Diferencijln kinemtik 70 3.8 NLIZ REDUDNCIE Kko je već rnije rečeno, reuncij je povezn s brojem stupnjev pokretljivosti n, brojem vrijbli opercijskog prostor m i brojem vrijbli opercijskog prostor r potrebnih z specificirnje znog ztk. enžb iferencijlne kinemtike, koj će se rzmtrti u nlizi reuncije, n je izrzom (3.9, onosno v = ( q, (3.86 gje v prestvlj (r vektor brzine vrh mnipultor koji se onosi n specificirn ztk, je (r n mtric geometrijskog cobin i je (n vektor zglobovskih brzin. ko je r<n, mnipultor je kinemtički reuntn i postoji (n-r reuntnih stupnjev pokretljivosti. cobin opisuje linerno preslikvnje iz prostor brzin zglobov u prostor brzin vrh mnipultor. Općenito, on je funkcij konfigurcije. Ovo preslikvnje je shemtski prikzno n Sl. 3.9. n R r v R ℵ ( R( O Sl. 3.9. Preslikvnje između prostor brzin zglobov i brzin vrh mnipultor. enžb iferencijlne kinemtike (3.9 može se krkterizirti u izrzim poručje i nul prostori preslikvnj, pri čemu su oni: Poručje o je potprostor R( u R r prostoru brzin vrh mnipultor koje se mogu generirti brzinm zglobov z nu konfigurciju mnipultor. Nul prostor o je potprostor ℵ( u R n prostoru brzin zglobov koje ne proizvoe nikkve brzine vrh mnipultor z nu konfigurciju mnipultor. ko mtric cobin im puni rng, t vrijei: im( R ( = r i im( ℵ( = n r, (3.87 i poručje o rzpinje čitv prostor R r. ko se cobin egenerir u singulrnim konfigurcijm, imenzij poručj prostor se smnjuje ok se imenzij nul prostor povećv, buući vrijei slijeeć relcij: im( R ( + im( ℵ( = n. (3.88 Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 7 Postojnje poprostor ℵ( 0 z reuntne mnipultore ozvoljv oređivnje sistemtične tehnike z rukovnje reuntnim stupnjevim sloboe. Z tu svrhu, ko oznčv rezultt jenžbe (3.86 i P je (n n mtric tkv je t vektor zglobovskih brzin: uz ogovrjući prestvlj rješenje jenžbe (3.86. Množenjem obe strne jenžbe (3.90 s obiv se: R ( P ℵ(, (3.89 q & = + P, (3.90 = + P = = v, (3.9 Buući je P = 0 z bilo koji. Ovj rezultt je o funmentlne vžnosti z nlizu reunciju. Rješenje jenžbe (3.90 nmeće mogući izbor vektor ogovrjućih brzin zglobov tko nglšv prenost reuntnih stupnjev sloboe. Zist, efekt koji im je generir unutrnj kretnj strukture koj ne ozvoljvju promjenu pozicije i orijentcije vrh mnipultor, n primjer rekonfigurcij mnipultor u mnogo opsniju konfigurciju z izvršenje znog ztk. U nstvku se nlizir problem inverzne iferencijlne kinemtike, onosno uspostvljnje relcij preslikvnj brzin opercijskog u brzine zglobovskog prostor. Z rzliku o irektne iferencijlne kinemtike, ko inverzne iferencijlne kinemtike relcij je ostvren pomoću inverzne mtrice cobin. 3.9 INVERZN DIFERENCILN KINEMIK Dobivnje rješenj inverznog kinemtičkog problem u ztvorenoj formi moguće je smo z mnipultore koji imju jenostvnu kinemtičku strukturu. Problemi nstju uvijek k vrh mnipultor ostiže pojeinčni položj i/ili orijentciju u opercijskom prostoru, ili je struktur složen i nije moguće uspostviti vezu između položj i orijentcije vrh mnipultor z rzličite skupov vrijbli zglobov, ili je mnipultor reuntn. Ov ogrničenj uzrokuju visok stupnj nelinernost između vrijbli zglobovskog i opercijskog prostor. S ruge strne, iferencijln kinemtičk jenžb prestvlj linerno preslikvnje između zglobovskog i opercijskog prostor brzin, prem on ovisi o trenutnoj konfigurciji. Ovo sugerir mogućnost korištenj iferencijlne kinemtičke jenžbe u rješvnju inverznog kinemtičkog problem. Nime, rni ztk robotu može se opisti u terminim brzin vrh mnipultor v i znim početnim uvjetim z položj i orijentciju. Cilj je t oreiti ogovrjuću zglobovsku trjektoriju ( q ( t, ( t koj reproucir znu trjektoriju. ko je n=r, t se jenostvno inverzijom cobin u jenžbi iferencijlne kinemtike obiv: ko je poznt početni vektor q (0, t je: q & = ( q v. (3.9 t q = ( ς ς + q(0. (3.93 0 Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 7 Neovisno o rješivosti inverznog kinemtičkog problem, ko je kvrtn mtric punog rng moguće je numeričkom integrcijom obiti trjektoriju q u iskretnim vremenskim trenucim, npr.: q ( t = q( t + ( t t. (3.94 k+ k k Ovj postupk invertirnj kinemtike je neovisn o rješivosti kinemtičke strukture. Ono što je vžno jeste je mtric cobin kvrtn i punog rng, što je lje povezno s reuntnim mnipultorim i pojvom kinemtičkih singulritet. U numeričkoj implementciji jenžbe (3.94, rčunnje brzin zglobov obvlj se invertirnjem mtrice cobin s zglobovskim vrijblm iz prethonog vremenskog trenutk n slijeeći nčin: q ( t = q( t + ( q( t ( t t. (3.95 k+ k k v k Rekonstrukcij zglobovskih vrijbli q pomoću numeričke integrcije uključuje rift u rješenju, onosno, lokcij vrh mnipultor koj ogovr izrčuntim zglobovskim vrijblm rzlikuje se o željene lokcije. Ovo ostupnje može se izrziti ko grešk: Derivirnjem izrz (3.96 obiv se: onosno, u sklu s jenžbom iferencijlne kinemtike (3.5: e = x x. (3.96 e & = x& x&, (3.97 e & = x& ( q. (3.98 Ov jenžb je vezu između vektor brzin zglobov i greške slijeđenj u opercijskom prostoru e. On tkođer pokzuje kko se grešk mijenj tokom vremen. Međutim, njvžnije je pronći vezu između i e, koj će osigurti grešk konvergir k nuli. Ov relcij se može pronći n v nčin, ovisno o tome li se obvlj linerizcij jenžbe (3.98, ili ne. U prvom slučju je z potrebu ove relcije neophono rčunnje inverznog cobin, z rugi slučj trnsponirnog cobin. Bitno je uočiti se n ovj nčin ustvri može riješiti problem inverzne kinemtike korištenjem mtrice cobin, onosno relcije iferencijlne kinemtike. 3.9. Rješvnje problem inverzne kinemtike trnsponirnjem cobin Buući se z pronlženje izrz koji će osigurti konvergenciju greške k nuli ne zhtijev linerizcij (3.98, grešk inmik greške će biti opisn nelinernom iferencijlnom jenžbom. Direktn Lypunov meto se može iskoristiti z rčunnje (e koji će osigurti simptotsku stbilnost greške sistem. Dobr izbor z Lypunovu funkciju je funkcij pozitivno efinitn i kvrtnog oblik: V ( e = e Ke, (3.99 gje je K simetričn, pozitivno efinitn mtric. Ov funkcij im svojstv: Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 73 V ( e > 0, V ( 0 = 0 e 0. (3.00 Derivirnjem izrz (3.99 obiv se: onosno, & V ( e = e Kx& e Kx&, (3.0 Izborom izrz z zglobovske brzine oblik slijei & V e = e Kx& e K ( q. (3.0 ( = ( q Ke, (3.03 V & e = e Kx& e K ( q ( q Ke. (3.04 ( Rezultirjuć blok shem je prikzn n Sl. 3.0. i prikzuje lgoritm koji zhtijev rčunnje smo irektne kinemtičke funkcije k(q, (q. kođer se prepoznje jenžb (3.03 ogovr grijentnoj metoi z rješenje sistem nelinernih jenžbi. x e K (q q x k( Slik 3.0. Blok shem inverznog kinemtičkog lgoritm s trnsponirnom mtricom cobin. U slučju slijeđenj konstntne referentne trjektorije ( x& = 0 funkcij (3.04 postje negtivno efinitn, uz pretpostvku mtric cobin (q im puni rng. Buući je V>0 i V & < 0, slijei će trjektorije sistem uniformno konvergirti k e = 0, to jest sistem je simptotski stbiln. K je x vremenski promjenjiv funkcij ( x& 0, bi se postiglo V & < 0, ovoljno je izbrti ovisi o (pseuo-inverziji mtrice cobin, što rezultir simptotskom stbilnošću sistem. Z inverznu shemu temeljenu n trnsponirnju, prvi izrz jenžbe (3.04 ne može se poništiti i ništ se ne može reći o njegovom preznku. 3.9. Rješvnje problem inverzne kinemtike invertirnjem cobin Uz pretpostvku je mtric (q kvrtn i nesingulrn, izbor Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 74 je ekvivlentn linern sistem ( q( x& Ke, (3.05 = + e& + Ke = 0. (3.06 ko je K pozitivno efinitn (obično ijgonln mtric, sistem (3.06 je simptotski stbiln. Grešk teži k nuli už trjektorije s brzinom konvergencije koj ovisi o svojstvenim vrijenostim mtrice K. Veći iznosi svojstvenih vrijenosti uzrokuju bržu konvergenciju. Buući se sistem opisn jenžbom (3.06 prktički implementir ko vremenski iskretn sistem, rzumno je previjeti gornju grnicu z postojnje svojstvenih vrijenosti, ovisno o vrmenu uzorkovnj. Drugim riječim, postojt će ogrničenje z mksimum svojstvenih vrijenosti o K unutr kojeg će simptotsk stbilnost sistem greške (3.06 biti zgrntirn. Blok shem koj ogovr inverznom kinemtičkom lgoritmu obivenom pomoću inverzne mtrice cobin prikzn je n Sl. 3., pri čemu k( prestvlj funkciju irektne kinemtike. x& x e K ( q q x k( Slik 3.. Blok shem inverznog kinemtičkog lgoritm s inverznom mtricom cobin. Ov shem prestvlj klsični sistem uprvljnj s povrtnom vezom. Nelinerni blok k( je potrebn z rčunnje x-, onosno greške slijeđenj e, ok se blok ( q uvoi s ciljem kompenzirnj (q i n tj nčin čini sistem linernim. Blok shem tkođer pokzuje postojnje niz integrtor u irektnoj grni i z konstntnu trjektoriju ( x& = 0 grntir iznos greške jenk nuli u stcionrnom stnju. Nlje, jelovnje u irektnoj grni ostvreno s x& z vremenski promjenjivu trjektoriju osigurv grešk zržv vrijenost jenku nu.li (i u slučju e(0 = 0 už cijele trjektorije, neovisno o tipu željene trjektorije x (t. U slučju reuntnih mnipultor obiv se interesentn rezultt korištenjem pseuoinverzije mtrice cobin. U nstvku se je nliz reuntnog mnipultor i izbor. 3.9.3 Reuntni mnipultori U slučju reuntnog mnipultor (r<n, mtric cobin im mnogo više stupc nego rek i iferencijln kinemtičk jenžb: v = ( q, (3.07 im beskončno mnogo rješenj. U tom slučju mnipultor posjeuje (n- r stupnjev pokretljivosti. Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 75 K se z znu konfigurciju q izrčun v i, t se nstoji pronći rješenje koje zovoljv jenžbu (3.07 i minimizirti kvrtnu funkciju zglobovskih brzin: σ ( q &, λ = W, (3.08 gje je W simetričn pozitivno efinitn težinsk mtric imenzij (n n. Ovj problem se može riješiti korištenjem metoe Lgrnginovih multipliktor. Promtrjmo moificirni funkcionl (3.08: σ ( q &, λ = W + λ ( v, (3.09 gje je λ (r vektor nepozntih multipliktor koji omogućuju umetnje izrz (3.07 u jenžbu (3.09. Zhtijevno rješenje mor zovljvti potrebne uvjete: σ σ = 0, = 0 λ. (3.0 Iz prvog uvjet se obiv je W λ = 0, onosno = W λ, (3. pri čemu postoji inverzn mtric o W. Rješenje prestvljeno s (3. prestvlj minimum, buući je σ / q & = W pozitivno efinitn mtric. Iz rugog uvjet slijei je v =. (3. Kombinirjući nveen v uvjet obiv se: v = W λ, (3.3 Uz pretpostvku mtric im puni rng, invertirti. Iz (3.3 slijei izrz z λ: W je (r r kvrtn mtric rng r koj se može λ = ( W v. (3.4 Uvrštvnjem ovog izrz u jenžbu (3.0 obiv se optimlno rješenje: = W ( W v. (3.5 Specijln slučj se obiv k je težinsk mtric W jeiničn mtric. se rješenje pojenostvljuje i postje: υ = v, (3.6 gje mtric υ = (, (3.7 Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 76 prestvlj pseuoinverziju mtrice. Dobiveno rješenje loklno minimizir normu zglobovskih brzin. ko je rješenje jenžbe (3.07 t je q & + P tkođer rješenje, gje je vektor ogovrjućih zglobovskih brzin i P je projektor u null prostoru -. Osim tog, zbog postojnj reuntnih stupnjev sloboe, rješenje (3.6 može se moificirti uvođenjem rugog izrz P. U tom slučju potrebno je rzmtrti novu funkciju kkvoće σ ( q & = ( (. (3.8 Cilj ovog izbor je minimizirnje norme vektor ( q &. Drugim riječim, rješenj koj zovoljvju uvjet (3.6 i koj su što je moguće bliž. N ovj nčin, uvođenjem obiv se otni cilj kojeg je potrebno zovoljiti uz već postojeći primrni cilj n izrzom (3.07. N temelju ovog obiv se: σ ( q &, λ = ( ( + λ ( v, (3.9 pri čemu je rješenje no s q & λ + =. (3.0 Uvrštenjem ovog izrz u jenžbu (3.07 obiv se λ = ( I n krju smjenom λ u izrz (3.0 obiv se ( v. (3. ν ν q & = v + ( I &. (3. q Dobiveno rješenje se sstoji o v izrz. Prvi se onosi n minimum norme zglobovskih brzin. Drugi izrz, nzvn homogeno rješenje, nstoji zovoljiti otno ogrničenje specificirno pomoću ν, gje je mtric ( I jen o mtric P, koj omogućuje projekciju vektor u null prostor mtrice cobin, tko se ne nruši ogrničenje (3.07. Direktn posljeic je je, u ν slučju v = 0, moguće je generirti unutrnj kretnj opisn s ( I, koj rekonfigurirju strukturu mnipultor ne mijenjjući poziciju i orijentciju vrh mnipultor. U slučju reuntnog mnipultor jenžb (3.05 može se npisti u obliku: υ υ = ( x& + Ke + ( I, (3.3 što prestvlj lgoritmsku verziju rješenj (3. 3.0 SIK Cilj sttike je oreiti vezu između generlizirnih sil nrinutih n vrh mnipultor i generlizirnih sil u zglobovim mnipultor (sil z prizmtične zglobove i moment z obrtne zglobove, k je mnipultor u stnju rvnoteže. Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 77 Nek je τ n-imenzionlni vektor zglobovskih moment i γ r-imenzionlni vektor sil u vrhu mnipultor, gje je r imenzij rzmtrnog opercijskog prostor. Z izvođenje relcij sttike, koristi se princip virtulnog r, koji se može primijeniti u ovom slučju, jer se ri o sistemu s vremenski neovisnim holonomnim ogrničenjim. Dkle virtulni pomci su jenki elementrnim pomcim. Promtrjmo elementrne rove obvljene jelovnjem sil v sistem. Elementrni r proizveen zglobovskim momentim jenk je Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Wτ = τ q. (3.7 Djelovnje generlizirnih sil vrh mnipultor γ, može se rzvojiti n oprinos uslije jelovnj sil f i oprinos uslije jelovnj moment µ, n slijeeći nčin: Wγ = f p + µ ωt, (3.8 gje p i ωt prestvljju linerne i ugone pomke. Uzimjući u obzir jenžbe iferencijlne kinemtike (3.9 i (3.0, jenžb (3.8 postje: Wγ = f P ( q q + µ O ( q q = γ ( q q, (3.9 gje je γ = [ f µ ]. Buući virtulni i elementrni pomci se pourju, virtulni rovi priruženi silm nveenih vju sistem su: δw τ = τ δq, (3.30 δw γ = γ ( q δq, (3.3 gje se oznk δ onosi n virtulni r. U sklu s principom virtulnog r, mnipultor je u sttičkoj rvnoteži ko i smo ko je δw δw = 0, δq, (3.3 τ γ to jest, rzlik između virtulnog r zglobovskih moment i virtulnog r sil vrh mnipultor bit će nul z sve pomke zglobov. Iz jenžbe (3.3 slijei je virtulni r sil vrh mnipultor je nul z bilo koji pomk u nul prostoru o -. Ovo implicir zglobovski momenti priruženi tkvim pomcim mor biti nul u sttičkoj rvnoteži. U tom slučju, smjenom (3.30 i (3.3 u (3.3 obiv se slijeeći rezultt: τ = ( q γ. (3.33 Iz jenžbe (3.33 slijei je vez između sil vrh mnipultor i moment zglobov n pomoću trnsponirnog geiometrijskog cobin mnipultor. Primjer 3.8 N Sl. 3.5 prikzn je vosegmentn plnrn ruk. Vrh mnipultor je u oiru s vnjskom površinom proizvoeći silu γ = [ γ ] x γ y. Pronći ekvivlentne momente zglobov τ = [ τ ] x τ y koji su korespoentni silm vrh mnipultor γ, znemrujući trenj u mehnizmu zglobov. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 78 γ γ = γ y 0 τ ϑ τ ϑ x 0 Slik 3.5. Sile u vrhu mnipultor i ekvivlentni momenti zglobov. Geometrijski cobin nveene strukture im oblik: s s s ( q =. (3.34 c + c c N osnovu trnsponirne mtrice cobin s s c + c ( q =, s c obivju se ekvivlentni momenti zglobov ni izrzim: τ = τ s s s c + c c γ, γ onosno τ = ( s + s τ = s γ + c γ γ + ( c + c γ. (3.35 Kombinirnjem jenžbe sttike (3.33 i jenžbe iferencijlne kinemtike (3.07 obiv se tzv. svojstvo kineo-sttičke ulnosti. U nlogiji s preslikvnjem prikznim n Sl. 3.9 z iferencijlnu kinemtiku, može se sličn stvr uriti s preslikvnjem između prostor moment zglobov i prostor sil vrh mnipultor. Ovo je ilustrtivno prikzno n Sl. 3.6. Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve
Diferencijln kinemtik 79 n τ R r γ R R( ℵ( O Sl. 3.6. Preslikvnje između prostor sil vrh mnipultor i moment zglobov. enžb sttike se tkođer mogu krkterizirti izrzim poručje i nul prostori preslikvnj, pri čemu su oni: Poručje o je potprostor R( u R r prostoru moment zglobov koji mogu urvnotežiti sile vrh mnipultor z nu konfigurciju mnipultor. Nul prostor o je potprostor ℵ( u R n prostoru sil vrh mnipultor koje ne zhtijevju urvnoteženje moment zglobov z nu konfigurciju mnipultor. Veze između nveenih potprostor su uspstvljene n slijeeći nčin: ℵ ( R ( i R( ℵ (, (3.36 i ko je Mtric cobin mnipultor poznt, moguće je upotpunosti krkterizirti iferencijlnu kinemtiku i sttiku u izrzim poručj i nul prostor mtrice cobin i njene trnsponirne mtrice. Mr.sc. smin Velgić, ipl.inž.el. Lbortorij z Robotiku i utonomne sustve