Tomislav Došlić. Numerička matematika. Gradevinski fakultet Sveučilište u Zagrebu

Transcript

1 Tomislv Došlić Numeričk mtemtik Grdevinski fkultet Sveučilište u Zgrebu

2 ii

3 Sdržj 1 Uvod Apsolutne i reltivne pogrješke Osnovni izvori pogrješk Približno rješvnje jedndžbi Izolirnje rješenj Metod rspolvljnj (bisekcije) Metod seknte (regul flsi) Newtonov metod (metod tngente) Metod itercije (metod fiksne točke) Aproksimcij i interpolcij Problem proksimcije funkcij Osnovni tipovi proksimcijskih funkcij Kriteriji optimlnosti Polinomijln interpolcij Rješivost problem interpolcije Lgrngeov oblik interpolcijskog polinom Newtonov oblik interpolcijskog polinom Problemi s polinomijlnom interpolcijom Splineovi Zključk Numeričko integrirnje Uvod Newton-Cotesove kvdrturne formule Trpezn formul Simpsonov formul Newton-Cotesove formule viših redov Poopćen trpezn formul Poopćen Simpsonov formul Gussove kvdrturne formule Mogući problemi Kubturne formule i višestruki integrli Obične diferencijlne jedndžbe Eulerov metod Poboljšn Eulerov metod Metode Runge-Kutt Mtrice i linerni sustvi Izvori problem Tipovi mtric Tipovi problem i

4 6.4 Tipovi metod Gusove elimincije Modifikcije Gusovih elimincij - pivotirnje Guss-Jordnove elimincije Simetrične mtrice Anliz pogrješke izrvnih metod Jcobijev metod Guss-Seidelov metod Ocjen pogrješke itercijskih metod OR metode Problem svojstvenih vrijednosti Krkteristični polinom Krlovljev metod Metod neodredenih koeficijent Loklizcij nul-točk ii

5 Predgovor Ovj nstvni mterijl nmijenjen je studentim druge godine svih smjerov diplomskog studij koji su se tijekom svog obrzovnj već upoznli s mnogim mtemtičkim modelim kojim opisujemo mehničke probleme. Ti modeli opisuju odnose veličine koj ns znim (recimo progib grede) i vnjskih i unutrnjih prmetr o kojim t veličin ovisi (ko što su svojstv mterijl, rspodjel vnjskih opterećenj i sl.). U idelnom slučju, rješenje tkvog model trebl bi biti formul koj bi n kompktn nčin prikzl ovisnost promtrne veličine o prmetrim model. Iz iskustv znmo d je to više iznimk nego prvilo - rješenj koj se dju iskzti elegntnim mtemtičkim formulm dobivju se smo z vrlo specijlne slučjeve. U prvilu je riječ o područjim visoke simetrije (segment, kvdrt, prvokutnik, krug) i o modelim koji znemrivnjem nekih prmetr znčjno pojednostvnjuju fiziklnu situciju (mli progibi, konstntni prmetri i sl.). Kd god immo područje neprvilne geometrije i/ili model koji ne znemruje nezgodn svojstv prmetr, mormo rješenje model tržiti numeričkim metodm. Numeričk mtemtik, tj. grn mtemtike koj se bvi rzvojem i proučvnjem metod z približno rješvnje problem, doživjel je proteklih desetljeć iznimno brz rzvoj. To je, u sinergiji s istim tkvim rzvojem rčunl, opercijskih sustv i progrmskih jezik, dovelo do tog d se dns mogu uspješno modelirti složeni nelinerni problemi iz hidrodinmike i mehnike deformbilnih krutih tijel. Rzvijeni su i stndrdni progrmski lti z pojedin područj koji omogućuju rutinsko modelirnje netrivijlnih problem i osobm koje nisu specijlisti. Tkvi lti, osim nesumnjivih i očitih prednosti, nose i potencijlne opsnosti, ko što je njihov primjen n probleme z koje nisu predvideni. Kko bi se izbjegle negtivne posljedice i poboljšo učink stndrdnih progrmskih pket, bilo bi dobro i poželjno d njihovi korisnici imju odredeno rzumijevnje mtemtičkih idej i pojmov n kojim se oni temelje. S tim je ciljem i koncipirn kolegij Numeričk mtemtik i npisn ovj nstvni mterijl. Ni skript ni kolegij nisu zmišljeni ko iscrpn prikz numeričke mtemtike i njenih metod. Nmjer im je informirti i zinteresirti studente i čittelje. Oni koji budu o tome željeli znti više mogu potržiti dodtne informcije u literturi nvedenoj n krju skripte. Z nstnk ove skripte u velikoj su mjeri zslužni slušči prve genercije kojoj je kolegij predvn, Mrin Algušić, Luk Božić, Andre Klrendić, Jnko Košćk, Dejn Stjepnović i Gregor Turklj. Zhvln sm im što su s velikim strpljenjem i upornošću utipkli ne uvijek čitljiv i uredn tekst mojih bilješki. Posebno zhvljujem Jnku Košćku koji je izrdio slike. Zhvljujem i sistentici Ani Mrtinčić i višem sistentu Nikoli Sndriću koji su pozorno pročitli prvu verziju tekst i ukzli mi n mnoge pogrješke. Odgovornost z sve preostle činjenične, prvopisne i stilske nedosttke je isključivo moj. Bit ću zhvln svim čitteljim koji mi n njih ukžu. U Zgrebu, 5. II 214. Tomislv Došlić iii

6 iv

7 1 Uvod 1.1 Apsolutne i reltivne pogrješke Nek je A R točn vrijednost nekog broj. Njegov približn vrijednost je broj R, koji se mlo rzlikuje od A. Ako znmo d je < A, kžemo d je donj proksimcij od A; ko znmo d je > A, ond je gornj proksimcij oda. Pogrješk približnog broj je rzlik točne i približne vrijednosti: = A. U većini slučjev predznk pogrješke nije poznt. Zto se često rdi s njenom psolutnom vrijednošću. Apsolutn pogrješk približnog broj je = A. Točn vrijednost veličine u prvilu nije poznt p se umjesto točne vrijednosti psolutne pogrješke mormo zdovoljiti njenim ocjenm ili ogrdm: = A. Immo li tkvu ogrdu, znmo u kojem se intervlu okonlzi točn vrijednosta: A +. Često skrćeno pišemo A = ±. Apsolutn pogrješk (ili njen ogrd) ne dje potpun opis točnosti rezultt; ist psolutn pogrješk od 1 cm znči puno više, ko je točn vrijednost A = 1 m, nego ko je A = 1 km. Stog uvodimo pojm reltivne pogrješke, δ =. U prvilu rdimo s ocjenm (ogrdm) A oblik δ δ. δ A A δ, p možemo uzeti = A δ, odnosno, zbog A, = δ. Odtle možemo dobiti intervl okoukojem ležia,(1 δ ) A (1+δ ), ili skrćeno, A = (1±δ ). 1.2 Osnovni izvori pogrješk 1. Pogrješke model - dolze od idelizcij i proksimcij u formulciji mtemtičkog model. Primjer - linerizcij. 2. Rezidulne pogrješke - dolze od zmjen beskončnih proces končnim. Primjer - rčunnje e. 3. Ulzne (početne) pogrješke - dolze od netočnih vrijednosti prmetr model. Primjer - fiziklne konstnte, g Pogrješke zokruživnj - dolzi od problem s predstvljnjem brojev u dnom brojevnom sustvu. Primjer - 1 =.333 unosi pogrješku Pogrješke opercij - netočni ulzi dju netočne rezultte. N neke izvore i tipove pogrješk ne možemo utjecti, neke možemo smnjiti ili izbjeći pžljivim pristupom. Često se dogd d smnjenje pogrješke jednog tip vodi do povećnj pogrješke drugog tip. Treb blnsirti cijenu (u vremenu i opremi) i kvlitetu rezultt. Primjer 1.1: Koliko je ( 2) 2? Koliko je str fosil dinosur? 1

8 2 Približno rješvnje jedndžbi Mnogi inženjerski problemi svode se n rješvnje jedndžbi oblik f() =. Smo u njjednostvnijim slučjevim moguće je nći rješenj tkve jedndžbe u obliku formule. (To je moguće ko je f() polinom stupnj njviše 4, no i u tom slučju su formule nespretne i neprktične. Z ostle funkcije f() je rješenje pomoću formule moguće smo z specijlne kombincije koeficijent. Npr., sin 1 = im rješenje = π + 2kπ, = 5π + 2kπ, no sin 1 =?) Z neke vžnije jedndžbe su rješenj tbelirn i proglšen stndrdnim 3 funkcijm (npr. e c =, tn c = itd.). U mnogim slučjevim ni koeficijenti nisu točno, već smo približno poznti, p nem ni smisl govoriti o točnom ili egzktnom rješenju. Stog je vžno biti u stnju nći približno rješenje jedndžbi. 2.1 Izolirnje rješenj Promtrmo jedndžbu f() =, gdje je funkcij f definirn i neprekidn n nekom intervlu, b (koji može biti i beskončn). Ponekd ćemo zhtijevti od f i odredenu gltkost, tj. neprekidnost od f,f if. Svk vrijednostξ z koju jef(ξ) = je korijen ili rješenje jedndžbef() =. Kžemo još d jeξ nul-točk funkcijef. Pretpostvljmo df im smo izolirne nul-točke, tj. d oko svke nul-točke postoji okolin n kojoj je f(). f f Slik 1: Primjeri funkcij s izolirnim (lijevo) i neizolirnim (desno) nul-točkm. f f b b Slik 2: Primjeri intervl s više nultočk i s jednom nul-točkom funkcije. Približno rješvnje jedndžbe f() = uključuje dv kork: 2

9 1. Izolirnje korijen, tj. odredivnje intervl [, b] koji sdrže jedn i smo jedn korijen. 2. Nlženje korijen u tim intervlim uz zdnu točnost. Teorem 1. Ako neprekidn funkcij f() n krjevim intervl[, b] im vrijednosti suprotnih predznk, f()f(b) <, ond u tom intervlu postoji brem jedn njen nul-točk. Nul-točk će biti jedinstven, ko f () postoji i ne mijenj predznk n,b. Dns je postupk izolcije rješenj bitno olkšn postojnjem softwre z crtnje grfov funkcij. Potrebno je pritom pziti n moguće lžne korijene. Primjer 2.1: f() = 1 n [ 1,1]. Loš softwre (ili loš mtemtičr) ncrtt će ovkv grf. Slik 3: Loš softwre (ili loš mtemtičr)... Kvlitet približnog rješenj - što je dobr kriterij? Jednom kd smo nšli približno rješenje, znim ns koliko je ono dobro, tj. koliko je ono blizu prvom rješenjuξ. Prv idej, provjer koliko je f() dleko od nule, nije dobr. f ɛ ξ ξ Slik 4: Što je dobr mjer kvlitete proksimcije? Teorem 2. Nek jeξ točno, približno rješenje jedndžbef() = u intervlu[,b]. Ako je u tom intervlu f () m 1 >, ond je ξ f() m 1. 3

10 2.2 Metod rspolvljnj (bisekcije) Nek je funkcijf() neprekidn n[,b] i nek jef()f(b) <. Dkle u[,b] postoji rješenje jedndžbe f() =. Promtrjmo f ( ) ( +b 2. Ako je f +b ) 2 =, nšli smo rješenje. Ako nije, td z točno jedn od intervl [ ] [, +b 2 i +b,b], funkcij im rzličite predznke u rubovim. Nzovimo 2 tj intervl[ 1,b 1 ] i ponovimo postupk. Nkon odredenog broj kork doći ćemo ili do točne vrijednosti rješenj ξ ili do tko mlog intervl [ n,b n ] koji ju sdrži d nm je t točnost dovoljn. Ako ne nidemo n točno rješenje, dobivmo (beskončn) niz ugniježdenih intervl [ 1,b 1 ], [ 2,b 2 ],..., [ n,b n ],... tkvih d je f( n )f(b n ) < i b n n = 1 2 n(b ). Lijevi rubovi intervl, 1, 2,..., n,... čine monotono neopdjući niz i svi su mnji odb; dkle niz ( n ) je monoton i ogrničen, p i konvergentn. Slično niz (b n ) je monoton (nerstući), ogrničen odozdo s, p je i on konvergentn. Kko je n ξ b n, iz b n n = 1 2 n (b ) slijedi d je ξ = lim n n = lim n b n. Očito je ξ n 1 2 n (b ) p immo i ocjenu pogrješke. Metod rspolvljnj je grub, b 3 b 2 b 1 b 4 3 Slik 5: Metod rspolvljnj. robustn i lk z implementciju n rčunlu. Ne zhtijev gltkost funkcije i neosjetljiv je n strminu. Loš strn je polgn konvergencij. Koliko kork treb z točnost od 1 3 z b = 1? 2.3 Metod seknte (regul flsi) Zmijenimo komd grf funkcije izmeduibz koje jef()f(b) < sekntom i pogledjmo gdje t seknt siječe os. U situciji ko n slici to vodi n niz proksimcij = < 1 < 2 <... < n < n+1 <... < ξ < b, čiji je opći čln definirn formulom n+1 = n f( n ) f(b) f( n ) (b n). 4

11 = 1 2 b Slik 6: Metod seknte. Uz pretpostvku d n [,b] postoji smo jedno rješenje, gornji niz proksimcij ( n ) konvergir (monoton je i ogrničen) prem rješenju ξ. Vidimo d rub b ostje fiksn u ovim itercijm. Moguće su i situcije u kojim rub ostje fiksn. Ako postojif (), ond je prvilo d ostje fiksn onj rub u kojem jef() istog predznk ko if (). Sve proksimcije su s iste strne korijenξ, i to s one strne n kojoj je predznk od f() suprotn predznku od f (). 1 b= Slik 7: Metod seknte. Z ocjenu pogrješke immo n ξ f(n) m 1, gdje je m 1 f () z b. Ako znmo ogrde m 1 f () M 1 n [,b], možemo dti i ocjenu pogrješke oblik To nm dje kriterij zustvljnj. ξ n M 1 m 1 m 1 n n 1. 5

12 2.4 Newtonov metod (metod tngente) Nek je korijenξ izolirn u[,b] i nek suf () if () neprekidne i ne mijenjju predznk n [, b]. Znmo d od svih prvc kroz neku točku n krivulji tu krivulju njbolje proksimirmo tngentom. Povucimo tngentu kroz točku n desnom krju intervl [, b] (u slučju n slici kroz (b,f(b))) i pogledjmo gdje on siječe os. Nzovimo tu točku 1 i povucimo tngentu kroz ( 1,f( 1 )). On siječe os u 2. Nstvljjući tj postupk dobivmo niz n+1 = n f( n) f ( n ), koji izgled ko d konvergir premξ. S slike vidimo d bi = odnijelo 1 izvn intervl 2 1 b= Slik 8: Metod tngente. [,b]. Prvilo je uzeti z koji je f( )f ( ) >. Teorem 3. Nek jef()f(b) < i nek suf (),f () neprekidne, rzličite od i ne mijenjju predznk n [,b]. Td, polzeći od z koji je f( )f ( ) >, niz n+1 = n f(n) f ( n) konvergir prem rješenjuξ jedndžbe f() =. Newtonov metod je neprikldn z rčunnje nul-točk u čijoj je okolini funkcij f mlog ngib. Ako je m 1 f () i f () M 2 n [,b], immo ocjenu ξ n M 2 2m 1 n n 1 2. Kžemo d je konvergencij Newtonove metode kvdrtičn. Nekd, dok je rčunnje bilo skupo, običvlo se Newtonovu metodu modificirti tko d se ne rčun derivcij u svkom korku, već se jednom izrčunt vrijednost koristil u nekoliko kork ko n slici. To rezultir sporijom konvergencijom. 6

13 b Slik 9: Modificirn metod tngente. 2.5 Metod itercije (metod fiksne točke) Metod se još zove i metod sukcesivnih proksimcij. Promtrmo jedndžbu f() = i zpišemo ju u obliku = ϕ(), gdje je ϕ neprekidn funkcij. Uzmimo neku početnu proksimciju. Kd bi to bilo rješenje, vrijedilo bi = ϕ( ). Kko nije, oznčimo ϕ( ) s 1 i ponovimo postupk: Ako tj niz konvergir, ond je 1 = ϕ( ), 2 = ϕ( 1 ),..., n+1 = ϕ( n ). lim n+1 = lim n }{{} ξ=ϕ(ξ) n ϕ( n ) = ϕ(lim tj. ond on konvergir prem rješenju jedndžbe f() =. n ), n }{{} ξ ξ ξ 2 Slik 1: Rzličiti nčini konvergencije metode itercij: stubište (lijevo) i spirl (desno). 7

14 Teorem 4. Nek je funkcij ϕ() definirn i derivbiln n [,b] i nek su joj sve vrijednosti u [,b]. Ako postoji < q < 1 z koji je ϕ () q < 1 z sve [,b], ond z svki [,b] niz n = ϕ( n 1 ) konvergir prem (jedinom) rješenjuξ jedndžbe = ϕ() u[,b]. Funkcij ϕ koj zdovoljv uvjete Teorem 4 je kontrkcij. Z ocjenu pogrješke immo izrze ξ n qn 1 q 1 ; ξ n q 1 q n n 1. Dokz bi slijedio iz teorem srednje vrijednosti. 8

15 3 Aproksimcij i interpolcij 3.1 Problem proksimcije funkcij Promtrmo funkciju f : I R. Ponekd je potrebno umjesto funkcije f promtrti neku drugu funkciju ϕ koj joj je u izvjesnom smislu blisk. Ako proksimcijsk funkcij ϕ osim o ovisi još i o prmetrim, 1,..., n, tj. ϕ() = ϕ(,, 1,..., n ), ond se problem proksimcije funkcijef funkcijomϕsvodi n odredivnje prmetr,..., n prem nekom zdnom kriteriju. U ovisnosti o odbrnom kriteriju immo rzne vrste proksimcij. Tipičn situcij u kojoj immo gornji problem je kd su vrijednosti nepoznte funkcije f poznte (ili dostupne) smo n diskretnom skupu, 1,..., n, trebju nm (približne) vrijednosti te funkcije u točkm koje nisu iz tog skup. Primjer 3.1: Tempertur zrk Kolik je bil tempertur u 9 sti i 45 minut? A u 16 sti i 15 minut? T 1 t T t Slik 11: Tblični i grfički prikz podtk o temperturi. Drug tipičn situcij je kd je funkcij f komplicirn i/ili skup z rčunnje. Recimo vrijednost funkcije u točki zhtijev 2 tjedn rčun. Kvlitet (i smislenost) proksimcije ovise o izboru oblik funkcije ϕ. Izbor neodgovrjuće funkcije dje, u prvilu, besmislen ili, u njboljem slučju, jko loš rezultt. Slik 12: Kkv je funkcij pogodn z proksimciju ovih podtk? 9

16 3.2 Osnovni tipovi proksimcijskih funkcij Osnovn podjel je n linerne i nelinerne proksimcijske funkcije. Opći oblik linerne proksimcijske funkcije je ϕ() = ϕ ()+ 1 ϕ 1 ()+...+ n ϕ n () pri čemu funkcije ϕ, ϕ 1,..., ϕ n zdovoljvju odredene uvjete. Linernost se odnosi n prmetre,..., n, oni u formulu ulze linerno. Z ϕ k () = k immo ϕ() = n n, dkle proksimciju (lgebrskim) polinomim. Z {ϕ k ()} = {1, cos, sin, cos2, sin2,...} immo proksimciju trigonometrijskim polinomim. Uzmemo li ϕ k () = ( k ) m + = { ( k ) m, k, < k, immo proksimciju splineovim. Funkcije( k ) m + zovu se prikrćene potencije (truncted powers). k Slik 13: Prikrćen potencij. Od nelinernih proksimcijskih funkcij često se koriste eksponencijln i rcionln proksimcij z koju je n = r+s+1. ϕ() =ϕ(;c, b,..., c r,b r ) = c e b +...+c r e br (n+1 = 2r +2, tj. n = 2r +1) ϕ() =ϕ(; b,..., b r, c,..., c s ) = b +b b r r c +c c s s 1

17 Izbor tip proksimcijske funkcije ovisi o poznvnju prirode problem koji generir podtke i iskustvu. Primjer 3.2: Slik 14: Kkve su funkcije pogodne z proksimciju ovih podtk? 3.3 Kriteriji optimlnosti Postoje rzličiti nčini mjerenj bliskosti dviju funkcij. U nekim slučjevim nm je bitno podudrnje vrijednosti n nekom skupu točk. U nekim drugim slučjevim su bolje druge mjere. Primjer 3.3: φ() φ() f() f() φ() f() b b b Slik 15: Rzličiti kriteriji kvlitete proksimcije. Kvlitet proksimcije se mjeri mlošću rzlike funkcije i proksimcije u odbrnoj normi u funkcijskom prostoru kojem pripdju. Ako od proksimcijske funkcije zhtijevmo podudrnje s zdnim vrijednostim n končnom (dkle diskretnom) skupu točk, ond je kriterij z izbor prmetr zdovoljvnje sustv jedndžbi ϕ( k ;,..., n ) = f( k ), k =,..., n. Tkv proksimcij se zove interpolcij funkcije f. Funkciju ϕ zovemo interpolcijskom funkcijom, točke k, k =,..., n, u kojim se njene vrijednosti podudrju s zdnim, zovemo čvorovim interpolcije. Kriterij kod interpolcije je poništvnje rzlike funkcije i njene proksimcije n zdnom diskretnom (štoviše, končnom) skupu. Aproksimcij koj je dobr po tom kriteriju ne mor 11

18 biti dobr ko gledmo odstupnj u drugim točkm ili rzliku površin ispod grfov funkcije i njene proksimcije. Primjer 3.4: φ() f() b Slik 16: Interpolcij. Odstupnje u čvorovim je, no što ko ns znim f() ϕ() n [,b]? Što ko ns znim b f()d? U tom slučju je bolje uzeti druge mjere bliskosti: m f() ϕ(), ili [,b] b (f() ϕ()) 2 d Te mjere dju tzv. min-m proksimciju i srednje-kvdrtnu proksimciju, redom. Te se mjere mogu definirti i n diskretnim skupovim. Populrn je metod proksimcije zvn diskretn metod njmnjih kvdrt, u kojoj se minimizir sum kvdrt odstupnj u zdnim točkm. Primjer 3.5: Odbrti funkciju zdnog oblik tko d n Slik 17: Diskretn metod njmnjih kvdrt. n (f( k ) ϕ( k ;,..., n )) 2 min. k= 12

19 Koliko su ovkvi problemi rješivi? Pokzuje se d se svk funkcij koj je neprekidn n [, b] može po volji dobro proksimirti polinomom. Teorem 5. (Weierstrss) Ako je funkcij f C[,b], ond ( ε > )( n N) i polinom P n () stupnj n tkv d je [,b] f() P n () ε. Teorem ne kže ništ o tome kko nći tkv polinom, čk ni kojeg je stupnj. 3.4 Polinomijln interpolcij Rješivost problem interpolcije Promtrmo skup čvorov k, k =,...,n u intervlu [,b] u kojim su zdne vrijednosti (nepoznte) funkcije f, f( k ) = f k. Promtrmo problem interpolcije linernom proksimcijskom funkcijom oblik ϕ() = ϕ(;,..., n ). Dobivmo sustv jedndžbi ϕ ( )+ 1 ϕ 1 ( )+...+ n ϕ n ( ) = f ϕ ( 1 )+ 1 ϕ 1 ( 1 )+...+ n ϕ n ( 1 ) = f 1... ϕ ( n )+ 1 ϕ 1 ( n )+...+ n ϕ n ( n ) = f n Tj sustv im jedinstveno rješenje ko i smo ko mu je mtric regulrn. Mtricu čine vrijednosti bznih funkcijϕ,...,ϕ n u čvorovim,..., n. Nepoznnice su prmetri,..., n. Pokzuje se d z < 1 <... < n b bzne funkcije ϕ k () = k uvijek dju regulrnu mtricu. Dkle problem interpolcije (lgebrskim) polinomim uvijek im jedinstveno rješenje. Teorem 6. Polinom P n () koji interpolir funkciju f u točkm < 1 <... < n je jedinstven i može se prikzti u obliku gdje je P n () = n f( k )L k (), k= L k () = ( )( 1 ) ( k 1 )( k+1 ) ( n ) ( k )( k 1 ) ( k k 1 )( k k+1 ) ( k n ) Lgrngeov oblik interpolcijskog polinom Uvedemo li oznku n ω() = ( k ) = ( ) ( n ), k= 13

20 immo L k () = ω() ( k )ω ( k ). Zšto? Polinomi L k () imju svojstvo Zovemo ih bzni polinomi. L k ( j ) = δ kj = { 1, j = k, j k. L L 1 L 2 Slik 18: Bzni polinomi z Lgrngeovu interpolciju. Znmo li mksimum psolutne vrijednosti (n + 1)-ve derivcije od f, M n+1 = m [,b] f (n+1) (), možemo dti i ocjenu pogrješke: f() P n () M n+1 (n+1)! ω(). Problem je d z tbelirne vrijednosti ( k if k ) ne znmo što bi mogl biti f (n+1) (). Zdtk 3.1: Odredimo Lgrngeov interpolcijski polinom z podtke iz tblice Rješenje 3.1: Ovdje je = 1, 1 =, 2 = 2 i 3 = 3. k f( k ) L () = ( )( 2)( 3) ( 1 )( 1 2)( 1 3) = 1 12 ( 2)( 3) L 1 () = (+1)( 2)( 3) ( ( 1))( 2)( 3) = 1 (+1)( 2)( 3), itd. 6 (3.1) Končno, P 3 () = Ako su čvorovi ekvidistntni, k k 1 = h, ocjenu greške možemo dti u obliku f() P n () < M n+1 (n+1) hn+1. Lgrngeov oblik je konceptulno jednostvn, li nije pogodn z numeriku. Posebno, dodvnje novog čvor znči rčunnje sveg ispočetk. 14

21 3.4.3 Newtonov oblik interpolcijskog polinom Promtrmo funkcijuf zdnu svojim vrijednostim u čvorovim k,k =,..., n. Podijeljen rzlik (red 1, prv) funkcije f u točkm i 1 je kvocijent f[, 1 ] = f( 1) f( ) 1. Podijeljene rzlike višeg red definirju se rekurzivno: f[,..., r ] = f[ 1,..., r ] f[,..., r 1 ] r. Počinjemo sf[ k ] = f k, k =,..., n. Podijeljene rzlike imju svojstvo linernosti, tj. (αf +βg)[,..., r ] = αf[,..., r ]+βg[,..., r ]. Dlje, iz definicije podijeljene rzlike vidimo d je Odtle se indukcijom može pokzti d vrijedi f[, 1 ] = f( ) 1 + f( 1) 1. f[,..., r ] = r i= f( i ) ω ( i ), gdje je ω() = ( ) ( r ). Pomoću podijeljenih rzlik možemo dti lterntivni zpis interpolcijskog polinom z vrijednosti f( k ) u čvorovim k : P n () = f[ ]+( )f[, 1 ]+( )( 1 )f[, 1, 2 ]+... +( )( 1 )... ( n 1 )f[,..., n ]. To je Newtonov oblik interpolcijskog polinom. Z njegovo rčunnje nm treb tblic podijeljenih rzlik: f[ ] 1 f[ 1 ]... 2 f[ 2 ]... f[, 1 ] f[ 1, 2 ]... f[, 1, 2 ] f[, 1, 2, 3 ] f[ 1, 2, 3 ] f[ 2, 3 ].... f[, 1,..., n ] 3 f[ 3 ] f[ n 2, n 1, n ].. f[ n 1, n ]... n f[ n ]... 15

22 Z rčunnje interpolcijskog polinom nm trebju smo podvučene podijeljene rzlike iz gornje strnice trokut. Rčunmo podijeljene rzlike po uzlznim dijgonlm. N tj nčin kod dodvnj nove točke možemo koristiti već izrčunte koeficijente: P n+1 () = P n ()+( )( 1 )... ( n )f[, 1,..., n+1 ]. Ako su f k vrijednosti funkcije kojoj znmo (n+1)-vu derivciju, možemo dti ocjenu pogrješke: R n (,f) = f() P n () = ω()f[, 1,..., n,]. Što dobijemo kd pustimo k z sve k? Tlorov polinom! Iz podijeljenih rzlik se z ekvidistntne čvorove dobiju končne rzlike. Pomoću končnih rzlik orgnizirnih u trokutstu tblicu može se izvesti više interpolcijskih formul, npr. Gussov, Besselov, Stirlingov, drug Newtonov itd. Mogu se gledti i interpolcijski problemi u kojim su u pojedinim čvorovim zdne ne smo vrijednosti funkcije već i njenih derivcij. Polinomijln interpolcij u tkvom slučju zove se Hermiteov interpolcij Problemi s polinomijlnom interpolcijom Interpolcijski polinomi visokog stupnj (n > 3) dju jko velik odstupnj izmedu točk; veliko je f() P n (). Velike su oscilcije pogotovo blizu rubov intervl. Vrlo su strmi, što ih čini beskorisnim z procjenu derivcije od f. Osjetljivi su n outliere, tj. slučjnu kontminciju podtk. Ekstrpolcij je proksimcij vrijednosti nepoznte funkcije izvn intervl u kojem su nm neke njene vrijednosti poznte. Polinomijln ekstrpolcij u prvilu ne dje dobre rezultte. Primjer 3.6: Slik 19: Primjeri skupov podtk koji se loše interpolirju polinomim. Rješenje - nepolinomijln ili po dijelovim polinomijln interpolcij. To ns vodi do splineov. 16

23 3.4.5 Splineovi Slik 2: Spline. Ime dolzi od elstične drvene ili metlne letvice (engl. spline) koj je nekd korišten z crtnje gltkih krivulj koje prolze kroz zdne točke. Prolzimo od pretpostvke d letvic zuzim oblik u kojem se njen potencijln energij minimizir. Potencijln energij dolzi od elstičnosti i proporcionln je integrlu po splineu kvdrt njegove zkrivljenosti. Ako je oblik spline opisn krivuljom Γ = f(), ond je potencijln energij proporcionln integrlu: Γ κ(s) 2 ds = b f () 2 ( = E[f]. 1+f () 2 ) 5d Oblik koji spline zuzim je funkcij f koj minimizir funkciju E uz nmetnut ogrničenj. Z mle vrijednosti od f () možemo znemriti čln f () 2, p u nzivniku dobijemo 1. Dkle minimizirmo integrl (funkcionl) E[f] = b f () 2 d. Mtemtičk teorij splineov i njihov primjen počinju se rzvijti krjem prve polovice 2-og stoljeć (Colltz, Cournt, Schoenberg). Mi ćemo promtrti polinomske splineove, tj. splineove koji su n svkom segmentu[ i 1, i ] polinomi zdnog sutpnj i koji se u čvorovim sstju tko d se čuv zdn gltkost. Funkcij S k m() je polinomski spline stupnj m i defekt k (1 k m) s čvorovim = < 1 <... < n = b, ko vrijedi (i) S k m() je polinom stupnj (njviše) m n svim[ i 1, i ] (ii) S k m() C m k [,b]. Obično se gledju polinomski splineovi defekt 1. To znči d im je m-t derivcij možd prekidn u čvorovim. Njjednostvniji slučj su splineovi stupnj i 1, prikzni n slici 21, dok se u prksi njčešće pojvljuju kubični i B-splineovi. Kubični interpolcijski spline z funkciju f n čvorovim = < 1 <... < n = b je funkcij S 3 () koj zdovoljv sljedeće uvjete (i) S 3 () je polinom stupnj njviše 3 n svim [ i 1, i ], i = 1,...,n; (ii) S 3 () C 2 [,b]; (iii) S 3 ( i ) = f( i ), i =,...,n. Uvjet (iii) g čini interpolcijskim splineom. 17

24 b b Slik 21: Splineovi stupnj (lijevo) i 1 (desno). Kubični spline interpolir funkciju f u čvorovim, neprekidn je zjedno s svojom 1. i 2. derivcijom i n svkom je podintervlu polinom stupnj ne većeg od 3. Uvjet neprekidnosti 2. derivcije je vrlo bitn u mehničkim primjenm (ubrznje, tj. sil, ne smije imti skokove) i u rčunlnoj grfici. Kubični spline se konstruir iz zdnih vrijednosti u čvorovim i uvjet neprekidnosti derivcij. Kd se oni svi uzmu u obzir, ostju dv slobodn prmetr koje se fiksir dodtnim uvjetim. To su obično uvjeti tip (i) S 3() = S 3(b), S 3() = S 3(b) - periodički spline (ii) S 3() =, S 3(b) = b (iii) S 3() = A, S 3(b) = B. U uvjetim tip (iii) često se stvlj S 3() = f (), S 3(b) = f (b), ko su vrijednosti druge derivcije n krjevim poznte. U mehničkim modelim je često A = B = p se kubični spline s tkvim uvjetim zove prirodni kubični spline. Kko se splineovi mtemtički prikzuju? Koristi se bz prikrćenih potencij { ( t) ( t) k k, t + =, < t 6 t t t t ()6( t) + (b)6( t) 1 + (c) 3( t) 2 + (d)( t) 3 + Slik 22: Bz prikrćenih potencij. Interpolcij kubičnim splineovim je globln - spline svud ovisi o vrijednosti u svkom čvoru. Alterntivni nčin je prikz pomoću B-splineov. B-spline je po dijelovim polinom stupnj m koji je rzličit od smo n m+1 podintervlu (loklnost). 18

25 Primjer 3.7: m = 1 m 2 = B () 1 B () Slik 23: B-splineovi stupnj 1 (lijevo) i 2 (desno). S() = i i B i () je prikz splines() u bzi B-splineov. Prikz preko B-splineov je kompktn, numerički stbiln, lko se rčun (lko z rčunlo). Mn im je d su komplicirni z mnipulciju - korisnici se morju osloniti n stndrdne progrmske pkete. Osim u interpolciji, splineovi se koriste i u drugim tipovim proksimcij - srednje kvdrtnoj, metodi končnih element itd. Poopćvju se n dvije i više dimenzij Zključk Polinomijlnom interpolcijom se služimo u tri stndrdne situcije: 1. Izvodi formul - numeričko integrirnje, derivirnje, približno rješvnje jedndžbi. 2. Lokln zmjen/mnipulcij podtcim - treb imti neku ideju o tome kko se funkcij (ili tbelirni podtci) loklno ponš - treb formulirti model. Polinomi nekog stupnj su obično dobr model ko u blizini nem singulritet i/ili kontmincij. 3. Globln zmjen/mnipulcij podtcim - polinomi su rijetko kd dobr globlni model. Splineovi su bolji, no čk i njim je teško interpolirti mnoge situcije koje se često jvljju. U globlnom je slučju bolje ići n druge tipove proksimcij (npr. metod njmnjih kvdrt i sl.). 19

26 4 Numeričko integrirnje 4.1 Uvod Z funkciju f neprekidnu n [, b] z koju znmo primitivnu funkciju F, odredeni integrl f()d rčunmo po Newton-Leibnizovoj formuli: b b f()d = F(b) F(). (Z primitivnu funkciju F() vrijedif () = f()). U mnogim slučjevim primitivnu funkciju nije moguće izrziti preko elementrnih funkcij; u nekim drugim slučjevim, čk i kd primitivn funkcij može biti izržen preko elementrnih funkcij, formule mogu biti prekomplicirne i/ili neprktične. Osim tog, u prksi je f() često zdn tblično p se i ne može govoriti o primitivnoj funkciji. Stog je bitno rzviti metode z približno rčunnje odredenih integrl. Kko je rčunnje odredenog integrl, ustvri, rčunnje površine nekog lik, numeričk integrcij se često zove i numeričk (mehničk) kvdrtur. Formule z približno rčunnje odredenih integrl zovu se i kvdrturne formule. Kd je riječ o rčunnju dvostrukih integrl, immo mehničku kubturu i kubturne formule. Problem numeričke kvdrture je problem rčunnj odredenog integrl n temelju niz (končnog) vrijednosti integrnd. Stndrdni pristup je zmjen integrnd f() n segmentu [, b] interpolcijskom ili proksimcijskom funkcijom ϕ() tko d bude približno zdovoljen jednkost b f()d b ϕ()d. Pri tome se funkcijϕ() odbire tko d se b ϕ()d može izrvno i točno izrčunti. Ako je f() zdn nlitički, dobro bi bilo znti procijeniti pogrješku. Pretpostvimo d z funkciju f() znmo vrijednost u n + 1 točki, 2,..., n [,b]. Koristeći vrijednost i = f( i ) možemo konstruirti Lgrngeov interpolcijski polinom P n () = n L i () i, i= gdje je Odtle, b L i () = f()d = gdje je R n [f] pogrješk. Približn formul je ω() ( i )ω ( i ). b P n ()d+r n [f], b f()d = n A i i, i= 2

27 gdje je A i = b L i ()d, i =,1...,n. Ako su grnice, b medu interpolcijskim čvorovim, ove su kvdrturne formule ztvorenog tip; inče su otvorenog tip. Kko rčunmo A i? Uočimo sljedeće: (i) A i su neovisni o funkciji f, ovise smo o čvorovim interpolcije. (ii) Gornj formul mor biti točn z polinome stupnj njviše n (jer je interpolcijski polinom jedinstven). Odtle slijedi d formul mor biti točn z sve k, k =,...,n, tj. R n [ k ] = zk =,...,n. Uvrštvjući f() = k, k =,...,n, u kvdrturnu formulu, dobivmo sustv od n + 1 jedndžbi z nepoznte koeficijente od A i : gdje su desne strne točni integrli, I k = b n A i = I i= n A i i = I 1 i=. n A i n i = I n, i= k d = bk+1 k+1. k +1 Gornji sustv uvijek im rješenje (z čvorove i koji su svi rzličiti), jer je determinnt mtrice tog sustv Vndermondeov determinnt: n n = ( j i ).... i<j n n n 1 n n Uočimo d se ne mor eksplicitno rčunti sm interpolcijski polinom P n (). Primjer 4.1: Ndimo kvdrturnu formulu oblik 1 f()d = A f ( ) 1 +A 1 f 4 21 ( ) 1 +A 2 f 2 ( ) 3. 4

28 Rješenje 4.1: Uvrstimo, 1 i 2 u formulu gore i uvrštvjući 1 k d = 1, dobivmo sustv jedndžbi k+1 A +A 1 +A 2 = A A A 2 = A A A 2 = 1 3. Rješenje je A = 2,A 3 1 = 1 ia 3 2 = 2. Dkle je 3 1 f()d = 2 ( ) 1 3 f 1 ( ) f + 2 ( ) f 4 = 1 3 ( 2f ( ) 1 f 4 ( ) 1 +2f 2 ( )) 3. 4 Dobiven formul je otvorenog tip i točn je z sve polinome stupnj njviše 2. Što se dogd uvrstimo li u njuf() = 3? 1 3 d = 1 ( ) = 1 ( ) 48 = 1! Vidimo d je formul točn i z polinome 3. stupnj! 4.2 Newton-Cotesove kvdrturne formule Formule kkve smo izveli u prijšnjem primjeru pripdju formulm Newton-Cotesovog tip. Primjenjuju se kd je funkcij zdn u fiksnim čvorovim koje ne možemo birti po volji. Promtrjmo b f()d. Podijelimo [,b] n n podintervl ekvidistntnim točkm =, 1,..., n = b. Vrijedi i i 1 = h, tj. i = +ih,i =,...,n. Td jeh = b. Oznčimo i = f( i ), i =,...,n. Zmjenjujući f() Lgrngeovim interpolcijskim polinomom n dobivmo n n f()d A i i. Uvodeći oznku q = možemo prijeći n novu vrijblu integrcije. Primijetimo d z h = i immo q = i. Dlje, q [n+1] = q(q 1) (q n), je pdjuć potencij od q. Lgrngeovi interpolcijski polinom u vrijbli q sd im oblik P n () = n i= Uvrštvjući to u kvdrturnu formulu dobivmo A i = n i= ( 1) n i q [n+1] i!(n i)! q i i ( 1) n i q [n+1] i!(n i)! q i d Prijedemo n integrciju po q:q =, dq = d,d = hdq h h A i = n h ( 1)n i q [n+1] ( 1)n i dq = h i!(n i)! q i i!(n i)! 22 n q [n+1] dq, i =,1,...,n. q i

29 Iz h = b n stvimo A i = (b )H i, gdje su Cotesovi koeficijenti.dkle je H i = 1 ( 1) n i ni!(n i)! b gdje je h = b n, i = f( +ih), H i = 1 ( 1) n i ni!(n i)! Z Cotesove koeficijente vrijedi n f()d = (b ) n q [n+1] dq, i =,1,...,n, q i n H i i, i= q [n+1] dq, i =,1,...,n. q i n H i = 1, H i = H n i. i= Iz općenitog rčun koji smo proveli sd možemo z rzličite n dobiti odgovrjuće kvdrturne formule jednostvnim uvrštvnjem n i rčunnjem Cotesovih koeficijent. Njjednostvniji je slučjn = Trpezn formul f () P () 1 L 1 Slik 24: Trpezn formul. Uvrštvjući n = 1 u formulu z H i,i =,1, dobivmo Dkle je 1 H = H 1 = 1 1 q(q 1) dq = 1 q 2 qdq = 1 2. f()d = h 2 ( + 1 ) trpezn formul. 23

30 Što možemo reći o osttku (pogrješci) ove formule? R = 1 f()d h 2 ( + 1 ). Ako je f() dovoljno gltk, možemo izvesti ocjenu z R. Promtrjmo R ko funkciju od h, R(h). 1 R = f()d h ( ) f( )+f( +h). 2 Derivirmo ovo po h, dvput: R (h) = f( +h) 1 [ ] f( )+f( +h) h 2 2 f ( +h) = 1 [ ] f( +h) f( ) h 2 2 f ( +h) R (h) = 1 2 f ( +h) 1 2 f ( +h) h 2 f ( +h) = h 2 f ( +h). Znmo d je R() =, R () =. Integrirjmo gornju relciju R (h) = R ()+ = 1 2 f (ξ 1 ) R(h) = R()+ h h h R (t)dt = 1 2 h tf ( +t)dt = (TSV) tdt = h2 4 f (ξ 1 ), z neki ξ 1, +h R (t)dt = 1 4 h t 2 f (ξ)dt = 1 4 f (ξ) h3 3, ξ, +h. R(h) = h3 12 f (ξ) Ako je f konveksn n [, 1 ] immo preveliku, ko je konkvn, immo premlu vrijednost integrl. Znmo lim 2 = m [, 1 ] f (), možemo ocijeniti R: 4.4 Simpsonov formul R M 2 12 h3 Simpsonovu kvdrturnu formulu dobivmo rčunjući Cotesove koeficijente z n = 2 Uvrštvjući n = 2 u formulu z H i,i =,1,2, dobivmo H = H 1 = H 2 = (q 1)(q 2)dq = 1 6 q(q 2)dq = 2 3 q(q 1)dq = mogli smo i iz simetrije.

31 f () P 2 () 1 2 Slik 25: Simpsonov formul. Odtle, zbog 2 = 2h, immo 2 f()d = h 3 ( ) f( )+4f( 1 )+f( 2 ) Simpsonov formul Rčunom sličnim onom koji smo proveli kod trpezne formule može se pokzti d je R = h5 9 f(4) (ξ) z neki ξ, 2. Vidimo d je Simpsonov formul točn i z polinome stupnj 3 - slično primjeru iz uvod. Ponovo immo bonus, što Simpsonovu formulu čini vrlo pogodnom z prktičnu primjenu - uz mlo točk dje (dost) visoku točnost. 4.5 Newton-Cotesove formule viših redov Z n = 3 rčunnjem Cotesovih koeficijent dobivmo tzv. Newtonovu kvdrturnu formulu (pozntu još i ko formul 3/8): 3 f()d = 3h 8 ( ) f( )+3f( 1 )+3f( 2 )+f( 3 ) Z njen osttk dobivmo R = 3h5 8 f(4) (ξ) z ξ, 3. Vidimo d je on istog red ko i z Simpsonovu formulu. Newton-Cotesove formule postju neprktične z n 8 i više. Osttci su red veličine R = O ( h 2 n/2 +3), gdje je n/2 njveće cijelo u n. Vidimo d kvlitet rste skokovito z 2 2 pri prijelzu s prnog n neprni broj točk i ostje ist pri prijelzu s neprnog n sljedeći prni broj točk. 25

32 n Ĥ Ĥ 1 Ĥ 2 Ĥ 3 Ĥ 4 Ĥ 5 Ĥ 6 Ĥ 7 D n Newton-Cotesove koeficijente H i z zdni n dobivmo iz gornje tblice ko kvocijente H i = Ĥi D n z i =,1,...,n. Problemi s Newton-Cotesovim formulm visokog red rješvju se tko d se područje integrcije podijeli n podintervle n kojim se ond primjenjuju N-C formule nižeg red. To vodi do tzv. poopćenih kvdrturnih formul. 4.6 Poopćen trpezn formul f () 1 2 n Slik 26: Poopćen trpezn formul. Podijelimo područje integrcije [,b] n n podintervl točkm =, 1,..., n = b, gdje je i = +ih,h = b i n svkom intervlu [ n i 1, i ] primijenimo trpeznu formulu. b f()d = h 2 ( + 1 )+ h 2 ( )+ h 2 ( )+...+ h 2 ( n 1 + n ) b f()d = h 2 Z osttk se može izvesti formul 4.7 Poopćen Simpsonov formul [ ] f( )+2f( 1 )+...+2f( n 1 )+f( n ) R = nh3 12 f (ξ) = b 12 h2 f (ξ). Ako je broj podintervl prn, možemo n dv po dv zmijeniti grf funkcije interpolcijskom prbolom, tj. integrirti pomoću Simpsonove formule h = b n = b 2m 26

33 f () b 2m Slik 27: Poopćen Simpsonov formul. b f()d = h 3 ( )+ h 3 ( )+...+ h 3 ( 2m 2 + 2m 1 + 2m ) = = h [ ] + 2m +4( m 1 ) +2( m 2) 3 }{{}}{{} σ 1 σ 2 b ( + 2m +4σ 1 +2σ 2 ) f()d = h 3 Z osttk se dobiv R = mh5 9 f(4) (ξ) = b 18 h4 f (4) (ξ) z ξ,b. 4.8 Gussove kvdrturne formule Promtrmo funkciju f : [ 1,1] R. Želimo odbrti točke t 1,t 2,...,t n i koeficijente A 1,A 2,...,A n tko d formul 1 1 f(t)dt = n A i f(t i ) i=1 bude točn z polinome što je moguće višeg stupnjn. Koji je njviši mogući stupnjn z koji se možemo ndti točnosti? Immo 2n slobodnih prmetr, u njboljem slučju možemo dobiti formulu točnu z polinome do stupnj2n 1. Uvrštvjući funkcijef(t) = 1,t,t 2,...,t 2n 1 u gornju formulu i rčunjući egzktno integrle 1 1 tk dt dobivmo sustv od 2n jedndžbi s 27

34 2n nepoznnic n i=1 n i=1 n A i = 2 i=1 n A i t i = i=1 A i t 2n 2 i = A i t 2n 1 i = 2 2n 1 Ovj sustv je nelinern. Može se pokzti d se uzimnjem t i ko nul-točk Legendreovih polinom tj sustv može svesti n linern sustv za i, čij je mtric regulrn (im Vndermondeovu determinntu). Legendreovi polinomi su ortogonlni n [ 1, 1] i zdovoljvju rekurzivne relcije P () = 1, P 1 () =, np n () = (2n 1)P n 1 () (n 1)P n 2 (). Ortogonlni su, li nisu ortonormirni: Prvih nekoliko je 1 1 P m ()P n ()d = 2 2n+1 δ mn. P () = 1 P 1 () = P 2 () = 1 2 (32 1) P 3 () = 1 2 (53 3) P 4 () = 1 8 ( ). Osim tog,p n (1) = 1,P n ( 1) = ( 1) n i 1 1 P n()q k () =, z sve polinomeq k () stupnj mnjeg odn. Primjer 4.2: Gussov kvdrturn formul z n = 3. Znmo d su t i nultočke Legendreovog polinom P 3 (t) = 1 2 t(5t2 3 3). Dkle je t 1 =, t =, t 3 =. Koeficijenti A 5 i se odreduju iz (linernog) sustv A 1 +A 2 +A 3 = A A 2 = A 1 = A 3 = A A 2 = 2 9, A 2 =

35 Dkle immo = 1f(t)dt 1 [ ( ) 3 5f +8f()+5f Može se pokzti d je osttk dn formulom R 3 = f(6) (ξ), z nekiξ [ 1,1]. ( ) ] 3 5 Vidimo d je točnost formule bolj od točnosti Simpsonove koj koristi isti broj točk. Općenito, z b f()d prvo trnsformirmo intervl integrcije n [ 1,1] supstitucijom = b+ t i ond primjenjujemo Gussove formule + b 2 2 b f()d = b 2 n A i f( i ), gdje je i = b+ 2 + b 2 t i, t i su nul-točke Legendreovog polinom P n (t). Osttk je oblik R n = (b )2n+1 2n+1 i=1 (n!) 4 ((2n)!) 3f(2n) (ξ). Postoje i drugi tipovi Gussovih kvdrturnih formul. U svim se pojvljuju nul-točke ortogonlnih polinom (Čebiševljevih, Lguerreovih, Hermiteovih). Obično su tbelirne, zjedno s pripdjućim koeficijentim A i. 4.9 Mogući problemi f () b 4 = = Slik 28: Ptološki primjer z ekvidistntne čvorove. Prije rčunnj integrl treb nstojti upoznti ponšnje funkcije n području integrcije. U primjeru n slici bi kvdrturn formul s ekvidistntnim čvorovim,..., n dl b f()d <, dok je, očito, prv vrijednost pozitivn. Notorno teške z integrirti su brzooscilirjuće funkcije, čk i kd ne mijenjju predznk, jer se gubi sv informcij o ponšnju 29

36 b Slik 29: Brzooscilirjuć funkcij. izmedu čvorov. U tkvim je situcijm potrebno integrirti posebno pozitivni i posebno negtivni dio (ko je moguće). Ako je moguće treb uzeti više točk. Njbolje je koristiti posebne metode prilgodene z brzo vrirjuće funkcije. Dkle: Sznti što je više moguće o ponšnju funkcije. Ncrtti grf (ko je moguće). Odbrti čvorove primjereno ponšnju funkcije. Usporediti rezultte rzličitih metod - nominlno točnij ne mor nužno biti bolj. Koristiti specijlno prilgodene metode. 4.1 Kubturne formule i višestruki integrli Kod rčunnj višedimenzionlnih integrl broj točk (p ond i broj rčunskih opercij) vrlo brzo rstu - tzv. kombintorn eksplozij. Z niske dimenzije (2,3) kubturne formule Newton- Cotesovog i Gussovog tip još dju prihvtljive rezultte. Z više dimenzije je uglvnom zgodnije koristiti tzv. Monte Crlo metode. Idej Monte Crlo metode je ilustrirn n slici 3. Že- D Slik 3: Metod Monte Crlo z dvostruke integrle. limo li izrčunti površinu lik D, uzmemo neki prvokutnik koji sdrži D i generirmo slučjne točke koje su uniformno rspodijeljene u tom prvokutniku. Immo li dovoljno mnogo točk, rzumno je očekivti d će omjer broj onih koje su u D i njihovog ukupnog broj biti dobr proksimcij omjer površine lik D i površine prvokutnik. Kubturne formule se jvljju, npr. kod rčunnj element mtrice krutosti z 2-D i 3-D končne elemente. 3

37 5 Obične diferencijlne jedndžbe Promtrmo Cuchjev problem z obične diferencijlne jedndžbe (ODJ) 1. red } = f(,) ( ) = Većin metod koje rde z ovj problem izrvno se poopćv i n sustve ODJ. Primjer 5.1: 1 = 1 + 2, 1 () = 2 = 1 + 2, 2 () = 1 ODJ višeg red mogu se svesti n sustv ODJ 1.red. Primjer 5.2: Promtrmo ODJ 4. red (4) +(+1) = Uvodimo nove vrijblez, u iv ko = z, z = u, u = v. = z = z = z z z z = u = u +(+1)z = u u = v +(+1)z = v +(+1)z = To je ekvivlentno sustvu z u = v }{{} U nšem slučju, A() = z u v (+1)z 1 ω = A() ω + f () }{{} f(, ω) (+1), f () = (+1) Ako je polzn jedndžb n-tog red, dobije se sustv n-tog red. Ako je jednžb linern, sustv je linern. Pri numeričkom rješvnju ODJ jvljju se problemi stbilnosti i krutosti. 31

38 Primjer 5.3: = 4 5e, () = 1 Rješenje je = Ce 4 +e, početni uvjet dje C =.,1,1,1, ,1 -,1 -,1 Slik 31: Nestbilnost rješenj u ovisnosti o korku h. Rješvmo li nšu jedndžbu numerički, pogrješke u ulznim podtcim uzrokuju odstupnje od točnog rješenj i komde 4 postje dominntn. Rješenje je nestbilno, ml perturbcij n ulzu dovodi do velikih odstupnj u rezulttu. Nestbilnost je uzrokovn velikim (> 1) korijenom krkteristične jedndžbe(λ 4 = ). Čk i z jedndžbe koje imju stbiln rješenj može doći do nestbilnosti zbog svojstv numeričke metode. Drugi problem je krutost. Jvlj se pogotovo kod sustv ODJ kd se rzne funkcije (nepoznnice) rzličito ponšju - jedn se brzo mijenj, drug sporo. Kork diskretizcije koji je dobr z onu koj se sporo mijenj je besmislen z onu drugu, kork dobr z onu koj se brzo mijenj vodi do ogromnog utrošk rčunlnih resurs. 5.1 Eulerov metod Promtrmo Cuchjev problem } = f(,) ( ) = Njjednostvnij idej je iz poznte vrijednosti z = dobiti vrijednost u +h ko ( +h) +hf(, ) }{{} ( ) Općenito, z ( i ) = i vrijednosti u i+1 dobivmo ko i+1 i +hf( i, i ) Eulerov metod Eulerov metod je vrlo jednostvn no nije jko dobr u prksi jer brzo kumulir pogrješke. Pogrješk se može smnjiti smnjenjem kork h, no to vodi do rst pogrješke zokruživnj. Eulerov metod odgovr integrciji metodom prvokutnik. 32

39 pogrešk točn vrijednost h ( ) + približn vrijednost h + 2h + h + Slik 32: Eulerov metod. ε pogrešk metode k opt pogrešk zokruživnj k Slik 33: Odnos pogrješke metode i pogrješke zokruživnj. 5.2 Poboljšn Eulerov metod Modifikcij Eulerove metode u kojoj se ngib pod kojim se kreće iz i korigir koristeći informciju o (procijenjenom) ngibu u i+1, zove se poboljšn Eulerov metod. i+1 = i +hf( i, i ) i+1 = i h [f( i, i )+f( i+1, i+1) Korigirni ngib je ritmetičk sredin ngib u ( i, i ) (tj. vrijednosti ( i ) = f( i, i )) i procijenjenog ngib u ( i+1, i+1 ). Zšto mormo procjenjivti ngib u ( i+1, i+1 )? Zšto ne uzeti točno f( i+1, i+1 )? Zto što ne znmo i+1. Procijenimo g linernom proksimcijom iz ( i, i ). Što ko znemrimo d ne znmo i+1? Dobivmo formulu i+1 = i + 1 ] [f( 2 h i, i )+f( i+1, i+1 ). To je implicitn Admsov formul 2. red Ponekd se Admsov formul može eksplicitno riješiti po i+1, recimo kd je f(,) linerno u. Može se i itertivno rješvti. 5.3 Metode Runge-Kutt Eulerov metod temelji se n linernoj ekstrpolciji funkcije (). Pokušjmo uvidjeti što možemo dobiti kvdrtnom ekstrpolcijom. Uzmimo =, pretpostvimo d je () = 33 ]

40 i i+1 Slik 34: Poboljšn Eulerov metod. α + β+γ 2 u okolini i odredimo nepoznte koeficijente α, β i γ tko d jedndžb bude zdovoljen u okolini. = β +2γ = f(,α+β+γ 2 ) Rzvijemo desnu strnu u Tlorov red (ili ju proksimirmo Tlorovim polinomom) β +2γ = f(,α)+ f (,α)+(β+γ2 ) f (,α)+... Zbog () = mor biti α =. Izjednčvjući koeficijente uz potencije od koliko se god može (ovdje do 1 ) dobivmo β = f(,α), 2γ = f (,α)+β f (,α). Stvimo li γ = dobijemo Eulerovu metodu, linernu ekstrpolciju (h) = ()+hf(, )+ h2 2 [ f (, )+f(, ) f ] (, ). Sd treb proksimirti f (, ) i f (, ). Dovoljno je uzeti njjednostvniju proksimciju končnim rzlikm jer su već množene s h 2, što je mlo. f (, ) = 1 h [f(h, ) f(, )] f (, ) = 1 h [f(j, +k) f(j, )]. Ovdje su j i k veličine sličnog red ko i h. Možemo ih odbrti po volji. Neki od mogućih izbor su: (1) j =, k = hf(, ) (3) j = h, k = hf(, ) (2) j =, k = hf(h, ) (4) j = h, k = hf(h, ) 34

41 N primjer, treći izbor dje [ = +hf(, )+ h2 1 2 h (f(h, ) f(, ))+f(, ) f(h, ] +h) f(h, ) hf(, ) = + h 2 f(, h ) }{{} 2 f(h, +hf(, )) }{{} k 1 + Uz gornje oznke immo k 2 k 1 = hf(, ) ( k 2 = hf h, + k ) 1 2 (h) = k k 2 Općenito iz ( i, i ) dobivmo ( i+1, i+1 ) formulm k 1 = hf( i, i ) ( k 2 = hf i+1, i + 1 ) 2 k 1 i+1 = i k k 2 (h) + h 2 Runge-Kutt metod drugog red (= poboljšn Eulerov metod). Odgovr integrciji trpeznom formulom u kojoj je (h) ocijenjen jednostvnom Eulerovom metodom. [ ] f(,h)+f(h, (h) ). }{{} +hf(, ) Korištenjem Tlorovih polinom višeg stupnj dobiju se formule z Runge-Kutt metode viših redov. Njčešće se koriste Runge-Kutt metode četvrtog red: k 1 = hf( i, i ) ( k 2 = hf i + h 2, i + k ) 1 2 ( k 3 = hf i + h 2, i + k ) 2 2 k 4 = hf( i+1, i +k 3 ) i+1 = i k k k k 4 Runge-Kutt metod četvrtog red. Koeficijenti se dobivju ko (nejednoznčn) rješenj nelinernih sustv. Sve opisne metode su jednokorčne. Postoje i višekorčne metode, prediktor-korektor formule itd. 35

42 6 Mtrice i linerni sustvi 6.1 Izvori problem Brojni fiziklni (posebno grdevinski) problemi vode n sustve linernih jedndžbi. Npr., sile koje djeluju n most n slici (težin most i vozil) urvnotežene su silm n krjevim most. Te se sile propgirju duž nosč i u svkom čvoru njihov rezultnt mor biti jednk nuli (inče bi se most počeo gibti). Rzložimo li ih u horizontlne i vertiklne komponente, zbroj Slik 35: Ovo bi moglo voditi n linerni sustv... komponent svkog tip mor biti u svkom čvoru; dkle u svkom čvoru immo dvije jedndžbe. Z m čvorov dobijemo 2m jedndžbi. Poznte veličine (težine most i vozil) idu n desnu strnu, ostle se slžu u mtricu sustv koj obično im specijlnu strukturu. Drugi tip izvor problem s linernim sustvim su metode diskretizcije i proksimcije. Tko se numeričko rješvnje običnih i prcijlnih diferencijlnih jedndžbi svodi n rješvnj linernih sustv, u kojim su nepoznnice vrijednosti rješenj u čvorovim (metod končnih rzlik) ili koeficijenti u prikzu rješenj pomoću bznih funkcij (metode končnih element). I mtrice tkvih sustv obično imju specijlnu strukturu. 6.2 Tipovi mtric Njčešće ćemo promtrti kvdrtne mtricea M n. U prksi se često jvljju mtrice visokog red često i do n 1. Kod tkvih mtric bi i sm smještj n rčunlu bio velik problem. Sretn okolnost je d je većin mtric koje se jvljju u prksi rijetk. Mtric je rijetk (engl. sprse) ko joj je njveći dio element jednk nuli. Obično se smtr d je mtric rijetk ko je broj ne-nul element red veličine O(n), ili brem rste sporije odo(n 2 ). Rijetkost mtrice je njčešće posljedic loklnosti model, tj. činjenice d udljeni dijelovi model ne intergirju ili dovoljno slbo utječu jedn n drugog d to možemo znemriti. Npr., izvori n modelu most intergirju smo ko su povezni nosčem. Končni elementi dju ne-nul element u mtrici krutosti smo ko su blizu. Osim rijetkosti, loklnost njčešće diktir i vrpčstu ili trkstu strukturu mtrice (engl. bnd mtri). Mtric A je vrpčst ko postoji neki d > tkv d je ij = z i j > d. Ne morju svi elementi u vrpci širine d biti rzličiti od nule. 36

43 A = Slik 36: Vrpčst mtric. d Primjere vrpčstih mtric smo vidjeli kod metode končnih rzlik i metod končnih element. Njjednostvnije (netrivijlne) vrpčste mtrice su trodijgonlne mtrice. Mtric A je simetričn ko je A = A T, tj. ij = ji, i,j. Mnogi fiziklni problemi, posebno rvnotežni, vode n simetrične mtrice. Tkve mtrice trebju mnje memorije i (obično) mnje rčunnj. Ako z svki vektor vrijedi T A > ( ), mtric A je pozitivno definitn (pozitivno semidefinitn). Ovdje oznk T A znči ( T A). Simetrične mtrice su često i pozitivno (semi)definitne. Pozitivno definitne mtrice su regulrne. Dobr vijest je d mnoge metode diskretizcije vode n pozitivno definitne mtrice, što znči d su sustvi jednoznčno rješivi. Z simetrične i pozitivno definitne mtrice postoje metode koje su efiksnije od metod z općenite mtrice. Mtric A je donj (gornj) trokutst ko je ij = z i < j (i > j). Sustvi s tkvim mtricm se vrlo lko rješvju p se one često jvljju ko mtrice n koje se svode općenite mtrice. Mtric A je ortogonln ko jea 1 = A T, odnosnoaa T = I. SustvA = b se trivijlno rješv ko = A T b. Ortogonlne mtrice ne mijenjju duljinu vektor koje množe. Mtric A je dijgonln ko je ij = z i j. Rčunnje s dijgonlnim mtricm je trivijlno. Nlženje bze u kojoj će prikz mtrice A biti dijgonln vodi n problem svojstvenih vrijednosti. Mtric A je dijgonlno dominntn ko vrijedi ( ii ) n i=1, j i ij, i = 1,...,n, i z br jedn i vrijedi strog nejednkost. A je strogo dijgonlno dominntn ko strog nejednkost vrijedi z svei = 1,...,n. 6.3 Tipovi problem U prksi se njčešće jvljju linerni sustvi, tj. sustv linernih jedndžbi: A = b. Mtričn jedndžb AX = B u kojoj treb nći nepozntu mtricu X tip (u,p) nije ništ drugo nego skup od p linernih sustv, A 1 = b 1, A 2 = b 2,..., A p = b p. Znmo li riješiti linerni sustv, znmo i mtričnu jedndžbu. U teoriji, rješenje sustv A = b (ko postoji i jedinstveno je) dno je formulom = A 1 b. U prksi, gotovo se nikd ne rdi tko, jer je rčunnje inverzne mtrice neefiksno. 37

44 Tkoder, u prksi mlu vžnost im i determinnt. Crmerovo prvilo je iznimno neefiksn nčin rješvnj sustv. Ni kriterij deta nije ključn, jer se u prksi uvijek jvljju greške zokruživnj. Glvn idej kod rješvnj sustv je mnipulcijom svesti njegovu mtricu n oblik iz kojeg se rješenj lko dobivju. Dkle sustv A = b svodi se n T = c, gdje je T trokutst mtric ili n neki drugi pogodn oblik. Pokušmo li mtricu sustv svesti n njjednostvniji oblik, tj. n dijgonln, immo problem svojstvenih vrijednosti. Ako z mtricuapostoji mtrice tkv d jee 1 AE = D, gdje je D dijgonln mtric, ond stupce od E zovemo svojstvenim vektorim, (dijgonlne) elemente od D svojstvenim vrijednostim. Iz AE = ED vidimo d to znči A e i = d i e i, što je uprvo definicij svojstvene vrijednosti d i i pripdnog svojstvenog vektor e i. Ako je A simetričn, ond su sve njene svojstvene vrijednosti relne. 6.4 Tipovi metod Metode z rješvnje linernih sustv dijele se n izrvne (direktne) i itercijske. Izrvnim metodm se poslije končnog broj rčunskih opercij, ko nem pogrješk zokruživnj, dolzi do točnog rješenj sustv. Kod itercijskih metod rješenje sustv dobivmo ko limes beskončnog niz proksimcij. Zšto bi itko htio koristiti itercijske metode kd dju smo približno rješenje? Dv rzlog: U prksi se i izrvnim metodm (u prvilu) dobivju približn rješenj, zbog pogrješk zokruživnj. Osim tog, z mnoge mtrice s specijlnom strukturom itercijske metode konvergirju brzo i ukupn broj rčunskih opercij može biti osjetno mnji nego z izrvnu metodu, točnost je još uvijek prihvtljiv. U prvilu je izrvnim metodm potrebno n 3 opercij. Tj se broj smnjuje z rijetke mtrice, no red veličine ostje. Itercijske metode z rijetke mtrice obično trebju puno mnje od n 2 opercij z jedn kork itertivnog postupk, što znči d i uz puno kork još mogu biti brže od izrvnih. Mnje su osjetljive i n grešku zokruživnj. Činjenic d je konvergencij zjmčen smo z dijgonlno dominntne simetrične mtrice nije veliki problem jer su mnoge mtrice koje se jvljju u nm znimljivim primjenm uprvo tog tip. Itercijski postupci obično zhtijevju i mnje memorije. Njpozntije izrvne metode su Gussove elimincije (s modifikcijm kp što su Guss- Jordnove elimincije i uz djelomično ili potpuno pivotirnje) te rstv Choleskog. Njčešće korištene itercijske metode su Jcobijev, Guss-Seidelov i SOR metod. 6.5 Gusove elimincije Gussove elimincije koriste se z rješvnje linernih sustv još od ntike. Glvn idej je svesti sustv A = b n ekvivlentn sustv s jednostvnijom mtricom (dv sustv su ekvivlentn ko je svko rješenje jednog sustv ujedno i rješenje drugog sustv i obrtno). To se postiže končnim brojem elementrnih trnsformcij: (i) zmjen dviju jedndžbi; (ii) množenje jedne jedndžbe brojem rzličitim od nule; (iii) dodvnje jedne jedndžbe pomnožene nekim brojem nekim drugim brojem nekoj drugoj jedndžbi 38