi k + 3 k + 3 = 0 3 3 3 3 k = + i, k = i Odaberimo bilo koji od njih (recimo k ) pa odredimo njegov realni i imaginarni dio: a = Re(k ) = 3, b = Im(k ) = Opće rješenje promatrane obične diferencijalne jednadžbe (u lučaju kompleknih rješenja karakteritične jednadžbe) dano je formulom 3 [ co( ) in( )] a y = e C b + C b U tu formulu uvrtimo vrijednoti za a i b pa dobivamo: 3 3 3 y = e C co + C in Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 6 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Nepoznate kontante C i C izračunat ćemo koriteći početne uvjete U poljednju jednakot najprije uvrtimo = 0 i y = Dobivamo: 3 0 3 3 = e C co 0 + C in 0, = + 0, C = ( C C ) U natavku deriviramo izraz za y (kao derivaciju umnoška, tako je jednotavnije) pa dobijemo: 3 3 3 3 y ' = e C co + C in + 3 3 3 3 3 + e C in C co + U ovu jednakot ada uvrtimo = 0, y' = 0, C = Dobivamo: 3 3 0 = ( + 0) + (0 + C), 3 3 = C, C Stoga je traženo rješenje polazne obične diferencijalne jednadžbe: = 3 3 3 3 y = e co + 3 in Pove iti rezultat (ali uz nešto teže korake oko prepoznavanja inverza Laplaceova tranformata) dobili bimo i na drugi način 5 Zadana diferencijalna jednadžba ima oblik y' + P() y = Q() pa zaključujemo da e radi o nehomogenoj linearnoj običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda Da bimo je riješili, najprije moramo ''očitati'' funkcije P() i Q() Vidimo da je: Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 7 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA P ( ) =, Q( ) = Te funkcije uvrtimo u formulu za računanje općega rješenja nehomogene obične linearne diferencijalne jednadžbe reda: Dobivamo: Izračunajmo zaebno integral y ( ) d y = e Q( ) e P P( ) d d d = e e d d + C d + C On e rješava rabeći metodu uptitucije Stavimo t =, pa je dt = d, odnono d = dt Stoga je dt dt d = = = ln t = ln t = ln t t Zbog toga je i Prema tome, ( ) ( ) d ln ln e = e = e = =, d ln e = e = ( ) y = d + C, y = ( ( ) d C), + Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 8 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA ( ) y =, d d + C 3 y = C + 3 6 Zadani početni problem rješavamo rabeći Laplaceovu tranformaciju Pođimo od zadane obične diferencijalne jednadžbe Najprije u tablici Laplaceovih tranformata pronađemo čime trebamo zamijeniti y'', čime y', čime y, a čime funkciju na denoj trani te jednadžbe Imamo: y'' F() y(0) y'(0), y' F() y(0), y F(), Stoga zadana obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: F() y(0) y'(0) + F() y(0) + F() = U tu jednakot ada uvrtimo početne uvjete Dobivamo: y(0) =, y'(0) = F() + F() + F() =, F() F() + F() = + +, F() ( + + + ) =, + + F( ) = ( + ) Da bimo mogli odrediti inverz Laplaceova tranformata na denoj trani poljednje jednakoti, taj tranformat najprije moramo rataviti na parcijalne razlomke Budući da je izraz + ireducibilan nad R (jer pripadna kvadratna jednadžba ima komplekne nultočke), dobit ćemo dva razlomka U brojniku razlomka nazivnikom bit će kontanta (polinom tupnja 0), a u brojniku razlomka nazivnikom + bit će polinom tupnja Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 9 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Imamo redom: + + A B + C = +, ( + ) + + + = A + + B + C ( ) ( ), + + = A A + A + B + C, + + = A + B + C A + A ( ) ( ) Uporedbom koeficijenata lijeve i dene trane poljednje jednakoti dobivamo ljedeći utav triju linearnih jednadžbi tri nepoznanice: Njegovo je rješenje Tako mo dobili: A + B = C A = A = A =, B = 0, C = 3 + + 3 = + + + ( ) + + 3 = + ( + ) 3 + 4 Odredimo inverze Laplaceovih tranformata na denoj trani poljednje jednakoti Inverz od očitamo odmah u tablici: to je, 3 3 3 Izraz = = 3 + 3 3 + + 4 poeban je lučaj izraza b ( + a) + b e a t 3 (za a =, b = ) U tablici piše da je inverz toga Laplaceova tranformata 3 in( b t) Stoga je traženi inverz jednak 3 e in Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 30 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Konačno, traženo partikularno rješenje polazne obične diferencijalne jednadžbe je: 3 y = 3 e in + 7 Riješimo najprije zadanu običnu diferencijalnu jednadžbu Odmah uočavamo da je riječ o homogenoj linearnoj običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda Rješavamo je tako da najprije atavimo i riješimo pripadnu karakteritičnu jednadžbu U ovom lučaju ona glai: k + k = 0 Njezina u rješenja k = i k = 0 Ta dva rješenja u realna i različita pa e opće rješenje zadane obične diferencijalne jednadžbe dobije prema formuli y = C e + C e k k U tu formulu uvrtimo k = i k = 0 Dobivamo: y = C e + C Nepoznate kontante C i C odredit ćemo iz daljnjih uvjeta u zadatku To što krivulja prolazi točkom T(, ) znači da je y() = To što je koeficijent mjera tangente na krivulju u točki T jednak znači da je Zato u izraz najprije uvrtimo = i y = Dobivamo: Sad deriviramo izraz i dobijemo pa uvrtimo = i y' = Dobivamo: y'() = y = C e + C C e + C = y = C e + C y' = C e Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 3 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA C e = Odatle lijedi da je C = e Tu vrijednot uvrtimo u izraz pa dobijemo otkuda je C = 3 Dakle, tražena je krivulja: C e + C = + C =, y = 3 e 8 Riješimo najprije zadanu običnu diferencijalnu jednadžbu Budući da je riječ o nehomogenoj linearnoj diferencijalnoj jednadžbi reda, rješavamo je rabeći Laplaceovu tranformaciju Najprije u tablici Laplaceovih tranformata pronađemo čime trebamo zamijeniti y'', čime y', a čime broj na denoj trani te jednadžbe Imamo: y'' F() y(0) y'(0), y' F() y(0), Tako zadana obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: U ovu jednakot uvrtimo pa dobijemo: F() y(0) y'(0) + F() y(0) = y(0) = 0, y'(0) = F() + F() =, F() ( + ) = +, + F( ) =, ( + ) + F( ) = ( + ) Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 3 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Da bimo mogli odrediti inverz Laplaceova tranformata dene trane poljednje jednakoti, taj tranformat moramo rataviti na parcijalne razlomke Na temelju oblika nazivnika Laplaceova tranformata, zaključujemo da ćemo imati ukupno 3 razlomka čiji će brojnici biti kontante (polinomi tupnja 0) Imamo redom: + A B C = + +, ( + ) + + = A + + B + + C ( ) ( ), + = A + A + B + B + C, + = A + C + A + B + B ( ) ( ) Izjednačavanjem koeficijenata lijeve i dene trane poljednje jednakoti dobivamo ljedeći utav triju jednadžbi tri nepoznanice: Njegovo je rješenje Dobiveni ratav na parcijalne razlomke glai: A + C = 0 A + B = B = A =, B =, C = + = + + ( + ) + Sada možemo odrediti inverze Laplaceovih tranformata na denoj trani poljednje jednakoti Inverz od očitamo izravno iz tablice: to je Inverz od Izraz + također očitamo izravno iz tablice: to je poeban je lučaj izraza (za a = ) U tablici piše da je inverz toga a a jednak e Laplaceova tranformata jednak e a Stoga je pripadni inverz izraza Konačno, traženo partikularno rješenje polazne obične diferencijalne jednadžbe je: y = e + Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 33 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 9 Riješimo najprije zadanu običnu diferencijalnu jednadžbu Budući da je riječ o nehomogenoj linearnoj običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda, rješavamo je rabeći Laplaceovu tranformaciju Najprije u tablici Laplaceovih tranformata pronađemo čime trebamo zamijeniti y'', čime y, a čime izraz na denoj trani te jednadžbe Imamo: y'' F() y(0) y'(0), y F() e co( ) u tablici imamo izraz oblika e a co(b ) čiji je Laplaceov tranformat a pa tranformat od e co( ) dobivamo uvrštavanjem a =, b = u izraz ( a) + b a = ( a) + b ( ) + 4 + 5 Stoga polazna obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: U ovu jednakot uvrtimo početne uvjete: pa dobivamo: F() y(0) y '(0) + 4 F() = + 5 y(0) = 0 i y'(0) = 0 F() + 4 F() = + 5, F() ( + 4) = + 5, F( ) = ( + 5) ( + 4) Da bimo mogli odrediti inverz Laplaceova tranformata, razlomak na denoj trani poljednje jednakoti moramo rataviti na parcijalne razlomke Budući da u polinomi p() = + 5 i q() = + 4 ireducibilni nad kupom R (tj ne daju e rataviti na linearne faktore), imat ćemo ukupno parcijalna razlomka, ali polinomima tupnja u brojnicima Imamo redom: A + B C + D = +, + + + + ( 5) ( 4) 5 4 = A + B + + C + D + ( ) ( 4) ( ) ( 5), = A + B + A + B + C + D C D + C + D 3 3 4 4 5 5, Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 34 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA = A + C + B + D C + A D + C + B + D 3 ( ) ( ) (4 5 ) 4 5 Odavde izjednačavanjem koeficijenata dobivamo ljedeći utav od 4 jednadžbe 4 nepoznanice: A + C = 0 B + D C = 0 4 A D + 5 C = 4 B + 5 D = Iz prve jednadžbe je A = C Kad to uvrtimo u treću jednadžbu, dobivamo: odnono C D =, C = + D Tu jednakot ada uvrtimo u drugu jednadžbu pa dobivamo: B 3 D = Ta jednadžba zajedno a četvrtom jednadžbom utava odmah daje Stoga je i Tako mo dobili ljedeći ratav: 7 9 B =, D = 7 7 A =, C = 7 7 7 9 + = 7 7 + 7 7 ( + 5) ( + 4) + 5 + 4 Zapišimo dobiveni izraz za F() u ljedećem obliku: 9 F( ) = + 4 + 7 ( ) + 4 ( ) + 4 7 + 4 + 4 Odredimo inverze vakoga od četiriju Laplaceovih tranformata na denoj trani gornje jednakoti Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 35 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA a Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata jednak e a co(b ( a) + b ) Ovamo uvrtimo a = i b = pa dobijemo da je inverz izraza ( ) jednak e + 4 co( ) b Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata jednak ( a) + b a e in( b ) Ovamo uvrtimo a = i b = pa dobijemo da je inverz izraza ( ) + 4 jednak e in( ) Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata jednak co(a ) Ovamo + a uvrtimo a = pa dobijemo da je inverz izraza jednak co( ) + 4 a Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata jednak in( a ) Ovamo + a uvrtimo a = pa dobijemo da je inverz izraza jednak in( ) + 4 Stoga je rješenje promatranoga Cauchyjeva problema: 9 y = e co( ) 4 e in( ) co( ) in( ) 7 + 0 Riješimo najprije zadanu diferencijalnu jednadžbu Budući da je riječ o nehomogenoj linearnoj diferencijalnoj jednadžbi reda, rješavamo je rabeći Laplaceovu tranformaciju Najprije u tablici Laplaceovih tranformata pronađemo čime trebamo zamijeniti y'', čime y, a čime izraz na denoj trani te jednadžbe Imamo: y'' F() y(0) y'(0), y F(),, Stoga polazna obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 36 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA U ovu jednakot uvrtimo početne uvjete F() y(0) y '(0) + F() = + y(0) = 0, y'(0) = 0 pa dobijemo: + F() + F() =, F() ( + + ) =, + F( ) = ( + ) Da bimo odredili inverz ovoga Laplaceova tranformata, razlomak na denoj trani moramo rataviti na parcijalne razlomke Zbog ireducibilnoti izraza + nad R (tj taj izraz ne možemo rataviti na linearne faktore) imat ćemo ukupno 3 parcijalna razlomka, od kojih će dva u brojniku imati kontante, a treći polinom tupnja Imamo redom: + A B C + D = + +, ( + ) + + = A + + B + + C + D ( ) ( ) ( ), + = A + A + B + B + C + D 3 3, + = A + C + B + D + A + B 3 ( ) ( ) Odavde izjednačavanjem koeficijenata dobivamo ljedeći utav od 4 jednadžbe 4 nepoznanice: Njegovo je rješenje A + C = 0, B + D = 0, A =, B = Zbog toga je A =, B =, C =, D = Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 37 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA + F() = + = + + + + Odredimo inverze četiriju Laplaceovih tranformata dene trane poljednje jednakoti Inverz Laplaceova tranformata očitamo iz tablice: to je Inverz Laplaceova tranformata također očitamo iz tablice: to je Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata + a jednak co(a ) Ovamo uvrtimo a = pa dobijemo da je inverz Laplaceova tranformata + jednak co( ) a Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata + a jednak in(a ) Ovamo uvrtimo a = pa dobijemo da je inverz Laplaceova tranformata + jednak in( ) Stoga je konačno rješenje promatranoga Cauchyjeva problema: y = + co( ) in( ) Riješimo najprije zadanu diferencijalnu jednadžbu Budući da je riječ o nehomogenoj linearnoj diferencijalnoj jednadžbi reda, rješavamo je rabeći Laplaceovu tranformaciju Najprije u tablici Laplaceovih tranformata pronađemo čime trebamo zamijeniti y'', čime y', čime y, a čime izraz na denoj trani te jednadžbe Imamo: y'' F() y(0) y'(0), y' F() y(0), y F(), Stoga polazna obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: F() y(0) y '(0) + 6 [ F() y(0)] + 9 F() = Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 38 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA U poljednju jednakot uvrtimo početne uvjete y(0) = 0 i y'(0) = pa dobivamo: F() + + 6 F() + 9 F() = F() ( + 6 + 9) =, + F( ) = = ( + 6 + 9) ( + 3) Da bimo mogli odredili inverz ovoga Laplaceova tranformata, razlomak na denoj trani moramo rataviti na parcijalne razlomke Na temelju oblika nazivnika zaključujemo da ćemo imati ukunpo 4 razlomka od kojih će vaki u brojniku imati kontantu Imamo redom: + A B C D = + + + ( + 3) + 3 ( + 3) + = A ( + 3) + B ( + 3) + C ( + 3) + D, 3 + = A ( + 6 + 9) + B ( + 6 + 9) + C + 3 C + D, 3 + = A + C +, 3 3 + = A + 6 A + 9 A + B + 6 B + 9 B + C + 3 C + D, ( ) ( 6 A + B + 3 C + D) + (9 A + 6 B) + 9 B Odavde izjednačavanjem koeficijenata dobivamo ljedeći utav od 4 jednadžbe 4 nepoznanice: Njegovo je rješenje: A + C = 0 6 A + B + 3 C + D = 9 A + 6 B = 0 9 B =, Stoga je 8 A =, B =, C =, D = 7 9 7 9 8 F ( ) = + + 7 9 7 + 3 9 ( + 3) Odredimo inverz vakoga od četiriju Laplaceovih tranformata na denoj trani poljednje jednakoti Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 39 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Inverz Laplaceova tranformata očitamo iz tablice: to je Inverz Laplaceova tranformata također očitamo iz tablice: to je Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata jednak e a Ovamo a uvrtimo a = 3 pa dobijemo da je inverz Laplaceova tranformata jednak e 3 + 3 Iz tablice ''pročitamo'' da je inverz Laplaceova tranformata jednak e a Ovamo ( a) uvrtimo a = 3 pa dobijemo da je inverz Laplaceova tranformata jednak e 3 ( + 3) Stoga je konačno rješenje promatranoga Cauchyjeva problema: 8 y = + + e e 7 9 7 9 3 3 Iz prve zagrade izlučimo, a iz druge y Tako dobivamo: (y + ) d + y ( ) dy = 0, Uočimo da na lijevoj trani imamo izraz oblika F () G (y) d + F () G (y) dy = 0, gdje je F () =, G (y) = y +, F () =, G (y) = y Zaključujemo da je polazna jednadžba obična diferencijalna jednadžba reda a epariranim varijablama Formula za određivanje rješenja te jednadžbe glai: G ( y) F ( ) = C F ( ) dy d + G ( y) U tu jednakot uvrtimo F () =, G (y) = y +, F () =, G (y) = y, pa dobivamo: dy = d + C y y + (Tu mo minu ipred integrala na denoj trani ''ubacili'' u nazivnik, odnono ''pretvorili'' ( ) u ( )) Izračunajmo zaebno vaki od tih dvaju integrala: Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 40 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA y dt dt dy = uptitucija:, t = y + dt = y dy y dy = dt = = = y + t t = (tablični integral) = ln t = ln( y + ) dt d = uptitucija: t, dt d d dt = = = = = t = (tablični integral) = ln t = ln( ) Na objema tranama jednakoti pojavili u e prirodni logaritmi Da bimo što više pojednotavnili dobiveni izraz, ikoritit ćemo bijektivnot logaritamke funkcije, tj činjenicu da za vaki C R potoji jedintven trogo pozitivan realan broj C 0, + takav da je C = ln C (Broj C čak je moguće efektivno i izračunati: C = e C ) Tako dobivamo: y + = + C C > ln( ) ln( ) ln, 0 ln( y + ) = ln( ) + ln C, C > 0 ln( y + ) = ln ( ) + ln C, C > 0 y + = C ( ), C > 0 y y y y C + =, C > 0 C =, C > 0 C = > C + =, C > 0 ( ), C 0 + C + C y = =, C > 3 Najprije prebacimo e na denu tranu: y' + y = e, Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 4 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA pa podijelimo dobivenu jednadžbu Dobit ćemo: e y' + y = Dobivena jednadžba je nehomogena linearna obična diferencijalna jednadžba reda oblika: y' + P() y = Q() Njezino e opće rješenje određuje prema formuli: y = e Q( ) e d + C P( ) d P( ) d Dakle, najprije moramo ''očitati'' funkcije P() i Q() Funkcija P() je funkcija koja ''množi'' y Dakle, P() = Funkcija Q() je ''lobodni član'', ona ''toji ama'' na denoj trani jednadžbe Dakle, e Q() = Preotaje uvrtiti te funkcije u formulu za određivanje općega rješenja Imamo redom: d e d y = e e d + C, e ln ln y = e e d + C, ln( ) e ln y = e e d + C Sada ikoritimo činjenicu da je e ln =, za vaki > 0, pa dobivamo: pa je konačno: e y = d + C, y = ( e d + C) e C y = + Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 4 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 4 Zadana obična diferencijalna jednadžba je homogena linearna diferencijalna jednadžba reda kontantnim koeficijentima Stoga najprije napišemo i riješimo pripadnu karakteritičnu jednadžbu: k k = 0 Rješenja te jednadžbe u k = 0, k = Ta dva rješenja u realni brojevi i međuobno u različiti Stoga je opće rješenje polazne obične diferencijalne jednadžbe: y = C e + C e 0 0 y = C e + C e y = C + C e 5 Riječ je o nehomogenoj linearnoj diferencijalnoj jednadžbi reda kontantnim koeficijentima Takvu jednadžbu rješavamo pomoću Laplaceove tranformacije Koritimo tablicu Laplaceovih tranformata U njoj piše čime trebamo zamijeniti y'', čime y, a čime co( ) Dakle, y'' F() y(0) y'(0), y F() co() (f () = co(a ), a = ), + 4 Tako polazna obična diferencijalna jednadžba prelazi u algebarku jednadžbu: F y y F ( ) (0) '(0) + 5 ( ) = + 4 U zadatku u nam zadane vrijednoti y(0) =, y'(0) = 0 pa ih uvrtimo u dobivenu jednakot Dobivamo: ( ) 0 + 5 ( ) =, + 4 ( ) + 5 ( ) = + 4 F F F F Sada ve članove na lijevoj trani koji ne adrže F() prebacimo na denu tranu Imamo amo jedan takav član: to je Dobivamo: ( ) 5 ( ), + 4 F + F = + Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 43 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Sada na lijevoj trani ''izlučimo'' F(): F F F F F F 3 + + 4 ( ) + 5 ( ) = + 4, ( ) + 5 3 + 5 ( ) =, + 4 ( ) + 5 ( + 5) ( ) = + 4 Dijeljenjem a + 5 dobivamo + F( ) ( + 5) = + 4 ( 5) F() = + 4 U drugom tupcu tablice Laplaceovih tranformata naći ćemo funkciju oblika Sada + a amo treba ''prepoznati'' da je a = i uvrtiti taj broj u funkciju zapianu u itom retku, ali u prvom tupcu Tamo piše co(a ) Dakle, konačno rješenje je: y = co( ) 6 Podijelimo vaki član zadane jednadžbe a 4 Korištenjem formule za razliku kvadrata dobivamo jednadžbu: 4 = ( ) ( + ) y ' + y = + 4 Dobili mo običnu diferencijalnu jednadžbu oblika: y' + P() y = Q() To je nehomogena linearna obična diferencijalna jednadžba reda Da bimo je riješili, moramo ''očitati'' funkcije P() i Q() U ovome je lučaju Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 44 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA P( ) =, Q( ) = + 4 Uvrtimo te dvije funkcije u formulu za računanje rješenja nehomogene linearne obične diferencijalne jednadžbe reda: pa dobijemo: Nađimo najprije neodređeni integral y = e Q( ) e d + C, P( ) d P( ) d d + d 4 4 y = e e d + C Računamo ga uz zamjenu: 4 d t = 4, dt = d Tako dobivamo tablični integral pa je dt = ln t t d = 4 ln( 4) Upravo izračunani integral uvrtimo u jednakot d + d 4 4 y = e e d + C pa dobivamo: ln( 4) + ln( 4) y = e e d + C Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 45 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Sada koritimo jednakoti: pa imamo: ( ) ( ln 4) ln 4 ln( 4) e = e = ( 4) =, e = 4 4 + y = ( 4) d + C, 4 + y = ( ) ( + ) d + C ( ) ( + ) y = ( ( + ) d + C) ( )( + ) Integral ( + ) najbrže računamo pomoću uptitucije t = +, dt = d Tako dobivamo integral: d pa je toga Konačno je: ( + ) t dt = t 3 3 3 d = ( + ) 3 ( ) 3, y = ( )( ) 3 + + + C pa množenjem i kraćenjem dobijemo traženo opće rješenje: ( + ) C y = + 3 ( ) ( ) ( + ) 7 Podijelimo najprije zadanu jednadžbu a tg Dobivamo: y ' = y, tg Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 46 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA y ' = (ctg ) y Dobili mo običnu diferencijalnu jednadžbu oblika y' = f() g(y) U ovom je lučaju f() = ctg, g(y) = y Riječ je o običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda a epariranim varijablama Formula za određivanje rješenja te jednadžbe (zapiane u ovom obliku) glai: dy f ( ) d C g( y ) = + U tu jednakot ada uvrtimo f() = ctg, g(y) = y Dobivamo: dy = ctg d + C, y ln y = ln(in ) + C Ponovno ikoritimo činjenicu da za vaki realan broj C R potoji trogo pozitivan realan broj C takav da je C = ln C (Broj C lako je i izravno izračunati: C = e C ) Tako ada imamo: Odatle je ln y = ln(in ) + ln C, ln y = ln[c (in )] y = C in, C > 0 8 Polaznu običnu diferencijalnu jednadžbu najprije zapišemo u obliku y'' + y' 6 y = 0 Dobivena jednadžba je homogena linearna obična diferencijalna jednadžba reda kontantnim koeficijentima Najprije atavimo i riješimo pripadnu karakteritičnu jednadžbu Ona glai: k + k 6 = 0 Njezina u rješenja k = 3 i k = Ta dva broja u realni brojevi i međuobno različiti Stoga je opće rješenje dano formulom: y = C e + C e k k Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 47 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA U tu formulu uvrtimo k = 3 i k = Dobivamo: y = C e 3 + C e 9 Riječ je o nehomogenoj linearnoj običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda kontantnim koeficijentima Takvu jednadžbu rješavamo koriteći Laplaceovu tranformaciju U tablici Laplaceovih tranformata piše čime treba zamijeniti y'', čime y', a čime funkciju na denoj trani prve jednakoti Imamo: y'' F() y(0) y'(0), y' F() y(0), y F() (uvijek!), 4 (4 prepišemo, a tranformiramo) 4 Sada dobivene izraze uvrtimo u prvu jednakot Dobivamo: 4 = 4 ( ) (0) '(0) 4 ( ( ) (0)) + 4 ( ) = F y y F y F U ovu jednakot uvrtimo y(0) = i y'(0) = Sve članove na lijevoj trani koji ne adrže F() (to u, i +4) prebacimo na denu tranu Iz preotalih članova na lijevoj trani izlučimo F() Dobivamo: 4 F 3 3 + 4 F( ) ( ) = 3 3 + 4 F( ) = ( ) ( ) ( 4 + 4) = + 3, Razlomak na denoj trani ratavimo na parcijalne razlomke Na temelju oblika njegova nazivnika zaključujemo da ćemo imati ukupno 4 razlomka U brojniku vakoga od njih bit će kontanta, tj polinom tupnja 0 Dobivamo: 3 3 4 A B C D + = + + + ( ) ( ) 3 3 + 4 = A ( ) + B ( ) + C ( ) + D, 3 3 3 + 4 = A ( 4 + 4) + B ( 4 + 4) + C C + D,, Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 48 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA 3 3 3 3 + 4 = A 4 A + 4 A + B 4 B + 4 B + C C + D, 3 3 + = A + C + A + B C + D + A B + B 3 4 ( ) ( 4 ) (4 4 ) 4 Izjednačavanjem koeficijenata uz ite potencije od na lijevoj i denoj trani dobije e utav: A + C = 4 A + B C + D = 3 4 A 4 B = 0 4 B = 4 Iz četvrte jednadžbe izravno lijedi B = Uvrštavanjem B = u treću jednadžbu dobivamo A = A = uvrtimo u prvu jednadžbu pa dobivamo C = 0 Konačno, uvrštavanjem A =, B =, C = 0 u drugu jednadžbu nalazimo D = 0 Dakle, A = B =, C = D = 0 pa lijedi da je F ( ) = + (Iti rezultat može e dobiti brže i kraće tako da e uoči da je = rješenje jednadžbe Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 49 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb 3 3 + 4 = 0 Stoga je polinom p () = 3 3 + 4 djeljiv polinomom p () = Prema potupku za dijeljenje polinoma dobiva e 3 3 + 4 = ( ) ( ), odnono, nakon ratava izraza u faktore, Tako je 3 3 + 4 = ( + ) ( ) ( + ) ( ) F( ) =, ( ) + F( ) =, F( ) = +, F( ) = + )
MATEMATIKA Sada te dvije funkcije pronađemo u drugom tupcu tablice Laplaceovih tranformata i pogledamo što e nalazi u itom retku, ali u prvom tupcu U ''paru'' a je, a u ''paru'' a je Dakle, traženo rješenje je y = + 30 Najprije pomnožimo zadanu jednadžbu a y'' Dobivamo: ''Prebacimo'' y'' a dene trane na lijevu: y' y = y'' y' y y'' = 0, pa tu jednadžbu pomnožimo ( ) i poredamo članove prema redu derivacije (od najvećega do najmanjega) Dobivamo: y'' y' + y = 0 Dobili mo homogenu linearnu običnu diferencijalnu jednadžbu reda kontatnim koeficijentima Da bimo je riješili, najprije atavimo i riješimo pripadnu karakteritičnu jednadžbu Ona glai: Riješimo tu kvadratnu jednadžbu: k k + = 0 ± 4 ± 4 8 ± 4 ± 4 ± i k, = = = = = = ± i = ± i 4 4 4 4 4 4 Dakle, rješenja u k = + i, k = i Ta dva broja u komplekni brojevi pa za natavak rješavanja zadatka odaberemo npr k = + i Očitamo realni dio (označimo ga a) i imaginarni dio( označimo ga b) toga kompleknoga broja: a = Re(k ) =, b = Im(k ) = Izračunane vrijednoti uvrtimo u formulu za opće rješenje koja u ovom lučaju glai: [ co( ) in( )] a y = e C b + C b Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 50 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
MATEMATIKA Tako dobivamo traženo rješenje: y = e C co( ) + C in( ), y = e C co + C in 3 Jednadžbu najprije pomnožimo a ( ) pa je zapišemo u ljedećem obliku: y' y ctg = in Dobili mo običnu diferencijalnu jednadžbu oblika y' + P() y = Q() To je nehomogena linearna obična diferencijalna jednadžbi reda Da bimo je riješili, najprije moramo ''očitati'' pripadne funkcije P() i Q() Funkcija P() ''množi'' nepoznanicu y, a funkcija Q() je ''lobodni član'', tj izraz na denoj trani jednadžbe U ovome je lučaju: P() = ctg, Q() = in Uvrtimo te dvije funkcije u formulu za određivanje općega rješenja nehomogene linearne obične diferencijalne jednadžbe reda: Dobivamo: P( ) d P( ) d y = e Q( ) e d + C Ikoritimo jednakoti: ctg d ctg d y = e in e d C +, ctg d ctg d y = e in e d C +, ( ) ln(in ) ln(in ) y = e e d + C in Zbog toga je e -ln in = e ln(in ) e ln (in ) = in, = (in ) =, za in > 0 in Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 5 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb
i konačno ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA y = in in d + C, in ( ) y = in in d + C, y = in ( co + C), y = in co C in 3 Podijelimo lijevu i denu tranu jednadžbe umnoškom y Dobivamo: ( ) ( + ) y ' = y Prema formuli za razliku kvadrata, umnožak u brojniku jednak je Sada poljednju jednakot zapišimo u ljedećem obliku: y' = y Vidimo da mo dobili diferencijalnu jednadžbu oblika y' = f() g(y) gdje je f() =, a g( y) = Riječ je o običnoj diferencijalnoj jednadžbi reda a y epariranim varijablama Opće rješenje te jednadžbe (zapiane u gornjem obliku) određuje e iz jednakoti: dy = C g( y) f ( ) d + Uvrtimo u tu jednakot f() =, g( y) = y pa dobivamo: dy = d + y C, d y dy = d + C, Bojan Kovačić & Dražen Blanuša 5 Tehničko veleučilište Elektrotehnički odjel, Zagreb