Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću redova. Specijalne funkcije. Ortogonalne funkcije"

Transcript

1 Glv 1 Rešvnje diferencijlnih jednčin pomoću redov. Specijlne funkcije. Ortogonlne funkcije 1.1 Neke druge specijlne funkcije Skoro bez izuzetk, njčešće korišćene specijlne funkcije su trigonometrijske (Furijeovi redovi), hiporboličke, Beselove i Ležndrove funkcije. Me - dutim, im nekoliko klsičnih problem u fizici i tehnici, čije rešvnje nmeće uvo - dene nekih drugih funkcij. U ovom poglvlju smo ćemo d nvedemo grupu tih funkcij, bez ulženj u detlje i nlizu njihovih osobin Hermitovi polinomi Funkcij, koju oznčvmo s He n (x), predstvlj rešenje diferencijlne jednčine dt je izrzom y xy + ny =, (1.1) He n (x) = x n n! n! n! 2!(n 2)! xn !(n 4)! xn !(n 6)! xn 6 + (1.2) Ovko definisne funkcije zovemo Hermitovi polinomi 1. Ovi polinomi mogu d se predstve i relcijom Neke rekurentne formule He n (x) = ( 1) n e x2 /2 dn dx n ( e x2 /2 ), n =, 1,... (1.3) He n+1 (x) = xhe n (x) d dx He n(x), d dx He n(x) = nhe n 1 (x). (1.4) 1 Chrles Hermite ( ), frncuski mtemtičr, poznt po svojim rdovim iz lgebre i teorije brojev. 1

2 Jedn vez izme - du eksponencijlne i Hermitove funkcije Integrln reprezentcij e tx t2 /2 = n= He n (x) tn n!. (1.5) He n (x) = 1 + (x + it) n e t2 /2 dt, i = 1. (1.6) 2π Npomenimo d se u literturi često i jednčin oblik y 2xy + 2ny = nziv Hermitov diferencijln jednčin, čije je rešenje dto s Lgerovi polinomi Rešenje diferencijlne jednčine je funkcij oblik ( H n (x) = ( 1)n dn x2 e dx n e x2), n =, 1,... Ln (α) (x) = ex x α koju zovemo Lgerov polinom 2 (funkcij). xy + (α + 1 x)y + ny = (1.7) n! d n dx n ( e x x n+α), n =, 1,..., (1.8) 1.2 Specijlne funkcije koje nisu posledic rešvnj diferencijlnih jednčin Frobeniusovom metodom U ovom delu nvešćemo nekoliko specijlnih funkcij koje se jvljju u problemim fizike i mtemtike, nisu posledic rešvnj diferencijlnih jednčin pomoću redov Gm funkcij (fktorijel funkcij) Definicij. Γ funkcij definiše se sledećom relcijom: Γ(n) = e x x n 1 dx, (1.9) gde je n reln, pozitivn broj (n > ). Ovj uslov je potrebn zbog konvergencije integrl, po gornjoj grnici. 2 Edmond Lguerre ( ), frncuski mtemtičr, poznt po rdovim iz geometrije i teorije beskončnih redov. 2

3 Ov funkcij poznt je i ko Ojlerov integrl druge vrste. U posebnom slučju, ko je n = 1, immo: Γ(1) = e x dx = 1. (1.1) Prcijlnom integrcijom, iz (1.9) dobijmo: Γ(n) = [ e x x n 1] + (n 1) e x x n 2 dx, (1.11) i ko je n > 1, dobijmo: Γ(n) = (n 1) Γ(n 1). (1.12) Zmenom n s n + 1, dobijmo (n = 1, 2,...): Γ(n + 1) = n Γ(n) = n (n 1) Γ(n 1) = = n! (1.13) Dlje, ko zmenimo x s x 2 u (1.9), dobijmo: Γ(n) = e x2 x 2n 2 d(x 2 ) = 2 e x2 x 2n 1 dx. (1.14) U posebnom slučju, ko je n = 1/2, iz prethodne relcije dobijmo Γ(1/2) = 2 e x2 dx. (1.15) Integrl: π/2 cos m τ sin n τ dτ, (1.16) može d se izrzi preko Γ funkcije. D bismo to pokzli, po - dimo od integrl: u = e x2 y 2 x 2m 1 y 2n 1 dxdy. (1.17) Ovj dvostruki integrl možemo d predstvimo ko proizvod dv jednostruk: u = e x2 x 2m 1 dx e y2 y 2n 1 dy = 1 Γ(m) Γ(n). (1.18) 4 S druge strne, ko pre - demo n polrne koordinte (x = r cosτ, y = r sin τ, dxdy = r drdτ), 3

4 integrl (1.17) postje: u = = π/2 Iz (1.18) i (1.19) dobijmo: odnosno: Uvedimo sd smene: p integrl (1.21) postje: e r2 (r cosτ) 2m 1 (r sin τ) 2n 1 r drdτ = e r2 r 2(m+n) 1 dr π/2 = 1 π/2 2 Γ(m + n) (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = (1.19) u = 1 4 Γ(m)Γ(n) = 1 π/2 2 Γ(m + n) (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ, (1.2) π/2 π/2 (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = 1 2 2m 1 = m m = m + 1, 2 2n 1 = n n = n + 1, 2 Γ(m)Γ(n) Γ(m + n). (1.21) (1.22) ( m ) ( + 1 n ) + 1 (cosτ) m (sin τ) n dτ = 1 Γ Γ 2 2 ( 2 m + n ). (1.23) + 2 Γ 2 Npomenimo d je m > 1 i n > 1, što sledi iz uslov d je m > i n >. U specijlnom slučju, kd je m = n =, dobijmo: π/2 dτ = 1 [Γ(1/2)] 2 2 Γ(1) π 2 = [Γ(1/2)]2 2 Γ(1/2) = π. (1.24) Dlje, iz (1.12), dobijmo: itd. Iz (1.13) sledi: Γ(3/2) = 1 2 Γ(1/2) = 1 2 odkle Γ(n), kd n +. π, Γ(5/2) = π, Γ(7/2) = π, (1.25) Γ(n) = Γ(n + 1), (1.26) n 4

5 Γ funkcij može d se proširi n osnovu (1.26) i z n < u korcim njpre z ( 1, ), ztim ( 2, 1) itd. Ovko proširen funkcij predstvljen je grfički n sl Bet funkcij Definicij. Slik 1.1: Γ funkcij Bet funkciju definišemo sledećom relcijom: B(m, n) = 1 x m 1 (1 x) n 1 dx (1.27) z svko m > i n >. Ovj uslov je potrebn zbog konvergencije integrl. Funkcij (1.27) poznt je i ko Ojlerov integrl prve vrste. Bet funkcij može d se poveže s Γ funkcijom, polzeći od (1.27) i uvodeći smenu x = cos 2 τ, p dobijmo (prem 1.21): Funkcij greške Definicij. π/2 B(m, n) = 2 (cosτ) 2m 1 (sin τ) 2n 1 dτ = Γ(m) Γ(n) Γ(m + n) = B(m, n). (1.28) Integrl oblik erf(x) = 2 x e t2 dt (1.29) π definiše funkciju koju zovemo funkcij greške. 5

6 On može d se predstvi i u obliku red Slik 1.2: Funkcij greške erf(x) = 2 ( 1) k+1 x 2k 1 π (2k 1)k!. (1.3) k=1 Pored ove funkcije koristi se i erfc funkcij ili komplementrn funkcij greške, definisn relcijom Iz sme definicije ovih funkcij i (1.15) i (1.24) neposredno sledi erfc(x) = 1 erf(x) = 2 e t2 dt. (1.31) π x erf( ) = 1 i erfc() = 1. (1.32) U nekim problemim fizike jvlj se i funkcij oblik ( ) i 1 + i erf 2 x π = C(x) + is(x), i = 1. (1.33) U prethodnoj formuli jvljju se funkcije C(x) i S(x), definisne relcijm C(x) = S(x) = x x cos πt2 2 dt, sin πt2 2 dt, (1.34) koje nzivmo Frenelovi integrli. 3 Slik 1.3: Frenelovi integrli 3 Augustin Fresnel ( ), frncuski fizičr, poznt po svojim rdovim iz optike. 6

7 1.2.4 Eksponencijlni integrl Integrl dt relcijom Ei( x) = e t x t dt (1.35) definiše tzv. eksponencijlni integrl. Ov funkcij tko - de se jvlj u mnogim problemim fizike. Z mle vrednosti x ovj integrl može d se proksimir relcijom Ei(x) γ lnx, (1.36) gde je γ konstnt, dt relcijom (1.39). Ako x zmenimo s iy, eksponencijlni integrl može d se predstvi u obliku pri čemu smo uveli dve nove funkcije Ci(y) i Si(y), definisne izrzim Ci(y) = Si(y) = Ei(iy) = Ci(y) + isi(y) + i π 2, (1.37) y y sin t t cost t y dt = γ + lny dt = π 2 y 1 sin t t 1 cost t dt. dt, (1.38) Ove funkcije zovemo: Ci(y) kosinus integrl i Si(y) sinus integrl. U prethodnim relcijm jvljl se jedn konstnt γ koj je u literturi poznt i ko Ojlerov konstnt. Može d se predstvi izrzom ( m ) 1 γ = lim m l lnm, (1.39) Eliptički integrli i funkcije Postoji više vrst eliptičkih integrl. N ovom mestu dćemo dv: Definicij. Funkcij definisn relcijom l=1 K(k, t) = t dx (1 x2 )(1 k 2 x 2 ) (1.4) zove se eliptički integrl prve vrste. Definicij. Funkcij definisn relcijom E(k, t) = zove se eliptički integrl druge vrste. t 1 k 2 x 2 1 x 2 dx (1.41) 7

8 1.3 Ortogonlne i normirne funkcije Posmtrjmo skup integrbilnih funkcij z x [, b], ( < b) Definicij. f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x),..., (1.42) Z skup funkcij (1.42) kže se d je ortogonln u intervlu [, b], ko je (f m, f n ) def f m (x)f n (x)dx =, z m n, n, m = 1, 2,... (1.43) pri čemu funkcije f n (x), n = 1, 2,..., nisu identički jednke nuli u posmtrnom intervlu. Kko su f n (x) integrbilne funkcije, i b konstnte, to očigledno postoji i integrl pri čemu je I n konstntno. Definicij. Nenegtivn kvdrtni koren (fn, f n ) = f 2 n (x)dx = I n >, nziv se norm funkcije f n (x) i oznčv se s f n = I n, tj. f n = (f n, f n ) = f 2 n(x)dx = I n (1.44) fn 2 (x)dx. (1.45) Definicij. Skup funkcij f n (1.42), čij je norm jednk jedinici, tj. f n = fn 2 (x)dx = 1 (1.46) nzivmo normirn skup funkcij. 8

9 Definicij. Skup funkcij f n (1.42) koji je istovremeno ortogonln i normirn, tj. (f m, f n ) = f m (x)f n (x)dx = δ mn (1.47) nzivmo ortonormirn skup funkcij, n intervlu x [, b]. U prethodnoj relciji δ ij predstvlj Kronekerov delt simbol. Neki skupovi funkcij, bitni z primenu, nisu ortogonlni, li poseduju tkvu osobinu d je p(x)f m (x)f n (x)dx =, z m n. (1.48) U ovom slučju kžemo d je skup funkcij f n (1.42) ortogonln u odnosu n težinsku funkciju p(x), n intervlu x [, b]. U ovom slučju norm se definiše izrzom f n = p(x)fn 2 (x)dx. (1.49) Ako je u ovom slučju norm jednk jedinici, td je odgovrjući skup funkcij ortonormirn u odnosu n p(x), n posmtrnom intervlu Redovi ortogonlnih funkcij Pomoću skupov ortogonlnih funkcij uvodi se n jednostvn nčin jedn znčjn tip funkcionlnih redov. Nime, nek je g 1 (x), g 2 (x),... dti skup ortogonlnih funkcij n intervlu x b i nek je f(x) dt funkcij koj n ovom intervlu može d se predstvi preko funkcij g i ko konvergentn red: f(x) = n g n (x) (1.5) n=1 ond se ovj red nziv generlisn Furijeov red 4 funkcije f(x), njegovi koeficijenti 1, 2,... Furijeovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu n dti skup ortogonlnih funkcij. S obzirom n ortogonlnost funkcij g i, Furijeovi koeficijenti mogu d se odrede reltivno jednostvno. Množenjem leve i desne strne jednkosti (1.5) s g m (x) gde je m konstnt, ztim integrljenjem od do b (uz pretpostvku d je integrcij čln po čln moguć), dobijmo: ( ) (f, g m ) = fg m dx = n g n g m dx = g n g m dx = n (g n, g m ) n=1 Z n = m dobij se (g m, g m ) = g m 2, dok z n m, zbog ortogonlnosti funkcij g i, sledi (g n, g m ) =. Prem tome, formul z Furijeove koeficijente je: m = (f, g m) g m 2 = 1 g m 2 4 O Furijeovim redovim biće detljnije reči u nrednom poglvlju. n=1 n f (x)g m (x) dx, m = 1, 2,... n=1 9

10 1.3.2 Kompletnost ortonormirnih funkcij U prksi često se koriste ortonormirni skupovi koji sdrže - dovoljn broj funkcij koji omogućv d se generlisnim Furijeovim redovim ovih funkcij predstve široke klse funkcij, n primer, sve neprekidne funkcije n intervlu x b. Definicij. Niz funkcij f n (x) je konvergentn po normi i konvergir k funkciji f ko je lim f n f =, (1.51) n odnosno, ko je (uz izostvljnje kvdrtnog koren kod norme): lim n [f n (x) f (x)] 2 dx =. Konvergencij po normi nziv se i srednjekvdrtnom konvergencijom ili srednjom konvergencijom. Shodno ovoj definiciji red (1.5) konvergir (po normi) k funkciji f ko je lim n gde je s n (x) prcijln sum red (1.5) : Definicij. [s n (x) f (x)] 2 dx =, s n (x) = n k g k (x). k=1 Skup ortonormirnih funkcij g 1, g 2,... je kompletn u skupu funkcij S n intervlu x b, ko bilo koj funkcij f iz S može s proizvoljnom tčnošću d se proksimir linernom kombincijom 1 g g n g n. To znči d z svko ε > mogu d se n - du konstnte 1, 2,..., n tkve d je z dovoljno veliko n: f ( 1 g g n g n ) < ε. Može d se pokže d su skupovi Ležndrovih polinom i Beselovih funkcij kompletni u skupu neprekidnih relnih funkcij n odgovrjućim intervlim Šturm-Liuvilov problem U tehnici, rzličiti vžni ortogonlni skupovi funkcij nstju ko rešenje linerne diferencijlne jednčine drugog red, čiji oblik može d se predstvi relcijom [r(x)y ] + [q(x) + λp(x)] y =, (1.52) n nekom intervlu x b, pri čemu su zdovoljeni grnični uslovi oblik: ) k 1 y() + k 2 y () =, b) l 1 y(b) + l 2 y (b) =. (1.53) 1

11 Ovde je λ- prmetr, k i odnosno l i (i = 1, 2) dte (poznte) relne konstnte, koje nisu istovremeno jednke nuli. Jednčin (1.52) zove se Šturm 5 Liuvilov 6 jednčin. Može d se pokže d Ležndrov, Beselov i neke druge jednčine mogu d se predstve u ovom obliku. Problem rešvnj diferencijlne jednčine (1.52) s grničnim uslovim (1.53), zove se Šturm-Liuvilov problem. Glvne vrednosti. Glvne funkcije Iz relcij (1.52) i (1.53) vidi se, d z svko λ, immo trivijlno rešenje y, tj. y(x) = z x iz posmtrnog intervl. Definicij. Vrednosti λ, z koje problem (1.52), (1.53) im netrivijlno rešenje (y ), ko tkv broj postoji, zove se glvn vrednost problem. Definicij. Netrivijlno rešenje, problem (1.52), (1.53), koje odgovr glvnoj vrednosti λ zove se glvn funkcij. Neke osobine, prethodno uvedenih pojmov, dćemo u obliku dve (sledeće) teoreme. Teorem 1 Pretpostvimo d su funkcije p, q, r i r, u jednčini (1.52), relne i neprekidne n intervlu x b. Nek su y m (x) i y n (x) glvne funkcije Šturm-Liuvilovog problem (1.52), (1.53), koje odgovrju rzličitim glvnim vrednostim λ m i λ n, respektivno. Td su y m i y n ortogonlne funkcije, n posmtrnom intervlu, u odnosu n težišnu funkciju p. Dokz. Kko su y m i y n rešenj posmtrnog problem to one zdovoljvju relcije: (ry m ) + (q + λ m p)y m =, (ry n) + (q + λ n p)y n =. Pomnožimo prvu relciju s y n, drugu s y m, ztim ih sberimo, p dobijmo (λ m λ n ) py m y n = y m (ry n) y n (ry m) = [(ry n)y m (ry m)y n ]. (1.54) Ovj izrz predstvlj neprekidnu funkciju, u intervlu x b, jer su r i r neprekidne funkcije prem početnoj pretpostvci, y m i y n ko rešenj početnog problem. Dkle, možemo d integrlimo posmtrni izrz (1.54). Ov integrcij dje (λ m λ n ) py m y n dy = [r (y ny m y my n )] = r(b)[y n (b)y m(b) y m (b)y n(b)] r()[y n ()y m() y m ()y n()]. b = (1.55) Anlizirjmo sd izrz s leve strne jednkosti (1.55) i u tu svrhu posmtrjmo grnične uslove (1.53): k 1 y m () + k 2 y m () =, (1.56) k 1 y n () + k 2 y n() =. (1.57) 5 Jcques Chrles Frncois Sturm ( ), frncuski mtemtičr, švjcrskog porekl. Do je znčjn doprinos u lgebri, poznt je po tome što je prvi izrčuno brzinu prostirnj zvuk u vodi. 6 Joseph Liouville ( ), frncuski mtemtičr. Do je veliki doprinos u rzličitim oblstim mtemtike, posebno je poznt njegov rd u kompleksnoj nlizi, specijlnim funkcijm, diferencijlnoj geometriji i teoriji brojev. 11

12 Množeći prvu jednčinu s y n, drugu s y m, ztim oduzimjući, dobijmo Uz pretpostvku d je k 2 dobijmo d je N sličn nčin može d se pokže d je i z l 2. N osnovu ovih relcij zključujemo d je k 2 [y m ()y n () y n()y m ()] =. (1.58) y m ()y n() y n ()y m() =. (1.59) y m (b)y n(b) y n (b)y m(b) =, (1.6) py m y n dy =, z m n. (1.61) Ovim smo dokzli teoremu z k 2 i l 2. Posmtrjmo ponovo uslove (1.56) i (1.57). Množeći prvi uslov s y n, drugi d y m, ztim oduzimjući dobijmo, z k 1 y m ()y n() y n ()y m() =. (1.62) N sličn nčin dobijmo i z l 1 y m (b)y n(b) y n (b)y m(b) =. (1.63) N ovj nčin dokzli smo teoremu i z ovj slučj, p je, s obzirom d k 1 i k 2, odnosno l 1 i l 2 ne mogu istovremeno d budu jednki nuli, teorem dokzn u celosti. Teorem 2 Ako Šturm-Liuvilov problem (1.52), (1.53) zdovoljv uslove prethodne teoreme i ko je p n celom intervlu x b, td su sve glvne vrednosti problem relne. Dokz. Pretpostvimo suprotno, tj. nek je λ = α + iβ glvn vrednost problem, odgovrjuć glvn funkcij oblik y(x) = u(x) + iv(x). U ovim izrzim α, β su relne konstnte, u i v relne funkcije. Zmenom ovih vrednosti u jednčinu (1.52) dobijmo (ru + irv ) + (q + αp + iβp)(u + iv) =. D bi ov kompleksn jednčin bil zdovoljen, potrebno je d istovremeno i relni i imginrni njeni delovi budu jednki nuli, tj. (ru ) + (q + αp)u βpv =, (rv ) + (q + αp)v + βpu =. Ako pomnožimo prvu jednčinu s v, drugu s u, p ztim ih sberemo, dobijmo β ( u 2 + v 2) p = u(rv ) v(ru ) = = [(rv )u (ru )v]. 12

13 Izrz u uglstoj zgrdi je neprekidn funkcij n intervlu x b (videti dokz prethodne teoreme), p integrcijom, vodeći rčun o grničnim uslovim (ko i kod prethodne teoreme), dobijmo β ( u 2 + v 2) p dx = [r (uv vu )] Kko je y glvn funkcij to je y. Dlje, kko su y i p neprekidne funkcije, pri čemu je p > ili p < n intervlu x b, y 2 = u 2 + v 2, to sledi d je integrl n levoj strni poslednje jednkosti rzličit od nule. Odvde sledi d β mor d bude jednko, tj. β =. Ko je λ = α + iβ i β =, to sledi d je λ = α. Dkle λ je reln broj. Ovim je teorem dokzn. b =. 13

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00

DIPLOMSKI RAD. Nesvojstveni integral. Univerzitet u Kragujevcu Prirodno matematički fakultet. Kandidat: Marta Milošević 47/00 Univerzitet u Krgujevu Prirodno mtemtički fkultet IPLOMSKI RA Nesvojstveni integrl Mentor: r Mirjn Pvlović Kndidt: Mrt Milošević 47/ KRAGUJEVAC,. Sdržj. Nesvojstveni jednostruki integrl 3.. efiniij, primeri

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

Mera, integral i izvod

Mera, integral i izvod Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................

Διαβάστε περισσότερα

Izvodi i integrali necelog reda

Izvodi i integrali necelog reda UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Integracija funkcija više promenljivih

Integracija funkcija više promenljivih Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk

Διαβάστε περισσότερα

B I O M A T E M A T I K A

B I O M A T E M A T I K A Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE

U n i v e r z i t e t u B e o g r a d u. Matematički fakultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE U n i v e r z i t e t u B e o g r d u Mtemtički fkultet ITOOV STOHASTIČKI INTEGRAL I PRIMENE M s t e r r d Mentor: dr Jelen Jocković Student: Jelen R. Suzić B e o g r d, 2015 S d r ž j Predgovor 1 1 Integrlni

Διαβάστε περισσότερα

4. Relacije. Teorijski uvod

4. Relacije. Teorijski uvod VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću

Relativno mirovanje tečnosti. Translatorno kretanje suda sa tečnošću Reltivno irovnje tečnosti Trnsltorno kretnje sud s tečnošću Zdtk Cistern čiji je orečni resek elis oluos i b nunjen je tečnošću ustine i kreće se rvolinijski jednklo ubrzno ubrznje w o orizontlnoj rvni

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Neodre deni integral

1.1 Neodre deni integral . Neodre deni integrl.. Površinski problem Uvod u površinski problem Iko većin rzmišlj o integrlu isključivo ko o obrtu izvod, osnove integrlnog rčun sežu mnogo dlje u prošlost od modernih vremen. Jedn

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo 7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64

3. Rubni problem za obične diferencijalne jednadžbe Egizstencija i jedinstvenost rješenja... 64 Sdržj 1. Numeričk integrcij.......................... 1 1.1. Općenito o integrcijskim formulm................ 1 1.. Newton Cotesove formule...................... 3 1..1. Trpezn formul.......................

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ] -- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje elastične linije

Savijanje elastične linije //00 Svijnje estične inije Anitičk metod odreďivnj estične inije Irčunvnje ugi i ngi u pomoć tic Prv jednčin svijnj Normni npon u nekoj tčki poprečnog presek s M moment spreg s M I x I x ksijni moment

Διαβάστε περισσότερα

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x)

Dodatak B. Furijeovi redovi. Posmatrajmo na intervalu [ l, neku funkciju f (x) Dodtk B Furijeovi redovi Posmtrjmo itervu [, eku fukciju f () i ek je o tom itervu eprekid u deovim (im koč roj prekid prve vrste - prekidi u kojim fukcij im koč skok s eve desu griču vredost (vidi S.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........

Διαβάστε περισσότερα

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006. šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td

Διαβάστε περισσότερα