POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica okažimo formulu! Posjetimo se efinicija tangencijalnog i tetivnog četverokuta: P = a b c, (1) Četverokut u koji se može upisati kružnica (kojemu su stranice tangente kružnice), zove se tangencijalni četverokut (Slika 1) i vrijei: a + c = b + () Četverokut oko kojega se može opisati kružnica (kojemu su stranice tetive kružnice), zove se tetivni četverokut (Slika ) i vrijei: c b δ γ f e a α β Slika 1 Slika α + γ = β + δ = 180 (3) a bismo izveli formulu (1), okazat ćemo prije toga tri stavka STVK 1 (Ptolemejev 1 poučak) Za svaki tetivni četverokut je: 1 Ptolemej, Klauije (oko 100 oko 178), starogrčki matematičar 1
e f = a c + b, (4) gje je: = a, = b, = c, =, = e, = f (5) Na ijagonali konstruiramo točku tako a je: < = < uući a su kutovi < i < oboni kutovi na lukom < = <, slijei: Trokuti i slični su jer imaju jenake kutove Valjan je razmjer: onosno: : = :, = (6) Istu argumentaciju ponovimo za trokute i Oboni kutovi < i < jenaki su jer su na istim lukom uući a je trokuti i slični su Zato je: tj < = <, : = :, Zbrojimo (6) i (7), a nakon sređivanja obijemo traženu jenakost: = (7)
+ = + = ( + ) = ili zbog (5): e f = a c + b STVK Za svaki je tetivni četverokut točna jenakost: : = ( + ) : ( + ) Koristeći oznake (5), možemo pisati: e : f = ( a + bc ) : ( ab + c ) (8) Y Slika 3 Konstruiramo tetivni četverokut i na kružnici oreimo točke i Y tako a vrijei: =, Y = Uočimo va nova tetivna četverokuta i Y Na svaki o njih primijenimo Ptolemejev poučak: = +, (9) Y = Y + Y (10) Zaključujemo a zbog jenakosti uljine lukova (Slika 3) slijee jenakosti među uljinama tetiva: = => =, Y = => Y =, Y = + Y = + = => = Y, = + = + = = Y + Y = Y + = Y => = Y = Relaciju (9) poijelimo s (10) i, koristeći gornje jenakosti, obijemo traženu tvrnju za tetive: e : f = ( a + bc ) : ( ab + c ) 3
Saa se uljina svake ijagonale tetivnog četverokuta lako može izračunati s pomoću uljina stranica Iz (8) se, na primjer, obiva uljina ijagonale e: e = f a + b c a b + c, a s pomoću Ptolemejeva poučka (4) konačno: e² = ( a c + b ) ( a + b c) a b + c (11) STVK 3 (Heronova formula za površinu tetivnog četverokuta) Površina tetivnog četverokuta glasi: gje su a, b, c, uljine stranica, a s poluopseg: P = ( s a) ( s b) ( s c) ( s ), (1) s = a+ b+ c+ (13) Zanimljivo je a je ta formula slična formuli za površinu trokuta U literaturi ćemo naći poatak kako je bila poznata već staroinijskim matematičarima Y Tetivni četverokut rastavimo ijagonalom na va trokuta: i Konstruiramo njihove visine i Y Površina pravokutnika može se izraziti kao zbroj površina trokuta i : P = P + P Trokuti i Y slični su jer imaju jenake kutove Uvjerimo se: <Y + <Y = < + <, <Y + <Y = 180 < + <, 4
<Y + <Y + < = 180 + <, a zbog (3) slijei: <Y = < Vrijei razmjer: : Y = : (14) Površina tetivnog četverokuta jest: P = P + P = 1 + 1 Y = ( zbog(14)) = = 1 + 1 = 1 + (15) Iz pravokutnog trokuta izračunamo uljinu visine : ² = ² ² (16) U trokutu vrijei: ² ² = ² ² => => ² ² = ² ² => => = 1 + = 1 a + b e b Za ijagonalu = e uvrstimo izraz (11) i sve supstituiramo u (16) te nakon sređivanja i zamjene (5) obijemo: a + + + + + + + + + ab + c = 1 ( a b c ) ( a b c ) ( a b c ) ( a b c ) Izraz za uljinu visine na kraju stavimo u (15) pa formula za površinu glasi: P = 1 4 ( a+ b+ c ) ( a+ b c+ ) ( a b+ c+ ) ( a+ b+ c+ ) Zbog (13) konačno se obije: P = ( s a) ( s b) ( s c) ( s ) Saa možemo pokazati kako izvoimo formulu (1) Primjenom svojstva () tangencijalnog četverokuta slijei: pa relacija (1) prelazi u (1): s = a+ b+ c+ = a + c = b + Na primjer, za kvarat vrijei: P = a b c a = b = c = => P = a 4 = a² Heron, starogrčki matematičar, živio u leksanriji vjerojatno u 1 stoljeću poslije Krista 5