Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije
|
|
- Φυλλίδος Γιαννακόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske (Furijeovi redovi), hiporboličke, Beselove i Ležndrove funkcije. Me - dutim, im nekoliko klsičnih problem u fizici i tehnici, čije rešvnje nmeće uvo - dene nekih drugih funkcij. U ovom poglvlju smo ćemo d nvedemo grupu tih funkcij, bez ulženj u detlje i nlizu njihovih osobin Hermitovi polinomi Funkcij, koju oznčvmo s He n (x), predstvlj rešenje diferencijlne jednčine dt je izrzom y xy + ny =, (1.1) He n (x) = x n n! n! n! 2!(n 2)! xn !(n 4)! xn !(n 6)! xn 6 + (1.2) Ovko definisne funkcije zovemo Hermitovi polinomi 1. Ovi polinomi mogu d se predstve i relcijom Neke rekurentne formule He n (x) = ( 1) n e x2 /2 dn dx n ( e x2 /2 ), n =, 1,... (1.3) He n+1 (x) = xhe n (x) d dx He n(x), d dx He n(x) = nhe n 1 (x). (1.4) 1 Chrles Hermite ( ), frncuski mtemtičr, poznt po svojim rdovim iz lgebre i teorije brojev. 1
2 Jedn vez izme - du eksponencijlne i Hermitove funkcije Integrln reprezentcij e tx t2 /2 = n= He n (x) tn n!. (1.5) He n (x) = 1 + (x + it) n e t2 /2 dt, i = 1. (1.6) 2π Npomenimo d se u literturi često i jednčin oblik y 2xy + 2ny = nziv Hermitov diferencijln jednčin, čije je rešenje dto s Lgerovi polinomi Rešenje diferencijlne jednčine je funkcij oblik ( H n (x) = ( 1)n dn x2 e dx n e x2), n =, 1,... Ln (α) (x) = ex x α koju zovemo Lgerov polinom 2 (funkcij). xy + (α + 1 x)y + ny = (1.7) n! d n dx n ( e x x n+α), n =, 1,..., (1.8) 1.2 Specijlne funkcije koje nisu posledic rešvnj diferencijlnih jednčin Frobeniusovom metodom U ovom delu nvešćemo nekoliko specijlnih funkcij koje se jvljju u problemim fizike i mtemtike, nisu posledic rešvnj diferencijlnih jednčin pomoću redov Gm funkcij (fktorijel funkcij) Definicij. Γ funkcij definiše se sledećom relcijom: Γ(n) = e x x n 1 dx, (1.9) gde je n reln, pozitivn broj (n > ). Ovj uslov je potrebn zbog konvergencije integrl, po gornjoj grnici. 2 Edmond Lguerre ( ), frncuski mtemtičr, poznt po rdovim iz geometrije i teorije beskončnih redov. 2
3 Ov funkcij poznt je i ko Ojlerov integrl druge vrste. U posebnom slučju, ko je n = 1, immo: Γ(1) = e x dx = 1. (1.1) Prcijlnom integrcijom, iz (1.9) dobijmo: Γ(n) = [ e x x n 1] + (n 1) e x x n 2 dx, (1.11) i ko je n > 1, dobijmo: Γ(n) = (n 1) Γ(n 1). (1.12) Zmenom n s n + 1, dobijmo (n = 1, 2,...): Γ(n + 1) = n Γ(n) = n (n 1) Γ(n 1) = = n! (1.13) Dlje, ko zmenimo x s x 2 u (1.9), dobijmo: Γ(n) = e x2 x 2n 2 d(x 2 ) = 2 e x2 x 2n 1 dx. (1.14) U posebnom slučju, ko je n = 1/2, iz prethodne relcije dobijmo Γ(1/2) = 2 e x2 dx. (1.15) Integrl: π/2 cos m τ sin n τ dτ, (1.16) može d se izrzi preko Γ funkcije. D bismo to pokzli, po - dimo od integrl: u = e x2 y 2 x 2m 1 y 2n 1 dxdy. (1.17) Ovj dvostruki integrl možemo d predstvimo ko proizvod dv jednostruk: u = e x2 x 2m 1 dx e y2 y 2n 1 dy = 1 Γ(m) Γ(n). (1.18) 4 S druge strne, ko pre - demo n polrne koordinte (x = r cosτ, y = r sin τ, dxdy = r drdτ), 3
4 integrl (1.17) postje: u = = π/2 Iz (1.18) i (1.19) dobijmo: odnosno: Uvedimo sd smene: p integrl (1.21) postje: e r2 (r cosτ) 2m 1 (r sin τ) 2n 1 r drdτ = e r2 r 2(m+n) 1 dr π/2 = 1 π/2 2 Γ(m + n) (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = (1.19) u = 1 4 Γ(m)Γ(n) = 1 π/2 2 Γ(m + n) (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ, (1.2) π/2 π/2 (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = 1 2 2m 1 = m m = m + 1, 2 2n 1 = n n = n + 1, 2 Γ(m)Γ(n) Γ(m + n). (1.21) (1.22) ( m ) ( + 1 n ) + 1 (cosτ) m (sin τ) n dτ = 1 Γ Γ 2 2 ( 2 m + n ). (1.23) + 2 Γ 2 Npomenimo d je m > 1 i n > 1, što sledi iz uslov d je m > i n >. U specijlnom slučju, kd je m = n =, dobijmo: π/2 dτ = 1 [Γ(1/2)] 2 2 Γ(1) π 2 = [Γ(1/2)]2 2 Γ(1/2) = π. (1.24) Dlje, iz (1.12), dobijmo: itd. Iz (1.13) sledi: Γ(3/2) = 1 2 Γ(1/2) = 1 2 odkle Γ(n), kd n +. π, Γ(5/2) = π, Γ(7/2) = π, (1.25) Γ(n) = Γ(n + 1), (1.26) n 4
5 Γ funkcij može d se proširi n osnovu (1.26) i z n < u korcim njpre z ( 1, ), ztim ( 2, 1) itd. Ovko proširen funkcij predstvljen je grfički n sl Bet funkcij Definicij. Slik 1.1: Γ funkcij Bet funkciju definišemo sledećom relcijom: B(m, n) = 1 x m 1 (1 x) n 1 dx (1.27) z svko m > i n >. Ovj uslov je potrebn zbog konvergencije integrl. Funkcij (1.27) poznt je i ko Ojlerov integrl prve vrste. Bet funkcij može d se poveže s Γ funkcijom, polzeći od (1.27) i uvodeći smenu x = cos 2 τ, p dobijmo (prem 1.21): Funkcij greške Definicij. π/2 B(m, n) = 2 (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = Γ(m) Γ(n) Γ(m + n) = B(m, n). (1.28) Integrl oblik erf(x) = 2 x e t2 dt (1.29) π definiše funkciju koju zovemo funkcij greške. 5
6 On može d se predstvi i u obliku red Slik 1.2: Funkcij greške erf(x) = 2 ( 1) k+1 x 2k 1 π (2k 1)k!. (1.3) k=1 Pored ove funkcije koristi se i erfc funkcij ili komplementrn funkcij greške, definisn relcijom Iz sme definicije ovih funkcij i (1.15) i (1.24) neposredno sledi erfc(x) = 1 erf(x) = 2 e t2 dt. (1.31) π x erf( ) = 1 i erfc() = 1. (1.32) U nekim problemim fizike jvlj se i funkcij oblik ( ) i 1 + i erf 2 x π = C(x) + is(x), i = 1. (1.33) U prethodnoj formuli jvljju se funkcije C(x) i S(x), definisne relcijm C(x) = S(x) = x x cos πt2 2 dt, sin πt2 2 dt, (1.34) koje nzivmo Frenelovi integrli. 3 Slik 1.3: Frenelovi integrli 3 Augustin Fresnel ( ), frncuski fizičr, poznt po svojim rdovim iz optike. 6
7 1.2.4 Eksponencijlni integrl Integrl dt relcijom Ei( x) = e t x t dt (1.35) definiše tzv. eksponencijlni integrl. Ov funkcij tko - de se jvlj u mnogim problemim fizike. Z mle vrednosti x ovj integrl može d se proksimir relcijom Ei(x) γ lnx, (1.36) gde je γ konstnt, dt relcijom (1.39). Ako x zmenimo s iy, eksponencijlni integrl može d se predstvi u obliku pri čemu smo uveli dve nove funkcije Ci(y) i Si(y), definisne izrzim Ci(y) = Si(y) = Ei(iy) = Ci(y) + isi(y) + i π 2, (1.37) y y sin t t cost t y dt = γ + lny dt = π 2 y 1 sin t t 1 cost t dt. dt, (1.38) Ove funkcije zovemo: Ci(y) kosinus integrl i Si(y) sinus integrl. U prethodnim relcijm jvljl se jedn konstnt γ koj je u literturi poznt i ko Ojlerov konstnt. Može d se predstvi izrzom ( m ) 1 γ = lim m l lnm, (1.39) Eliptički integrli i funkcije Postoji više vrst eliptičkih integrl. N ovom mestu dćemo dv: Definicij. Funkcij definisn relcijom l=1 K(k, t) = t dx (1 x2 )(1 k 2 x 2 ) (1.4) zove se eliptički integrl prve vrste. Definicij. Funkcij definisn relcijom E(k, t) = zove se eliptički integrl druge vrste. t 1 k 2 x 2 1 x 2 dx (1.41) 7
8 1.3 Ortogonlne i normirne funkcije Posmtrjmo skup integrbilnih funkcij z x [, b], ( < b) Definicij. f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x),..., (1.42) Z skup funkcij (1.42) kže se d je ortogonln u intervlu [, b], ko je (f m, f n ) def f m (x)f n (x)dx =, z m n, n, m = 1, 2,... (1.43) pri čemu funkcije f n (x), n = 1, 2,..., nisu identički jednke nuli u posmtrnom intervlu. Kko su f n (x) integrbilne funkcije, i b konstnte, to očigledno postoji i integrl pri čemu je I n konstntno. Definicij. Nenegtivn kvdrtni koren (fn, f n ) = f 2 n (x)dx = I n >, nziv se norm funkcije f n (x) i oznčv se s f n = I n, tj. f n = (f n, f n ) = f 2 n(x)dx = I n (1.44) fn 2 (x)dx. (1.45) Definicij. Skup funkcij f n (1.42), čij je norm jednk jedinici, tj. f n = fn 2 (x)dx = 1 (1.46) nzivmo normirn skup funkcij. 8
9 Definicij. Skup funkcij f n (1.42) koji je istovremeno ortogonln i normirn, tj. (f m, f n ) = f m (x)f n (x)dx = δ mn (1.47) nzivmo ortonormirn skup funkcij, n intervlu x [, b]. U prethodnoj relciji δ ij predstvlj Kronekerov delt simbol. Neki skupovi funkcij, bitni z primenu, nisu ortogonlni, li poseduju tkvu osobinu d je p(x)f m (x)f n (x)dx =, z m n. (1.48) U ovom slučju kžemo d je skup funkcij f n (1.42) ortogonln u odnosu n težinsku funkciju p(x), n intervlu x [, b]. U ovom slučju norm se definiše izrzom f n = p(x)fn 2 (x)dx. (1.49) Ako je u ovom slučju norm jednk jedinici, td je odgovrjući skup funkcij ortonormirn u odnosu n p(x), n posmtrnom intervlu Redovi ortogonlnih funkcij Pomoću skupov ortogonlnih funkcij uvodi se n jednostvn nčin jedn znčjn tip funkcionlnih redov. Nime, nek je g 1 (x), g 2 (x),... dti skup ortogonlnih funkcij n intervlu x b i nek je f(x) dt funkcij koj n ovom intervlu može d se predstvi preko funkcij g i ko konvergentn red: f(x) = n g n (x) (1.5) n=1 ond se ovj red nziv generlisn Furijeov red 4 funkcije f(x), njegovi koeficijenti 1, 2,... Furijeovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu n dti skup ortogonlnih funkcij. S obzirom n ortogonlnost funkcij g i, Furijeovi koeficijenti mogu d se odrede reltivno jednostvno. Množenjem leve i desne strne jednkosti (1.5) s g m (x) gde je m konstnt, ztim integrljenjem od do b (uz pretpostvku d je integrcij čln po čln moguć), dobijmo: ( ) (f, g m ) = fg m dx = n g n g m dx = g n g m dx = n (g n, g m ) n=1 Z n = m dobij se (g m, g m ) = g m 2, dok z n m, zbog ortogonlnosti funkcij g i, sledi (g n, g m ) =. Prem tome, formul z Furijeove koeficijente je: m = (f, g m) g m 2 = 1 g m 2 4 O Furijeovim redovim biće detljnije reči u nrednom poglvlju. n=1 n f (x)g m (x) dx, m = 1, 2,... n=1 9
10 1.3.2 Kompletnost ortonormirnih funkcij U prksi često se koriste ortonormirni skupovi koji sdrže - dovoljn broj funkcij koji omogućv d se generlisnim Furijeovim redovim ovih funkcij predstve široke klse funkcij, n primer, sve neprekidne funkcije n intervlu x b. Definicij. Niz funkcij f n (x) je konvergentn po normi i konvergir k funkciji f ko je lim f n f =, (1.51) n odnosno, ko je (uz izostvljnje kvdrtnog koren kod norme): lim n [f n (x) f (x)] 2 dx =. Konvergencij po normi nziv se i srednjekvdrtnom konvergencijom ili srednjom konvergencijom. Shodno ovoj definiciji red (1.5) konvergir (po normi) k funkciji f ko je lim n gde je s n (x) prcijln sum red (1.5) : Definicij. [s n (x) f (x)] 2 dx =, s n (x) = n k g k (x). k=1 Skup ortonormirnih funkcij g 1, g 2,... je kompletn u skupu funkcij S n intervlu x b, ko bilo koj funkcij f iz S može s proizvoljnom tčnošću d se proksimir linernom kombincijom 1 g g n g n. To znči d z svko ε > mogu d se n - du konstnte 1, 2,..., n tkve d je z dovoljno veliko n: f ( 1 g g n g n ) < ε. Može d se pokže d su skupovi Ležndrovih polinom i Beselovih funkcij kompletni u skupu neprekidnih relnih funkcij n odgovrjućim intervlim Šturm-Liuvilov problem U tehnici, rzličiti vžni ortogonlni skupovi funkcij nstju ko rešenje linerne diferencijlne jednčine drugog red, čiji oblik može d se predstvi relcijom [r(x)y ] + [q(x) + λp(x)] y =, (1.52) n nekom intervlu x b, pri čemu su zdovoljeni grnični uslovi oblik: ) k 1 y() + k 2 y () =, b) l 1 y(b) + l 2 y (b) =. (1.53) 1
11 Ovde je λ- prmetr, k i odnosno l i (i = 1, 2) dte (poznte) relne konstnte, koje nisu istovremeno jednke nuli. Jednčin (1.52) zove se Šturm 5 Liuvilov 6 jednčin. Može d se pokže d Ležndrov, Beselov i neke druge jednčine mogu d se predstve u ovom obliku. Problem rešvnj diferencijlne jednčine (1.52) s grničnim uslovim (1.53), zove se Šturm-Liuvilov problem. Glvne vrednosti. Glvne funkcije Iz relcij (1.52) i (1.53) vidi se, d z svko λ, immo trivijlno rešenje y, tj. y(x) = z x iz posmtrnog intervl. Definicij. Vrednosti λ, z koje problem (1.52), (1.53) im netrivijlno rešenje (y ), ko tkv broj postoji, zove se glvn vrednost problem. Definicij. Netrivijlno rešenje, problem (1.52), (1.53), koje odgovr glvnoj vrednosti λ zove se glvn funkcij. Neke osobine, prethodno uvedenih pojmov, dćemo u obliku dve (sledeće) teoreme. Teorem 1 Pretpostvimo d su funkcije p, q, r i r, u jednčini (1.52), relne i neprekidne n intervlu x b. Nek su y m (x) i y n (x) glvne funkcije Šturm-Liuvilovog problem (1.52), (1.53), koje odgovrju rzličitim glvnim vrednostim λ m i λ n, respektivno. Td su y m i y n ortogonlne funkcije, n posmtrnom intervlu, u odnosu n težišnu funkciju p. Dokz. Kko su y m i y n rešenj posmtrnog problem to one zdovoljvju relcije: (ry m ) + (q + λ m p)y m =, (ry n) + (q + λ n p)y n =. Pomnožimo prvu relciju s y n, drugu s y m, ztim ih sberimo, p dobijmo (λ m λ n ) py m y n = y m (ry n) y n (ry m) = [(ry n)y m (ry m)y n ]. (1.54) Ovj izrz predstvlj neprekidnu funkciju, u intervlu x b, jer su r i r neprekidne funkcije prem početnoj pretpostvci, y m i y n ko rešenj početnog problem. Dkle, možemo d integrlimo posmtrni izrz (1.54). Ov integrcij dje (λ m λ n ) py m y n dy = [r (y ny m y my n )] = r(b)[y n (b)y m(b) y m (b)y n(b)] r()[y n ()y m() y m ()y n()]. b = (1.55) Anlizirjmo sd izrz s leve strne jednkosti (1.55) i u tu svrhu posmtrjmo grnične uslove (1.53): k 1 y m () + k 2 y m () =, (1.56) k 1 y n () + k 2 y n() =. (1.57) 5 Jcques Chrles Frncois Sturm ( ), frncuski mtemtičr, švjcrskog porekl. Do je znčjn doprinos u lgebri, poznt je po tome što je prvi izrčuno brzinu prostirnj zvuk u vodi. 6 Joseph Liouville ( ), frncuski mtemtičr. Do je veliki doprinos u rzličitim oblstim mtemtike, posebno je poznt njegov rd u kompleksnoj nlizi, specijlnim funkcijm, diferencijlnoj geometriji i teoriji brojev. 11
12 Množeći prvu jednčinu s y n, drugu s y m, ztim oduzimjući, dobijmo Uz pretpostvku d je k 2 dobijmo d je N sličn nčin može d se pokže d je i z l 2. N osnovu ovih relcij zključujemo d je k 2 [y m ()y n () y n()y m ()] =. (1.58) y m ()y n() y n ()y m() =. (1.59) y m (b)y n(b) y n (b)y m(b) =, (1.6) py m y n dy =, z m n. (1.61) Ovim smo dokzli teoremu z k 2 i l 2. Posmtrjmo ponovo uslove (1.56) i (1.57). Množeći prvi uslov s y n, drugi d y m, ztim oduzimjući dobijmo, z k 1 y m ()y n() y n ()y m() =. (1.62) N sličn nčin dobijmo i z l 1 y m (b)y n(b) y n (b)y m(b) =. (1.63) N ovj nčin dokzli smo teoremu i z ovj slučj, p je, s obzirom d k 1 i k 2, odnosno l 1 i l 2 ne mogu istovremeno d budu jednki nuli, teorem dokzn u celosti. Teorem 2 Ako Šturm-Liuvilov problem (1.52), (1.53) zdovoljv uslove prethodne teoreme i ko je p n celom intervlu x b, td su sve glvne vrednosti problem relne. Dokz. Pretpostvimo suprotno, tj. nek je λ = α + iβ glvn vrednost problem, odgovrjuć glvn funkcij oblik y(x) = u(x) + iv(x). U ovim izrzim α, β su relne konstnte, u i v relne funkcije. Zmenom ovih vrednosti u jednčinu (1.52) dobijmo (ru + irv ) + (q + αp + iβp)(u + iv) =. D bi ov kompleksn jednčin bil zdovoljen, potrebno je d istovremeno i relni i imginrni njeni delovi budu jednki nuli, tj. (ru ) + (q + αp)u βpv =, (rv ) + (q + αp)v + βpu =. Ako pomnožimo prvu jednčinu s v, drugu s u, p ztim ih sberemo, dobijmo β ( u 2 + v 2) p = u(rv ) v(ru ) = = [(rv )u (ru )v]. 12
13 Izrz u uglstoj zgrdi je neprekidn funkcij n intervlu x b (videti dokz prethodne teoreme), p integrcijom, vodeći rčun o grničnim uslovim (ko i kod prethodne teoreme), dobijmo β ( u 2 + v 2) p dx = [r (uv vu )] Kko je y glvn funkcij to je y. Dlje, kko su y i p neprekidne funkcije, pri čemu je p > ili p < n intervlu x b, y 2 = u 2 + v 2, to sledi d je integrl n levoj strni poslednje jednkosti rzličit od nule. Odvde sledi d β mor d bude jednko, tj. β =. Ko je λ = α + iβ i β =, to sledi d je λ = α. Dkle λ je reln broj. Ovim je teorem dokzn. b =. 13
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότεραIntegralni raqun. F (x) = f(x)
Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραDIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00
Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)
Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραLAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I Č K A A N A L I Z A
Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραNEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Διαβάστε περισσότεραc = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραMera, integral i izvod
Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................
Διαβάστε περισσότεραIzvodi i integrali necelog reda
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni
Διαβάστε περισσότεραSLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije
Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIntegracija funkcija više promenljivih
Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk
Διαβάστε περισσότεραB I O M A T E M A T I K A
Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K A 1
Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραU n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE
U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni
Διαβάστε περισσότερα4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMatematički osnovi Z transformacije
Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRelativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću
Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότερα1.1 Neodre deni integral
. Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore
MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni
Διαβάστε περισσότερα3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64
Sdržj 1. Numeričk integrcij.......................... 1 1.1. Općenito o integrcijskim formulm................ 1 1.. Newton Cotesove formule...................... 3 1..1. Trpezn formul.......................
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραd(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]
-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραSavijanje elastične linije
//00 Svijnje estične inije Anitičk metod odreďivnj estične inije Irčunvnje ugi i ngi u pomoć tic Prv jednčin svijnj Normni npon u nekoj tčki poprečnog presek s M moment spreg s M I x I x ksijni moment
Διαβάστε περισσότεραDodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)
Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραUvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler
Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραUVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima
UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim
Διαβάστε περισσότεραFORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA
FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija
MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........
Διαβάστε περισσότεραRešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
Διαβάστε περισσότερα