2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI

2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI 2. ALGEBRA DOGAĐAJA 2.. Intuitivna definicija Slučajan pokus (eksperiment) jest takav pokus čiji ishodi nisu jednoznačno određeni skupom uvjeta pokusa. Sa Ω označavamo skup svih mogućih realizacija slučajnog pokusa, a sa ω jednu njegovu konkretnu realizacija koju nazivamo elementaran događaj. Za Ω kažemo još da je siguran događaj (skup svih elementarnih događaja). Njegova je suprotnost nemoguć događaj, kojeg označavamo sa. Događaji, označavat ćemo ih velikim latinskim slovima A, B, C, itd., su unije elementarnih događaja, odnosno neki podskupovi od Ω. a) Unija dvaju događaja A i B jest događaj koji se realizira ako se realizira barem jedan od događaja A ili B (oznaka: A B) b) Presjek dvaju događaja A i B jest događaj koji se realizira ako se realiziraju i A i B ( oznaka: A B). Za događaje A i B kažemo da su disjunktni, ili da se međusobno isključuju, ako je A B=. c) Komplement (suprotan događaj) događaja A jest događaj A koji se realizira ako se A ne realizira. d)vrijedi A B = A B, A B = A B.

2..2 Aksiomatska definicija Skup Ω označava skup svih elementarnih događaja. Događaji su određeni (općenito, ne svi) podskupovi od Ω. Familiju svih događaja označavamo sa F i nazivamo ju algebra događaja. Ona mora imati sljedeća svojstva: ) Ω F 2) A F A F 3) A, B F A B F. Definiramo A\B= A B F. Ako je A=A B, kažemo da A povlači A B, tj. iz realizacije događaja A slijedi i realizacija događaja B. Pisat ćemo tada A B ili češće A B, u analogiji sa skupovnim zapisom. Ako je A B i B A, tada kažemo da su događaji A i B ekvivalentni te ih možemo poistovjetiti. Primjer : Neka su A, B,C događaji. Izrazite sljedeće događaje a) ostvario se samo događaj A, b) ostvarili su se A i B, ali ne i C, c) ostvarili su se sva tri događaja, d) ostvario se barem jedan događaj, e) ostvario se točno jedan događaj f) nije se ostvario niti jedan događaj, g) ostvario se najmanje jedan, a najviše dva događaja. a) A B C, b) A B C, c) A B C, d) A B C, e) A B C A B C A B C, f) A B C, g) ( A B C) A B C. 2

Primjer 2: Pokus se sastoji od bacanja dvaju novčića. Što su elementarni događaji? Što su događaji i koliko ih ima? Uočimo sljedeće događaje: A = glava na prvom novčiću, B = pismo na prvom novčiću, C = glava na drugom novčiću D = pismo na prvom novčiću, E = barem jedna glava, F = barem jedno pismo, G = jedna glava i jedno pismo, H = dva pisma, I = dvije glave. Odredite kojem od ovih događaja su ekvivalentni sljedeći događaji: A C, A C, E F, E G, E G, B D, E I. Postoje 4 elementarna događaja, to su uređeni parovi: (P,P), (P,G), (G,P), (G,G) koji određuju mogući rezultati na oba novčića. Te događaje označavamo jednostavno sa PP, PG, GP, GG. Događaj je proizvoljna (pa i prazna!) unija elementarnih događaja. Npr. A={GP, GG}, B={PP, PG}, C={PG, GG}, E={GP, PG,GG}, Tako dobivamo A C={GP, PG, GG}=E. Ostali su skupovi redom jednaki I, G, E, G, H, E. 2.2 VJEROJATNOSNI PROSTOR Vjerojatnost je preslikavanje P : F [0, ], sa sljedećim svojstvima. ) P(A) 0, za svaki A F, 2) P(Ω) =, P( ) = 0, 3) P(A B) = P(A) + P(B), ako je AB =. Vrijede ova svojstva: Ako je A B, onda je P(A) P(B), Vjerojatnost unije dvaju događaja: P(A B) = P(A) + P(B) P(AB). 3

Primjer 3: Neka su A i B događaji: P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.. Izračunajte: P(A B), P( A ), P( B ), P( A B), P( B) P( A B), P( A B). A, P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) = 0.2 + 0.3 0.06 = 0.44, B = P(B) = 0.7, P( A ) = P(A) = 0.8, P( ) P( A B) = P( B) = P( A B) = P( B) P( B) P( B) A -P(A B) = 0.56 A = - P(A B) = 0.9 A = P(A)- P(A B) = 0.2 0. = 0. A = P(B)- P(A B) = 0.3 0. = 0.2. 2.3 KONAČNI VJEROJATNOSNI PROSTOR U konačnom vjerojatnosnom prostoru je Ω = {ω, ω 2,..., ω N }, ω i su elementarni događaji, ω i ω j za i j. Ovdje je F skup svih podskupova od Ω, pa je ukupan broj svih događaja 2 N. Vjerojatnost P je zadana ako znamo njenu vrijednost na elementarnim događajima, tj. ako su zadani brojevi p i = P(ω i ) > 0. Tada mora biti: N N N p ( ) i = P ω i = P Uωi =. i= i= i= A = ω, L, ω te vrijedi Ako je A F, onda je { } i i M P ( A) = p + L + p. Ako su svi elementarni događaji i i M ω i jednako vjerojatni, tada je { } vjerojatnost svakog od njih. Za događaj A ω, L, ω N M P ( A) =, N = vrijedi i i M 4

što predstavlja klasičnu definiciju vjerojatnosti, kao omjer broja "povoljnih" i broja "svih jednako mogućih" događaja. Kažemo da biramo na sreću element skupa Ω ako je vjerojatnost izbora svakog elementa jednaka ( i iznosi N ). Vjerojatnost događaja A koji je suprotan događaju A je P N M M ( A) = = P( A) =. N N Primjer 4: Bacamo dvije ispravne kocke. Kolike su vjerojatnosti sljedećih događaja: A = { pojavile su se dvije šestice}, B = { pojavila se jedna jedinica i jedna dvojka}, C = { pojavila su se dva jednaka broja}, D = {zbroj brojeva jednak je 5}, E = { pojavio se broj veći od 2}? Skup elementarnih događaja sastoji se od uređenih parova: Ω = ω, ω : ω, ω,2, L,6, {( i j ) i j { } pa je N = 6 6 = 36. Zbog simetrije vrijedi P( {( ω )} ) ω i, j =. 36 Samo je jedan ishod povoljan za A: elementaran događaj (6,6). Stoga je P(A) = 36. Dva su ishoda povoljna za događaj B; to su elementarni događaji (,2) i (2,), pa je P(B) = 36 2. Šest je povoljnih ishoda za C: (,), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5),(6,6) P(C) = 36 6. Događaj D ima 4 povoljna ishoda: (,4), (2,3), (3,2), (4,). Stoga je P(D) = 36 4. 5

Opišimo suprotan događaj:e = {oba broja su manja ili jednaka 2}. Četiri su povoljna ishoda za ovaj događaj: (,), (,2), (2,), (2,2). 4 4 32 8 Stoga je P( E ) =, P(E) = - P( E ) = - = =. 36 36 36 9 Primjer 5: U kutiji se nalazi 0 kuglica, 6 plavih i 4 crvene. Biramo na sreću jednu kuglicu. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja: A = { izvučena je plava kuglica}, B = { izvučena je crvena kuglica}. 6 3 4 2 P(A) = =, P(B) = =. 0 5 0 5 Statistička vjerojatnost (vjerojatnost a posteriori) je vjerojatnost koja se dobiva promatranjem određenih događaja. Neka je D događaj koji smatramo povoljnim. Načinimo n slučajnih pokusa, koji se vrše pod istim uvjetima, te neka u n pokusa nastupi događaj D m puta. Tada se omjer f(d) = n m, tj. omjer slučajeva kada je nastupio povoljni događaj prema broju svih pokusa naziva relativna frekvencija. Relativna frekvencija povoljnog događaja u nizu pokusa obavljenih uz iste uvjete, kada raste broj pokusa, teži prema granici koja je jednaka vjerojatnosti m tog događaja, tj. P(D) = lim. n n Zakon velikih brojeva je osnovni zakon u teoriji vjerojatnosti i statistici. Taj zakon postoji kao prirodni zakon, a smisao mu je ovaj: Kad broj pokusa raste, apsolutna razlika između relativne frekvencije i vjerojatnosti uglavnom opada. Ovaj zakon kaže da ono što pojedinačno moramo smatrati slučajnim u velikoj masi gubi karakter slučajnosti i ponaša se kao nešto uzročno zakonito. 6

Primjer 6: Kolika je vjerojatnost da će kod bacanja kocke pasti jedinica ili paran broj? A = { pala je jedinica}, B = { pao je paran broj}. 3 3 4 2 P(A) =, P(B) = P(A B) = + = =. 6 6 6 6 6 3 Za događaje A i B kažemo da su nezavisni ako ostvarenje jednog događaja ne utječe na ostvarenje drugog. Vjerojatnost da će nastupiti više događaja koji su međusobno nezavisni jednaka je umnošku vjerojatnosti pojedinih događaja: P(A B) = P(A)P(B). Primjer 7: Imamo dvije vrećice. U prvoj vrećici imamo 25 kuglica, od čega 8 plavih, a u drugoj vrećici imamo 6 kuglica, od čega 5 plavih. Kolika je vjerojatnost da ćemo izvući i iz prve i iz druge plavu kuglicu? A = { izvučena je plava kuglica iz prve vrećice}, B = {izvučena je plava kuglica iz druge vrećice}. 8 5 8 5 P(A) =, P(B) = P(A B) = P(A)P(B) = =. 25 6 25 6 0 Ako neki događaj A ima vjerojatnost p da će se dogoditi, protivna vjerojatnost q = p je vjerojatnost da se A neće dogoditi. Vjerojatnost P da događaj A nastupi n puta jednaka je n P = p. Vjerojatnost da taj događaj neće nastupiti n puta je n P = q. Vjerojatnost da će događaj A nastupiti barem jedanput je n P = q. 7

Primjer 8: Imamo dva kupa karata, svaki sadrži 52 karte. Kolika je vjerojatnost ako izvučemo jednu kartu iz svakog kupa da će barem jedna karta biti pikov as? Vjerojatnost da će karta iz prvog kupa biti pikov as je P(A) =. 52 Vjerojatnost da će karta iz drugog kupa biti pikov as je P(B) =. 52 Vjerojatnost da ćemo izvući iz prvog kupa i iz drugog kupa pikov as je P(A B) = P(A)P(B) = 52. 52 Vjerojatnost da će barem jedna karta biti pikov as: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 03 P(A B) = + 52 =. 52 52 52 2704 Ako netko od događaja A koji ima vjerojatnost p = P(A) očekuje dobitak a, onda se umnožak E = p a naziva matematičko očekivanje. Matematičko očekivanje je cijena igre. Ulažemo u igru upravo toliko koliko ona za nas vrijedi. Primjer 9: Dva igrača igraju igru kockama, A drži blagajnu, a B baca kocku. Ako kocka padne na 5, B dobiva od A 60 kn. Koliko mora B platiti igraču A kao svoj ulog? E = p a = 60 = 0. 6 8

Ulog igrača B je 0 kn, za koji dobiva 60 kn ako kocka padne na broj 5. Primjer 0: A se kladi s igračem B da će tri kocke u jednom bacanju pogoditi 5. Koliko mora B platiti A-u ako je A-ov ulog 0 kn? E = 0 0 Vjerojatnost da se s tri kocke pogodi 5 je p =. Iz E = p a 26 slijedi 0 0 = a a = 26. 26 Dakle, ako A položi ulog od 0 kn, B je dužan isplatiti 26 kn ako A s tri kocke izbaci zbroj 5. 9