Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1 ) j A( x1, y1 ) i B( x, y ) Duljinom ili modulom vektora AB d ( A, B ) x y AB rab xi y j a b a b cos a b x1x y1y Skalarni produkt vektora a x1 i y1 j i b x i y j. cos 1 x1y1 x y x y1 x y 1, 0
Pojam vektora Da bi opisali pojam udaljenosti, površine, volumena, mase. dovoljno je izreći broj i mjernu jedinicu da bismo je jednoznačno i zorno opisali i zamislili, pa te veličine zovemo skalarnim veličinama. A da bismo opisali pojmove vjetra, strujanja, ubrzanja ubrzo postajemo svjesni da nam uz broj nedostaje još jedno svojstvo, a to je smjer djelovanja tog pojma, pa te veličine zovemo vektorske veličine. Vektor kao skup (klasa) usmjerenih dužina Neka su A i B dvije točke pravca u ravnini ili prostoru. Dužinu s krajevima A i B označavamo sa AB, a duljinu dužine sa AB ili d ( A, B ). Ako odredimo koja je početna, a koja krajnja točka dobili smo uređeni par točaka koji zovemo usmjerena dužina i označavamo je sa AB. Za usmjerene dužina AB i CD kažemo da su ekvivalentne ako postoji translacija koja prevodi točku A u C i točku B u D, tj. ako je tako dobiveni četverokut ABCD paralelogram. a Usmjerene dužine AB i CD su reprezentanti vektora a. Pogledaj sliku 1. Slika 1.
Definicija: Skup svih međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina naziva se vektor. Dakle vektor se može predočiti pomoću beskonačno mnogo različitih usmjerenih dužina reprezentanata ili predstavnika vektora, pa vektor možemo još zvati klasa usmjerenih dužina. Zbog jednostavnosti ćemo bilo koju usmjerenu dužinu (reprezentantu vektora) nazivati vektorom i označavani AB, CD. ili a, b. Skup svih vektora nekog prostora označavat ćemo s V. Za naše potrebe V će biti jednodimenzionalni prostor V 1 (pravac), dvodimenzionalni prostor V (ravnina) ili trodimenzionalni prostor V 3 Geometrijski vektor je zadan: o Pravcem nosiocem na kom je vektor nalazi o Duljinom ili modulom vektora AB d ( A, B ) o Orijentacijom na pravcu nosiocu. Ako govorimo o smjeru vektora objedinjujemo pravac nosioc i orijentaciju na njemu. Primjer 1. 1. Koja od usmjerenih dužina na slici ne pripadaju istoj klasi? Usmjerena dužina ne pripada u istu klasu usmjerenih dužina kao ostale, pa se ne da prikazati kao i ostale sa istim vektorom. Slika. 3
. Podjeli usmjerene dužine u dvije klase U prvu klasu usmjerenih dužina spadaju: A u drugu klasu : Slika 3. Primjer. a) Imaju li Marko i Pero isti vektor brzine? Slika 4. b) Što je zajedničko tim vektorima? c) A što je različito? 4
Operacije s vektorima c) Zbrajanje vektora Neka su a i b bilo koja dva vektora. Zbrajanje vektora je funkcija koja paru vektora a, b pridružuje vektor a b. Zbrajanje vektora po pravilu trokuta: AB BC AC a b b Slika 5. a Zbrajanje vektora po pravilu paralelograma: AB AD AC a b a b b Slika 6. a 5
Svojstva operacije zbrajanja vektora: 1) Asocijativnost: a b c a b c ) Nul vektor je neutralni element za zbrajane: a 0 0 a 3) Suprotni vektor kao inverzni element za zbrajanje: a a a a 0 4) Komutativnost a b b a Oduzimanje vektora Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja sa suprotnim vektorom: a b a b b a b Slika 7. a b a b 6
II. Množenje vektora skalarom (brojem) Neka je vektor i a i λ realni broj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru ( a,λ) pridružuje vektor a. Svojstva operacije množenja vektora sa skalarom: 1) Distributivnost a b a b ( )a a a ) Asocijativnost ( )a ( a ) a 3) Neutralni element 4) Suprotni vektor 5) Nul vektor 1 a a ( 1) a a 0 a 0 Za vektor a vrijedi: a i a su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosač) o a a o 0 a i a su isto orijentirani 0 a i a su suprotno orijentirani o Primjer 3. AB a : Točke A,B,C,D,E,F su vrhovi pravilnog šesterokuta. Ako je AF b, a) Nađi i zapiši sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a ili b. b) Prikaži vektore AO, BC,AC, AD, AE, FC kao linearnu kombinaciju vektora a i b, c) Izračunaj AC AE BC. d) prikaži pomoću postignutih rezultata vektore BD, DF,CE, FB. e) Izračunaj: FB BD DF 7
Rješenje: a) Pogledaj na slici 8 i pronađi sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a ili b. a = AB a = a = a = b AF b = b = b = Slika 8. b) Iz trokuta ABO se vidi pa je po definiciji zbrajanja vektora pravilom trokuta: a b AO Iz trokuta ABC možemo napisati: A kako je BC OA a b Dobijemo: AC a a b a b Slika 9. 8
Za vektor AD je jasno da se sastoji od dva vektora AO, pa se može zapisati: AD AO a b a b AF FE AE Iz trokuta AEF vidimo da je AF b FE a b Ako zamijenimo AE b (a b ) a b Dobivamo: Za vektor FC je jasno da se satoji od dva vektora OC a, pa možemo napisati: d) Ako upotrijebimo rezultate iz zadatka b) dobijemo: AC AE BC (a b ) (a b ) (a b ) AC AE BC a b a b a b a b e) Vektore BD, DF,CE, FB za vježbu odredite sami. BD = DF CE FB Slika 10. f) Prije računa FB BD DF pokušaj donijeti zaključak na osnovu slike 10.. 9
Posebni pojmovi Nul vektor Vektor duljine 0 Oznaka: 0 Vrijedi: 0 AA BB... Duljina (modul) nul vektora: 0 0 Jedinični vektor Vektor duljine 1 a Za zadani vektor a, duljine a, jedinični vektor definiran je sa: a0 = a Vektor a0 ima isti smjer kao i a, a duljina mu je 1. Radijvektor (radijus vektor) Ako je T neka točka prostora, a O ishiodište koordinatnog sustava, vektor OT nazivamo radijvektor točke T i zapisujemo ga rt. Svakom vektoru možemo izabrati njegovog predstavnika tako da početna točka bude baš točka O. Na taj se način dobiva radijvektor bilo koje točke prostora. Kolinearni vektori Vektori koji leže na istom ili paralelnim pravcima. Pogledaj sliku 11. 10
Komplanarni vektori Vektori koji leže u istoj ili paralelnim ravninama. Slika 1. Linearna kombinacija vektora Za vektor c kažemo da je linearna kombinacija vektora a i b, ako vrijedi relacija: c a b, pri čemu su i realni brojevi. Pogledati na slici 13. i slici 14. c OC b OB a 11 Slika 13.
c a b Slika 14. OE b OF a Projekcija vektora Ortogonalna projekcija u ravnini na pravac p je funkcija koja svakoj točki A ravnine pridružuje točku u kojoj okomica na pravac p, koja prolazi točkom A, siječe pravac p. Ortogonalna projekcija u prostoru na pravac p je funkcija koja svakoj točki A prostora pridružuje točku u kojoj ravninu koja prolazi točkom A, a okomita je na pravac p, siječe pravac p. Slika 15. Na slici vidimo projekciju vektora a a na pravac p, koju smo nazvali ap ap 1
Dakle svaki predstavnik klase paralelnih pravaca predstavlja različiti vektorski prostor 1 V Slika 16. Na slici 16. vidimo četiri vektorska prostora, a vektori u tim prostorima su prikazani svaki u drugoj boji. A svaka predstavnica klase paralelnih ravnina predstavlja različiti vektorski prostor V, kako naš program obuhvaća samo prikaz vektora u koordinatnom sustavu u ravnini pogledajmo samo tu koordinatnu ravninu: Slika 17. 13
Prikaz vektora u koordinatnom sustavu Kad smo već uveli pojam jediničnog, radijvektora i linearne kombinacije, radi bolje orijentacije u prostoru i jednoznačnosti uvida prikažimo vektor u koordinatnom sustavu. Ako jedinici na osi X pridružimo radijvektor i, a jedinici na osi Y radij vektor j dobili smo razumljivu bazu da možemo svaki radij vektor u koordinatnoj ravnini prikazati pomoću ta dva jedinična vektora. Pogledajmo na slici 18. Slika 18. Jasno se vidi na slici 18 da je OJEK pravokutnik, i da je OJ 3i i OK j. Nadalje jasno je da je vektor OE jednak zbroju vektora OJ i OK pa ga možemo zapisati kao: OE OJ OK 3i j. 14
Dakle OE je linearna kombinacija vektora i i j. Pa bez smanjenja općenitosti možemo reći da se svaki radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) može prikazati kao: rt OT xi y j Pa bi ostale vektore na slici 1 mogli sami napisati kao: OH i j OG i j OF i j Slika 19. Sad još moramo odgovoriti na pitanje kako bilo koji vektor u koordinatnoj ravnini napisati kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i i j. Pa najprije pogledajmo sliku 19. Ako pogledamo sliku vidimo da je: OA AB OB Ako izrazimo AB pomoću OA i OB dobijemo: AB OB OA 15
Ako znamo da se radijvektor svake točke T(x,y) može napisati: OT rt xi y j i koordinate točke A i B napišemo A( x1, y1 ) i B( x, y ) dobivamo da je: OA ra x1 i y1 j i OB rb x i y j Pa se vektor AB može napisati: AB rb ra ( x i y j ) ( x1i y1 j ) Kad oduzmemo vektore dobivamo formulu sa ekvivalentni radijus vektor bilo kom vektoru u koordinatnom sustavu: AB rab ( x x1 )i ( y y1 ) j Ako ovu formulu primijenimo na vektore na slici da se izračunati da je: AB (6 ( ))i (5 ) j 8i 3 j A kako čitamo(vidimo) na slici 13. koordinate točke D(8,3), onda vidimo da je vektor OD rd AB, radijvektor ekvivalentan vektoru AB. Primjer 5. Očitaj točke u koordinatnom sustavu i izračunaj radijvektore ekvivalentne zadanim vektorima. a) A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) Slika 0. 16
AB = CD = b) CA = DB = c) Mogu li se pronaći dva vektora koji imaju isti radij vektor na ovoj slici? DA NE Primjer 6. Zadane su tri točke paralelograma A(-,-3), B(4,-1), D(-1,) I. način Znamo da su nasuprotne stranice paralelograma paralelne i jednake,pa iz toga proizlazi da su vektori AB i DC jednaki i isto tako AD i BC. Nama je dovoljno upotrijebiti jednu od jednakost da bi izračunali koordinate točke D, pa izaberimo: AB DC Slika 1. Da bi izračunali vektor AB upotrijebimo formulu: AB rab ( x x1 )i ( y y1 ) j Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: AB (4 )i ( 1 3 ) j 6i j 17
A vektor CD, dobijemo tako da nepoznate koordinate vrha D ostavimo kao nepoznanice: DC ( x 1 ) i ( y ) j ( x 1) i ( y ) j Obadva vektora uvrstimo u početnu jednakost AB DC i dobijemo: 6 i j ( x 1) i ( y ) j Izjednačimo komponente uz vektor i i vektor j jer je to uvjet da su dva vektora jednaka. x x x 1 6 6 1 5 y y y 4 Pa su kordinate točke C(5,4) II. način Znamo da po definiciji zbrajanja vektora po paralelogramu vrijedi: AB AD AC Da bi izračunali vektor AB upotrijebimo formulu: AB rab ( x x1) i ( y y1) j AB (4 ) i ( 1 3 ) j 6i j Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: Da bi izračunali vektor AD upotrijebimo formulu: AD rad ( x x1) i ( y y1) j AD ( 1 ) i ( 3 ) j i 5 j Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: Uvrstimo te rezultate u: AB AD AC i dobijemo: AC 6i j i 5 j 7i 7 j Vektor AC izražen pomoću koordinata točaka A i C je: AC ( x ) i ( y 3 ) j ( x ) i ( y 3) j Uspoređivanjem dvje zadnje relacije dobijemo: x x 7 5 y y 3 7 4 Pa su kordinate točke C(5,4) 18
Primjer 7. Pročitaj na slici koordinate točaka A, B i C i pomoću njih izračunaj četvrti vrh paralelograma D. a) A(, ) B(, ) C(, ) b) AB Slika.. BC c) AD DC D(, ) 19
Duljina (norma) vektora Slika 3. Duljina ili norma vektora r T OT je usaljenost od točke O do točke T, i označavamo je: rt OT. Vidimo da je dužina OT hipotenuza pravokutnog trokuta OAT, pa možemo primijeniti pitagorin poučak: OT OA AT, a kao je OA x i AT y, možemo napisati da je: OT rt x y. Odnosno možemo zaključiti da formula za izračunavanje norme radijvektora rt OT xi y j koji pripada točki T(x,y) glasi: r T x y 0
Primjer 8. Zadani su vektori a i 3 j i b 3i 4 j. Izračunaj a b. Najprije oduzmemo vektore a i b : a b i 3 j ( 3i 4 j ) a b i 3 j 3i 4 j a b 5i j Dobili smo kao što se može vidjeti na slici vektor OC. Duljina ili norma vektora a b je duljina vektora OC i dobije se formulom: r T x y 5 1 6 Slika 5. Primjer 9. Neka je točka A(-,), odredi nepoznatu koordinatu točke M, ako je zadan modul vektora AM. a) M(x,-1), AM 5 b) M(1,y), AM 3 5. Rješenje zadatka pod a) Nacrtajmo u koordinatni sustav ono što je zadano: točku A i kružnicu koja je zadana polumjerom r = 5 i središtem u točki A. Kružnicu presiječemo pravcem x = -1, jer je to 1
koordinata točke M. U točkama presjeka dobili smo dvije točke koje su rješenje zadatka: M ( 1,) i M 1 1 ( 1, 6). Pogleda na slici. Slika 6. Kako taj rezultat dobijemo računski? Vektor AM dobijemo formulom: AM ram ( x x1) i ( y y1) j Uvrstio u formulu koordinate točki A i M: A( x1, y1 ) i M( x1 x, y1 1) Kako je AM 5, a formula za AM r ( x ) i ( 1 ) j ( x ) i 3 j AM r x y T, pa vrijedi: r x y ( x ) ( 3) 5 T ( x ) ( 3) 5 x x 4x 4 9 5 0 4x 1 0 => x x 1, b b ac 4 4 4 1 1 4 4 8 a 1 6, x 1 Pa su koordinate točke M: M1( 1, 6), M1( 1,) Zadatak b) riješite sami pomoću algoritma iz zadatka a).
Primjer 10. Zadane su točke A(-,3), B(,-1), C(4,). Izračunajte AC, AB, AC 3CB. Slika 7. Vektor AC dobijemo primjenom formule: AC rac ( x x1 )i ( y y1 ) j AC rac (4 )i ( 3) j 6i j AB rab ( )i ( 1 3) j 4i 4 j, A vektor AB : A duljinu ili normu vektora AB formulom: AB d ( A, B ) x y AB d ( A, B) 4 4 3 4 CB rcb ( 4)i ( 1 ) j i 3 j, A vektor CB : AC 3CB 6i j 3 i 3 j 1i j 6i 9 j 18i 7 j Pa je Vektor CH AC, 3CB CG, AC 3CB OF, pa smo time i grafom potvrdili svoj račun. 3
Jedinični vektor Već smo spomenuli u prethodnom tekstu da formula za prikaz jediničnog vektora u smjeru a vektora a glasi: a0 =. Pogledajmo sliku 15. a Slika 8. Na slici 15. vidljivo je da je vektor OT0 jedinični vektor vektora OT, pa ako to primijenimo na a a0 =, a formulu: OT rt0 OT0 =, OT dobijemo: pa ako uvrstimo formule iz prethodnog poglavlja o normi vektora dobijemo: xi y j r T0 x y 1 x y xi y j 4 x x y i y x y j
Primjer 11. Izračunaj jedinični vektor radijvektora točke A(-3,3). Rješenje: Radij vektor točke A izračuna se formulom: OA xi y j Pa glasi: OA 3i 3 j A njegov jedinični vektor zadan je formulom: ra Pa ga izračunamo: ra 1 3 3 3 i 3 j 1 x y xi y j 1 3i 3 j i j i j 3 1 Slika 9. Vektor OA0 na slici 9. je jedinični vektor vektora OA 5
Primjer 1. Ako su zadani vektori a 3i j,b i j,c i 7 j. Izrazi vektor c pomoću vektora a i b. Rješenje: Ucrtajmo najprije zadane vektore u koordinatni sustav: Slika 30. Sa slike 30. možemo pročitati da je c a 4b. A kako smo to dobili? Povukli smo pravac kroz vektor a i b, a zatim paralelne pravce kroz točku C na ta dva pravca. Tamo gdje se paralele sijeku sa tim pravcima dobili smo vrhove paralelograma, kome je vektor c dijagonala. A kako se to dobiva računski? c a b je opći zapis linearne kombinacije tri vektora. Uvrstimo zadane vektore: i 7 j (3i j ) (i j ) i 7 j i (3 ) j ( ) 6
3 1/ 6 => 7 5 5/ : 5 a b b c => 1 => 7 3 1 4 Pa smo i računski dobili da je: c a 4b Primjer 13. Ako su zadana točka A(-3,6). Odredi točku B tako da: a) ona leži na osi x i da je AB 10, b) ona leži na osi y i da je AB 5. Prikazati u koordinatnoj ravnini. Rješenje zadatka pod a) Slika 31. Koordinate točke B, ako leži na osi x možemo zapisati kao B(x,0), pa se vektor AB može napisati kao: AB ( x 3)i (0 6) j ( x 3)i 6 j 7
3 6 10 A njegova norma kao: AB x x 3 6 100 Kvadriranjem jednadžbe dobivamo: x 6x 55 0 => x 1, b b 4ac 6 6 4 1 55 6 16 a 1 x 11, x 5, pa smo dobili dva rješenja: B1( 11,0), B(5,0) 1 Rješenje zadatka pod b) Računski dio zadatka završite sami. Slika 3. 8
Skalarni produkt vektora ( skalarni umnožak) Definicija: Neka su a i b dani vektori i a, b kut između vektora a i b, skalarni produkt (umnožak) vektora a i b je funkcija koja paru vektora a, b pridružuje broj (skalar) a b, a definira se sa formulom: b a b a b cos Slika 33. a Svojstva skalarnog množenja: 1) Nenegativnost: a a 0, a ako je a a 0 a 0 ) Homogenost: (a b ) ( a ) b a ( b ) 3) Komutativnost: a b b a 4) Distributivnost: a (b c ) a b a c Posljedice skalarnog množenja: 1) a a a a cos0 a a a a ) Ako je a b 90 cos 0 a b 0 ili je bar jedan od vektora nulvektor a b 3) cos, 0 a b Pomoću skalarnog produkta izračunava se i projekcija vektora na vektor.. 9
Pogledaj slike 31. i 3.. I. skalarna projekcija ab a b0 a cos ba b a0 b cos => skalarna projekcija vektora a na vektor b => skalarna projekcija vektora b na vektor a II. vektorska projekcija a a b ( a b ) b => vektorska projekcija vektora a na vektor b b b 0 0 0 b a b Slika 34. a b b a ( b a ) a => vektorska projekcija vektora b na vektor a a a 0 0 0 b Slika 35. b a a 30
Pogledajmo još skalarni produkt vektora prikazanih u koordinatnom sustavu: Neka su zadana dva vektora a x1i y1 j i b x i y j. Njihov skalarni produkt izračunamo: a b ( x1 i y1 j ) ( x i y j ) x1x i i x1y i j y1x i j y1y j j Kako su i i j dva jedinična međusobno okomita vektora vrijedi po svojstvima skalarnog produkta: i i j j 1 i, i j 0 Formula za skalarni produkt vektora a x1i y1 j i b x i y j glasi: a b x1x y1y A formula za kosinus kuta između ta dva vektora: cos x1y1 x y x1 y1 x y, 0 Primjer 14. Ako su zadani vektori: a 3i j,b i j,c i 7 j izračunaj skalarni produkt vektora a i b, te skalarni produkt vektora b i c, te vrijednost izraza: a b b c. Slika 36. 31
I. način Skalarni produkt dva vektora je: a b x1x y1y 3 1 1 5 Pa vrijedi: a b b c 1 1 7 15 5 15 10 I konačno, onda je: a b b c ii.način Izraz a b b c primjenom distributivnost možemo napisati kao: a b b c b a c i j 3i j i 7j i j i 6j 1 6 10 Primjer 15. Naći vektor v za koji vrijedi da je a v 3 a i j, b 3i j. i b v 7 ako su zadani vektori: Rješenje: Neka je vektor v zadan sa: v xi y j, onda se može napisati: a v x 1 y 3 b v 3x y 7 I dobivamo sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice: x y 3 / => 3x y 7 4x y 6 => 3x y 7 x y 1 4 1 y 6 y 10/ : y 5 => v i 5 j 3
Primjer 16. Odredi parametar tako da vektori a i b budu okomiti ako je: a) a 1 i j, b 3 i 1 j, b) a 1 i 3 j, b 3 i 3 1 j. Potom odredi vektore a i b i izračunaj modul vektora a. Rješenje: a) Uvjet okomitosti vektora je: a b a b 0, pa možemo pisati: a b 1 3 1 0 6 3 4 0 10 5 0 1 1 1 5 a 1 i j j => 1 1 5 b 3 i 1 j i Zadatak b) rješavamo po istom algoritmu. Primjer 17. Nađi kut između vektora a i b ako je zadano: a) a 4i 3 j, b 1i 5 j, b) a 5i 3 j, b 3 i 5 j. 33 5 5 a x y 0
Rješenje: a) Formula za kosinus kuta između ta dva vektora: cos Pad uvrstimo komponente vektora a i b u nju dobijemo: 4 1 3 5 33 cos 0,507693 4 3 1 5 65 5993 x y x y 1 1 x y x y 1 1 Slika 37. Zašto se razlikuje veličina kuta na slici i izračunatog? Zadatak b) se riješava istim algoritmom. Rješenje pogledaj na slici 38. Slika 38. U kom su odnosu vektori a i b? 34