Matrične nejednakosti

Univerzitet u Nišu Prirodno matematički Fakultet Departman za matematiku Matrične nejednakosti Master rad Mentor: Prof. dr Dragan -Dord ević Student: Marija Cvetković Niš, Jul 01.

Sadržaj 1 Uvod Osnovni pojmovi 4.1 Elementi linearne algebre i teorije operatora.................. 4 3 Nejednakosti sa stepenima matrica 11 3.1 Luner-Hajncova nejednakost........................... 11 3. Preslikavanja na prostorima matrica....................... 13 3.3 Adamarov proizvod................................ 18 3.4 Nejednakost Furute................................ 3 4 Singularne vrednosti 6 4.1 Sopstvene vrednosti................................ 6 4. Majorizacija.................................... 30 4.3 Jungova nejednakost............................... 38 5 Nejednakosti sa normom 43 5.1 Uvod........................................ 43 5. Unitarno invarijantne norme........................... 44 5.3 Proizvod pozitivno semidefinitnih matrica................... 46 5.4 Zbir i razlika pozitivno semidefinitnih matrica................. 51 5.5 Nejednakosti izmed u aritmetičke i geometrijske sredine............ 54 5.6 Nejednakosti Heldera i Minkovskog....................... 59 6 Zaključak 71 Literatura 7 Biografija 74 1

Glava 1 Uvod Mathematics is the music of reason. James Joseph Sylvester (1814 1897) Smatra se da se pojam matrica pojavio još u IV veku p.n.e, mada najstariji pisani tragovi potiču iz II veka p.n.e. Pronad ene glinene pločice se pripisuju vavilonskoj civilizaciji i pretpostavlja se da se na njima nalaze prvi pokušaji rešavanja linearnih jednačina. Med utim, tumačenje pojma matrice najbliže današnjem dali su Kinezi izmedju III i I veka p.n.e. Ipak, tek je krajem XVII veka počeo istinski razvoj teorije matrica. Na tom polju su značajne rezultate postigli Gaus 1, Koši, Lagranž 3, a potom Dalamber 4, Kejli 5, kao i mnogi drugi. Termin matrica je prvi uveo engleski matematičar Džejms Silvester. Matrične nejednakosti predstavljaju veoma raznovrsnu, ali i izuzetno opširnu oblast matematike. Zato ćemo se u ovom radu fokusirati na posmatranje nejednakosti sa stepenima, sopstvenim i singularnim vrednostima, kao i normama matrica. Bez obzira na dug i bogat istorijat razvoja ove oblasti matematike, matrične nejednakosti su i dalje veoma aktuelna tema kojom se bave mnogi istaknuti matematičari današnjice. Rad je tematski podeljen na pet celina. Prikaz osnovnih pojmova i tvrd enja iz matrične analize i teorije operatora je dat u prvom delu. Uveden je pojam algebre, kao i C -algebre. Prikazana su neka svojstva spektra i spektralnog poluprečnika. U drugoj glavi se obrad uju nejednakosti vezane za stepene matrica, pre svega Luner- Hajncova nejednakost. Uvode se pojmovi operator konveksnih i operator monotonih funkcija i razmatraju njihove osobine. Posebna pažnja se posvećuje svojstvima Adamarovog proizvoda matrica. Ukazano je i na nejednakost Furute i njene posledice. U trećem delu akcenat je na probelmu majorizacije kako sopstvenih, tako i singularnih vrednosti matrice. Najpre se predstavljaju svojstva sopstvenih vrednosti matrice poput karakterizacije k-te sopstvene vrednosti matrice. Uvodi se pojam majorizacije i ukazuje na odnos sopstvenih vrednosti, singularnih vrednosti i elemenata matrice. Od izuzetnog značaja su rezultati Vajla i Horna. Razmatrana su i moguća uopštenja Jungove nejednakosti. 1 Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemački matematičar Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), francuski matematičar 3 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), francuski matematičar i astronom 4 Jean-Baptiste le Rond d Alembert (1717-1783), francuski matematičar i fizičar 5 Arthur Cayley (181-1895), engleski matematičar

Uvod 3 Narednu celinu čini pregled najvažnijih nejednakosti sa normama matrica. Kroz diskusiju o proizvodu dve pozitivno semidefinitne matrice izloženi su značajni rezultati vezani za normu, spektralni poluprečnik, a samim tim i najveću sopstvenu vrednost proizvoda matrica. Potom slede uopštenja nejednakosti izmed u aritmetičke i geometrijske sredine. Veoma bitan rezultat koji smo izložili u ovoj glavi su uopštenja poznatih nejednakosti Minkovskog i Heldera, kao i različiti pristupi generalizaciji nejednakosti Koši-Švarc-Bunjakovskog. U poslednjoj glavi je dat pregled iznetih tvrd enja i ukazano je na moguća uopštenja dobijenih rezultata. Dalji rad se može bazirati na generalizacijama dokazanih nejednakosti za odred ene tipove operatora, kao i na posmatranju drugih nejednakosti koje važe na skupu kompleksnih brojeva. Zahvaljujem se mentoru, prof. dr Draganu -Dord eviću na podršci i pomoći pri izradi rada.

Glava Osnovni pojmovi.1 Elementi linearne algebre i teorije operatora Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem kompleksnih brojeva. Preslikavanje T : X Y je aditivno ako je ( x, y X) T (x + y) = T (x) + T (y), a homogeno ako je ( λ C)( x X) T (λx) = λt (x). Preslikavanje T je linearno ako je aditivno i homogeno. Skup svih linearnih preslikavanja iz prostora X u prostor Y označavaćemo sa L(X, Y ). Element prostora L(X, Y ) je linearni operator. Definicija.1.1 Neka su X i Y normirani prostori nad poljem kompleksnih brojeva. Linearni operator T L(X, Y ) je ograničen ako postoji realan broj M 0 takav da je T x M x, za svako x X. Definicija.1. Neka su X i Y normirani prostori i T L(X, Y ) ograničen operator. Norma operatora T se označava sa T i definiše T x T = sup x 0 x. Neka je B(X, Y ) skup svih linearnih ograničenih operatora iz X u Y. Ako je X = Y koristićemo oznaku B(X). Ograničen linearan operator T B(X, Y ) je uniformno neprekidno preslikavanje na prostoru X. Ako je X konačno-dimenzionalan normiran prostor, tada je B(X, Y ) = L(X, Y ). Tvrd enje.1.1 Neka su X, Y i Z normirani prostori nad poljem kompleksnih brojeva i T B(X, Y ), S B(Y, Z). Tada je ST B(X, Z) i ST S T. Prirodna metrika na normiranom prostoru X je odred ena sa d(x, y) = x y, x, y X. Normirani prostor X je Banahov 1 prostor ako je (X, d) kompletan metrički prostor. Svaki 1 Stefan Banach (189-1945), poljski matematičar 4

Osnovni pojmovi 5 konačno-dimenizonalni potprostor normiranog prostora je Banahov. konačno-dimenzionalni prostor Banahov. Specijalno je i svaki Ukoliko je X unitaran prostor (snabdeven skalarnim proizvodom : X X C), možemo definisati normu na X: x = x, x 1/, x X. Unitaran prostor X je Hilbertov prostor ako je Banahov u odnosu na normu definisanu skalarnim proizvodom. Teorema.1.1 Neka su Xi Y Hilbertovi prostori i T B(X, Y ). Postoji jedinstven operator S B(X, Y ) takav da je za svako x X i svako y Y T x, y = x, Sy. Operator čiju egzistenciju i jedinstvenost garantuje prethodna teorema se naziva Hilbert adjungovan operator operatoru T i obeležava sa T. Navešćemo neka svojstva Hilbert adjungovanog operatora. Tvrd enje.1. Neka su X, Y i Z Hilbertovi prostori, S, T B(X, Y ), V B(Y, Z) i λ C. Tada je: (i) (S + T ) = S + T ; (ii) (λt ) = λt ; (iii) (T ) = T ; (iv) T = T i T T = T T = T ; (v) (V S) = S V. Teorema.1. Neka je T B(X, Y ), X i Y Hilbertovi prostori. Postoji T 1 B(Y, X) ako i samo ako postoji (T ) 1 B(X, Y ) i važi (T ) 1 = (T 1 ). Definicija.1.3 Neka je X Hilbertov prostor i T B(X). Operator T je: (i) samokonjugovan (ermitski) operator ako je T = T ; (ii) normalan operator ako je T T = T T ; (ii) unitaran operator ako je T T = T T = I. Ograničen linearan operator T na Hilbertovom prostoru X je pozitivan operator ukoliko je T x, x 0 za svako x X i u tom slučaju pišemo T 0. Svaki pozitivan operator je ermitski. Na skupu ermitskih operatora na Hilbertovom prostoru X možemo definisati relaciju. ( ) Definicija.1.4 Neka su T, S B(X) ermitski operatori na Hilbertovom prostoru X. Tada je T S ako je T S pozitivan operator, odnosno T S ( x X) T x, x Sx, x. David Hilbert (186-1943), nemački matematičar

Osnovni pojmovi 6 Teorema.1.3 Neka je X Hilbertov prostor. Za pozitivan operator T B(X) postoji jedinstven pozitivan operator S B(X) takav da je T = S. Ako je C B(X) i T C = CT, onda je SC = CS. Kažemo da je S pozitivan kvadratni koren operatora T i označavamo ga sa T 1/ ili T. Pozitivan kvadratni koren operatora je ujedno i ermitski operator. Tvrd enje.1.3 Operator T B(X) je pozitivan ako i samo ako postoji operator S B(X) takav da je A = S S. Dokaz. Operator S S je očigledno pozitivan operator, te ova implikacija trivijalno važi. Obratno, ako je T pozitivan operator, tada je T = T 1/ T 1/ = (T 1/ ) T 1/. Operator P B(X) je projektor (idempotent) ukoliko je P = P. Ako je M podskup Hilbertovog prostora X, ortogonalni komplement skupa M je skup M odred en sa M = {s X : (x, y) 0 za sve y M}. Pretpostavimo da je M zatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Kako je X = M M, gde označava direktnu sumu, svaki element x prostora X se može na jedinstven način prikazati kao x = x 1 + x za x 1 M, x M. Shodno tome, možemo posmatrati ograničen linearan operator P : X X definisan sa P x = x 1. P je ortogonalan projektor (ortogonalan projektor na M). Primetimo da je slika operatora P upravo M, a jezgro M, kao i da s pravom koristimo prethodno odred en termin projektor jer je P = P. Tvrd enje.1.4 Neka je X Hilbertov prostor i P B(X). Ako je P projektor i P 0, sledeći uslovi su ekvivalentni: (i) P je ortogonalan projektor; (ii) P =1 ; (iii) P je ermitski operator; (iv) P je normalan operator; (v) P je pozitivan operator. Operator C B(X, Y ) je kontrakcija ako je C 1, odnosno, ako je I X X 0 (I XX 0). Ortogonalni projektor je kontrakcija. Za konačno-dimenzionalne prostore važi širok spektar tvrd enja. Recimo, ako je X konačnodimenzionalan prostor i A B(X), onda je operator A invertibilan ako i samo ako je desno invertibilan, odnosno ako i samo ako je levo invertibilan. Takod e, jedinična kugla je relativno kompaktan skup u proizvoljnom konačno-dimenzionalnom prostoru. Upravo zbog takvih karakteristika je značajna klasa operatora na konačno dimenzionalnim prostorima. Matrice predstavljaju primer takvih operatora. Definicija.1.5 Neka su m i n proizvoljni prirodni brojevi. Pod matricom tipa m n nad poljem kompleksnih brojeva podrazumevamo proizvoljno preslikavanje A : {1,..., m} {1,..., n} C.

Osnovni pojmovi 7 Pojam matrice inače možemo definisati nad proizvoljnim poljem K, ali ćemo razmatranja u ovom radu ograničiti na skup kompleksnih matrica. Matrica je kvadratna ako je m = n. Nadalje će se sva tvrd enja odnositi na kompleksne kvadratne matrice. Med utim, kako se pravougaone matrice mogu transformisati u kvadratane, svi dobijeni rezultati u vezi sa singularnim vrednostima i unitarno invarijantnim normama važe i za pravougaone matrice. Za (i, j) {1,..., m} {1,..., n} umesto A(i, j) pišemo a ij i kazemo da je a ij element matrice A, odnosno A = (a ij ). Ukazaćemo na neke posebne tipove matrica. Matrica A = (a ij ) je: (i) dijagonalna ako je a ij = 0 za i j; (ii) gornja trougaona ako je a ij = 0 za i > j; (iii) donja trougaona ako je a ij = 0 za i < j. Označimo sa M n prostor kompleksnih kvadratnih matrica dimenzije n. C n posmatramo kao Hilbertov prostor u odnosu na uobičajni skalarni proizvod: x, y = j x j y j za x = (x j ), y = (y j ) C n. Norma indukovana ovim skalarnim proizvodom je upravo Euklidova norma na prostoru C n. Kao što smo već napomenuli, matricu A M n možemo posmatrati kao linearni operator na konačno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru C n. U skladu sa tim je A = ĀT. S obzirom na komentar o operatorskoj prirodi matrice, odgovarajući pojmovi iz teorije operatora su definisani i na prostoru M n. Uvešćemo oznake Re A i Im A za Re A = A+A, Im A = A A. Očigledno je i A = Re A + iim A. Kompleksan broj λ je sopstvena vrednost matrice A M n ako je Ax = λx za neko x C n \ 0. Nenula vektor x koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ, Ax = λx, je sopstveni vektor. Sopstvene vrednosti ermitske matrice su realni brojevi. Navešćemo tvrd enja vezana za različite pristupe dekompoziciji matrice A M n. Tvrd enje.1.5 (Polarna dekompozicija matrice) Neka je A M n. Postoje unitarna matrica U M n i pozitivno semidefinitna matrica P M n sa istim rangom kao i A, takve da je A = P U. Tvrd enje.1.6 (Singularna dekompozicija) Za svaku matricu A M n postoje unitarne matrice V, W M n i S M n dijagonalna matrica čiji je rang jednak r(a), a elementi na dijagonali nenegativni, za koje je A = V SW. Tvrd enje.1.7 Za svaku matricu A M n postoje unitarna matrica U i gornja trougaona matrica T takve da je A = U T U. Definicija.1.6 Matrica B M n je unitarno ekvivalentna matrici A M n ako postoji unitarna matrica U M n takva da je B = U AU.

Osnovni pojmovi 8 Ako je matrica A M n unitarno ekvivalentna sa dijagonalnom matricom D M n onda kažemo da se A može unitarno dijagonalizirati. Tvrd enje.1.8 Ako su λ 1,..., λ n sopstvene vrednosti matrice A = (a ij ) M n onda su sledeći uslovi ekvivalentni: (i) A je normalna matrica; (ii) A se može unitarno dijagonalizirati; (iii) n i, a ij = n λ i ; (iv) Postoji n ortonormiranih sopstvenih vektora matrice A. Normalna matrica čije su sopstvene vrednosti λ 1,..., λ n je unitarno ekvivalentna dijagonalnoj matrici diag(λ 1,..., λ n ). Napomenimo da je svaka ermitska matrica istovremeno i normalna, te tvrd enje važi i na skupu ermitskih matrica. Teorema.1.4 (Spektralna teorema za ermitske matrice) Matrica A M n je ermitska ako i samo ako postoji unitarna matrica U M n i realna dijagonalna matrica Λ M n tako da je A = UΛU. Matrica A M n je pozitivno semidefinitna ako je Ax, x 0 za svako x C n. Matrica A je pozitivno definitna ukoliko je pozitivno semidefinitna i važi Ax, x = 0 = x = 0. Pojam pozitivno semidefinitne matrice je analogon pojmu nenegativnog broja u skupu realnih, odnosno kompleksnih brojeva. Zato koristimo oznaku A 0 odred ujući skup pozitivno semidefinitnih matrica, a A > 0 za pozitivno definitne matrice. Podsetiši se prethodno definisanog pojma pozitivnog operatora zaključujemo da je pozitivno semidefinitna matrica zapravo pozitivan operator. Tvrd enje.1.9 Neka je A M n. Sledeći uslovi su ekvivalentni: (i) A 0; (ii) Za svaki vektor x C n je x T Ax 0; (iii) Postoji matrica U takva da je A = U U. Sve sopstvene vrednosti pozitivno semidefinitne matrice su nenegativne. Pozitivno definitna matrica je invertibilna jer su sve njene sopstvene vrednosti pozitivni brojevi. Vektorski prostor A nad poljem kompleksnih brojeva C je kompleksna algebra ako je definisano preslikavanje (a, b) a b : A A A,

Osnovni pojmovi 9 sa osobinom da je za svako a, b, c A, λ C: a (b c) = (a b) c, a (b + c) = (a b) + (a c), (a + b) c = a c + b c, (λa) b = λ(a b) = a (λ b). Uočimo da je algebra A zapravo prsten (A, +, ). Odgovarajući rezultati dobijeni za prstene važe i za algebre. Analogno se prenose i definicije jedinice, invertibilnog elmenta (levo, desno invertibilnog), ideala itd. Definicija.1.7 Algebra A je normirana algebra ako postoji norma na A (ako je (A, ) normiran prostor) pri čemu je a b a b za svako a, b A. Kako razmatramo polje kompleksnih brojeva, kažemo da je A kompleksna normirana algebra. Normirana algebra (A, ), je Banahova algebra ako je (A, ) Banahov prostor. Neka su a, b proizvoljni elementi Banahove algebre A sa jedinicom i A 1 skup svih invertibilnih elemenata algebre. Označimo sa σ(a) spektar, a sa ρ(a) spektralni poluprečnik elementa a. Definicija.1.8 Definicija.1.9 ( a A) σ(a) = {λ C : λ a / A 1 }. ( a A) ρ(a) = sup{ λ : λ σ(a)}. Tada važe sledeća tvrd enja. Tvrd enje.1.10 Tvrd enje.1.11 Posledica.1.1 ( a A) ρ(a) = inf{ a n 1/n : n N}. ( a, b A) σ(ab) {0} = σ(ba) {0}. ( a, b A) ρ(ab) = ρ(ba). Primer Banahove algebre je B(X), skup ograničenih linearnih operatora na Banahovom prostoru X. Tvrd enje.1.1 Za normalan operator T na Hilbertovom prostoru važi ρ(t ) = T. Definicija.1.10 Algebra A nad poljem C je involutivna ako je definisano preslikavanje a a : A A sa osobinom da, za svako a, b A, λ C, važi: (a + b) = a + b, (ab) = b a, (λa) = λa, (a ) = a.

Osnovni pojmovi 10 Preslikavanje a a je involucija na algebri A. Podalgebra B algebre A je involutivna podalgebra algebre A ako iz b B sledi b B. Involutivna Banahova algebra A je C -algebra ako je aa = a za svako a A. (.1.1) Svaki element t A može se napisati u obliku t = a + ib pri čemu su a i b ermitski (a = a, b = b ). Zapravo, a = t+t, b = t t. Element a C -algebre A je pozitivan ako je i a = b b za neko b A. Prostor M n je primer C -algebre pri čemu su pozitivni elementi pozitivno semidefinitne matrice.

Glava 3 Nejednakosti sa stepenima matrica 3.1 Luner-Hajncova nejednakost Primetimo da je u skupu realnih brojeva zadovoljena implikacija a b 0 = a r b r, r 0. Postavlja se pitanje da li i kako ovo tvrd enje možemo uopštiti na prostor matrica M n. Odgovor nam jednim delom pruža Luner 1 -Hajncova nejednakost. Ovaj dokaz Luner-Hajncove nejednakosti dao je G. K. Pedersen 3 u [18], a koriste se tvrd enja izložena u prethodnom poglavlju. Teorema 3.1.1 (Luner-Hajnc) Neka su A, B M n, A B 0 i 0 r 1, onda je A r B r. (3.1.1) Dokaz. Pretpostavićemo da je A > 0 jer posmatrajući A + εi, ε 0 dobijene rezultate možemo preneti i na slučaj A 0. Neka je skup svih r [0, 1] za koje važi 3.1.1 tj. A B 0 = A r B r. Ovaj skup je očigledno neprazan jer 0, 1, a uz to je i zatvoren. Ukoliko pokažemo da je još i povezan dobićemo = [0, 1] čime je dokaz završen. Neka su s, t proizvoljni, onda je A s/ B s A s/ I, A t/ B t A t/ I što je ekvivalentno sa B s/ A s/ 1 i B t/ A t/ 1. Stoga je A (s+t)/4 B (s+t)/ A (s+t)/4 = ρ(a (s+t)/4 B (s+t)/ A (s+t)/4 ) = ρ(a s/ B (s+t)/ A t/ ) A s/ B (s+t)/ A t/ = (B s/ A s/ ) (B t/ A t/ ) 1. 1 Karel Löwner (1893-1968), američki matematičar Heinz Hopf (1894-1971), nemački matematičar 3 Gert Kjægard Pedersen (1940-004), danski matematičar B s/ A s/ B t/ A t/ 11

Nejednakosti sa stepenima matrica 1 Dakle, A (s+t)/4 B (s+t)/ A (s+t)/4 I, te je B (s+t)/ A (s+t)/, odnosno s+t. Ovim smo dokazali da je povezan skup, a samim tim i = [0, 1]. Za r > 1 tvrd enje ne važi u opštem slučaju. Odgovarajući kontraprimer je: [ ] [ ] [ ] 1 1 0 4 3 A =, B =, A B =. 1 1 0 0 3 Iako je A B 0, ipak ne važi A B jer je det(a B ) < 0. Teorema 3.1. Neka je A C -algebra i r > 1. Ako za svako A, B A važi onda je A komutativna algebra. A B 0 = A r B r, Dokaz. Neka je r > 1 proizvoljno, tada postoji prirodan broj k za koji je r k >. Neka je ujedno i A B 0. Ako primenimo pretpostavku teoreme sukcesivno k puta dobijamo A rk B rk. Sada možemo primeniti Luner-Hajncovu nejednakost na matrice A rk, B rk za < 1, te je A B. Stoga je dovoljno da pokažemo da tvrd enje važi za r =. r k Dakle, pretpostavimo da je za r = zadovoljen uslov teoreme ( A, B A) A B 0 = A B. (3.1.) Za proizvoljne pozitivno semidefinitne matrice A, B i proizvoljno ε > 0 važi A + εb A, pa iz (3.1.) proizilazi (A+εB) A, odnosno AB +BA+εB 0. Kako je ε > 0 proizvoljno izabrano, to je AB + BA 0 za sve A, B 0. (3.1.3) Neka je AB = G + ih, G = G, H = H, onda (3.1.3) povlači G 0. Primenimo prethodno rasud ivanje na A i BAB. Onda iz A(BAB) = (AB) = G H + i(gh + HG) (3.1.4) sledi G H (jer je A(BAB) + (BAB)A 0). Zbog toga je skup Γ := {α 1 : G αh za sve A, B 0, AB = G + ih} neprazan. Pritom je zatvoren, a pokazaćemo i da je neograničen. Preptostavimo suprtono, neka je Γ ograničen skup. Pošto je zatvoren, označimo sa λ najveći element skupa Γ. Znamo da je λ 1. Po (3.1.3) je H (G λh )+(G λh )H 0 tj. G H + H G λh 4. (3.1.5) Iz definicije elementa λ, kao i jednakosti Re (G+iH) = G H, Im (G+iH) = GH +HG, sledi (G H ) λ(gh + HG), odnosno, G 4 + H 4 (G H + H G ) λ[gh G + HG H + G(HGH) + H(GHG)].

Nejednakosti sa stepenima matrica 13 Iz (3.1.5) i nejednakosti GH G 0, G(HGH) + (HGH)G 0 ((3.1.3)), HG H λh 4 (osobina λ), proizilazi G 4 (λ + λ 1)H 4. Primenom Luner-Hajncove nejednakosti za r = 1/ nejednakost G (λ + λ 1) 1/ H važi za sve G, H za koje postoje A, B 0 takvi da je AB = G+iH, odnosno (λ +λ 1) 1/ Γ. Kako je λ najveći element skupa Γ, to je (λ + λ 1) 1/ λ λ 1, čime smo dobili kontradikciju sa λ 1. Dakle, pretpostavka je netačna, Γ je neograničen skup. Zato je G αh za svako α 1 što je moguće samo za H = 0. Samim tim je AB = BA za sve A, B 0. Pošto se svaki element algebre A može napisati u obliku G + ih gde su G i H ermitski, a svaki ermitski element je razlika dva pozitivna, zaključujemo da je A komutativna algebra. Očigledno je M n primer C -algebre. Kako M n nije komutativna za n, iz prethodne teoreme proizilazi da za svako r > 1 postoje matrice A, B M n takve da je A B 0, ali i A r B r. Ako se podsetimo nejednakosti koju smo posmatrali na skupu relanih brojeva, na osnovu dokazanih teorema zaključujemo da se nejednakost može uopštiti na prostor M n, n samo za 0 r 1. Primedba. Nadalje ćemo koristiti LH pri pozivanju na Luner-Hajncovu nejednakost. 3. Preslikavanja na prostorima matrica Neka je f(t) neprekidna, realna funkcija definisana na intervalu Ω R, a H ermitska matrica sa sopstvenim vrednostima sadržanim u skupu Ω. Neka je H = Udiag(λ 1,..., λ n )U spektralna dekompozicija matrice H, λ 1,..., λ n sopstvene vrednosti za H, a U je unitarna matrica. Funkcionalni račun matrice H se definiše sa f(h) := Udiag(f(λ 1 ),..., f(λ n ))U. (3..1) Potrebno je da pokažemo dobru definisanost ovog pojma, da f(h) ne zavisi od spektralne dekompozicije matrice H. Pretpostavimo da je f polinom, f(t) = f(h) = k j=0 k j=0 c j t j, c j R, j = 0, k, k N 0. Stoga je c j H j. Ovim smo pokazali da ukoliko je funkcija f polinom, f(h) ne zavisi od spektralne dekompozicije. Zahvaljujući Vajerštrasovoj 4 teoremi o aproksimaciji neprekidne funkcije nizom polinoma, zaključujemo da je f(h) dobro definisano sa (3..1) za ma koju neprekidnu funkciju f. 4 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), nemački matematičar

Nejednakosti sa stepenima matrica 14 Definicija 3..1 Neka je f neprekidna realna funkcija definisana na realnom intervalu Ω. (i) f je operator monotona ako važi implikacija (ii) f je operator konveksna ako je A B = f(a) f(b) ; ( λ (0, 1)) f(λa + (1 λb)) λf(a) + (1 λ)f(b). Pritom su A i B proizvoljne ermitske matrice sa sopstvenim vrednostima sadržanim u Ω. Neprekidna realna funkcija f je operator konkavna ako je -f operator konveksna. Kompozicija dve operator monotone funkcije je takod e operator monotona funkcija. Nadalje ćemo govoriti samo o neprekidnim funkcijama, pa je dovoljno pokazati da je f( A+B ) f(a)+f(b), A, B M n, da bi neprekidna funkcija f bila operator konveksna. Primer 3..1. Na osnovu Luner-Hajncove nejednakosti zaključujemo da je funkcija f(t) = t r za 0 < r 1 operator monotona na [0, ). Do tog rezultata prvi je došao Karel Luner u radu objavljenom 1934. godine. Funkcija g(t) = log t je takod e operator monotona, ali na intervalu (0, ). Primer operator konveksne funkcije na (0, ) je h(t) = t r za r [ 1, 0] [1, ]. Primer 3... Linearna funkcija f(t) = αt + β je operator konveksna na proizvoljnom relanom inetrvalu za sve realne brojeve α i β. Za α R i β 0, f je operator monotona. Jedinstvena ujedno operator monotona i operator konveksna funkcija koja preslikava interval (0, ) u (0, ) je f(t) = αt + β, α, β 0. Primer [ 3..3. ] Funkcija [ ] f(t) = t nije operator monotona na [0, ). To potvrd uju matrice 1 1 1 A = i B =. 1 1 1 1 Funkcija f(t) = t nije operator konveksna ni na jednom intervalu koji sadrži 0. Dovoljno je posmatrati matrice [ ] [ ] 1 1 0 A =, B =. 1 1 0 0 Tvrd enje 3..1 Neka je g neprekidna relana funkcija na intervalu [0, α). Sledeći uslovi su ekvivalentni: (i) g je operator konveksna i g(0) 0; (ii) funkcija f(t) = g(t) je operator monotna na [0, α). t Teorema 3..1 Neka je f operator monotona funkcija na [0, ), a g operator konveksna funkcija na [0, ) i g(0) 0. Tada su za svaku kontarakciju K( K 1) i matricu A 0 zadovoljene nejednakosti: f(k AK) K f(a)k, (3..) g(k AK) K g(a)k. (3..3) Dokaz. Primetimo da uslov A 0 obezbed uje da sopstvene vrednosti matrice A, a samim tim i matrice K AK, pripadaju intervalu [0, ). Dovoljno je da pokažemo drugu nejednakost jer je funkcija f operator monotona na [0, ) ako i samo ako je operator konkvana tj. ako je -f operator konveksna na [0, ). ([18])

Nejednakosti sa stepenima matrica 15 K je kontrakcija, I KK, I K K 0, pa možemo definisati matrice L := (I KK ) 1/ i M = (I K K) 1/. Neka su matrice U i V odred ene sa [ ] [ ] K L K L U = M K, V = M K [ ] A 0 i neka je T =. 0 0 Uočimo da su matrice U i V unitarne jer je osobina kvadratnog korena matrice X 0 da komutira sa svim matricama koje komutiraju sa X. [ ] [ ] K U T U = AK K AL K L AK L = AK K AL, AL LAK LAL [ ] [ ] K V T V = AK K AL K L AK L = AK K AL, AL LAK LAL odnosno [ ] K AK 0 = U T U + V T V 0 LAL S druge strane je [ ] g(k AK) 0 0 g(lal)) Stoga je g(k AK) K g(a)k. ( ) U T U + V T V = g g(u T U) + g(v T V ) = U g(t )U + V g(t )V = 1 { [ ] [ ] } g(a) 0 g(a) 0 U U + V V 0 g(0) 0 g(0) 1 { [ ] [ ] } g(a) 0 g(a) 0 U U + V V 0 0 0 0 [ ] K = g(a)k 0. 0 Lg(A)L Za dobijanje ovog niza nejednakosti iskoristili smo svojstva funkcije g data u teoremi, operator konveksnost i g(0) 0. Med utim, prećutno smo se pozvali i na neke osobine blok matrica. [ ] Y 0 X = = σ(x) = σ(y ) σ(z), 0 Z odakle je i X = [ ] Y 0 0 Y, Z 0. 0 Z U [] su prikazane još neke nejednakost vezane za operator monotone i operator konveksne funkcije, sa jačim ili slabijim uslovima od onih datih u Teoremi 3..1. Med utim u nastavku će nam biti dovoljna Teorema 3..1. Pri dokazivanju nejednakosti koristićemo reprezentacije operator monotonih i operator konveksnih funkcija date u sledećoj teoremi..

Nejednakosti sa stepenima matrica 16 Teorema 3.. Ako je funkcija f operator monotona na [0, ), onda postoje pozitivna mera µ na [0, ), realan broj α i β 0 takvi da je ( t [0, )) f(t) = α + βt + 0 st dµ(s). (3..4) s + t Ako je g operator konveksna funkcija na [0, ), onda postoje pozitivna mera µ na [0, ), α, β R i γ 0 takvi da je ( t [0, )) g(t) = α + βt + γt + 0 st dµ(s). (3..5) s + t Neka je dato preslikavanje Φ : M m M n. Kažemo da je Φ pozitivno ako preslikava skup pozitivno semidefinitnih matrica iz M m u skup pozitivno semidefinitnih matrica u M n tj. A 0 Φ(A) 0. Φ je unitalno preslikavanje ako je Φ(I m ) = I n. Lema 3..1 Neka je A > 0. Onda je ako i samo ako je C B A 1 B 0. [ A ] B B C 0 (3..6) Dokaz. ([ ]) I 0 Kako je B A 1 = I [ ] [ ] [ ] [ ] A B I 0 A 0 I A B = 1 B C B A 1 I 0 (C B A 1 ; B) 0 I [ ] [ ] [ ] [ ] A 0 I 0 A B I A 0 (C B A 1 = 1 B B) B A 1 I B. C 0 I [ ] I A 1 B, zaključujemo da je 0 I [ ] A B B 0 C B A 1 B 0 C podsećajući se da je matrica A pozitivno definitna po pretpostavci leme. [ ] A B Matrica C B A 1 B je Šurov 5 komplement matrice B. C Lema 3.. Neka je Φ : M m M n unitalno, pozitivno linearno preslikavanje, tada je: Φ(A ) Φ(A) za A 0, (3..7) Φ(A 1 ) Φ(A) 1 za A > 0. (3..8) 5 Ernst Sigismund Fischer (1875-1954), nemački matematičar

Nejednakosti sa stepenima matrica 17 Dokaz. Neka je sa A = m λ j E j data spektralna dekompozicija matrice A, gde su λ j 0, j = 1, m sopstvene vrednosti matrice A, a E j za j = 1,..., m odgovarajući ortogonalni m projektori na sopstvene potprostore, r(e j ) = 1, j = 1, m i E j = I m. Preslikavanje Φ je unitalno, pa je I n = Φ(I m ) = m Φ(E j ). S druge strane je A = m λ je j. Iskoristivši obe jednakosti dobijamo [ In ] Φ(A) Φ(A) Φ(A ) gde označava Kronekerov 6 proizvod. = m [ ] 1 λj Φ(E j ), Pošto je za svako j = 1,..., m, Φ(E j ) 0 i [ ] 1 λj = ([ ]) [ ] 1 λ j 1 λj 0, iz osobina Kronekerovog proizvoda sledi [ ] 1 λj Φ(E j ) 0. λ j λ j λ j λ j Dakle, [ ] In Φ(A) Φ(A) Φ(A ) Nejednakost (3..7) dobijamo pozivanjem na prethodnu lemu uz opasku da je Φ pozitivno preslikavanje i A 0. Slično, kako je [ ] λj 1 1 λ 1 0, j λ j λ j 0. zaključujemo da je [ ] Φ(A) In I n Φ(A 1 ) 0, odakle, ponovo po prethodnoj lemi, dolazimo do (3..8). Teorema 3..3 Neka je Φ unitalno, pozitivno linearno preslikavanje iz M m u M n i f operator monotona funkcija na [0, ). Za svako A M m, A 0 važi f(φ(a)) Φ(f(A)). Dokaz. Zahvaljujući reprezentaciji operator monotone funkcije iz (3..4) i osobinama preslikavanja Φ, dovoljno je da pokažemo Φ(A)[sI + Φ(A)] 1 Φ[A(sI + A) 1 ], s > 0 6 Leopold Kronecker (183-1891), nemački matematičar

Nejednakosti sa stepenima matrica 18 a to je ekvivalentno sa Φ[(sI + A) 1 ] [Φ(sI + A)] 1, s > 0 jer je A(sI + A) 1 = I s(si + A) 1 i Φ(A)[sI + Φ(A)] 1 = I s[φ(si + A)] 1. (jedinične matrice su odgovarajućih dimenzija) Med utim, data nejednakost važi po Lemi 3.., te je zadovoljeno tvrd enje teoreme za svako A 0. Upored ujući poslednje dve teoreme možemo, na još jedna način, izvesti zaključak da funkcija f(t) = t nije operator monotona na [0, ). (Primer 3..3) Teorema 3..4 Neka je Φ unitalno,pozitivno linearno preslikavanje iz M m u M n i g operator konveksna funkcija na [0, ). Za svako A M m, A 0 važi g(φ(a)) Φ(g(A)). Dokaz. Analognim zaključivanjem kao u Teoremi 3..3 pozivajući se na integralnu reprezentaciju operator konveksne funkcije datu sa (3..4), dovoljno je da pokažemo nejednakosti: Φ(A) Φ(A ) (3..9) Φ(A) [si + Φ(A)] 1 Φ[A (si + A) 1 ], s > 0. Nejednakost (3..9) direktno važi prema Lemi 3... Primetimo da je A (si + A) 1 = A sa(si + A) 1 = A si + s (si + A) 1, Φ(A) [si + Φ(A)] 1 = Φ(A) si + s [si + Φ(A)] 1 (3..10) te druga nejednakost neposredno sledi iz (3..8). Podestimo se operator monotonih i operator konveksnih funkcija iz Primera 3..1. Ako upravo na te funkcije primenimo Teoreme 3..3 i 3..4, dobijamo: Posledica 3..1 Neka je Φ : M m M n unitalno,pozitivno linearno preslikavanje. Onda je: 3.3 Adamarov proizvod Φ(A r ) Φ(A) r, A 0, 0 < r 1 ; Φ(A r ) Φ(A) r, A > 0, r [ 1, 0] [1, ] ; Φ(log A) log (Φ(A)), A > 0. Neka su date matrice A = (a ij ), B = (b ij ) M n. Adamarov 7 proizvod matrica A i B označava se sa A B pri čemu je A B = (a ij b ij ) M n. Za više informacija o Adamarovom proizvodu videti [4]. Označimo sa A[α] glavnu podmatricu matrice A indeksiranu skupom α. Lako je pokazati da važi sledeće tvrd enje koje uspostavlja vezu izmed u Kornekerovog i Adamarovog proizvoda. 7 Jacques Salomon Hadamard(1865-1963), francuski matematičar

Nejednakosti sa stepenima matrica 19 Lema 3.3.1 Za proizvoljne matrice A, B M n, važi relacija A B = (A B)[α] gde je α = {1, n +, n + 3,..., n }. Obratno, postoji unitalno pozitivno linearno preslikavanje Φ iz M n u M n, Φ(A B) = A B za sve A, B M n. Teorema 3.3.1 (Šurova teorema o proizvodu) (i) A, B 0 = A B 0 ; (ii) A, B > 0 = A B > 0. Dokaz. Izvešćemo dokaz za slučaj kada su matrice A, B M n pozitivno definitne. Tvrd enje za pozitivno semidefinitne matrice dobijamo potpuno analogno. Unitarna matrica U = (u ij ) je izabrana tako da je A = U ΛU, pri čemu je Λ = daig(λ 1,..., λ n ), λ 1,..., λ n soptvene vrednosti matrice A. U skladu sa tim je a ij = k u ki λ k u kj = i,j a ij b ij x i x j = k λ k b ij yj k y k i za proizvoljan nenula vektor x C n, a yi k = x i u ki. Neka je y k = (yi k ) i, pokazaćemo da x 0 = y k 0 za bar neko k = 1, n. yi k = x i u ki = x i u ki = x i 0. i,k i k i i,k Sopstvene vrednosti matrice A su pozitivne, a i i,j b ijyi k y k j > 0 jer je y k 0 za neko k, te je A B pozitivno definitna matrica. i,j Tvrd enje 3.3.1 A r B r (A B) r, A, B 0, 0 < r 1; A r B r (A B) r, A, B > 0, r [ 1, 0] [1, ]. Dokaz. Primenimo Posledicu 3..1 na preslikavanje Φ o čijoj egzistenciji svedoči prethodna lema, i matricu A B. Da bismo dobili tražene nejednakosti dovoljno je iskoristiti svojstvo Kronekerovog proizvoda, (A B) t = A t B t, t R. Za prirodan broj k N definišemo k-ti Adamarov stepen matrice A = (a ij ) M n sa A (k) := (a k ij) M n. U skladu sa uvedenim oznakama, iz Tvrd enja 3.3.1 sledi Posledica 3.3.1 Za svaki prirodan broj k važi: (A r ) (k) (A (k) ) r, A 0, 0 < r 1 ; (A r ) (k) (A (k) ) r, A > 0, r [ 1, 0] [1, ]. Posledica 3.3. Funkcija f(t) = (A t B t ) 1/t, A, B 0 je monotono rastuća na intervalu [1, ) tj. (A s B s ) 1/s (A t B t ) 1/t, 1 s < t.

Nejednakosti sa stepenima matrica 0 Dokaz. Na osnovu Tvrd enja 3.3.1 imamo (A t ) s/t (B t ) s/t = A s B s (A t B t ) s/t. Možemo primeniti LH za 1 s 1 što nas dovodi do tražene nejdnakosti. Označimo sa P n skup pozitivno semidefinitnih matrica u M n. Preslikavanje Ψ : P n P n P m je udruženo konkavno ako je Ψ(λA + (1 λ)b, λc + (1 λ)d) λψ(a, C) + (1 λ)ψ(b, D) za sve A, B, C, D 0 i 0 λ 1. Za A, B > 0 paralelni zbir matrica A i B, u oznaci A : B, odred en je sa A : B = (A 1 + B 1 ) 1. Matrica A 1 + B 1 je invertibilna jer je pozitivno definitna. (A 1, B 1 > 0) Primetimo da paralelni zbir matrica zadovoljava identitete: A : B = A A(A + B) 1 A, Jednakost (3.3.1) je harmonijska sredina matrica A i B. Pokazaćemo da je zaista zadovoljena prva jednakost: (A : B) = [(A 1 + B 1 )/] 1, (3.3.1) A : B = (A 1 + B 1 ) 1 = A(A + B) 1 B = A A(A + B) 1 A. Kako A : B opada kada A i B opadaju, možemo definisati paralelnu sumu i na širem skupu pozitivno semidefinitnih matrica. Neka su A, B 0, tada je A : B = lim ε 0 [(A + εi) 1 + (B + εi) 1 ] 1. Na osnovu Leme 3..1 o Šurovom komplementu, lako se pokazuje [ ] A + B A A : B = max{x 0 : 0}. A A X Dakle, preslikavanje (A, B) A : B je primer udruženo konkvanog preslikavanja. Dokaz direktno sledi iz svojstava maksimuma. Lema 3.3. Za 0 < r < 1 i A, B 0 preslikavanje je udruženo konkavno preslikavanje. (A, B) A r B 1 r

Nejednakosti sa stepenima matrica 1 Dokaz. Pozivajući se na Lemu 3.3.1 zaključujemo da će tražena nejednakost važiti ukoliko pokažemo da je preslikavanje (A, B) A r B 1 r udruženo konkavno za A, B 0. Bez gubljenja opštosti, možemo pretpostaviti da je B > 0. Iskoristićemo integralnu reprezentaciju funkcije f(t) = t r, 0 < r < 1: t r = sin rπ π 0 s r 1 t s + t ds. Uz to A B 1 i I B komutiraju, te važi: A r B 1 r = (A B 1 ) r (I B) = sin rπ π 0 s r 1 (A B 1 )(A B 1 + si I) 1 (I B)ds. Funkcija A r B 1 r je udruženo konkavna ukoliko je podintegralna funkcija udruženo konkavna. Taj uslov je zadovoljen jer je (A B 1 )(A B 1 + si I) 1 (I B) = = (A B 1 )(s 1 I B)(s 1 A I + I B) 1 (I B) = (s 1 A I) (s 1 A I)(s 1 A I + I B) 1 (s 1 A I) = (s 1 A I) : (I B) a paralelna suma je udruženo konkavna funkcija. Stoga je i preslikavanje (A, B) A r B 1 r udruženo konkavno, a samim tim i preslikavanje (A, B) A r B 1 r. Za B 0 tvrd enje važi zahvaljujući neprekidnosti. Posledica 3.3.3 Neka su date pozitivno semidefinitne matrice A, B, C, D 0 i realni brojevi p, q > 1, 1 + 1 = 1. Tada p q A B + C D (A p + C p ) 1/p (B q + D q ) 1/q. Dokaz. Ova nejednakost zapravo predstavlja osobinu udruženo konkavne funkcije (A, B) A r B 1 r za r = 1/p i λ = 1/ ukoliko posmatramo matrice A p, C p, B q, D q 0. 1 [((Ap ) 1/p (B q ) 1/q ) + ((C p ) 1/p (D q ) 1/q )] ( 1 )1/p (A p + C p ) 1/p ( 1 )1/q (B q + D q ) 1/q Pošto je 1 p + 1 q = 1, dobili smo traženu nejednakost. Teorema 3.3. Za matrice A, B, X i Y, pri čemu su A i B pozitivno definitne, a X i Y proizvoljne, važi: (X A 1 X) (Y B 1 Y ) (X Y ) (A B) 1 (X Y ), (3.3.) X A 1 X + Y B 1 Y (X + Y ) (A + B) 1 (X + Y ). (3.3.3)

Nejednakosti sa stepenima matrica Dokaz. Iz Leme 3..1 sledi [ A X ] X X A 1 X 0, [ B Y ] Y Y B 1 Y 0. Ako primenimo Šurovu teoremu o proizvodu, imamo [ ] A B X Y (X Y ) (X A 1 X) (Y B 1 Y ) 0. Nejednakost (3.3.) dobijamo kada primenimo Lemu 3..1 (ali drugu implikaciju) na ovu matricu pošto je po Šurovoj teoremi o proizvodu A B > 0. Zbir dve pozitivno semidefinitne matrice je takod e pozitivno semidefinitna matrica, odnosno [ ] (A + B) (X + Y ) (X + Y ) (X A 1 X + Y B 1 0. Y ) Otud (3.3.3) proističe iz Leme 3..1. Posledica 3.3.4 Neka su X, Y proizvoljne matrica, a A, B pozitivno definitne. Tada: (X X) (Y Y ) (X Y ) (X Y ), A 1 B 1 (A B) 1. Dokaz. Obe nejednakosti predstavljaju specijalne slučajeve prethodne teoreme, prva za A = B = I, a druga za X = Y = I u nejednakosti (3.3.). Ukoliko je u poslednjoj nejednakosti A = C 1, B = C, C > 0, dobijamo Fidlerovu 8 nejednakost: C C 1 I. Nejednakosti (3.3.) i (3.3.3) se mogu generalizovati za konačno mnogo matrica, a da se dokaz bitno ne promeni. Uopštenje nejednakosti (3.3.) za k N je dato sa k Xj A 1 j X j ( k X j) ( k A j) 1 ( k za svako k N i X j M n, A j > 0, j = 1, k. Posmatrajući specijalne slučajeve dobijamo interesantne rezultate: k ( k k Xj X j k 8 Miroslav Fiedler (196- ), česki matematičar X j) ( k ( k ) 1 A 1 j k A j. X j ), X j )

Nejednakosti sa stepenima matrica 3 3.4 Nejednakost Furute Pri pravljenju analogija izmed u nenegativnih realnih brojeva i pozitivno semidefinitnih matrica možemo naići na razne pristupe i rezultate. Već smo prokomentarisali da, iako za nenegativne brojeve važi a b = a b, kod matrica to nije slučaj tj. iz A B 0 ne proizilazi nužno A B. Med utim, sledeća tvrd enja pokazaće da se implikacija a b 0 = a (ba b) 1 b koja važi na skupu realnih brojeva može uopštiti za skup matrica. (Posledica 3.4.) Pre nego što navedemo generalizaciju, pokazaćemo tvrd enje koje će nam biti potrebno za njen dokaz. Lema 3.4.1 Dokaz. Dokazaćemo lemu na dva načina. A > B > 0 = B 1 > A 1. (I) Postoji matrica P takva da je A = P P i B = P DP, gde je D = diag(d 1,..., d n ). Kako je A > 0, znamo da je P regularna matrica. Zaista, ako bi 0 bila sopstvena vrednost matrice P, onda bi i matrica A imala 0 kao sopstvenu vrednost što protivreči pretpostavci da je A > 0. Stoga postoji P 1 M n, a samim tim i (P ) 1 = (P 1 ). Za proizvoljan nenula vektor y C n \ {0} postoji x C \ {0} takav da je y = P x. No, onda je y Dy = (P x) D(P x) = x Bx > 0. Matrica D je dijagonalna pa su njene sopstvene vrednosti d 1,..., d n. Otud sledi da je d i > 0, i = 1, n. x Ax > x Bx važi za svako x C n \ {0} ako i samo ako je y y > y Dy za y = P x, x C n \ {0} tj. za svako y C n \ {0}. Dakle, A > B ako i samo ako je d i < 1, i = 1, n. Pošto je A 1 = Q Q i B 1 = Q D 1 Q s tim da je D 1 = diag(d 1 1,..., d 1 n ), to je, u skladu sa prethodnim razmatranjem, A 1 < B 1. (II) Neka je A > B > 0. B 1 A 1 = B 1 (A B)A 1 Matrice B 1, A B i A 1 su pozitivno definitne, a proizvod pozitivno definitnih matrica je pozitivno definitna matrica. Stoga je B 1 A 1 > 0. Nakon ove leme možmo detaljnije prokomentarisati već iznetu činjenicu da A : B opada kada A, B opadaju, na osnovu koje smo definisali paralelnu sumu i za pozitivno semidefinitne matrice. Neka je A 1 > A > 0 i B 1 > B > 0. A 1 1 < A 1 B 1 1 < B 1 = A 1 1 +B 1 1 < A 1 +B 1 = (A 1 1 +B 1 1 ) 1 > (A 1 +B 1 ) 1 Dakle, uslov A 1 > A > 0 i B 1 > B > 0 povlači A 1 : B 1 > A : B. Teorema 3.4.1 (Furuta 9 ) Neka je A B 0, tada za r 0, p 0, q 1, kao i (1 + r)q p + r važe sledeće nejednakosti: 9 Takayuki Furuta, japanski matematičar (B r A p B r ) 1 q B p+r q (3.4.1) A (p+r) q (A r B p A r ) 1 q. (3.4.)

Nejednakosti sa stepenima matrica 4 Dokaz. p 1. Najpre pokazujemo nejednakost (3.4.1). Razmatramo dva slučaja, p [0, 1) i (i) Neka je najpre p [0, 1). Iz Luner-Hajncove nejednakosti za A, B i p imamo A p B p, pa je B r A p B r B (p+r) jer je B ermitska matrica. Ponovo primenjujući LH za 1 q 1, dobijamo (3.4.1). (ii) Razmatraćemo nejednakost (3.4.1) za p 1. Dovoljno je da pokažemo da je (B r A p B r ) (1+r) (p+r) B 1+r Neka je t = 1+r. Ako bi važila ova nejednakost, prema LH za 1 1 imamo upravo (3.4.1) p+r tq za p 1. Nejednakost (B r A p B r ) t B 1+r (3.4.3) pokazujemo indukcijom po k N 0 na intervalima r ( k 1 1, k 1]. (Ovim ćemo zaista pokazati da nejednakost važi pod datim uslovima na čitavom skupu jer je (0, ) = ( k 1 1, k 1] ). k=0 Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti i da su matrice A i B pozitivno definitne, a samim tim i invertibilne. Za k = 0 je r (0, 1/]. Iz LH nejednakosti za r 1 i matrice A, B sledi A r B r, te i B r A r B r I, te je A r B r kontrakcija. (Lema 3.4.1) Iskoristimo (3..) za f(x) = x t, t (0, 1] da bismo dobili sledeći niz zaključaka: Stoga za k = 0 0 < r 1 (B r A p B r ) t = [(A r B r ) A p+r (A r B r )] t važi (3.4.3). (A r B r ) A (p+r)t (A r B r ) = B r AB r B 1+r. Pretpostavimo da (3.4.3) važi za svako r ( k 1 1, k 1 ] i uvedimo oznake A 1 = (B r A p B r ) t i B 1 = B 1+r, p 1 = 1 t 1 i r 1 = 1. Ukoliko je A 1 B 1 možemo primeniti bazu indukcije za r 1 i A 1, B 1. (B r 1 1 A p 1 1 B r 1 1 ) t 1 B 1+r 1 1, t 1 := 1 + r 1 p 1 + r 1 (3.4.4) Neka je s ( k 1, k+1 1] proizvoljno i r = s 1. Očigledno r (k 1 1, k 1 ], pa važi induktivna pretpostavka. Otud je A 1 B 1. Iz (3.4.4) je (B s A p B s ) t 1 B 1+s, t 1 = 1 + s p + s, čime smo pokazali da nejednakost (3.4.3) važi i na intervalu ( k 1, k+1 1 ]. U skladu sa principom matematičke indukcije, nejednakost (3.4.3), a samim tim i (3.4.1) važi za svako r 0 i p 1. (3.4.) sledi iz (3.4.1) za B 1 i A 1 jer je B 1 A 1 > 0 za A B > 0.

Nejednakosti sa stepenima matrica 5 Posledica 3.4.1 Ako je A B 0, onda je: za sve r 0 i p 1. (B r A p B r ) 1 p+r p B p A (p+r) p Posledica 3.4. Ako je A B 0, onda je (A r B p A r ) 1 p (BA B) 1 B i A (AB A) 1.

Glava 4 Singularne vrednosti 4.1 Sopstvene vrednosti Definicija 4.1.1 Neka je A linearan operator na vektorskom prostoru V nad poljem kompleksnih brojeva. Skalar λ C je sopstvena vrednost operatora A ako postoji nenula vektor x V takav da je Ax = λx. Ako je λ sopstvena vrednost operatora A, onda je odgovarajući vektor x V \ {0} sopstveni vektor operatora A (koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ). Sopstveni vektor jedinstveno odred uje sopstvenu vrednost, dok obrat ne važi. Sopstvena vrednost matrice zapravo se odnosi na operatorsku prirodu matrice i definiše u skladu sa sopstvenom vrednošću operatora. U opštem slučaju je kompleksan broj, ermitska matrica ima realne sopstvene vrednosti, a pozitivno semidefinitna nenegativne. Matrica A M n ima n sopstvenih vrednosti, računajući i višestrukosti. Pritom je A singularna ako i samo ako ima sopstvenu vrednost jednaku 0. Već znamo da postoji veza izmed u elemenata na dijagonali matrice i sopstvenih vrednosti matrice. Neka je data matrica A = (a ij ) M n čije su sopstvene vrednosti λ 1,..., λ n, onda je n n tra = a ii = λ i. Šurova nejednakost ukazuje opštije na odnos elemenata matrice i njenih sopstvenih vrednosti. Teorema 4.1.1 (Šurova nejednakost) Ukoliko su λ 1,..., λ n sopstvene vrednosti matrice A = (a ij ) M n, onda je n λ i n a ij. Jednakost važi ako i samo ako je A normalna matrica. i, Dokaz. Postoji unitarna matrica U takva da je matrica T = U AU gornje trougaona matrica i T je dijagonalna ako i samo ako je A normalna matrica. Onda je T T = U AA U, pa i tr(t T ) = tr(aa ). Preostaje da uočimo da je tr(aa ) = n a ij i tr(t T ) = i, 6 n λ i + t ij. i<j

Singularne vrednosti 7 Jednakost važi ako i samo ako je t ij = 0, odnosno ako i samo ako je matrica T dijagonalna, a samim tim ako i samo ako je A normalna matrica. i<j Posledica 4.1.1 Ako je p (0, ] i λ 1, λ..., λ n sopstvene vrednosti matrice A = (a ij ) M n, onda važi n n λ j p a ij p. Teorema 4.1. Ako je A = B + ic, B i C ermitske matrice, λ 1,..., λ n sopstvene vrednosti matrice A, onda je n n n n Re λ i b ij i Im λ i c ij. Dokaz. i, i, Kao u malopred ašnjem dokazu, neka je T = U AU. S obzirom na A = B + ic, imamo B = 1(A + A ) i ic = 1(A A ), pa je U BU = T +T i U (ic)u = T T. Zato: n b ij = tr(bb ) = tr(t + T ) n = Re λ i + t ij 4, i, i<j n n c ij = Im λ i + t ij. i, i<j Tvrd enje direktno sledi iz ovih jednakosti. Uočimo da jednakost i u ovom slučaju važi ako i samo ako je matrica A normalna. Koristićemo oznaku λ i (X), X M n za i-tu sopstvenu vrednost matrice X. Ako je matrica X ermitska, smatraćemo da je λ 1 (X) λ (X) λ n (X). (Ovakva pretpostavka je moguća jer su sopstvene vrednosti ermitske matrice realni brojevi, te ih možemo upored ivati.) i, Teorema 4.1.3 (Vajl 1 ) Neka su A, B ermitske matrice i C = A + B. Tada: Dokaz. (i) λ i (C) λ j (A) + λ i j+1 (B) za i j; (ii) λ i (C) λ j (A) + λ i j+n (B) za i j. Neka su {a i }, {b i } i {c i } ortnormirani sopstveni vektori matrica A, B i C redom. (i) Neka je i j. Definišimo sopstvene potprostore V 1 = L{a j,..., a n }, V = L{b i j+1,..., b n } i V 3 = L{c 1,..., c i }. dim(v 1 V V 3 ) dim V 1 + dim V + dim V 3 n = 1. Podatak da je dim(v 1 V V 3 ) 1 nam daje za pravo da pretpostavimo da postoji jedinični vektor x V 1 V V 3. Očigledno je λ j (A) + λ i j+1 (B) (x, Ax) + (x, Bx) = (x, Cx) λ i (C). (ii) Pozovimo se na (i) za matrice A, B i C. 1 Hermann Klaus Hugo Weyl (1885-1955), nemački matematičar i fizičar

Singularne vrednosti 8 Posledica 4.1. (Vajlova teorema o monotonosti) Ako su A i B ermitske matrice reda n i i {1,..., n}, onda važi λ i (A) + λ n (B) λ i (A + B) λ i (A) + λ 1 (B). Posledica 4.1.3 Za ermitsku matricu A i pozitivno semidefinitnu matricu B je λ i (A + B) λ i (A), i = 1, n. Dokaz. λ i (A + B) λ i (A) + λ n (B) λ i (A) pošto su sopstvene vrednosti matrice B nenegativne. Pozitivna definitnost matrice B garantuje strogu nejednakost u prethodno pokazanoj posledici tj. λ i (A + B) > λ i (A), i = 1, n. Teorema 4.1.4 (Kurant -Fišer 3 ) Ukoliko je A M n ermitska matrica čije su sopstvene vrednosti λ 1 λ λ n, tada je za prirodan broj k, 1 k n: max min x Ax w 1,...,w n k C n x 0, x C n x w 1,...,w n k min max x Ax w 1,...,w k 1 C n x 0, x C n x w 1,...,w k 1 x x = λ k, x x = λ k. Modifikovani oblik nejednakost Kurant-Fišera poznat je i kao minimax princip (Kurant- Fišerov minimax princip): Posledica 4.1.4 Neka je A M n ermitska matrica i λ 1,..., λ n njene sopstvene vrednosti. Tada je λ k = max min x, Ax M C n, x M, za svako k = 1,,..., n. dim M=k x =1 Ukoliko bismo zahtevali da je λ 1 λ λ n, onda je minimax princip dat sa λ k = min M C n, x M, dim M=k x =1 max x, Ax, k = 1, n. Teorema 4.1.5 (Poenkareova 4 separaciona teorema) Neka je matrica A ermitska, r {1,..., n} i u 1,..., u r C n ortonormirani vektori. Pritom neka je B r = (u i Au j ) r i,, onda je za svako k {1,..., r} λ k (A) λ k (B r ) λ k+n r (A). Tvrd enje 4.1.1 Neka su λ 1,... λ n i µ 1,..., µ n sopstvene vrednosti ermitskih matrica A i B, redom. Richard Courant (1888-197), nemački matematičar 3 Ernst Sigismund Fischer (1875-1954), austrijski matematičar 4 Jules Henri Poincaré (1854-193), francuski matematičar i fizičar

Singularne vrednosti 9 (i) A B = λ j µ j, j = 1, n; (ii) A > B = λ j > µ j, j = 1, n. Dokaz. Iskoristićemo minimax princip za proizvoljno odabrano j {1,..., n}. λ j = max M C n, x M, dim J=j x =1 µ j = max M C n, x M, dim J=j x =1 min x, Ax (4.1.1) min x, Bx (4.1.) Obeležimo sa N C n skup dimenzije j na kome se dostiže maksimum u jednakosti 4.1., no neka je i y N vektor za koji se dostiže minimum min x, Ax. (i) Pretpostavimo da je A B. x N, x =1 µ j = min x, Bx y, By y, Ay = min x, Ax λ j. x N, x =1 jer je x, Bx x, Ax zbog A B. x N, x =1 (ii) Dokazuje se na isti način s tim da je x, Bx < x, Ax. Tvrd enje 4.1. Za ermitske matrice A, B M n kod kojih je λ i (A) λ i (B), i = 1, n postoji unitarna matrica U takva da je U AU B. Dokaz. Neka su V, W unitarne matrice za koje je A = V diag(λ 1 (A),..., λ n (A))V ; B = W diag(λ 1 (B),..., λ n (B))W. Uslov teoreme povlači diag(λ 1 (A),..., λ n (A)) diag(λ 1 (B),..., λ n (B)) 0, pritom je W unitarna matrica te je W diag(λ 1 (A),..., λ n (A))W B 0. Neka je U = V W. Matrica U je unitarna i U AU B. Tvrd enje 4.1.3 Neka su A, B M n i A B 0. Tada za svaku pozitivno semidefinitnu matricu X M n važi λ i (Ax) λ i (BX), i = 1.n.

Singularne vrednosti 30 4. Majorizacija Uvešćemo oznaku A := A A, A M n. Definicija 4..1 Singularne vrednosti matrice A M n su sopstvene vrednost matrice A. Singularne vrednosti matrice A obeležavaćemo sa s i (A), i = 1, n, a odgovarajući vektor sa s(a) (s 1 (A), s (A),..., s n (A)), pri čemu su singularne vrednosti ured ene u nerastućem poretku, s 1 (A) s (A)... s n (A). Singularne vrednosti su nenegativne jer predstavljaju korene sopstvenih vrednosti matrice A A. Kod pozitivno semidefinitnih matrica se poklapaju singularne i sopstvene vrednosti matrice. Primetimo da su singularne vrednosti unitarno invarijante jer za unitarne matrice U i V važi s(uav ) = s(a). UAV = ((UAV ) (UAV )) 1/ = (V A AV ) 1/ = AV Dakle, kvadrati singularnih vrednosti matrice U AV su jednaki sopstvenim vrednostima matrice V A AV tj. sopstvenim vrednostima matrice A A. Izvedeni zaključak je ekvivalentan sa s(uav ) = s(a). Neka je dat vektor x = (x 1, x,..., x n ) R n. nerastući poredak x [1] x [] x [n]. Permutovaćemo njegove komponente u Definicija 4.. Ukoliko za x = (x 1, x,..., x n ), y = (y 1, y,..., y n ) R n važi k x [i] k y [i], k = 1, n, kažemo da je x slabo majorizovan sa y (y slabo majorizuje x) i pišemo x ω n x ω y i x [i] = n y [i], onda je x majorizovan sa y što obeležavamo sa x y. Primer 4..1. Neka su a i 0 i = 1, n i n a i = 1. Tada je: y. Ako je ( 1 n,..., 1 n ) (a 1,..., a n ) (1, 0,..., 0). S obizrom na to da ćemo se u ovom poglavlju ograničiti na rad sa ermitskim matricama i uz to znamo da su sve sopstvene vrednosti matrice A realne, možemo smatrati da su date u nerastućem poretku, λ 1 λ λ n. Koristićemo oznaku λ(a) = (λ 1 (A),..., λ n (A)). Ukoliko su A i B ermitske matrice i λ(a) λ(b) označavaćemo sa A B. Analogno, kada se radi o slaboj majorizaciji pisaćemo A ω B. Dijagonalne elemente matrice A označavaćemo sa h i (A), i = 1, n pretpostavljujući da su permutovani u nerastući poredak, h 1 h h n. Podestimo se nekih pojmova vezanih za matrice. Matrica A = (a ij ) je nenegativna ako je a ij 0 za sve i, j, a dvostruko stohastička ako je nenegativna i suma ma koje vrste, odnosno

Singularne vrednosti 31 kolone, jednaka 1. Teorema Hardi 5 -Litlvud 6 -Polija 7 ([15]) tvrdi da je x y ako i samo ako postoji dvostruko stohastička matrica A takva da je x = Ay. Upravo iz ove karakterizacije majorizacije proizilazi Šurova teorema o majorizaciji: Teorema 4..1 Za ermitsku matricu A čiji su elementi na dijagonali h 1 h h n i sopstvene vrednosti λ 1 λ λ n važi (h 1,..., h n ) (λ 1,..., λ n ). (4..3) Dokaz. Postoji unitarna matrica U za koju je A = U diag(λ 1, λ,..., λ n )U. h i = n ū ji λ j u ji = n λ j u ji gde je U = (u ij ) i i {1,,..., n}. Pritom je n u ji = n u ji = 1. Zbog svega navedenog, λ majorizuje h po teoremi Hardi-Litlvud-Polija gde je h = Bλ za B = (b ij ), a b ij = u ji, i, j = 1,..., n. Šurovu teoremu o ma- U skladu sa malopred ašnjim oznakama možemo preformulisati jorizaciji. Tvrd enje 4..1 Za ermitsku matricu A je A I A. Posledica 4..1 Ako je A M n ermitska matrica i 1 k n, onda je k λ i (A) = max x i x j=δ ij k x i Ax j. (4..4) Dokaz. Neka je k {1,..., n} proizvoljno i U = [ V W ] unitarna matrica, a kolone matrice V ortonormirani vektori x 1,..., x k. Otud je k x i Ax i = tr(v AV ) k h i (U AU) k λ i (U AU) = max k x i x j=δ x i Ax i k λ i(a). ij k λ i (A). Da bismo dobili i drugu nejednakost pretpostavićemo da su x i jedinični, med usobno ortogonalni sopstveni vektori koji odgovaraju sopstvenim vrednostima λ i (A) za i = 1, n. Za tako odabrane vektore je k x i Ax i = k λ i(a), a time smo pokazali jednakost. 5 Godfrey Harold Hardy (1877-1947) 6 John Edensor Littlewood (1885-1977) 7 George Pólya (1888-1985)