Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου, απόδειξη σελίδα 99. Α.. α) Ψευδής. β) Σχολικό βιβλίο σελίδα 35: Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι - αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως η, 0 συνάρτηση: g() = {, > 0 A.3. Θεωρία σχολικού βιβλίου, Θεώρημα σελίδα 6. Α.4. α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό Θέμα Β B. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R {0} ως πράξεις μεταξύ συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () = ( 4 ) = () ( 4 ) = 4 ( ) = + 8 3, 0
Έχουμε: f () = 0 8 3 = 3 = 8 = f () > 0 8 3 > 8 3 + > 0 8 + 3 3 > 0 3 ( 3 + 8) > 0 3 ( + )( + 4) > 0 και το + 4 έχει Δ < 0 συνεπώς + 4 > 0, για κάθε R Επομένως, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας προσήμων: 0 + 3 + + + + + 4 + + + ΓΙΝ + + Τελικά f () > 0 για (, ) (0, + ) f () < 0 για (,0) και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας μονοτονίας ακροτάτων: 0 + f () + + f() Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα: (, ], (0, + ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,0). Επίσης, παρουσιάζει στη θέση =, τοπικό μέγιστο το f( ) = 3. B. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R {0} ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων f () = ( + 8 3) = 4 4 < 0 για κάθε R {0}
Άρα η f είναι κοίλη στα διαστήματα (, 0) και (0, + ) και δεν παρουσιάζει σημείο καμπής στο R {0}. 0 + f f B3. Ελέγχουμε την f για κατακόρυφη ασύμπτωτη στο = 0. lim f() ( 4 0 0 ) ( 4 0 ) = 0 4 (+ ) = αφού lim 0 = 0 και > 0 για κάθε 0 κοντά στο 0, οπότε lim 0 lim f() 0 + 0 +( 4 ) ( 4 0 + ) = 0 4 (+ ) = Αφού lim 0 + = 0 και > 0 για κάθε 0 κοντά στο 0, οπότε lim 0 + Οπότε η = 0 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. Ελέγχουμε την f για ασύμπτωτες στα και +. = = + f() lim 4 3 4 3 4 3 3 3 = = λ lim [f() λ] = 4 lim = 0 = β [f() ] [ 4 ] = lim ( 4 ) Άρα η y = λ + β y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο. f() lim + + lim [f() λ] + 4 + [f() ] + 3 4 3 4 + 3 [ 4 + ] = + 3 3 = = λ Άρα η y = λ + β y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +. lim 4 = 4 lim + = 0 = β Οπότε η C f δεν παρουσιάζει οριζόντια ασύμπτωτη στο ή στο + εφόσον παρουσιάζει πλάγια. β τρόπος για τις πλάγιες ασύμπτωτες: Είναι: f() = 4. Επειδή: lim ( 4 ± ) = 0 θα είναι και lim y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο + και στο. ± (f() ) = 0, οπότε η
B4. Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει η γραφική παράσταση: Θέμα Γ Γ. Η πλευρά του τετραγώνου είναι α = 4 m και το εμβαδόν του Ε () = 6, (0,8). Το μήκος του κύκλου είναι 8 m, άρα για την ακτίνα του ισχύει πρ = 8 ρ = 8 και το εμβαδόν του Ε () = π ( 8 π ) 64 6 + = π 4π = 6 + 64 4π Επομένως, Ε() = π + 4 64 + 56 6π, (0,8) = (π + 4) 64 + 56, (0,8) 6π π m Γ. H E είναι παραγωγίσιμη στο (0,8) με Ε () = Θέτουμε: (π + 4) 64 6π Ε () = 0 = 3 π + 4, (0,8) και προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας μονοτονίας ακροτάτων:
0 3 π + 4 Ε () + 8 Ε() ολ. ελαχ. Συνεπώς η Ε παρουσιάζει ελάχιστο στο = 3 π+4 δ = ρ = 8 3 π + 4 8(π + 4) 3 8π = = π π(π + 4) π(π + 4) = 8 π + 4 m m. Για την τιμή αυτή ισχύει α = 8 Τελικά, για = 3 m η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου. π+4 π+4 m και Γ3. Έχουμε ότι : 6 lim E() = + 0 π lim 8 E() = 4 3 Ε ( 3 (π + 4) π + 4 ) = (π + 4) 64 3 π + 4 + 56 = 6π = 3 64 3 + 56(π + 4) 6π(π + 4) = 64 + 6π + 64 π(π + 4) = = 6π π(π + 4) = 6 π + 4 6[64 8 + 6(π + 4)] 6π(π + 4) Επειδή η Ε είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ = (0, ], π+4 ισχύει E(Δ ) = [E ( 3 ), lim 6 E()) = [, 6 ). π+4 + π+4 π 0 Επειδή η Ε είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ = [ 3 π+4, 8), ισχύει E(Δ ) = [E ( 3 ), lim 6 E()) = [, 4). π+4 π+4 8 Αφού 6 π > 5, ισχύει 5 E(Δ ) και η εξίσωση Ε() = 5 έχει μοναδική ρίζα στο Δ επειδή η Ε είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Αφού 5 Ε(Δ ), η εξίσωση Ε() = 5 δεν έχει ρίζα στο Δ. Άρα, υπάρχει ένας μόνο τρόπος ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5m. = 3
Θέμα Δ Δ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f () = e a = (e a ) για κάθε R. H f είναι παραγωγίσιμη στο R με f () = (e a ) για κάθε R. f () = 0 e a = 0 e a = e 0 a = 0 = a f () < 0 e a < 0 e a < e 0 a < 0 < a f () > 0 e a > 0 e a > e 0 a > 0 > a Επειδή η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν της θέσης = a και ορίζεται εφαπτομένη της C f στη θέση αυτή το Κ(a, f(a)) δηλαδή το Κ(a, a ) είναι σημείο καμπής της C f a + f () + f() Δ. Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = (, a] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ = [α, + ). Επειδή η f είναι συνεχής στο R ισχύουν: f (Δ ) = [f (a), lim f ()) = [ a, + ) και f (Δ ) = [f (a), lim + f ()) = [ a, + ), αφού: lim + f () ( + e a ) = lim + (e a ( lim + e α + e e α)) = +, εφόσον: α = 0, με χρήση του κανόνα D. L. H. για απροσδιόριστη μορφή «+ Επειδή 0 f (Δ ) και 0 f (Δ ) υπάρχουν μοναδικοί (, a) και (α, + ) τέτοιοι ώστε να ισχύει f ( ) = 0 και f ( ) = 0 αφού η f είναι γνησίως μονότονη στα διαστήματα Δ και Δ. Για κάθε < ισχύει f () > f ( ) και f () > 0 Για κάθε < < a ισχύει f ( ) > f () και f () < 0 Οπότε η f παρουσιάζει στη θέση τοπικό μέγιστο το f( ) όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Για κάθε a < < ισχύει f () < f ( ) και f () < 0 Για κάθε > ισχύει f () > f ( ) και f () > 0 Οπότε η f( ) όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: +».
a + f () + + f() Τοπικό Μέγιστο Τοπικό Ελάχιστο Δ3. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ = [a, ], οπότε: f(δ) = [f( ), f(a)] = [f( ), a ] Αρκεί να αποδείξουμε ότι f() f(δ), δηλαδή: f() > a e a > a e a + α 3 > 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση: h() = e + 3, με και h() = 0. H h είναι παραγωγίσιμη στο [, + ) με h () = e +. Για κάθε > ισχύει: < < 0 e <, εφόσον η e είναι γνησίως αύξουσα, οπότε έχουμε: e > e + > Οπότε: h () > ( ) > 0, για κάθε >. Άρα, η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, + ) και η = είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης h() = 0. Για κάθε > h() > h() h() > 0. Άρα h(a) > 0 e a + a 3 > 0, για κάθε a >. β τρόπος: Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει 0 (a, ) τέτοιο ώστε να ισχύει: f( 0 ) = f() τότε από εφαρμογή του Θ. Rolle για τη συνάρτηση f στο διάστημα (, 0 ) εξασφαλίζουμε ένα τουλάχιστον ξ (, 0 ) ώστε να ισχύει: f (ξ) = 0, το οποίο είναι άτοπο γιατί ισχύει η παρακάτω διάταξη: < < a < ξ < 0 <. Απόδειξη του ισχυρισμού <, αφού η ανίσωση: ξ < 0 < είναι προφανής. Ισχύουν: f ( ) = 0 και f () = (e a ) < 0, αφού a >. Άρα, έχουμε: f ( ) > f () και εφόσον f γνησίως φθίνουσα στο (, a) ισχύει: <. Δ4. Για α = ισχύει f() = e, R με f () = e για κάθε R. H εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο K(, ) έχει εξίσωση (ε): y f() = f () ( ), όπου f() = και f () =
(ε): y + = ( ) (ε): y = + Επειδή η f είναι κυρτή στο [, + ) η εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο Κ βρίσκεται κάτω από αυτήν με εξαίρεση το σημείο επαφής τους Κ. Επομένως ισχύει f() + για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Άρα ισχύει f() ( + ) αφού, με το «=» να ισχύει μόνο για =. 3 οπότε f() 3 Έστω Ι = ( + ) 3 d > ( + ) d Θέτουμε u =, είναι: du = d d du = u d d = u du Επίσης: = u = u + και όταν = τότε u = 0 και όταν = 3 τότε u =. Άρα: Ι = [ (u + ) + ] 0 u u du Ι = 4 (u 4 + u ) 0 I = 4 [ u5 5 + u3 3 ] 0 du I = 4 ( 5 + 3 ) = 3 5 οπότε ισχύει: 3 f() d > 3 5