ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL

CAPITOLUL 4 ELEMENTE DE CALCUL VARIAŢIONAL 4 Itoducee Clculul viţiol se ocupă cu studiul etemelo petu o clsă specilă de fucţii umite fucţiole Aceste fucţiole sut defiite pe sumulţimi le uo spţii de fucţii oişuite Di puct de vedee istoic, cotiuţii decisive l dezvolte clculului viţiol u dus Eule (744), d mi les Lgge (76) ce dt metodele geele le discipliei şi le- plict î mecică Vom îcepe cu pezete uo poleme clsice le clculului viţiol Cu de ce mi pidă cooâe (polem cistocoei) Polem fost fomultă de Jo Beoulli î 696 De ezolve cestei poleme s-u ocupt fţii Jo şi Jco Beoulli, Newto, Leiiz, l Hospitl Oigie temeului cistocoă se flă î lim gecă (kistos = cel mi scut, koos = timp) Pi cistocoă se îţelege tiectoi pe ce u cop ce se deplseză îte două pucte dte, su cţiue gvitţiei, elizeză cel mi scut timp Aşd, dite tote cuele flte ît-u pl veticl şi tecâd pi puctele fie O (,) şi P (, ), cu P mi jos decât O, să se detemie ce cuă petu ce timpul de cooâe di O î P uui puct mteil geu făă fece, să fie miim Petu ezolve, vom oiet Oy pe veticlă î jos c î fig Fie y = y( ), [, ], y () =, y( ) =, >,, cu căuttă Fie v vitez de deplse puctului ds ds mteil, deci v = g y =, ude ds este lugime cului OM Atuci dt = dt gy Pi ume dcă T este timpul eces petu c puctul mteil să jugă î puctul P, vom ve ds + y ( ) T = = d gy gy ( ) OP O (,) M(,y) P(,) y Fig

4 Elemete de clcul viţiol 5 Polem supfeţei de otţie de ie miimă costă î detemie uei cue y = y( ), [, ], y( ) = c, y( ) = d, cu y popiette că i supfeţei de otţie gficului î juul ei O N(,d) este miimă (fig ) După cum se cuoşte, epesi cestei ii M(,c) este π ( ) ( )d A = y + y O Fig Eciliul uei meme defomte O memă elstică î ste de epus e fom domeiului D Oy (fig 3) Fie C fotie lui D Defomăm cotuul C l memei î diecţi pepediculă pe plul Oy şi otăm cu uy (, ) deplse (defomţi) uui puct oece M (, y) D (defome cotuului tge după sie şi deplse puctelo di iteioul memei) Se cee să se detemie poziţi de eciliu memei câd cuoştem defome cotuului ei Ai memei defomte v fi + u + u d y y d D Dcă deplsăile sut mici, poimăm cestă ie cu + ( u + uy) ddy D Rezultă că viţi iei supfeţei defomte este ( y) d u + u d y D Se dmite că eegi poteţilă memei defomte este popoţiolă cu ceştee ie sle Pi ume eegi poteţilă de defomţie E este M D μ E = ( u + uy) ddy, () D Fig 3 ude μ este o costtă ce epimă clităţile elstice le memei Pesupuem că se cuosc deplsăile puctelo de pe cotu, deci că z O P y

5 ECUAŢII u = ϕ(, y ), () C ϕ fiid o fucţie cuoscută Poziţi de eciliu se elizeză câd eegi poteţilă este miimă Se oţie stfel umătoe polemă viţiolă Dite tote fucţiile u C ( D ) ce stisfc codiţi (), să se detemie ce fucţie petu ce itegl () devie miimă 4 Eteme le fucţiolelo Viţi îtâi uei fucţiole Teoem lui Femt Petu îceput, emitim câtev oţiui îvăţte l cusul de Aliză mtemtică Fie X u spţiu vectoil el Defiiţi 4 Se umeşte omă pe X o fucţie :X +, cu popietăţile: ) = = ; X ) λ = λ, λ, X ; 3) + y + y, y, X (ieglitte tiugiului) Spţiul vectoil X îzestt cu o omă se umeşte spţiu vectoil omt * Eemple ) Fie,, <, I = [, ] u itevl şi Spţiul vectoil el C (; I ) l fucţiilo y: I de clsă C, îzestt cu om ( ) y = sup y( ) + sup y ( ) + + sup y ( ), () I I I este u spţiu vectoil omt De semee, spţiul vectoil el C (; I ) l fucţiilo : I, γ ( ) = ( y ( ), z ( ), ude yz, C ( I; ), îzestt cu om γ ( ) γ = + + +, () este u spţiu vectoil omt sup y ( ) z ( ) sup y ( ) z ( ) I I ) Fie D u domeiu măgiit de o cuă îcisă, etedă pe poţiui Spţiul C ( D; ) este spţiu vectoil omt î pot cu om z= sup zy (, ) + sup ( y, ) + sup ( y, ), z C ( D; ) (3) ( y, ) D ( y, ) D ( y, ) D Defiiţi 4 Fie X u spţiu vectoil omt, y X şi > Se umeşte il descisă cu cetul î z şi de ză mulţime B( y, ) = { y X; y y < } Mulţime A X se umeşte descisă dcă y A, eistă > stfel îcât B( y, ) A

4 Elemete de clcul viţiol 53 Defiiţi 43 Fie ( y) X Şiul ( y ) covege l y X şi se oteză y y dcă şi umi dcă lim y y = Şiul ( y ) se umeşte şi fudmetl su şi Cucy dcă şi umi dcă m, lim y y = U spţiu vectoil omt, î ce oice şi Cucy m este coveget se umeşte spţiu complet su spţiu Bc Osevţi 4 Remitim că pe spţiul C ([, ]; ), l fucţiilo cotiue pe [, ], se pote defii om Ceâşev: g = sup{ g( ) ; [, ]}, g C ([, ]; ) C Mi mult, spţiul C ([, ]; ) îzestt cu om Ceâşev este u spţiu Bc Rezulttul se etide şi petu spţiul fucţiilo cotiue pe o mulţime compctă m K cu vloi î Cu ceste pecizăi, om () se mi scie: ( ) y = y + y + + y C C C De semee, omele () şi (3) devi γ = γ + γ C C espectiv z = z + + C C C Este uşo de osevt că spţiile vectoile omte di eemplele ) şi ) sut spţii Bc Fie X u spţiu vectoil omt Î cele ce umeză, pi fucţiolă pe X îţelegem oice fucţie F : X Eemple Polemele clsice le clculului viţiol pezette secţiue 4, e sugeeză să cosideăm umătoele fucţiole ) Fie X = C ([, ]; ) Î czul polemei cistocoei, defiim pe X fucţiol-timp T : X, + y ( ) T ( y) = d, y X y ( ) De semee, î czul polemei supfeţei de otţie de ie miimă, pe X = C ([, ]; ) putem defii fucţiol-ie A : X, ( ) = ( ) + ( )d A y y y, y X Mi geel, pe F X = C ([, ]; ) putem coside fucţiole de tipul ( y) = F(, y( ), y ( ))d, 3 ude F este o fucţie cotiuă pe u domeiu Ω, i y este o fucţie oece de clsă C pe [, ], cu popiette că ( y, ( ), y ( )) Ω, [, ]

54 ECUAŢII ) Polem eciliului uei meme defomte ce ocupă domeiul măgiit D, e coduce l cosidee fucţiolei-eegie E ( u) = ( u + u ) ddy, D y cuoscută su umele de itegl eegiei su itegl Diiclet fucţiei u: D Mi geel, pe X = C ( D; ) putem coside fucţiole de tipul F ( z) = Fyzy (,, (, ), ( y, ), ( y, ))dy d, ude F este o fucţie cotiuă de cici viile ele, defiită pe mulţime 5 {(,, (, ), z yzy ( y, ), ( y, )) ;( y, ) D}, z fiid o fucţie de clsă C pe domeiul D Defiiţi 44 Fie X u spţiu vectoil omt, A X şi F : A o fucţiolă U elemet y A se umeşte puct de miim locl (espectiv mim locl) petu F, dcă eistă > stfel îcât petu oice y A ce stisfce y y <, ezultă F ( y) F ( y) (espectiv F ( y) F ( y) ) U puct de miim locl su de mim locl se umeşte puct de etem locl Dcă ieglităţile de mi sus u loc petu oice y A, tuci se pote voi de puct de miim glol (espectiv mim glol) su etem glol Î cotiue, fie X u spţiu vectoil omt, A X o mulţime descisă, F : A o fucţiolă, y A şi X, X, u elemet fit Mulţime A fiid descisă, eistă > stfel îcât B( y, ) A Dcă t, tuci elemetul y = y + t B( y, ) dcă şi umi dcă y y <, deci dcă şi umi dcă t < Î coseciţă, putem defii fucţi elă :,, () ( ) (4) Defiiţi 45 Fie X u spţiu vectoil omt, A X o mulţime descisă, F : A şi y A Se spue că F dmite viţi îtâi î y pe diecţi uui vecto eul X, dcă fucţi ϕ dtă de (4) este deivilă î puctul t = Î cest cz, ϕ () se umeşte viţi îtâi lui F î y pe diecţi lui şi se oteză cu δf ( y) Vectoul se umeşte viţie gumetului fucţiolei F U puct y A cu popiette că δ F ( y) =, X, se umeşte puct citic (stţio) l fucţiolei F Pi ume

4 Elemete de clcul viţiol 55 Dcă ϕ() t ϕ() F ( y + t) F ( y ) F ( y) = lim = lim (5) t t δ t =, tuci puem δ F ( y) = t Osevţi 4 Î pticul, fie X =,, şi s = vesoul lui Atuci d δ F ( y) = F ( y), ds df ude ( y) este deivt lui F după diecţi lui s î y Aşd, oţiue de viţie ds îtâi este o etidee coceptului de deivtă după o diecţie C şi î czul fucţiilo ele umătoe teoemă fuizeză o codiţie ecesă de etem Teoem 4 (Teoem lui Femt) Fie X u spţiu vectoil omt, A X o mulţime descisă şi F : A o fucţiolă Dcă y A este u puct de etem locl petu F şi dcă F dmite viţi îtâi î y pe oice diecţie, tuci y este puct citic l lui F, dică δ F ( y ) =, X (6) Demostţie Eglitte (6) este evidetă petu = X Să pesupuem cum că X şi că y este puct de miim locl, î czul î ce y este puct de mim locl ţiometul fiid simil Cofom defiiţiei, eistă > stfel îcât petu oice y A B( y, ) e loc F ( y) F ( y) Mulţime A fiid descisă, putem lege > suficiet de mic stfel îcât B( y, ) A Aşd, petu oice y By (, ) vem F ( y) F ( y) Deoece petu t <, y = y + t B( y, ), ezultă că petu oice t, e loc ieglitte F ( y ) + t) F ( y ce, ţiâd sem de (4), se mi pote scie su fom ϕ( t) ϕ(), t, Cofom teoemei clsice lui Femt petu fucţii de o viilă elă, ezultă că ϕ () = su, ecivlet, δ F ( y) = Î cele ce umeză, vom od polem detemiăii puctelo citice (stţioe) petu fucţiole cocete

56 ECUAŢII 43 Fucţiole de tipul F ( y) = F(, y, y )d 3 Fie D o mulţime descisă, F: D o fucţie de clsă C şi I = [, ] De semee, fie D = { y C ( I; ) (, y( ), y ( ) ) D, I}, Cosideăm fucţiol F : D, F ( y) = F(, y, y )d, y D () Acestă fucţiolă depide de F Lem 43 Mulţime D este descisă î spţiul Bc C (; I ) Demostţie Fie y D oece Cum fucţi vectoilă 3 (, y( ), y ( )): I D este cotiuă, ezultă că mulţime K = {(, y( ), y ( )); I} D este compctă Fie = d(, CD) = if{ d( M, N); M K, N CD} Deoece K C D=, K este compctă şi C D este îcisă, ezultă că > (vezi [8], Teoem 5, pg ) Vom ăt că By ( ; ) D, de ude v ezult că D este o mulţime descisă Fie y B( y; ) Atuci y y = sup y( ) y( ) + sup y ( ) y ( ) < I I Î pticul, vem y ( ) y( ) + y ( ) y ( ) <, I () Fie I oece fit, M ( y, ( ), y ( )) Kşi Py (, ( ), y ( )) Avem d( M, P) = ( y( ) y( )) + ( y ( ) y ( )) y( ) y( ) + y ( ) y ( ) < Cum d( P, K) d( P, M), ezultă că d( P, K ) < Di cestă ultimă ieglitte deducem că P D, petu că, î cz cot, P C D şi dpk (, ) d( C DK, ) =, cee ce este sud Î defiitiv, m ătt că dcă y B( y; ), tuci ( y, ( ), y ( )) D, I, deci y D Cu cest, lem este demosttă Ne puem polem detemiăii fucţiilo di D ce elizeză u etem l fucţiolei () pe cestă mulţime Cofom teoemei lui Femt, dcă y D elizeză u etem l fucţiolei () pe D, tuci, î mod eces

4 Elemete de clcul viţiol 57 δ F ( y) =, C (; I ) Î pctică se pue polem detemiăii puctelo de etem le fucţiolei () cu cpete fie Î cest cz, fie cd, umee dte şi A = { y D y( ) = c, y( ) = d}, cuoscută su umele de mulţime fucţiilo dmisiile le polemei Este uşo de costtt că, dcă se cuoşte o fucţie y A, tuci oice ltă fucţie y A este de fom y = y +, ude ( ) = ( ) = Pi ume, dcă y A elizeză u etem l fucţiolei () pe mulţime fucţiilo dmisiile, tuci, î mod eces δ F ( y ) =, C (; I ), ( ) = ( ) = Petu ezolve polemelo de etem petu fucţiol () este util umătoul ezultt Lem 43 (Lem fudmetlă clculului viţiol) (Lgge) Fie f :[, ] o fucţie cotiuă cu popiette că petu oice fucţie :[, ], de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, stisfce codiţi Atuci f( ) ( )d= (3) f( ) =, petu oice [, ] Demostţie Fucţi f fiid cotiuă, este suficiet să ătăm că f( ) =, petu oice (, ) Pesupuem, pi sud, că f u este idetic ulă pe ( ),, deci eistă c (, ) stfel îcât f ( c) Făă micşoe geelităţii, putem pesupue că f ( c ) > Fucţi f fiid cotiuă î puctul c, petu oice ε > eistă δ = δε ( ) > suficiet de mic, stfel îcât J = [ c δ, c+ δ ] (, ) şi petu oice J, vem f( ) f( c) ε Altfel spus, petu oice J u loc ieglităţile f() c ε f() f() c + ε Î pticul, petu ε = () f c ezultă că eistă u itevl coespuzăto J = [ c δ, c + δ ] stfel îcât petu oice J vem f ( ) f( c ) Fie fucţi ( c+ δ) ( c δ), dcă J ( ) =, dcă J Se veifică uşo că fucţi stisfce codiţiile di euţul lemei Î plus, folosid teoem de medie, ezultă că c+ δ c+ δ f( ) ( )d = f( ) ( )d f( c) ( )d f( c ) ( ξδ ) = >, c δ c δ ude ξ ( c δ, c+ δ), cee ce cotzice (3) Osevţi 43 Lem lui Lgge ămâe vlilă dcă fucţi di euţul k lemei este o fucţie de clsă C, k, pe [, ], ce se uleză î şi împeuă cu

58 ECUAŢII deivtele sle pâă l odiul k iclusiv Este suficiet să luăm k k ( ) = ( c+ δ ) ( c δ ), dcă J Lem 433 (Du-Bois-Rymod) Fie f :[, ] o fucţie cotiuă cu popiette că petu oice fucţie :[, ], de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, stisfce codiţi f( ) ( )d= (4) Atuci fucţi f este costtă pe itevlul [ ], Demostţie Fie :[, ], ( ) = ( f( t) c)dt, ude c este o costtă ce se detemiă di codiţi ( ) =, deci c = f( )d Este cl că fucţi stfel costuită este de clsă C pe [ ],, stisfce codiţiile ( ) = ( ) = şi ( ) = f ( ) c Atuci ( ) = ( ) f ( ) c d f( ) c ( )d= = = f( ) ( )d c ( )d= c[ ( ) ( )] Itegtul fiid pozitiv şi fucţi f cotiuă, ezultă că f ( ) = c, [, ] Coolul Dcă PQ, :[, ] [ P ( ) ( ) + Q ( ) ( )]d= sut fucţii cotiue ce stisfc petu oice fucţie de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, tuci fucţi Q este deivilă şi Q ( ) = P( ), [, ] Demostţie Fie fucţi f :[, ], f ( ) = P( t)dt Acestă fucţie este deivilă şi f ( ) = P( ), [, ] Cofom ipotezei, petu oice fucţie de clsă C pe [, ], cu ( ) = ( ) =, vem [ f ( ) ( ) + Q( ) ( )]d=, de ude, itegâd pi păţi, oţiem

4 Elemete de clcul viţiol 59 Î coseciţă Q( ) ( )d = f ( ) ( )d = f( ) ( )d [ Q ( ) f( )] ( )d= Cofom Lemei 433, ezultă că fucţi Q f este costtă pe [ ],, deci Q ( ) = f ( ) = P( ), [, ] 3 Teoem 43 (Teoem lui Eule) Fie D o mulţime descisă, F: D o fucţie de clsă C, I [, ] şi D = { y C ( I; ), y( ), y ( ) D, I} F = ( ) Fie, de semee, fucţiol F : D, ( y) = F(, y, y )d, y D Dcă fucţi y A = { y D y( ) = c, y( ) = d } elizeză u etem l fucţiolei F pe mulţime fucţiilo dmisiile A, tuci fucţi F ( y, ( ), y ( )) este de clsă C pe [, ] şi fucţi y veifică ecuţi difeeţilă F d F = d (5) Demostţie Fie o fucţie de clsă C pe [ ],, ce stisfce codiţiile l limită ( ) =, ( ) = şi fucţi ϕ :,, ϕ () t = F ( y + t ) Viţi îtâi fucţiolei F este δf ( y) = ϕ (), deci d δf ( y) = F(, y( ) + t( ), y ( ) + t ( ) ) d dt = t= d = ( F(, y( ) + t( ), y ( ) + t ( ) )) d dt = t= F F = (, y( ), y ( ) ) ( ) + (, y( ), y ( ) ) ( ) d Cofom teoemei lui Femt, δ F ( y) =, petu oice fucţie de clsă C pe [, ], ce stisfce ( ) =, ( ) =, deci F F ( y, ( ), y ( ) ) ( ) + ( y, ( ), y ( ) ) ( ) d = Cocluzi teoemei ezultă di Coolul