Ecuaţii parabolice şi hiperbolice

Gheorghe Aniculăesei Ecuaţii parabolice şi hiperbolice Note de curs

2

Cuprins 1 Elemente de analiză funcţională 7 1.1 Funcţionale şi operatori liniari pe spaţii normate........ 9 1.2 Spaţii Hilbert. Serii Fourier generalizate............. 1 1.3 Integrala Lebesgue......................... 15 1.4 Valori proprii şi vectori proprii pentru laplacean......... 17 2 Probleme parabolice. Ecuaţia propagării căldurii 23 2.1 Propagarea căldurii într-o bară.................. 23 2.2 Propagarea căldurii în spaţiu................... 26 2.3 Ecuaţia difuziei........................... 28 2.4 Rezolvarea ecuaţiei propagării căldurii cu metoda lui Fourier.. 29 2.5 Principiul de maxim pentru operatorul căldurii......... 35 3 Ecuaţii hiperbolice 39 3.1 Probleme la limită pentru ecuaţii de tip hiperbolic....... 39 3.2 Rezolvarea ecuaţiei coardei vibrante cu metoda lui Fourier... 43 3.3 Un rezultat de unicitate...................... 48 3.4 Problema Cauchy pentru ecuaţia coardei vibrante........ 51 4.5 Discuţii asupra soluţiei ecuaţiei coardei vibrante......... 54 3

4

Introducere Prezentele note de curs cuprind o tratare elementară a ecuaţiilor cu derivate parţiale de tip parabolic şi hiperbolic, mai exact a ecuaţiei propagării căldurii şi a ecuaţiei coardei vibrante. La început sunt expuse elementele minimale de analiză funcţională necesare dezvoltării metodei separării variabilelor, metodă ce este folosită ulterior la rezolvarea ecuaţiilor amintite mai sus. Necesitatea unei asemenea prezentări rezidă din faptul că studenţii din anul al doilea, care fac cunoştinţă pentru prima dată cu ecuaţiile cu derivate parţiale, nu au parcurs în prealabil cursurile de analiză funcţională, teoria măsurii şi a spaţiilor Sobolev, necesare unei dezvoltări mai complete a teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale. 5

6

Capitolul 1 Elemente de analiză funcţională Spaţiile normate constituie cadrul natural de prezentare a ecuaţiilor cu derivate parţiale. Pentru a înlesni această prezentare vom face o scurtă introducere în teoria spaţiilor normate, mărginindu-ne doar la noţiuni şi rezultate fundamentale. Fie U un spaţiu liniar real. Spunem că aplicaţia : U IR defineşte o normă pe U dacă satisface următoarele proprietăţi (sau axiome): N 1. u, u U şi u = dacă şi numai dacă u = N 2. αu = α u, α IR, u U N 3. u + v u + v, u, v U. Axioma N 3 se numeşte inegalitatea triunghiului iar elementele lui U se mai numesc vectori. Spaţiul liniar U, dotat cu norma se numeşte spaţiu normat. Spunem că aplicaţia (, ) : U U IR defineşte un produs scalar pe U dacă satisface axiomele: P S 1. (u, v) = (v, u), u, v U P S 2. (αu + βv, w) = α(u, w) + β(v, w), a, β R, u, v, w U P S 3. (u, u), u U şi (u, u) = dacă şi numai dacă u =. O consecinţă imediată a proprietăţii P S 3 este inegalitatea lui Cauchy- Schwartz (u, v) (u, u) 1/2 (v, v) 1/2, u, v U. Este uşor de constatat că orice spaţiu liniar dotat cu un produs scalar este spaţiu normat prin norma dată de u = (u, u) 1/2. 7

8 În acest caz inegalitatea lui Cauchy Schwartz se mai scrie sub forma (u, v) u v, u, v U. Prin intermediul normei putem introduce pe U noţiunea de convergenţă. Spunem că şirul {u n } n IN este convergent dacă există un element u U astfel încât u n u pentru n. În acest caz se mai notează u n u (u n converge la u) sau lim n u n = u. Spunem că şirul {u n } din U este şir Cauchy dacă pentru orice număr real ε > există un număr natural N(ε) astfel încât u n u m < ε, m, n > N(ε). Evident că orice şir convergent este şir Cauchy, reciproca acestei afirmaţii nefiind în general adevărată. Dacă însă în spaţiul normat U orice şir Cauchy este şir convergent, atunci spaţiul U se numeşte spaţiu Banach sau complet în raport cu norma dată. Dacă spaţiul vectorial U este dotat cu un produs scalar iar faţă de norma indusă este complet, el se mai numeşte spaţiu Hilbert. Prin urmare orice spaţiu Hilbert este spaţiu Banach. Într-un spaţiu Hilbert se verifică cu uşurinţă identitatea u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ), u, v U cunoscută sub numele de identitatea paralelogramului. Mulţimea B(u, ε) = {u : u U, u u < ε}, ε > se numeşte bila deschisă centrată în u şi de rază ε. Spunem că mulţimea A a spaţiului normat U este deschisă dacă pentru orice punct a A există o bilă deschisă centrată în a şi inclusă în A. Mulţimea A se numeşte închisă dacă complementara sa este deschisă. Închiderea unei mulţimi se poate caracteriza şi cu ajutorul şirurilor. Adăugând la A mulţimea limitelor şirurilor convergente din A se obţine o mulţime închisă numită închiderea lui A. Se mai notează cu A. Mulţimea A a spaţiului normat U se numeşte relativ compactă dacă orice şir de elemente din A are subşiruri convergente. Mulţimea A se numeşte compactă dacă este relativ compactă şi închisă. Spunem că mulţimea A este mărginită dacă există un număr real M astfel că x M, x A. Submulţimea A a spaţiului U se numeşte densă în U dacă A = U. Spaţiul normat U se numeşte separabil dacă conţine o submulţime numărabilă A care este densă în U.

9 1.1 Funcţionale şi operatori liniari pe spaţii normate Dacă U şi V sunt două spaţii normate, cu normele U (respectiv V ), spunem că aplicaţia A : U V este operator liniar dacă A(αu + βv) = αau + βav, u, v U, α, β IR. Dacă în plus există un număr real M astfel ca (1.1) Au V M u U, u U spunem că operatorul liniar A este mărginit. În continuare vom folosi pentru ambele norme, din U şi V, aceeaşi notaţie. În cazul în care este pericol de confuzie vom ataşa la semnul de normă un indice. Noţiunea de mărginire a operatorilor liniari este strâns legată de continuitate. Mai exact, se demonstrează faptul că un operator liniar între două spaţii normate este continuu dacă şi numai dacă este mărginit. Cea mai mică constantă M pentru care are loc (1.1) se numeşte norma lui A şi se notează A. Prin urmare şi avem A = sup{ Au / u, u } Au A u. Se verifică uşor că această "normă" (numită şi normă operatorială) definită pe mulţimea operatorilor liniari şi continui de la U în V satisface proprietăţile N 1 N 3. În acest fel mulţimea operatorilor liniari şi continui de la U în V, notată cu L(U, V ) devine un spaţiu normat. Dacă în plus V este un spaţiu Banach atunci rezultă că şi L(U, V ) dotat cu norma operatorială este spaţiu Banach. O clasă specială de operatori liniari o formează funcţionalele liniare care sunt aplicaţii liniare definite pe spaţii liniare cu valori reale. Mulţimea funcţionalelor liniare şi continue definite pe U cu valori în IR (deci L(U, IR)) se mai notează cu U şi se numeşte dualul spaţiului U. O problemă interesantă este cea a determinării formei funcţionalelor liniare continue pe un spaţiu normat. Prezentăm aici doar cazul spaţiilor Hilbert. Teorema 1.1. (Teorema lui Riesz de reprezentare) Fie H un spaţiu Hilbert şi f o funcţională liniară şi continuă pe H. Atunci există un element unic u H astfel încât f(v) = (u, v), v H. Mai mult, f = u.

1 1.2 Spaţii Hilbert. Serii Fourier generalizate În acest paragraf prezentăm o serie de rezultate şi aplicaţii semnificative care utilizează în mod esenţial produsul scalar şi proprietăţile operatorilor liniari sau aplicaţiilor liniare pe spaţii Hilbert. Am arătat că noţiunea de spaţiu Hilbert se introduce prin intermediul produsului scalar, fapt care permite analogii cu spaţiile vectoriale finit dimensionale R 2, R 3 etc. Exemplul tipic de spaţiu Hilbert finit dimensional îl constituie n IR n (n 1), cu produsul scalar (euclidian) (x, y) = x i y i, pentru orice x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ). Generalizarea directă, infinit dimensională, o constituie spaţiul l 2 al şirurilor x = (x n ) n IN de numere reale astfel încât seria n 1 x n 2 să fie convergentă. Două şiruri x=(x n ) n IN, y=(y n ) n IN sunt egale dacă x n =y n, n IN. Se definesc suma x + y = (x n + y n ) n IN şi produsul λx = (λx n ) n IN unde λ este un scalar. Din inegalitatea x n y n 1 2 ( x n 2 + y n 2 ), rezultă că dacă x, y l 2, atunci seria n 1x n y n este absolut convergentă (deci şi convergentă); în plus, rezultă că x + y l 2. Este clar că l 2 este spaţiu vectorial peste IR şi, definind (x, y) = n 1x n y n, se obţine un produs scalar. Se arată că faţă de norma indusă de acest produs scalar, l 2 este spaţiu complet, prin urmare este spaţiu Hilbert. Alt exemplu important este cel al funcţiilor de pătrat sumabil pe domeniul Ω (Ω=domeniu mărginit, deschis din R n ), notat L 2 (Ω). Două elemente u, v din H se numesc ortogonale dacă (u, v) =. Ortogonalitatea acestor elemente se mai notează cu u v şi are o semnificaţie clară în cazul spaţiilor IR 2 şi IR 3. Dacă u 1, u 2,..., u n sunt ortogonale două câte două, atunci are loc egalitatea i=1 u 1 + u 2 + + u n 2 = u 1 2 + u 2 2 + + u n 2 cunoscută şi sub numele de teorema lui Pitagora. Dacă M şi N sunt două submulţimi nevide ale lui H, spunem că M N (M este ortogonală cu N) dacă şi numai dacă u v, u M, v N. Se demonstrează uşor Propoziţia 2.1. atunci Dacă M este o mulţime nevidă şi M este închiderea sa, u M şi u M = u =.

11 Consecinţă. Dacă o mulţime M din H este densă în H şi u M, atunci u =. Teorema 2.1. Dacă M este o mulţime convexă şi închisă din spaţiul Hilbert H, atunci există în M un element de cea mai mică normă. Cu alte cuvinte există x A astfel încât d = inf{ x : x M} = x. Demonstraţie. (schiţă) Fie x n M, astfel încât x n d. Deoarece M este convexă rezultă 1/2(x n + x m ) M şi din identitatea paralelogramului rezultă că {x n } este şir Cauchy, deci convergent, a cărui limită va fi elementul căutat. Teorema 2.2. (Teorema de proiecţie) Dacă H este un subspaţiu vectorial închis din spaţiul Hilbert H, atunci pentru orice element u H, există cel puţin un element u H astfel încât u u u p, p H. Elementul u este unic şi satisface condiţia u u H (ortogonalul lui H format din elementele lui H ortogonale pe H ). El se mai numeşte proiecţia lui u pe H. Trecem în continuare la prezentarea seriilor Fourier în spaţii Hilbert. Dacă {e 1, e 2,..., e n } este baza canonică a spaţiului{ IR n, înzestrat cu produsul scalar 1, i = j euclidian, atunci (e i, e j ) = δ ij, unde δ ij =, 1 i, j n. Aşadar, i j n e i e j, pentru i j şi pentru x IR n, x = (x 1, x 2,..., x n ) avem x = x k e k unde x k = (x, e k ), 1 k n. Aceste rezultate pot fi generalizate la spaţii Hilbert. Definiţia 2.1. Fie H un spaţiu Hilbert fixat. Se numeşte bază ortonormată în H (sau sistem ortonormat total sau complet) orice şir B = {e 1, e 2,..., e n,...} de vectori din H astfel încât (e i, e j ) = δ ij, i, j 1, iar spaţiul liniar generat de B este dens în H. Exemple. 1. Baza canonică a lui IR n este ortonormată.

12 2. În l 2 elementele e 1 = (1,,,...), e 2 = (, 1,,...), e 3 = (,, 1,...) etc. formează o bază ortonormată. Definiţia 2.2. Fie H un spaţiu Hilbert real (sau complex) având o bază ortonormată B = (e n ) n IN şi u H un element oarecare. Se numesc coeficienţi Fourier generalizaţi ai lui u relativ la baza B, numerele reale (sau complexe) c n = (u, e n ), n IN. Seria n 1c n e n se numeşte seria Fourier generalizată a lui u relativ la B. Teorema 2.3. Fie B = (e n ) n IN o bază ortonormată din spaţiul Hilbert H. Pentru orice u H, seria sa Fourier generalizată relativ la B este convergentă în H şi are suma egală cu u. În plus, seria numerică n 1 c n 2, unde c k = (u, e k ) sunt coeficienţii Fourier ai lui u relativ la B, este convergentă, cu suma egală cu u 2. Demonstraţie. Avem de demonstrat că c n e n = u şi n n 1 n 1 c 2 = u 2, mai exact ( ) n n lim n u c k e k = şi lim u 2 c k 2 =. n Fie u n = n c k e k, n 1, unde c k = (u, e k ) sunt coeficienţii Fourier ai lui u relativ la B. Pentru orice k, 1 k n, avem (u n, e k ) = n c p (e p, e k ) = p=1 n c p δ pk = c k = (u, e k ), adică (u n u, e k ) =. Pentru orice n IN fixat, notăm cu H n subspaţiul vectorial al lui H generat de vectorii e 1, e 2,..., e n. Rezultă că u n u H n, n IN. Fiind un spaţiu finit dimensional, H n este mulţime închisă în H şi, conform teoremei proiecţiei, rezultă că u n este proiecţia lui u pe H n. (Deoarece, conform teoremei lui Pitagora, u u n 2 + u n v 2 = u v 2, v H n, rezultă u u n u v.) p=1

13 Fie acum ε > arbitrar fixat. Întrucât spaţiul liniar generat de B este dens în H există un element v H, combinaţie liniară finită de elemente din B, astfel încât u v < ε. Aşadar, există un număr natural N(ε) astfel încât v H n, n N(ε) şi, conform teoremei proiecţiei, u u n u v, deci u u n < ε, n N(ε). De aici rezultă că u n u în H şi deci n c k e k = u. Pe de altă parte, avem ( n u n 2 = (u n, u n ) = c k e k, ) n c k e k = n c k 2, n 1. Ţinând cont că u n u = u n u şi făcând n în relaţia de mai sus, obţinem c k 2 = u 2 adică exact ceea ce trebuia demonstrat. Observaţii. 1. Relaţia Parseval. (u, u n ) 2 = u 2 este cunoscută sub numele de egalitatea lui n=1 2. Din relaţia de mai sus rezultă lim n (u, u n) = şi n (u, u k ) 2 u 2, n 1 relaţie cunoscută sub numele de inegalitatea lui Bessel. 3. Dacă baza B este fixată şi u H, atunci dezvoltarea Fourier a lui u este unică. În adevăr, dacă u = c n e n şi u = n=1 d n e n, notând v n = n=1 n d k e k, rezultă (v n, e k ) = d k, k n. Făcând n, deoarece v n u, rezultă (u, e k ) = d k, deci c k = d k, k 1.

14 Din Teorema 2.3 se vede că pentru orice u H şi n 1, dintre toate n combinaţiile liniare c k e k, cea mai apropiată de u este cea pentru care c k = (u, e k ), deci cea pentru care coeficienţii c k sunt coeficienţii Fourier ai lui u relativ la B. Rezultatul care urmează arată că spaţiul l 2 este prototipul spaţiilor Hilbert cu bază ortonormală. Teorema 2.4. Fie H un spaţiu Hilbert real sau complex având o bază ortonormată B şi aplicaţia ϕ : H l 2 dată prin ϕ(u) = {c 1, c 2,..., c n,...}, unde cu {c i } i 1 am notat coeficienţii Fourier ai lui u relativ la B. Aplicaţia ϕ este un izomorfism liniar şi conservă produsele scalare. Demonstraţie. Şirul (c n ) n 1 este din l 2 deoarece c n 2 = u 2 <. Injectivitatea lui ϕ rezultă din unicitatea dezvoltării în serie Fourier generalizată. Pentru surjectivitate fie γ = (c n ) n 1 l 2 şi u n = c k e k ; deoarece n şirul (u n ) n 1 este Cauchy deci convergent, fie u n n u. Dar (u n, e k ) = c k, 1 k n, de unde rezultă pentru n (u, e k ) = c k, k 1, adică ϕ(u) = γ. Liniaritatea lui ϕ este evidentă. Apoi pentru u, v H avem (u, v) = (ϕ(u), ϕ(v)), fapt care arată că ϕ păstrează produsul scalar. Exemplu. n=1 Cel mai important exemplu este dat de spaţiul Hilbert real L 2 ([ π, π]) dotat cu produsul scalar (f, g) = Şirul π π f(x)g(x)dx. e 1 = 1 2π, e 2 = 1 π cos x, e 3 = 1 π sin x, e 4 = 1 π cos 2x,... constituie o bază ortonormată în H. În adevăr, (e i, e j ) = δ ij, i, j 1. Apoi faptul că subspaţiul generat de {e n } n 1 este dens în H este un rezultat cunoscut de analiză matematică.

15 Fie acum o funcţie u : [ π, π] IR din H = L 2 ([ π, π]). Coeficienţii Fourier ai lui u relativ la baza ortonormată B = {e n } n 1 sunt π 1 π c 1 = (u, e 1 ) = u(x) dx = 2π 2 a, c 2 = (u, e 2 ) = c 3 = (u, e 3 ) =. c 2n = a n π, c 2n+1 = b n π,. π π π π π π 1 u(x) cos x dx = a 1 π, 2π 1 u(x) sin x dx = b 1 π, 2π unde a n = 1 cos nx dx, b n = π πu(x) 1 u(x) sin nx dx, n sunt coeficienţii Fourier clasici ai lui u. π π Aşadar există o strânsă legătură între coeficienţii Fourier clasici şi cei generalizaţi. 1.3 Integrala Lebesgue O generalizare imediată a integralei Riemann o constituie integrala Lebesgue. Aceasta permite introducerea spaţiilor Sobolev necesare (mai ales) în abordarea variaţională a ecuaţiilor cu derivate parţiale. În cele ce urmează vom face o foarte scurtă prezentare a integralei Lebesgue şi a spaţiilor L p. Pentru a nu lungi expunerea, rezultatele pe care le prezentăm nu conţin demonstraţii. Spunem că mulţimea de numere reale E este de măsură nulă dacă pentru orice ε > există un şir finit sau infinit de intervale (a k, b k ) astfel încât E (a k, b k ) iar Σ(b k a k ) < ε. Fie acum (a, b) un interval finit sau infinit al axei reale. Prin funcţie scară definită pe (a, b) înţelegem o funcţie s ce are ca valori numerele reale c 1, c 2,..., c n pe intervalele (a =)x < x < x 1, x 1 < x < x 2,..., x n 1 < x < x n (= b) b n respectiv, iar prin "integrala" s(x)dx înţelegem suma c k (x k x k 1 ). a (În cazul în care a = sau b = constantele c 1, respectiv c n se iau zero). Dacă {s n ( )} n IN este un şir crescător de funcţii scară (adică s n (x) s n+1 (x), pentru orice x şi n IN ) atunci şirul integralelor formează un şir crescător de numere reale care converge către o limită finită sau tinde la +. π i=1

16 Spunem că funcţia (cu valori pozitive) f( ) este măsurabilă dacă există un şir crescător s n ( ) de funcţii scară care converge aproape peste tot la funcţia f( ) pe intervalul specificat. (Prin convergenţă aproape peste tot înţelegem convergenţa pe tot intervalul exceptând eventual o mulţime de măsură nulă.) De altfel, vom spune că o relaţie are loc aproape peste tot, pe scurt a.p.t., dacă are loc cu excepţia unei mulţimi de măsură nulă. Se arată că limita şirului { b } s n (x)dx nu depinde de şirul de funcţii scară folosit la aproximarea a n IN funcţiei f, prin urmare această limită este o proprietate a acesteia. Dacă limita este finită spunem că funcţia f este integrabilă Lebesgue iar b a f(x)dx este definită ca fiind limita integralelor şirului de funcţii scară. În particular, dacă intervalul (a, b) este finit, orice funcţie măsurabilă şi mărginită este integrabilă deoarece termenii şirului b a s n (x)dx sunt majoraţi de (b a) sup f. Dacă funcţia f are atât valori pozitive cât şi negative putem scrie f ca fiind diferenţa a două funcţii cu valori pozitive şi anume: f = f + f, unde f + = 1 ( f + f) şi 2 f = 1 2 ( f f). Spunem că f este integrabilă dacă f + şi f sunt integrabile şi b a f(x)dx este definită ca fiind diferenţa b a f + (x)dx b a f (x)dx. Toate proprietăţile referitoare la integrala Riemann sunt valabile şi în cazul integralei Lebesgue. Orice funcţie care are modulul integrabil în sens Riemann (absolut integrabilă) este integrabilă şi în sens Lebesgue şi b a f(x)dx au aceeaşi valoare în ambele cazuri. Noţiunea de funcţie măsurabilă (respectiv integrabilă) definită pe o mulţime deschisă Ω din IR n (n 1) şi cu valori în IR se introduce în mod asemănător. Notăm cu L p (Ω), p IN, spaţiul funcţiilor cu valori reale definite pe mulţimea Ω, măsurabile şi pentru care f(x) p dx <. Am notat cu dx măsura Lebesgue. Aceasta este un spaţiu normat cu norma dată de ( 1/p f L p (Ω) = f(x) dx) p. Ω Ω În cazul în care p = 2 spaţiul devine spaţiu Hilbert cu produsul scalar dat de (f, g) = f(x)g(x)dx. Ω În cazul p =, definim L (Ω) ca fiind mulţimea funcţiilor f : Ω IR măsurabile şi pentru care există o constantă C astfel încât f(x) C, a.p.t.

17 x Ω. Notăm f L (Ω) = Inf{C; f(x) C a.p.t. x Ω}. Se arată că L este o normă pe L (Ω) care determină pe acesta structură de spaţiu Banach. Fie 1 p ; notăm cu q conjugatul lui p adică 1 p + 1 q = 1. Teorema 3.1. (Inegalitatea lui Hölder) Fie f L p (Ω) şi g L q (Ω), p şi q fiind numere conjugate. Atunci f g L 1 (Ω) şi Ω f(x)g(x) dx f L p (Ω) g L q (Ω). 1.4 Valori proprii şi vectori proprii pentru laplacean După cum am văzut deja, problemele la limită pentru ecuaţia lui Laplace pot fi atacate cu metoda separării variabilelor metodă ce poate fi extinsă şi la ecuaţiile de evoluţie (parabolice şi hiperbolice) liniare. Această metodă face uz de valorile şi vectorii proprii ale operatorului diferenţial ce apare în ecuaţie, motiv pentru care facem o scurtă prezentare a acestor noţiuni. Dacă H este un spaţiu Hilbert real şi A L(H), numărul λ R se numeşte valoare proprie (sau autovaloare) pentru operatorul A dacă există un element u din H care verifică ecuaţia (4.1) Au = λu. Elementul u (care nu este numaidecât unic) se numeşte vector propriu corespunzător lui λ. În cazul în care H este un spaţiu de funcţii, vectorii proprii se mai numesc funcţii proprii (sau autofuncţii). Interesul nostru se restrânge la valorile proprii şi vectorii proprii corespunzători operatorului în cazul unor domenii paralelipipedice din R n cu condiţii la limită (de tip Dirichlet sau Neumann) nule. Rezultatele stabilite aici vor fi utile la rezolvarea problemelor mixte pentru ecuaţii parabolice şi hiperbolice. Cazul Ω = (, l).

18 În acest caz, problema de valori proprii pentru operatorul cu condiţii Dirichlet nule în capete are forma { u = λu în (, l) (4.2) u() = u(l) =. Soluţia generală a ecuaţiei (2) este αe λ x + βe λ x, dacă λ < (4.3) u(x) = αx + β, dacă λ = α cos λx + β sin λx, dacă λ >, unde α şi β sunt constante reale. Impunând condiţiile la limită (4.2) 2 pentru soluţia (4.3), găsim că singura soluţie nebanală pentru problema (4.2) are forma u k (x) = c k sin kπ l x, k N unde c k (k N ) este o constantă reală nenulă. Această soluţie este obţinută pentru valori ale lui λ de forma λ k = ( kπ l )2, k N. Aceste valori se numesc valori proprii pentru operatorul ( u = u ) pe segmentul (, l), iar funcţiile sin kπ l x sunt vectorii proprii corespunzători. Remarcăm faptul că valorile proprii λ k = ( kπ l )2 şi vectorii proprii sin kπ l x au proprietăţile: < λ 1 λ 2... λ k..., pentru k, {sin kπ l x k N } este o bază ortogonală în L 2 (, l) (spunem că două funcţii u( ) şi v( ) sunt ortogonale în L 2 (, l), dacă l u(x)v(x)dx = 2 ), care devine bază ortonormată dacă luăm { l sin kπ l x k N }. În aceeaşi manieră se rezolvă şi problema de valori şi vectori proprii pentru pe segmentul (, l) cu condiţii de tip Neumann nule în capete. Mai exact, problema de valori proprii { u = λu, în (, l) (4.4) u () = u (l) =, are pentru λ k = ( kπ l )2, k N vectorii proprii u k (x) = cos kπ l x, k N.

19 Să observăm că, la fel ca în cazul problemei (4.2) avem < λ 1 λ 2... λ k... pentru k şi {cos kπ l x k N} este o bază ortogonală în L 2 (, l). Observăm că atât problema (4.2) cât şi problema (4.4) se pot scrie sub forma (4.1), adică Au = λu, cu Au = u, A având în cazul problemei (4.2) domeniul de definiţie iar în cazul problemei (4.4) D(A) = {u C 2 (, l) C([, l]); u() = u(l) = }, D(A) = {u C 2 (, l) C 1 ([, l]); u () = u (l) = }. Dacă operatorul A este considerat în L 2 (, l), ceea ce va fi cazul dacă utilizăm proprietatea de bază ortonormată a vectorilor proprii corespunzători problemelor (4.2) şi (4.4), atunci în definiţia lui D(A) trebuie adăugat u L 2 (, l). Cazul Ω = (, a) (, b), a, b >. Căutăm u C 2 (Ω) C(Ω) soluţia problemei (λ R) u = λu, în Ω (4.5) u =, Ω adică { (u xx + u yy ) = λu, în Ω u(, y) = u(a, y) = u(x, ) = u(x, b) =, (x, y) Ω. Pentru această problemă căutăm soluţii nebanale de forma (4.6) u(x, y) = X(x)Y (y). Metoda aceasta de căutare a soluţiilor poartă denumirea de metoda separării variabilelor sau metoda Fourier. Funcţia (4.6) verifică ecuaţia (4.5) dacă şi numai dacă (4.7) X X = Y + λ, (x, y) Ω. Y Întrucât în (4.7) membrul stâng depinde numai de x, iar membrul drept numai de variabila y, rezultă că ambii membri au o valoare constantă pe care o notăm cu µ. În acest fel, obţinem pentru X şi Y ecuaţiile (4.8) X = µx,

2 şi (4.9) Y = (λ µ)y. Funcţia (4.6) verifică condiţia la limită (4.5) 2 dacă şi numai dacă (4.1) (4.11) X() = X(a) =, Y () = Y (b) =. Ori, din problema (4.2), deducem că problema (4.8)+(4.1) are pentru µ k = ( ) kπ 2 a soluţiile X k (x) = sin kπ a x, k N. În acelaşi fel pentru problema (4.9)+(4.11) găsim că λ µ {( jπ b )2, j N }, iar soluţiile sunt Y j (y) = sin jπ b y, j N. Cumulând aceste rezultate rezultă că problema (4.5) are pentru soluţiile λ kj = ( ) kπ 2 + a ( ) jπ 2, k, j N, b (4.12) u kj (x, y) = sin kπ a x sin jπ b y, k, j N. Prin metoda lui Fourier se poate rezolva şi problema de autovalori pentru cu condiţii Neumann nule pe frontiera lui Ω, adică { u = λu, în Ω (4.13) u ν =, pe Ω, sau (u xx + u yy ) = λu, u x (, y) = u x (a, y) = u y (x, ) = u y (x, b) =, pentru (x, y) Ω. în Ω

21 Problema (4.13) are soluţii nebanale pentru date de λ kj = ( ) kπ 2 + a ( ) jπ 2, k, j N b (4.14) u kj (x, y) = cos kπ a x cos jπ b y, k, j N. Atât soluţiile (4.12) cât şi (4.14) formează sisteme ortogonale în L 2 ((, a) (, b)).

22

Capitolul 2 Probleme parabolice. Ecuaţia propagării căldurii Modelul standard ce ilustrează problemele parabolice este cel dat de ecuaţia propagării căldurii. Pentru realizarea acestui model vom analiza mai multe situaţii şi anume: propagarea căldurii într-o bară, propagarea căldurii în spaţiu, ecuaţia difuziei. 2.1 Propagarea căldurii într-o bară Pentru fixarea ideilor să presupunem că este vorba de propagarea căldurii de-a lungul unei bare omogene de lungime l, suficient de subţire pentru a fi asimilată cu un segment de pe axa Ox, a sistemului de coordonate xou şi izolată termic pe feţele laterale. Fie u(x, t) funcţia care măsoară temperatura în bară la momentul t, în punctul de abscisă x. Având în vedere faptul că suprafaţa laterală a barei este izolată termic, schimbul de căldură între bară şi mediul înconjurător se face prin cele două capete ale barei. Dacă extremităţile barei se menţin la temperaturi constante u 1 şi u 2, atunci, de-a lungul barei, temperatura are o distribuţie liniară u(x) = u 1 + u 2 u 1 x; x l. l Conform legii lui Fourier difuzia căldurii de-a lungul barei se face de la partea mai caldă către cea mai rece. Cantitatea de căldură care trece printr-o secţiune transversală de arie S a barei este dată de formula exprimentală Q = k u x S, unde k este coeficientul de conductibilitate termică. 23

24 Presupunând acum că bara este neomogenă (deci k depinde de x) iar S este de măsură 1, cantitatea de căldură Q ce trece prin secţiunea x a barei în intervalul de timp (t, t + t) este Q = k(x) u x t. Să considerăm porţiunea M 1 M 2 din bară, delimitată de abscisele x 1 şi x 2. Conform legii lui Fourier, cantitatea de căldură care intră în porţiunea M 1 M 2 prin capătul x 1 este q(x 1, t) = k(x) u x, x=x1 iar prin capătul x 2, q(x 2, t) = k(x) u x. x=x2 Cantitatea de căldură Q ce trece prin segmentul de bară M 1 M 2 în intervalul de timp (t 1, t 2 ) este: { t2 [ Q = k(x) u ] [ k(x) u ] } dt, t 1 x x=x 2 x x=x 1 relaţie care (utilizând formula de medie) conduce la Q = [ k(x) u ] (x 2 x 1 )(t 2 t 1 ) x x x=ξ t=τ unde ξ (x 1, x 2 ), τ = (t 1, t 2 ). Pe de altă parte, în virtutea aceleiaşi legi a lui Fourier, cantitatea de căldură Q necesară pentru a ridica cu u temperatura segmentului de bară x este egală cu Q = cρ u x, unde c este căldura specifică iar ρ(x) este masa specifică a segmentului x. În cazul segmentului de bară M 1 M 2, cantitatea de căldură Q necesară pentru ca în intervalul de timp (t 1, t 2 ) să-i ridice temperatura cu: u = u(x, t 2 ) u(x, t 1 ) are expresia Q = x2 x 1 cρ(x) [u(x, t 2 ) u(x, t 1 )] dx

25 de unde prin aplicarea consecutivă a formulelor de medie (în raport cu t şi x) obţinem [ ( )] u Q = cρ(x) (t 2 t 1 )(x 2 x 1 ) t x=ξ 1 t=τ 1 unde ξ 1 (x 1, x 2 ), τ 1 (t 1, t 2 ). În fine, dacă notăm cu f(x, t) densitatea surselor generatoare de căldură din bară (de exemplu căldură degajată în urma trecerii unui curent electric), cantitatea de căldură transmisă de aceste surse în intervalul de timp (t 1, t 2 ) este sau Q = t2 x2 t 1 x 1 F (x, t)dx dt Q = [F (x, t)] x=ξ 2 t=c 2 (t 2 t 1 )(x 2 x 1 ). Aplicând legea conservării energiei obţinem Q = Q + Q, care, după înlocuiri şi simplificări conduce la: [ k(x) u ] [ + cρ(x) u ] x x x=ξ x x=ξ 1 t=τ t=τ 1 = [F (t, x)] x=x2 t=τ 2. Raţionamentul pe care l-am făcut până în prezent se referă la intervalele (x 1, x 2 ) şi (t 1, t 2 ) arbitrare. Trecând la limită cu x 1, x 2 x şi t 1, t 2 t, obţinem ecuaţia [ k(x) u ] + cρ(x) u = F (x, t), x x t numită ecuaţia propagării căldurii. Dacă bara este omogenă, atunci k şi ρ pot fi consideraţi constanţi şi notând a 2 = k F (x, t), f(x, t) = cρ cρ ecuaţia propagării căldurii se scrie sub forma u t a 2 u xx = f(x, t).

26 2.2 Propagarea căldurii în spaţiu Propagarea căldurii în spaţiu este măsurată prin intermediul temperaturii u(x, y, z, t), care este o funcţie ce depinde de timpul t şi poziţia (x, y, z) a punctului din spaţiu. Dacă temperatura nu este constantă, apar fluxuri de căldură dinspre zonele cu temperatură mai înaltă către cele cu temperatură mai joasă. Cantitatea de căldură Q care trece prin elementul de suprafaţă σ ce conţine punctul M(x, y, z) în intervalul de timp (t, t+ t) este dată de formula Q = k(m) u n σ t, unde k este coeficientul de conductibilitate termică a corpului, iar n este normala la elementul de suprafaţă σ orientată în direcţia fluxului de căldură. De aici rezultă că în intervalul (t 1, t 2 ) prin suprafaţa σ trece cantitatea de căldură Q = t2 t 1 k(m) u n dσ dt = (t 2 t 1 ) k(m) u n dσ σ Cu ajutorul formulei lui Gauss Ostrogradski ultima integrală devine = = prin urmare σ V [ u k x [ x σ k(m) u n dσ = u u cos(n, x) + cos(n, y) + y z ( k u ) + ( k u ) + x y y z = Q = (t 2 t 1 ) V V div[k(m)grad u]dv, σ ] cos(n, z) dσ = ( k u )] dv = z div [k(m)grad u]dv t=τ, τ (t 1, t 2 ). t=τ

27 La fel ca în cazul barei Q = V = (t 2 t 1 ) cρ(m)[u(x, y, z, t 2 ) u(x, y, z, t 1 )]dv = V cρ(x, y, z) u t dv, τ 1 (t 1, t 2 ) t=τ1 în timp ce cantitatea de căldură produsă de surse din interiorul corpului este Q = t2 t 1 V f(x, y, z, t)dv dt = (t 2 t 1 ) τ 2 (t 1, t 2 ). V f(x, y, z, t)dv t=τ2, Având în vedere că volumul V este arbitrar, la fel ca în cazul barei, prin simplificări şi treceri la limită obţinem: (2.1) cρ(x, y, z) u t div[k(x, y, z)grad u] = f(x, y, z, t). Dacă ρ şi k sunt constante (deci corpul este omogen) cu notaţiile deja menţionate ecuaţia (1.1) capătă forma (2.2) u t a2 u = f(x, y, z, t) unde este operatorul lui Laplace. Cazuri particulare. Dacă distribuţia temperaturii în corp nu depinde de timp (cazul staţionar) ecuaţia (1.2) capătă forma u = f(x, y, z) numită şi ecuaţia lui Poisson. Dacă în plus lipsesc şi sursele interioare de căldură se obţine ecuaţia numită şi ecuaţia lui Laplace. u =

28 2.3 Ecuaţia difuziei Difuzia este un proces de egalizare a concentraţiilor sau de amestecare spontană (pentru corpuri în stare gazoasă sau lichidă). Dacă analizăm un tub umplut cu un gaz, atunci constatăm că are loc difuzia acestuia din zonele cu concentraţie mai mare în zonele cu concentraţie mai mică. Fenomenul este asemănător şi în cazul unei soluţii, dacă concentraţia substanţei dizolvate nu este constantă în tot volumul. Analizând fenomenul difuziei unui gaz într-un tub, să notăm cu u(x, t) concentraţia în secţiunea x şi la momentul t. Din legea lui Nernst, cantitatea de gaz care trece prin secţiunea x în intervalul de timp (t, t + dt) este dq = D u (x, t)s dt, x unde D este coeficientul de difuzie sau difuzivitatea substanţei, iar S este aria secţiunii tubului. Dar variaţia masei gazului pe porţiunea (x 1, x 2 ) a tubului, datorită variaţiei du a concentraţiei, este dq = x2 x 1 c du S dx, unde c este coeficientul de porozitate, egal cu raportul dintre volumul porilor şi volumul total (în cazul nostru S dx). Procedând ca în cazurile anteriore, ecuaţia bilanţului de masă de gaz în porţiunea (x 1, x 2 ) şi intervalul de timp (t 1, t 2 ) conduce la ( D u ) = c u x x t, numită şi ecuaţia difuziei. Dacă coeficientul de difuzie este constant, aceasta devine unde a 2 = D/c. u t = a 2 u xx Probleme la limită pentru ecuaţia propagării căldurii Pentru a determina legea de propagare a căldurii într-un corp limitat de o suprafaţă S, trebuie să adăugăm la ecuaţie condiţii iniţiale şi la limită. Condiţia iniţială presupune cunoaşterea temperaturii u(x, t) la momentul iniţial t. În ce priveşte condiţiile la limită acestea pot fi diferite în funcţie de regimul de temperatură de la frontieră.

29 Se consideră trei tipuri fundamentale de condiţii la limită Se dă distribuţia de temperatură u(x, t) la suprafaţa corpului: u(x, t) = φ(x, t), x S, t t Se dă expresia fluxului de căldură ce trece în fiecare moment prin suprafaţa ce limitează corpul u ν (x, t) = ψ(x, t), x S, t t În fine, ultima condiţie la limită este o combinaţie a primelor două α u ν (x, t) + βu(x, t) = θ(x, t), x S, t t, α, β IR +. Evident că funcţiile φ, ψ, θ sunt presupuse cunoscute. 2.4 Rezolvarea ecuaţiei propagării căldurii cu metoda lui Fourier Fie Ω IR n o mulţime deschisă şi mărginită cu frontiera Ω, iar T > fixat. Facem notaţiile: Q T = Ω (, T ) şi Σ T = Ω (, T ). In acest cadru considerăm problema la limită u t a2 u = f în Q T (P ) u(x, ) = u (x) în Ω u = pe Σ T, unde f : Q T IR şi u : Ω IR sunt funcţii date. Introducem spaţiul de funcţii { C 2,1 (Q T ) = u, u 2 u C(Q x T ), C(Q T ), i x i x j u t } C(Ω (, T ]). Funcţia u(, ) : Q T IR se numeşte soluţie clasică pentru problema (P ) dacă u C 2,1 (Q T ) şi u satisface ecuaţia (P) 1 pe Q T şi condiţiile: iniţială (P) 2 şi la limită (P) 3. Păstrăm aceeaşi terminologie de soluţie clasică şi în cazul când ne referim doar la soluţia ecuaţiei (P) 1. Întrucât demonstrarea existenţei soluţiei clasice pentru problema mixtă (P) este dificilă, vom căuta soluţia acesteia sub forma unei serii Fourier faţă

3 de un sistem ortogonal de vectori proprii asociaţi operatorului lui Laplace şi vom arăta că în anumite condiţii asupra datelor problemei, această soluţie este clasică. Vom ilustra metoda, cunoscută şi sub numele de metoda separării variabilelor pe cazul 1-dimensional (deci Ω = (, l)), cazul n-dimensional fiind o generalizare firească a acestuia. Pentru n = 1 problema neomogenă (P) are forma: u t = a 2 u xx + f(x, t), x (, l), t > u(x, ) = u (x), x [, l] u(, t) = u(l, t) =, t >. Soluţii formale în cazul ecuaţiei omogene Considerăm problema mixtă u t = a 2 u xx, x (, l), t > (4.1) u(x, ) = u (x), x [, l] u(, t) = u(l, t) =, t >. Căutând pentru ( ) { u t = a 2 u xx, x (, l), t > u(, t) = u(l, t) =, t > soluţii de forma (4.2) u(x, t) = T (t)x(x) ajungem la relaţiile: (4.3) (4.4) (4.5) T + λa 2 T = X = λx X() = X(l) =. Într-adevăr, dacă (4.2) este soluţie pentru u t = a 2 u xx, atunci T (t)x(x) = a 2 T (t)x (x), adică (4.6) T (t) a 2 T (t) = X (x) X(x).

31 Întrucât membrul stâng al egalităţii (4.6) este constant în raport cu x, iar membrul drept este constant în raport cu t, din această identitate în (x, t) deducem că ambii membri sunt egali cu o constantă pe care o notăm cu λ. În acest fel am obţinut (4.3) şi (4.4) în timp ce (4.5) rezultă punând condiţia ca funcţia dată de (4.2) să se anuleze la capetele intervalului (, l). Dar, rezolvarea problemei (4.4)-(4.5) revine la determinarea valorilor şi vectorilor proprii pentru în cazul Ω = (, l). Aşa cum am văzut deja aceasta conduce la: αe λ x + βl λ x, dacă λ < X(x) = αx + β, dacă λ = α cos λx + β sin λx, dacă λ >, α şi β fiind constante reale. Constantele α şi β se determină impunând lui X( ) să verifice condiţia (4.5) fără a fi identic nul, obţinându-se faptul că pentru λ > există o funcţie de tipul X(x) = α cos λx + β sin λx care satisface (4.5) numai pentru valorile (4.7) λ k = ( ) kπ 2, k N. l Pentru aceste valori ale constantei λ, ecuaţia (4.4) are soluţiile (4.8) X k (x) = sin kπ l x. Observăm că funcţiile (4.8) sunt vectorii proprii ai operatorului A : L 2 (, l) L 2 (, l) dat prin AX = X şi cu domeniul D(A) = {X C 2 (, l) C([, l]) : X() = X(l) =, X L 2 (, l)}. Sistemul de vectori proprii ai operatorului A, este ortogonal şi complet în L 2 (, l), iar valorile proprii (4.7) au proprietatea < λ 1 λ 2... λ n..., pentru n. Rezolvând acum (4.3) pentru (λ = λ k ) din (4.7) se găseşte soluţia generală (4.9) T k (t) = C k e akπ ( ) l 2 t ceea ce implică akπ ( ) u k (x, t) = C k e 2t l sin kπ l x.

32 Acum deoarece problema (*) este liniară, conform principiului superpoziţiei rezultă că orice sumă finită de soluţii ale problemei este, de asemenea, soluţie. Formal, acceptăm că şi suma unei serii ai cărei termeni sunt soluţii pentru această problemă este de asemenea soluţie. Notăm cu u(, ) suma unei astfel de serii, adică (4.1) u(x, t) = akπ ( ) C k e 2t l sin kπ l x, unde constantele C k se determină impunând condiţia ca funcţia definită prin egalitatea (4.1) să verifice şi condiţia iniţială (4.1) 2, adică (4.11) C k sin kπ l x = u (x). Deoarece {sin kπ l x} k N este o bază ortogonală în L2 (, l) (acesta este un rezultat de analiză matematică!), funcţia u admite dezvoltarea în serie Fourier după această bază (4.12) u (x) = unde coeficienţii sunt daţi de relaţia c k sin kπ l x, (4.13) c k = 2 l l u (x) sin kπ l x dx. Din (4.11) şi (4.12) rezultă C k = c k, astfel că (4.1) capătă forma (4.14) u(x, t) = c k e akπ ( l ) 2t sin kπ l x care se mai numeşte soluţie formală a problemei mixte (4.1). Observaţie. Caracterul formal al calculului prezentat aici provine din acceptarea faptului că (4.14) verifică (4.1) 1, pentru că fiecare termen din membrul drept al egalităţii (4.14) verifică (4.1) 1. Acest lucru nu este întotdeauna adevărat (dar are loc atunci când atât seria (4.14) cât şi seria obţinută prin derivarea termenilor acesteia sunt uniform convergente).

33 Soluţii formale pentru problema mixtă neomogenă Prin analogie cu rezultatul stabilit anterior, (formula (4.14)) pentru problema neomogenă (4.15) căutăm soluţii de forma (4.16) u(x, t) = u t = a 2 u xx + f(x, t), x (, l), t > u(x, ) = u (x), x [, l] u(, t) = u(l, t) =, t T k (t) sin kπ l x. Pretinzând ca funcţia u dată de (4.16) să verifice (4.15) găsim pentru T k, şirul de probleme Cauchy { T k (4.17) + ( akπ l ) 2 T k = c k (t), T k () = d k în care c k (t) şi d k sunt coeficienţii Fourier din dezvoltările Fourier ale datelor problemei deci f(x, t) = u (x) = c k (t) sin kπ l x, d k sin kπ l x (4.18) c k (t) = 2 l l f(x, t) sin kπ l x dx, (4.19) d k = 2 l l u (x) sin kπ l x dx, iar soluţia problemei Cauchy (4.17) este akπ ( ) (4.2) T k (t) = d k e 2t l + t e akπ ( l ) 2 (t s) c k (s)ds.

34 Înlocuind (4.2) în (4.16) se obţine soluţia formală a problemei (4.15) în care coeficienţii c k şi d k sunt daţi de formulele (4.18) şi respectiv (4.19). Observaţia 1. În cazul problemei mixte cu condiţii la limită neomogene u t = a 2 u xx + f(x, t), x (, l), t > u(x, ) = u (x), x [, l] u(, t) = µ 1 (t), u(l, t) = µ 2 (t), t >, rezolvarea se reduce la cazul anterior dacă se face schimbarea de funcţie v(x, t) = u(x, t) µ 1 (t) x l [µ 2(t) µ 1 (t)], obţinându-se pentru v o problemă cu condiţii la limită omogene. Observaţia 2. (Condiţii suficiente ca soluţia formală să fie soluţie clasică). Am văzut că soluţia problemei (4.1) este dată de unde u(x, t) = c k = 2 l c k e l akπ ( l ) 2t sin kπ l x u (x) sin kπ l x dx, de unde se vede clar că pentru a fi soluţie clasică, avem la dispoziţie doar data iniţială u. Fără a detalia (pentru demonstraţie vezi [4]), afirmăm doar că dacă u satisface condiţiile (4.21) u C[, l] (4.22) există derivata u şi este continuă pe porţiuni (4.23) u () = u (l) =, atunci funcţia definită de (4.14) este soluţie clasică a problemei (4.1). Pentru problema neomogenă (4.15) condiţiile suficiente pentru ca soluţia formală să devină clasică implică restricţii atât asupra datei iniţiale u cât şi a perturbării f. Dezvoltarea analizei funcţionale şi a spaţiilor Sobolev au permis definirea unui concept natural de soluţie pentru ecuaţia propagării căldurii (vezi [1], [2]). Aceste lucruri vor fi studiate la cursul EDP-de la Master.

35 2.5 Principiul de maxim pentru operatorul căldurii În acest paragraf vom prezenta un principiu de maxim pentru operatorul căldurii t pe un domeniu mărginit sau nemărginit şi consecinţe ale acestuia. Întrucât dimensiunea spaţiului nu introduce dificultăţi suplimentare, vom face acest lucru în R n. Fie Ω IR n o mulţime deschisă şi mărginită cu frontiera Ω. Fie Q T = Ω (, T ), Σ T = Ω (, T ) şi B T = (Ω {}) ( Ω [, T )), unde T > este fixat. Teorema 5.1. (Principiul de maxim) Fie u C(Ω [, T ]) astfel încât u este de clasă C 2 în raport cu x şi de clasă C 1 în raport cu t pe Ω (, T ). Dacă (5.1) atunci (5.2) max Q T u t (x, t) u(x, t), (x, t) Q T u = max B T u. Demonstraţie. Deoarece Ω este un domeniu mărginit, rezultă că Q T este o mulţime compactă, iar funcţia u fiind continuă pe Q T îşi atinge marginile pe această mulţime. În acest fel se justifică existenţa primului termen al egalităţii (5.2). Fie ε > şi v ε (x, t) = u(x, t) εt. Din (5.1) rezultă (5.3) v ε t v ε = u t u ε ε < pe Q T. Presupunem că maximul lui v ε este atins în (x, t ), x Ω, < t T (deci în Q T \B T ). Atunci v ε (x, t ) şi v ε t (x, t ) (sau, dacă t < T ). De aici rezultă, v ε t (x, t ) v ε (x, t ) care contrazice relaţia (5.3). Aceasta implică max v ε = max v ε. Astfel Q T B T max u = max (v ε + εt) max v ε + εt = Q T Q T Q T = max B T v ε + εt max B T u + εt, deoarece v ε u. Dar ε > fiind arbitrar, ultima relaţie implică (5.2).

36 Din Teorema 5.1 rezultă că dacă u este soluţie clasică a ecuaţiei u t u = pe Q T, atunci maximul şi minimul funcţiei u pe Q T sunt atinse şi pe mulţimea B T. Utilizând Teorema 5.1 putem demonstra următorul rezultat de dependenţă a soluţiei clasice a problemei (P) în raport cu datele, rezultat care are drept consecinţă unicitatea soluţiei clasice a problemei (P). Corolarul 5.1. Fie f C(Q T ) şi u C( Ω). Atunci problema mixtă (P) are cel mult o soluţie clasică. În plus, aceasta (dacă există!) verifică inegalitatea (5.4) { } min min u, Ω + t min f u(x, t) Q T } { max max u, Ω + t max Q T f, (x, t) Q T. Demonstraţie. Presupunem că u 1 şi u 2 sunt soluţii clasice pentru problema (P). Rezultă că v := u 1 u 2 verifică problema (P) cu datele nule, iar din Teorema 5.1 obţinem max Q T v = min Q T v =, adică u 1 u 2. Pentru demonstrarea inegalităţii (5.4) considerăm funcţia w = u Mt, unde M = max f. Q T Aceasta satisface sistemul w t w în Q T w(x, ) = u (x) în Ω w = Mt pe Σ T, iar din principiul de maxim rezultă care implică max Q T { } w = max max u, Ω (5.5) u(x, t) max{max u, } + Mt, (x, t) Q T. Ω

37 Trecând (în (P)) f în f, u în u, u în u şi aplicând principiul de maxim, obţinem (cf. (5.5)) relaţia { } (5.6) u(x, t) min min u, Ω + mt, (x, t) Q T, unde m = min Q T f. Din (5.5) şi (5.6) obţinem (5.4). Din (5.4) rezultă dependenţa continuă a soluţiei clasice de datele u şi f. Mai exact, u satisface relaţia max Q T u max Ω u + T max f. Q T Un rezultat asemănător celui prezentat în Corolarul 5.1 are loc şi pentru soluţiile slabe ale problemei mixte. În continuare vom prezenta un principiu de maxim pentru cazul Ω = IR n. Teorema 5.2. Dacă u C(IR n [, T ]) C 2,1 (IR n (, T ]), u mărginită şi atunci u t (x, t) u(x, t), în IRn (, T ] sup u(x, t) = sup u(x, ). IR n [,T ] IR n u(x, ). Evident M N. Demonstraţie. Fie M = sup u(x, t) şi N = sup IR n [,T ] IR n Fie ε > şi v ε funcţia definită prin Se observă că v ε (x, t) = u(x, t) ε(2nt + x 2 ). v ε t v ε, în IR n (, T ]. Să presupunem, prin absurd, că M > N. Pentru x 2 ε 1 (M N) şi t (, T ] avem v ε (x, t) M ε(ε 1 (M N)) = N şi v ε (x, ) = u(x, ) ε x 2 N. În Q T = {(x, t) : x 2 ε 1 (M N), t [, T ]} putem aplica Teorema 5.1 şi obţinem v ε (x, t) N, (x, t) IR n [, T ]. De aici rezultă u(x, t) N + ε(2nt + x 2 ), (x, t) IR n (, T ).

38 Dacă fixăm perechea (x, t) şi facem pe ε să tindă la zero în inegalitatea de mai sus, obţinem u(x, t) N care implică M N, de unde M = N. Teorema 5.2 poate fi utilizată pentru demonstrarea unicităţii soluţiei mărginite a problemei Cauchy pentru ecuaţia căldurii în tot spaţiul. Această problemă are forma (5.7) u t (x, t) u(x, t) = f(x, t), x IRn, t (, T ) (5.8) u(x, ) = g(x), x IR n. Spunem că funcţia u C 2,1 (IR n (, T )) C(IR n [, T ]) este soluţie clasică a problemei Cauchy (5.7) (5.8) dacă verifică ecuaţia (5.7) şi condiţia iniţială (5.8). Are loc următorul rezultat Teorema 5.3. Problema Cauchy (5.7)-(5.8) admite cel mult o soluţie clasică mărginită în IR n (, T ). Demonstraţie. Presupunând că u 1 şi u 2 sunt soluţii clasice mărginite în IR n (, T ), u := u 1 u 2 este funcţie mărginită şi verifică relaţiile (5.7) şi (5.8) cu f = g =. Aplicând Teorema 5.2 rezultă că u, deci u 1 = u 2.

Capitolul 3 Ecuaţii hiperbolice 3.1 Probleme la limită pentru ecuaţii de tip hiperbolic Dacă ecuaţiile cu derivate parţiale de tip parabolic descriu fenomenele de transfer, cum ar fi transferul de substanţe în procesele de difuzie, cele hiperbolice se întâlnesc frecvent la descrierea fenomenelor ondulatorii. Prezentăm în continuare forma generală a ecuaţiei hiperbolice de care ne ocupăm în acest capitol. Fie Ω IR n o mulţime deschisă. Ecuaţia 2 u (x, t) u(x, t) =, (x, t) Ω (, ) t2 este cunoscută sub numele de ecuaţia undelor, deoarece ea descrie mişcarea coardei vibrante (n = 1), vibraţiile unei membrane elastice (n = 2) sau a solidului elastic (n = 3). Dacă facem notaţiile: Q T = Ω (, T ) (T >, fixat), Σ T = Ω (, T ), atunci problema mixtă pentru ecuaţia undelor cu condiţiile la limită de tip Dirichlet omogene, are forma (1.1) 2 u (x, t) u(x, t) = f(x, t), t2 (x, t) Q T (1.2) u(x, ) = u (x), u t (x, ) = u 1(x), x Ω, (1.3) u(x, t) =, pe Σ T, unde f : Q T IR, u : Ω IR şi u 1 : Ω IR sunt funcţii date. În locul condiţiei Dirichlet omogene (1.3) se poate considera o condiţie de tip Neumann (1.3) u ν (x, t) = g(x, t) în Σ T 39

4 sau o condiţie de tip mixt (Robin) (1.3) u ν (x, t) + αu(x, t) = h(x, t) în Σ T, unde α iar g, h : Σ T IR sunt funcţii date. Spunem că funcţia u : Q T IR este soluţie clasică pentru (1.1)-(1.3) dacă u C 2 (Q T ) C(Q T ), u t C(Q T ) şi verifică (în sens clasic) ecuaţia (1.1) împreună cu condiţiile iniţiale (1.2) şi la limită (1.3). Trecem acum la prezentarea unui model matematic descris cu ajutorul unei ecuaţii hiperbolice. Prin simplitate şi apariţia frecventă în multe ramuri ale fizicii matematice, ecuaţia coardei vibrante constituie un exemplu clasic în teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale. Ecuaţia coardei vibrante. Să considerăm (Fig. 1.1) o coardă flexibilă de lungime l, fixată la capete, care în poziţie de echilibru ia forma unui segment de dreaptă. Presupunem că la momentul t = coarda este scoasă din poziţia de echilibru, care coincide cu direcţia axei Ox şi începe să vibreze. u Fig. 1.1. x Notăm cu u(x, t) amplitudinea (abaterea coardei de la poziţia de echilibru) în punctul x şi la momentul t. Ne propunem să obţinem ecuaţia satisfăcută de u, ca funcţie de x şi t. Cu alte cuvinte, dacă u(x, t) este deplasarea verticală a punctului de pe coardă aflat la distanţa x de origine la momentul t, atunci care este ecuaţia cu derivate parţiale satisfăcută de u(x, t)? Pentru a simplifica raţionamentul facem următoarele ipoteze: 1. Presupunem că deplasările coardei se află în acelaşi plan (xou), iar direcţia deplasării este perpendiculară pe axa Ox; atunci fenomenul poate fi

41 descris printr-o singură funcţie u(x, t), care caracterizează deplasarea verticală a corzii. 2. Coarda este flexibilă şi elastică, adică tensiunile care apar în coardă sunt orientate totdeauna după tangentele la profilul ei instantaneu şi coarda nu se opune la flexiune. 3. Nu există elongaţii ale niciunui segment al corzii, deci după legea lui Hooke, mărimea tensiunii T (x, t) este constantă, T (x, t) = T, x (, l), t >. 4. Forţele exterioare, precum rezistenţa aerului şi greutatea corzii sunt neglijabile. 5. Panta u în fiecare punct al corzii (deplasate) este neglijabilă, prin x urmare amplitudinea u este mică în raport cu lungimea corzii. Alegem în mod arbitrar un arc M 1 M 2 de pe coardă în care punctele M 1 şi M 2 au coordonatele (x, u) şi, respectiv, (x + x, u + u) (Fig. 1.2). u M (x+ x, u+ u) 2 T 2 M (x,u) 1 T 1 x x+ x x Fig. 1.2. Notăm cu T 1 şi T 2 tensiunile în M 1 şi, respectiv, M 2 care, după cum am specificat în ipoteza 2, acţionează pe direcţiile tangentelor la arcul M 1 M 2 în cele două puncte. Notăm cu s lungimea arcului M 1 M 2 şi ρ(x) densitatea liniară de masă a corzii. Deoarece fiecare punct al corzii se mişcă doar pe direcţia perpendiculară pe axa Ox, rezultă că componentele orizontale ale tensiunilor T 1 şi T 2 sunt

42 egale. Deci sau T 1 cos α 1 + T 2 cos α 2 = T 1 cos α 1 = T 2 cos α 2 = T = constant, unde am notat T i = T i, i = 1, 2. Componenta verticală a forţei de tensiune ce acţionează asupra elementului de arc s este T 1 sin α 1 + T 2 sin α 2 = [ ] u(x, t) u(x + x, t) = T ( tg α 1 + tg α 2 ) = T +. x x Din legea a doua a lui Newton rezultă că (pentru echilibru) suma forţelor ce acţionează asupra elementului de arc s trebuie să fie nulă. Deci [ ] u(x + x, t) u(x, t) T = ρ(x) s 2 u ( x, t) x x t2 unde x este abscisa centrului de masă a lui s. Deoarece s = x, împărţind ambii membri ai egalităţii de mai sus cu s şi trecând la limită cu x obţinem 2 u(x, t) (1.4) T x 2 = ρ(x) 2 u(x, t) t 2 Dacă asupra corzii acţionează o forţă externă de densitate f (x, t), atunci ecuaţia (4) devine (1.5) ρ(x) 2 u(x, t) t 2 T 2 u(x, t) x 2 = f (x, t), x (, l), t >. Dacă presupunem că ρ(x) ρ = constant, atunci ecuaţia (1.5) capătă forma (1.6) 2 u(x, t) t 2 a 2 2 u(x, t) x 2 = f(x, t) în (, l) (, ), unde a 2 = T ρ 1, f = f ρ 1. Deoarece extremităţile corzii sunt fixate, ecuaţiei (1.6) i se asociază condiţiile la limită de tip Dirichlet (1.7) u(, t) = u(l, t) =, t. În afară de acestea, se dau "condiţiile iniţiale", adică forma şi viteza corzii la momentul inţial (1.8) u(x, ) = u (x), u t (x, ) = u 1(x), x (, l).

3.2 Rezolvarea ecuaţiei coardei vibrante cu metoda lui Fourier În cele ce urmează, la fel ca în cazul parabolic, vom încerca să găsim o soluţie pentru ecuaţia coardei vibrante (deci cazul n = 1), utilizând metoda separării variabilelor. Menţionăm faptul că prin această metodă vom determina doar o soluţie formală care însă este un bun "candidat" la soluţia clasică, atunci când datele problemei au un grad suficient de regularitate. Soluţii formale pentru ecuaţia omogenă Fie problema mixtă u tt = a 2 u xx, x (, l), t > u(x, ) = u (x), x [, l] (2.1) u t (x, ) = u 1 (x), x [, l] u(, t) = u(l, t) =, t. Pentru problema omogenă { u tt = a 2 u xx, x (, l), t > (2.2) u(, t) = u(l, t) =, t > căutăm o soluţie de forma (2.3) u(x, t) = T (t)x(x). Impunând acesteia să satisfacă ecuaţia şi condiţiile la limită în problema (2.2), obţinem pentru X şi T, următorul sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare T + λa 2 T = (2.4) X = λx, X() = X(l) =. Într-adevăr, din faptul că (2.3) este soluţie pentru (2.2) 1 deducem T (t)x(x) = a 2 T (t)x (x), de unde, după separarea variabilelor rezultă 43 (2.5) T (t) a 2 T (t) = X (x) X(x).

44 Acum, deoarece în (2.5) membrul stâng este constant în raport cu variabila x, iar membrul drept este constant în raport cu t, pentru ca această egalitate să aibă loc pentru perechile (x, t) (x (, l), t > ) este necesar ca ambii membri să fie constanţi în (x, t). Notăm valoarea constantei cu λ şi astfel găsim primele două ecuaţii din (2.4). Ultima relaţie din (2.4) rezultă din cerinţa ca (2.3) să satisfacă condiţiile la limită (omogene) din (2.2). Problema { X = λx X() = X(l) = a fost analizată deja (la cazul parabolic) şi am văzut că soluţiile sunt (2.6) X k (x) = sin kπ l x, k N pentru valorile parametrului λ, (2.7) λ k = ( ) kπ 2. l Soluţiile (2.6) formează un sistem ortogonal complet de vectori proprii ai operatorului A : L 2 (, l) L 2 (, l), definit prin AX = X, cu domeniul D(A) = {X C 2 (, l) C([, l]) : X() = X(l) =, X L 2 (, l)} corespunzător valorilor proprii (2.7). Rezolvând acum ecuaţia obţinem soluţia generală T + λa 2 T =, T k (t) = A k cos akπ l t + B k sin akπ t, l A k, B k fiind constante arbitrare. Prin urmare soluţiile de forma (2.3) sunt u k (x, t) = [A k cos akπ l t + B k sin akπ t] sin kπ l l x şi deoarece problema (2.2) este liniară este de aşteptat ca şi suma seriei (2.8) u(x, t) = [A k cos akπ t + B k sin akπ t] sin kπ l l l x,