ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju j.. Pronañi onu antidrivaciju funkcij za koju vrijdi. 6. Pronañi antidrivaciju funkcij koja zadovoljava uvjt. 7. Ima li fukcija antidrivaciju za koju j? 8. Odrdi bar jdnu antidrivaciju funkcij. 9. Odrdi bar jdnu antidrivaciju funkcij.. Uz pomoć jdnog trigonomtrijskog idntitta pronañi antidrivaciju funkcij.. J li funkcija antidivacija funkcij?. J li funkcija antidrivacija funkcij?. J li funkcija antidrivacija funkcij?
8 Zbirka zadataka. Intgriranj pomoću tablic i osnovnih pravila Služći s tablicom i osnovnim pravilima pronañi nodrñn intgral.. 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8. 9....... 8. 6. 9. 7.....
ZI. Nodrñni intgrali 9. Mtoda zamjn Pogodnim zamjnama odrdi intgral.. 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8. Rijši intgral tako da kvadratni izraz prvo prdočiš kao zbroj ili razliku kvadrata, a zatim uvdš zamjnu 9. 6. 6. 6. 6. 6.. Mtoda djlomičn intgracij Djlomičnim intgriranjm odrdi intgral 6. 66. 67. 68. 69. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 76. Dvostrukom primjnom formul za djlomičnu intgraciju zadani intgral svdi na intgralnu jdnadžbu, a potom ju rijši 77. 78. 79.
Zbirka zadataka. Intgriranj racionalnih funkcija Odrdi intgral djlomičnih razlomaka 8. 8. 8. 8. 8. 86. 88. 8. 87. 89. Odrdi intgral pravih racionalnih funkcija 9. 9. 9. 96. 98. 9. 9. 9. 97. 99. Odrdi intgral racionalnih funkcija... 6. 8.... 7. 9.
ZI. Nodrñni intgrali 6. Intgriranj funkcija s korijnom Pogodnim zamjnama zadan intgral svdi na intgral racionalnih funkcija i rijši ih..... 6.. 7. 7. Intgriranj trigonomtrijskih funkcija Uz pomoć formula koj umnožak sinusa i kosinusa prtvaraju u zbroj ili razliku rijši intgral 8. 9..... intgral Uz pomoć nk od zamjna,, ili rijši. 6.. 7. 8.... 9....
Zbirka zadataka 8. Različiti zadatci Rijši intgral 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8. 9...
ZII. Odrđni intgrali ZII. ODREðENI INTEGRALI. Računanj odrñnog intgrala Služći s tablicom, osnovnim pravilima i Libniz-Nwtonovom formulom izračunaj vrijdnost odrñnih intgrala. d. 7 d. d. cos d 6. 7. + d d 9 8. ( ) d 9. ( ) d 6. ( ) d 6. 6 d 6. 6 d 6. ( ) d Služći s mtodom zamjn i Libniz-Nwtonovom formulom izračunaj vrijdnost odrñnih intgrala 6. + d 6. d 66. sin cosd ( + ) 67. d 68. d + ln d 69. 7. + d 7. + d 7 6 ( + ) 7. d
Zbirka zadataka Služći s mtodom djlomičn intgracij i Libniz-Nwtonovom formulom izračunaj vrijdnost odrñnih intgrala 7. 76. cosd log d 7. 77. lnd arctan d 7. 78. d log d Izračunaj intgral: 79. 8. sin d cosd 8. 8. ( + ) ln d + d 8. 8. ( + ) arctan d d + Izračunaj intgral tako da prvo provjriš parnost podintgraln funkcij ili njnih pribrojnika 8. 87. 89. ( + ) d ( sin cos ) d ( sin ctg+ ) d 86. 88. 9. ( cos ) d ( + sin ) tgd d ( sin + cos ) Odrdi funkciju f ( ) i izračunaj f ( ), ako j f ( ) 9. f ( ) 9. f ( ) 9. = tdt, = =, dt t t dt t = =, = 9. 9. 96. ( ) f ( ) = t + t dt, = 8 ( ) f ( ) = t dt, = f ( ) = + t dt, = t+
ZII. Odrđni intgrali. Površina ravninskog lika Izračunaj površinu lika omñnog krivuljama 97. =, =, 99. =, = + =, =,. =, = sin za. =, =, =, = +. =, 7. 9. = +, = 98. =, =, =, ( ) = = +, = + =. =, =, =, =. = +, = 6+ 7. =, =, =, = = 6. =, =, = +, = sin 8.. =, = +, = +, = = + + 6. = + 6,. =, = + = + 7. =, =,. = =, =, 7. =. 6. =, =, = = =, tangnta u točki T (,)
6 Zbirka zadataka U nardnim zadatcima površinu lika omñnog zadanim krivuljama izračunaj na dva načina: intgriranjm funkcija ( ) po intgriranjm funkcija ( ) po 8... =, = = +, = 9.. =, = + 6, =. =, = =, = +, = + =, = +. =, =, = tan, = /. =, =, =, = ln. Obujam rotacijskog tijla Izračunaj obujam tijla nastalog vrtnjom, oko osi, lika omñnog krivuljama 6. =, =, 8.... =, = +, = = 7. =, 9. =, = +. =, =, =, = =, = +.. = = = =, =, =, = = + + 6 Izračunaj obujam tijla nastalog vrtnjom, oko osi, lika omñnog krivuljama 6. =, 8. =, =,. = 7. = 9. =, =, =. =, =, = =, =, = 8=, =
ZII. Odrđni intgrali 7. Duljina luka ravninsk krivulj Izračunaj duljinu luka krivulj.... = za 9, B, = za 8 = izmñu točaka A ( ) i ( ) = izmñu točaka A, i B, = ln za 6. ( ) 7. 8. 9. = za ln ln 8 = ln sin za = arcsin za ln ln. Površina rotacijsk ploh Izračunaj površinu ploh nastal vrtnjom, oko osi, luka krivulj.... = za = izmñu točaka A(, ) i B (, ) + = za = sin za Izračunaj površinu ploh nastal vrtnjom, oko osi, luka krivulj.. 6. = za = izmñu točaka A(,) i B (,) = za
8 Zbirka zadataka 6. Numrička intgracija Trapznom formulom, uz zadani korak h, izračunaj približnu vrijdnost odrñnih intgrala 7. 9. 6. 6. 6. ( + ) sin d, h=,, ln ( + ) d, h=, d, h=, log sin d, h=, +,7 ( arctan ) d, h=, 8. 6. 6. 6. 66. cosd, h=, 6d, h=, + d, h=, + 6 d, h=, ( + ) arcsin d, h=, Simpsonovom formulom, uz zadani korak h, izračunaj približnu vrijdnost odrñnih intgrala 67. 69. 7. 7. 7. lnd, h=, 6 d, h=, +,8 d, h=, tan d, h=,. + ln d, h=, cos. 68. 7. 7. 7. 76. logd, h=,. + d, h=, + + d, h=, cotd, h=, sin d, h=, arctan
ZII. Odrđni intgrali 9 7. Različiti zadatci Izračunaj vrijdnost intgrala: 77. 79. 8. 8. 8. 87. 89. d d d + d + + d cos d d 78. 8. 8. 8. 86. 88. 9. 6 ( ) ( ) d d d + d + d sin sin + d d Uz pomoć intgralnog računa izvdi formul za 9. površinu i opsg kruga 9. obujam i površinu uspravnog kružnog stožca 9. obujam i površinu kugl 9. obujam i površinu torusa
Zbirka zadataka ZIII. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE. Provjra rjšnja Provjri jsu li funkcij rjšnja difrncijalnih jdnadžbi 9. + = cos, = sin + cos 96. +=, = + 97. =, = C 98. tg + =, = C sin + 99. + + sin=, = cos. = +, =. cos sin=, = tan. + = +, = C + sin+ C cos. + =, =. + + =, = ln. + + = cos, = sin 6. + 6 =, = C + C + C
ZIII. Difrncijaln jdnadžb. Difrncijaln jdnadžb koj s rjšavaju nposrdnim intgriranjm Nposrdnim intgriranjm odrdi opć rjšnj difrncijlanih jdnadžbi 7. = cos 8. + = 9. =. = ln+. = 6+. + =. = +. = cos sin. = 6. = cos 7. + ( + ) = 8. = ln Pronañi pojdinačno rjšnj difrncijalnih jdnadžbi koj zadovoljava zadan uvjt 9. = + : ( ) =. = cos sin : ( ) = ().. = : () = () = : ( ) =, () = 6. = : ( ) = (), () = sin cos. = + : ( ) =, = ( ) = cos sin. = : () =, () =, () = 6 6. = 6 : 6 () =, () = 8, () = 8
Zbirka zadataka. Difrncijaln jdnadžb prvog rda.. Difrncijalna jdnadžba s razdvojnim promjnljivim Rijši difrncijaln jdnadžb 7. d= d 8. d = d 9. ln d d =. d d + =. ( + sin ) d= ( + cos ) d. d( + ) d Rijši difrncijaln jdnadžb tako da prvo razdvojiš difrncijal i promjnljiv. =. =. + = 6. = + 7. = + 8. =
ZIII. Difrncijaln jdnadžb.. Homogna difrncijalna jdnadžba Zamjnom difrncijaln jdnadžb z=, a potom razdvajanjm promjnljivih i z, rijši 9. =. = ( ). =. ln = (ln ) Zamjnom z=, a potom razdvajanjm promjnljivih i z, rijši difrncijaln jdnadžb.. + + =. = + = 6. sin = sin + Rijši difrncijaln jdnadžb 7. ( + ) = 8. = + ( ) 9. = +. = + sin cos
Zbirka zadataka.. Linarna difrncijalna jdnadžba Odrdi opć rjšnj homognih linarnih difrncijalnih jdnadžbi. + =. =. + (sin ) =. (ln+ ) = Pronañi opć rjšnj difrncijalnih jdnadžbi tako da prvo rijšiš njihov homogn jdnadžb, a zatim primijniš mtodu varijacij konstant. = 6. + = 7. + = + 8. + = cos 9. = 6. (sin ) sin + = 6. + = 6. = ln 6. + = 6. = cos Pronañi pojdinačno rjšnj difrncijlanih jdnadžbi koj zadovoljava zadani uvjt 6. = : ( ) = 66. + = : ( ) = 67. (cos ) = : () = 68. = : () =
ZIII. Difrncijaln jdnadžb.. Brnoulliva difrncijalna jdnadžba Pronañi opć rjšnj difrncijalnih jdnadžbi tako da prvo rijšiš njihov homogn jdnadžb, a zatim primijniš mtodu varijacij konstant C t razdvojiš promjnljiv i C 69. 7. 7. = 7. = = 7. + = + = 7. + =. Difrncijaln jdnadžb drugog rda.. Linarna difrncijalna jdnadžba Snižavanjm rda rijši linarn difrncijaln jdnadžb 7. = 76. = 77. + = 6ln 78. sin cos= sin
6 Zbirka zadataka.. Linarna difrncijalna jdnadžba s konstantnim koficijntima Odrdi opć rjšnj homognih linarnih difrncijalnih jdnadžbi 79. + 6= 8. = 8. + = 8. + = 8. + = 8. + + = Pronañi opć rjšnj difrncijalnih jdnadžbi tako da prvo rijšiš njihov homogn jdnadžb, a zatim primijniš mtodu varijacij konstanti 8. + = 86. + = 87. + = 88. + = 8 89. + = sin 9. + = sin+ cos 9. + = sin cos 9. = sin 9. = ( ) 9. ( + )( + ) = Pronañi pojdinačno rjšnj difrncijalnih jdnadžbi koj zadovoljava zadan uvjt 9. + = : ( ) =, ( ) = 96. 97. + = : ( ) = 6 9 sin, () = + = : () =, ( ) = 98. + = : () =, () =
ZIII. Difrncijaln jdnadžb 7. Različiti zadatci Rijši difrncijaln jdnadžb 99. =. ln( ) =. d +d =. d +d =. ( + ) =. =. sin= 6. + = 7. 6 + = 8. + = 9. = 8. 6 + = cos Snižavanjm rda rijši difrncijaln jdnadžb. + =. + = IV. = IV. =
8 Zbirka zadataka R. RJEŠENJA,,..,.. 6. 7. 8. 9... Jst. Nij. Jst.. 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8. 9...
R. Rjšnja 9.... 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8. 9. 6. 6. 6. 6. 6. 6. 66. 67. 68. 69. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 76. 78. 77. 79. 8. 8. 8. 8. 8. 8.
Zbirka zadataka 86. 87. 88. 89. 9. 9. 9. 9. 9. 9. 96. 97. 98. 99....... 6. 7. 8. 9...... 6. 7. 8.
R. Rjšnja 9....... 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8. 9....... 6. 7. 8.. 9..
Zbirka zadataka. 7. 8 9 ln. 8. 6. 6. 67. 7. 7. 79. 8 7. 9. 9 6. 68. ln 76. 8. 8. 8. 9 ln ln 8ln.. 6. 69. 6 6. 6. 7. 6 6 ln 7. 7. 77. 8. 8. 87. 88. 89. ln 6 6 78. 8. 6. 66. 86. 9. + 8ln ln + 8 9. f ( ) =, 6 f () = 9. f ( ) = +, 9. f ( ) = ln ln, f ( ) = ln 7 9. f ( ) = +, f () = 9. f ( ) =, f () = + 96. f ( ) = ln +, f () = ln + + f () = 97. 9 98. 99... 9 8.... 6 6.
R. Rjšnja 9 = + d= 8. ( ) 7. P ( ) P= d= 9. P= ( + ) d=. P ( ). 6. 6.. P ( ) d ( ) 8... 9 = + + + d= 6. 9. P= + d d= d= 6 = d=. P ( ), P= 8 8 P= + d d= d= 6 P= d+ d= d=. ( 6 ) ( 6 )... 6. = d= 8 + P= d = d ln 6 = ln + P= arctg d= tgd+ d= P= d lnd= d= 7.. 6 6. 8. 6 9 9. V = d+ d= 8 8 7 9 V = d+ d d= 8 7.. 6.
Zbirka zadataka 6. V = + d d=. ( ) ( ) 96 V = + + d d=. ( 6) ( ) 6 7. 8. 8 9.... V 8d d d 7 = + = 8 9. 7 ln + + 6.. ( ) 8.. cos d sin. ln( + ) + l= + = ln 9. 7 9... 6.. 6 ln 7. ln ln 9 ln 8 + l= d= ln. cos P= + d= sin sin ( ) ln + P= d + = 7.,6 8.,8 9.,9 6., 6. 8,8 6., 6.,8 6. 6,8 6., 9 66.,9 67.,6 68. 68,8 69.,998 7., 7., 7.,7 7., 7. 87, 786 7., 6 76., 6
R. Rjšnja 77. 6 8. ( ) 78. 79 d+ d= 79. 8. 8. 8. + = d+ + d= 8. d ( ) ( ) 8. 86. 87. 88. 89. + 9. a a 9. P= a d=a l= a d= a a v v a a + v P= a ( ) + d= a a+ a + v a 9. V = d= av v = a d= a 9. V ( ) a 9. Promatraj vrtnju kružnic ( ) a V = 8b a d= ab v a P= a d= a + b = a oko osi a P= 8ab d= ab a
6 Zbirka zadataka 9. Jst 96. Nij 97. Jsu 98. Nisu 99. Jst. Nij. Jst. Jsu. Jst. Jst. Nij 6. Jsu 7. = sin+ C 8. = + C 9. = lnc. = ln + ln+ C. = + + C+ C. = + ln + C+ C 6. = + C lnc. = cos+ sin+ C+ C. = C + C+ C 6. 7. = + C + C+ C = sin+ C + C+ 8. = ln + ln+ C + C+ C 9. = + ln +. = sin+ cos C. = +. = +. = +. 6 = tan+ cot+. = 6. = + 6 + 7. 8 = C 8. = + C 9. = ln + C. + = C
R. Rjšnja 7. (cos+ sin) = C. ( ) = C. = C. = C. + = C 6. = C 7. = ln( + ) + C 8. + = C 9. = lnc. = lnc. + ln C =.. = lnc. ln C = = ln. = lnc 6. ln C + cos = 7. = lnc 8. + lnc = ln 9. lnc = tan. = arctanc. = C. = C C. cos = C. = C. 7. 9. ) ( = + C 6. = C + + C = + + 8. cos = sin + + cos = ( C) 6. = C + + C 6. C = + 6. = (ln + C) 6. = ( + C) tg 6. = C
8 Zbirka zadataka 6. = + 66. 67. = + sin = 68. = 69. = 7. + C = ( + C) 7. =± + C 7. = ± + C 7. = + C 7. = ( + C) 7. C C = + 76. = C + C + 77. = ln + C ln+ C 78. = cos + C cos+ C 79. = C + C 8. = C + C 8. = ( C + C ) + 8. = ( C+ C ) 8. = C sin+ C cos 8. = ( C sin + C cos) 8. = + C+ C 86. = C sin+ C cos+ ( ) 87. = C + ( C ) 88. = C + ( + C ) 89. = C sin+ ( C ) cos 9. = C + C + cos 9. = C )sin + ( C )cos ( + 9. = C + C (sin+ cos) 9. = ( + C) + C 9. = C + C + ( + ) ln( ) +
R. Rjšnja 9 9. = + 96. = 97. = (sin + ) 98. = + C+ C 99. = C. = + C + C ln + C + C+. + = C. = C. = lnc.. = C+ cos 6. C = = ( C + +) 7. = ( C sin + C cos ) 8. ( ) = C + C + 9. = C + C. + = C + ( C + sin+ cos ). = C + C + C. = + C sin+ C cos+ C = C + C + C+ C.. = C+ C + C + C