RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA OD - PRIMJENA NA PRAVOKUTNI TROKUT - PRIMJENA U PLANIMETRIJI 1
.3. LOGARITAMSKA FUNKCIJA.3.1 Logaritamska funkcija.3. Graf logaritamske funkcije.4 SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE.4.1 Svojstva logaritamske funkcije.4.1.1 Riješeni zadaci.4. Promjena baze logaritamske funkcije.4..1 Riješeni zadaci
4.1. DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 4.. VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA OD 4..1 Trigonometrijske funkcije kuta od 4.. Trigonometrijske funkcije kuta od 4..3 Trigonometrijske funkcije kuta od 4.3. PRIMJENA NA PRAVOKUTNI TROKUT 4.3.1 Hipotenuza i jedan šiljasti kut 4.3. Kateta i jedan šiljasti kut 4.3.3 Hipotenuza i jedna kateta 4.3.3 Dvije katete 4.4. PRIMJENA U PLANIMETRIJI 4.4.1 Jednakokračan trokut 4.4.. Pravilni mnogokuti 4.4.3 Kružnica i krug 4.4.4 Četverokuti 4.4.4.1 Paralelogram 4.4.4. Romb 4.4.4.3 Trapez 3
.3.1 Logaritamska funkcija Logaritamska funkcija po bazi a je pridruživanje. odnosno pozitivnom realnom broju x pridružuje se njegov logaritam..3. Graf logaritamske funkcije 4
.4 SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE.4.1 Svojstva logaritamske funkcije.4.1.1 Riješeni zadaci Zadaci.4. 1. Izračunati bez upotrebe džepnog računala: 1)
4) 6) 6
Koliko je log 1 log log 18 log 0. log 1 log 18 log 0, log 3 log 3 log 1 log log log 1 3 log log log log 3 log 3 log 0 log log log 3 log log 1 18 log log 3 log log 0. log log 3 log log log 3 log 3 1 7
. Skrati razlomak: 1) 8
11. Izrazi: ) pomoću Kako izraziti broj 9, a da u sebi sadrži višekratnik broja dva i broj 36 koji se nalazi u bazi logaritma? 1. Ako je, koliki je 9
8. Koliko je: 4) 10
.4. Promjena baze logaritamske funkcije Veza logaritama po različitim bazama Ako je i te x bilo koji pozitivan broj, tad vrijedi:.4..1 Riješeni zadaci Primjer 1: Riješite slijedeće zadatke koristeći formulu za vezu logaritama po različitim bazama: Sljedeće logaritme pretvoriti u logaritam po bazi dva: 1) a= 4 b= x= 1 11
) 1
11. Izrazi: 1) pomoću 13
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA OD - PRIMJENA NA PRAVOKUTNI TROKUT - PRIMJENA U PLANIMETRIJI 14
4.1. DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 4.. VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA OD 4..1 Trigonometrijske funkcije kuta od 4.. Trigonometrijske funkcije kuta od 4..3 Trigonometrijske funkcije kuta od 4.3. PRIMJENA NA PRAVOKUTNI TROKUT 4.3.1 Hipotenuza i jedan šiljasti kut 4.3. Kateta i jedan šiljasti kut 4.3.3 Hipotenuza i jedna kateta 4.3.3 Dvije katete 4.4. PRIMJENA U PLANIMETRIJI 4.4.1 Jednakokračan trokut 4.4.. Pravilni mnogokuti 4.4.3 Kružnica i krug 4.4.4 Četverokuti 4.4.4.1 Paralelogram 4.4.4. Romb 4.4.4.3 Trapez 1
4.1. DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA B c a A b C Trigonometrijske funkcije za kut 16
Trigonometrijske funkcije za kut 17
4.. VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA KUTOVA OD 4..1 Trigonometrijske funkcije kuta od 18
4.. Trigonometrijske funkcije kuta od 4.. Trigonometrijske funkcije kuta od 19
4.3. PRIMJENA NA PRAVOKUTNI TROKUT Pravokutni trokut može se zadati na slijedeći način: 1. Hipotenuza i jedan šiljasti kut. Kateta i jedan šiljasti kut 3. Hipotenuza i jedna kateta 4. Dvije katete 4.3.1 Hipotenuza i jedan šiljasti kut B a C c b A - Kako izabrati potrebnu trigonometrijsku funkciju da bi dobili a katetu? 1. Uočimo da je a kateta nasuprot zadanog kuta. 0
Koja trigonometrijska funkcija sadrži katetu a?. Sinus trigonometrijska funkcija - Kako izabrati potrebnu trigonometrijsku funkciju da bi dobili b katetu? 1. Uočimo da je b kateta uz zadani kut. - Koja trigonometrijska funkcija sadrži katetu b?. Kosinus trigonometrijsku funkciju: Površina trokuta: 1
4.3. Kateta i jedan šiljasti kut B a C c b A - Kako izabrati potrebnu trigonometrijsku funkciju da bi dobili a katetu? 1. Uočimo da je a kateta nasuprot zadanog kuta, ali je nepoznata hipotenuza c. - Koja trigonometrijska funkcija sadrži katetu a, a ne sadrži hipotenuzu c?. Tangens trigonometrijsku funkciju:
Kako izabrati potrebnu trigonometrijsku funkciju da bi dobili c hipotenuzu? 1. Uočimo da je zadana kateta b koja se nalazi uz zadani kut, a hipotenuza c tražimo. - Koja trigonometrijska funkcija sadrži hipotenuzu c i katetu b?. Kosinus trigonometrijsku funkciju: - Kako izabrati potrebnu trigonometrijsku funkciju da bi dobili a katetu? 1. Uočimo da je a kateta nasuprot zadanog kuta, ali je nepoznata hipotenuza c. - Koja trigonometrijska funkcija sadrži katetu a, a ne sadrži hipotenuzu c?. Tangens trigonometrijsku funkciju: 3
- Kako izabrati potrebnu trigonometrijsku funkciju da bi dobili c hipotenuzu? 1. Uočimo da je zadana kateta b koja se nalazi uz zadani kut, a hipotenuza c tražimo. - Koja trigonometrijska funkcija sadrži hipotenuzu c i katetu b?. Kosinus trigonometrijsku funkciju:. Sinus trigonometrijsku funkciju: - Pošto je zadana kateta a i hipotenuza c kako naći katetu b? Površina trokuta: 4
4.3.3 Dvije katete B a c C b A - Kako izabrati potrebnu trigonometrijsku funkciju da bi dobili kut, iz zadanih podataka katete a i katete c? 1. Uočimo da se zadana kateta a nalazi nasuprot nepoznatog kuta i da je zadana kateta b. - Koju trigonometrijsku funkcija trebamo upotrebiti?. Tangens trigonometrijsku funkciju: - Pošto je zadana kateta a i kateta b kako naći hipotenuzu c?
Površina trokuta: 6
4.4. PRIMJENA U PLANIMETRIJI Planimetrijske problema rješavamo tako što veze između osnovnih elemenata lika nalazimo iz pogodno odabranog pravokutnog trokuta (trigonometrije). 4.4.1 Jednakokračan trokut Kod jednakokračnog trokuta dvije stranice (krakovi) su jednaki. Kutovi uz osnovicu su jednaki i označavamo ih s β, a kut nasuprot osnovice je. Visina spuštena iz vrha A (nasuprot osnovici) dijeli kut na dva jednaka dijela. α+β = 180 A c v b B a a C 7
A c v B a 8
9
4.4.. Pravilni mnogokuti Spajanjem središta pravilnog mnogokuta s njegovim vrhovima dobivamo n sukladnih jednakokračnih trokuta. n-jednakokračnih trokuta: S r r A a a B - Kako dobiti unutarnji kut? - Kada imamo zadan polumjer r opisane kružnice da li su to krakovi jednakokračnog trokuta? Da. 30
Kada imamo jednakokračni trokut ne možemo primijeniti trigonometriju pravokutnog trokuta jer nema pravi kut. Jednakokračni trokut se sastoji od dva pravokutna trokuta. 4.4.3 Kružnica i krug Kružnica polumjera r, tetiva kružnice koja pripada središnjem kutu. r s r A B 31
Kružnica polumjera r, tetiva kružnice koja pripada obodnom kutu. V obodni kut s A B Kružnica opisana trokutu: A s r B C 3
4.4.4 Četverokuti 4.4.4.1 Paralelogram Stranice paralelograma a, b i njihov unutarnji kut. D a C b v b A a B Površina paralelograma: Stranice paralelograma a, b, dijagonale, kut koji zatvaraju dijagonala 33
D a C b b S a b b A a B 34
4.4.4. Romb Stranice a, dijagonale e i f, jedan kut romba. D f C e a A a B Površina romb: 4.4.4.3 Trapez D c C b v b A E a B 3
Površina romb: 36