Κεφάλαιο 08 Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων LC 8. Προκαταρκτικά Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάστηκε µια µέθοδος σχεδίασης ενεργών φίλτρων, κατά την οποία από τις προδιαγραφές υπολογίζεται αρχικά, µε µια προσέγγιση (π.χ.butterworth ή Chebyshev), η συνάρτηση απλού κέρδους τάσης και από αυτήν η συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) του φίλτρου. Στη συνέχεια, η H(s) υλοποιείται συνδέοντας αλυσωτά κατάλληλες ενεργές βαθµίδες ης και 2ης τάξης. Χαρακτηριστικό στην σχεδίαση ενεργών φίλτρων µε την µέθοδο αυτή είναι ότι ο σχεδιαστής δεν ασχολείται καθόλου µε τα χαρακτηριστικά των προηγούµενων του φίλτρου βαθµίδων, που αποτελούν την "πηγή" του, ούτε και µε τα χαρακτηριστικά των επόµενων βαθµίδων, που αποτελούν το "φορτίο". Αυτό οφείλεται στο ότι µε τους τελεστικούς ενισχυτές είναι εύκολο να αποµονωθεί το φίλτρο από τις συνδεόµενες σε αυτό βαθµίδες, οπότε τα χαρακτηριστικά τους δεν επηρεάζουν την συνολική συνάρτηση µεταφοράς. Αντίθετα, στην περίπτωση σχεδίασης παθητικών φίλτρων, η εσωτερική αντίσταση της πηγής και η αντίσταση του φορτίου, είναι βασικοί παράγοντες που καθορίζουν την συµπεριφορά του φίλτρου και την αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς. Συνήθως θεωρούµε ότι ένα φίλτρο έχει στην είσοδό του µια πηγή τάσης µε ωµική εσωτερική αντίσταση R S και τροφοδοτεί ένα ωµικό φορτίο. Η διάταξη αυτή αποτελεί ένα διπλά ωµικά τερµατισµένο δίθυρο. Η πηγή {Ε, R S } παριστάνει τις προηγούµενες του φίλτρου βαθµίδες ενώ το φορτίο, τις επόµενες. ΣΧΗΜΑ 8. -389-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Σύµφωνα µε την θεωρία διθύρων κυκλωµάτων (Παράρτηµα Γ), σε ένα διπλά τερµατισµένο δίθυρο, η συνάρτηση µεταφοράς εκφράζεται συναρτήσει των παραµέτρων µετάδοσης ABCD του περεµβαλλόµενου διθύρου ως: H(s)' V 2 (s) E(s) ' A %B%CR S %DR S Παρ' όλο που οι παράµετροι µετάδοσης A, B, C και D του παθητικού δίθυρου, εξαρτώνται µόνον από το ίδιο το φίλτρο, τελικά η συνολική συνάρτηση µεταφοράς είναι εµφανές ότι εξαρτάται άµεσα και από τα R S και, που για το λόγο αυτό αποτελούν απαραίτητες παραµέτρους σχεδίασης και δίνονται µε τις προδιαγραφές. Όταν δίνονται οι προδιαγραφές {ω C, ω S, R Sο, ο, A max, A min } ενός βαθυπερατού φίλτρου (σχήµα 8.2α) κανονικοποιούνται µε ω C και ο. Η κανονικοποίηση, η οποία δεν επηρεάζει το κέρδος και την εξασθένηση, γίνεται για να ελαχιστοποιηθεί ο αριθµός των παραµέτρων σχεδίασης, αφού οδηγεί σε κανονικοποιηµένες προδιαγραφές µε µοναδιαία συχνότητα αποκοπής και φορτίο, όπως φαίνεται στο σχήµα 8.2β. ΣΧΗΜΑ 8.2 Όταν ολοκληρωθεί η σχεδίαση του κανονικοποιηµένου παθητικού φίλτρου, οι τιµές των κανονικοποιηµένων στοιχείων του (µε δείκτη n παρακάτω) αποκανονικοποιούνται µε επίπεδο αντίστασης την επιθυµητή αντίσταση φορτίου και επίπεδο συχνότητας, την επιθυµητή συχνότητα αποκοπής ω C, σύµφωνα µε όσα έχουν εκτεθεί σε προηγούµενο κεφάλαιο: ω'ω C Ω R'R n L' L n C' C ω C ω C R n L Οι προδιαγραφές των παθητικών φίλτρων θα µπορούσαν να περιγράφονται µε τον ίδιο τρόπο που περιγράφονται και στα ενεργά φίλτρα, δηλ. µε τα χαρακτηριστικά απλού ή λογαριθµικού κέρδους. Υπάρχουν όµως πολλοί λόγοι για τους οποίους περιγράφονται µε την ενεργό εξασθένηση του εδαφίου 7.2. και µάλιστα µε δύο θετικές ποσότητες την Α max και Α min (σε db), όπως στο σχήµα 8.3. -390-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 8.3 Τα A max και A min είναι σχετικά µεγέθη. Συγκεκριµένα το A max προδιαγράφει την µέγιστη επιτρεπόµενη απόκλιση της εξασθένησης στη ζώνη διέλευσης από την ελάχιστη που εµφανίζεται στο φίλτρο. Το A min προδιαγράφει την ελάχιστη επιτρεπόµενη ενεργό εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής, πάνω από την ελάχιστη που εµφανίζεται στο φίλτρο. Η ελάχιστη εξασθένηση που εµφανίζεται σε ένα παθητικό φίλτρο, είναι τις περισσότερες φορές η A o '20log R S % 2 R S της 7.7γ, υπάρχουν όµως περιπτώσεις που η εξασθένηση παρεµβολής A ins (Ω) παίρνει αρνητικές τιµές µε αποτέλεσµα η ελάχιστη εξασθένηση που εµφανίζεται στο φίλτρο να είναι µικρότερη από την Α ο. Έτσι όταν δίνονται τα θετικά A max και A min, η κατάσταση, ως προς την Α ο, µπορεί να είναι αυτή του σχήµατος 8.4α ή αυτή του σχήµατος 8.4β. ΣΧΗΜΑ 8.4α ΣΧΗΜΑ 8.4β Στις επόµενες σελίδες, θα ασχοληθούµε µε την χρήση των κλασσικών και χρήσιµων προσεγγίσεων των προδιαγραφών κανονικοποιηµένων βαθυπερατών φίλτρων, που έχουν παρουσιαστεί αναλυτικά στα κεφάλαια 4 και 5. Στόχος µας είναι η αξιοποίηση των προσεγγίσεων αυτών, όπως ακριβώς παρουσιάστηκαν εκεί, στην -39-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ σχεδίαση παθητικών φίλτρων. Με τις προσεγγίσεις µπορούµε και υπολογίζουµε την συνάρτηση απλού κέρδους H(jΩ) και την συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s), που ικανοποιεί τις δεδοµένες προδιαγραφές. Στη σχεδίαση παθητικών φίλτρων, από την H(jΩ) ή την H(s) πρέπει να υπολογιστεί τελικά η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Ζ (s) του τερµατισµένου µε την διθύρου, προκειµένου να συντεθεί µε τις γνωστές µεθόδους σύνθεσης οδηγουσών συναρτήσεων του Παραρτήµατος Β. Κρίσιµη ποσότητα για την σύνθεση ενός παθητικού φίλτρου δεν είναι όµως η H(s) αλλά η Η(s)Η(-s), η οποία µπορεί να υπολογιστεί απευθείας από την H(jΩ) που δίνει η προσέγγιση: H(s)H(&s)' H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 Αυτό σηµαίνει ότι δεν απαιτείται ο υπολογισµός της H(s) για να έχει κανείς τη ποσότητα H(s)H(-s). Έχοντας την H(s)H(-s), υπολογίζεται η ρ(s)ρ(-s) από την 7.7α: ρ(s) ρ(&s) ' & 4R S H(s)H(&s)' & 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 (8.) Η ρ(s) µπορεί να αποµονωθεί από το ρ(s)ρ(-s) εκµεταλλευόµενοι το γεγονός ότι i) οι ρ(s) και ρ(-s) έχουν αντίθετες ρίζες και ii) οι πόλοι της ρ(s) πρέπει να είναι στο αριστερό ηµιεπίπεδο. Η διαδικασία αποµόνωσης του ρ(s), οδηγεί συνήθως σε περισσότερες της µιας λύσεις λόγω του ότι για τα µηδενικά της δεν υπάρχουν περιορισµοί. Για κάθε λύση ρ(s) υπολογίζεται µετά µια Ζ (s) (η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου του τερµατισµένου µε την διθύρου) από τις σχέσεις 7.8 που επαναλαµβάνονται εδώ: Z a (s)'r S &ρ(s) %ρ(s) όταν R S > (8.2α) Z b (s)'r S %ρ(s) &ρ(s) όταν R S < (8.2β) Τέλος, η κάθε Ζ (s) µπορεί να συντεθεί και να δώσει το παθητικό κύκλωµα. Οπως και στην περίπτωση των ενεργών φίλτρων, θα εστιάσουµε την προσοχή µας στην σύνθεση βαθυπερατών φίλτρων, αφού η σχεδίαση παθητικών υψιπερατών, ζωνοδιαβατών φίλτρων καθώς και φίλτρων αποκοπής ζώνης ανάγεται στην σχεδίαση ενός βαθυπερατού, το οποίο µπορεί να µετασχηµατιστεί µε τους αντίστοιχους µετασχηµατισµούς ΒΠ σε ΥΠ, ΖΔ ή ΑΖ. -392-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 8.2 Η προσέγγιση Butterworth στα παθητικά φίλτρα Με δεδοµένες τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης του βαθυπερατού φίλτρου, {Ω C =, Ω S, R S, =, A max, A min } του σχήµατος 8.5, αναζητείται µια συνάρτηση κέρδους H(jΩ), της οποίας η αντίστοιχη συνάρτηση ενεργού εξασθένησης A(Ω)'20log 2 R S E(jΩ) V 2 (jω) '20log 2 R S H(jΩ) (8.3α) δεν θα παραβιάζει τις προδιαγραφές, µπαίνοντας σε γραµµοσκιασµένες περιοχές. ΣΧΗΜΑ 8.5 Από τις προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης µπορούµε, αν και δεν είναι απαραίτητο, να υπολογίσουµε τα χαρακτηριστικά απλού κέρδους από τις H o ' 2 0 & A o 20 ' R &A max &A min L 20 20 H R S R S %R C 'H o @0 <H o H S 'H o @0 L ΣΧΗΜΑ 8.6 Στις σχέσεις αυτές λαµβάνεται ως δεδοµένο ότι η ενεργός εξασθένηση είναι σε όλες τις συχνότητες µεγαλύτερη από την Α o επειδή η προσέγγιση Butterworth είναι µονοτονική και για Ω=0 δίνει εξασθένηση Α(0)=Α o. Με τις προδιαγραφές απλού κέρδους {H o, H C, H S, Ω S, R S, =} µπορούµε να υπολογίσουµε την H(jΩ) 2 από την προσέγγιση Butterworth του κεφαλαίου 4. -393-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Καλύτερα όµως είναι να γίνονται όλοι οι υπολογισµοί µε τις προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης. Όλοι οι τύποι της προσέγγισης Butterworth, προσαρµοσµένοι στα παθητικά φίλτρα, επαναλαµβάνονται εδώ για ευκολία µε αναφορά στο σχήµα 8.6. Η συνάρτηση ενεργού εξασθένησης Butterworth είναι: A(Ω)'A o %20log %β 2 Ω 2n µε A o '20log Y A(Ω)'20log R S % 2 R S R S % 2 R S %β 2 Ω 2n ( ') (8.3β) Αποδεικνύεται, όπως έγινε και στο κεφάλαιο 4, ότι η παράµερος β µπορεί να επιλεγεί από ένα πεδίο τιµών: 0 A min 0 & Ω n S 'β min # β #β max ' 0 A max 0 & (8.4) Η ακέραια τάξη της προσέγγισης είναι ο µικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την n$ Αmin log 0 0 & β 2 max 2logΩ S ' log 0 Αmin 0 & Α max 0 & 0 2logΩ S (8.5) Η συχνότητα στην οποία η εξασθένηση αυξάνεται από την ελάχιστη Α ο κατά 3 db είναι: Ω 3dB ' n ' β & n β Από τις 8.3α και 8.3β υπολογίζεται ότι: H(jΩ) 2 ' R 2 L /(R S % )2 %β 2 Ω 2n (8.6) Ο ρυθµός αποκοπής, ο ρυθµός δηλ. µε τον οποίο αυξάνει η εξασθένηση (ή πέφτει το κέρδος) στη ζώνη αποκοπής σε db/octave, εξαρτάται από την ίδια την -394-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ προσέγγιση και υπολογίζεται εύκολα (βλέπε κεφάλαιο 4) ότι είναι 6n db/octave και στην περίπτωση των παθητικών φίλτρων Butterworth. Για διπλασιασµό δηλ. της συχνότητας στη ζώνη αποκοπής, η ενεργός εξασθένηση αυξάνεται κατά 6n db. Ο ρυθµός αποκοπής δίνει εποµένως εµµέσως την τάξη του φίλτρου σε βαθµό που πολλές φορές να µιλάµε π.χ. για φίλτρο 30 db/octave αντί για φίλτρο 5ης τάξης. Η συνάρτηση µεταφοράς κανονικοποιηµένου παθητικού φίλτρου Butterworth ( =, Ω C =) µπορεί να υπολογιστεί, αν είναι απαραίτητο, όπως στο κεφάλαιο 4 ως: H(s)' β(r S % ) n k (s&s k ) k' µε ' (8.7α) n µε s k ' β e j 2k%n& π 2n για k',2,..n Η απαιτούµενη για τον υπολογισµό της ρ(s) ποσότηταh(s)h(&s)' H(jΩ) 2 µπορεί να υπολογιστεί χωρίς να υπολογιστεί πρώτα η H(s) από την: H(s)H(&s)' H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 ' R 2 L (R S % ) 2 %β 2 Ω 2n Ω 2 '&s 2 (8.7β) δηλαδή H(s)H(&s)' R 2 L /(R S % )2 %β 2 (&s 2 ) n ( ') Εχοντας την H(s)H(-s) από την 8.7β, υπολογίζεται από την 8. η σχετιζόµενη µε την συνάρτηση συντελεστή ανάκλασης ποσότητα: ρ(s)ρ(&s)'& 4R S H(s)H(&s)' %β2 (&s 2 ) n &4R S /(R S % ) 2 %β 2 (&s 2 ) n (8.8) και µετά την αποµόνωση της ρ(s) σύµφωνα µε το εδάφιο Α.6 του Παραρτήµατος Α, µπορεί να υπολογιστεί από τις 8.2α ή 8.2β η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z (s) του τερµατισµένου µε την διθύρου. -395-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8. α) Να υπολογιστεί η συνάρτηση ενεργού εξασθένησης A(Ω) Butterworth που ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές: Α max =0.446, A min =25.4880 db, R S = 0.5, = Ω C = Ω S = 3. β) Να υπολογιστεί η Η(s)Η(-s) και από αυτήν η ρ(s)ρ(-s), η ρ(s) και η Z (s). Το Α ο καθορίζεται από τις αντιστάσεις τερµατισµού και είναι σύµφωνα µε την 8.3β: A o '20log R S % '0.52 db, 2 R S Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές φαίνονται στο σχήµα 8.7. Για να υπολογίσουµε την A(Ω) που ικανοποιεί τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές, αρκεί ΣΧΗΜΑ 8.7 να υπολογίσουµε το β και το n. Αν και από την 8.4 µπορούµε να επιλέξουµε οποιαδήποτε τιµή για το β, επιλέγουµε να χρησιµοποιήσουµε το β max οπότε έχουµε: β' 0 Από την 8.5 παίρνουµε: n min ' A max 0 &' 0 0.0446 &'0.328867 Y β 2 '0.0854 Amin log 0 0 & β 2 max 2logΩ S ' log 02.5488 & 0.080329 2log3 '3.682 Επιλέγουµε φυσικά τον αµέσως επόµενο ακέραιο, δηλ. n=4 και τελικά: A(Ω)'20log %0.5 2 @0.5 %0.0854Ω 8 '20log.06066 %0.0854Ω 8 Η επιβεβαίωση γίνεται ελέγχοντας την τιµή της εξασθένησης στα τρία χαρακτηριστικά σηµεία: Ω=0, Ω= και Ω=Ω S =3: Α(0)=0.5525 Α()=0.957525 Α(3)=29.027755 Α()-Α(0)=0.446=A max Α(3)-Α(0)= 28.5623 > Α min =25.4880 Στο φύλλο εργασίας Mathcad που ακολουθεί, φαίνονται οι σχετικοί υπολογισµοί και η καµπύλη ενεργού εξασθένησης του κανονικοποιηµένου φίλτρου. -396-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Φυσικά η συνάρτηση εξασθένησης που ικανοποιεί µη κανονικοποιηµένες προδιαγραφές µε συχνότητα αποκοπής π.χ. ω C και ω S =3ω C, θα είναι η -397-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ A c (ω)'a ω ω C '20log.06066 %0.0854 ω ω C 8 A c (f)'a f '20log.06066 %0.0854 f f C f C 8 Στη συνέχεια του φύλλου εργασίας Mathcad που ακολουθεί, φαίνεται η καµπύλη ενεργού εξασθένησης ενός φίλτρου µε ω C =2π3000 rad/sec, δηλ. f C =3000 Hz. Για τον υπολογισµό της ποσότητας Η(s)Η(-s) θα χρησιµοποιήσουµε την 8.7β: H(s)H(&s)' R 2 L /(R S % )2 %β 2 (&s 2 ) n από την οποία για R S =0.5, =, β= 0.328867 και n=4 παίρνουµε απευθείας 0.444444 H(s)H(&s)' %0.0854s ' 4.093662 8 s 8 %9.246075 Από την 8.8 υπολογίζεται η ποσότητα ρ(s)ρ(-s): ρ(s)ρ(&s)'& 4R S H(s)H(&s)'&2 4.093662 s 8 %9.246075 ' s 8 %0.888889 s 8 %9.246075-398-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Φυσικά η ρ(s)ρ(-s) µπορεί να υπολογιστεί από την 8.8, χωρίς ενδιάµεσο υπολογισµό της H(s)H(-s). Οι οκτώ ρίζες του παρονοµαστή είναι: -.2200009 + j0.5053409 -.2200009 - j0.5053409-0.5053409 + j.2200009-0.5053409 - j.2200009.2200009 + j0.5053409.2200009 - j0.5053409 0.5053409 + j.2200009 0.5053409 - j.2200009 Οι ρίζες του παρονοµαστή παριστάνονται στο σχήµα 8.8. ΣΧΗΜΑ 8.8 Από τις ρίζες του παρονοµαστή της ρ(s)ρ(-s), ως πόλοι της ρ(s) πρέπει να ληφθούν αυτές που βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο, αφού ο παρονοµαστής της ρ(s) πρέπει να είναι πολυώνυµο Hurwitz. Ετσι οι πόλοι της ρ(s) είναι οι -.2200009 + j0.5053409 -.2200009 - j0.5053409-0.5053409 + j.2200009-0.5053409 - j.2200009 Οι υπόλοιπες.2200009 + j0.5053409.2200009 - j0.5053409 0.5053409 + j.2200009 0.5053409 - j.2200009 είναι πόλοι της ρ(-s). Οι οκτώ ρίζες του αριθµητή είναι: -0.927002 + j0.383976-0.927002 - j0.383976-0.383976 + j0.927002-0.383976 - j0.927002 0.927002 + j0.383976 0.927002 - j0.383976 0.383976 + j0.927002 0.383976 - j0.927002 και δεν υπάρχει καµία δέσµευση ως προς την θέση των µηδενικών της ρ(s), πέραν του ότι αν p είναι ρίζα του ρ(s), η -p πρέπει να είναι ρίζα του ρ(-s). Η κατάσταση αυτή δίνει δυνατότητες επιλογής των µηδενικών της συνάρτησης του συντελεστή -399-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ανάκλασης και κάθε µια επιλογή οδηγεί σε µια διαφορετική συνάρτηση ρ(s). Το σχήµα 8.9 δείχνει τις δυνατότητες επιλογής των µηδενικών της ρ(s). ΣΧΗΜΑ 8.9 Για την επιλογή Ι, µε µηδενικά δηλ. της ρ(s) τα -0.927002 + j0.383976-0.927002 - j0.383976-0.383976 + j0.927002-0.383976 - j0.927002 υπολογίζεται ότι ρ Ι (s)' s 4 %2.629527s 3 %3.4373798s 2 %2.6396957963s%.035800 s 4 %3.4506838s 3 %5.95360948s 2 %6.07205377s%3.040740 Για την επιλογή IV µε µηδενικά της ρ(s) τα -0.383976 + j0.927002-0.383976 - j0.927002 0.927002 + j0.383976 0.927002 - j0.383976 υπολογίζεται ότι ρ IV (s)' s 4 &.08604838s 3 %0.58975054s 2 &.0933978s%.035800 s 4 %3.4506838s 3 %5.95360948s 2 %6.07205377s%3.040740 Για τις άλλες δύο επιλογές, προκύπτουν φυσικά δύο ακόµα διαφορετικές ως προς το πολυώνυµο του αριθµητή συναρτήσεις ρ(s). -400-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Για τον υπολογισµό της Z (s) θα χρησιµοποιήσουµε την σχέση 8.2β µε την ρ I (s): %ρ Z (s)'r I (s) S αφού R &ρ I (s) S < Βρίσκουµε τελικά ότι: Z (s)' s 4 %3.03638s 3 %4.6954637s 2 %4.328450557s%2.027604 0.828734s 3 %2.56295s 2 %3.3775095s%2.027604 Αν είχαµε χρησιµοποιήσει µια από τις άλλες τρεις εκφράσεις της ρ(s) θα είχαµε φυσικά βρει τρεις ακόµα εκφράσεις για την Z (s). Η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z (s) του τερµατισµένου µε την διθύρου, που υπολογίζεται από την 8.2α ή 8.2β, ανάλογα µε την σχέση των τερµατισµών, είναι τάξης n και µπορεί να συντεθεί µε τις µεθόδους Cauer του παραρτήµατος Β µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο ή πόλων στο µηδέν. Η Z (s) για παράδειγµα της εφαρµογής 8., όταν συντεθεί µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο δίνει το κύκλωµα του εποµένου σχήµατος. Αποδεικνύεται ότι η Z (s) µπορεί πάντοτε να συντεθεί ως ένα κανονικό τερµατισµένο µε την κλιµακωτό δίθυρο LC µε επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους, όπως φαίνεται στο σχήµα 8.0. Κανονικό σηµαίνει ότι το πλήθος των στοιχείων αποθήκευσης ενέργειας L και C είναι ίσο µε την τάξη n. ΣΧΗΜΑ 8.0 Αποδεικνύεται επίσης ότι οι τιµές των n στοιχείων, όταν οι τερµατισµοί είναι ίσοι δηλ. R S =, δίνονται από τη σχέση: -40-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ t k ' 2@β @sin 2k & π 2n για k',2,...n (8.9) Για τις τιµές των στοιχείων στην περίπτωση άνισων τερµατισµών, δεν υπάρχουν αντίστοιχοι αναλυτικοί τύποι. Οι τιµές των στοιχείων µπορούν όµως να υπολογιστούν µε τρεις τρόπους:. Με υπολογισµό και σύνθεση της οδηγούσας συνάρτησης Z (s). 2. Με ανάλυση του κυκλώµατος, του οποίου γνωρίζουµε την τοπολογία (κλιµακωτό τάξης n µε επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους) και εξίσωση της υπολογιζόµενης συνάρτησης ενεργού εξασθένησης ή απλού κέρδους µε την αντίστοιχη της προσέγγισης. 3. Από πίνακες κανονικοποιηµένων φίλτρων Butterworth. 8.2. Υπολογισµός των φίλτρων Butterworth µε σύνθεση Είδαµε ότι έχοντας υπολογίσει την τάξη n και τον συντελεστή β από την προσέγγιση, υπολογίζεται από την 8.8 η σχετιζόµενη µε την συνάρτηση συντελεστή ανάκλασης ποσότητα: ρ(s)ρ(&s)' %β2 (&s 2 ) n &4R S /(R S % ) 2 %β 2 (&s 2 ) n (8.0) Λαµβανοµένου υπόψη ότι οι πόλοι της ρ(s) είναι στο αριστερό ηµιεπίπεδο, από την σχέση αυτή είναι δυνατόν να αποµονωθεί το ρ(s), σύµφωνα µε το εδάφιο Α.6 του παραρτήµατος Α και όπως έχει ήδη εξηγηθεί και επιδειχθεί στην εφαρµογή 8.. Η διαδικασία αυτή οδηγεί συνήθως σε περισσότερες της µίας εκφράσεις της ρ(s), λόγω του ότι δεν υπάρχουν περιορισµοί για την θέση των µηδενικών της. Για κάθε µια από τις ρ(s) που υπολογίζονται, χρησιµοποιούνται ανάλογα µε την σχέση R S και οι σχέσεις 8.2α ή 8.2β, για τον υπολογισµό της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης εισόδου του τερµατισµένου µε την διθύρου: &ρ(s) %ρ(s) Z a (s)'r S όταν R ή (8.) %ρ(s) S > Z b (s)'r S όταν R &ρ(s) S < Οι οδηγούσες συναρτήσεις Z (s) που προκύπτουν από την σχέση αυτή για κάθε ένα από τα ρ(s) που δίνει η 8.0, είναι όλες ΘΠ και µάλιστα η σύνθεσή τους µπορεί να γίνει µε αλλεπάλληλες αποσπάσεις πόλων στο άπειρο ή στο µηδέν (µέθοδος Cauer, βλέπε Παράρτηµα Β), για να παραχθεί ένα κλιµακωτό κύκλωµα µε επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους, τερµατισµένο σε µια ωµική αντίσταση ίση µε την =. Όταν η Z (s) δεν προσφέρεται για -402-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ απόσπαση πόλου στο άπειρο, γιατί ο αριθµητής είναι µικρότερης τάξης από τον παρονοµαστή, τότε συνθέτουµε την αντίστροφη δηλ. την Υ (s). Η όλη διαδικασία γίνεται καλύτερα αντιληπτή µε τις εφαρµογές που ακολουθούν. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.2 Ενα πρότυπο βαθυπερατό φίλτρο Butterworth 3ης τάξης µε R S = = και Α max = 3 db (δηλ. β=), έχει από την 8.8 ρ(s)ρ(&s)' %β2 (&s 2 ) n &4R S /(R S % ) 2 %β 2 (&s 2 ) n ' &s 6 &s 6' &s 6 (%s)(&s)(s 2 %s%)(s 2 &s%) Γνωρίζοντας για τον συντελεστή ανάκλασης ρ(s) ότι έχει πόλους µόνο στο αριστερό ηµιεπίπεδο, επιλέγουµε ρ(s) ' s 3 (s % )(s 2 % s % ) ' s 3 s 3 % 2s 2 % 2s % (που έχει πόλους s=- και & 2 ±j 3 2 στο αριστερό ηµιεπίπεδο), οπότε αυτοµάτως &s ρ(&s)' 3. (&s)(s 2 &s%) ' &s 3 &s 3 %2s 2 &2s% Επειδή R S = = για τον υπολογισµό της Z (s) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τις δύο εκφράσεις από την σχέση 8. (ή 8.): & ρ(s) % ρ(s) Z (s) ' R S ή Z % ρ(s) (s) ' R S & ρ(s) για να βρούµε αντίστοιχα: Z A (s) ' 2s 2 % 2s % 2s 3 % 2s 2 % 2s % ή Z B (s) ' 2s 3 % 2s 2 % 2s % 2s 2 % 2s % Από τις παραπάνω οδηγούσες συναρτήσεις, η Ζ B (s) και η Y A (s)' Z A (s) ' 2s 3 % 2s 2 % 2s % 2s 2 % 2s % που διαθέτουν πόλο στο άπειρο, αφού η τάξη του αριθµητή είναι µεγαλύτερη από του παρονοµαστή, µπορούν να συντεθούν µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο. Για παράδειγµα αν συνθέσουµε την Z B (s) µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο βρίσκουµε το κύκλωµα του σχήµατος 8.α. -403-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ 8.α Συνθέτοντας την Y A (s) µε ανάλογο τρόπο καταλήγουµε στο κύκλωµα του σχήµατος 8.β, που είνα το δυϊκό του προηγουµένου. ΣΧΗΜΑ 8.β Τα κανονικοποιηµένα αυτά φίλτρα, αφού σχεδιάστηκαν µε Α max = 3 db, δηλ. Α()=3 db, είναι πρότυπα. Αν θέλουµε να έχουν άλλη τιµή A() θα πρέπει να διαιρέσουµε τις τιµές επαγωγέων και πυκνωτών µε Ω 3dB. Αν π.χ θέλουµε A()=0.5 db (αντί για 3 db), τότε Ω 3dB ' β n ' 0.5 0 0 & ' 2n 0.5 0 0 & ' 2@3 6 0.2208 '.4992 και οι τιµές του κανονικοποιηµένου (αλλά όχι πρότυπου) φίλτρου µε A(0)=0.5 του 2 σχήµατος 8.β θα είναι: C α 'C 3α ' L.4992 2α '.4992 Για να έχει το φίλτρο R S = =ΚΩ, ω c =2π5000, θα πρέπει να αποκανονικοποιηθεί C κατά τα γνωστά: C 'C 3 ' a 2π@5000@000 '22.43nF L 2 ' 000@L 2a 2π@5000 '44.86mH ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.3 Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworh µε τις εξής προδιαγραφές R S =600 Ω, =.2 ΚΩ, A max =0.35 db, A min =30 db, ω C =2π2000 και ω S =2π6500 rad/sec. Κανονικοποιώντας µε ω 0 =ω C =2π2000 rad/sec και R 0 = =200 Ω, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές: =, R S =0.5, Ω C =, Ω S =3.25 A max =0.35 db, A min =30 db µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση του κανονικοποιηµένου φίλτρου. Επιλέγουµε την µέγιστη τιµή β max για το β από την 8.4 και υπολογίζεται ότι είναι β -404-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ = 0.28970 και για την τάξη του φίλτρου έχουµε από την 8.5: n $ log 030/0 & 0 0.35/0 & 2log(3.25) -405- ' 3.98 Y n'4 Υπολογίζουµε την ποσότητα ρ(s)ρ(-s) από την 8.8: ρ(s)ρ(&s)' %β2 (&s 2 ) n &4R S /(R S % ) 2 ' s 8 %.323903 %β 2 (&s 2 ) n s 8 %.9529 Ο παρονοµαστής της ρ(s)ρ(-s) είναι ένα δυώνυµο 8ης τάξης και έχει οκτώ ρίζες (πόλοι της ρ(s)ρ(-s)), οργανωµένες σε τέσσερα συζυγή ζεύγη, το καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα τριώνυµο: Πόλοι της ρ(s)ρ(-s) -.2592956+j0.52673 Πόλοι -.2592956-j0.52673 s 2 %2.58592s%.85790049 ρ(s) -0.52673+j.2592956-0.52673-j.2592956 s 2 %.0432346s%.85790049.2592956-j0.52673 Πόλοι.2592956+j0.52673 s 2 &2.58592s%.85790049 ρ(-s) 0.52673-j.2592956 0.52673+j.2592956 s 2 &.0432346s%.85790049 Οι πόλοι της ρ(s) είναι οι πόλοι του αριστερού ηµιεπιπέδου. Αντίστοιχα, η ρ(s)ρ(-s) έχει οκτώ µηδενικά, δηλ. τέσσερα συζυγή ζεύγη πόλων που το καθένα αντιστοιχεί σε ένα τριώνυµο: Μηδενικά της ρ(s)ρ(-s) -0.956858+j0.396343 Ι s -0.956858-j0.396343 2 %.937547s%.07266485-0.396343+j0.956858 ΙΙ s -0.396343-j0.956858 2 %0.79268690s%.07266485 0.956858-j0.396343 -Ι s 0.956858+j0.396343 2 &.937547s%.07266485 0.396343-j0.956858 -ΙΙ s 0.396343+j0.956858 2 &0.79268690s%.07266485 Επειδή δεν υπάρχει περιορισµός στα µηδενικά της ρ(s), αυτά µπορεί να είναι οι συνδυασµοί {Ι, ΙΙ}, {-Ι, -ΙΙ}, {I, -Ι} {II, -ΙI}µε αποτέλεσµα να παίρνουµε τέσσερις εκφράσεις για την ρ(s): ρ (s)' (s 2 %0.79268690s%.07266485)(s 2 %.937547s%.07266485) (s 2 %.0432346s%.85790049)(s 2 %2.58592s%.85790049)
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ρ 2 (s)' (s 2 &0.79268690s%.07266485)(s 2 &.937547s%.07266485) (s 2 %.0432346s%.85790049)(s 2 %2.58592s%.85790049) ρ 3 (s)' (s 2 %0.79268690s%.07266485)(s 2 &.937547s%.07266485) (s 2 %.0432346s%.85790049)(s 2 %2.58592s%.85790049) ρ 4 (s)' (s 2 &0.79268690s%.07266485)(s 2 %.937547s%.07266485) (s 2 %.0432346s%.85790049)(s 2 %2.58592s%.85790049) %ρ(s) Επειδή R S <, ο υπολογισµός της Z (s) θα γίνει µε την 8.2β: Z b (s)'r S. &ρ(s) Η σχέση αυτή θα δώσει τέσσερις διαφορετικές συναρτήσεις Z (s), µια για κάθε έκφραση του ρ(s). Πράγµατι µε λίγες πράξεις βρίσκουµε: Για s=0, όλες τις παραπάνω συναρτήσεις έχουν τιµή ίση µε την µονάδα. Εξηγήστε γιατί αυτό είναι επιθυµητό και αναµενόµενο. Επιλέγοντας µια από τις παραπάνω Ζ (s), π.χ. την Ζ 2b (s) µπορούµε να την συνθέσουµε µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο (βλέπε Παράρτηµα Β), για να πάρουµε το κλιµακωτό κύκλωµα του σχήµατος 8.2 µε L '0.5953 C 2 '.7998 L 3 '0.64753 C 4 '2.33802 ΣΧΗΜΑ 8.2 Αποκανονικοποιώντας τις τιµές των στοιχείων για =.2 ΚΩ και ω C =2π2000, βρίσκουµε: -406-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ L ' 0.5953@200 '5.24mH 2@π@2000 L 3 ' 0.64753@200 '6.86mH 2@π@2000.7998 C 2 ' 2@π@2000@200 '9.37nF 2.33802 C 4 ' 2@π@2000@200 '55.2nF Η προσοµοίωση του κυκλώµατος στο PSpice επιβεβαιώνει την ορθότητα της σχεδίασης και δίνει τις αποκρίσεις ενεργού εξασθένησης των παρακάτω σχηµάτων. Μπορείτε να επαναλάβετε την προσοµοίωση ως άσκηση καθώς επίσης να προσπαθήσετε να συνθέσετε τις υπόλοιπες οδhγούσες συναρτήσεις αντίστασης Z 2b, Z 3b και Z 4b. Απόκριση στην ζώνη διέλευσης Πλήρης απόκριση ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για τον υπολογισµό της ποσότητας ρ(s)ρ(-s) µπορεί αρχικά να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς H(s) από την 8.7α και µετά η ρ(s)ρ(-s) από την 8.8. ρ(s)ρ(&s)'& 4R S H(s)H(&s) -407-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κάτι τέτοιο βέβαια είναι πιο πολύπλοκο αφού η ίδια η 8.8 δίνει την δυνατότητα παράκαµψης του υπολογισµού της H(s) και µπορεί να δώσει την κατευθείαν από τις παραµέτρους β και n τις προσέγγισης: ρ(s)ρ(&s)'& 4R S H(s)H(&s)' %β2 (&s 2 ) n &4R S /(R S % ) 2 %β 2 (&s 2 ) n 8.2.2 Υπολογισµός των τιµών των στοιχείων µε ανάλυση Η προσέγγιση Butterworth µας έχει δώσει την παράµετρο β, την τάξη n του φίλτρου και όλες τις συναρτήσεις του, συµπεριλαµβανοµένης και της συνάρτησης απλού κέρδους H(jΩ) (σχέση 8.6). Γνωρίζουµε όµως και την τοπολογία του φίλτρου, αφού τελικά είναι κλιµακωτό κύκλωµα µε επαγωγείς L στους κλάδους σειράς και πυκνωτές C στους παράλληλους κλάδους και επιπροσθέτως ότι έχουµε τόσους κλάδους L και C, όση είναι η τάξη n της προσέγγισης (βλέπε σχήµα 8.0). Από το κύκλωµα αυτό, στο οποίο είναι άγνωστες οι τιµές των επαγωγέων L και των πυκνωτών C, µπορεί να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς H P (s) και από αυτήν η συνάρτηση απλού κέρδους H P (jω), η οποία µπορεί να ταυτιστεί µε την αντίστοιχη της προσέγγισης. Από την ταύτιση των συντελεστών, προκύπτουν οι εξισώσεις που δίνουν τις τιµές των στοιχείων. Η διαδικασία γίνεται σαφής µε τις εφαρµογές που ακολουθούν. Η µέθοδος αυτή υπολογισµού των τιµών των στοιχείων δεν είναι αυτόνοµη αφού στηρίζεται στο ότι η τοπολογία του φίλτρου είναι γνωστή από την σύνθεση. Επιπροσθέτως δεν δίνει την δυνατότητα των εναλλακτικών τοπολογιών που µπορεί να δώσει η σύνθεση. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.4 Να σχεδιαστεί παθητικό βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworth που να λειτουργεί µεταξύ ίσων τερµατισµών R S = =600 Ω, εισάγοντας εξασθένηση που δεν υπερβαίνει τα 3 db για συχνότητες µέχρι 5 KHz, ενώ για συχνότητες µεγαλύτερες από 6 KHz η εξασθένηση πρέπει να είναι µεγαλύτερη από 20 db. Αναγνωρίζουµε ότι το φίλτρο πρέπει να σχεδιαστεί µε προδιαγραφές: R S = =600 Ω, A max =3 db, A min =20dB, ω C =2π5000 και ω S =2π6000. Κανονικοποιώντας µε ω C =2π5000 και = 600 Ω, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές δηλ. =R S =, Ω C =, Ω S = 3.2, µε τις οποίες προχωρούµε στην -408-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ σχεδίαση. Η τάξη του φίλτρου υπολογίζεται από την σχέση 8.5: n $ log 0 20 0 & 3 0 0 & 2log(3.2) '.977 Y n'2 Από την 8.4 επιλέγοντας την µέγιστη τιµή του β έχουµε: β'β max '' 0 0 &. Το φίλτρο λοιπόν θα είναι 2ης τάξης, θα έχει δηλ. έναν επαγωγέα και ένα πυκνωτή όπως φαίνεται στο σχήµα 8.3α και 8.3β. Τα δύο κυκλώµατα είναι δυϊκά. 3 Αναλύοντας το κύκλωµα (α), βρίσκουµε: ΣΧΗΜΑ 8.3 H P (s)' V 2 (s) E(s) ' L 2 C s 2 % s C % L 2 %2 Y H P (jω) ' (2&C L 2 Ω 2 ) 2 %Ω 2 (C %L 2 ) 2 H P (jω) 2 ' C 2 L 2 2 Ω4 %Ω 2 (C %L 2 ) 2 &4C L 2 %4 Από την σχέση 8.6 της προσέγγισης βρίσκουµε: H(jΩ) 2 ' R 2 L /(R S % )2 ' %β 2 Ω 2n 4Ω 4 %4-409-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Ταυτοποιώντας το H P (jω) 2 από το κύκλωµα µε το H(jΩ) 2 από την προσέγγιση βρίσκουµε ότι πρέπει C L 2 '2 και (C %L 2 ) 2 '4C L 2 '8 από τις οποίες βρίσκουµε L ' 2'.44 και C 2 ' 2'.44. Επειδή βέβαια έχουµε ίσους τερµατισµούς θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τις τιµές των στοιχείων και από την σχέση 8.9 και φυσικά θα ήταν οι ίδιες µε τις παραπάνω (υπολογίστε τις). Η σχεδίαση του φίλτρου θα τελειώσει µε την αποκανονικοποίηση µε ω C =2π5000 και το φορτίο =600Ω ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει 2π5000 rad/sec και οι αντιστάσεις 600 Ω. R'R n '600Ω L' L n ω C ' 600@ 2 2π@5000 '27mH C' 2 C ω C R n ' L 2π@5000@600 '74.9nF Tο αποκανονικοποιηµένο φίλτρο φαίνεται στο σχήµα 8.3γ. Την διαδικασία µπορούµε να επαναλάβουµε και για το φίλτρο του σχήµατος 3.β (κάντε το!) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.5 Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Butterworth που να λειτουργεί µεταξύ πηγής εσωτερικής αντίστασης KΩ και φορτίου KΩ, εισάγοντας εξασθένηση που δεν υπερβαίνει το 0.5 db για συχνότητες µέχρι 5 KHz, ενώ για συχνότητες µεγαλύτερες από 20 KHz η εξασθένηση είναι µεγαλύτερη από 25 db. Αναγνωρίζουµε τις προδιαγραφές: R S = =ΚΩ, A max =0.5 db, A min =25dB, ω C =2π5000 και ω S =2π20000. Κανονικοποιώντας µε ω C =2π5000 και =000, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές: =R S = Ω C = Ω S =4 A max =0.5 db A min =25dB µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση. Επιλέγουµε την µέγιστη τιµή β max του β από την 8.4 και βρίσκουµε β=0.3493. Η τάξη υπολογίζεται από την 8.5: n $ log 025/0 & 0 0.5/0 & 2log(4) ' 2.83377 Y n'3 Το φίλτρο λοιπόν θα είναι 3ης τάξης και θα έχει δύο επαγωγείς και ένα πυκνωτή ή δύο πυκνωτές και έναν επαγωγέα, όπως φαίνεται στο σχήµα 8.4α και β µε τους επαγωγείς σε κλάδους σειράς και τους πυκνωτές σε παράλληλους κλάδους. Τα δύο -40-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ κυκλώµατα είναι δυϊκά. ΣΧΗΜΑ 8.4 Αναλύοντας το τύπου-π κύκλωµα (α) µπορούµε να βρούµε: H P (s) ' V 2 (s) ' E(s) C L 2 C 3 s 3 % L 2 (C % C 3 )s 2 % (C % L 2 % C 3 )s % 2 Y H P (jω) 2 ' 2&L 2 (C %C 3 )Ω 2 2 %Ω 2 C %L 2 %C 3 &C L 2 C 3 Ω 2 2 ' ' C 2 L 2 2 C 2 3 Ω6 %L 2 L 2 (C %C 3 ) 2 &2C C 3 (C %L 2 %C 3 ) Ω 4 %(C %C 3 &L 2 ) 2 Ω 2 %4 Από την προσέγγιση (σχέση 8.6) βρίσκουµε : H(jΩ) 2 ' R 2 L /(R S % )2 ' %β 2 Ω 2n 4%4@0.3493 2 Ω ' 6 0.4880738Ω 6 %4 Ταυτοποιώντας το H P (jω) 2 από το κύκλωµα µε το H(jΩ) 2 από την προσέγγιση βρίσκουµε ότι πρέπει C L 2 C 3 '2β L 2 (C %C 3 ) 2 '2C C 3 (C %L 2 %C 3 ) C &L 2 %C 3 '0 Λύνοντας το απλό αυτό σύστηµα τριών µη γραµµικών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους βρίσκουµε C =C 3 =0.7042674 και L 2 =.4085348. Επειδή έχουµε ίσους τερµατισµούς θα µπορούσαµε φυσικά να υπολογίσουµε τις -4-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ τιµές των στοιχείων και από τους τύπους 8.9 και φυσικά θα ήταν οι ίδιες µε αυτές που βρήκαµε (υπολογίστε τις). Η σχεδίαση του φίλτρου θα τελειώσει µε την αποκανονικοποίηση ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει 2π5000 και το φορτίο 000 Ω. Οι αποκανονικοποιη- µένες τιµές υπολογίζονται και είναι: C =C 3 =22.43nF και L 2 =44.86mH. Στο σχήµα 8.4γ φαίνεται το τελικό αποκανονικοποιηµένο κύκλωµα και η καµπύλη ενεργού εξασθένησης. Το κανονικοποιηµένο κύκλωµα όπως υπολογίστηκε θα έχει φυσικά Α()=0.5 db. Το αποκανονικοποιηµένο θα έχει Α(2π5000)=0.5dB και Α(2π20000)<25 db. Επαναλάβετε την διαδικασία για το δυϊκό φίλτρο ως άσκηση. 8.3 Η προσέγγιση Chebyshev στα παθητικά φίλτρα Με δεδοµένες τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης του παθητικού βαθυπερατού φίλτρου {Ω C =, Ω S, R S, =, A max, A min }, αναζητείται µια συνάρτηση ενεργού εξασθένησης A(Ω)'20log 2 R S H(jΩ) που να ικανοποιεί τις προδιαγραφές του σχήµατος 8.5. Στο σχήµα αυτό η Α Κ είναι η ελάχιστη ενεργός εξασθένηση που εµφανίζεται στο φίλτρο. ΣΧΗΜΑ 8.5 Η προσέγγιση Chebyshev θα χρησιµοποιηθεί µε στόχο τον υπολογισµό της ποσότητας H(s)H(-s), που θα επιτρέψει τον υπολογισµό της συνάρτησης του συντελεστή ανάκλασης ρ(s) από την 8. -42-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ρ(s) ρ(&s) ' & 4R S H(s)H(&s)' & 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 (8.2) και από αυτήν της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης εισόδου Z (s) του τερµατισµένου δίθυρου από τις 8.2α ή 8.2β, ανάλογα µε την τιµή της R S : &ρ(s) %ρ(s) Z a (s)'r s όταν R ή (8.3) %ρ(s) s > Z b (s)'r s όταν R &ρ(s) s < Η σχεδίαση θα ολοκληρωθεί µε την σύνθεση της Z (s) µε τις µεθόδους του Παραρτήµατος Β. Η προσέγγιση Chebyshev στα παθητικά φίλτρα είναι της µορφής A(Ω)'A K %20log %ε 2 C 2 n (Ω) (8.4) όπου η µη αρνητική ποσότητα Α Κ είναι η ελάχιστη εξασθένηση του φίλτρου: A K ' A o για n περιττό A o &20log %ε 2 για n άρτιο (8.4α) και C n (Ω) το πολυώνυµο Chebyshev ταξης n: C n (Ω)=cos[ncos - (Ω)] ή C n (Ω)=cosh[ncosh - (Ω)] Ο συντελεστής ε είναι ο συντελεστής κυµάτωσης. Από τις ιδιότητες του πολυωνύµου Chebyshev (βλέπε κεφάλαιο 4 και Παράρτη- µα Α) γνωρίζουµε ότι C 2 n (0)' 0 για n περιττό και C 2 για n περιττό n ()' για n άρτιο για n άρτιο Εποµένως A(0)'A ο για n'άρτιο και n'περιττό A()' A o για n άρτιο A ο %20log %ε 2 για n περιττό (8.5) Γνωρίζουµε επίσης ότι για 0#Ω #, το C 2 n (Ω) παίρνει τιµές µεταξύ 0 και και εποµένως η Α(Ω) στο διάστηµα αυτό παίρνει τιµές από Α ο έως A ο %20log %ε 2 όταν το n είναι περιττό και από Α ο έως A ο &20log %ε 2 όταν το n είναι άρτιο. -43-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ 8.6 Το σχήµα 8.6 δείχνει την γραφική παράσταση της Α(Ω) για ένα άρτιο και ένα περιττό n. Αξίζει να σηµειωθεί ότι για Ω=0 υπάρχει ακρότατο (µηδενίζεται δηλ. η παράγωγος) και ότι το πλήθος των ακροτάτων στο διάστηµα [0, ] είναι ίσο µε την τάξη της προσέγγισης n. Η αντιστοιχία προδιαγραφών ενεργού εξασθένησης και απλού κέρδους δίνεται παρακάτω. H C 'H o @0 & A max 20 H S 'H o @0 & A min 20 µε H ο ' R S % για n περιττό A R max L 20 0 R S % για n άρτιο Για να τηρηθεί η προδιαγραφή µέγιστης επιτρεπόµενης ανοχής A max στη ζώνη διέλευσης, θα πρέπει φυσικά, από την οποία παίρνουµε ότι 20log %ε 2 # A max ε#ε max ' 0 A max 0 &. Την σχέση αυτή έχουµε συναντήσει και στο κεφάλαιο 4. Επιπροσθέτως, αφού για Ω> η Α(Ω) είναι µονοτονικά αύξουσα, θα πρέπει η Α(Ω S ), να είναι τουλάχιστον κατά A min db µεγαλύτερη από την ελάχιστη εξασθένηση του φίλτρου Α Κ, πράγµα που σηµαίνει ότι οποία βρίσκουµε, όπως και στο κεφάλαιο 4, ότι A min # 20log %ε 2 C 2 n (Ω S ), από την -44-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ cosh & 0 ε n$ cosh & Ω S Α min 0 & 'n d Το ελάχιστο n d προκύπτει για ε=ε max και εποµένως η συνθήκη A K %A min # A(Ω S ) ισχύει όταν: cosh & 0 ε n$n min ' max cosh & Ω S Α min 0 & ' cosh & 0 0 cosh & Ω S Α min 0 & Α max 0 & (8.6) Επειδή το n min προκύπτει εν γένει δεκαδικό και η τάξη της προσέγγισης πρέπει να είναι ακέραια, ως n λαµβάνεται τελικά ο αµέσως µεγαλύτερος του n min ακέραιος. Εχοντας την ακέραια τάξη n, εύκολα υπολογίζεται η ελάχιστη τιµή ε min του συντελεστή κυµάτωσης, όπως έγινε και στο κεφάλαιο 4, οπότε για τις δεδοµένες προδιαγραφές και ακέραιο n, η επιλογή του συντελεστή κυµάτωσης µπορεί να γίνει από την: A min 0 0 & C n (Ω s ) ' ε min # ε #ε max ' 0 A max 0 & (8.7) Αν η Α(Ω) της 8.4 πρόκειται να προσεγγίσει την συνάρτηση ενεργού εξασθένησης ενός κανονικοποιηµένου βαθυπερατού παθητικού φίλτρου, θα πρέπει: A(Ω)'A K %20log %ε 2 C 2 n (Ω) '20log 2 R S H(jΩ) (8.8α) Από την σχέση αυτή εύκολα προκύπτει ότι: -45-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ H(jΩ) 2 ' H 2 Cho %ε 2 C 2 n (Ω) µε H Cho ' 0& 2 A K 20 R s ' R S % n περιττό R S % %ε 2 n άρτιο (8.8β) Από την 8., που έχει επαναληφθεί παραπάνω ως 8.2, υπολογίζεται η απαραίτητη για τη σύνθεση του φίλτρου ποσότητα ρ(s)ρ(-s): ρ(s) ρ(&s)'& 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 '& 4R S H 2 Cho %ε 2 C 2 n (Ω) Ω 2 '&s 2 (8.8γ) Επειδή H(s)H(&s)' H(jΩ) 2 είναι εφικτός ο υπολογισµός της H(s) από την Ω 2 '&s 2 σχέση 8.8β και αυτό έχει γίνει στο εδάφιο 4.3.3. Εκεί υπολογίστηκε ότι η H(s) είναι ολοπολική και δίνεται από την: H(s)' H Cho n εc nk (s&s k ) k' ' H Cho εc n s&(σ %jω )... s&(σ n %jω n ) µε s k 'σ k %jω k (8.9α) Το c n είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C n (Ω) και η σχέση 8.9β δίνει τα πραγµατικά τα φανταστικά µέρη των πόλων s k : σ k 'sin (2n%2k&)π 2n Ω k ' cos (2n%2k&)π 2n sinh n sinh& ε cosh n sinh& ε µε k',2,...n (8.9β) -46-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Υπολογίζοντας την ρ(s) από την 8.8γ σύµφωνα µε το εδάφιο Α.6 του Παραρτή- µατος Α, µπορούµε να ακολουθήσουµε την διαδικασία υπολογισµού της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης Z (s) του τερµατισµένου µε την διθύρου, η οποία όταν συντεθεί θα προκύψει και στην περίπτωση αυτή ένα κλιµακωτό κύκλωµα LC µε n κλάδους, µε επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους σαν αυτό του σχήµατος 8.7. ΣΧΗΜΑ 8.7 Λόγω της τοπολογίας αυτής είναι προφανές ότι για DC είσοδο (Ω=0), άσχετα µε το αν το n είναι άρτιο ή περιττό, το απλό κέρδος τάσης θα είναι R s %, αφού στο συνεχές το LC κύκλωµα γίνεται "διαφανές", και η ενεργός εξασθένηση: A(0)'20log R S % 'A o. 2 R S Από την διαπίστωση αυτή γίνεται αντιληπτός ο λόγος για τον οποίο η 8.4α καθορίζει µε τον συγκεκριµένο τρόπο την τιµή της ελάχιστης εξασθένησης του φίλτρου ως: A o για n περιττό Α K ' (8.20) A o &20log %ε 2 για n άρτιο Η συνάρτηση ενεργού εξασθένησης της 8.4 που υλοποιείται τελικά φαίνεται στο σχήµα 8.8 για τη ζώνη διέλευσης, ενώ για τιµές Ω> και στη ζώνη αποκοπής η εξασθένηση είναι µονοτονικά αύξουσα. -47-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ 8.8 8.3. Η ιδιαιτερότητα της άρτιας τάξης n P max Υπενθυµίζεται ότι η ενεργός εξασθένηση A(Ω)'0log (8.2) είναι πάντα µη αρνητική αφού η καταναλισκόµενη στο φορτίο ισχύς είναι το πολύ ίση µε Ρ max. Έτσι για περιττά n, δεν υπάρχει κανένας περιορισµός στο µέγεθος της κυµάτωσης που καθορίζει η προδιαγραφή A max, αφού η κυµάτωση συµβαίνει πάνω από το µη αρνητικό Α ο. Αντίθετα, όταν το n υπολογιστεί να είναι άρτιο, υπάρχουν µερικές δυσκολίες. Στην περίπτωση π.χ. µε n άρτιο και ίσους τερµατισµούς R S =, µηδενίζεται το Α ο =0 και δεν υπάρχει η δυνατότητα του σχήµατος 8.8β, να υπάρξει δηλ. εξασθένηση κάτω από την Α ο. Όταν εποµένως το n υπολογίζεται άρτιο και έχουµε ίσους τερµατισµούς, είµαστε υποχρεωµένοι να αυξήσουµε την τάξη κατά, από το άρτιο n στο περιττό n+. Δεν υπάρχουν δηλ. παθητικά φίλτρα Chebyshev άρτιας τάξης µε ίσους τερµατισµούς. Στην περίπτωση που υπολογίζεται άρτιο n και υπάρχει άνισος τερµατισµός R S (Α ο > 0), θα πρέπει: P 2 20log %ε 2 #A o '20log R s % 2 R s ] ε # ε ο µε ε ο ' (R s % )2 &' 0 Ao/0 &' (R s & )2 ' R s & (8.22) 4R s 4R s 2 R s Ο συντελεστής κυµάτωσης ε βέβαια, πρέπει να είναι και µεγαλύτερος από την ελάχιστη τιµή ε min και εποµένως σύµφωνα µε την 8.7 θα πρέπει να επιλεγεί το ε από το παρακάτω πεδίο τιµών: -48-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ε min #ε#ε ο ] 0 A min /0 & C n (Ω s ) #ε# 0 A o /0 & (8.23) Αν δεν είναι δυνατόν να επιλέξουµε ε από την 8.23 επειδή προκύπτει ε min >ε ο ή ε ο >ε max, τότε θα πρέπει η άρτια τάξη n να αυξηθεί σε n+ που είναι περιττή. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Α max = db A min =30 db Ω S =2.2 R S =0.5 και = Από την 8.9 βρίσκουµε n=4 R Υπολογίζουµε A o '20log S % 0.5% '20log '0.5525< Α max = 2 R S 2 0.5@ Υπολογίζεται ότι ε min = 0.257 ε o = 0.353553 και ε max =0.508847 Σύµφωνα µε την 8.23, πρέπει να πάρουµε ε µεταξύ ε min = 0.257 και ε o = 0.353553. Το επόµενο σχήµα δείχνει τις σχετικές καµπύλες ενεργού εξασθένησης για τις διάφορες τιµές του συντελεστή κυµάτωσης ε. Υπολογίζεται ότι για ε=ε min = 0.257 έχουµε Α(Ω S )=30.322 db, ενώ για ε=ε o = 0.353553 Α(Ω S )=34.4742 db, που και στις δύο περιπτώσεις ικανοποιούν την προδιαγραφή A min =30 db. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Α max = db, A min =37.5 db, Ω S =2.2, R S =0.5 και =. Από την 8.9 βρίσκουµε n=4 R Υπολογίζουµε A o '20log S % 0.5% '20log '0.5525< Α max = 2 R S 2 0.5@ Υπολογίζεται ότι ε min = 0.500938 ε o = 0.353553 και ε max =0.508847-49-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Παρατηρούµε ότι δεν ισχύει ε o > ε min και εποµένως δεν µπορούµε να επιλέξουµε 0.500938=ε min < ε < ε ο =0.353553. Το επόµενο σχήµα δείχνει τις σχετικές καµπύλες. Για ε=ε min και για ε=ε max, η εξασθένηση γίνεται και αρνητική, αδύνατον για παθητικό φίλτρο όπως εξηγήθηκε αφού στην 8.2, P 2 <P max, ενώ για ε=ε o = 0.353553, που φαίνεται να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές στη ζώνη διέλευσης, υπολογίζεται ότι Α(Ω S )=34.4742 db, που παραβιάζει την προδιαγραφή A min =37.5 db. Το ίδιο γίνεται και για ε< ε ο. Στην περίπτωση εποµένως αυτή θα πρέπει να αυξήσουµε την τάξη από 4 σε 5. 8.3.2 Ανασκόπηση της προσέγγισης Chebyshev στα παθητικά φίλτρα Όλοι οι σχετικοί τύποι της προσέγγισης Chebyshev, επαναλαµβάνονται εδώ προσαρµοσµένοι στα παθητικά φίλτρα. Η ενεργός εξασθένηση στην προσέγγιση Chebyshev είναι A(Ω)'A K %20log %ε 2 C 2 n (Ω) Α K ' A o A o &20log %ε 2 για n περιττό για n άρτιο (8.24) µε A o '20log R S % 2 R S ( ') Η µέγιστη τιµη του ε είναι ε max ' 0 A max /0 & για την οποία 20log %ε 2 max 'A max. -420-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η τάξη της προσέγγισης και του φίλτρου είναι ο µικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την n$ cosh & 0 Α min /0 & ε max cosh & Ω S (8.25) Α. Όταν το n είναι περιττό Ο συντελεστής κυµάτωσης ε µπορεί να επιλεγεί από ένα πεδίο τιµών 0 A min /0 & ' ε C n (Ω s ) min # ε #ε max ' 0 A max /0 & (8.26) Για ε=ε max, έχουµε µέγιστη κυµάτωση ίση µε Α max και Α(Ω S )>Α min. Για ε=ε min, έχουµε ελάχιστη κυµάτωση < Α max και Α(Ω S ) = Α min. Β. Όταν το n είναι άρτιο. Αν Α ο = 0, δηλαδή αν R S =, δεν υπάρχει φίλτρο Chebyshev άρτιας τάξης και πρέπει να αυξήσουµε το n κατά στο περιττό n+. 2. Αν Α ο > 0 (δηλαδή αν R S ) και Α max <Α ο προχωράµε κανονικά επιλέγοντας ε από την 8.7 περιµένοντας βέβαια την κυµάτωση κάτω από το Α ο, από Α ο µέχρι Α ο &20log %ε 2. 3. Αν Α ο > 0 (δηλαδή αν R S ), και Α max >Α ο τότε, αν µπορούµε, επιλέγουµε τον συντελεστή κυµάτωσης από την 8.23: ε min #ε#ε ο ] 0 A min /0 & C n (Ω s ) #ε# 0 A o /0 & Και στην περίπτωση αυτή περιµένουµε κυµάτωση κάτω από το Α ο, από Α ο µέχρι Α ο &20log %ε 2. 4. Αν δεν είναι δυνατή η επιλογή του ε από την 8.23 επειδή 0 A o /0 &#ε min ' 0A min /0 &, δεν υπάρχει φίλτρο Chebyshev άρτιας C n (Ω s ) τάξης και πρέπει να αυξήσουµε το n κατά στο περιττό n+. Όταν σε κάθε περίπτωση έχουµε από την προσέγγιση Chebyshev το n και το ε, τότε από τις 8.8: -42-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ H(jΩ) 2 ' H 2 Cho %ε 2 C 2 n (Ω) µε H Cho ' 0& 2 A K 20 R s ' R S % n περιττό R S % %ε 2 n άρτιο (8.27α) ρ(s) ρ(&s)'& 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 '& 4R S H 2 Cho %ε 2 C 2 n (Ω) Ω 2 '&s 2 Η συνάρτηση µεταφοράς τάσης H(s) του κανονικοποιηµένου παθητικού βαθυπερατού φίλτρου Chebyshev δίνεται από την 8.27: H(s)' &λ (%ε 2 2 ) R S % ' &λ (%ε 2 2 ) R S % n εc n s&(σ %jω )... s&(σ n %jω n ) εc nk (s&s k ) k' µε s k 'σ k %jω k όπου (8.27β) σ k 'sin (2n%2k&)π 2n Ω k ' cos (2n%2k&)π 2n sinh n sinh& ε cosh n sinh& ε µε k',2,...n Στην 8.27β, c n είναι ο συντελεστής του όρου µεγαλύτερης τάξης του C n (Ω) όταν n περιττό και λ' 0 όταν n άρτιο Η συχνότητα στην οποία η εξασθένηση αυξάνεται κατά 3 db από την ελάχιστη τιµή της δίνεται από την: Ω 3dB 'cosh (8.28) n cosh& ε Η συνάρτηση µετάδοσης T(s) θα είναι φυσικά: -422-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ T(s)' 2 R s H(s) (8.29) ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ CHEBYSHEV n = 0-0 n C n (Ω)'cos ncos & (Ω) ή C n (Ω)'cosh ncosh & (Ω) 0 Ω 2 2Ω 2 & 3 4Ω 3 &3Ω 4 8Ω 4 &8Ω 2 % 5 6Ω 5 &20Ω 3 %5Ω 6 32Ω 6 &48Ω 4 %8Ω 2 & 7 64Ω 7 &2Ω 5 %56Ω 3 &7Ω 8 28Ω 8 &256Ω 6 %60Ω 4 &32Ω 2 % 9 256Ω 9 &576Ω 7 %432Ω 5 &20Ω 3 %9Ω 0 52Ω 0 &280Ω 8 %20Ω 6 &400Ω 4 %50Ω 2 & m C m (Ω)=2ΩC m - (Ω) - C m - 2 (Ω) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ CHEBYSHEV n περιττό C n (0)'0, C n ()' και C n (&Ω)'&C n (Ω) n άρτιο C n (0)'±, C n ()' και C n (&Ω)'C n (Ω) όλα τα n Ω = - έως υπάρχει κυµατισµός µεταξύ και - ενώ για Ω > τα πολυώνυµα C n (Ω) αυξάνονται µονοτονικά. 8.3.3 Ρυθµός αποκοπής Ο ρυθµός αποκοπής και στα παθητικά φίλτρα µε απόκριση Chebyshev είναι άµεσα συνδεµένος µε την τάξη του φίλτρου. Αποδεικνύεται και στην περίπτωση αυτή ότι είναι 6n db/octave, για διπλασιασµό δηλ. της συχνότητας στη ζώνη αποκοπής, η ενεργός εξασθένηση αυξάνεται κατά 6n db. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.6 Να βρεθεί η συνάρτηση εξασθένησης A(ω) Chebyshev που ικανοποιεί τις προδιαγραφές: Α max =0.446 db, A min =45 db, f C =3 KHz, f S =9 KHz, R S =600Ω και =200Ω -423-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές θα είναι: Α max =0.446 db A min =45 db Ω C = Ω S = 3 R S = 0.5 και = Το Α ο καθορίζεται από τις αντιστάσεις τερµατισµού και είναι: A o '20log R S % '0.5525 db. 2 R S Από την 8.6 παίρνουµε: n$n MIN ' 45 cosh & 0 0 & 0.3289 cosh & (3) '3.96 Y n'4 Παρ' όλο που το n είναι άρτιο, επειδή Α max < Α ο µπορούµε να επιλέξουµε την σχεδίαση µε την µέγιστη τιµή του συντελεστή κυµάτωσης οπότε: ε'ε max ' 0 A max 0 &' 0 0.0446 &'0.328867 ε 2 '0.0854 Με n=4, C 4 (Ω) =8Ω 4-8Ω 2 + (βλέπε πίνακα πολυωνύµων Chebyshev), η 8.24 δίνει: A(Ω)'20log %0.5 2 @0.5 %0.0854 %0.0854@C 2 4 (Ω) ' '20log.007572 %0.0854(8Ω 4 &8Ω 2 %) 2-424-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η συνάρτηση εξασθένησης που ικανοποιεί προδιαγραφές µε f C =3 KHz και f S =9 ΚΗz θα είναι η A ω ω C 'A f f C, όπου ω C =2πf C και f C =3000 Hz. 8.3.4 Σύνθεση παθητικών φίλτρων µε απόκριση Chebyshev Όταν έχουµε προσδιορίσει τα ε και n από τις προδιαγραφές και την συνάρτηση ρ(s)ρ(-s) από τις 8.8, µπορεί πλέον να υπολογιστεί κατά τα γνωστά από την σχέση 8. ο συντελεστής ανάκλασης ρ(s) και από αυτόν, µέσω των σχέσεων 8.2α ή 8.2β, η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z (s) του κυκλώµατος, από την οποία, όπως ακριβώς και στην περίπτωση της προσέγγισης Butterworth συντίθεται το κύκλωµα µε τις κλασσικές µεθόδους σύνθεσης οδηγουσών συναρτήσεων του Παραρτήµατος Β. Η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Z (s) του τερµατισµένου µε την διθύρου, θα είναι τάξης n. Το σηµαντικότερο όµως είναι ότι η Z (s) αποδεικνύεται ότι και στην περίπτωση αυτή, µπορεί να συντεθεί ως ένα τερµατισµένο µε την κανονικό κλιµακωτό δίθυρο LC µε επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους, όπως έχει ήδη αναφερθεί (βλέπε σχήµα 8.7). Αποδεικνύεται επίσης ότι οι τιµές των n στοιχείων αποθήκευσης ενέργειας (L και C), µόνον όταν οι τερµατισµοί είναι ίσοι δηλ. R S = και το n περιττό, µπορούν να υπολογιστούν από τους παρακάτω αναδροµικούς τύπους: t k ' α k @α k& µε t όπου b k @t 0 'γ, k', 2,...n α k 'ηµ (2k&)π k& 2n µε α 0 ' (8.3α) και b k 'γ 2 %ηµ 2 kπ n µε b 0 '2 γ'sinh 2n ln 0 0 A max 20 % A min 20 % (8.3β) Για τις τιµές των στοιχείων στην περίπτωση που έχουµε άνισους τερµατισµούς, ή άρτια τάξη, δεν υπάρχουν αναλυτικοί τύποι. Οι τιµές µπορούν να υπολογιστούν, όπως και στην περίπτωση της προσέγγισης Butterworth, µε τρεις τρόπους: Με υπολογισµό και σύνθεση της οδηγούσας συνάρτησης Z (s). Με ανάλυση του κυκλώµατος, του οποίου γνωρίζουµε την τοπολογία (κλιµακωτό τάξης n µε επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους) και εξίσωση της υπολογιζόµενης συνάρτησης µετάδοσης µε -425-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ αυτήν που δίνει η προσέγγιση. Με την βοήθεια κατάλληλων πινάκων. 8.3.4. Υπολογισµός των φίλτρων Chebyshev µε σύνθεση Είδαµε ότι έχοντας υπολογίσει την τάξη n και τον συντελεστή β από την προσέγγιση, υπολογίζεται από τις 8.8 το τετράγωνο της συνάρτησης απλού κέρδους και η σχετιζόµενη µε την συνάρτηση συντελεστή ανάκλασης ποσότητα ρ(s)ρ(-s): H(jΩ) 2 ' H 2 Cho %ε 2 C 2 n (Ω) µε H Cho ' 0& 2 A K 20 R s ' R S % n περιττό R S % %ε 2 n άρτιο ρ(s) ρ(&s)'& 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 '& 4R S H 2 Cho %ε 2 C 2 n (Ω) Ω 2 '&s 2 Λαµβανοµένου υπόψη ότι οι πόλοι της ρ(s) είναι στο αριστερό ηµιεπίπεδο, από την σχέση αυτή είναι δυνατόν να αποµονωθεί το ρ(s), σύµφωνα µε το εδάφιο Α.6 του παραρτήµατος Α. Η διαδικασία αυτή οδηγεί σε περισσότερες της µιας εκφράσεις της ρ(s), λόγω χωρίς περιορισµούς επιλογής των µηδενικών της ρ(s). Για κάθε µια από τις ρ(s) που υπολογίζονται, χρησιµοποιούνται ανάλογα µε την σχέση R S και οι σχέσεις 8.2α ή 8.2β, για τον υπολογισµό της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης εισόδου του τερµατισµένου µε την διθύρου: Z a (s)'r S &ρ(s) %ρ(s) όταν R S > ή Z b (s)'r S %ρ(s) &ρ(s) όταν R S < Οι οδηγούσες συναρτήσεις Z (s) που προκύπτουν από την σχέση αυτή για κάθε ένα από τα ρ(s), είναι όλες ΘΠ και µάλιστα η σύνθεσή τους µπορεί να γίνει µε αλλεπάλληλες αποσπάσεις πόλων στο άπειρο ή στο µηδέν (µέθοδος Cauer, βλέπε Παράρτηµα Β), για να παραχθεί ένα κλιµακωτό κύκλωµα µε επαγωγείς στους κλάδους σειράς και πυκνωτές στους παράλληλους κλάδους, τερµατισµένο σε µια ωµική αντίσταση ίση µε την =. Όταν η Z (s) δεν προσφέρεται για απόσπαση -426-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ πόλου στο άπειρο, γιατί ο αριθµητής είναι µικρότερης τάξης από τον παρονοµαστή, τότε συνθέτουµε την αντίστροφη δηλ. την Υ (s). Η όλη διαδικασία γίνεται καλύτερα αντιληπτή µε τις εφαρµογές που ακολουθούν. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.7 Να σχεδιαστεί κανονικοποιηµένο βαθυπερατό φίλτρο Chebyshev 2ης τάξης µε =, R S =0.5, A max =0.5. Υπολογίζουµε το Α ο : A o '20log R S % 2 R S '20log 0.5% 2 0.5@ '0.5525 Επειδή έχουµε άρτια τάξη αλλά Α ο > Α max µπορούµε να πάρουµε ε=ε max : 0.5 ε 2 'ε 2 max '0 0 &'0.220845. Από την 8.8β µε H Cho ' R S % και %ε 2 ' 0.5% %0.220845'0.706695 C 2 2 (Ω)'(2Ω2 &) 2 '4Ω 4 &4Ω 2 %έχουµε 4R S H 2 Cho R ρ(s)ρ(&s)'& L 0.99734974 '& %ε 2 C 2 n (Ω) %0.220845 4s 4 %4s 2 % ' s 4 %s 2 %0.25543 s 4 %s 2 %2.29887 Ω 2 '&s 2 Για την αποµόνωση του ρ(s) γνωρίζουµε ότι ο παρονοµαστής του είναι πολυώνυµο Hurwitz, ενώ ο αριθµητής δεν έχει περιορισµούς ως προς την θέση των ριζών του. Ο αριθµητής έχει ρίζες: s = - 0.05966 ± j0.70904 και s = 0.05966 ± j0.70904 Ο παρονοµαστής έχει ρίζες: s = - 0.7282 ± j.004042 και s = 0.7282 ± j.004042 Για τον παρονοµαστή εποµένως του ρ(s), που είναι πολυώνυµο Hurwitz, θα πάρουµε το µιγαδικό ζεύγος του αριστερού ηµιεπιπέδου s = - 0.7282 ± j.004042 που αντιστοιχεί στο πολυώνυµο : D ρ (s)'(s%0.7282&j.004042)(s%0.7282%j.004042) D ρ (s)'s 2 %.425624s%.5620285-427-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Για τον αριθµητή µπορούµε να πάρουµε το συζυγές ζεύγος του δεξιού ή του αριστερού ηµιεπιπέδου, αφού δεν υπάρχει περιορισµός. Παίρνουµε τις ρίζες του αριστερού ηµιεπιπέδου - 0.05966 ± j0.70904, οπότε: N ρ (s)'(s%0.05966&j0.70904)(s%0.05966%j0.70904)' s 2 %0.0393s%0.50540 Με την παραπάνω επιλογή µηδενικών, βρίσκουµε: ρ(s) ' N ρ (s) D ρ (s) ' s 2 %0.0393s%0.5054026 s 2 %.425624s%.5620285 Εχοντας τον συντελεστή ανάκλασης και R S <, βρίσκουµε από την 8.2β: % ρ(s) Z A (s) ' R S & ρ(s) ' s 2 % 0.7648s %.008.3276s %.008 Η οδηγούσα αυτή συνάρτηση Z A (s) συντίθεται κατά Cauer (βλέπε Παράρτηµα Β) για να δώσει: ΣΧΗΜΑ 8.9 Η καµπύλη ενεργού εξασθένησης του κυκλώµατος δίνεται στο σχήµα 8.20. ΣΧΗΜΑ 8.20-428-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.8 Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο Chebyshev 3ης τάξης µε =, R S =2, A max =0.5. A o '20log R S % 2 R S '0.5525 db Από την 8.5 υπολογίζεται ο µέγιστος συντελεστής κυµάτωσης ε=ε max =0.3493 και ε 2 '0.220845. Από την 8.8β µε H Cho ' ' και R S % 2% '0.33333 C 2 3 (Ω)'(4Ω3 &3Ω) 2 '6Ω 6 &24Ω 4 %9Ω 2 Y C 2 3 (Ω) Ω 2 '&s 2''&6s 6 &24s 4 &9s 2 έχουµε ρ(s)ρ(&s)'& 4R S H 2 Cho ' s 6 %.5s 4 %0.5625s 2 &0.05693 %ε 2 C 2 n (Ω) s 6 %.5s 4 %0.5625s 2 &0.5222 Ω 2 '&s 2 Για την αποµόνωση του ρ(s) γνωρίζουµε ότι ο παρονοµαστής του είναι πολυώνυµο Hurwitz, ενώ ο αριθµητής δεν έχει περιορισµούς. Ρίζες αριθµητή: ± 0.28667-0.4334 ± j0.9009 0.4334 ± j0.9009 Ρίζες παρονοµαστή: ± 0.626457-0.33228 ± j.0293 0.33228 ± j.0293 Για τον παρονοµαστή εποµένως, που είναι πολυώνυµο Hurwitz θα πάρουµε την αρνητική πραγµατική ρίζα!0.626457 και το µιγαδικό ζεύγος του αριστερού ηµιεπιπέδου!0.33228 ± j.0293: D ρ (s)'(s%0.626457)(s%0.33228&j.0293)(s%0.33228%j.0293) Y D ρ (s)'(s%0.626457)(s 2 %0.626457s%.4245) Για τον αριθµητή µπορούµε να πάρουµε την αρνητική πραγµατική ρίζα!0.28667 και το µιγαδικό ζεύγος του δεξιού ηµιεπιπέδου 0.4334 ± j0.9009, αφού δεν υπάρχει περιορισµός ως προς την θέση των µηδενικών της ρ(s): N ρ (s) ' (s % 0.28667) (s & 0.4334 & j0.9009) (s & 0.4334 % j0.9009) N ρ (s) ' (s % 0.28667)(s 2 & 0.28667s % 0.8328) ' s 3 % 0.75s % 0.238565 Τελικά βρίσκουµε: ρ(s)' N ρ (s) D ρ (s) ' s 3 %0.75s%0.23856 s 3 %.2529s 2 %.53489s%0.7569 Εχοντας τον συντελεστή ανάκλασης και R S > βρίσκουµε από την 8.2β: -429-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ &ρ(s) Z A (s)'r S %ρ(s) '.2529s 2 %0.7849s%0.4773 s 3 %0.62646s 2 %.4245s%0.4773 Η οδηγούσα συνάρτηση Y A (s)', που έχει πόλο στο άπειρο, µπορεί να Z A (s) συντεθεί µε την µέθοδο αποσπάσεων πόλων στο άπειρο (Cauer βλέπε Παράρτηµα Β) για να δώσει: ΣΧΗΜΑ 8.2 Η καµπύλη ενεργού εξασθένησης του κυκλώµατος δίνεται στο σχήµα 8.23. Παρατηρήστε την εξασθένηση Α o =0.52 db ως προς την οποία η κυµάτωση είναι 0.5dB. ΣΧΗΜΑ 8.22 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.9 Σχεδιάστε παθητικό βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Chebyshev µε τις εξής προδιαγραφές: Α max = 0.5 db, A min =36 db, ω C =2π2000, ω S =2π4600, R S =600 Ω και =.5 KΩ Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές είναι Α max = 0.5 db A min = 36 db Ω C = Ω S = 2.3 R S = 0.4 και = Η τάξη της προσέγγισης υπολογίζεται από την σχέση 8.6: n min =3.9927 και εποµένως n= 4. Επειδή βγαίνει άρτια τάξη και υπάρχουν τα σχετικά προβλήµατα πρέπει να γίνουν οι απαραίτητοι έλεγχοι (βλέπε παρατήρηση µετά την σχέση 8.6). Για να είναι εφικτή η σχεδίαση, πρέπει το δεδοµένο Α max < A ο. Υπολογίζουµε από την 8.4 ότι Α ο =0.8836 και εποµένως ισχύει Α max <A ο, άρα µπορεί να σχεδιαστεί -430-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ το φίλτρο µε n = 4. Αν είχε δοθεί π.χ. Α max = > A ο, θα έπρεπε να πάρουµε n = 5. Αφού Α max <A ο, µπορεί να γίνει χρήση του µέγιστου συντελεστή κυµάτωσης που υπολογίζεται ε =ε max = 0.3493 και ε 2 '0.220845. Από την 8.8β µε H Cho ' R S % %ε 2 ' 0.4% %0.220845'0.7566 και C 2 4 (Ω)'(8Ω4 &8Ω 2 %) 2 '64Ω 8 &28Ω 6 %80Ω 4 &6Ω 2 % έχουµε Y C 2 4 (Ω) Ω 2 '&s 2''64s 8 %28s 6 %80s 4 %6s 2 % ρ(s)ρ(&s)'& 4R S H 2 Cho ' s 8 %2s 6 %.25s 4 %0.25s 2 %0.02639 %ε 2 C 2 4 (Ω) s 8 %2s 6 %.25s 4 %0.25s 2 %0.4368 Ω 2 '&s 2 Η ρ(s)ρ(-s) έχει τους παρακάτω πόλους και µηδενικά: Αποδίδουµε όλους τους πόλους του αριστερού ηµιεπιπέδου στην ρ(s) και αφήνουµε τους αντιθέτους τους, που είναι στο δεξί ηµιεπίπεδο, για την ρ(-s). Έτσι, ο παρονοµαστής της ρ(s) είναι: D ρ (s)'(s%0.42334&j0.42095)(s%0.42334%j0.42095)(s%0.7535&j.0625)(s%0.7535&j.0625) D ρ (s)'s 4 %.9738s 3 %.76858s 2 %.025449s%0.37905227 Για τον αριθµητή έχουµε συνολικά τέσσερα συζυγή ζεύγη µηδενικών. -43-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (8.32) Το πολυώνυµο του αριθµητή της ρ(s) δεν έχει περιορισµούς και η κατανοµή των µηδενικών µπορεί να γίνει ελεύθερα, προσέχοντας µόνον όταν δίνουµε ένα στην ρ(s) το αντίθετό του να πηγαίνει στην ρ(-s). Πρέπει λοιπόν να δώσουµε τα δυο ζεύγη µηδενικών στην ρ(s) και τα αντίθετά τους στην ρ(-s). Μια προφανής επιλογή είναι να δώσουµε τα µηδενικά του αριστερού ηµιεπιπέδου στην ρ(s). Μια άλλη επιλογή είναι να δώσουµε τα µηδενικά του δεξιού ηµιεπιπέδου στην ρ(s), ενώ υπάρχουν ακόµα δύο δυνατές επιλογές, όπως φαίνεται και στον πίνακα 8.32. Επιλέγουµε την λύση 2, δηλ. δίνουµε στην ρ(s), τα δύο ζεύγη µηδενικών του δεξιού ηµιεπιπέδου. Με την επιλογή αυτή ο αριθµητής της ρ(s) γίνεται: N ρ (s)'s 4 &0.49678s 3 %.234032s 2 &0.3390s%0.624526 Τελικά ο συντελεστής ανάκλασης ρ(s) για την συγκεκριµένη επιλογή είναι: ρ(s)' N ρ (s) D ρ (s) ' s 4 &0.49678s 3 %.234032s 2 &0.3390s%0.624526 s 4 %.9738s 3 %.76858s 2 %.025449s%0.37905227 Επειδή R S <, για τον υπολογισµό της οδηγούσας συνάρτησης Z (s), θα χρησιµοποιήσουµε από τις 8.2 την Ζ %ρ(s) (s)'r s, η οποία δίνει: &ρ(s) Z (s)' 0.8s 4 %0.28024s 3 %.36045s 2 %0.274539445s%0.266039.6946s 3 %0.5934548s 2 %.36455023s%0.266039 Αποµένει τώρα η σύνθεση της Ζ (s), η οποία θα γίνει µε συνεχείς αποσπάσεις πόλων στο άπειρο. Η πρώτη απόσπαση είναι ένας επαγωγέας L =0.472204 που αφήνει αποµένουσα 0.4974965s Z 2 (s)' 2 %0.722579s%0.266.6946s 3 %0.5934548s 2 %.36455s%0.266-432-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ή Y 2 (s)'.6946s 3 %0.5934548s 2 %.36455s%0.266 0.4974965s 2 %0.722579s%0.266 Από αυτήν αποσπάται ένας πυκνωτής C 2 = 3.4452 και η αποµένουσα είναι 0.68322s%0.266 Y 3 (s)' 0.497496546s 2 %0.722579s%0.266 ή Z 3 (s)' 0.497496546s 2 %0.722579s%0.266 0.68322s%0.266 Από αυτήν αποσπάται επαγωγέας L 3 = 0.7953 και η αποµένουσα είναι 0.266 Ζ 4 (s)' ή Υ 0.68322s%0.266 4 (s)' 0.68322s%0.266 '2.85465s% 0.266 ένας δηλ. πυκνωτής C 4 = 2.85465 παράλληλα µε αντίσταση = (σχήµα 8.23α). ΣΧΗΜΑ 8.23α Οι τιµές που προέκυψαν από την σύνθεση αποκανονικοποιούνται µε ω C =2π2000 rad/sec και = 500 Ω για να βρούµε το τελικό κύκλωµα µε: L '56.36mH C 2 '82.77nF L 3 '94.93mH C 4 '5.45nF ΣΧΗΜΑ 8.23β Αν είχε επιλεγεί η λύση 2 των µηδενικών του συντελεστή ανάκλασης, δηλ. όλα τα µηδενικά του αριστερού ηµιεπιπέδου στην ρ(s), τότε θα είχε προκύψει ένα όµοιο τοπολογικά κύκλωµα αλλά µε άλλες τιµές. Συγκεκριµένα βρίσκουµε : L =.489 C 2 =.9882 L 3 =.37807 C 4 =.805 (σχήµα 8.24γ) ΣΧΗΜΑ 8.23γ -433-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Μετά την αποκανονικοποίηση µε ω C =2π2000 rad/sec και =.5 ΚΩ οι τιµές των στοιχείων γίνονται:l '36.3mH C 2 '05.48nF L 3 '64.5mH C 4 '62.63nF ΣΧΗΜΑ 8.23δ Το κύκλωµα αυτό φαίνεται στο σχήµα 8.23δ και έχει ακριβώς την ίδια απόκριση εξασθένησης µε το προηγούµενο. Οι επιλογές 3 και 4 από την 8.32, δίνουν άλλα δύο κυκλώµατα, µε διαφορετικές τιµές στοιχείων. 8.3.4.2 Υπολογισµός των τιµών των στοιχείων µε ανάλυση Η προσέγγιση µας έχει δώσει την παράµετρο ε, την τάξη n του φίλτρου και όλες τις συναρτήσεις του, συµπεριλαµβανοµένης και της συνάρτησης απλού κέρδους H(jΩ) (σχέση 8.8β). Γνωρίζουµε όµως και την τοπολογία του φίλτρου, αφού τελικά είναι κλιµακωτό κύκλωµα µε επαγωγείς L στους κλάδους σειράς και πυκνωτές C στους παράλληλους κλάδους και επιπροσθέτως ότι έχουµε τόσους κλάδους L και C, όση είναι η τάξη n της προσέγγισης (βλέπε σχήµα 8.7). Από το -434-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ κύκλωµα αυτό, στο οποίο είναι άγνωστες οι τιµές των επαγωγέων L και των πυκνωτών C, µπορεί να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς H P (s) και από αυτήν η συνάρτηση απλού κέρδους H P (jω), η οποία µπορεί να ταυτιστεί µε την αντίστοιχη της προσέγγισης. Από την ταύτιση των συντελεστών, προκύπτουν οι εξισώσεις που δίνουν τις τιµές των στοιχείων. Η διαδικασία γίνεται σαφής µε τις εφαρµογές που ακολουθούν. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.0 Να σχεδιαστεί φίλτρο µε απόκρισηchebyshev που πρόκειται να λειτουργήσει µεταξύ ίσων τερµατισµών ΚΩ µε εξασθένηση το πολύ του 0.5 db για f < KHz και τουλάχιστον 25 db για f > 4 KHz. Αναγνωρίζουµε αρχικά τις προδιαγραφές: A max =0.5 db, A min =25 db ω c =2π000, ω s =2π4000. Κανονικοποιώντας µε ω 0 =ω C =2π000 και R 0 = =000, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές δηλ. =R S =, Ω C =, Ω S =4 µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση. Επιλέγουµε ε =ε max = 0.3493 οπότε ε 2 '0.220845. Η τάξη του φίλτρου υπολογίζεται από την 8.6: n $ cosh & 0 25/0 & 0 0.5/0 & cosh & (4) ' 2.2397 και εποµένως επιλέγουµε n=3. Το φίλτρο λοιπόν θα είναι 3ης τάξης, θα έχει δηλ. δύο επαγωγείς και ένα πυκνωτή ή δύο πυκνωτές και έναν επαγωγές, όπως φαίνεται στο σχήµα 8.24α και 8.24β. Τα δύο κυκλώµατα είναι δυϊκά (βλέπε Παράρτηµα Γ). Αναλύοντας το τύπου-π κύκλωµα (β) µπορούµε να βρούµε: H P (s)' V 2 (s) E(s) ' C L 2 C 3 s 3 %L 2 (C %C 3 )s 2 %(C %L 2 %C 3 )s%2 Y H P (jω) 2 ' 2&L 2 (C %C 3 )Ω 2 2 %Ω 2 C %L 2 %C 3 &C L 2 C 3 Ω 2 2 ' ' C 2 L 2 2 C 2 3 Ω6 %L 2 L 2 (C %C 3 ) 2 &2C C 3 (C %L 2 %C 3 ) Ω 4 %(C %C 3 &L 2 ) 2 Ω 2 %4-435-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ 8.24 Από την προσέγγιση (σχέση 8.8β) µε: H Cho ' ' R S % 2 και βρίσκουµε : C 2 3 (Ω)'(4Ω3 &3Ω) 2 '6Ω 6 &24Ω 4 %9Ω 2 H(jΩ) 2 ' H 2 Cho %ε 2 C 2 n (Ω) ' 4%4ε 2 (6Ω 6 &24Ω 4 %9Ω 2 ) ' 64ε 2 Ω 6 &96ε 2 Ω 4 %36ε 2 Ω 2 %4 Ταυτοποιώντας το H P (jω) 2 από το κύκλωµα µε το H(jΩ) 2 από την προσέγγιση προκύπτουν οι εξισώσεις: C L 2 C 3 '8ε L 2 2 (C %C 3 )2 &2C L 2 C 3 (C %L 2 %C 3 )'&96ε 2 C %C 3 &L 2 '6ε µε ε=0.3493. Λύνοντας το σύστηµα των τριών µη γραµµικών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους, υπολογίζονται οι τιµές των στοιχείων C =C 3 =.5962 και L 2 =.0967. Η σχεδίαση του φίλτρου θα τελειώσει µε την αποκανονικοποίηση ώστε η συχνότητα αποκοπής να γίνει 2π000 και το φορτίο 000 Ω. Οι αποκανονικοποιηµένες τιµές υπολογίζονται και είναι: C = C 3 = 0.254µF και L 2 =74.5mH. Το τελικό φίλτρο φαίνεται στο σχήµα 8.24γ. -436-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 8.4 Σχεδίαση παθητικών ΒΠ φίλτρων µε βοηθήµατα 8.4.. Νοµογράµµατα και κατάλογοι φίλτρων Butterworth Από τα προηγούµενα εδάφια γίνεται σαφές ότι η σχεδίαση ενός κανονικοποιη- µένου παθητικού βαθυπερατού φίλτρου µε απόκριση Butterworth ανάγεται ουσιαστικά στον προσδιορισµό της τάξης του από την σχέση n $ log 0A min /0 & 0 A max /0 & 2logΩ s και στον υπολογισµό των στοιχείων του. Και οι δύο αυτές, σχετικά δύσκολες από υπολογιστικής πλευράς, πράξεις, µπορούν να απλοποιηθούν µε τα σχετικά νοµογράµµατα και πίνακες, που παρατίθενται στο τέλος του κεφαλαίου αυτου. Για τον υπολογισµό της τάξης χρησιµοποιείται το νοµόγραµµα Kawakami, η µορφή του οποίου φαίνεται στο σχήµα 8.25 ΣΧΗΜΑ 8.25 Προκειµένου να το χρησιµοποιήσουµε για τον προσδιορισµό της τάξης του φίλτρου, βρίσκουµε την δεδοµένη A min στον πρώτο κατακόρυφο άξονα και την A max στον δεύτερο κατακόρυφο άξονα. Ενώνοντας τα δύο αυτά σηµεία µε ευθεία γραµµή, τέµνεται ο τρίτος κατακόρυφος άξονας σε κάποιο σηµείο Ρ. Από το σηµείο αυτό φέρουµε µια παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα γραµµή. Στον οριζόντιο άξονα βρίσκουµε το σηµείο που αντιστοιχεί στην κανονικοποιηµένη συχνότητα Ω s =ω S /ω C και υψώνουµε µια κατακόρυφη γραµµή έως ότου τµήσει την παράλληλη που είχαµε τραβήξει από το σηµείο Ρ. Το σηµείο τοµής Q είναι αυτό που καθορίζει την τάξη του φίλτρου. Το σηµείο Q βρίσκεται πάντοτε µεταξύ δύο καµπυλών του νοµογράµ- -437-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ µατος. Η τάξη του κυκλώµατος είναι ο αριθµός της καµπύλης που βρίσκεται πάνω από το σηµείο Q. Σε περιπτώσεις που η χρήση του νοµογράµµατος είναι δύσκολη λόγω οριακών δυσκολιών, καλό θα είναι κανείς να υπολογίσει την τάξη αναλυτικά από την σχέση 8.5. Οταν από τις προδιαγραφές έχει προσδιοριστεί η τάξη του φίλτρου µε το νοµόγραµµα ή µε υπολογισµό από την 8.5, είναι γνωστή η τοπολογία του και δεν µένει παρά να υπολογιστούν οι τιµές των στοιχείων. Για τον υπολογισµό των στοιχείων υπάρχουν οι κατάλογοι προτύπων φίλτρων Butterworth [3]-[5], απόσπασµα των οποίων δίνεται στο τέλος του κεφαλαίου. Τα πρότυπα κανονικοποιηµένα φίλτρα δίνονται στους πίνακες για µοναδιαία αντίσταση φορτίου και διάφορες αντιστάσεις πηγής. Προσοχή χρειάζεται γιατί τα φίλτρα του καταλόγου είναι πρότυπα, δηλ. έχουν Α() = 3 db, πράγµα που σηµαίνει ότι αν το A max που δίνεται µε τις προδιαγραφές είναι διάφορο των 3 db, οι τιµές των στοιχείων θα πρέπει να πολλαπλασιάζονται επί n β, δηλ. να διαιρούνται µε την Ω 3dB της σχέσης 8.6, που εξαρτάται µόνον από το β. Ένας σηµαντικός περιορισµός στη χρήση των πινάκων είναι ότι το βήµα µεταβολής της R S είναι τέτοιο που µπορεί να µην περιλαµβάνεται η επιθυµητή τιµή. Στην περίπτωση αυτή για τον υπολογισµό των τιµών των στοιχείων πρέπει να ακολουθηθεί µια από τις άλλες µεθόδους (ανάλυση ή σύνθεση). Η χρήση των πινάκων γίνεται ως εξής: Πηγαίνουµε στον πίνακα που αντιστοιχεί στην τάξη n και ψάχνουµε για την κανονικοποιηµένη µας αντίσταση R S. Αν την βρούµε, οι τιµές των στοιχείων αντιστοιχούν στο πάνω κύκλωµα του πίνακα, που αρχίζει µε πυκνωτή. Στις περιττές τάξεις, η τιµές των R S αρχίζουν στον πίνακα από την τιµή.0 και ελαττώνεται. Στις άρτιες τάξεις η R S αρχίζει από.0 και αυξάνεται. Αν εποµένως έχουµε περιττό n και R S > ή άρτιο n και R S <, δεν θα βρούµε την τιµή R S. Τότε κοιτάζουµε τον πίνακα από κάτω προς τα πάνω και αναζητούµε την τιµή του /R S. Στην περίπτωση αυτή οι τιµές των στοιχείων αντιστοιχούν στο κάτω φίλτρο του πίνακα, που αρχίζει µε πηνίο. Οι κανονικοποιηµένες τιµές των στοιχείων που δίνονται στις αντίστοιχες στήλες. πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί n β για να έχουµε το επιθυµητό Α max αντί 3dB που έχουν τα πρότυπα φίλτρα. Φυσικά για να ολοκληρωθεί η σχεδίαση, αποκανονικοποιούµε κατά τα γνωστά R'R n L' L n C' C ω C ω C R n L -438-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΔΕΙΓΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ BUTTERWORTH n R S C L 2 C 3 L 4 2 0,9 0,8082,6332,5994 0,8 0,8442,384,9259 3 0,7 0,952,652 2,2774 0,6,0225 0,965 2,7024 0,5,8 0,7789 3,262 0, 5,672 0,377 5,4554 INF,5,3333 0,5 0,7654,8478,8478 0,7654,25 0,3882,6946,5,809,6667 0,269 2,029,0824 2,63 4 2 0,275 2,4524 0,8826 3,868 2,5 0,692 2,9858 0,69 4,0094 3,3333 0,237 3,8826 0,5072 5,338 5 0,0804 5,6835 0,3307 7,9397 0 0,0392,0942 0,66 5,642 INF,5307,5772,0824 0,3827 n /R S L C 2 L 3 C 4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8. Σχεδιάστε ΒΠ φίλτρο µε απόκριση Butterworth µε ρυθµό αποκοπής 24 db/octave, το οποίο στην ζώνη διέλευσης µέχρι 0 KHz να εισάγει εξαθένηση το πολύ 2dB. Το φίλτρο θα λειτουργήσει µεταξύ πηγής εσωτερικής αντίστασης 600Ω και φορτίου 60Ω. Υπολογίστε και την εξασθένηση στα 20 και 40 KHz. Αφού µας δίνεται ο ρυθµός αποκοπής 24dB/octave, η τάξη του κυκλώµατος είναι n=4. Για την σχεδίαση ΒΠ φίλτρου Butterworth 4ης τάξης χρειαζόµαστε µόνον το β max, που υπολογίζεται από την 8.4 και είναι β=0.764783. Το Α max =2 db, ενώ κανονικοποιώντας µε R 0 = =60 και ω 0 =ω C =2π0000, οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές γίνονται Ω C =, =, R S =0. Από τους πίνακες προτύπων φίλτρων Butterworth για n=4 και R S =0, παίρνουµε για το (α) κύκλωµα του παρακάτω -439-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ σχήµατος: C =0.0392 L 2 =.0942 C 3 =0.66 L 4 =5.642 Οι τιµές αυτές πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί β n ' (0.764783) 4 ' 0.93557 οπότε δίνουν: C =0.0367 L 2 =0.3748 C 3 =0.5 L 4 =4.6278 Οι τιµές αυτές αποκανονικοποιούµενες µε R 0 = =60 και ω 0 =ω C =2π0000, δίνουν τελικά C =9.73nF, L 2 =9.9mH, C 3 =40nF L 4 =3.97 mh. Οι αντιστάσεις της πηγής και του φορτίου όταν αποκανονικοποιούνται γίνονται 600 και 60Ω αντίστοιχα. Το σχήµα δείχνει την καµπύλη εξασθένησης του φίλτρου. Παρατηρήστε ότι για Ω=0 υπάρχει εξασθένηση Α ο =4.8dB λόγω του άνισου τερµατισµού και ότι η Αmax=2 db είναι σχετική προς την Α ο =4.8dB. Για τον υπολογισµό της εξασθένησης στα 20 και 40 KHz, αρκεί να υπολογίσουµε την εξασθένηση στις κανονικοποιηµένες συχνότητες Ω=2 και Ω=4 από την σχέση της προσέγγισης 8.3β. 8.4.2 Νοµογράµµατα και κατάλογοι βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev Για τον υπολογισµό της τάξης των βαθυπερατών φίλτρων µε απόκριση Chebyshev, χρησιµοποιείται το αντίστοιχο νοµόγραµµα Kawakami για φίλτρα Chebyshev. Προκειµένου να το χρησιµοποιήσουµε για τον προσδιορισµό της τάξης του φίλτρου, βρίσκουµε τις δεδοµένες A max και A min στους αντίστοιχους κατακόρυφους άξονες. Ενώνοντας τα δύο αυτά σηµεία µε ευθεία γραµµή, τέµνεται ο κατακόρυφος άξονας του σώµατος του νοµογράµµατος σε κάποιο σηµείο Ρ. -440-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 8.26 Από το σηµείο αυτό τραβάµε µια παράλληλη προς τον οριζόντιο άξονα Ω γραµ- µή. Στον οριζόντιο άξονα βρίσκουµε το σηµείο που αντιστοιχεί στην κανονικοποιη- µένη συχνότητα Ω S =ω S /ω C και τραβάµε µια κατακόρυφη γραµµή έως ότου τµήσει την παράλληλη που είχαµε τραβήξει από το σηµείο Ρ. Το σηµείο τοµής Q είναι αυτό που καθορίζει την τάξη του φίλτρου. Το σηµείο Q βρίσκεται πάντοτε µεταξύ δύο καµπυλών του νοµογράµµατος. Η τάξη του κυκλώµατος είναι ο αριθµός της καµπύλης που βρίσκεται από πάνω του. Σε περιπτώσεις που η χρήση του νοµογράµµατος είναι δύσκολη λόγω οριακών δυσκολιών, καλό θα είναι κανείς να υπολογίσει την τάξη αναλυτικά από την 8.6. Πρέπει επίσης να αυξήσουµε το n κατά όταν έχουµε ίσους τερµατισµούς και η τάξη βγαίνει άρτια, αφού δεν υπάρχουν παθητικά φίλτρα Chebyshev άρτιας τάξης µε ίσους τερµατισµούς. Οι κατάλογοι προτύπων φίλτρων Chebyshev υπάρχουν για διάφορες τιµές της µέγιστης επιτρεπόµενης εξασθένησης στη ζώνη διέλευσης A max. [3]-[5]. Στο τέλος του κεφαλαίου θα βρείτε πλήρεις καταλόγους για A max = 0.5 db. Ένας σηµαντικός περιορισµός στη χρήση των πινάκων οφείλεται στο γεγονός ότι το βήµα µεταβολής της R S είναι τέτοιο που µπορεί να µην περιλαµβάνεται η επιθυµητή τιµή. Επιπροσθέτως, οι πίνακες δίνονται µόνον για συγκεκριµένες τιµές κυµάτωσης, που µπορεί να µην περιλαµβάνουν αυτήν που επιθυµούµε. Στις περιπτώσεις αυτές, για τον υπολογισµό των τιµών των στοιχείων πρέπει να ακολουθηθεί µια από τις αναλυτικές µεθόδους που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο αυτό. Η χρήση των πινάκων είναι αντίστοιχη µε την χρήση των πινάκων Butterworth και όταν δεν βρίσκει κανείς την τιµή για την R S, αναζητά την / R S και σχεδιάζει το κύκλωµα του κάτω µέρους της σελίδας. -44-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΔΕΙΓΜΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ CHEBYSHEV n R S C L 2 C 3 L 4 C 5,8636,2804,8636 0,8,9965,203 2,2368 0,6 2,2889 0,8937 2,8984 3 0,5 2,557 0,7592 3,436 0,4 2,9854 0,646 4,246 0,3 3,7292 0,4633 5,5762 0,2 5,2543 0,3087 8,225 INF,572,579 0,938,984 0,9202 2,5864,3036,8258 2 0,8452 2,798,2383,9849 4 2,5 0,562 3,7659 0,8693 3,205 3,3333 0,344 5,96 0,6208 4,479 5 0,2 7,7076 0,3996 6,9874 0 0,0975 5,352 0,94 4,266 INF,436,8888,52 0,929 5,8068,3025 2,694,3025,8068 0,8,9257,26 3,0599,569 2,845 0,6 2,2006 0,890 3,765 0,942 2,8609 0,5 2,457 0,7537 4,3672 0,8098 3,437 0,4 2,8692 0,609 5,296 0,664 4,2447 0,3 3,5877 0,459 6,874 0,5075 5,6245 0,2 5,0639 0,306 0,0537 0,343 8,3674 INF,6299,74,927,538 0,9034 n /R S L C 2 L 3 C 4 L 5 Τα φίλτρα στους καταλόγους είναι πρότυπα, δηλ. έχουν Α()=3. Αυτό σηµαίνει ότι για να έχει το φίλτρο µας Α()=A max διαφορετικό από το 3, οι τιµές των στοιχείων του πίνακα πρέπει να πολλαπλασιάζονται επί την ποσότητα Ω d που είναι το αντίστροφο της Ω 3dB : -442-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Ω d ' ' Ω 3dB cosh n cosh& ε όπου ε ο µέγιστος συντελεστής κυµάτωσης ε max ' 0 0 &. Το παραπάνω Ω d είναι η συχνότητα στην οποία το πρότυπο φίλτρο των καταλόγων έχει εξασθένηση ίση µε A max. Μετά τον πολλαπλασιασµό επί Ω d, τα στοιχεία µπορούν να αποκανονικοποιηθούν για τα επιθυµητά επίπεδα φορτίου και συχνότητας αποκοπής: R'R n L' L n C' C ω C ω C R n L A max (Ο δείκτης n χρησιµοποιείται για να υποδηλώσει κανονικοποιηµένη τιµή) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.2 Να σχεδιαστεί φίλτρο Chebyshev που πρόκειται να λειτουργήσει µεταξύ ίσων τερµατισµών ΚΩ µε εξασθένηση όχι µεγαλύτερη του 0.5 db για f < KHz και οχι µικρότερη των 25 db για f > 4 KHz. Αναγνωρίζουµε αρχικά τις προδιαγραφές ως εξής: A max =0.5 db A min =25 db ω c =2π000 ω s =2π4000. Κανονικοποιώντας µε ω 0 =ω c =2π000 και R 0 = =000, βρίσκουµε τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές δηλ. =R s =, Ω c =, Ω s =4 µε τις οποίες προχωρούµε στην σχεδίαση. Η τάξη υπολογίζεται n=3 από το σχετικό νοµόγραµµα. Ο συντελεστής κυµάτωσης βρίσκεται να είναι ε=0.22. Από τους σχετικούς πίνακες βρίσκουµε τις τιµές του πρότυπου φίλτρου: C =.8636, L 2 =.2804 και C 3 =.8636. Οι τιµές αυτές πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί Ω d ' cosh( ' 0.85654 3 cosh& 0.22 ) που για την περίπτωση αυτή υπολογίζεται σε Ω d =0.85654. Έτσι οι τιµές των στοιχείων του κανονικοποιηµένου φίλτρου θα είναι: C =.8636*0.85654=.5962, L 2 =.2804*0.85654=.0967 και C 3 =.8636*0.85654=.5962. Αυτές οι τιµές πρέπει να αποκανονικοποιηθούν για τα επιθυµητά επίπεδα φορτίου και συχνότητος αποκοπής. -443-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8.5 Μετασχηµατισµοί συχνότητας (ΥΠ, ΖΔ και ΑΖ) Όπως και στην περίπτωση των ενεργών φίλτρων, η σχεδίαση παθητικών φίλτρων µε χαρακτηριστικά διάφορα του βαθυπερατού ανάγεται στην σχεδίαση ενός βαθυπερατού φίλτρου και στον µετασχηµατισµό του στην επιθυµητή µορφή, µε τον κατάλληλο µετασχηµατισµό. 8.5. Σχεδίαση παθητικών υψιπερατών φίλτρων Είδαµε στο κεφάλαιο 6 (εδάφιο 6.3) ότι αν στη συνάρτηση µεταφοράς Η ΥΠ (s) ενός υψιπερατού φίλτρου, εφαρµόσουµε τον µετασχηµατισµό συχνότητος s : ω CΥΠ s βάλλουµε δηλ. όπου s το ω CΥΠ, προκύπτει µια κανονικοποιηµένη βαθυπερατή s ω CΥΠ συνάρτηση µεταφοράς H ΒΠn (s)' H YΠ. s ΣΧΗΜΑ 8.27 Αντίστροφα, αν σε µια κανονικοποιηµένη βαθυπερατή συνάρτηση µεταφοράς Η ΒΠn (s), εφαρµόσουµε τον µετασχηµατισµό συχνότητος s : ω CΥΠ, βάλλουµε s ω CΥΠ ω CΥΠ δηλ. όπου s το, προκύπτει µια ΥΠ συνάρτηση H. s ΥΠ (s)' H ΒΠn s Ο µετασχηµατισµός αυτός ονοµάζεται ΒΠ-ΥΠ και δεν επιδρά στα µεγέθη του κατακόρυφου άξονα των προδιαγραφών, µε αποτέλεσµα η συνάρτηση µεταφοράς που προκύπτει, να ικανοποιεί τις προδιαγραφές πλάτους ενός υψιπερατού µε τον τρόπο που δείχνει το σχήµα 8.28β. -444-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΣΧΗΜΑ 8.28 Ο µετασχηµατισµός ΒΠ-ΥΠ µας δίνει έναν τρόπο σχεδίασης υψιπερατών φίλτρων. Συγκεκριµένα, αν δίνονται οι προδιαγραφές ενός ΥΠ φίλτρου (σχήµα 8.29α), αντί γι αυτό, σχεδιάζουµε πρώτα ένα κανονικοποιηµένο ΒΠ µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 8.29β. ΣΧΗΜΑ 8.29 Το µεταβατικό αυτό ΒΠ φίλτρο µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 8.29β, έχει συνάρτηση µεταφοράς H ΒΠn (s)' H YΠ ω CΥΠ s. Σχεδιάζουµε το µεταβατικό αυτό βαθυπερατό αυτό φίλτρο και εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΥΠ s n : ω CΥΠ s απευθείας στα στοιχεία του, µετασχηµατίζοντάς το σε ΥΠ µε συχνότητα αποκοπής ω CΥΠ. Η εφαρµογή του µετασχηµατισµού ΒΠ-ΥΠ απευθείας στα στοιχεία έχει στην ουσία τα εξής αποτελέσµατα (µε δείκτη n σηµειώνουµε τα στοιχεία του κανονικοποιηµένου βαθυπερατού φίλτρου): Ενας πυκνωτής C n του ΒΠ µε µετασχηµατισµένη αντίσταση, µε τον C n s n -445-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ µετασχηµατισµό s n : ω CΥΠ, αποκτά µιγαδική αντίσταση s, γίνεται s ω CΥΠ C n δηλ. επαγωγέας µε επαγωγή L ΥΠ '. ω CΥΠ C n Αντίστοιχα, ένας επαγωγέας L n του κανονικοποιηµένου ΒΠ µε µετασχηµατισµένη αντίσταση s n ω L, αποκτά αντίσταση CΥΠ L n n ', που είναι ένας s s ω CΥΠ L n πυκνωτής χωρητικότητος C ΥΠ ' ω CΥΠ L n Το κύκλωµα που προκύπτει µε τον τρόπο αυτό από το κανονικοποιηµένο ΒΠ, έχει ακόµα κανονικοποιηµένες τιµές αντιστάσεων R Sn και =. Αποκανονικοποιώντας για επιθυµητό επίπεδο φορτίου ΥΠ, βρίσκουµε τελικά ότι το κανονικοποιηµένο ΒΠ µετασχηµατίζεται σε υψιπερατό µε και ΥΠ αν ω CΥΠ. Οι αντιστάσεις του πολλαπλασιαστούν επί ΥΠ 2. Καθε επαγωγέας L n αντικατασταθεί µε πυκνωτή C ΥΠ ' ω CΥΠ R SΥΠ L n 3. Κάθε πυκνωτής του C n αντικατασταθεί µε πηνίο L ΥΠ ' ΥΠ ω CΥΠ C n Για να σχεδιάσουµε λοιπόν ένα υψιπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω CΥΠ, αρκεί να σχεδιάσουµε ένα κανονικοποιηµένο βαθυπερατό και να µετασχη- µατίσουµε τους πυκνωτές του σε επαγωγείς και τους επαγωγείς του σε πυκνωτές σύµφωνα µε τα παραπάνω. Η συνάρτηση µεταφοράς του τελικού αποκανονικοποιηµένου ΥΠ φίλτρου θα είναι φυσικά H ΥΠ 'H ΒΠn ω CΥΠ /s. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΠ-ΥΠ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΒΠ ΑΠΟΚΑΝΟΝΙ- ΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΥΠ R n * ΥΠ ω CΥΠ R SΥΠ L n ΥΠ ω CΥΠ C n -446-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.3 Να σχεδιαστεί υψιπερατό φίλτρο Chebyshev µε ίσους τερµατισµούς 600Ω που για συχνότητες µεγαλύτερες των 6KHz να έχει ενεργό εξασθένηση µικρότερη του 0.5 db ενώ για συχνότητες µικρότερες των 8KHz η ενεργός εξασθένηση να είναι τουλάχιστον 36 db. Αναγνωρίζοντας τις προδιαγραφές του ΥΠ φίλτρου βρίσκουµε: A max =0.5 db, A min =36 db, ω cυπ =2π6000 ω sυπ =2π8000, R s = =600Ω. Το κανονικοποιηµένο ΒΠ που πρέπει αρχικά να σχεδιαστεί θα έχει A max =0.5 db, A min =36 db, Ω CΒΠ =, Ω SΒΠ =Ω CΥΠ /Ω SΥΠ =2, R S = =. Αφού το φίλτρο προδιαγράφεται ότι πρέπει να έχει απόκριση Chebyshev, το κανονικοποιηµένο βαθυπερατό πρέπει να είναι του τύπου αυτού. Από την σχέση που δίνει την τάξη της προσέγγισης Chebyshev ή από το νοµόγραµµα Kawakami βρίσκουµε ότι η τάξη του κανονικοποιηµένου ΒΠ θα πρέπει να είναι n=5. Για n=5, το κανονικοποιηµένο ΒΠ θα είναι αυτό του εποµένου σχήµατος µε τις τιµές που παίρνουµε από τον πίνακα. n R S C L 2 C 3 L 4 C 5 5.8068.3025 2.694.3025.8068 και πολλαπλασιάζουµε φυσικά επί Ω d, που υπολογίζεται Ω d '0.94406. Κανονικοποιηµένο ΒΠ Πάνω στο κανονικοποιηµένο αυτό ΒΠ εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ- ΥΠ, όπως περιγράφτηκε και τελικά παίρνουµε το αποκανονικοποιηµένο ΥΠ του εποµένου σχήµατος. Στο επόµενο σχήµα φαίνεται η πλήρης απόκριση και η απόκριση στη ζώνη διέλευσης του κυκλώµατος αυτού από το PSpice, που επιβεβαιώνoυν την σχεδίαση. -447-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8.5.2 Σχεδίαση παθητικών ζωνοδιαβατών φίλτρων Στο κεφάλαιο 6 (εδάφιο 6.4), είδαµε ότι ο µετασχηµατισµός συχνότητος s : BW s% ω 2 o s µετατρέπει τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ΒΠ φίλτρου σε προδιαγραφές ΖΔ φίλτρου και την συνάρτηση µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου σε συνάρτηση µεταφοράς ΖΔ φίλτρου. ΣΧΗΜΑ 8.30 Συγκεκριµένα, αν το ΒΠ φίλτρο έχει τις προδιαγραφές του σχήµατος 8.30α, ο µετασχηµατισµός θα οδηγήσει στις προδιαγραφές του ΖΔ φίλτρου, του σχήµατος 8.30β, µε: -448-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ω C ω C2 'ω S ω S2 'ω 2 ο ω C2 &ω C 'BW ω S2 &ω S 'Ω S BW'BW S Η ω ο είναι ο γεωµετρικός µέσος των ω C, ω C2 και των ω S, ω S2. To BW ονοµάζεται εύρος ζώνης διέλευσης και η ω ο κεντρική συχνότητα του ΖΔ φίλτρου. Οι συχνότητες υπολογίζονται από τα σχετικά εύρη από τις παρακάτω σχέσεις: ω C '& BW 2 % BW 2 2 %ω 2 0 ω C2 '% BW 2 % BW 2 2 %ω 2 0 ω S '& BW S 2 % BW S 2 2 %ω 2 0 ω S2 '% BW S 2 % BW S 2 2 %ω 2 0 Ο µετασχηµατισµός, ως µετασχηµατισµός συχνότητας, δεν επηρεάζει τα A max και A min, ούτε τους τερµατισµούς R S και. Οι προδιαγραφές ΖΔ φίλτρου που προκύπτουν µε τον µετασχηµατισµό είναι συµµετρικές µε ίση ελάχιστη επιτρεπό- µενη εξασθένηση και στις δύο ζώνες αποκοπής. Ο µετασχηµατισµός αυτός ΒΠ-ΖΔ, υποδεικνύει την µέθοδο σχεδίασης ενός ΖΔ φίλτρου αν δίνονται οι προδιαγραφές του:. Με δεδοµένες τις προδιαγραφές του ΖΔ φίλτρου (σχήµα 8.3α), υπολογίζουµε τα BW και BW S για συµµετρικές προδιαγραφές. Αν στις δύο ζώνες αποκοπής δεν προβλέπονται ίσα A min, τα εξισώνουµε προς το µεγαλύτερο. Η συµµετρικοποίηση κάνει τις προδιαγραφές αυστηρότερες. 2. Σχεδιάζουµε ένα κανονικοποιηµένο ΒΠ φίλτρο µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 8.3β. ΣΧΗΜΑ 8.3 3. Εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΖΔ απευθείας στα L και C του κανονικοποιηµένου ΒΠ και κλιµακώνουµε τις αντιστάσεις µε ΖΔ. -449-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Αν η συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΒΠ είναι H ΒΠn (s), τότε η συνάρτηση µεταφοράς του ζωνοδιαβατού θα είναι : H ΖΔ (s)'h BΠn s 2 %ω 2 o s@bw Εφαρµογή του µετασχηµατισµού συχνότητας ΒΠ-ΖΔ στους επαγωγείς και τους πυκνωτές τα µετασχηµατίζει ως εξής (µε δείκτη n σηµειώνουµε τα στοιχεία του κανονικοποιηµένου βαθυπερατού φίλτρου):. Ενας πυκνωτής C n του βαθυπερατού µε αγωγιµότητα s n C n, µε τον µετασχηµα τισµό s : s 2 %ω 2 o C, αποκτά αγωγιµότητα n (s 2 %ω 2 o ), sbw sbw ' % C n BW BW s s ω 2 0 C n γίνεται δηλ. ένας επαγωγέας µε επαγωγή L ΖΔ ' BW ω 2 o C n παράλληλα µε έναν πυκνωτή C ΖΔ ' C n. BW 2. Αντίστοιχα, ένας επαγωγέας L n του κανονικοποιηµένου ΒΠ που έχει αντίσταση (s 2 %ω 2 o s n L n, αποκτά αντίσταση )L n, που είναι ένας πυκνωτής sbw ' L n BW s% ω 2 0 L n s@bw χωρητικότητος C ΖΔ ' BW σε σειρά µε έναν επαγωγέα L. ω 2 o L ΖΔ ' L n BW n Το ΖΔ κύκλωµα που προκύπτει µε τον τρόπο αυτό από το κανονικοποιηµένο ΒΠ, έχει ακόµα κανονικοποιηµένες τιµές αντιστάσεων R Sn και =. Αποκανονικοποιώντας για επιθυµητό επίπεδο φορτίου ΖΔ, βρίσκουµε τελικά ότι το κανονικοποιηµένο ΒΠ µετασχηµατίζεται σε ΖΔ µε, BW και ΖΔ αν: Οι αντιστάσεις του πολλαπλασιαστούν επί ΖΔ Καθε επαγγέας L n αντικατασταθεί µε ένα συντονιζόµενο κύκλωµα σειράς µε ω ο -450-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ πυκνωτή BW C ΖΔ ' ω 2 o ΖΔ L n στη σειρά µε επαγωγέα L ΖΔ ' L n ΖΔ BW Κάθε πυκνωτής του C n αντικατασταθεί µε ένα παράλληλο συντονιζόµενο C κύκλωµα µε πυκνωτή C ΖΔ ' n παράλληλα µε επαγωγέα L BWR ΖΔ ' ΖΔ BW LΖΔ ω 2 o C n ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΠ-ΖΔ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΒΠ ΑΠΟΚΑΝ. ΖΔ R n * ΖΔ L n ΖΔ BW BW ω 2 o ΖΔ L n C n BWΖΔ ΖΔ BW ω 2 o C n ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.4 Να σχεδιαστεί παθητικό ζωνοδιαβατό φίλτρο µε κεντρική συχνότητα 0 KHz, εύρος ζώνης διέλευσης 2 KHz και απόκριση Butterworth. Το φίλτρο λειτουργεί µεταξύ φορτίου 300Ω και πηγής 600Ω, η µέγιστη επιτρεπόµενη ενεργός εξασθένηση στη ζώνη διέλευσης 0.5 db ενώ η ελάχιστη εξασθένηση στις ζώνες αποκοπης, των οποίων οι οριακές συχνότητες απέχουν κατά 8 KHz είναι τουλάχιστον 25 db. Αναγνωρίζουµε τις προδιαγραφές του ΖΔ φίλτρου: R S =600Ω, =300Ω ω 0 =(ω C ω C2 ) 0.5 =2π0955.4 A max =0.5 db, A min =25 db BW C =ω C2 -ω C =2π2000 BW S =ω S2 -ω S =2π8000 Από τις προδιαγραφές αυτές µπορούµε να προσδιορίσουµε το κανονικοποιηµένο ΒΠ που πρέπει να σχεδιάσουµε και µετά να το µετατρέψουµε σε ΖΔ. Συγκεκριµένα, το κανονικοποιηµένο ΒΠ θα έχει A max =0.5 db, A min =25 db, Ω CΒΠ =, Ω SΒΠ =BW S /BW C =4, R S =2, =. Αφού το ΖΔ φίλτρο πρέπει να έχει απόκριση Butterworth, το κανονικοποιηµένο βαθυπερατό πρέπει να έχει και αυτό απόκριση Butterworth. Από τον σχετικό τύπο ή το νοµόγραµµα Kawakami βρίσκουµε ότι η τάξη του ΒΠ θα πρέπει να είναι n=3. -45-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ n R S C L 2 C 3 L 4 2 0,9 0,8082,6332,5994 0,8 0,8442,384,9259 3 0,7 0,952,652 2,2774 0,6,0225 0,965 2,7024 0,5,8 0,7789 3,262 0, 5,672 0,377 5,4554 INF,5,3333 0,5 Για n=3 το κανονικοποιηµένο ΒΠ θα είναι αυτό του παρακάτω σχήµατος (α) µε τις τιµές όπως προκύπτουν από τους πίνακες Butterworth για /R S =0.5 (αφού οι πίνακες δεν έχουν την τιµή R s =2), µετά από το πολλαπλασιασµό τους επί β 3 ' 0 0.5 0 & 3 '0.7043267. Πάνω στο κανονικοποιηµένο αυτό ΒΠ εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΖΔ και παίρνουµε το αποκανονικοποιηµένο ΖΔ του σχήµατος (β). Η απόκριση του φίλτρου από το PSpice φαίνεται στα σχήµατα που ακολουθούν. -452-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.5 Ενα ζωνοδιαβατό φίλτρο απαιτείται για να περάσει µια ζώνη εύρους 20 ΚHz µε κεντρική συχνότητα 00ΚHz και εξασθένηση όχι µεγαλύτερη από db. Επιπροσθέτως η εξασθένηση έξω από µια ζώνη εύρους 50ΚHz µε την ίδια κεντρική συχνότητα θα πρέπει να ξεπερνάει τα 30 db. Το φίλτρο θα λειτουργήσει µεταξύ ίσων τερµατισµών ΚΩ. Αναγνωρίζοντας τις προδιαγραφές βρίσκουµε: A max = db, A min =30dB R s = =000Ω, BW=2π20000, BW S =2π50000 και ω o =2π00000. Το κανονικοποιηµένο ΒΠ που θα χρησιµοποιηθεί θα έχει A max = db, A min =30dB, R S = =, Ω C =, Ω S =BW S /BW=2.5 Από τα σχετικά νοµµογράµµατα βρίσκουµε ότι αν χρησιµοποιηθεί φίλτρο Chebyshev θα είναι τάξης 4 ενώ το Butterworth θα είναι τάξης 5. Επειδή όµως δεν υπάρχουν φίλτρα Chebyshev άρτιας τάξης µε ίσους τερµατισµούς, θα πρέπει και το φίλτρο Chebyshev να γίνει 5ης τάξης. Έχουµε όµως πίνακες για Chebyshev µε κυµάτωση db; Δεν έχουµε (αυτό δεν σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν!) και θα πρέπει να σχεδιάσουµε το φίλτρο αναλυτικά. Για ποιό λόγο όµως να καταβάλλουµε πρόσθετη σχεδιαστική προσπάθεια όταν δεν χρειαζόµαστε κανένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό Chebyshev και δεν εξοικονοµούµε τίποτα αφού και αυτό θα είναι 5ης τάξης; Προχωρούµε λοιπόν στη σχεδίαση φίλτρου Butterworth µε n=5. Τα στοιχεία του κανονικοποιηµένου ΒΠ θα είναι από τους πίνακες: R s = = C =C 5 =0.680 C 3 =2 και L 2 =L 4 =.680 Μετά από τον πολλαπλασιασµό τους επί β n ' 0.050885 5 ' 0.8736, οι τελικές τιµές των στοιχείων του κανονικοποιηµένου ΒΠ είναι: R s = = C =C 5 =0.5399 C 3 =.7472 και L 2 =L 4 =.435-453-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΖΔ στο ΒΠ φίλτρο βρίσκουµε το ζωνοδιαβατό του σχήµατος µε: C B =C 5B =4.3 nf L B =L 5B =590 µh C 2B =C 4B =225 pf L 2B =L 4B =.2 mh C 3B =3.9 nf L 3B =82.2 µη ΣΧΗΜΑ 8.32 8.5.3 Σχεδίαση παθητικών φίλτρων Αποκοπής Ζώνης (ΑΖ) Είδαµε στο κεφάλαιο 6 (εδάφιο 6.5), ότι ο µετασχηµατισµός συχνότητος s : sbw s 2 %ω 2 o µετατρέπει τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ΒΠ φίλτρου σε προδιαγραφές φίλτρου αποκοπής ζώνης (ΑΖ) και την συνάρτηση µεταφοράς ενός κανονικοποιηµένου ΒΠ φίλτρου σε συνάρτηση µεταφοράς ΑΖ. Συγκεκριµένα, αν το ΒΠ φίλτρο έχει τις προδιαγραφές του σχήµατος 8.33α, ο µετασχηµατισµός θα οδηγήσει στις προδιαγραφές του φίλτρου ΑΖ, του σχήµατος 8.33β. ΣΧΗΜΑ 8.33-454-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η µορφή του µετασχηµατισµού επιβάλλει τις εξής σχέσεις: ω C ω C2 'ω S ω S2 'ω 2 ο ω S2 &ω S ' BW Ω S ω C2 &ω C 'BW Η ω ο δηλ. είναι και στην περίπτωση αυτή ο γεωµετρικός µέσος των ω C, ω C2 και των ω S, ω S2. To BW S ονοµάζεται εύρος ζώνης αποκοπής και η ω ο, κεντρική συχνότητα του φίλτρου ΑΖ. Οι προδιαγραφές φίλτρου ΑΖ που προκύπτουν µε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΑΖ είναι κατά την έννοια αυτή συµµετρικές αλλά έχουν συµµετρία και στα χαρακτηριστικά πλάτους αφού διατηρούν τα Η ο και Η C στις δύο ζώνες διέλευσης. Ο µετασχηµατισµός αυτός ΒΠ-ΑΖ, υποδεικνύει την µέθοδο σχεδίασης ενός φίλτρου ΑΖ από τις προδιαγραφές του (σχήµα 8.34α): ΣΧΗΜΑ 8.34. Με δεδοµένες τις προδιαγραφές του φίλτρου ΑΖ, τις συµµετρικοποιούµε. Η συµµετρικοποίηση κάνει τις προδιαγραφές αυστηρότερες. Προσοχή απαιτείται στον προσδιορισµό του εύρους BW'ω C2 &ω C, βάσει του οποίου γίνεται ο µετασχηµατισµός 2. Σχεδιάζουµε ένα κανονικοποιηµένο ΒΠ φίλτρο µε τις προδιαγραφές του σχήµατος 8.34β. 3. Εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-AZ απευθείας στα πηνία και τους πυκνωτές του κανονικοποιηµένου ΒΠ και κλιµακώνουµε τις αντιστάσεις µε AZ. Αν η συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου ΒΠ είναι H ΒΠn (s), τότε η συνάρτηση µεταφοράς του ζωνοδιαβατού θα είναι : -455-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ H ΑΖ (s)'h BΠn sbw s 2 %ω 2 o Εφαρµογή του µετασχηµατισµού συχνότητας ΒΠ-AΖ στα πηνία και τους πυκνωτές του κανονικοποιηµένου ΒΠ, τα µετασχηµατίζει ως εξής (µε δείκτη n σηµειώνουµε τα στοιχεία του κανονικοποιηµένου βαθυπερατού φίλτρου): Ενα πηνίο L n του βαθυπερατού µε αγωγιµότητα, µε τον µετασχηµατισµό s n L n s n : sbw (s 2 %ω 2 o, αποκτά αγωγιµότητα ), γίνεται s 2 %ω 2 sl o n BW ' % L n BW L s n BW s δηλ. ένας πυκνωτής µε C ΑΖ ' παράλληλα µε ένα πηνίο L. L n BW AΖ ' L n BW Αντίστοιχα, ένας πυκνωτής C n του κανονικοποιηµένου ΒΠ που έχει αντίσταση (s 2 %ω 2 o, αποκτά αντίσταση ) 2 ', που είναι ένας s n C n sbwc n C n BW s% ωo sc n BW πυκνωτής χωρητικότητος C ΑΖ ' C n BW στη σειρά µε ένα πηνίο L AΖ '. C n BW ω 2 o ω 2 o ω 2 o Το κύκλωµα ΑΖ που προκύπτει µε τον τρόπο αυτό από το κανονικοποιηµένο ΒΠ, έχει ακόµα κανονικοποιηµένες τιµές αντιστάσεων R Sn και =. Αποκανονικοποιώντας για επιθυµητό επίπεδο φορτίου ΑΖ, βρίσκουµε τελικά ότι το κανονικοποιηµένο ΒΠ µετασχηµατίζεται σε ΑΖ µε, BW και ΑΖ αν Οι αντιστάσεις του πολλαπλασιαστούν επί ΑΖ Καθε πηνίο επαγωγής L n αντικατασταθεί µε ένα παράλληλο συντονιζόµενο κύκλωµα µε C ΑΖ ' παράλληλα µε ένα πηνίο L. L n AZ BW AΖ ' L n AZ BW Κάθε πυκνωτής C n αντικατασταθεί µε ένα συντονιζόµενο κύκλωµα σειράς µε C ΑΖ ' C n BW σε σειρά µε ένα πηνίο L. ω 2 o R AΖ ' AZ C LAZ n BW ω ο ω 2 o -456-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΒΠ-ΑΖ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΒΠ ΑΠΟΚΑΝ. ΑΖ R n * ΑΖ L n AZ BW L n AZ BW ω 2 o AZ C n BW C n BW ω 2 o AZ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.6 Να σχεδιαστεί φίλτρο αποκοπής ζώνης µε απόκριση Chebyshev που λειτουργεί µεταξύ ίσων τερµατισµών 000Ω, που κόβει τις µεταξύ και 2.05 KHz συχνότητες µε εξασθένηση το τουλάχιστον 30 db ενώ περνάει τις µικρότερες των 500Hz και τις µεγαλύτερες των 4000 Hz µε εξασθένηση το πολύ 0.5 db. Αναγνωρίζοντας τις προδιαγραφές του φίλτρου ΑΖ βρίσκουµε: A max =0.5 db, A min =30 db, ω C =2π500, ω C2 =2π4000, ω S =2π000, ω S2 =2π2050, R S =000Ω, =000Ω BW=ω C2 -ω C = 2π 3500 ω 0 =(ω C ω C2 ) 0.5 =2π44.2 ω S =2π000 ω S2 ' ω2 o ' (2π@44.2)2 '2π@999.96 ω S 2π@000 και εποµένως BW S = 2π 999.96. Από τις προδιαγραφές αυτές µπορούµε να προσδιορίσουµε το κανονικοποιηµένο ΒΠ που πρέπει να σχεδιάσουµε και µετά να το µετατρέψουµε σε AZ. Συγκεκριµένα, το κανονικοποιηµένο ΒΠ θα έχει A max =0.5 db, A min =30 db, Ω cβπ =, Ω sβπ =BW/BW S =3.5, R S = = Αφού το AΖ φίλτρο ζητιέται να έχει απόκριση Chebyshev, το κανονικοποιηµένο βαθυπερατό πρέπει να είναι του τύπου αυτού. Από το νοµόγραµµα Kawakami βρίσκουµε ότι η τάξη του ΒΠ θα πρέπει να είναι n=3. Για n=3 το κανονικοποιηµένο ΒΠ θα είναι αυτό του παρακάτω σχήµατος µε τις τιµές όπως προκύπτουν από τους πίνακες Chebyshev µετά από τον πολλαπλασιασµό τους επί τον παράγοντα Ω C. -457-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Στην συγκεκριµένη περίπτωση χρησιµοποιούµε τους πίνακες προτύπων φίλτρων Chebyshev που τυχαίνει να υπάρχουν για A max =0.5 db. Αν είχαµε όµως π.χ. A max =0.63 db, θα έπρεπε να χρησιµοποιήσουµε άλλη µέθοδο υπολογισµού των τιµών των στοιχείων. Πάνω στο κανονικοποιηµένο αυτό ΒΠ εφαρµόζουµε τον µετασχηµατισµό ΒΠ-AZ και παίρνουµε το αποκανονικοποιηµένο AZ του σχήµατος. ΣΧΗΜΑ 8.35 Η συνολική εξασθένηση καθώς και σε λεπτοµέρεια οι ζώνες διέλευσης του τελικού κυκλώµατος φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. -458-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.7 Να σχεδιαστεί φίλτρο ΑΖ µε κεντρική συχνότητα 20 KHz και απόκριση Butterworth. Οι συχνότητες στις οποίες η εξασθένηση γίνεται 3 db δεν πρέπει να απέχουν περισσότερο από 0KHz ενώ οι συχνότητες εξασθένησης 60 db να µην απέχουν περισσότερο από KHz. Το φίλτρο θα λειτουργήσει µεταξύ πηγής 500Ω και φορτίου 000Ω. Αναγνωρίζοντας τις προδιαγραφές βρίσκουµε: A max =3 db, A min =60dB R S =500Ω, =000Ω, BW=2π0000, BW S =2π000 και ω o =4π0000. Το κανονικοποιηµένο ΒΠ που θα χρησιµοποιηθεί θα έχει A max =3 db, A min =60dB R S =0.5, =, Ω c =, και Ω S =BW/BW S =0 Από τα σχετικά νοµογράµµατα Butterworth βρίσκουµε ότι το φίλτρο θα είναι τάξης 3. Προχωρούµε λοιπόν στη σχεδίαση φίλτρου Butterworth µε n=3. Τα στοιχεία του κανονικοποιηµένου ΒΠ θα είναι από τους πίνακες: R S =0.5, =, C =.8, L 2 =0.7789, C 3 =3.262 Οι τιµές δεν χρειάζονται πολλαπλασιασµό επί, αφού για A max =3 db το β=. Εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό ΒΠ-ΑΖ στο ΒΠ φίλτρο βρίσκουµε το ΑΖ του σχήµατος. 3 β ΣΧΗΜΑ 8.36 Οι τιµές των στοιχείων είναι: C B =4.7nF L B =3.5mH C 2B =20.4nF L 2B =3.m C 3B =2.9nF L 3B =4.9mΗ Η καµπύλη εξασθένησης του τελικού φίλτρου ΑΖ φαίνεται παρακάτω µαζί µε την λεπτοµερή παράσταση της εξασθένησης στις ζώνες διέλευσης. -459-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8.5.4 Μη συµµετρικές (ασύµµετρες) προδιαγραφές ΖΔ και ΑΖ Τόσο τα ΖΔ όσο και τα φίλτρα ΑΖ που σχεδιάζονται µε µετασχηµατισµούς φίλτρων χαρακτηρίζονται από γεωµετρική συµµετρία στην κεντρική συχνότητα. Συγκεκριµένα η κεντρική συχνότητα των ΖΔ φίλτρων είναι ο γεωµετρικός µέσος των ω C και ω C2 καθώς και των ω S και ω S2 : ω C ω C2 ' ω S ω S2 ' ω 2 o Συνήθως οι προδιαγραφές δεν είναι αυστηρές στις οριακές συχνότητες ω C, ω C2, ω S και ω S2 αλλά στην ω ο και το σχετικό εύρος ζώνης ενδιαφέροντος (διέλευσης για τα ΖΔ, αποκοπής για τα ΑΖ). Έτσι συνήθως δίνεται η ω ο και το αντίστοιχο εύρος ενδιαφέροντος, το δε άλλο εύρος ζώνης περιγράφεται πιο χαλαρά. Αν όµως οι προδιαγραφές δοθούν µε τα όρια των ζωνών, µπορεί να µην παρουσιάζουν την αναµενόµενη γεωµετρική συµµετρία ω C ω C2 'ω S ω S2 'ω 2 o. Αν δίνεται για παράδειγµα η ω C και ω C2 σε ένα ΖΔ φίλτρο, ορίζεται αµέσως η κεντρική συχνότητα. Αν δίνονται -460-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ και οι ω S και ω S2 και αυτές δεν έχουν σαν γεωµετρικό µέσο την κεντρική συχνότητα, τότε στον προσδιορισµό του Ω S του αντίστοιχου κανονικοποιηµένου βαθυπερατού δεν χρησιµοποιούµε την BW S =ω S2 -ω S αλλά BW S ' ω2 o &ω2 S ω S όταν ω S ω S2 >ω 2 o BW S ' ω2 S2 &ω2 o όταν ω ω S ω S2 <ω 2 o S2 Τα φίλτρα που προκύπτουν έτσι πληρούν τις προδιαγραφές στη ζώνη διέλευσης και τις υπερκαλύπτουν στις ζώνες αποκοπής. Τα ΖΔ και ΑΖ φίλτρα που προέρχονται από µετασχηµατισµούς συχνότητος παρουσιάζουν και συµµετρική εξασθένηση. Οι ελάχιστες επιτρεπόµενες εξασθενήσεις στις ζώνες αποκοπής ΖΔ είναι ίσες, όπως ίσες είναι και οι µέγιστες επιτρεπόµενες εξασθενήσεις στις ζώνες διέλευσης των φίλτρων ΑΖ. Αν οι προδιαγραφές ζητούν άνισες οριακές εξασθενήσεις, τότε σχεδιάζεται φίλτρο µε συµµετρικές προδιαγραφές που να καλύπτουν την αυστηρότερη ζώνη, όπως φαίνεται στο σχήµα 8.37α και 8.37β. ΣΧΗΜΑ 8.37α ΣΧΗΜΑ 8.37β -46-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΒΠ ΑΠΟΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΥΠ Rn * ΥΠ ω CΥΠ R SΥΠ L n ΖΔ Rn * ΖΔ L n ΖΔ BW ΑΖ Rn * ΑΖ L n AZ BW BW ω 2 o ΖΔ L n L n AZ BW ω 2 o C n BWΖΔ AZ C n BW ΥΠ ω CΥΠ C n R BW LΖΔ ω 2 o C n C n BW ω 2 o AZ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.8 Να σχεδιαστεί ΖΔ φίλτρο µε A max =0.5 db, A min =30 db R S = =600 Ω, f C =5 khz, f C2 =8 khz, f S =4 khz και f S2 = khz. Η κεντρική συχνότητα του φίλτρου θα είναι επειδή το γινόµενο, θα χρησιµοποιήσουµε το εύρος ω S ω S2 >ω 2 o BW S ' ω2 o &ω2 S ω S '...'2π@6@0 3 ω 2 o '4π2 @5000@8000'6π 2 @0 7 και για τον προσδιορισµό του Ω S του κανονικοποιηµένου ΒΠ που θα έχει τις εξής προδιαγραφές: A max =0.5dB, A min =30dB, Ω c =, Ω s =BW s /BW c =2 Αν σχεδιάσουµε το βαθυπερατό τύπου Chebyshev, η τάξη του βρίσκεται να είναι n=3. Μετά ακολουθούµε κανονικά την διαδικασία του µετασχηµατισµού ΒΠ-ΖΔ. -462-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 8.6 Η ελλειπτική προσέγγιση στα παθητικά φίλτρα Η ελλειπτική προσέγγιση (ή προσέγγιση cauer), προσεγγίζει τις προδιαγραφές µε ισοκυµάτωση τόσο στη ζώνη διέλευσης, όσο και στη ζώνη αποκοπής, όπως δείχνει το σχήµα 8.38. ΣΧΗΜΑ 8.38 Η προσέγγιση έχει παρουσιαστεί αναλυτικά στο κεφάλαιο 5 και εδώ θα παρουσιαστεί κυρίως ο τρόπος µε τον οποίο χρησιµοποιείται στην σχεδίαση παθητικών φίλτρων. Με δεδοµένες τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης του παθητικού βαθυπερατού φίλτρου {Α max A min Ω S R S και =} αναζητείται και πάλι µια συνάρτηση µεταφοράς H(s), της οποίας η αντίστοιχη συνάρτηση ενεργού εξασθένησης Α(Ω) θα τις ικανοποιεί. Η ελλειπτική προσέγγιση στα παθητικά φίλτρα είναι της µορφής: A(Ω)'A K %20log %ε 2 R 2 n (Ω,Ω S ) µε Α K ' A o A o &20log %ε 2 όταν n περιττό όταν n άρτιο (8.33) και Α ο '20log R S % 2 R S Η R n (Ω, Ω S ) είναι η ρητή ελλειπτική συνάρτηση ταξης n, όπως ορίστηκε στο κεφάλαιο 5, σχέση 5.22, και ε είναι ο συντελεστής κυµάτωσης: -463-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ R n (Ω,Ω S )'A(n,Ω S ) Ω λ (Ω 2 &Ω 2 z )(Ω2 &Ω 2 z2 )...(Ω2 &Ω 2 zn2 ) Ω 2 & Ω2 S Ω 2 z Ω 2 & Ω2 S Ω 2 z2... Ω 2 & Ω2 S Ω 2 zn2 ή N2 R n (Ω,Ω S )'A(n,Ω S )Ω λ k k' Ω 2 &Ω 2 zk Ω 2 & Ω2 S Ω 2 zk (8.34) λ' µε Ω zk 'sn 2k& n % K /Ω s,/ω S για k',2,...n2 και για n περιττό 0 για n άρτιο A(n,Ω S )' k N2 k' & Ω S /Ω zk 2 &Ω 2 zk ώστε R n (,Ω S )' Στις παραπάνω σχέσεις ορισµού της R n (Ω, Ω S ), τα λ, Ν2 και K(x) είναι: π/2 N2' n&λ 2 'trunc(n/2) και K(x)' m 0 dθ &x 2 sin 2 (θ) Επειδή για Ω από 0 έως η R 2 n (Ω, Ω S ) έχει ιδιότητες ανάλογες µε αυτές του C 2 n (Ω)της προσέγγισης Chebyshev, στη ζώνη διέλευσης υπάρχει πλήρης αναλογία. Συγκεκριµένα, από τις ιδιότητες της ρητής ελλειπτικής συνάρτησης (βλέπε κεφάλαιο 5, εδάφιο 5.2.2) γνωρίζουµε ότι: R 2 n (0,Ω S )' 0 για n περιττό και R 2 n για n άρτιο (,Ω για n περιττό S )' για n άρτιο Εποµένως A()' A ο %20log %ε2 για n περιττό A ο για n άρτιο A(0)'A ο για n'άρτιο ή περιττό Γνωρίζουµε επίσης από το εδάφιο 5.2.2 ότι για 0#Ω #, το R 2 n (Ω,Ω S ) παίρνει τιµές µεταξύ 0 και και εποµένως στο ίδιο πεδίο τιµών η Α(Ω) παίρνει τιµές από Α ο έως A ο %20log %ε 2 όταν το n είναι περιττό και από Α ο έως A ο &20log %ε 2 όταν το n είναι άρτιο. -464-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Το σχήµα 8.39 δείχνει την γραφική παράσταση της Α(Ω) στη ζώνη διέλευσης για ένα άρτιο και ένα περιττό n. Αξίζει να σηµειωθεί ότι για Ω=0 υπάρχει ακρότατο (µηδενίζεται δηλ. η παράγωγος της Α(Ω)) και ότι το πλήθος των ακροτάτων στο διάστηµα 0 - είναι ίσο µε την τάξη n της προσέγγισης. ΣΧΗΜΑ 8.39 Για τους νοσταλγούς των προδιαγραφών µε απλό κέρδος παρατίθενται το παρακάτω σχήµα και η σχέση που συνδέει τις προδιαγραφές ενεργού εξασθένησης µε το απλό κέρδος. H C 'H o @0 & A max 20 H S 'H o @0 & A min 20 µε H ο ' για n περιττό R S % A R max L 20 0 για n άρτιο R S % Η εξίσωση τάξης της ελλειπτικής προσέγγισης (κεφάλαιο 5, σχέση 5.32) εµπλέκει το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωµα K(x) και δίνεται βάσει αυτού ως: -465-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ n$n MIN ' K /Ω 2 S @K &g K &(/Ω S ) 2 @K g (8.35) K(x)' m π/2 0 dθ &x 2 sin 2 (θ) όπου g' (H o /H C )2 & (H o /H S ) 2 & ' 0 A max 0 & A min 0 & << (8.36) Το n είναι ο µικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την 8.35. Για να τηρηθεί η προδιαγραφή µέγιστης επιτρεπόµενης ανοχής A max στη ζώνη διέλευσης, θα πρέπει φυσικά, από την οποία παίρνουµε ότι 20log %ε 2 # A max ε#ε max ' 0 A max 0 &. Την σχέση αυτή έχουµε συναντήσει και στο κεφάλαιο 5 (σχέση 5.44), όπου υπολογίστηκε επίσης και η ελάχιστη τιµή του ε µε αποτέλεσµα το πεδίο τιµών του συντελεστή κυµάτωσης (βλέπε σχέση 5.48) να είναι: A min 0 & 0 L(n, Ω s ) ' ε min # ε #ε max ' 0 A max 0 & (8.37α) ή H o /H 2 S & 'ε L(n,Ω S ) min # ε # ε max ' H o /H 2 C & (8.37β) Στις σχέσεις αυτές το L(n, Ω S )=R n (Ω S, Ω S ) είναι ο συντελεστής διάκρισης (discrimination factor). Αν η Α(Ω) παριστάνει την συνάρτηση ενεργού εξασθένησης ενός κανονικοποιηµένου βαθυπερατού παθητικού φίλτρου, θα πρέπει: -466-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ A(Ω)'A K %20log %ε 2 R 2 n (Ω, Ω S ) '20log 2 R S H(jΩ) (8.38α) Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι: H(jΩ) 2 ' H 2 ο %ε 2 R 2 n (Ω, Ω S ) µε H ο ' 0& 2 A K 20 R S ' R S % για n περιττό 0 & A max 20 R S % για n άρτιο (8.38β) Ο υπολογισµός της H(s) από την παραπάνω σχέση έχει γίνει στο κεφάλαιο 5 και έχουν υπολογιστεί οι πόλοι και τα µηδενικά της (εδάφιο 5.2.5). Έχοντας την H(s), µπορούµε να ακολουθήσουµε την διαδικασία υπολογισµού της ρ(s) και Z (s), η οποία όταν συντεθεί θα προκύψει ένα κλιµακωτό κύκλωµα εν γένει LCΜ. Όπως και στην προσέγγιση Chebyshev, για τον προσδιορισµό της συνάρτησης ρ(s)ρ(-s), που είναι απαραίτητη για τον υπολογισµό της ρ(s) ώστε από αυτήν να υπολογιστεί η Z (s), δεν απαιτείται ο υπολογισµός της συνάρτησης µεταφοράς αφού: ρ(s) ρ(&s)'& 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 '& 4R S H 2 Cho %ε 2 R 2 n (Ω,Ω S ) Ω 2 '&s 2 (8.38γ) Η ρητή ελλειπτική συνάρτηση R n (Ω, Ω S ) πρέπει φυσικά να έχει υπολογιστεί από την 5.22 του κεφαλαίου 5 που επαναλαµβάνεται παραπάνω ως 8.34. Όταν η τάξη n είναι περιττή, τότε προκύπτουν LC κλιµακωτά φίλτρα µε n κλάδους. Οι κλάδοι σειράς θα είναι επαγωγείς και οι παράλληλοι κλάδοι, κυκλώµατα LC σειράς. Τα συντονιζόµενα κυκλώµατα LC σειράς υλοποιούν τα trunc(n/2) µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς. Το σχήµα 8.40 δείχνει τα παθητικά ελλειπτικά φίλτρα για n=3, 5 και 7. -467-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΗΜΑ 8.40 Η εναλλακτική τοπολογία είναι η δυϊκή της παραπάνω µε τους παράλληλους κλάδους να είναι πυκνωτές και τους κλάδους σειράς παράλληλα κυκλώµατα LC, όπως δείχνει το σχήµα 8.4. ΣΧΗΜΑ 8.4 Τα συντονιζόµενα κυκλώµατα και στις δύο περιπτώσεις υλοποιούν τα trunc(n/2) µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς. Οι συχνότητες συντονισµού δηλ. των συντονιζόµενων κυκλωµάτων ταυτίζονται µε τα µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς (µηδενικά µετάδοσης), που είδαµε στο κεφάλαιο 5 ότι το πλήθος τους είναι trunc(n/2). Όταν η τάξη n είναι άρτια, τα συγκεκριµένα ελλειπτικά φίλτρα τύπου-α, δεν είναι δυνατόν να πραγµατοποιηθούν χωρίς µετασχηµατιστές, που εµφανίζονται κατά την σύνθεση µε την µέθοδο Brune (βλέπε παράρτηµα Β), σε κάθε κύκλο. Για το λόγο αυτό, όταν προκύπτει άρτια τάξη n συµφέρει από κάθε άποψη, προκειµένου να αποφευχθούν οι µετασχηµατιστές, να πάρει κανείς την επόµενη περιττή τάξη n+. -468-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 8.6. Η ιδιαιτερότητα της άρτιας τάξης n Η άρτια τάξη δηµιουργεί αρκετές δυσκολίες και στα παθητικά ελλειπτικά φίλτρα. Πρώτον, οδηγεί σε ελλειπτικά φίλτρα τύπου-α µε µετασχηµατιστές. Δεύτερον, πρέπει κανείς να είναι προσεκτικός µε τις υπόλοιπες ιδιαιτερότητες, που είναι ανάλογες µε αυτές της άρτιας προσέγγισης Chebyshev. P max Υπενθυµίζεται ότι η ενεργός εξασθένηση A(Ω)'0log, είναι πάντα µη αρνητική, αφού η καταναλισκόµενη στο φορτίο ισχύς είναι το πολύ ίση µε Ρ max. Έτσι για περιττά n, δεν υπάρχει κανένας περιορισµός στο µέγεθος της κυµάτωσης και στην προδιαγραφή A max, αφού η κυµάτωση συµβαίνει πάνω από το µη αρνητικό Α ο. Αντίθετα, όταν το n υπολογιστεί να είναι άρτιο, υπάρχουν µερικές δυσκολίες. Στην περίπτωση π.χ. ίσων τερµατισµών R S =, το Α ο =0 και δεν υπάρχει η δυνατότητα του σχήµατος 8.39β, να περάσει δηλ. η εξασθένηση κάτω από το Α ο =0. Όταν το n υπολογίζεται άρτιο, είµαστε υποχρεωµένοι να αυξήσουµε την τάξη κατά, από n σε n+. Στην περίπτωση άνισων τερµατισµών R S (Α ο > 0), όταν υπολογίζεται άρτιο n, θα πρέπει: P 2 20log %ε 2 #A o '20log R s % 2 R s ] ε # ε ο µε ε ο ' (R s % )2 &' 0 A o /0 &' (R s & )2 ' R s & (8.39) 4R s 4R s 2 R s Ο συντελεστής κυµάτωσης ε βέβαια, πρέπει να είναι ε min # ε και εποµένως σύµφωνα µε την 8.37α θα πρέπει να επιλεγεί το ε από το παρακάτω πεδίο τιµών: ε min #ε#ε ο ] 0 A min /0 & L(n, Ω S ) #ε# 0 A o /0 & (8.40) όπου L(n, Ω S )'R n (Ω S, Ω S ) Αν δεν είναι δυνατόν να επιλέξουµε ε από την 8.40, τότε θα πρέπει η άρτια τάξη n να αυξηθεί στην περιττή n+. Η κατάσταση όταν η τάξη είναι άρτια είναι ανάλογη µε αυτήν της προσέγγισης Chebyshev, λόγω των ανάλογων ιδιοτήτων της R 2 n (Ω, Ω S ) µε αυτές του C 2 n (Ω). Συγκεκριµένα: -469-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Α. Όταν το n είναι περιττό Ο συντελεστής κυµάτωσης ε µπορεί να επιλεγεί από το πεδίο τιµών που καθορίζει η 8.37. Για ε=ε max, έχουµε µέγιστη κυµάτωση ίση µε Α max και Α(Ω S )>Α min. Για ε=ε min, έχουµε ελάχιστη κυµάτωση < Α max και Α(Ω S ) = Α min. Β. Όταν το n είναι άρτιο. Αν Α ο = 0, δηλαδή αν R S =, δεν υπάρχει ελλειπτικό φίλτρο άρτιας τάξης και πρέπει να αυξήσουµε το n κατά στο περιττό n+. 2. Αν Α ο > 0 (δηλαδή αν R S ) και Α max <Α ο προχωράµε κανονικά επιλέγοντας ε από την 8.37 περιµένοντας βέβαια την κυµάτωση κάτω από το Α ο, από Α ο µέχρι Α ο &20log %ε 2. 3. Αν Α ο > 0, δηλαδή αν R S, και Α max >Α ο τότε, αν µπορούµε, επιλέγουµε τον συντελεστή κυµάτωσης από την 8.40: ε min #ε#ε ο ] 0 A min /0 & R n (Ω s, Ω s ) #ε# 0 A o /0 & Και στην περίπτωση αυτή περιµένουµε κυµάτωση κάτω από το Α ο, από Α ο µέχρι Α ο &20log %ε 2. 4. Αν δεν είναι δυνατή η επιλογή του ε από την 8.40, επειδή 0 A o /0 &#ε min ' 0A min /0 & R n (Ω s, Ω s ) δεν υπάρχει ελλειπτικό άρτιας τάξης και πρέπει να αυξήσουµε το n κατά στο περιττό n+. Όταν σε κάθε περίπτωση έχουµε το n και το ε, η συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου παθητικού βαθυπερατού ελλειπτικού φίλτρου µπορεί, αν είναι απαραίτητο, να υπολογιστεί σύµφωνα µε τα εκτεθέντα στο εδάφιο 5.2.5 του κεφαλαίου 5. 8.6.3 Σύνθεση του ελλειπτικού παθητικού φίλτρου Όταν έχουµε προσδιορίσει τα ε και n καθώς και την ρητή ελλειπτική συνάρτηση R n (Ω, Ω S ), η συνάρτηση απλού κέρδους υπολογίζεται από την 8.38β: H 2 ο H(jΩ) 2 ' %ε 2 R 2 n (Ω, Ω S ) -470-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ µε H ο ' 0& 2 A K 20 R S ' R S % για n περιττό 0 & A max 20 R S % για n άρτιο Από την συνάρτηση κέρδους υπολογίζεται η ρ(s)(-s) από την 8.38γ: ρ(s) ρ(&s)'& 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 '& 4R S H 2 Cho %ε 2 R 2 n (Ω,Ω S ) Ω 2 '&s 2 Αν βέβαια έχει υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς H(s) σύµφωνα µε όσα εκτίθενται στο εδάφιο 5.2.5, µπορεί και πάλι να υπολογιστεί η ρ(s)(-s) από την παραπάνω σχέση, αφού H(s)H(&s)' H(jΩ) 2. Ω 2 '&s 2 Από την ρ(s)(-s) υπολογίζεται η ρ(s) και από αυτήν µέσω των σχέσεων 8.2, η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z (s) του κυκλώµατος: Z (s)'r S &ρ(s) %ρ(s) όταν R S > ή Z (s)'r S %ρ(s) &ρ(s) όταν R S < Από την Z (s), όπως ακριβώς και στις περιπτώσει των ολοπολικών προσεγγίσεων, συντίθεται το κύκλωµα µε τις κλασσικές µεθόδους σύνθεσης οδηγουσών συναρτήσεων του Παραρτήµατος Β. Στην περίπτωση των ελλειπτικών φίλτρων, λόγω των φανταστικών µηδενικών της H(s) δεν είναι δυνατή η σύνθεση της Z (s) µόνον µε διαδοχικές αποσπάσεις πόλων στο άπειρο, όπως στις ολοπολικές προσεγγίσεις, γιατί εµφανίζονται ενδιάµεσα ελάχιστες ΘΠ συναρτήσεις, οι οποίες απαιτούν σύνθεση µε κύκλο Brune. Τελικά, η Z (s) αποδεικνύεται ότι µπορεί να συντεθεί ως ένα τερµατισµένο µε την µη κανονικό κλιµακωτό δίθυρο LC µε παράλληλα συντονιζόµενα κυκλώµατα που υλοποιούν τα µηδενικά µετάδοσης, όπως έχει ήδη αναφερθεί (βλέπε σχήµατα 8.40 και 8.4 για n=περιττό). Στην περίπτωση που η τάξη είναι άρτια, εµφανίζονται και ιδανικοί µετασχηµατιστές και αν κανείς δεν το επιθυµεί, αρκεί να αυξήσει την τάξη κατά, από την άρτια n στην περιττή n+. Η όλη διαδικασία της σύνθεσης είναι τελείως ανάλογη µε τις άλλες προσεγγίσεις, µόνον πιο πολύπλοκη, λόγω κυρίως της δυσκολίας υπολογισµού της ρητής ελλειπτικής συνάρτησης R n (Ω, Ω S ). Ακολουθεί µια ενδεικτική εφαρµογή. -47-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 8.9 Σχεδιάστε παθητικό ελλειπτικό βαθυπερατό φίλτρο µε απόκριση Cauer µε τις εξής προδιαγραφές: Α max = 0.5 db A min =30 db ω C =2π2000 ω S =2π4000 R S =600 Ω και =200 Ω Οι κανονικοποιηµένες προδιαγραφές είναι Α max = 0.5 db A min = 30 db Ω C = Ω S = 2 R S = 0.5 και = Η τάξη της προσέγγισης υπολογίζεται από την σχέση 8.35 µε τη χρήση κάποιου µαθηµατικού προγράµµατος όπως το Mathcad ή το MATLAB και βρίσκουµε: n min =2.9384 και εποµένως n=3. Θα χρησιµοποιήσουµε τον µέγιστο συντελεστή κυµάτωσης που υπολογίζεται από την 8.37: ε =ε max = 0.3493. H ο ' ', R S % 0.5% ' 2 3 R n (Ω, Ω S )'R 3 (Ω,2)'&8.558954 Ω(Ω2 &0.8803084 2 ) Ω 2 &2.27006809 2 H(jΩ) 2 ' H 2 ο %ε 2 R 2 n (Ω, Ω S ) ' 4 9%9ε 2 R 2 n (Ω, Ω S ) Y H(jΩ) 2 4Ω ' 4 &4.225673Ω 2 %06.2222575 378.2465747785Ω 6 &578.20588Ω 4 %35.3967607Ω 2 %239.0000793378 Πριν συνεχίσουµε µε την σύνθεση, καλό είναι να ελέγξουµε την ορθότητα της συνάρτησης απλού κέρδους, σχεδιάζοντας την καµπύλη της ενεργού εξασθένησης A ell (Ω)'20log 2 R S H(jΩ) Το σχήµα, που παρήχθη µε το Mathcad, επιβεβαιώνει την ορθότητα της την οποία µπορεί να υπολογιστεί η ρ(s)ρ(-s): H(jΩ) από -472-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ ρ(s) ρ(&s)'& 4R S H(jΩ) 2 Ω 2 '&s 2 ' s 6 %.5497858s 4 %0.5752507s 2 &0.070237 s 6 %.5286265s 4 %0.357746s 2 &0.632330 Τελικά ρ(s)ρ(&s)' s 6 %.5497858s 4 %0.5752507s 2 &0.070237 s 6 %.5286265s 4 %0.357746s 2 &0.632330 Η ρ(s)ρ(-s) υπολογίζεται ότι έχει τους παρακάτω πόλους και µηδενικά: Αποδίδουµε όλους τους πόλους του αριστερού ηµιεπιπέδου στην ρ(s) και τους αντιθέτους τους, που είναι στο δεξί ηµιεπίπεδο, αφήνουµε για την ρ(-s). Για τον αριθµητή µπορούµε να πάρουµε τα µηδενικά του αριστερού ή του δεξιού ηµιεπιπέδου. Εδώ παίρνουµε τα µηδενικά του αριστερού ηµιεπιπέδου για την ρ(s)ρ(-s) µε αποτέλεσµα: Επειδή R S <, για τον υπολογισµό της οδηγούσας συνάρτησης Z (s), θα %ρ(s) χρησιµοποιήσουµε από τις 8.2 την Ζ (s)'r S, η οποία δίνει: &ρ(s) Γιά την σύνθεση της Ζ (s), παρατηρούµε ότι αφού η τάξη του αριθµητή είναι µεγαλύτερη αυτής του παρονοµαστή, είναι δυνατή η απόσπαση ενός πόλου στο άπειρο που ισοδυναµεί µε απόσπαση ενός επαγωγέα L '. 0.662455099 '.50953627 Η εναποµένουσα Ζ 2 (s) θα είναι: -473-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Z 2 (s)'z (s)&s@.50953627' 0.0597028s 2 %0.42836630s%0.5300453. 0.662455s 2 %0.584956s%0.5300453 Η Ζ 2 (s) είναι ελάχιστη ΘΠ και το πραγµατικό της µέρος Re[Z 2 (jω)] υπολογίζεται ότι µηδενίζεται για Ω =2.270068086, στην οποία Im[ Z 2 (jω)]= - 0.3372=X. Μπορεί εποµένως σύµφωνα µε την µέθοδο Brune, να αποσπαστεί ένας αρνητικός επαγωγέας L ' X Ω '&0.48546 και να αποµείνει η Z 3 (s)'z 2 (s)%s@0.48546' s 3 %.0452423s 2 %5.532086s%5.3863546 6.73947s 2 %5.943950s%5.3863546 Η Y 3 (s)' έχει ένα πραγµα- Z 3 (s) ' 6.73947s 2 %5.943950s%5.3863546 s 3 %.0452423s 2 %5.532086s%5.3863546 τικό πόλο s = -.04524277658 και ένα φανταστικό ζεύγος πόλων ± jω 2 µε ω 2 =2.270068, το οποίο µπορεί να αποσπαστεί ως ένα LC κύκλωµα σειράς µε L 2 ' C 2k 2 ' 2k 2 µε k 2 ω 2 '2.843334 και ω 2 '2.270068 2 L 2 '0.7585 C 2 '.0352 Το k 2 είναι το υπόλοιπο της Υ 3 (s) στον πόλο jω 2 (βλέπε παράρτηµα Β). -474-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Η εναποµένουσα αγωγιµότητα µετά την απόσπαση του {L 2 C 2 } σειράς θα είναι Y 4 (s)' 0.956756@s% ή Z 4 (s)'0.956756@s% που είναι ένας επαγωγέας µε L 4 =0.956756 στη σειρά µε µια µοναδιαία ωµική αντίσταση. Φυσικά οι επαγωγείς L και L µπορούν να συντεθούν και να δώσουν έναν θετικό επαγωγέα L +L =.50953627-0.48546 =.36099. Το φίλτρο τελικά θα είναι αυτό του σχήµατος 8.42, που είναι από τις αναµενόµενες τοπολογίες. ΣΧΗΜΑ 8.42 Προκειµένου να ελέγξουµε την ορθότητα της σχεδίασης, αναλύουµε το απλό κύκλωµα µε την µέθοδο βρόχων και υπολογίζουµε την Η(s): Με τις κανονικοποιηµένες τιµές που υπολογίσαµε, η συνάρτηση µεταφοράς γίνεται: 0.028573(s H(s)' 2 %2.270068 2 ) s 3 %.23049025075s 2 %.520946626667s%0.79506787276 ή 0.028573(s H(s)' 2 %2.270068 2 ) (s%0.692275)(s 2 %0.537935s%.485802) Οι καµπύλες της ενεργού εξασθένησης του εποµένου σχήµατος, επιβεβαιώνουν την ορθότητα της κανονικοποιηµένης σχεδίασης. -475-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Οι τιµές που προέκυψαν από την σύνθεση αποκανονικοποιούνται µε ω C =2π2000 rad/sec και =200 Ω για να βρούµε το τελικό κύκλωµα µε: L '29.96mH L 2 '6.79mH C 2 '73.8nF L 3 '9.36mH Η ορθότητα της τελικής σχεδίασης ελέγχεται στο PSpice, µε το οποίο δηµιουργήσα- µε την παρακάτω καµπύλη ενεργού εξασθένησης, που επιβεβαιώνει την σχεδίαση. -476-
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ 8.7 Πίνακες πρότυπων φίλτρων Butterworth και Chebyshev Στις επόµενες σελίδες παρατίθενται τα νοµογράµµατα Kawakami για φίλτρα Butterworth και Chebyshev καθώς και οι εξής ενδεικτικοί πίνακες στοιχείων πρότυπων βαθυπερατών φίλτρων: Πίνακας προτύπων φίλτρων Butterworth n=2 έως 7 Πίνακας πρότυπων φίλτρων Chebyshev, κυµάτωση 0.5 db n=2 έως 0 Οι πίνακες είναι από το κλασσικό βιβλίο Handbook of Filter Synthesis του Anatol I. Zverev, εκδόσεις Wiley [53], το οποίο είναι απαραίτητο σε όποιον ασχολείται σοβαρά µε τα φίλτρα. Για τα φίλτρα Chebyshev υπάρχουν στο βιβλίο αυτό πίνακες και για άλλες τιµές της κυµάτωσης, οι οποίες και πάλι είναι περιορισµένες µε αποτέλεσµα να απαιτείται η σύνθεση του φίλτρου όταν δεν υπάρχουν πίνακες για µια συγκεκριµένη τιµή της κυµάτωσης. Βιβλιογραφία κεφαλαίου 8 [50], [47], [2], [48], [49], [25], [27], [5] Αναφερθείτε στην αλφαβητικό κατάλογο βιβλιογραφίας στη σελίδα 679. -477-
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ -478-
-479- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ -480-
-48- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ -482-
-483- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΣΥΝΘΕΣΗ & ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΘΗΤΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ