Matematika Osnovna razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.
Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Osnovna razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin, prof. Voditelj projekta: Domagoj Mak Stručni recenzent: doc. dr. sc. Petar Javor Nakladnik: Algebra d.o.o., 2015. Za nakladnika: mr.sc. Mislav Balković Mjesto i godina izdanja: Zagreb, 2015. www.drzavnamatura.hr matura@algebra.hr U ovom izdanju korišteni su zadaci prošlih rokova državne mature, Nacionalnog centra za vanjsko vrednovanje obrazovanja koji su javno objavljeni i dostupni na www.ncvvo.hr, uz odobrenje NCVVO-a. Sva prava pridržana. Niti jedan dio ove knjige ne smije se reproducirati ili prenositi u bilo kojem obliku, niti na koji način. Zabranjeno je svako kopiranje, citiranje te upotreba knjige u javnim i privatnim edukacijskim organizacijama u svrhu organiziranih školovanja, a bez pisanog odobrenja nositelja autorskih prava. Copyright Algebra d.o.o.
Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Str. 1 SADRŽAJ BROJEVI I ALGEBRA... 3 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q i R... 4 1.2 Elementarno računanje... 18 1.3 Postotci i omjeri... 36 1.4 Algebarski izrazi i algebarski razlomci... 50 1.5 Mjerne jedinice... 64 FUNKCIJE... 76 2.1 Definicija funkcije... 77 2.2 Linearna funkcija... 82 2.3 Kvadratna funkcija... 92 2.4 Eksponencijalna funkcija s bazom 10... 109 JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE... 113 3.1 Linearne jednadžbe... 114 3.2 Linearne nejednadžbe... 119 3.3 Kvadratne jednadžbe... 124 3.4 Jednostavnije eksponencijalne jednadžbe... 131 3.5 Jednostavniji sustavi linearnih i/ili kvadratnih jednadžbi... 135 GEOMETRIJA... 145 4.1 Elementarna geometrija likova u ravnini... 146 4.2 Prizma, piramida, valjak, stožac, kugla... 169 4.3 Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini... 181 4.4 Jednadžba pravca... 200 MODELIRANJE... 215 5.1 Ponavljanje... 216 5.2 Riješeni primjeri... 216 5.3 Zadaci s ranije održanih državnih matura... 222 5.4 Dodatni zadaci... 230 RJEŠENJA: MATEMATIKA NIŽA RAZINA... 235 PRILOG 1: ZADACI S JESENSKOG I LJETNOG ROKA DRŽAVNE MATURE 2015.... 257
Brojevi i algebra U ovom poglavlju naučit ćete: o skupovima N, Z, Q, R uspoređivanje brojeva intervale postotke i omjere računati s algebarskim izrazima i razlomcima pretvarati mjerne jedinice računati te kako koristiti kalkulator
Str. 4 1. poglavlje: Brojevi i algebra 1.1 Skupovi brojeva N, Z, Q i R 1.1.1 Ponavljanje 1.1.1.1 Pojam skupa i osnovne skupovne operacije Skup je osnovni matematički pojam koji se ne definira, ali je intuitivno jasan (objedinjuje objekte koji imaju neka zajednička svojstva). Primjer 1. Skup svih polaznika ovog tečaja. Skup svih državljana Hrvatske. Skup svih višekratnika broja 3. Skupove označavamo velikim slovima abecede: te oznakom. Unutar vitičastih zagrada ispisujemo članove koji pripadaju skupu ili svojstvo koje zadovoljavaju članovi (elementi) skupa. Činjenicu da broj 1 pripada skupu A zapisujemo i čitamo: 1 je element skupa A. Činjenicu da broj 2 ne pripada skupu B zapisujemo i čitamo: 2 nije element skupa B. Za dva skupa i kažemo da su jednaka i pišemo ako je svaki element skupa ujedno i element skupa, odnosno ako je svaki element skupa ujedno i element skupa, tj. ako ti skupovi sadrže sve iste elemente. Ako skupovi nisu jednaki, kažemo da su različiti i pišemo. Primjer 2. U primjeru 2. skup zadan je ispisivanjem svih njegovih elemenata, dok su skupovi i zadani navođenjem svojstava njihovih elemenata. Lako možemo ispisati elemente zadanih skupova:,. Primjer 3. Jesu li skupovi i iz primjera 2 jednaki? Odgovor: Jesu, jer sadrže iste elemente. Dakle. Prazan skup je skup koji ne sadržava niti jedan element. Označavamo ga simbolom. Primjer 4 je skup svih ljudi koji su viši od 3 m. Očito je. Ako je svaki element skupa ujedno i element skupa, kažemo da je podskup od i pišemo.
Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Str. 5 Ako je i ( tj. skup sadrži još barem jedan element koji ne pripada skupu ), kažemo da je pravi podskup od i pišemo. Primjer 5. Promotri skupove u primjeru 2. Jesu li istinite tvrdnje: a), b)? Odgovor: tvrdnja pod a) je istinita; tvrdnja pod b) nije istinita. Odnos skupova možemo prikazati Euler Vennovim dijagramom: 1.1.1.2 Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Prethodnik broja je broj. Svaki prirodni broj, osim broja 1, ima svog prethodnika. Sljedbenik broja je broj. Svaki prirodni broj ima svog sljedbenika. Najmanji prirodni broj je 1, ne postoji najveći prirodni broj. Prirodni broj djeljiv je prirodnim brojem ako postoji prirodni broj takav da je. Tada je broj višekratnik broja, odnosno broj je djelitelj (faktor) broja. Najveći zajednički djelitelj ili najveća zajednička mjera brojeva. je najveći prirodni broj koji ima svojstvo da dijeli brojeve... Označavamo ga sa ili. Prirodni broj veći od 1 je prost ako je djeljiv samo sa jedan i sa samim sobom. Prirodni broj veći od 1 je složen ako nije prost. Broj 1 nije ni prost ni složen. Prostih prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo.
Str. 6 1. poglavlje: Brojevi i algebra Svaki složeni prirodni broj možemo prikazati u obliku produkta prostih faktora. Kažemo da ga možemo rastaviti na proste faktore. Relativno prosti brojevi su oni brojevi čiji najveći zajednički djelitelj je broj 1. Zbroj i umnožak prirodnih brojeva ponovno je prirodni broj, dok razlika i količnik prirodnih brojeva ne moraju biti prirodni brojevi. Zbroj (sumu) brojeva označavamo sa. Zbroj je rezultat računske operacije zbrajanja. Razliku (diferenciju) brojeva označavamo sa. Razlika je rezultat računske operacije oduzimanja. Umnožak (produkt) brojeva označavamo s ili. Umnožak je rezultat računske operacije množenja. Količnik (kvocijent) brojeva označavamo s ili ili. Količnik je rezultat računske operacije dijeljenja. Skup cijelih brojeva Zbroj, razlika i umnožak cijelih brojeva ponovno je cijeli broj. Količnik cijelih brojeva ne mora biti cijeli broj. Svaki cijeli broj ima svog prethodnika i sljedbenika. Ne postoji ni najmanji ni najveći cijeli broj. Skup racionalnih brojeva Broj oblika naziva se razlomak. je brojnik, je nazivnik. Nazivnik razlomka uvijek mora biti različit od nule, jer se nulom ne smije dijeliti. Razlomačka crta ima ulogu dijeljenja,. Svaki racionalni broj možemo prikazati i u decimalnom obliku tako da brojnik podijelimo nazivnikom,,. Decimalni zapis racionalnog broja može biti konačan (ima konačno mnogo decimala) Npr. ; ; ili beskonačan periodički decimalan broj (ima beskonačno mnogo decimala, koje se periodički ponavljaju odmah iza decimalne točke ili se periodički ponavljaju nakon konačnog broja decimalnih mjesta).
Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Str. 7 Npr. ; ; Skupina znamenaka koja se ponavlja naziva se period. U zapisu ga označavamo tako da iznad prve i zadnje znamenke perioda napišemo točku. Vrijedi i obratno, tj. svaki konačni decimalni broj i svaki beskonačni periodički decimalni broj možemo napisati u obliku razlomka. Dakle to su racionalni brojevi. Jednakost racionalnih brojeva Uspoređivanje racionalnih brojeva Skraćivanje razlomaka Proširivanje razlomaka Zbroj, razlika, umnožak i količnik racionalnih brojeva ponovno je racionalan broj. Računanje s razlomcima Razlomak koji je rezultat provedenih računskih operacija, obavezno treba do kraja skratiti (ako je moguće). Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnikom Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima Neka su, tada vrijedi: Napomena: Ukoliko nazivnici razlomaka koje zbrajamo (odnosno oduzimamo) nisu relativno prosti brojevi svodimo ih na najmanji zajednički nazivnik. Najmanji zajednički nazivnik je najmanji zajednički višekratnik svih nazivnika, tj. najmanji broj koji ima svojstvo da je djeljiv sa svakim od nazivnika. Nakon toga razlomke zbrojimo (odnosno oduzmemo).
Str. 8 1. poglavlje: Brojevi i algebra Množenje razlomaka Dijeljenje razlomaka Dvojni razlomak Kažemo da skup ima svojstvo gustoće: između svaka dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva. Skup iracionalnih brojeva Iracionalni brojevi su svi decimalni beskonačni neperiodički brojevi. Npr. Kažemo da su kupovi i su disjunktni, tj.. Iracionalne brojeve možemo aproksimirati (zaokružiti na određen broj decimala) pomoću racionalnih brojeva. Kažemo da skup ima svojstvo gustoće: između svaka dva iracionalna broja postoji beskonačno mnogo iracionalnih brojeva. Skup realnih brojeva -algebarski pristup - realni brojevi su svi decimalni brojevi (konačni, beskonačni, periodički, neperiodički). (Pri tome, prirodne, odnosno cijele brojeve možemo tumačiti kao decimalne sa svim decimalama jednakim nula koje se ne pišu.) -geometrijski pristup - skup realnih brojeva identificiramo s brojevnim pravcem. Brojevni pravac je pravac na kojeg su bijektivno preslikani svi realni brojevi. (Svakom realnom broju pridružena je točno jedna točka pravca. Različiti brojevi preslikani su u različite točke pravca i u svaku točku pravca preslikan je točno jedan realni broj.)
Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Str. 9 -aksiomatski pristup- Skup opsujemo skupinom aksioma koji vrijede za računske operacije zbrajanja i množenja: A1 Komutativnost zbrajanja A2 Asocijativnost zbrajanja A3 Neutralni element za zbrajanje je broj 0. A4 Suprotni element Za svaki realni broj postoji realni broj takav da vrijedi. A5 Komutativnost množenja A6 Asocijativnost množenja A7 Neutralni element za množenje je broj 1. A8 Inverzni element Za svaki realni broj, osim nule, postoji realni broj takav da vrijedi A9 Distributivnost množenja prema zbrajanju A10 Za svaka dva realna broja vrijedi. A11 Ako za realne brojeve vrijedi, onda je (simetričnost). A12 A13 A14 Ako za realne brojeve vrijedi onda je (tranzitivnost) Ako je onda za svaki realni broj vrijedi Ako je tada je. Aksiomi A1 do A9 nazivaju se aksiomi polja. Aksiomi A10 do A14 nazivaju se aksiomi uređaja.
Str. 10 1. poglavlje: Brojevi i algebra Koordinatni sustav na brojevnom pravcu određen je točkom O (ishodištem) u koju je preslikan broj 0 i točkom u koju je preslikan broj 1. Dužina je jedinična dužina pomoću koje vršimo mjerenja na pravcu. Točku u koju se preslikao realni broj najčešće označavamo sa. Kažemo da je koordinata točke na brojevnom pravcu. Pozitivni brojevi na brojevnom pravcu smješteni su desno od ishodišta, a negativni lijevo od ishodišta koordinatnog sustava. Ako je, točka koja je na brojevnom pravcu pridružena broju nalazi se lijevo u odnosu na točku koja je pridružena realnom broju. Odnos skupova brojeva R N Z Q I Intervali su posdkupovi skupa realnih brojeva. otvoreni interval (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo veći od i strogo manji od ) poluotvoreni interval s lijeva (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo veći od i manji ili jednaki od )
Pripreme za državnu maturu Matematika (B) Str. 11 poluotvoreni interval zdesna (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su veći ili jednaki od i strogo manji od ) zatvoreni interval ili segment (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su veći ili jednaki od i manji ili jednaki od ) Realni brojevi su rubovi intervala. je početak, je kraj intervala. Neka granica intervala može biti i beskonačna, pišemo. Npr. (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo manji od ) (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su manji ili jednaki od ) (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su strogo veći od ) (skup svih realnih brojeva koji imaju svojstvo da su veći ili jednaki od )