Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare liniară (sau operator liniar, sau morfism de spaţii vectoriale) dacă îndeplineşte următoarele condiţii:. u(x + y ) = u(x) + u(y) pentru orice x, y V; 2. u(α x) = α u(x) pentru orice α K şi orice x V. În cazul în care V = W o transformare liniară u : V V se numeşte endomorfism. Se observă uşor că restricţia unei transformări liniare la un subspaţiu vectorial al domeniului său de definiţie este tot o transformare liniară. Propoziţia 3..2. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W este transformare liniară dacă şi numai dacă pentru orice x, y V şi orice α, β K este îndeplinită condiţia u(α x + β y) = α u(x) + β u(y). Demonstraţie. Dacă u: V W este transformare liniară, atunci, conform definiţiei, pentru orice x, y V şi orice α, β K, avem 97

Transformări liniare u(αx + βy) = u(αx) + u(βy) = αu(x) + βu(y). Reciproc, presupunem că pentru orice x, y V şi orice α, β K este îndeplinită condiţia u(αx + βy) = αu(x) + βu(y). Luând α = β =, obţinem u(x + y) = u(x) + u(y). Luând β = 0, obţinem u(αx) = αu(x). Cele două condiţii din definiţia transformării liniare sunt îndeplinite. Exemplul 3..3. Considerăm spaţiile vectoriale R 3 şi R 2 peste corpul numerelor reale R. Aplicaţia u : R 3 R 2, definită prin u(x) = (x + x 3, x 2 - x 3 ) pentru orice x = (x, x 2, x 3 ) R 3 este o transformare liniară. Într-adevăr, fie α, β R şi x = (x, x 2, x 3 ), y = (y, y 2, y 3 ) R 3. Din α x + β y = (α x + β y, α x 2 + β y 2, α x 3 + β y 3 ), rezultă că u(α x + β y) = (α x + β y + α x 3 + β y 3, α x 2 + β y 2 - (α x 3 + β y 3 )) =(α(x + x 2 ) + β(y + y 3 ), α(x 2 -x 3 ) + β(y 2 - βy 3 )) =(α(x + x 2 ), α(x 2 -x 3 ) ) + (β(y + y 3 ), β(y 2 - βy 3 )) = α(x + x 2, x 2 -x 3 ) + β(y + y 3, y 2 - y 3 ) = α u(x) + β u(y). Aplicaţia v : R 3 R 2, definită prin v(x) = (x + x 3, x 2 x 3 ) pentru orice x = (x, x 2, x 3 ) R 3 nu este o transformare liniară. Într-adevăr, pentru x = (,, ) R 3 şi α = 3 R avem v(α x) = (6, 9) 3(2,) = αv(x). Propoziţia 3..4. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. Atunci. u(0) = 0. 98

Algebră liniară 2. Dacă V este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci u(v ) = {u(x): x V } este un subspaţiu vectorial al lui W. 3. Dacă W este un subspaţiu vectorial a lui W, atunci preimaginea u - (W ) = {x V: u(x) W } este un subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie.. Fie x V un element oarecare. Atunci u(0) = u(0x) = 0u(x) = 0. 2. Fie V un subspaţiu vectorial a lui V. Fie α, β K şi y, y 2 u(v ). Deoarece y, y 2 u(v ) există x, x 2 V astfel încât u(x ) = y şi u(x 2 ) = y 2. Cum V este subspaţiu vectorial, αx + βx 2 V. Avem αy + βy 2 = αu(x ) + βu(x 2 ) = u(αx + βx 2 ) u(v ), pentru că αx + βx 2 V. Deci u(v ) este un subspaţiu vectorial al lui W. 3. Fie W un subspaţiu vectorial a lui W. Fie α, β K şi fie x, x 2 u - (W ). Din faptul că x, x 2 u - (W ) rezultă că u(x ), u(x 2 ) W. Cum W este subspaţiu vectorial, αu(x ) + βu(x 2 ) W şi deci u(αx + βx 2 ) = αu(x ) + βu(x 2 ) W, de unde rezultă că αx + βx 2 u - (W ). În consecinţă, u - (W ). este un subspaţiu vectorial al lui V. Propoziţia 3..5. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. În aceste condiţii. Pentru orice vectori x, x 2,, x n din V şi orice scalari α, α 2,, α n din K avem n u( α i= 99 n ix i ) = αi ( x i ) i= u.

Transformări liniare 2. Dacă {x, x 2,, x n } este o familie liniar dependentă de vectori din V, atunci {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar dependentă de vectori din W. 3. Dacă u este injectivă şi { x, x 2,, x n } este o familie liniar independentă de vectori din V, atunci {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar independentă de vectori din W. ai general, dacă {x i } i I este o familie liniar independentă de vectori din V, atunci {u(x i )} i I este o familie liniar independentă de vectori din W. 4. Dacă u este surjectivă şi {x i } i I este un sistem de generatori pentru V, atunci {u(x i )} i I este un sistem de generatori pentru W. 5. Dacă u este bijectivă, atunci dimensiunea lui V peste K este aceeaşi cu dimensiunea lui W peste K. Demonstraţie.. Demonstraţia se face prin inducţie după n, ţinând cont că n u( αix i ) = u( i= i= n n = u( i= α α ix i + α n x n ) = u( i= ix i ) + α n u(x n ). n α ix i ) + u(α n x n ) = 2. Dacă {x, x 2,, x n } este o familie liniar dependentă de vectori din V, atunci există scalarii α, α 2,.., α n, nu toţi nuli, astfel încât α x + α 2 x 2 + + α n x n = 0. Aplicând u obţinem u(α x + α 2 x 2 + + α n x n ) = 0 sau echivalent α u(x ) + α 2 u(x 2 ) + + α n u(x n ) = 0, 00

Algebră liniară de unde rezultă că {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar dependentă de vectori din W. 3. Presupunem că {x, x 2,, x n } este o familie liniar independentă de vectori din V şi că u este injectivă. Fie scalarii α, α 2,.., α n din K astfel încât α u(x ) + α 2 u(x 2 ) + + α n u(x n ) = 0. Ţinând cont de. rezultă că u(α x + α 2 x 2 + + α n x n ) = 0. Deoarece u este injectivă şi u(0) = u(α x + α 2 x 2 + + α n x n ), rezultă că α x + α 2 x 2 + + α n x n = 0. Deoarece {x, x 2,, x n } este o familie liniar independentă rezultă că α = α 2 = = α n = 0. Deci {u(x ), u(x 2 ),, u(x n )} este o familie liniar independentă. Cazul general, al familiilor liniar independente infinite, revine la cazul familiilor finite, dacă se ţine seama că o familie de vectori este liniar independentă dacă şi numai dacă orice subfamilie finită a sa este liniar independentă. 4. Presupunem că {x i } i I este un sistem de generatori pentru V şi că u este surjectivă. Fie y W. Există x V astfel încât y = u(x), căci u este surjectivă. Deoarece {x i } i I este un sistem de generatori pentru V, rezultă că există o familie {α i } i I de scalari din K de suport finit (adică numai un număr finit dintre scalarii α i sunt nenuli) astfel încât x = αix i. Ca urmare, y = u(x) = u( α i I i I ix i ) = αi ( x i ) i I u şi deci {u(x i )} i I este un sistem de generatori pentru W. 5. Fie {e i } i I o bază în V. Transformarea liniară u fiind bijectivă este şi injectivă şi surjectivă. Atunci {u(e i )} i I este şi liniar independentă (din 3) şi sistem de generatori pentru W (din 4). În consecinţă, {u(e i )} i I este o bază în W. De aici obţinem că dimensiunile lui V şi W coincid, fiind egale cu cardinalul lui I. 0

Transformări liniare Teorema 3..6. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi B = {e i } i I o bază în V. Atunci oricare ar fi spaţiul vectorial W peste corpul K şi oricare ar fi familia {f i } i I de elemente din W, există o unică transformare liniară u : V W astfel încât u(e i ) = f i pentru orice i I. ai mult, u este injectivă (respectiv surjectivă, bijectivă) dacă şi numai dacă {f i } i I este un sistem liniar independent (respectiv sistem de generatori, bază). Demonstraţie. Dacă x V, există o unică familie {λ i } i I de scalari din K de suport finit (adică numai un număr finit dintre scalarii λ i sunt nenuli) astfel încât x = λie i. Definim i I u(x) = λif i. i I Evident u este bine definită (datorită unicităţii reprezentării lui x în baza B) şi rămâne să arătăm că u este transformare liniară. Pentru orice x şi x 2 V există şi sunt unice familii de scalari din K de suport finit {α i } i I şi {β i } i I astfel încât x = αie i şi x 2 = βie i. Atunci x + x 2 = ( α +β ) i I u(x + x 2 ) = ( α +β ) i I Dacă α K şi x = λ i I i i i i e şi i i I f i = αif i + βif i = u(x ) + u(x 2 ). i I i I ie i V, atunci αx = ( αλ ) i i I i e şi deci i I 02

u(αx) = ( αλ ) i I Algebră liniară i f i = α i I λif i =αu(x). Să demonstrăm unicitatea lui u. Fie v : V W o altă transformare liniară cu proprietatea că v(e i ) = f i pentru orice i I. Pentru orice x = λie i V avem v(x) = v( λ i I ie i ) = λi ( e i ) i I că u(x) = y, de unde rezultă că u este surjectivă. Într-adevăr, 03 i I v = λif i = u(x). Deci v coincide cu u. i I Dacă u este injectivă atunci, conform Propoziţiei 3..5, {f i } i I = {u(e i )} i I este liniar independentă, deoarece {e i } i I fiind bază este în particular liniar independentă. Reciproc, să presupunem că {f i } i I este liniar independentă şi să demonstrăm că u este injectivă. Fie x, x 2 V astfel încât u(x ) = u(x 2 ). Atunci u(x - x 2 ) = 0. Cum x - x 2 V, există o unică familie {λ i } i I de scalari din K de suport finit astfel încât x - x 2 = λie i. Avem 0 = u(x - x 2 ) = u( λ i I i I ie i ) = λi ( e i ) i I u = λif Faptul că {f i } i I este liniar independentă implică λ i = 0 pentru orice i I, şi deci x - x 2 = 0, sau echivalent x = x 2. De aici rezultă că u este o aplicaţie injectivă. Dacă u este surjectivă atunci, conform Propoziţiei 3..5, {f i } i I ={u(e i )} i I este sistem de generatori pentru W fiindcă {e i } i I, fiind bază în V, este în particular sistem de generatori pentru W. Reciproc, să presupunem că {f i } i I este un sistem de generatori pentru W şi să demonstrăm că u este surjectivă. Fie y W. Din faptul că {f i } i I este un sistem de generatori pentru W, rezultă că există o familie {λ i } i I de scalari din K, de suport finit, astfel încât y = λif i. Luăm x = λieişi arătăm i I i I i i I

u(x) = u( λ i I Transformări liniare ie i ) = λi ( e i ) i I u = λif i = y. Din cele demonstrate mai sus rezultă că u este o aplicaţie bijectivă (injectivă + surjectivă) dacă şi numai dacă {f i } i I este bază (liniar independentă + sistem de generatori). Teorema 3..7. Fie n un număr natural, V şi W două spaţii vectoriale n- dimensionale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W următoarele afirmaţii sunt echivalente. u aplicaţie injectivă. 2. u aplicaţie surjectivă. 3. u aplicaţie bijectivă. Demonstraţie. Vom arăta => 2 =>3. Cum evident 3 =>, va rezulta că cele trei afirmaţii sunt echivalente. Fie {e, e 2,, e n } o bază în V. => 2. Dacă u este injectivă, aplicând Propoziţia 3..5, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este o familie liniar independentă de vectori din W. Cum dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este de fapt o bază pentru W şi deci în particular {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este un sistem de generatori pentru W. Aplicând Teorema 3..6, rezultă că u este surjectivă. 2 =>3. Presupunem că u este surjectivă. Pentru a arăta ca u este bijectivă este suficient să arătăm că este injectivă. Din Propoziţia 3..5, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este un sistem de generatori pentru W. Din faptul că dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} este de fapt o bază pentru W şi deci, în particular, {u(e ), u(e 2 ),, u(e n )} i I 04

Algebră liniară este o familie liniar independentă de vectori din W. Ţinând cont de Teorema 3..6, rezultă că u este injectivă. Corolarul 3..8. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K. Pentru orice endomorfism următoarele afirmaţii sunt echivalente. u este aplicaţie injectivă. 2. u este aplicaţie surjectivă. 3. u este aplicaţie bijectivă. u: V V Demonstraţie. Se aplică Teorema 3..7 luând W =V. 3.2. Operaţii cu transformări liniare Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Notăm cu L K (V, W) (sau L(V, W) când corpul K se subînţelege) mulţimea tuturor transformărilor liniare definite pe V cu valori în W. Dacă u şi v sunt două transformări liniare din L(V, W), se defineşte suma "u + v" lor prin (u + v)(x) = u(x) + v(x) pentru orice x V. Se verifică uşor că u + v : V W este o transformare liniară şi că suma transformărilor liniare este asociativă şi comutativă. ai mult, există transformarea liniară O : V W, O(x) = 0 pentru orice x v, (numită transformarea liniară nulă) care are proprietatea că O + u = u + O pentru orice u L(V, W). Pentru orice transformare liniară u L(V, W) se defineşte transformarea liniară opusă "- u" prin 05

Transformări liniare (- u)(x) = - u(x) pentru orice x V. Este uşor de arătat că - u este o transformare liniară şi că u + (-u) = (-u) + u = O. Pentru orice transformare liniară u L(V, W) şi orice scalar α K, se defineşte produsul lui u cu scalarul α "αu" prin (αu)(x) = αu(x) pentru orice x V. Aplicaţia αu este o transformarea liniară din L(V, W). ulţimea transformărilor liniare L K (V, W) împreună cu suma şi produsul cu scalari definite mai sus are o structură de spaţiu vectorial peste corpul K (temă - verificarea axiomelor). Fie U, V şi W trei spaţii vectoriale peste acelaşi corp comutativ K. Dacă u L K (V, W) şi v L K (U, V), se defineşte produsul "uv" prin (uv)(x) = u(v(x)) pentru orice x U. Se verifică faptul că aplicaţia uv: U W este o transformare liniară. Pentru produsul de transformări liniare uv se mai foloseşte şi notaţia uo v specifică compunerii funcţiilor (deoarece produsul transformărilor liniare u şi v este dat de fapt de compunerea funcţiilor u şi v). Să considerăm acum cazul U = V = W. Se introduce transformarea liniară identică (sau transformarea liniară unitate) I V : V V, definită prin I V (x) = x pentru orice x V. Este evident că I V este o transformare liniară şi că I V u = ui V = u pentru orice transformare liniară u L K (V, V). Când spaţiul vectorial V se subînţelege, transformarea liniară identică se notează cu I. 06

Algebră liniară ulţimea transformărilor liniare L K (V, V) cu suma şi produsul definite mai sus formează un inel unitar necomutativ (vezi Definiţia 4.2.). Pentru orice transformare liniară u : V V se poate defini puterea u n pentru orice număr natural n 2 prin u n = uu n- cu convenţia u = u. Datorită asociativităţii produsului de transformări liniare sunt valabile următoarele reguli u n u m = u n+m (u n ) m = u nm pentru orice numere naturale nenule n şi m. Pentru o transformare liniară nenulă u (diferită de transformarea liniară nulă O) se consideră prin convenţie că u 0 = I. O transformare liniară u : V W, bijectivă se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale sau transformare liniară nesingulară. Propoziţia 3.2.. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară nesingulară. Atunci există o transformare liniară v : W V astfel încât uv = I W şi vu = I V. Demonstraţie. Faptul că u: V W este o aplicaţie bijectivă este echivalent cu faptul că u este inversabilă ca funcţie. Deci există o aplicaţie v : W V astfel încât uv = I W şi vu = I V. Rămâne să arătăm că v este o transformare liniară. Fie y, y 2 W şi α, α 2 K. Deoarece u este surjectivă (fiind bijectivă) rezultă că există x, x 2 V astfel încât y = 07

Transformări liniare u(x ) şi y 2 = u(x 2 ). Atunci v(y ) = v(u(x )) = x şi v(y 2 ) = v(u(x 2 )) = x 2. Avem v(α y +α 2 y 2 ) = v(α u(x ) + α 2 u(x 2 )) = v(u(α x + α 2 x 2 )) = α x + α 2 x 2 = α v(y ) + α 2 v(y 2 ). Deci v este o aplicaţie liniară. Dacă u : V W este o transformare liniară nesingulară, atunci transformarea liniară v : W V cu proprietatea că uv = I W şi vu = I V ( a cărei existenţă este demonstrată de Propoziţia 3.2.) se numeşte inversa transformării liniare u şi se notează cu u -. Se mai spune că u : V W este o transformare liniară inversabilă. Din demonstraţia Propoziţiei 3.2. rezultă că inversa transformării liniare u coincide cu inversa lui u ca funcţie. Propoziţia 3.2.2. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K şi u: V V o transformare liniară.. Dacă există transformarea liniară v : V V astfel încât uv = I V, atunci u este o transformare liniară nesingulară şi u - = v. 2. Dacă există transformarea liniară v : V V astfel încât vu = I V, atunci u este o transformare liniară nesingulară şi u - = v. Demonstraţie.. Presupunem că există transformarea liniară v : V V astfel încât vu = I V, Faptul că I V este o aplicaţie bijectivă implică faptul că u este injectivă (dacă u(x ) = u(x 2 ), atunci v(u(x )) = v(u(x 2 )) şi deci x = x 2 ). Din Corolarul 3..8 rezultă că "u injectivă" este echivalent cu "u 08

Algebră liniară bijectivă". Deci u este nesingulară şi în consecinţă există transformarea inversă u -. Înmulţind la dreapta egalitatea vu = I V cu u - obţinem v = u -. 2. Presupunem că există transformarea liniară v : V V astfel încât uv = I V. Deoarece I V este o aplicaţie bijectivă rezultă că u este surjectivă. (Într-adevăr, pentru orice y V luăm x = v(y) obţinem u(x) = u(v(y)) = y. Deci u este surjectivă). Din Corolarul 3..8 rezultă că surjectivitatea lui u este echivalentă bijectivitatea lui u. Deci u este nesingulară şi în consecinţă, există transformarea inversă u -. Înmulţind la stânga egalitatea uv = I V cu u - obţinem v = u -. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi u, v L(V, V). ulţimea transformărilor liniare nesingulare din L(V, V) coincide cu mulţimea elementelor inversabile ale inelului L(V, V) (vezi Definiţia 4.2.), deci este un grup (în raport cu produsul transformărilor liniare). Vom încheia această secţiune punând în evidenţă câteva reguli de calcul pentru transformările inverse. Dacă u şi v sunt nesingulare, atunci uv este nesingulară şi (uv) - = v - u - 2. Dacă u este nesingulară, atunci u - este nesingulară şi (u - ) - = u 3. Dacă u este nesingulară şi α K, α 0, atunci αu este nesingulară şi (αu) - = α - u - 4. Dacă u este nesingulară, atunci putem defini u -n pentru orice număr natural n prin formula u -n = (u - ) n. Este uşor de văzut că u -n =(u n ) -. 09

Transformări liniare 3.3. Rangul şi defectul unei transformări liniare Definiţia 3.3.. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. ulţimea Ker u = {x V: u(x) = 0} se numeşte nucleul lui u (sau spaţiul nul al lui u). ulţimea Im u = {u(x) : x V} se numeşte imaginea transformării liniare u. Propoziţia 3.3.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W, nucleul lui u este un subspaţiu vectorial al lui V, iar imaginea lui u este un subspaţiu vectorial al lui W. Demonstraţie. Aplicând Propoziţia 3..4 punctul 3, rezultă că nucleul Ker u = u - ({0}} este subspaţiu vectorial al lui V. De asemenea aplicând Propoziţia 3..4 punctul 2, rezultă că Im u = u(v) este subspaţiu vectorial al lui W. Definiţia 3.3.3. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. Dimensiunea nucleului lui u (Ker u) se numeşte defectul transformării liniare u. Dimensiunea imaginii lui u (Im u) se numeşte rangul transformării liniare u. Propoziţia 3.3.4. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W avem 0

Algebră liniară. u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u = {0} 2. u este surjectivă dacă şi numai dacă Im u = W. Demonstraţie.. Presupunem că u este injectivă. Dacă x Ker u, atunci u(x) = 0 = u(0), deci x = 0 (u fiind injectivă). De aici rezultă Ker u = {0}. Reciproc, presupunem că Ker u = {0}. Fie x, x 2 V astfel încât u(x ) = u(x 2 ). Cum 0 = u(x ) - u(x 2 ) = u(x - x 2 ), rezultă că x - x 2 Ker u = {0}. Deci x - x 2 = 0, de unde rezultă că u este injectivă. 2. Presupunem că u este surjectivă. Deoarece incluziunea Im u W este întotdeauna adevărată, rămâne să arătăm incluziunea opusă. Fie y W. Cum u este surjectivă, există x V astfel încât y = u(x). Deci y Im u. Reciproc, dacă Im u = W, atunci pentru orice y W există x V astfel încât y = u(x). Deci u este surjectivă. Propoziţia 3.3.5. Fie n un număr natural şi fie V şi W două spaţii vectoriale n - dimensionale peste un corp comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V W următoarele afirmaţii sunt echivalente. Ker u = {0} 2. Im u = W 3. u este nesingulară. Demonstraţie. Din Teorema 3..7 rezultă că faptul că u este nesingulară <=> u este injectivă <=> u este surjectivă. Din Propoziţia 3.3.4 rezultă că u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u = {0}. Tot din propoziţia 3.3.4 rezultă că u este surjectivă dacă şi numai dacă Im u = W. Propoziţia 3.3.6. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un

Transformări liniare corp comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V V următoarele afirmaţii sunt echivalente. Ker u = {0} 2. Im u = V 3. u este nesingular. Demonstraţie. Rezultă din Propoziţia 3.3.5 luând W = V. Teorema 3.3.7. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară.. Dacă V este finit dimensional, atunci şi Im u este finit dimensional. 2. Dacă r(u) este rangul lui u şi d(u) este defectul lui u, atunci r(u) + d(u) = dim K V (dimensiunea spaţiului V este egală cu suma dintre dimensiunea nucleului transformării liniare u şi dimensiunea imaginii lui u). Demonstraţie. Notăm n = dim K V. Fie B ={e, e 2, e d(u) } o bază în Ker u pe care o completăm până la o bază B 2 ={e, e 2, e d(u), e d(u)+,, e n } în V (dacă d(u) = 0, atunci B este mulţimea vidă). Arătăm că B 3 ={u(e d(u)+ ), u(e d(u)+2 ),, u(e n )} este o bază în Im u. Pentru orice y Im u, există x V astfel încât y = u(x). Cum B 2 este o bază în V, există n d scalarii α, α 2,, α n K astfel încât x = αie i = ( u ) αie i + Atunci d y= u(x) = u( ( u ) αie i ) + u( i= i= d n ( u ) + 2 i= αie i ) = u( ( u ) i= i= d n ( u ) αie i. + n n αie i ) = αi ( e i ) i= d + i= d u + ( ) u,

Algebră liniară deci B 3 ={u(e d(u)+ ), u(e d(u)+2 ),, u(e n )} este un sistem de generatori pentru Im u. Pentru a arăta că B 3 este bază rămâne să arătăm că B 3 este liniar independentă. Fie scalarii α, α 2,, α n-d(u) astfel încât α u(e d(u)+ ) + α 2 u(e d(u)+2 ) + + α n-d(u) u(e n ) = 0. Ţinând cont că u este o transformare liniară rezultă că u(α e d(u)+ + α 2 e d(u)+2 + + α n-d(u) e n ) = 0. sau echivalent α e d(u)+ + α 2 e d(u)+2 + + α n-d(u) e n Ker u. Din faptul că B ={e, e 2, e d(u) } este o bază în Ker u, rezultă că există scalarii β, β 2,, β d(u) astfel încât α e d(u)+ + α 2 e d(u)+2 + + α n-d(u) e n = β e + β 2 e 2 + + β d(u) e d(u). sau echivalent α e d(u)+ + α 2 e d(u)+2 + + α n-d(u) e n - β e - β 2 e 2 - - β d(u) e d(u) = 0. Pe de altă parte B 2 ={e, e 2, e d(u), e d(u)+,, e n } fiind bază în V, deci, în particular, fiind liniar independentă, rezultă că α = α 2 = =α n-d(u) = β = = β d(u) = 0. De aici rezultă că B 3 este liniar independentă. Faptul că B 3 ={u(e d(u)+ ), u(e d(u)+2 ),, u(e n )} este o bază în Im u, implică r(u) = dim K (Im u) = card(b 3 ) = n - d(u), sau echivalent r(u) + d(u) = n. Lema 3.3.8. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K şi u: V W o transformare liniară. Dacă V este finit dimensional şi dacă S este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci dim K u(v) - dim K u(s) dim K V - dim K S. Demonstraţie. Notăm cu u S restricţia transformării liniare u la S : u S : S W, u S (x) = u(x) pentru orice x S. Este clar că Im u S = u S (S) = u(s) şi că Ker u S Ker u. 3

Transformări liniare Din teorema precedentă aplicată transformărilor liniare u şi u S rezultă că Scăzând cele două relaţii obţinem dim K u(v) + dim K (Ker u) = dim K V dim K u(s) + dim K (Ker u S ) = dim K S dim K u(v) - dim K u(s) + (dim K (Ker u) - dim K (Ker u S )) = dim K V - dim K S. Pe de altă parte, din Ker u S Ker u, rezultă dim K (Ker u) dim K (Ker u S ), şi, ţinând seama de relaţia de mai sus, obţinem dim K u(v) - dim K u(s) dim K V - dim K S. Teorema 3.3.9. (inegalitatea lui Sylvester) Fie V, V 2 şi V 3 trei spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât dim K V 2 =n. Pentru orice două transformări liniare u : V 2 V 3 şi u 2 : V V 2, rezultă că r(u u 2 ) r(u ) + r(u 2 ) - n, unde am notat cu r(u ) (respectiv r(u 2 ), r(u u 2 )) rangul lui u (respectiv rangul lui u 2, rangul lui u u 2 ). Demonstraţie. Aplicând Lema 3.3.8 pentru transformarea liniară u şi subspaţiul Im u 2 = u 2 (V ) al lui V 2 : u 2 (V ) V 2 u V 3 obţinem dim K (u (V 2 )) - dim K (u (u 2 (V ))) dim K (V 2 ) - dim K (u 2 (V )), sau echivalent, dim K (u (V 2 )) - dim K (u u 2 (V )) dim K (V 2 ) - dim K (u 2 (V )). Ţinând cont de definiţia rangului unei transformări liniare rezultă că r(u ) - r(u u 2 ) n - r(u 2 ). Teorema 3.3.0. (inegalitatea lui Frobenius) Fie V, V 2, V 3 şi V 4 patru spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât V 2 şi V 3 să fie finit dimensionale. Pentru orice transformări 4

Algebră liniară liniare u : V 3 V 4, u 2 : V 2 V 3 şi u 3 : V V 2 rezultă că r(u u 2 ) + r(u 2 u 3 ) r(u 2 ) + r(u u 2 u 3 ), unde am notat cu r(u u 2 ) (respectiv r(u 2 ), r(u 2 u 3 ), r(u u 2 u 3 )) rangul lui u u 2 (respectiv rangul lui u 2, rangul lui u 2 u 3, rangul lui u u 2 u 3 ). Demonstraţie. Aplicând Lema 3.3.8 pentru liniare u la u 2 (V 2 ) şi subspaţiul u 2 (u 3 (V )) al lui u 2 (V 2 ): obţinem inegalitatea u 2 (u 3 (V )) u 2 (V 2 ) 5 u V 4 restricţia transformării dim K (u (u 2 (V 2 )))-dim K (u (u 2 (u 3 (V )))) dim K (u 2 (V 2 ))-dim K (u 2 (u 3 (V ))), care poate fi scrisă sub forma, r(u u 2 ) - r(u u 2 u 3 ) r(u 2 ) - r(u 2 u 3 ). Corolarul 3.3.. Fie V, V 2 şi V 3 trei spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât V 2 să fie finit dimensional. Pentru orice transformări liniare u : V 2 V 3, u 2 : V V 2, rezultă că r(u u 2 ) min (r(u ), r(u 2 )), unde am notat cu r(u ) (respectiv r(u 2 )), rangul lui u (respectiv rangul lui u 2 ). Demonstraţie. Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius (demonstrată în teorema precedentă) pentru transformările liniare V O V 2 u V 2 u V 3 (O fiind transformarea liniară nulă) şi ţinem seama că obţinem r(o) =r(u 2 O) =r(u u 2 O) = 0 r(u u 2 ) r(u 2 ) ().

Transformări liniare Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius pentru transformările liniare şi ţinem seama că obţinem V u 2 V 2 u V 3 O V 3 r(o) =r(ou ) =r(ou u 2 ) = 0 r(u u 2 ) r(u ) (2). Din () şi (2) rezultă că r(u u 2 ) min (r(u ), r(u 2 )). Exemplul 3.3.2. Fie transformarea liniară u : R 2 R 2 definită prin u(x) = (x + x 2, x -x 2 ) pentru orice x = (x, x 2 ) R 2. Atunci Ker u = {x R 2 : u(x) = 0} = {(x, x 2 ) R 2 : (x + x 2, x -x 2 ) = (0,0)} Cu alte cuvinte (x, x 2 ) Ker u dacă şi numai dacă este soluţia sistemului omogen x + x 2 = 0, x - x 2 = 0. Determinantul acestui sistem fiind - = -2 0, rezultă că sistemul admite doar soluţia banală x =0, x 2 = 0. Deci Ker u = {0}. Din faptul că u este endomofism al spaţiului finit dimensional R 2 şi are proprietatea că Ker u = {0}, rezultă că u este nesingular (vezi Propoziţia 3.3.6). Pentru a determina transformarea inversă notăm u(x) = y, unde y = (y, y 2 ). Obţinem sistemul liniar x + x 2 = y, x - x 2 = y 2, care are soluţia x = 2 y + 2 y2, x 2 = 2 y - y2. Deci u - (y) = ( y + y2, y - y2 ) pentru orice y = (y, y 2 ) R 2. 2 2 2 2 2 Exemplul 3.3.3. Fie transformarea liniară u : R 2 R 3 definită prin u(x) = (x, x 2, x -2x 2 ) pentru orice x = (x, x 2 ) R 2. Să se determine 6

Algebră liniară nucleul şi imaginea acestei transformări liniare. Avem Ker u = {x R 2 : u(x) = 0} = {(x, x 2 ) R 2 : (x, x 2, x -x 2 ) = (0,0,0)}. Cu alte cuvinte (x, x 2 ) Ker u dacă şi numai dacă este soluţia sistemului omogen x = 0, x 2 = 0, x - 2x 2 = 0. Deoarece acest sistem admite doar soluţia banală (x =0, x 2 = 0), rezultă că Ker u = {0}. Pentru a calcula imaginea transformării observăm că Im u ={u(x) : x R 2 } = {y R 3 : există x R 2 astfel încât y = u(x)} Cu alte cuvinte (y, y 2, y 3 ) Im u dacă şi numai dacă sistemul x = y, x 2 = y 2, x - 2x 2 = y 3 este compatibil. Putem lua drept minor principal p = 0 0 = 0 Există un singur minor caracteristic: 0 y 0 y 2-2 y 3 0 y = 0 y 2 = y 3 - y +2y 2 0-2 y 3 -y Deci condiţia de compatibilitate a sistemului devine y 3 -y +2y 2 = 0. În consecinţă, Im u = {(y, y 2, y 3 ) R 3 : y 3 -y +2y 2 = 0} ={(α, β, α-2β) : α, β R}. Se observă uşor că B ={e, e 2 }, unde e = (,0,) şi e 2 =(0,,- 2) este o bază a lui Im u. Deci rangul lui u este 2. Se verifică egalitatea dim R (Im u) + dim R (Ker u) = dim R R 2 (2 + 0 =2) demonstrată în Teorema 3.3.7. 7

Transformări liniare 3.4. atricea asociată unei transformări liniare În această secţiune vom considera doar spaţii vectoriale finit dimensionale. Teorema 3.4.. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste un corp comutativ K, şi u : V W o transformare liniară. Dacă {e, e 2,, e n } este o bază a lui V şi {f, f 2,, f m } este o bază a lui W, atunci există şi este unică o matrice A = ( ) m j= α cu elemente din corpul K astfel ij i n j m încât u(e i ) = α f pentru orice i n. În plus, dacă ij j n imaginea lui x = x ie i (x i K pentru orice i n) i= m prin u este u(x) = y if i (y i K pentru orice i m), atunci y i = α n j= ji j i= x pentru orice i m. Notând X =(x, x 2,, x n ), Y =(y, y 2,, y m ), relaţiile y i = n j= α ji x pentru orice i m. pot fi scrise sub forma j matriceală Y = XA. Demonstraţie. Conform Teoremei 3..6, transformarea liniară u este unic determinată de valorile {u(e i )} i n. Pe de altă parte, fiecare vector u(e i ) poate fi reprezentat în mod unic în baza {f, f 2,, f m }: m u(e i ) = α f pentru orice i n. j= ij j 8

Prin urmare, matricea A = ( α ) Algebră liniară ij i n j m 9, ale cărei linii au drept elemente coordonatele (α i, α i2,, α im ) corespunzătoare vectorilor u(e i ) ( i n) în baza {f, f 2,, f m }, este unic determinată. Fie x = xie i V (x i K m pentru orice i n) şi fie y if i (y i K pentru orice i m) i= reprezentarea lui u(x) în baza {f, f 2,, f m }. Avem u(x) = u( x ie i ) = n i= x u ( ) i e i n m = x i αijf i= j= n m = x iαijf i= j= j j n i= m n = x iα j= i= Unicitatea reprezentării lui u(e j ) în baza {f, f 2,, f m } implică n y j = αijx i pentru orice j m. i= Definiţia 3.4.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste un corp comutativ K, şi u : V W o transformare liniară. Dacă B ={e, e 2,, e n } este o bază a lui V şi B 2 ={f, f 2,, f m } este o bază a lui W, atunci matricea A = ( ) ij i n j m ij f n i= α cu elemente din corpul K cu proprietatea că m u(e i ) = α f pentru orice i n. j= ij j se numeşte matricea asociată transformării liniare u în raport cu perechea de baze considerate şi se notează cu B, B 2 ( u). Dacă u :V V este un endomorfism şi B ={e, e 2,, e n } este o bază a lui V, atunci convenim să scriem B (u) în loc de B,B (u), şi să o numim matricea asociată transformării liniare u în raport cu baza B. j

Transformări liniare Exemplul 3.4.3. Fie R n [X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficienţi reali. Structura de spaţiu vectorial este dată de adunarea obişnuită a polinoamelor, şi drept operaţie externă, de înmulţirea polinoamelor cu elemente din R: (α, α 0 + α X + + α n X n ) αα 0 + αα X + + αα n X n. Considerăm transformarea liniară D: R n [X] R n [X], definită prin D(P) = P' (derivata polinomului P). ai precis, dacă P = α 0 + α X + + α n X n atunci D(P) =α + 2α 2 X + + nα n X n-. Se verifică uşor că D este o transformare liniară (D(αP+βQ) =αd(p) +βd(q) pentru orice polinoame P şi Q şi orice numere reale α şi β). De asemenea, este clar că B ={, X, X 2,, X n } este o bază în R n [X]. Determinăm matricea asociată lui D în raport cu baza B. Avem D() = 0 = 0 + 0 X + + 0 X n. D(X) = = + 0 X + + 0 X n. D(X k ) = kx k- =0 + 0 X + + 0 X k-2 +k X k- +0 X k + + 0 X n. D(X n ) = nx n- =0 + 0 X + + 0 X n-2 + n X n- +0 X n. atricea asociată lui D în raport cu baza B este B (D) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 (n-) 0 0 0 0 0 0 n 0 atricea asociată lui D în raport cu baza B este se obţine punând pe linii coordonatele în baza B ale vectorilor D(), D(X),, D(X n ). 20

Algebră liniară Coordonatele unui polinom P = α 0 + α X + + α n X n în baza B ={, X, X 2,, X n } sunt chiar coeficienţii polinomului P: (α 0, α,, α n ). Dacă (β 0, β,, β n ) = (α, 2α 2,, nα n, 0) sunt coordonatele lui P'= D(P) în baza B, atunci are loc următoarea egalitate matriceală (β 0, β,, β n ) = (α 0, α,, α n ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 (n-) 0 0 0 0 0 0 n 0 Observaţia 3.4.4. Fie K un corp comutativ şi u : K n K m o transformare liniară. Fie B n, respectiv B m, baza canonică din K n, respectiv din K m. Coordonatele unui vector (α, α 2,, α m ) din K m în baza canonică sunt de fapt componentele vectorului respectiv: (α, α 2,, α m ). Ţinând cont de aceasta, liniile matricei A = ( ) α asociate transformării liniare u în ij i n j m raport cu perechea de baze B n, B m sunt date de vectorii u(e ), u(e ), u(e 2 ),, u(e n ), unde E, E 2,, E n sunt vectorii bazei canonice B n. Dacă x = (x, x 2,.., x n ) este un vector din K n, atunci u(x) = (x, x 2,.., x n )A. De exemplu, fie transformarea liniară u : R 3 R 4, definită prin u(x) =(x + x 2-2x 3, x 2 + 8x 3, -x, 4x 3 ), pentru x =(x, x 2, x 3 ). Considerăm baza canonică din R 3 : {(,0,0), (0,,0), (0,0,)}, respectiv din R 4 {(,0,0,0), (0,,0,0), (0,0,,0), (0,0,0,)}. atricea lui u în raport cu perechea de baze canonice este 2

Transformări liniare A = 0-0 0 0-2 8 0 4 ( la scrierea matricei s-a ţinut cont de faptul că u(x) =(x, x 2, x 3 )A, pentru x =(x, x 2, x 3 )) Propoziţia 3.4.5. Rangul unei transformări liniare este egal cu rangul matricei asociate transformării liniare în raport cu orice pereche de baze. Demonstraţie. Fie u : V W o transformare liniară. Fie B ={e, e 2,, e n } o bază în V, B 2 ={f, f 2,, f m } o bază în W, şi fie A = ( ) α matricea asociată lui u în raport cu perechea de baze B, B 2. ij i n j m n Un vector x = x ie i (x i K pentru orice i n) din V aparţine lui Ker i= u, dacă şi numai dacă u(x) = 0, ceea ce (ţinând seama de faptul că u(x) m n = x iα j= i= ij f j ) este echivalent cu n αijx i = 0 pentru orice j m. i= Relaţiile de mai sus reprezintă un sistem liniar şi omogen de m ecuaţii cu n necunoscute. atricea acestui sistem este A. Dacă rangul matricei A este r, atunci mulţimea vectorilor ale căror coordonate satisfac sistemul liniar şi omogen de mai sus este un subspaţiu liniar de dimensiune n - r (vezi Teorema.7.3). În consecinţă, dim K (Ker u) = n-r, şi deci rangul transformării liniare u este dim K (Im u) = n - dim K (Ker u) = n - (n-r) = r (vezi Teorema 3.3.7). 22

Algebră liniară Observaţia 3.4.6. Fie u :V V un endomorfism şi B ={e, e 2,, e n } este o bază a lui V. Fie B (u) matricea asociată transformării liniare u în raport cu baza B. Endomorfismul u este nesingular dacă şi dacă numai dacă matricea B (u) este nesingulară (<=> rang( B (u)) = n <=> det( B (u)) 0). Într-adevăr, conform Propoziţiei 3.3.6, endomorfismul u este nesingular dacă şi numai dacă Ker u ={0}, ceea ce este echivalent cu dim(im u) = n (adică rangul lui u este n). Cum rangul lui u este egal cu rangul lui B (u), rezultă că u este endomorfism nesingular dacă şi numai dacă B (u) este nesingulară. Proprietăţile unei transformări liniare sunt reflectate în proprietăţile matricelor care o reprezintă în diverse baze. Fie V, V 2, V 3 trei spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. Fixăm B ={e, e 2,, e n } o bază a lui V, B 2 ={f, f 2,, f m } o bază a lui V 2 şi B 3 ={g, g 2,, g p } o bază a lui V 3. Considerăm trei transformări liniare u, u 2 : V V 2, u 3 : V 2 V 3. Fie B, B 2 ( u) (respectiv B B 2 ( u 2 ), ) matricea lui u (respectiv u 2 ) în raport cu perechea de baze B, B 2, şi fie ( u ) B 2, B 3 3 matricea lui u 3 în raport cu perechea de baze B 2, B 3. Următoarele afirmaţii sunt uşor de verificat. Transformării liniare u + u 2 îi corespunde matricea, B ( u u 2 ) = B, B 2 ( u) + B, B 2 ( u 2 ) B 2 + 2. Transformării liniare αu (α K) îi corespunde matricea, B ( u) = α B B ( u) B 2 α, 2 3. Transformării liniare u 3 u îi corespunde matricea, B ( u 3u) = B, B 2 ( u) B 2, B 3 ( u 3 ) B 3 23

Transformări liniare 4. Dacă transformarea liniară u este inversabilă, atunci transformării liniare u - îi corespunde matricea ( u ) B 2 B, = B B ( u), 2 Să verificăm ultimele două afirmaţii. Dacă ( u ) 2, B ( u 3 ) =( β ij) B 3 i m j p -., atunci pentru orice i n, avem B, B 2 =( αij ) i n j m şi u 3 u (e i ) = u 3 (u (e i )) = m α j= 3 ijf j m u = α u ( f ) j= ij 3 j Dacă ( u u ) m p p m = αij β jkg k = α ijβ jk g k. () j= k= k= j= B, B 3 3 =( ij ) i n j p γ matricea lui u 3 u în raport cu perechea de baze B, B 3, atunci pentru orice i n, avem u 3 u (e i ) = p k= γ (2) ikgk Din () şi (2) (în baza unicităţii reprezentării unui vector într-o bază) m rezultă că γ ik = α β echivalent cu j= ij jk pentru orice i n şi k p, ceea ce este, B ( u 3u) = B, B 2 ( u) B B 3 ( u 3 ) B 3 24 2,. Presupunem că transformarea liniară u este inversabilă (deci m = n), şi că ( u ) B 2 B, este matricea lui u - în raport cu perechea de baze B 2, B 3. Din cele demonstrate mai sus, în baza faptului că transformării liniare identice îi corespunde matricea identică, rezultă că B V = ( ) B u u = B, B 2 ( u) B 2, B ( u ) B I = ( ) B uu = ( u ) B B u I n = ( I ) I n = ( ) 2 V 2 2 ( ),, 2 B 2 B

Deci ( u ) B 2 B, = B B ( u), 2 Algebră liniară -. Proprietăţile puse în evidenţă mai înainte arată că :. aplicaţia ϕ : L(V, V 2 ) n,m (K) definită prin ϕ(u) = ( u) B 2 B, pentru orice u L(V, V 2 ) este un izomorfism de spaţii vectoriale peste corpul K. 2. aplicaţia ϕ : L(V, V ) n,n (K) definită prin ( ) t ϕ(u) = ( u ) B este un izomorfism de inele. pentru orice u L(V, V ) Teorema 3.4.7. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste un corp comutativ K, şi u : V W o transformare liniară. Fie B, B 2 două baze în V şi fie L matricea de trecere de la baza B la baza B 2. Similar, fie B 3, B 4 două baze în W şi fie matricea de trecere de la baza B 3 la baza B 4. Atunci B, ( u) =L ( u) 2 B 4 Demonstraţie. Folosim următoarele notaţii B, B 3 - B ={e, e 2,, e n }, B 2 ={f, f 2,, f n } (baze în V), B 3 ={g, g 2,, g m }, B 4 ={h, h 2,, h m } (baze în W), B, ( u) =( α ij ) i n, ( u) B 3 j m B, =( β ij) 2 B 4 cu perechea de baze B, B 3, respectiv B 2, B 4 ) L = ( ) = ( ) ij i n j n i n j m (matricele lui u în raport λ (matricea de trecere de la baza B la baza B 2 ) µ (matricea de trecere de la baza B 3 la baza B 4 ) ij i m j m Pentru orice i n, avem 25

n u(f i ) = u( λ j= Transformări liniare ij e j ) = n λ ( ) iju e j j= n m m n = λij α jkg k = λijα jk g k () j= k= k= j= Pe de altă parte, pentru orice i n, avem n u(f i ) = ij h n m m n β j = βij µ jkg k = βijµ jk g k (2) j= j= k= k= j= Datorită unicităţii reprezentării unui vector într-o bază, din relaţiile () şi (2) rezultă că n λ α j= n β ij µ ij jk = jk j= pentru orice i n şi k m, ceea ce revine la L B, ( u) = ( u) B 3 Înmulţind la stânga cu -, obţinem B 2, B 4. B, ( u) =L ( u) 2 B 4 B 3 B, -. Corolarul 3.4.8. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K, şi u : V V un endomorfism. Fie B, B 2 două baze în V şi fie C matricea de trecere de la baza B la baza B 2. Atunci B ( u) =C ( u) 2 B C - Demonstraţie. În Teorema 3.4.7 considerăm B 3 = B şi B 4 = B. Exemplul 3.4.9. Fie R 3 [X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 3, cu coeficienţi reali (vezi şi exemplul 3.4.3). Considerăm transformarea liniară D : R 3 [X] R 3 [X], definită prin D (P) = XP'. Determinăm matricea asociată lui D în raport cu baza 26

Dacă atunci atricea lui D în raport cu baza este Algebră liniară B = {, +X, ( + X) 2, ( + X) 3 } B ( D ) 0 P = α 0 + α X +α 2 X 2 +α 3 X 3 D (P) = α X +2α 2 X 2 +3α 3 X 3. B 0 ={, X, X 2, X 3 } atricea de trecere de la baza B 0 la baza B este = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 C = 0 0 0 0 0 2 0 3 3 Cum B( D ) =C ( ) B D 0 C - rezultă că B( D ) = 0 0 0 0-0 0 0-2 2 0 0 0-3 3 27

Transformări liniare 3.5. Endomorfisme particulare Definiţia 3.5.. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Endomorfismul u : V V se numeşte. automorfism dacă este bijectiv; 2. proiecţie (sau endomorfism idempotent) dacă u 2 = u; 3. involuţie dacă u 2 = I (I este transformarea liniară identică pe V); 4. antiinvoluţie dacă u 2 = - I; 5. endomorfism nilpotent de indice p N (p 2) dacă u p = O şi u p- O (O este transformarea liniară nulă pe V). Propoziţia 3.5.2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Fie V şi V 2 două subspaţii vectoriale ale lui V cu proprietatea că V = V V 2. Aplicaţiile P, P 2 : V V, definite prin P (x) = x P 2 (x) = x 2, (unde x = x + x 2 este unica reprezentare a lui x cu proprietatea că x V şi x 2 V 2 ) sunt proiecţii. Demonstraţie. Fie x = x + x 2 V V 2 (x V, x 2 V 2 ) şi y = y + y 2 din V V 2 (y V, y 2 V 2 ) şi fie α, β K. Atunci P (αx + β y) = P (αx + βy + αx 2 + βy 2 ) = αx + βy = αp (x) + βp (y). Deci P este aplicaţie liniară. Analog, P 2 este aplicaţie liniară. Pentru orice x = x + x 2 V V 2 (x V, x 2 V 2 ), avem P (P (x)) = P (x ) = x = P (x). 28

Algebră liniară Analog P 2 este endomorfism idempotent. Definiţia 3.5.3. Fie V, V 2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K astfel încât V = V V 2. Aplicaţiile P, P 2 : V V, definite prin P (x) = x P 2 (x) = x 2, unde x = x + x 2 este unica reprezentare a lui x cu proprietatea că x V şi x 2 V 2, se numesc proiecţii canonice : P se numeşte proiecţia lui V pe V (de-a lungul lui V 2 ), iar P 2 se numeşte proiecţia lui V pe V 2 (dea lungul lui V ). Propoziţia 3.5.4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Dacă P : V V este o proiecţie, atunci există subspaţiile vectoriale V şi V 2 astfel încât V = V V 2 şi P să fie proiecţia lui V pe V (de-a lungul lui V 2 ). Demonstraţie. Considerăm subspaţiile vectoriale: V = Im P ={P(x) : x V},V 2 = Ker P ={x V: P(x) = 0} Arătăm mai întâi că V = {x V : P(x) = x}. Dacă y V, atunci există x V astfel încât y = P(x), şi ca urmare P(y) = P(P(x)) = P 2 (x) = P(x) =y. Deci y {x V : P(x) = x}. Reciproc, orice y {x V : P(x) = x}, are proprietatea că y =P(y) Im P. Arătăm că V = V V 2. Dacă x V V 2, atunci x = P(x) = 0. În consecinţă V V 2 = {0}. Pentru orice x V, avem x = P(x) + (I - P)(x) (I este transformarea liniară identică pe V). 29

Transformări liniare Notăm x =P(x) şi x 2 =(I - P)(x). Evident x Im p =V. Dacă arătăm că x 2 V 2 demonstraţia este încheiată. Din P(x 2 ) = P((I - P)(x)) =P(x -P(x)) = P(x) -P(P(x)) = P(x) -P 2 (x) = P(x) -P 2 (x) = P(x) -P(x) = 0, rezultă că x 2 Ker P = V 2. Observaţia 3.5.5. Din demonstraţia propoziţiei precedente rezultă următoarele afirmaţii:. Dacă V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi P : V V este o proiecţie, atunci V = Im P Ker P 2. Fie V şi V 2 două subspaţii ale spaţiului vectorial V peste corpul comutativ K, astfel încât V = V V 2. 2.. Dacă P este proiecţia lui V pe V, atunci V = Im P ={P(x) : x V} ={x V : P(x) = x} V 2 = Ker P ={x V: P(x) = 0} 2.2. Dacă P este proiecţia lui V pe V, atunci I - P este proiecţia lui V pe V 2 şi reciproc. 2.3. Dacă P şi P 2 sunt proiecţiile V pe V, respectiv V 2, atunci P + P 2 = I P P 2 = P 2 P = O. Definiţia 3.5.6. Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K şi u : V V un endomorfism. Un subspaţiu invariant faţă de endomorfismul u este un subspaţiu vectorial V al lui V, astfel ca u(v ) V (adică, u(x) V pentru orice x din V ). 30

Aplicaţia Algebră liniară Fie V V un subspaţiu invariant la endomorfismul u : V V. u : V V, definită prin ( x) V = u(x) pentru orice x V, u V este un endomorfism numit endomorfism indus de u pe V (sau restricţia lui u la V ). Observaţie 3.5.7. Un subspaţiu vectorial V al lui V este invariant faţă de endomorfismul u : V V dacă şi numai dacă imaginile prin u ale vectorilor unei baze din V aparţin tot lui V. Într-adevăr, să presupunem că {e, e 2,,e m } este o bază în V şi că u(e i ) V pentru orice i m. Deoarece orice x V se reprezintă sub forma x = α e + α 2 e 2 + +α m e m, α, α 2,, α m K, rezultă că u(x) =α u(e ) + α 2 u(e 2 ) + +α m u(e m ) V. Implicaţia inversă este evidentă. Exemple 3.5.8. Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K şi u : V V un endomorfism. Se verifică uşor că. V şi {0} sunt subspaţii invariante faţă de u. 2. Ker u m ={x V: u m (x) = 0} este subspaţiu invariant faţă de u, pentru orice m N *. 3. Im u m ={ u m (x) : x V} este subspaţiu invariant faţă de u, pentru orice m N *. 4. Dacă V şi V 2 sunt două subspaţii vectoriale ale V invariante faţă de u, atunci V V 2 şi V + V 2 sunt subspaţii invariante faţă de u. Propoziţia 3.5.9. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K şi u : V V un endomorfism. Un subspaţiu 3

Transformări liniare vectorial V V este invariant la u dacă şi numai dacă PuP = up, unde P este proiecţia lui V pe V. Demonstraţie. Fie V = V V 2 şi x V. Atunci x se scrie în mod unic sub forma x = x + x 2 cu x V şi x 2 V 2. Presupunem că V este invariant la u. Cum up(x) = u(x ) V, rezultă că P(uP(x)) = u(x ). Deci PuP(x) = up(x). Reciproc, presupunem că PuP = up. Dacă x V, atunci x = x şi x 2 =0 (sau echivalent, P(x) =x) şi deci, u(x) = u(x ) = up(x) = PuP(x) = P(u(P(x)) = P(u(x)). Ca urmare, u(x) Im P = V. Teorema 3.5.0. Fie V şi V 2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V peste corpul comutativ K, astfel încât V = V V 2. Subspaţiile V şi V 2 sunt invariante faţă de un endomorfism u: V V dacă şi numai dacă Pu = up, unde P este proiecţia lui V pe V de-a lungul lui V 2. Demonstraţie. Dacă P este proiecţia lui V pe V de-a lungul lui V 2, atunci I-P este proiecţia lui V pe V 2 de-a lungul lui V. Presupunem că V şi V 2 sunt invariante la u. Din propoziţia precedentă rezultă că PuP= up şi (I-P)u(I-P) = u(i-p). Relaţia (I-P)u(I-P)=u(I-P) este echivalentă cu Pu =PuP. Deci up =PuP =Pu. Reciproc, să presupunem că Pu = up. Aplicând P la dreapta, obţinem PuP = up 2 = up şi, conform propoziţie precedente, rezultă că V =Im P este invariant la u. Pe de altă parte, Pu = up implică (I-P)u = u(i-p). Aplicând proiecţia I-P la dreapta, obţinem (I-P)u(I-P) = u(i-p) 2 = u(i-p), şi ţinând cont din nou de propoziţia precedentă, rezultă că V 2 =Im(I-P) este invariant la u. 32

Algebră liniară Propoziţia 3.5.. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Relaţiile u = 2P - I, P = (u + I), 2 (unde I este transformarea liniară identică pe V) stabilesc o corespondenţă biunivocă între proiecţii şi involuţii pe V. Demonstraţie. Dacă P : V V o proiecţie, atunci 2P - I este transformare liniară. Să verificăm faptul că este involuţie: (2P - I ) 2 = 4P 2-4P + I = 4P - 4P + I =I. Reciproc, dacă u : V V este o involuţie, atunci (u + I) este o 2 transformare liniară, şi în plus, ( 2 (u + I)) 2 = 4 (u 2 +2u +I) = 4 (I+2u +I) = 2 (I +u). Deci 2 (u + I) este proiecţie. Propoziţia 3.5.2. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K. V admite o antiinvoluţie dacă şi numai dacă dimensiunea lui V peste K este pară. Demonstraţie. Presupunem că dimensiunea lui V peste K este pară şi construim o antiinvoluţie pe V. Fie {e, e 2,,e 2n } o bază a lui V. Este suficient să definim antiinvoluţia pe vectorii bazei. Fie u : V V, definită prin u(e i ) = e i+n şi u(e i+n ) = -e i pentru orice i n. Se observă că u 2 (e i ) = - e i pentru orice i 2n, şi deci u 2 = - I. 33

Transformări liniare Reciproc, fie u : V V o antiinvoluţie. Dacă x este un vector nenul din V, atunci {x, u(x )} este liniar independentă. Într-adevăr, fie scalarii α, α 2 K astfel încât α x + α 2 u(x ) = 0 () Aplicând, u în relaţia şi ţinând seama că u 2 (x ) = -x, obţinem α u(x ) - α 2 x = 0 (2) Adunând relaţia înmulţită cu α cu relaţia 2 înmulţită cu (-α 2 ), obţinem (α 2 +α 2 2 )x = 0, de unde α 2 +α 2 2 = 0, sau echivalent α = α 2 = 0. ai general, arătăm că dacă x, x 2,, x m sunt vectori din V astfel încât {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- )} să fie liniar independentă, atunci {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- ), u(x m )} este liniar independentă. Fie α, α 2,, α 2m K astfel încât α x +α 2 x 2 + +α m x m + α m+ u(x ) + α m+2 u(x 2 ) + + + α 2m- u(x m- ) + α 2m u(x m ) = 0 (3). Aplicând, u în relaţia 3 şi ţinând seama că u 2 (x) = -x pentru orice x V, obţinem α u(x ) + α 2 u(x 2 ) + + α m u(x m ) - α m+ x - α m+2 x 2 - - - α 2m- x m- - α 2m x m = 0 (4). Prin adunarea relaţiei 3 înmulţită cu α m cu relaţia 4 înmulţită cu (-α 2m ), obţinem (α α m + α m+ α 2m ) x +(α 2 α m + α m+2 α 2m )x 2 + +(α 2 m +α 2 2m )x m + + (α m+ α m -α α 2m )u(x ) + + (α 2m- α m -α m- α 2m )u(x m- ) = 0. Cum {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- )} este liniar independentă, (α α m + α m+ α 2m ) = = (α 2 m +α 2 2m ) = =(α 2m- α m -α m- α 2m ) = 0, 34

Algebră liniară de unde rezultă, în particular, că α 2m = 0. Înlocuind în relaţia 3 α 2m = 0, şi ţinând din nou cont că {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- )} este liniar independentă, obţinem α = α 2 = = α 2m = 0. Construim o bază a lui V după cum urmează. Alegem x o vector nenul din V. Am arătat că {x, u(x )} este liniar independentă. Dacă dimensiunea lui V nu este 2, există x 2 V, astfel încât {x, x 2, u(x )} să fie liniar independentă. Din cele demonstrate mai sus rezultă că {x, x 2, u(x ), u(x 2 )} este liniar independentă. Continuând acest procedeu obţinem o bază a lui V cu un număr par de vectori. Observaţia 3.5.3. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K şi u: V V o antiinvoluţie. Atunci există o bază B a lui V astfel încât B (u) (matricea lui u în raport cu baza B) să fie O I m -I m O Într-adevăr, din demonstraţia propoziţiei precedente, rezultă că putem construi o bază a lui V de forma B = {x, x 2,, x m, u(x ), u(x 2 ),.., u(x m- ), u(x m )}. Evident, matricea lui u în raport cu această bază are forma de mai sus. Propoziţia 3.5.4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi u: V V un endomorfism nilpotent de indice p (u p = O şi u p- O). ulţimea {x, u(x),, u p- (x)} este liniar independentă oricare ar fi vectorul nenul x V cu u p- (x) 0. 35

Transformări liniare Demonstraţie. Fie x V cu x 0 şi u p- (x) 0. Presupunem prin absurd că {x, u(x),, u p- (x)} nu este liniar independentă. Fie scalarii α 0, α,,α p- K, nu toţi nuli, astfel încât α 0 x + α u(x) + α p- u p- (x) = 0. () Fie k cel mai mic indice cu proprietatea că α k 0. Din relaţia rezultă că u k (x) = - α - k (α 0 x + α u(x) + α k- u k- (x) + α k+ u k+ (x) + + α p- u p- (x)) = - α - k ( α k+ u k+ (x) + + α p- u p- (x)) = - α - k α k+ u k+ (x) - α - k α k+2 u k+2 (x)- - α - k α p- u p- (x)) = u k+ ( - α - k α k+ x- α - k α k+2 u k (x) - α - k α p- u p - k-2 (x)) Dacă notăm y = - α - k α k+ x- α - k α k+2 u k (x) - α - k α p- u p - k-2 (x), rezultă că u k (x) = u k+ (y). Avem u p- (x) = u p-k- (u k (x)) = u p-k- (u k+ (y)) = u p (y) = 0, deoarece u este nilpotent de indice p. Dar u p- (x) = 0 contrazice ipoteza. Ca urmare {x, u(x),, u p- (x)} este liniar independentă. Observaţia 3.5.5. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi u: V V un endomorfism nilpotent de indice p (u p = O şi u p- O). Notăm cu L spaţiul vectorial generat de {x, u(x),, u p- (x)}. Evident L este un spaţiu invariant la u. atricea endomorfismului u L indus de u pe L în baza B = {x, u(x),, u p- (x)}, este B (u L ) = Teorema 3.5.6. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V V există două subspaţii vectoriale V şi V 2 ale lui V invariante la u astfel încât: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 36