Podoslono matematčk fakultet Seučlšte u Spltu Spejalna teoja elatnost Skpta z kolegja lektodnamka II Pof. Željko Antunoć
SPCIJALNA TORIJA RLATINOSTI. Uod 3.. Gallejee tansfomaje 3.. Klasčna elektodnamka 7.. Postulat spejane teoje elatnost 9.. Loentzoe tansfomaje 9.. Četoo ekto..3 Kontakja duljne 7..4 Dlataja emena 8..5 Doppleo efekt..6 Slaganje bzna 4. 3. Relatstčka mehanka 3. 3. Relatstčk mpuls 34. 3. Relatstčka enegja 37. 3.3 Relatstčk Hamltonjan 53. 4. Koajantna fomulaja elektodnamke 59. 4. Loentzoa najantnost Mawelloh jednadžb zo potenjal 6. 4. Loentzoa najantnost Mawelloh jednadžb polja sle 69. 4.3 Lagangeoa fomulaja elatstčke elektodnamke 9. Lteatua 99.
SPCIJALNA TORIJA RLATINOSTI. UOD Kajem XIX. početkom XX. stoljeća fzka se suočaala s ogomnm poblemma. Osnone tdnje teoje Newtonoe klasčne mehanke, koja je smatana točnom koz še od godna mnogo puta pojeenom, ble su u supotnost s temeljnm tdnjama tadašnje "noe fzke" Mawelloe elektodnamke. odeć znansten ulagal su ogoman tud pokušaajuć azješt taj paadoks. Tek je 95. mlad, nepoznat fzča Albet nsten, u članku publanom u Annalen de Physk 95., ješo poblem na spektakulaan načn: Newtonoa klasčna mehanka samo je pblžno točna teoja kad su bzne male u udnosu na bznu sjetlost, a Mawelloa elektodnamka je spana teoja bez kakh ogančenja! Tu nou nstenou teoju koja zamjenjuje Newtonou klasčnu mehanku pedstalja temelj modene fzke nazamo Spejalna teoja elatnost (STR). t nesuglasja zmeđu klasčne mehanke elektodnamke najlakše se d na pmjeu najjednostanjh fzkalnh elčna. Cjelokupna fzka, klasčna modena, bazana je na pnpu elatnost: (I) Zakon fzke ne zase od zboa nejalnog efeentnog sustaa! Inejaln efeentn susta su on u kojma až p Newtono zakon. Tak susta se jedan u odnosu na dug gbaju konstantnom bznom bez akeleaje. Satko ko je u aonu koj let bznom od 9 kmh - popo kau l psao po papu l na kompjuteu, pojeo je aženje pnpa elatnost zakon fzke su st u sustau ezanom za zemlju u sustau koj se gba nekom konstantnom bznom, maka ona bla 5 ms -. Np. kaa se na st načn uljea u šalu. Oaj jednostan ekspement još pokazuje da pp elatnost až samo za nejalne sustae posljede blo kake tubulenje (akeleaje) su očgledne. Refeentn susta su nužn u fz zbog elatnost gbanja česta se gba u odnosu na "nešto" to jest u odnosu na nek efeentn susta. Gonj skaz: aon let konstantnom bznom 9 kmh -... ma smsla samo zato što m znamo da je to bzna aona mjeena u odnosu na Zemlju. P pelasku z jednog u dug nejaln efeentn susta jednost nekh fzkalnh elčna se mjenjaju, a nekh dugh ostaju ste. Fzkalne elčne čja jednost je sta u sm nejalnm efeentnm sustama (IRS) nazamo najantnm za njh je sejedno u odnosu na koj IRS h mjemo.. GALILJ TRANSFORMACIJ Tansfomaje koodnata emena kojma se pelaz z jednog u dug IRS u Newtonooj mehan nazaju se Gallejee tansfomaje. Zamslmo da mamo da IRS-a. Jedan ujetno mn S, čje su postono-emenske koodnate (, t) (,y,z,t) dug S s paalelnm osma, u kojemu su odgoaajuće koodnate (, t ) (,y,z,t ). 3
Neka se susta S gba bznom onst. u odnosu na S kao na Sl. susta S z y O R O y z susta S' Slka. Ishodšta sustaa S u S odeđuje adjus ekto R t R, gdje je R njhoa udaljenost u tenutku t. d se da su tansfomaje z S u S : t R y y y t R y t R (.) z z z t R z l u ektoskom oblku: t t t t t t Zadnj edak u elaj (.) znač da jeme teče stom bznom u S u S, al m se emenska shodšta ne poklapaju po analogj s postonm shodštma. To jeste čest slučaj na Zemlj: jeme u Spltu New Yoku se azlkuje za t 6 h. ez gubtka općentost, lako je zamslt da su napaljene emenske ( t ) postone tanslaje ( R ) tako da se shodšta oba sustaa poklapaju u početnom tenutku t t. Zato se Gallejee tansfomaje najčešće pšu bez oh konstant u oblku: t y y y t t (.) z z z t l u ektoskom oblku: t t t t Da IRS-a su potpuno anopana, pa je z (.) lako nać neznu tansfomaju z sustaa S u susta S (zamjent "tane" "netane" koodnate te pomjent u ): t y y y t t (. ) z z z t l u ektoskom oblku: t t t t 4
Gallejee tansfomaje za blo koje dje točke u postou: oduzmanjem daju: l u nfntezmalnom oblku: t t,, t t t t t t, (.3) d d dt dt. (.3 ) Pozlaz da su udaljenost dju točaka duljna emenskog nteala najantn p Gallejem tansfomajama. Oo je potpuno u skladu s našm sakodnenm skustom ntujom u makosjetu kad spefamo dmenzje tjela emenskh nteala podazumjeamo da su to jednoznačne elčne ne moamo azmšljat gdje, kada (u kojem IRS-u) kako su te elčne mjeene. Za opsanje gbanja tebaju nam još bzna akeleaja. Iz elaje (.3 ) sljed d/dt d/dt, pa deanjem po emenu z (.) l (. ) dobjamo: Kako je onst. za ubzanje nalazmo. (.4) a a. (.5) Izaz (.4), koj sljed z Gallejeh tansfomaja, je zakon slaganja bzna u klasčnoj mehan bzna česte u mnom sustau jednaka je zboju bzne česte u poketnom sustau bzne samog poketnog sustaa. Pmje.Relatna bzna bodoa (slaganje bzna u klasčnoj fz) Rada s obale zmje da se da bza motona čama pblžaaju lu bznama 4 ms - (8-8 ) 8 ms - (6-8 ) to: a) duž stog paa, b) duž okomth paaa. Kolku bznu bžeg čama zmje kapetan spojeg? zne čamaa su zadane u IRS-u koj muje u odnosu na obalu (zemlju), a taž se bzna pog čama koju zmje pomatač z dugog (spojeg) čama. a) Odabemo poston koodnatn susta tako da se čam gbaju gbaju duž -os, pa su bzne čamaa: IRS zemlje: 4 ms - î 8 ms - î (čama ljeo, a čama desno od ) IRS čama : je susta moanja (mujuć IRS) pomatača z čama. U oom sustau bzna obale (zemlje) poketn IRS je: 8 ms - î, a bzna čama u odnosu na poketn susta obale (zemlje) je: 4 ms - î. Pema (.4) je onda: 4 ms - î čam se pblžaaju bznom od 4 ms -. 5
b) Sada su bzne čamaa: IRS zemlje: 4 ms - î 8 ms - ĵ IRS čama : bzna poketnog sustaa je sad 8 ms - ĵ, bzna pog čama u odnosu na poketn susta je opet 4 ms - î. zna čama u odnosu na čama je: 4 ms - î 8 ms - ĵ. Čam se pblžaaju bznom: ( 4ms ) ( 8ms ) y 3 to kut θ atg atg 36,87 37. 4 3 ms - -7, koja s -os Napomenmo da je bzna sjetlost u akuumu 9979458 ms -, lo pblžno 3 8 ms -, a naodmo je samo da se d kako su se bzne u oom pmjeu lo male u odnosu na. Pezno gooeć, susta efeenje ezan za točku na pošn Zemlje (obalu), naano, nje nejaln. Taka susta ma akeleaju usljed Zemljne tnje oko lastte os, te oko Suna, oko enta naše galaksje,... No, zbog spoost tnje, efekt nenejalnost se u poj apoksmaj mogu zanemat. Uz petpostaku da je masa česte najantna p Gallejem tansfomajama m m, (.6) elaje (.3) do (.6) osguaaju najantnost klasčne fzke u odnosu na Gallejee tansfomaje! Ako pomatamo susta česta, lako se ujet da sak član u dugom Newtonoom zakonu za -tu čestu zolanog sustaa česta: m a F(, & ), (.7) ostaje nepomjenjen p pomjen IRS-a, je se j tansfoma kao, a z (.4) elatna bzna česta je & ( ) ( ) & j j j j j j j j. d Zaključujemo: ako u II Newtonoom zakonu za jednu čestu F (m) Gallejem dt tansfomajama peđemo u susta S nalazmo: F F, t t, m m,, a a! Općento u fz oo nje točno. Pjelaz z jednog u dug IRS je složenj gonje elaje su samo apoksmatno točne tako da jed: F F, t t,, a a! j 6
. KLASIČNA LKTRODINAMIKA Stuaja je btno dukčja u klasčnoj elektodnam. Osnone jednadžbe elektodnamke u akuumu su Mawelloe jednadžbe: ρ ε t µ j εµ t (.8) U podučju postoa gdje nema zoa, ρ j, uzmanjem otoa od lako se pokaže da elektomagnetska polja zadooljaaju homogene alne jednadžbe t, (.9) čja su ješenja tansezaln elektomagnetsk alo koj se koz akuum še bznom sjetlost odeđenom sa: ε µ, 9979458 ms -. (.) Pojaa bzne sjetlost u jednadžbama elektodnamke odmah ukazuje na pobleme s Gallejem tansfomajama. Pema (.4) p pelasku u dug IRS bzna se mjenja u, što je fzkalno elk poblem zbog eze (.) bzne sjetlost s elektčnom pemtnošću, ε, magnetskom pemeablnost, µ, akuuma. Ne mjenjaju se aljda osnone elektomagnetske sojsta paznog postoa p pelasku z jednog IRS-a u dug! alna jednadžba (.9), pa onda n elektodnamka, nje najantna p Gallejem tansfomajama (jednadžbe elektodnamke nsu ste u sm IRS-ma ezanm Gallejem tansfomajama). Peznje, ako petpostamo da u nekom IRS-u až alna jednadžba: Ψ(,t ) (.) t želmo peć u dug IRS kosteć (.) lako dobjamo ; /t /t te: Ψ(, t ) t Ψ(, t ) Ψ( t, t) t t t Ψ(, t) ( t ) Ψ(, t) Ψ(, t) t konačno: t ( )( ) ( ) Ψ(, t). (.) t 7
Gonja jednadžba nje alna jednadžba ne postoj tansfomaja alne funkje Ψ koja b (.) petola u (.). Stuaja je slčna kod mehančkh aloa, np. zučnh aloa. No, kod mehančkh aloa ujek postoj pefean IRS (susta moanja sedsta koz koj se poste mehančk al) u kome až alna jednadžba (.), dok je u sm dugm IRS-ma jednadžba gbanja aloa komplanja usljed gbanja sedsta. Al, u jednadžb (.9) nema nkakog sedsta to je alna jednadžba elektomagnetskh aloa u akuumu. Znansten su azmatal nekolko logčkh mogućnost azješenja oog poblema:. Mawelloe jednadžbe su pogešne - spana teoja elektodnamke je najantna p Gallejem tansfomajama.. Galleje pnp elatnost je spaan, al u elektomagnetzmu postoj pefean IRS ete, pa je gbanje sjetlost koz ete analogno gbanju mehančkog ala koz neko sedsto. 3. Postoj no pnp elatnost koj až za mehanku za elektomagnetzam koj nje zasnoan na Gallejem tansfomajama - oa mogućnost zahtjea pomjene osnonh zakona mehanke! ećna fzčaa jeoala je u spanost duge, mal boj u pu, al je nsten ješo poblem azmatajuć teću mogućnost. Njegoa pmana motaja je čsta ujeenost da osnon zakon fzke moaju bt unezaln! To znač da nkako ne može mehanka bt najantna p Gallejem, a elektodnamka p nekm dugm tansfomajama. Razmotmo nstenoo ješenje oog poblema. 8
. POSTULATI SPCIJALN TORIJ RLATINOSTI nstenoa spejalna teoja elatnost utemeljena je na da jednostana aksoma: (I) Zakon fzke ne zase od zboa nejalnog efeentnog sustaa! (II) U blo kojem nejalnom efeentnom sustau bzna sjetlost u akuumu je! P aksom je pnp elatnost koj až u fz ba od Gallea koj ga je ekspltno fomulao 638. Dug aksom je btna nona u fz je zahtjea kompletnu ezju našeg pomanja postoa emena! Za lustaju dooljno je naest samo nekolko pmjea fenomena koj su zane posljede dugog aksoma: postoj maksmalna bzna u semu! postoj sojsteno jeme sake česte koje nje nužno dentčno sojstenom emenu dugh česta l pomatača! bzna sjetlost (elektomagnetskh aloa) ne os o bzn zoa! ekalentnost mase enegje! 95. blo je lo malo ekspementalnh potda dugog aksoma, što je dosta dugo otežaalo phaćanje STR. No, s azojem nukleane spejalno fzke elementanh česta (Hgh negy Physs), postulat konsekene STR dobl su ekspementalnu potdu nebojeno mnogo puta. Može se eć, kao što kajem XIX stoljeća njedan fzča nje želo azmatat teoje koje naušaaju osnone postake klasčne mehanke, u zadnjh pola stoljeća gotoo da nema fzčaa koj ozbljno azmataju teoje koje naušaaju STR (teoje modele koj nsu Loentz najantn, kako se to tehnčk kaže). Danas se zahtjea da s fzkaln zakon budu u skladu s aksomma STR.. LORNTZO TRANSFORMACIJ P zahtje je očgledno zamjena za tansfomaje (.) - taže se noe tansfomaje pelaska z jednog u dug IRS. eć su ble poznate tansfomaje koje ostaljaju najantnm Mawelloe jednadžbe (Loentzoe tansfomaje), pa je čak jedna posljeda postonog djela th tansfomaja bla poznata (tz. FtzGeald-Loentzoa kontakja) no, ntepetaja th matematčkh zaza bla je l ogančena samo na elektodnamku l samo na gbanje u IRS etea, a nko nje azumo značenje emenskog djela Loentzoh tansfomaja. nsten je odedo Loentzoe tansfomaje dektno samo z postulata (I) (II), te što je najažnje, uzdgao h na no temeljnh tansfomaja kojma se pelaz z jednog u dug IRS. To usta znač zahtje: S fzkaln zakon moaju bt najantn u odnosu na Loentzoe tansfomaje! Sljedeć nstena pogledajmo kako se zode Loentzoe tansfomaje. 9
Zamslmo da IRS-a s paalelnm osma S S čja se shodšta poklapaju za t t. Jednostanost ad, a bez gubtka općentost, petpostamo da se susta S gba duž poztne -os konstantnom bznom u odnosu na S. Neka je u shodštu sustaa S mn zo sjetlost (u odnosu na susta S zo se gba bznom duž - os) koj se uključ u tenutku t t. Aksom (I) (II) zahtjeaju da pomatač u oba sustaa de sfen al koj se z shodšta njhoh IRS-a š bznom, tako da su jednadžbe alnh font: t ( y z ) u S (.) t ( y z ) u S (. ) Lako je djet da tansfomaje: t ; y y ; z z ; t t ; ne zadooljaaju gonje elaje. Ako su posto jeme homogen zotopn, što postulat (I) petpostalja (nače ne b s IRS- bl ekalentn), eza koodnata S S moa bt lneana. Jedno lneane tansfomaje osguaaju obostano jednoznačnu ezu ekalentnh sustaa S S. Np. nje moguće zbog nejednoznačnost nezne tansfomaje:. Kako (.) (. ) zahtjeaju da se sfea adjusa t (za sako t) s entom u O z S ujek peslkaa u sfeu adjusa t s entom u O u S obnuto, kadatne fome z gonjh jednadžb moaju ujek bt popoonalne (čak kad nsu jednake nul!), tj. až: t ( y z ) λ () [ t ( y z )] (.) gdje λ() označaa moguću pomjenu skale zmeđu da sustaa. Najopćentje lneane tansfomaje koodnata S S su onda: λ(a a t) y λy z λz t λ(b t b ), (.3) je je bzna duž -os. Želmo da se gonje tansfomaje sode na (.) u lmesu, tj. kad /, što znač da koefjent u (.3) moaju zadooljaat početne ujete: λ() a a b b kad. (.4) Pokažmo po da je λ(). Zasta, ako zamslmo teć IRS, S, koj se gba bznom u odnosu na S (pa je pema tome dentčan sa S), moa ažt: λ()λ(), a kako u zotopnom postou moa bt λ() λ(), dobjamo λ (), tj. λ() ±, pa, zbog početnog ujeta (.4), moa bt: λ(). Kako se u S shodšte O sustaa S gba bznom duž -os až: t, pa z (.3) sljed: a t a t, što daje: a a, te: a ( t). Uštaanjem u (.) dobjamo: (b t b ) [ a ( t) y z ] t ( y z ),
što moa ažt za sako t. Izjednačaanjem koefjenata mamo: a a a b bb b, te zažaajuć konstante b b pomoću a dobjamo: a ±. Zbog početnh ujeta (.4) je onda: a b b a. Tako konačno dobjamo Loentzoe tansfomaje z S u S : gdje je: γ γ( t) y y z z t γ(t ). (.5) β β tj. β β <. d se da Loentzoe tansfomaje kojma se u STR pelaz z jednog IRS-a u dug koj se gba bznom duž -os: - ne mjenjaju koodnate okomte na paa bzne (tansezalne koodnate), - poezuju jeme koodnate paalelne bzn,! - u lmesu, tj. kad β / l γ pelaze u Gallejee tansfomaje, - ujet ealnost zahtjea <.! P Loentzom tansfomajama (.5) jeme ne ostaje najantno! Oo je osnona azlka zmeđu Loentzoh Gallejeh tansfomaja (dokda se apsolutn kaakte emena klasčne fzke). Sak pomatač (sak IRS) ma soje jeme soje t postone koodnate, al jeme postone koodnate blo kojeg dugog pomatača (u dugom IRS-u) su lneana kombnaja emena postonh koodnata pog. Jasno je da Loentzoe tansfomaje na odeđen načn umanjuju azlku zmeđu postonh emenskh koodnata. To je još očglednje ako uedemo nou, takozanu elatstčku notaju, pmjeenju posto-emenu u STR.
. ČTORO KTORI Međudjeloanje česta (sle) u "mkosjetu" na nou elementanh česta, koje su najmanj djelć mateje, opsuje se emsjom l absopjom dugh elementanh česta. Najjednostanj fzkaln poes je kad jedna elementana česta emta l absoba dugu elementanu čestu. Taka poes se dešaa u jednom tenutku emena u jednoj toč postoa, tj. u jednoj toč u 4-dmenzonalnom posto-emenu. Točka u posto-emenu naza se događaj (englesk eent). Koodnate događaja odeđene su koajantnm četoo-ektoom µ događaja (analogon adjus ektoa točke u 3-dmenzonalnom postou) u posto-emenu (postou Mnkowskog) koj je po defnj: µ (,,, 3 ) (t,,y,z) (t, ) (, ) Za azlku od neelatstčke (, t), elatstčka notaja (, ) ( t, ) stče anopanost komponent 4-ektoa je elmna sepsutne faktoe zmeđu emenskh postonh komponent. U palu gčk ndeks popmaju jednost µ,,,3 dok latnsk ndeks,,3 popmaju samo jednost postonh komponent. Tenzo u 4-dmenzonalnom postou Mnkowskog mogu mat koajantne (donje) /l kontaajantne (gonje) ndekse. Za sak koajantn 4-ekto µ postoj odgoaajuć kontaajantn tenzo pog eda kontaajantn četoo-ekto µ, koj je po defnj: µ (,,, 3 ) (, ) (t, ). Spuštanje podzanje ndeksa š se množenjem s metčkm tenzoom g µν postoa Mnkowskog to je smetčn tenzo -og eda s matčnom epezentajom: g µν, čj je nezn tenzo: g µν, (.6) tako da je: g µρ g ρν g µρ g ρν ν ν δ µ, gdje je Konekeo δ-smbol δ µ, za, za µ g µρ ρ l µ g µρ ρ l µ µ g µν µ ν g µν µ ν. µ ν. Na pmje: µ ν Ujek se podazumjea sumaja po da puta ponoljenom ndeksu jednom koajantnom jednom kontaajantnom, np. µ µ µ µ (t). Tenzo g µν nazamo metčk tenzo je je kadat udaljenost dje blske točke u postou Mnkowskog odeđen sa: ds g µν d µ d ν g µν d µ d ν d µ d µ. boj Kadat udaljenost da događaja u posto-emenu može bt blo koj ealn s (t t ). Za da događaje kaže se da su:
emensk azdojen ako je s >, postono azdojen ako je s <, sjetlosno azdojen ako je s. Samo emensk azdojen događaj za koje je s > mogu bt kauzalno poezan nteakjama čja je bzna manja od bzne sjetlost, a sjetlosno azdojene događaje za koje je s može kauzalno poezat samo nteakja bzne! Opć koajantn 4-ekto defna se kao objekt koj se p Loentz tansfomajama ponaša kao µ. Za blo koj koajantn 4-ekto a µ (a, a ), postoj odgoaajuć kontaajantn 4-ekto: g µν a ν a µ ( a, a ) ( a, a ). Skalan podukt blo koja da četoo-ektoa a µ b µ po defn je: l u matčnoj notaj a b a µ b µ g µν a µ b ν g µν a µ b ν b a, a b a T g b, gdje su 4-ekto a µ b µ 4 mate. Neka su koodnate mnog nejalnog efeentnog sustaa S označene sa µ. Koodnate sustaa S s paalelnm osma koj se gba konstantnom bznom duž poztne -os označmo sa µ. Loentzoa tansfomaja kojom se z S pelaz u S, ako su se shodšta da sustaa poklapala za t t, pema (.5) je: γ( β ) γ( β ) 3 3. (.7) Rješaanjem po µ dobjamo neznu tansfomaju z sustaa S u susta S: γ( β ) γ( β ) 3 3. (.7 ) Iz (.7) (.7 ) lako je djet da se nezna Loentz tansfomaja jednostano dobja zamjenama: µ µ β β. Ako napšemo koajantne 4-ektoe µ µ kao ektoe stupe (tj. 4 mate) za koje až: µ a ν ν µ ν µ ν, l u matčnoj notaj: A, lako je nać matčnu epezentaju Loentzoe tansfomaje duž -os bznom : ν ( ) [ a ] Aβ γ γβ γβ γ µ. (.8) 3
Iz µ (a - ) µ ν ν (.8) lako se ujet da je nezna tansfomaja: γ γβ - ( β) A( β) γβ γ, (.9) A te až: (A - ) A A (A - ) I, gdje je I jednčna mata I [δ µ ν ]. Relatstčk efekt utječu na jeme koodnate paalelne elatnoj bzn da sustaa, dok koodnate u okomtm pama ostaju nepomjenjene. Pogledajmo opće Loentzoe tansfomaje u ektoskoj notaj. Ako susta S S maju paalelne os, a shodšta m se poklapaju za t t, p čemu se S gba bznom u pozoljnom pau u odnosu na S, tada opće Loentzoe tansfomaje bznom maju oblk: Opće Loentzoe tansfomaje γ ( β ) γ ( β ) γ ( β ) γ ( β ) (.) l za pozoljn koajantn 4-ekto a µ ( a, a ) : Opće Loentzoe tansfomaje a γ ( a β a ) a γ ( a β a ) a a γ ( β a )β γβ a a a γ ( β a )β γβ a β β (.) gdje su komponente ektoa paalelne okomte na paa ektoa, tj: ( ) β ( β )β ; (.) β. Neka elčna je najantna ako ne zas od zboa nejalnog efeentnog sustaa. Na pmje udaljenost dju točaka u postou l duljna emenskog nteala t p Gallejem tansfomajama kao u (.3). 4
Lako je pokazat kosteć elaje (.) l (.), da kadat 4-ektoa ostaje najantan p općm Loentzom tansfomajama, tj. da za blo koj 4-ekto až: µ µ t t µ µ. Općento jed: skalan podukt blo koja da 4-ektoa najantan je p Loentzom tansfomajama (ma stu jednost u blo kojem IRS-u) l skaćeno: skalan podukt blo koja da 4-ektoa je Loentz najantan! a ρ b ρ a ρb ρ. (.3) Može se pokazat da Loentzoe tansfomaje čne gupu najopćentjh lneanh tansfomaja u posto-emenu koje ostaljaju najantnm skalan podukt (.3). Štoše, Loentzoe tansfomaje mogu se ekspltno odedt samo z tog zahtjea. Znač ako je A, tada moa bt: (A) T g (A) (A T ga) T g, za, pa až: A T ga g. (.4) Kako je det g, z (.4) sljed: det A det A ±. Lako je pojet da (.8) (.9) zadooljaaju ujet det A petstaljaju tz. pae (pope) Loentzoe tansfomaje, za azlku od nepah koje maju det A, što znač da uključuju nezju. Opće Loentzoe tansfomaje čne gupu koja se naza Loentzoa gupa. Za nas je dooljno znat da se blo koja Loentzoa tansfomaja sastoj od "čste" Loentzoe tansfomaje (pue pope othohonous) plus postone otaje možda nezje (postone /l emenske). Realna mata A koja epezenta opću Loentzou tansfomaju ma 4 6 elemenata. Jednadžba (.4) daje ujeta među njma je je metčk tenzo g µν g νµ smetčan. Znač, blo koja Loentzoa tansfomaja jednoznačno je odeđena sa 6 lneano nezasnh paametaa ektoom elatne bzne da IRS-a t paameta koj odeđuju postonu otaju, np. t uleoa kuta. Pmje. Podukt dje Loentzoe tansfomaje duž -os Zamslmo da se susta S gba bznom u odnosu na mujuć susta S duž -os, a da se susta S gba bznom duž -os u odnosu na susta S. Neka su os sa t IRS-a paalelne neka se sa t shodšta poklapaju za t t t. Znač mamo dje sukesne Loentzoe tansfomaje: S bznom duž S bznom duž S. Pokažmo gupodnost, tj. pokažmo da je podukt dje sukesne Loentzoe tansfomaje odeđene paametma γ(β ) γ(β ) jednak nekoj tećoj Loentzooj tansfomaj: S γ duž S odeđenoj paametom γ. Iz (.7) je (nećemo psat tansfomaje za tansezalne koodnate 3 koje ostaju nepomjenjene): γ ( β ) ; γ ( β ) analogno γ ( β ) ; γ ( β ), 5
6 što daje: γ γ ( β β ) ββ β β ; γ γ ( β β ) ββ β β. Kako je: γ γ ( β β ) β β ββ ( ) β β β β ββ ( ) ββ ββ β β β β ββ ( ) ( ) ( ) β β ββ ββ ββ β β γ (β ) γ, kao u (.7) mamo: γ ( β ) ; γ ( β ) uz: β ββ β β. (.5) Podukt da sukesne Loentzoe tansfomaje duž -os, pe odeđene s γ(β ) duge odeđene s γ(β ), je takođe Loentzoa tansfomaja duž -os odeđena s γ γ(β ) ββ β β, gdje je β ββ β β! (.6) Fomula za β pokazuje da za slaganje paalelnh bzna umjesto (.4) až:. (.7) Opć zakon slaganje bzna u STR azmatat će se kasnje. Nje teško pokazat asojatnost Loentzoh tansfomaja duž -os. Fomula (.7 ) je nezna tansfomaja, a jednčn elemenat je dentčna tansfomaja odeđena paametom γ(). Tme b zasta pokazal da čste Loentzoe tansfomaje duž jedne koodnatne os čne gupu koja je podgupa Loentzoe gupe. Napomenmo, da ako Loentzoe tansfomaje duž jedne os međusobno komutaju, što se lako d z (.7), dje opće Loentzoe tansfomaje ne komutaju Loentzoa gupa nje Abeloa.
Za azumjeanje elatstčkh efekata Loentzoh tansfomaja dooljno je onda azmatat samo "čste" Loentzoe tansfomaje koje možemo ujek otajom postonh os odabat da budu duž -os. Razmotmo sada osnone posljede Loentzoh tansfomaja. P Loentzom tansfomajama n duljna (udaljenost dju točaka u postou), n emensk nteal (udaljenost da tenutka u emenu) nsu najantn - mjenjaju se p pelazu z jednog u dug nejaln susta efeenje! Kako je pema (.3) skalan podukt da 4-ektoa Loentz najantan, samo kadat udaljenost da događaja, tj. pseudo-eukldsk kadat udaljenost dje točke u postoemenu ostaje najantan p Loentzom tansfomajama: (t ( t, ) ( ) µ ( t ),( )) s ( ) µ ( ) µ t t ( ) µ ( ) µ s Loentz najantno! Nenajantnost duljne naza se kontakja duljne, a nenajantnost emenskh nteala naza se dlataja emena..3 KONTRAKCIJA DULJIN Neka pomatač u sustau S fksa na soju -os kut štap duljne: L. L se naza sojstena l lastta (pope) duljna to je duljna objekta u sustau u kome on muje. -os? Kolku duljnu b zmjeo pomatač u sustau S za koga se štap gba bznom duž U sustau S duljna štapa je azlka koodnata kajea štapa L u stom tenutku emena t t t. Pema (.7) je:, γ (, t), pa pomatač u sustau S mje kontahanu duljnu: L γ β L L < L. (.8) γ Jasno ja da Loentzoa kontakja ne zas od pedznaka bzne, pa kad b štap moao u S pomatač z S b zmjeo L L / γ < L. Lako je z (.7) (.7 ) djet da u pama okomtm na paa gbanja nema kontakje duljne. To znač da se p općoj Loentzooj tansfomaj bznom, duljna L (sojstena duljna) tansfoma po palu: L L γ L. (.9) 7
Ako je element pošne paalelogama u njegou sustau moanja d A d L d L, tada je zbog (.9) u sustau u kojem se paalelogam gba bznom : d A d L d L d A d A, (.) γ je je ekto elementa pošne okomt na pošnu. Plkom pjelaza z jednog IRS u dug dmenzja paalelna bzn je kontahana, dok duge dje okomte dmenzje ostaju nepomjenjene. To znač da je za elemenat olumena d d 3 koj se gba bznom : d γ d, (.) dn gdje je d sojsten element olumena. Posljeda je da se konentaja česta K p d Loentzom tansfomajama mjenja pema: je je boj česta dn Loentz najanta. K γk, (.) Loentzoa kontakja dmenzje paalelne pau gbanja je apsolutno ealan efekat. Lnan akeleato u Stanfodu dugačak je 3 km u njemu se utnsk ubzaaju snopo elektona do enegja Ge što znač da maju γ 4. Za jedan taka elekton duljna akeleatoa je kontahana na sega L 3 km / 4 5 m! Iz stog azloga će 7 klometaa dug LHC akeleato u CRN-u poton enegje 7 Te (masa potona je 938,3 Ge/²) koj će u njemu kužt "dožljaat" kao da je sega 3,6 m dugačak (γ 75)!.4 DILATACIJA RMNA Neka pomatač u S sustau mje emensku azlku τ t t da događaja koj se dešaaju na stom mjestu: u njegoom sustau. τ je sojsteno (pope) jeme. Za pomatača z sustaa S ta da događaja su na azlčm mjestma pema (.7 ) maju koodnate γ ( t ) γ ( t ), što znač da on mje emensk nteal: t t t γ [(t t ) ( )] γ τ > τ. (.3) Znač da pomatač z sustaa S mje dlatan emensk nteal dt γdτ koj je ujek dulj od lasttog emenskog nteala dτ. Dug načn da se skaže dlataja emena je: sat koj se gba de γ puta spoje! Zasta, zamslmo kao dealzan sat kut štap duljne L sa zalma na kajema zmeđu kojh putuje zaka sjetlost (sak ealn sat ma neko peodčno gbanje a, djelo sata 8
komunaju međusobno pomjene sog položaja slama koje se penose bznom sjetlost). L lastt peod τ oog sata je τ. Petpostamo da se sat gba bznom okomtom na paa štapa da b zbjegl komplkaje s kontakjom duljne štapa. Za jeme jednog peoda sjetlost peđe put T u pau bzne put L okomto na paa bzne, tj. ukupn L T put ( ) ( ) sata koj se gba:, što daje: T [(L) ( T) ] ½. Odade se jednostano dobje peod T β Oaj fenomen potđen je puno puta u aznm ekspementma. τ γ τ > τ. (.4) Najbolj pmje su muon, česte po semu slčne elektonma, osm što maju oko puta eću masu što su nestablne s emenom polužota, µs. Muon koj maju male (makoskopske) bzne peale samo katke udaljenost na pmje, ako je bzna 3 kms - muon pje aspada u posjeku peale sega 6,6 m. No, pošna Zemlje jelo je jeme bombadana ulta elatstčkm muonma koj nastaju soko u atmosfe u sudama kozmčkh zaka s jezgama kska duška. Rastojanja od še klometaa koja t muon peđu koz atmosfeu (muon su kao sat sa sopstenm peodom τ, µs) posljeda su dlataje emena. U sustau ezanom za Zemlju jeme polužota bzh muona je puno duže: T γτ >> τ. Np., ako u aspadu pona nastanu muon bzne β,998 u klasčnoj fz očekal b da u emenu τ peale u posjeku udaljenost od 658,68 m. Usljed dlataje emena ( γ 5,8 ) tak muon u sustau ezanom za Zemlju maju jeme polužota od t 34,8 µs u posjeku peđu 49,86 m. oj neaspadnuth česta odeđen je zakonom aspada: N(t) N ep ( t / τ ). (.5) Ako petpostamo da je na sn od km stoeno N 8 muona do našh detektoa na pošn zemlje došlo b: - kl. fz: t / τ / 658,68 5,8 N 8 ep ( 5,8 ) 5,6 6 muona - STR: t / τ / 49,86,96 N 8 ep (,96 ) 38,3 6 muona. Umjesto sega 6 muona, detekto otkaju oko 38,3 mlona muona! Ako oaj ekspement analzamo sa stanošta muona dobjamo potdu kontakje duljne. U sustau moanja muona on ma polužot τ, µs, a atmosfea "ju" poed njega bznom,998, pa usljed kontakje duljne udaljenost od 49.86 m u sustau zemlje znos sega 658.68 m u sustau muona! U poslednjh 3-ak godna dlataja emena se pojeaa na makoskopskm sustama kosteć pezne atomske satoe koj se očtaaju laseskm pulsema. U jednom ekspementu 975. C. O. Alley je uspoedo jeme na da dentčna atomska sata od kojh je jedan 5 sat leto u aonu bznom od 4 ms - 4,7-7. Poslje odbjanja azlke usljed efekata Opće teoje elatnost (sato nsu na stoj sn pa su u azlčtm gatajskm potenjalma), sat z aona zgubo je 5,6-9 s što se do na ± % slaže s fomulom za dlataju emena! 9
.5 DOPPLRO FKT Doppleo efekt u klasčnoj fz pedstalja pomjenu fekenje zučnog ala usljed elatnog gbanja zoa pomatača. Zbog postulata (II) klasčne fomule ne aže za sjetlost, tj. elektomagnetske aloe moaju se odedt kosteć STR. Kao lustaju mogućnost elatstčke tenzoske fomulaje zešćemo opću fomulu za Doppleo pomak sjetlost p pelasku z jednog u dug IRS. Faza anog ala je Loentz najantna, je odeđuje podan boj maksmuma (l mnmuma) n koje zboj nek pomatač. Zasta, za an elektomagnetsk al ep ( k ω t ) os ( k ω t ) os ( ω t k ω ),, faza je, k Φ πn ω t k ω t k. (.6) Ako defnamo ω k, tada (.6) možemo napsat kao Loentz najantn skalan podukt da 4-ektoa k µ µ k k k k kµ µ! (.7) Oo znač da je k µ ( k, k ) aln 4-ekto ( za sjetlost je k ω/ k ), zasta koajantn 4-ekto, pa je kao u (.7) (.), za Loentzou tansfomaju duž -os: k γ (k βk ) k γ (k βk ) k k k 3 k 3. (.8) Za opću Loentzou tansfomaju bznom je: k γ ( k β k ) k γ ( k β k ) k k, (.9) gdje je: k k k ; β k β k β k osθ β k osθ, ako je θ ( k,β ). (.3) Inezne tansfomaje se naano dobju zamjenom: k µ k µ β β. Samo z čnjene da se faza ala (.6) može napsat u oblku (.7), dobl smo Loentzoe tansfomaje alnog 4-ektoa. Naano, uz puno še algebe, mogl smo kosteć (.) z (.6) l (.7) elmnat µ (l µ ), pa z tako dobjenh dentteta koj moaju ažt za sako, dobt (.9). Relatstčk Dopple efekt je fomula (.9), al se ona češće pše u oblku: ω γω( βosθ) tgθ γ( osθ snθ β), (.3) je je: tgθ k / k k / k ; k γ k β k γ k osθβˆ β k γ k (osθ β)
k k snθ, gdje su θ θ kute zmeđu paaa šenja aloa, tj. ektoa k k u odnosu na ekto β. U spejalnom slučaju gbanja zoa (S) pomatača (S ) duž stog paa, u slučaju pblžaanja (θ π) l udaljaanja (θ ), z pe (.3) fomule je: ω ω ± β mβ gonj pedzna za pblžaanje; a donj za udaljaanje. (.3) Ako se zo detekto pblžaaju, ω > ω ω pla pomak (blueshft), a ako se udaljaaju ω < ω ω en pomak (edshft). Kaltatno no efekt u odnosu na klasčnu fzku je tz. elatstčk tansezaln Doppleo pomak (usljed dlataje emena poketnog zoa) koj postoj čak kad se zo pomatač gbaju duž okomth paaa. Za zjezdu (poketn zo ω ω ) koja se gba okomto θ π/ na naš paa pomatanja (lne of sght) detekto na zemlj mje fekenju ω, pa fomula (.3) za tansezaln Doppleo pomak daje: ω γ ω tj. λ γ λ en pomak. (.33) Oa tdnja STR pezno je ekspementalno pojeena u astonomskm mjeenjma, pa čak u laboatoju na makoskopskom sustau emsja γ-zaka točno odeđene enegje z atoma željeza koja se detekta pjemnkom ezanm za ultaentfugu. Ako su bzne male u odnosu na bznu sjetlost, tj. ako je β, azojem u ed : (β) ½ β 8 β... ; (β) ½ β 8 β... ; zanemaujuć članoe eda β z (.3) dobjamo klasčne fomule za Doppleo efekt: ω ω( β) - pblžaanje; ω ω( β) - udaljaanje. (.34) Pmje 3. Astonomsk en pomak Amečk astonom. P. Hubble je 99. mjeeć spekte udaljenh galaksja otko ekspanzju sema. Zbog lakoće mjeenja, astonom defnaju en pomak z zoa koj se udaljaa kao ( λ je alna duljna emtane sjetlost, a λ je mjeena alna duljna): λ λ z λ ν ν ν λ λ, z (.3) je onda: β ( z ) ( z ). (.35) Najjača emsona lnja u spektu kazaa PKS -33 je Lymanoa α lnja odka s mjeenom alnom duljnom λ 58,5 nm. U laboatoju se ta lnja (pjelaz elektona z n u osnono n stanje) opsea u ultaoletnom podučju s: λ,6 nm. Kolk je en pomak, bzna udaljenost kazaa PKS -33 od Zemlje?
58, 5 6, Iz (.35) mamo: z 3,79, pa je bzna udaljaanja kazaa β,96! 6, Hubble je otko da postoj popoonalnost zmeđu enog pomaka (znač, bzne udaljaanja) z udaljenost galaksja Hubbleo zakon: H, (.36) gdje Hubbleoa konstanta H ma jednost u ntealu 5-9 kms - /Mp (mjeenja su lo komplana astonom nastoje poboljšat peznost). Najčešće se za poačune uzma 5, 96 3 sednja jednost, pa je: Mp 396 Mp,8 Gs.g. blzu uba 7 dljog sema! Pmje 4. fekt "eflektoa" (Relatst beamng) zna sjetlost ne os o zbou IRS-a al, paa šenja sjetlost os. U sustau moanja zoa (S ) adjaja se emta zotopno. Zamslmo zaku sjetlost koja putuje paem koj to kut θ s -os. U emenu t u pau zaka peđe put až: osθ, dok je paa te zake u S odeđen s: osθ. (.37) t Kosteć nezne Loentzoe tansfomaje (.7 ) mamo: osθ ( ) β γ β γ( β ) β konačno: osθ β osθ. (.38) βosθ U sustau S u čjem shodštu O zo muje, pola adjaje emta se u gonju hemsfeu θ [, π ], a pola u donju. Al u sustau S u kome se zo gba duž poztne -os zbog (.38), pola adjaje emta se u konus oko ektoa β čj je polukut: θ aosβ < π. Slka.
Pomčn zo sjetlost zač nesmetčno še adjaje emta u pau bzne! Oaj efekt naza se efekt eflektoa (elatst beamng). Ako je β, pola adjaje zoa emta se u konus poluotoa: θ aos 3 π. Nesmetčnost postaje zazta za ultaelatstčke bzne. Np., kao na Sl., za β,99 je θ aos,99 8,, što znač da taka česta zač 5% adjaje u unapjed upeen usk konus čj je oto,6 stad, a peostalh 5% se emta u ostatak postoa, tj. u peostal poston kut (4π,6) stad,5 stad. U tabel su pkazan kute θ θ za nekolko kaaktestčnh zaka sjetlost za β,99 kao na Sl. θ ( o ) θ ( o ) 45 3,4 9 8, 35 9,4 8 8 Taka elatstčk objekt pdno zgleda mnogo sjajnj kad se gba pema nama, a mnogo tamnj nego što stano jeste, ako se udaljaa. Pmje 5. Supelumnane bzne Udaljen astonomsk objekt, najčešće djelo mlazoa plna (jets) koj se ogomnm bznama zbaju z jezgaa aktnh galaksja, ponekad zgledaju kao da se gbaju bže od bzne sjetlost supelumnana bzna je pdn efekt koj nastaje usljed elatstčkog gbanja zoa. Da b azumjel efekt zamslmo najjednostanj slučaj meteoa koj se okomto pblžaa pošn zemlje. Kad uđe u gušće slojee atmosfee usljed otpoa zaka meteo se zapal (postane zo sjetlost) u potpunost sago. Pu sjetlost meteo občno emta na ulazu u toposfeu na sn od oko km. Dok se ta sjetlost gba ka pošn zemlje bznom, meteo se gba u stom pau bznom <. Poslje emena t meteo sago. etkaln put meteoa zmeđu točaka emsje pe zadnje sjetost je t, pa je azmak zmeđu početne kajnje alne fonte: h t t t(β). Znač, nteal emena zmeđu tenutaka dolaska početne kajnje sjetlosne alne fonte na pošnu zemlje je t Zemlja h/ t(β). Pdna bzna meteoa je onda: t Pdno t Zemlja β β. (.39) Za β < / je Pdno <, al za β > / je Pdno > postaje pozoljno elko kad se bzna meteota pblžaa. Np., za,9 blo b Pdno 9! Jasno je da efekt postoj u slučaju da se zo ne gba dektno ka zemlj jedno je tada komponenta bzne duž paa pomatanja (lne of sght). 3
.6 SLAGANJ RZINA Kako se tansfomaju bzne česta p pelasku z jednog u dug IRS? Neka u poketnom sustau S, koj se gba bznom u odnosu na mn susta S, mamo čestu bzne. Kolka je bzna te česte u nepoketnom sustau S? Iz (.) za opće Loentzoe tansfomaje je dt γ d dt d d ( ) γdt d, djeleć bojnk naznk s γdt, dobjamo zakon slaganja bzna u STR: γ l u peglednjem oblku: ; γ gdje je γ γ() ekto bzne sustaa, su naano: ( ). Samo ako je γ, (.4), a komponente bzne česte, paalelne okomte na << z (.4) dobjamo Galleje ezultat:. U najjednostanjem slučaju paalelnh bzna, kad je paalelno s, tj. paalelno sa te až:, je. (.4) Iz (.4) d se da je ujek ; čak kad je sljed. U općem slučaju, z fomule za slaganje bzna (.4) može se za foton koj se gba u pozoljnom pau u S, kosteć:, pokazat da je u blo kojem dugom IRS-u takođe: u skladu s postulatom (II) STR. Iz (.4) l (.4) je očgledno da je bzna u elatstčkoj fz peuzela ulogu koju u klasčnoj fz ma beskonačna bzna, je : ne zas od bzne zoa petstalja maksmalnu moguću bznu. 4
Pmje 6. zna elatstčkh aketa Zamslmo da postoje fotonske akete koje mogu postć elatstčke bzne neka su bzne th aketa deset mlona puta, tj. 7 puta eće od bzna motonh čamaa u Pmjeu. 4 3 Znač, neka se akete pblžaaju Zemlj bznama,8,6 to: 5 5 a) duž stog paa (-os) b) duž okomth paaa (pa duž, a duga duž y-os). Kolka je bzna akete za pomatača z akete? Kao u Pmjeu. za S zabemo susta moanja akete. Poketn susta S je susta ezan za Zemlju koj se u odnosu na S gba bznom: a),6 î, b),6 ĵ. zna akete u odnosu na S je,8 î. a) Kako su duž -os, až: Pema (.4) je: 5, kao 5 ( ) 37 4 5 3. 5 5 5 4 3 35 î î,946 î 37 5 5 37 Slaganje dju paalelnh bzna,8,6 daje bznu pe akete u odnosu na dugu:,946 < u skladu s (.4). Zakon slaganja bzna (.4) z klasčne fzke, dao b pogešan ezultat: (,8,6),4 >! b) U oom slučaju,6 ĵ je duž y-os, a je duž -os, pa je:,8 î, kao. Pema (.4) je onda: 4 5 konačno: γ 6 î 5 5 3 ĵ. 6 î, te:,6 ĵ, 5 Znač, pomatač z duge akete b zmjeo da mu se pa aketa pblžaa bznom: 48,877, pod kutem θ atg y 5 atg 43,5. 5 6 Za spejaln slučaj Loentzoe tansfomaje duž -os bznom je z (.5): d γ(d dt) dy dy dz dz dt γ(dt d), (.4) 5
pa su komponente bzne d česte u sustau S, zažene pomoću komponent bzne dt d ste česte u mujućem sustau S : dt y y γ z z γ. (.43) Pmje 7. Relatstčko slaganje bzna Kšna kap pada okomto ka pošn zemlje pogod ko automobla koj se gba hozontalno bznom. Kolk kut otklona od etkale zmje pomatač u automoblu u: a) elatstčkoj b) klasčnoj mehan? a) U oom pmjeu susta S je mujuć susta ezan za zemlju u kome kap ma bznu: y z. Susta moanja automobla S je poketn susta koj se duž -os sustaa S gba bznom. Pema (.43) komponente bzne kap u S su: y z. Kako u S kap ma -komponentu bzne ne pada okomto kut otklona od etkale je: tgα y.... b) Kosteć zakon slaganja bzna u klasčnoj fz (.4) bzna kap u S je: pa je kut otklona: y z, tgα kl.. Razlka (tgα) tgα tgα kl. je efekt dugog eda po /. Ako zamslmo ekspement koj b mjeo (tgα) za automobl koj se gba bznom od emo 3ms - 8 kmh -, dobl b ( 3 8 ms - ): (tgα) 5-5 daleko spod peznost najboljh mjenh ueđaja. Al, za česte koje maju elatstčke bzne slčn ekspement daju lako mjelje ezultate. 6
Lako je nać elaje zmeđu ntenzteta paa bzne česte u da sustaa. Neka se S gba bznom duž -os neka sfene koodnate bzne česte u S označmo s (,θ,ϕ ) [θ je kut zmeđu -os adj ektoa česte, a ne kao što je uobčajeno kod sfenh koodnata, zmeđu adj ektoa teće postone koodnate]. To je samo pomjena notaje, pa je ϕ kut zmeđu y -os pojekje adj ektoa na y z -annu, tako da je: osθ y snθ osϕ z snθ snϕ osθ. Onda je z (.43): osθ osθ y snθosϕ osθ γ z snθsnϕ osθ γ. (.44) Kako je, z y z y tgθ y z z (.44) lako se dobje: osθ osθ snθ ; tgθ snθ γ ( osθ ) ; ϕ ϕ, (.45) gdje su (,θ,ϕ) sfene koodnate bzne u sustau S. Kad se ačuna s ntenztetma ektoa, kao, moa se pazt na elatstčke faktoe γ odgoone za dlataju emena kontakju duljne. Relatstčk fakto bzne česte u sustau S je γ() ( / ) ½, a u sustau S je γ( ) ( / ) ½, p čemu su susta S S poezan Loentzoom tansfomajom bznom duž -os kojoj odgoaa elatstčk fakto γ() ( / ) ½. eza među elatstčkm faktoma je: γ() γ( ) γ(). (.46) Iako smo ou elaju eć dokazal [pje (.5)] u dugom kontekstu s malo dugačjom notajom, ponoćemo dokaz. Uedmo po noe oznake: β β() / ; β β( ) / β β () /. Zasta: Teba pokazat da je: γ(β) γ(β ) γ(β )( β β ). 7
8 ' β β ββ ββ β β' β β' β'β ) β'β ( β β'β β β' ) β (β ) β'β ( β'β, što je skladu s (.4) je je: β β β β β. Ako upoedmo (.4) l (.43) s (.) l (.) očgledno je da bzna česte nje poston do nekog 4-ektoa, nt je Loentz najantna (n d, n dt nsu Loentz najantn, a nje n dt d ). Slčno je sa akeleajom akeleaja nje Loentz najantna, nt su komponente akeleaje komponente nekog 4-ektoa. Da to lustamo, pogledajmo kako se tansfomaju komponente akeleaje. Iz (.43) dfeenjal d je:, γ d d d d d pa djelenjem s: d dt γ dt dobjamo:, 3 3 γ a a analogno: ; 3 y y y γ a γ a a 3 y z z γ a γ a a, (.47) očgledno azlčto od (.5) l (.7). U fomulama (.4) (.47) nezne tansfomaje se, kao ujek, dobjaju zamjenama: µ µ.
Nenajantnost akeleaje, fomula (.47), p Loentzom tansfomajama znak je nenajantnost dugog Newtonoog zakona (opskuna mogućnost da se m F tansfoma na st načn kao akeleaja očto ne može bt točna za najažnje klasčne sle gatajsku, elastčnu, elektčnu,...). Tako dolazmo do zaključka: teba nešto mjenjat u klasčnoj mehan ako želmo da se pjelaz z jednog u dug IRS ostauje Loentzom tansfomajama! 9
3. RLATIISTIČKA MHANIKA U ješaanju potečnost zmeđu elektodnamke klasčne mehanke nsten se u sojm msaonm ekspementma usedotočo na najbtnje smetje, l peznje, ezu fzkalnh teoja postono-emenskh smetja. Osnona postaka u fz je pnp elatnost, odnosno aksom STR koj kaže da fzkaln zakon ne zase od zboa IRS. Podazumjea se da su s IRS-, ekalentn tj. jednakopan, pa se za pomatanja mjeenja može odabat blo koj. IRS je u sta todmenzonaln poston Katezje koodnatn susta jednodmenzonaln emensk koodnatn susta, koj sakoj toč posto-emena pdužuju ueđenu četoku ealnh bojea njene koodnate. Posto jeme su homogen, što znač da nema pefeanh točaka u postou l tenutaka u emenu. Posto je zotopan, što znač da nema pefeanh paaa u postou. Pema tome, se točke u posto-emenu su međusobno ekalentne, kao s pa. U takom, homogenom zotopnom posto-emenu, blo koja da IRS-a S S mogu se azlkoat samo po 4 elementa:. Ishodšta postonh sustaa su u azlčtm točkama postoa,. Ishodšta emenskh sustaa su azlčt emensk tenut, 3. Postone koodnatne os nsu paalelne 4. Jedan od sustaa gba se konstantnom bznom u odnosu na dug! Ako želmo da pozoljna IRS-a doest do peklapanja, l pjeć z jednog u dug IRS, kako se kaže, dooljno je napat čet postono-emenske tansfomaje:. Postonu tanslaju sh točaka u postou za ekto OO (udaljenost daju shodšta) da b shodšta postonh koodnata bla u stoj toč,. emensku tanslaju da se poklope shodšta emenskh koodnata, 3. Postonu otaju oko neke os koz shodšta da se poklope koodnatne os 4. Loentzou tansfomaju odeđenu bznom. Skup sh takh postono-emenskh tansfomaja to gupu koja se naza Poenaeoa gupa. To je -paametaska kontnuana gupa, koja pojednostaljeno gooeć, sadž čet podgupe:. Gupu postonh tanslaja (3 paameta neophodna da jednoznačno spefaju element gupe t komponente ektoa tanslaje),. Gupu emenskh tanslaja ( paameta), 3. Gupu postonh otaja (3 paameta) 4. Gupu Loentzoh tansfomaja (3 paameta t komponente ektoa ). Stana stuktua je komplanja, Loentzoa gupa sadž podgupu postonh otaja postonh emenskh nezja. Loentzoa gupa je gupa tansfomaja koje ostaljaju najantnm skalan podukt 4-ektoa tj. kadat duljne µ µ t - blo kojeg 4-ektoa. Te tansfomaje su otaje nezje u četoo dmenzonalnom pseudo eukldskom posto-emenu koj se naza posto Mnkowskog M 4. 3
Kao što se u 3-dmenzonom postou saka otaja može azložt na 3 otaje u t koodnatne anne y, z yz, tako se u 4-dmenzonalnom postou saka otaja (Loentz tansfomaja) može azložt na 6 otaja u 6 koodnatnh anna: t, ty, tz, y, z, yz. Pe t koje uključuju jeme sadže čste Loentzoe tansfomaje, a peostale t su postone otaje. No, detalj stuktue Loentzoe gupe nsu btn za dalje zlaganje. tno je, da Poenaeoa gupa osguaa matematčk apaat neophodan da se usklađenost s osnonm postulatma STR može pojet za saku fzkalnu teoju l zakon. Izolan fzkaln susta čje djeloanje (akja) je Ponae najantno zadooljaa aksome STR. Za susta česta djeloanje (akja) je po defnj: gdje je Lagangeoa funkja t I Ldt (3.) t L L( q, q& ) T U, (3.) dq t t su početn kajnj tenutak, a q q& su genealzane koodnate genealzane dt bzne (,,,n je boj stupnjea slobode gbanja) koje jednoznačno odeđuju položaj bzne sh česta. T U su potenjalna knetčka enegja sustaa. Ako je u jednom IRS-u djeloanje ma jednost I, pelaskom u dug IRS nekom postono-emenskom tansfomajom z Poenaeoe gupe, u kojemu djeloanje ma jednost I, te ako až: I I, jednadžbe gbanja sustaa koje se dobjaju z djeloanja osguaaju da se susta gba u skladu s STR! Tme su općent zahtje aksoma STR petočen u pezn matematčk skaz koj se lako može pojet! U modenoj fz gbanje fzkalnh sustaa seobuhatno se opsuje pomoću Lagangeoe L T U, l Hamltonoe funkje H T U, a ne dektno peko sla koje djeluju na česte. Naano, te dje fomulaje su ekalentne, je je konzeatna sla negatn gadjent potenjalne enegje. Jednadžbe gbanja onda sljede z pnpa mnmalnog djeloanja (Hamltono pnp), koj kaže da se susta gba tako da na stanoj putanj sustaa djeloanje (akja) ma mnmalnu jednost: δi Lagangeoe l Hamltonoe jednadžbe gbanja, (3.3) (peznje: djeloanje ma ekstem), gdje je ajaja djeloanja δi azlka jednost I duž stane blo koje blske putanje. Inajantnost djeloanja fzkalnog sustaa, a tme jednadžb gbanja tog sustaa, p postono-emenskm tansfomajama koje toe Poenaeou gupu ma za fzku eoma ažne posljede: Osnone zakone očuanja za zolane sustae! 3
Noethe teoem (mm Noethe 98.) kaže da za saku gupu kontnuanh tansfomaja koje ostaljaju djeloanje sustaa najantnm postoj može se začunat, jedna očuana fzkalna elčna (čja se jednost ne mjenja tjekom gbanja sustaa)! Dokaz nje komplan, al ga nastojanja za maksmalnom općentošću matematčkom peznošću čne lo apstaktnm fomalnm. Umjesto općeg dokaza pokažmo kako z najantnost djeloanja za zolan konzeatn fzkaln susta p emenskm tanslajama sljed zakon očuanja enegje! Pnp elatnost nam kaže da zakon fzke ne smju zast od zboa početnog tenutka za ačunanje emena. Ako napamo pozoljnu nfntezmalnu emensku tanslaju djeloanje moa ostat nepomjenjeno, tj. t t t δt, (3.4) I I l δi I δt t I (3.5) t je je δt pozoljno. Iz defnje djeloanja (3.) onda sljed: L, (3.6) t što znač da Lagangan L( q, q& ) zolanog fzkalnog sustaa ne smje ekspltno zast od emena, pa je: dl dt n n L L q& q&&. (3.7) q& q Ako skostmo Lagangeoe jednadžbe gbanja za konzeatn susta: d dt L L q& q, (3.8) te u pom članu na desnoj stan u (3.7) umjesto L q pšemo d dt L, dobjamo: q& dl dt n n q& && q q& q& d dt L L d dt L q& q&, konačno: d dt n L q& L. (3.9) q& 3
Zaključujemo da je: H očuana elčna za zolan konzeatn fzkaln susta! n L q& L onst (3.) q& Knetčka enegja takog sustaa je kadatna funkja genealzanh bzna (je je knetčka enegja česte popoonalna kadatnu njene bzne), a potenjalna enegja zas samo od genealzanh koodnata (ne zas od genealzanh bzna), pa je: L T q& & q n L q& q& n T q& q& T konačno z (3.) dobjamo: što jeste zakon očuanja enegje u klasčnoj mehan. H T U onst. (3.) Potpuno analogno, z najantnost djeloanja Noethen teoem za zolan fzkaln susta daje: I I p postonm tanslajama zakon očuanja mpulsa (kolčne gbanja), I I p emenskm tanslajama zakon očuanja enegje I I p postonm otajama zakon očuanja angulanog momenta. Dobja se lo elegantna ljepa logčka konstukja: Poenaeoa gupa Postone-emenske tansfomaje Aksom STR Inajantnost djeloanja I I Zakon očuanja! Djeloanje (akja) Hamltono pnp δi Jednadžbe gbanja Da ne b bla naušena eza smetja zakona očuanja u fomulanju elatstčke mehanke sten se ukoodo s da zahtjea: osnon zakon očuanja moaju dalje jedt u lmesu << moaju se dobt zakon klasčne fzke! Kosteć jednostanje, lako azumlje pmjee, umjesto apstaktnh fomalnh zođenja, opsat ćemo ukatko kako se dolaz do osnonh zakona elatstčke mehanke. 33
3. Relatstčk mpuls Pomotćemo jednostan poes dealno elastčnog sudaa dju česta, emo bljaskh kugl. Za ops elastčnog sudaa tebaju samo dje fzkalne elčne: masa bzna česta. Dnamka sudaa odeđena je unutanjm slama koje po petposta djeluju samo u tenutku kontakta kugl. Rad jednostanost, petpostamo da obje kugle maju stu masu m. Zakon očuanja mpulsa (kolčne gbanja) až za sak zolan fzkaln susta. Zamslmo da pomatač z S S sustaa (S se gba konstantnom bznom duž - os) daju kuglama A bznu duž sojh y-os tako da se kugle sudae. Kugla se u S gba bznom duž y -os, a kugla A se u sustau S gba bznom duž y-os. U dealno elastčanom sudau ntenztet bzne se ne mjenja pomjen se samo paa bzne. Oba pomatača će egstat da poslje sudaa njhoe kugle maju st ntenztet bzne: za kuglu A u S za kuglu u S. Ako až zakon očuanja mpulsa, njegoa y-komponenta moa bt nula, je ekto mpulsa sake kugle u sudau samo pomjen pedznak. No, ako kostmo fomule (.43) za Loentzoe tansfomaje bzne, y-komponenta mpulsa z klasčne fzke m y blo koje kugle mat će azlčte jednost u da IRS-a. Remo da suda azmatamo u sustau S. Kugla A gba se u poztnom smjeu duž y- os. Kugla (koja se u S gba u negatnom smjeu duž y -os) ma u sustau S - komponentu bzne. Stuaja pje poslje sudaa u sustau S pkazana je na Sl 3. Kugla y y y Kugla Kugla A Kugla A y a. pje sudaa b. poslje sudaa Slka 3. Iz (.43) nezne Loentzoe tansfomaje za komponente bzne p pjelazu z S u S su: 34
y ; y ; γ z z ; γ (3.) pa, u S kugla pje sudaa ma komponente bzne: ; y y/γ ; z, je je z a, y. Fakto γ u y pojaljuje se usljed dlataje emena u poketnom sustau. Kako je stuaja potpuno smetčna, lako se d da b se u S doble ste fomule za komponente bzne kugle A uz pomjenu znaka. U sustau S za klasčnu mpuls pje sudaa mamo: (p kl. ) n y (Σm y ) Pje m A y m y m m, (3.3) a poslje sudaa: (p kl. ) f y (Σm y ) Poslje m A y m y m m (p kl. ) n y, (3.4) što znač da ne až zakon očuanja mpulsa defnanog kao u klasčnoj fz, osm u neelatstčkom lmesu <<. Znač, ako želmo da zakon očuanja mpulsa až u elatstčkoj mehan moamo pomjent defnju mpulsa. Zato se defna: Impuls česte koja se gba bznom je: U slučaju << oaj zaz pelaz u klasčn m p γm. (3.5) p m. U pmjeu elastčnog sudaa, kugle A maju u sustau S bzne A y z, te su m y-komponente mpulsa: γ 35
p A y m p y m y. (3.6) y Kako su komponente bzne kugle u S: ; y y/γ z, dobjamo: m γ m p y γ γ m γ m γ γ γ m p A y, (3.7) što znač da u oom pmjeu až zakon očuanja y-komponent elatstčkog mpulsa sustaa. Zasta, pje sudaa je p A y p y. U sudau se samo pomjene pa y- komponent bzna, pa je poslje sudaa opet p A y p y. Kako -komponenta bzne kugle ostaje nepomjenjena u sudau, za -komponentu ukupnog mpulsa je: p n (p A p ) Pje γ m (p A p ) Poslje p f, je pomjena paa y-komponente bzne kugle ne mjenjaγ. Za z-komponenente je naano: p n z p z Pje p z Poslje p f z. Ome smo pokazal: n p ( p A p ) n ( p A p ) f f p, (3.8) aženje zakona očuanja mpulsa (kolčne gbanja), defnanog u (3.5), u pmjeu elastčnog sudaa dje česte. Lako je pokazat da st zaključak až u sustau S (pokazat). Oo naano nje dokaz zakona očuanja mpulsa, eć samo lustaja aljanost na jednostanom pmjeu. U sm poesma u fz elatstčk mpuls zolanog fzkalnog sustaa, defnan u (3.5), je očuana elčna. Kasnje ćemo to lustat još nekm pmjema, al po azmotmo poblem enegje u elatstčkoj fz. Kao u slučaju mpulsa, u elatstčkoj mehan teba osguat aženje zakona očuanja enegje. 36
3. Relatstčka enegja Zakon očuanja enegje za zolan fzkaln susta u klasčnoj fz sljed z II dp d( m) Newtonoa zakona F za koj eć znamo da nje Loentz najantan. Ptanje je dt dt kako defnat enegju u elatstčkoj fz tako da, kao u slučaju mpulsa, až: negja zolanog fzkalnog sustaa je konstanta gbanja, negja u lumesu / pelaz u zaz z klasčne fzke. Ideja koja zahtjea najmanje pomjene klasčnh zaza, je da se fomalno očua dp aženje II Newtonoog zakona, tj. zaza F, al gdje je sada pema (3.5), p γm dt elatstčk mpuls česte: dp d( γm) F. (3.9) dt dt Teoem o adu knetčkoj enegj z klasčne fzke kaže da je ad ukupne sle koja djeluje na čestu jednak pomjen njene knetčke enegje T. Za najjednostanj slučaj jednodmenzonog gbanja duž -os je: T d( γm) d md Fd d( γm) dt 3, je je: d dt d( γm) m d md md 3. 3 Lako je začunat gonj ntegal ezultat je: T γm m (γ )m. (3.) Izaz (3.) je elatstčka knetčka enegja česte koja se gba bznom. Kad / azojem u ed je: T m... m, (3.) kako smo željel. U skladu s (3.) defna se: 37
negja česte koja se gba bznom je: γm m T γ, (3.) gdje je m enegja moanja česte u elatstčkoj fz slobodna česta mase m ma enegju m čak kad muje! Iako stalno goomo o čest, jasno je da se fomule aže za blo koje tjelo l zolan susta mase m bzne ukupna enegja zolanog sustaa je točno defnana poztna elčna odeđena masom bznom sustaa. negja moanja sustaa (tjela) uključuje ne samo zboj enegja moanja njegoh česta, nego knetčke se potenjalne enegje nteakja česta koje sačnjaaju susta (tjelo). To znač da u elatstčkoj fz ne až zakon očuanja mase! Najjednostanj pmje enegja u sustau enta mase (enta mpulsa IRS u kome je ukupn mpuls sustaa jednak nul) zolanog sustaa od dje česte, masa m A m je: m γ A m A γ m m A m T A T U A m m A m. Još jasnje se to d z sljedećeg pmjea: Pmje 8. Masa elatstčkog sustaa dje slobodne česte Razmotmo najjednostanj susta s še (dje!) nenteagajućh elatstčkh česta tako da, jednostanost ad, susta nema potenjalne enegje, tj. na česte ne djeluju sle. Neka je masa sake česte m A m 4 Kg neka se česte gbaju jedna ka dugoj duž -os bznama: A,6,8 8 ms -,6,8 8 ms - (očgledno 9 5 elatstčke česte). Relatstčk fakto za take česte je: γa γ. 5 4 Impuls česta su jednak po ntenztetu, al supotnog paa, tj. p A γ A m A A 5 3 5 3 4Kg 3 Kg p γ m 4Kg 3 Kg. Ukupn mpuls sustaa je 4 5 4 5 nula p A p, što znač da susta kao jelna ma bznu (znač, γ ), pa je pema (3.) ukupna enegja sustaa M enegja moanja sustaa. S duge stane, ukupna enegja sustaa od dje slobodne česte je zboj ukupnh enegja sake pojedne česte, što daje: M A γ A m A γ m (Kg). Masa sustaa je: M Kg > ma m 8 Kg! U sakom elatstčkom sustau, masa sustaa slobodnh česta (še od jedne) ujek je eća od zboja masa pojednh česta, a masa sustaa ezanh česta ujek je manja od zboja masa pojednh česta je je potenjalna enegja sustaa ezanh česta negatna! kalentnost mase enegje pema (3.) jedna je od ekspementalno najbolje pojeenh elaja STR. U klasčnoj fz ( u kemjskm eakjama) kad je << efekt neočuanja mase su zanema, kao na pmje: 38