Parcialni oeficient orelacie Ao e oeficient orelacie bliza 1, ne mora značiti da su X i Y međusobno zavisne, već da postoi treća promenliva Z od oe zavise X i Y. Definiše iš se parcialni i oeficient i orelacie pomoću ć oeg se nalazi zavisnost X od Y bez uticaa Z. Nea easuρ ρ 12, ρ 13 i ρ 23, oeficienti ce orelacia eaca između X i Y,, X i Z i između Y i Z. Parcialni oeficient orelacie između X i Y bez uticaa Z: ρ 12 1 ρ ρ 2 13 13 ρ 23 1 ρ 2 23 1
Koeficient asimetrie i sploštenosti Pomoću matematičog očeivana definišu se i oeficient asimetrie i sploštenosti. Definicia. Nea su EXm i DXσ 2 matematičo očeivane č i disperzia i slučane č promenlive X. Ao postoe veličine Koeficient asimetrie 3 4 E X m E X m f1 f 3 3 2 4 σ σ Koeficient sploštenosti Koriste se i termini: prvi i drugi Fišerov oeficient i prvi i Koriste se i termini: prvi i drugi Fišerov oeficient, i prvi i drugi Pirsonov oeficient. 2
Koeficient variacie, indes disperzie Ao e EX 0, tada e oeficient variacie: c V σ EX Ao e EX 0, tada e indes disperzie: I D X E X 3
Karateristična funcia Pomoću matematičog očeivana definiše se funcionalna arateristia slučanih promenlivih arateristična funcia. Nea e data sp X. Funcia ϕ definisana i ednaošću: ϕtee itx, t R, i 2-1 Naziva se arateristična funcia slučane promenlive X. Karateristična funcia e edinstvena za svau sp. Koristi se u teorii verovatnoće pri doazivanu mnogih teorema. 4
Mod raspodele Definicia. Nea e data disretna sp X sa onačno ili prebroivo mnogo vrednosti svoim zaonom raspodele p P[Xx ], J N. Svaa vrednost ili vrednosti sp X čie su odgovarauće verovatnoće veće od susednih e mod raspodele. Nea e data nepreidna sp X svoom gustinom raspodele gx, x R. Apscisa svae tače loalnog masimuma funcie gx e mod raspodele. Raspodela može imati edan mod unimodalna, ili dva moda bimodalna, ili više polimodalna. 5
Kvantili raspodele Definicia. Nea e data sp X i nea e Fx nena funcia raspodele. Nea e q realan bro iz intervala 0, 1. Kvantil reda q e svai bro x 0 R za oi važe neednaosti: Fx 0 q i lim Fx q x x 0 Ao e FX nepreidna i strogo monotona, tada će postoati edinstveni vantili svaog reda. Ao FX ima intervale onstantnosti, t ti može postoati ti više broeva x 0 oi su vantil neog reda za posmatranu raspodelu. 6
Decili i vartili Ao e q0,1, tada e odgovaraući bro x 0 prvi decil raspodele; Ao e q0,2, tada e odgovaraući bro x 0 drugi decil raspodele, itd. Ao e q0,25, tada e odgovaraući bro x 0 prvi vartil raspodele; Ao e q0,5, 05 tada e odgovaraući bro x 0 mediana raspodele, Ao e q0,75, tada e odgovaraući bro x 0 treći vartil raspodele. Ao e q0,95, tada e odgovaraući bro x 0 95-ti percentil raspodele. 7
Matematičo očeivane 2Dsp Ao X i Y imau matematiča očeivana, tada e uređeni par EX, EY matematičo očeivane sp X, Y. Nea e X, Y dvodimenzionalna sp. Uslovno matematičo očeivane č sp Y pri ifisirano i vrednosti tix x e E Y / X x y g y / x dy gde e gy/x uslovna gustina raspodele sp Y pri X x. Ao su X i Y disretne sp, tada e E Y / X x i y P[ Y y / X xi ] 8
Nee važnie raspodele verovatnoće Poznavane raspodela i nihovih svostava značano ada na osnovu onačnog broa podataa treba utvrditi oo lasi sp pripada i oe su nene osnovne arateristie. Disretne: binomna, negativna binomna i Puasonova raspodela. Normalna raspodela Nepreidne: uniformna, esponencialna, hi-vadrat, studentova, Fišerova, Gama raspodela, itd. 9
Binomna raspodela Nea e verovatnoća realizacie dog. A u n esperimenata ednaa p. Ao e sp X ednaa brou realizacia dog. A pri istim uslovima, tada X ima binomnu raspodelu sa parametrima n i p: X : Bn, p Bernulieva sl. pr S n Za sp sa binomnom raspodelom e: X : 0 1... : n, pn, 0 pn,1... pn, n n p n n p 1 p 0,1,..., n 10
Binomne verovatnoće p n, Pn, Pn, 0.30 0.25 0.25 0.20 0.15 n10 p0.5 0.20 0.15 n12 p0.25 0.10 0.10 0.05 0.05 000 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 000 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11
Binomna raspodela nastava Binomna raspodela, nastava Ao sp X ima Bn 1, p raspodelu, a sp Y ima Bn 2, p p 1, p p, p 2, p raspodelu, i ao su X i Y nezavisne, tada sp Z X+Y ima Bn 1 +n 2, p raspodelu. R d l Y l d Z X+Y l č Raspodela za Y uslovno u odnosu na ZX+Y u slučau nezavisnih veličina X i Y sa Bn 1, p i Bn 2, p raspodelama e + n n n n Z P Y P X P Z P Z Y P Z Y P 2 1 2 1, / + n n Z P Z P 2 1 }, min{ } 0, max{ 2 1 n n }, { }, { 2 1 12
Binomna raspodela, nastava Ao sp X ima Bn,, p raspodelu, tada sp Yn-X ima Bn, 1-p raspodelu. n Izračunavane vrednosti izraza P X p 1 p može biti složeno za velie vrednosti n ili male vrednosti p, pa se može oristiti relacia p n P X + 1 P X 1 p + 1 Ao e n 30 i np<10, binomna raspodela se aprosimira Puasonovom raspodelom Ao e n 30 i np>10, binomna raspodela se aprosimira 13 normalnom raspodelom n
Binomna raspodela, disperzia Nea e verovatnoća dog. A u svaom esperimentu p i nea e izvedeno n esperimenata pod istim uslovima, nezavisno edan od drugog. Nea e I indiator dog. A u -tom esperimentu 1,,n. Za sp X sa Bn, p raspodelom važi 0 1 X I1 +... + I n I A : 1- p p E X E I +... + E In 1 n np D X D I1 +... + In np1 p 14
Binomna raspodela, oeficienti Nea e data sp X sa Bn,, p raspodelom. Koeficient variacie e p C V 1 np Indes disperzie e I 1 p < 1 Koeficient asimetrie e f 1 1 2 p np1 p Koeficient sploštenosti e f 2 1 6 p1 p np1 p 15
Bernuliev zaon veliih broeva Iz neednaosti Čebiševa sledi da za svao ε>0,, za sp X sa Bn, p raspodelom važi: X P n p ε 0 n Bernuliev zaon veliih broeva uazue na to da se relativna frevencia dog. A čia e verovatnoća p, grupiše oo p. 16
Puasonova raspodela SP X ima Puasonovu raspodelu sa parametrom λ,, Pλ ao e λ>0 i 0 1... n... λ λ X : ] p0 p1... pn... p P[ X ] e! 0,1,2,... Za n 30 i np<10, razlia između binomne i Puasonove raspodele e vrlo mala. Ao verovatnoća p n realizacie dog. A u binomnom zaonu zavisi od n, t. S n :Bn, p n tada ao np n λ, n λ! λ P [ S n ] ] e n 0,1,2,... za λ<10 17
Puasonova raspodela za različite vrednosti parametra λ P 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 λ 0.5 λ 1 λ 2 0.2 λ 3.5 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ao parametar λ Puasonove raspodele nie prirodan bro, tada raspodela ima edan mod edna celom delu broa λ, a ao e λ prirodan bro, tada Puasonova raspodela ima dva moda λ-1 i λ. 18
Puasonova raspodela, disperzia Matematičo očeivane Puasonove raspodele e E X λ λ e! 0! λ λ e! 0 λ Disperzia Puasonove raspodele e D X 2 2 λ λ E X E X 1 e! 0 + λ λ 2 λ 19
Puasonova raspodela, oeficienti Nea e data sp X sa Pλ raspodelom. Koeficient variacie e C 1 V λ Indes disperzie e I 1 Koeficient asimetrie e f 1 1 λ Koeficient sploštenosti e f 2 1 λ 20
Puasonova raspodela, nastava Nea su sp X:Pλ i Y:Pµ nezavisne. Tada e ZX+Y sp sa Puasonom raspodelom Z:Pλ+µ. Uslovna raspodela za X pri datom Z biće B,p, gde e p λ/λ+µ. Ao e X:Pλ i λ>0, tada se X može aprosimirati sp oa ima normalnu raspodelu sa parametrima a a m λ i σ 2 λ. λ 21