I. dio. Zadaci za ponavljanje

Transcript

1 I. dio Zadaci za ponavljanje

2 ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu s bazom.. Dokaži n(n + ) = n(n+)(n+), n N. 4. Dokaži da je izraz (5n + ) 6 djeljiv s 5 n N. 5. Nadi - sve prirodne brojeve izmedu i koji pri dijeljenju sa i 8 daju isti ostatak Pokaži da je broj 9. Riješi jednadžbe: a) + = ; b) = ;c) + + = Riješi nejednadžbe: a) + + < + ; b) 5 6; c) sin <. ( ) iracionalan. 7. Izračunaj: ( ) ( 0 : 4 9 ) Izračunaj: ( ) [6 ][ ( ) ].. SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA: Računske operacije u skupu C i svojstva. Konjugirano kompleksni brojevi. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja.. Izračunaj: + i 997 i Izračunaj: z z z z ako je z z z = + i, z = i.. Odredi Im z6 z+ i 98 ako je z + z z = + i. 4. Odredi modul broja z = 5+ i (+ i)( i) + i5 + i 5 + i 40 + i Odredi z C takav da je z z = i. 6. U kompleksnoj ravnini prikaži kompleksne brojeve z za koje je broj z z+ čisto imaginaran broj. 7. Prikaži u kompleksnoj ravnini skup kompleksnih brojeva z za koje vrijedi: a) z i = ;b) z i+. 8. Dokaži: a) z + z = z + z ; b) z z = z z ; c) ( z z ) z i = z z, z 0, z, z C ; d) (z) =z, z C.. TRIGONOMETRIJSKI OBLIK KOM- PLEKSNOG BROJA: Računske operacije s kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku. Moivreova formula.. Napiši kompleksan broj z u trigonometrijskom obliku: a) z = + i ; b) z = 4i ; c) z = 4 ; d) z = i ; e) z = + i ; f) z = ( cos π 4 i sin ) π 4.. Napiši kompleksan broj z u trigonometrijskom obliku:

3 4 I. DIO a) z = + cos π + i sin π ; b) z = i cos π i sin ; π c) z= ( sin π 5 +i sin 4π 5 d) z = i ( i i cos π 5 sin π 5 ) ( cos π 5 i cos 4π 5 ) 4.. Izračunaj: a) + i) 5 ; b) ( + i ) 0 ( i) Odredi: a) 6 64i ; b) + i ; c) 6 i. + i 5. Odredi sva rješenja jednadžbe z 6 + = 0 te ih prikaži u kompleksnoj ravnini. 4. POLINOMI S JEDNOM VARIJAB- LOM: Definicija polinoma. Jednakost polinoma. Operacije s polinomima. Nultočke polinoma. Tok i graf polinoma.. Koristeći se teoremom o jednakosti polinoma, za zadani polinom f ()= + odredi polinom g takav da je f ()=g(+).. Odredi realne brojeve a, b tako da polinom f () = + + a + b bude djeljiv polinomom g() = + + ab.. Polinom f () pri dijeljenju s polinomom g () = daje ostatak, a s g () = + ostatak -. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma f polinomom g = g g. 4. Odredi kratnost nultočke = polinoma f () = Odredi nultočke polinoma: a) f () = , ako je jedna njegova nultočka = i ; b) f () = Odredi intervale monotonosti funkcije f () = 6 +. ) ; 7. Opiši tok i skiciraj graf polinoma f () = Odredi točke ekstrema, točke infleksije (ako ih ima), te skiciraj graf polinoma f () = (4 ). Uputa: U zadacima 6 8 koristi se derivacijom polinoma. 5. POLINOM PRVOG STUPNJA S JED- NOM VARIJABLOM: Definicija i svojstva (rast, pad). Graf polinoma. stupnja. Jednadžba pravca dvjema točkama. Jednadžba pravca s poznatim koeficijentom smjera kroz jednu točku.. Ispitaj tok i nacrtaj graf funkcije f : R R zadane formulom: a) f () = + ; b) f () = + ; c) f () = ; d) f () = +.. U skupu funkcija f () =(m 4) (m 0), m R odredi funkciju f tako da točka T(, ) pripada grafu funkcije f. Ispitaj tok i nacrtaj graf te funkcije.. Vrhovi trokuta su A(, ), B(, 5), C(7, 5).Nadi: - a) duljine stranica AB i AC te jednadžbe pravaca na kojima leže; b) duljine težišnica iz vrhova A i B te jednadžbe pravaca na kojima leže. 4. Zadana su tri vrha A(, ), B(5, 4), C(7, 8) paralelograma ABCD. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži stranica AD? 5. Odredi inverznu funkciju funkcije f () = Dokaži da je inverzna funkcija polinoma prvog stupnja takoder - polinom prvog stupnja.

4 ZADACI ZA PONAVLJANJE 5 6. KVADRATNA FUNKCIJA: Definicija, graf, toki nultočke kvadratne funkcije. Viéteove formule.. Prikaži grafički funkciju f () = +. Odredi intervale pada i ekstreme funkcije f. Za koje R je f () 0?. U skupu funkcija f () =(m ) +(m 4) m odredi onu funkciju koja postiže najmanju vrijednost za =. Opiši tok i skiciraj graf te funkcije.. Za koje vrijednosti realnog parametra m,rješenja kvadratne jednadžbe ( m) + m = 0 zadovoljavaju uvjet + <? 4. Za koji a R je funkcija f () = a 5 + 9a pozitivna za sve R? 5. Napiši kvadratnu funkciju s racionalnim koeficijentima ako je = jedna nultočka te funkcije. 6. Kako rješenja jednadžbe (a ) (a + ) + a = 0, a ovise o realnom parametru a? 7. Riješi nejednadžbe: a) 4 0; b) + 5 < ; c). 8. Nacrtaj graf funkcije f () = Riješi jednadžbu =. 0. Riješi nejednadžbu + >. 7. RACIONALNE FUNKCIJE: Definicija, prirodno područje definicije. Linearna kombinacija racionalnih funkcija.. Odredi prirodno područje definicije i nultočke racionalne funkcije f () = Racionalnu funkciju h() = 4 prikaži kao linearnu kombinaciju racionalnih funkcija f () = i g() = +.. Zadane su funkcije f () = + i g() =. Odredi kompozicije g f i f g,tenadi - domene tih funkcija. 4. Dokaži da je kompozicija racionalnih funkcija oblika f () = a+ b, a, b, c, d R c+ d i ad bc 0 opet racionalna funkcija tog oblika. 5. Ispitaj tok i skiciraj graf funkcije f () = Odredi d. 8. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA: Definicija, svojstva i graf eksponencijalne funkcije.. Izračunaj: ( ) 0... Pojednostavni: [( ) a) ( ) : 9 ] ; b) [ ( ) 4] ( ) : 7.. Neka je f () =, g() =, h() =. Odredi kompozicije f g, h g, h f, f h. Skiciraj grafove dobivenih funkcija.

5 RJEŠENJA 5 Rješenja zadataka za ponavljanje.. M(846, 46) =6.. = Dokaz se provodi matematičkom indukcijom po n N , 776, ( ) = a) = 7, = ; b) =, = 0, =, 4 = 4; c) =, =. 0. a) 4, 7 ;b) [, ] [, 6] ;c) π 6 + kπ, 7π 6 + kπ.. k Z. i.. i z = 4 + i. 6. z = + i, + =. i 0 Sl.. 7. a) z = +i, ( ) +( ) = 9. i 0 r= S(,) Sl.. b) z = + i, Sl.. =--. a) z = ( cos π + i sin ) π ; b) z = 4 ( cos π + i sin ) π ; c) z = 4 (cos π + i sin π) ; d) z = cos 5π + i sin 5π ; e) z = ( cos π 4 + i sin ) π 4 ; f) z = ( cos π 4 + i sin ) π 4.. a) z = cos π + i sin π ; b) z = ( cos π + i sin ) π ; c) z = 4sin π 5 cos π 5 (cos π + i sin π) ; d) z = ( ) 6 sin 4 π cos π π 0 + i sin a) 6( + i) ;b) 6( + i) ; 4. a) 6 64i = [cos ( π 4 + ) kπ + i sin ( π 4 + ) ] kπ, k = 0,,,, 4, 5;

6 6 I. DIO b) i sin ( π + i = [cos ( π 4 + kπ i c) 6 i sin ( 9π 7 + kπ ) ], k = 0,, ; [ cos ( 9π 4 + kπ +i = ) ], k = 0,,,, 4, kπ ) + ) + 5. z 0 = + i, z = i, z = + i, z = i, z 4 = i, z 5 = i. 4 Sl U = f ima maksimum, a on je f () =7. Točka infleksije je = 0. Γ f i z 7 z z 0 z 0 z 5 z 4 Sl Sl g() = a =, b = 0.. r() =. 4. Kratnost je.. b) 5. a), = ± i,,4 = ± i ; b) =,, = ±. 6. f raste na, 0 4,,a pada na 0, Sl f maks. min.

7 RJEŠENJA 7 d) 8. b) _ Sl. 9. Sl. 8.. m =, f () = a) AB = 5, AC = 0, AB = 0, AC = 0; b) t A = 5 5, t B = 5, t A = 0, t B = AD... =. 5. f () = f pada na, ;u 0 = ima minimum 0 = ; f () 0 za [, ].. f () =.. m, 0, a 5 6, f () =a( ), a R, a Za a > 5 jednadžba ima dva različita realna rješenja, za a = 5 ima dvostruko realno rješenje, za a < 5 ima dva konjugirano kompleksna rješenja. 7. a), [0, [4, + ; b),, ; c), ] [, = [, 4.. D f = R \{0}, nultočke: =, =.. h() = f ()+ g().. (g f )()= +, D g f =R \{ }; (f g)()= +, D f g =R \{0, } f () Sl ln ( + ) + C.

8 II. dio Maturalne zadaće

9 MATURALNE ZADAĆE 4 Zadaća... Zadan je polinom p() = a) Zadani polinom rastavi na faktore. b) Riješi nejednadžbu c) Riješi jednadžbu = Zadan je trokut ABC stranicama AB = 8cm, BC = 7cmi CA = 5cm.Pravac koji siječe segment AB utočki D,asegment AC utočki E, dijeli zadani trokut na trokut ADE i četverokut BCED.NekajeAD = i AE =. a) Odredi vezu izmedu - i ako trokut ADE i četverokut BCED imaju iste opsege. b) Odredi vezu izmedu - i ako trokut ADE i četverokut BCED imaju iste površine. c) Za koje vrijednosti od i trokut ADE i četverokut BCED imaju i jednake opsege i jednake površine? d) Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom zadanog trokuta ABC oko stranice AB... Zadane su funkcije f () = i g() =( )+. a) U istom koordinatnom sustavu nacrtaj grafove funkcija f i g. b) Riješi jednadžbu f () =g(). c) Izračunaj površinu onog dijela ravnine koji je ome - den grafovima zadanih funkcija i pravcem =..4. Kružnica s jednadžbom ( = ) 0 je upisana jednakokračnom trokutu ABC s kracima AC i BC, te vrhom C 5,. a) Odredi ostale vrhove trokuta. b) Pod kojim se kutom iz središta kružnice vidi stranica AB trokuta?.5. Zadana je krivulja = +. a) Nacrtaj graf zadane krivulje. b) Odredi jednadžbu tangente krivulje u njenoj točki T( 0, 0 ). c) Odredi T( 0, 0 ) iz uvjeta da trapez odreden - tangentom na krivulju u točki T,te pravcima = 0, = i = 0 ima najmanju površinu.

10 44 II. DIO Zadaća... a) U skupu kompleksnih brojeva riješi jednadžbu z = 0 i skiciraj njena rješenja u Gaussovoj ravnini. b) Nadi - moguće vrijednosti izraza z + z + akojez rješenje gornje jednadžbe. c) Ako je z ono kompleksno rješenje jednadžbe iz a) koje nije realno, { pojednostavi a b = 6 izraze a =( + z + z ) i b =( + z + z ) i dokaži da vrijedi a + b = 4... Zadana je parabola = 4. a) Pokaži da tetiva PQ, gdje je P(, > 0) i Q(, ), prolazi fokusom parabole. b) Na - di sjecište normala povučenih na parabolu u točkama P i Q i provjeri da se ono nalazi na paraboli =. c) Na - di površinu lika ome - denog parabolom i tetivom PQ... Od kocke brida a odsijeku se ravninama vrhovi tako da od svake strane kocke nastane pravilni osmerokut. a) Nadi - stranicu tog osmerokuta. b) Nadi - oplošje nastalog tijela. c) Nadi - obujam nastalog tijela..4. a) Odredi domenu i skiciraj graf funkcije f () =log ( ). b) Nadi - zadanoj funkciji inverznu te i nju nacrtaj u istom koordinatnom sustavu. c) Riješi nejednadžbu f () > (g f )(), gdje je g() = U jednakokračnom trapezu zadana je veća osnovica a = 0 cm, a kut uz nju neka je α. Dijagonala trapeza okomita je na bočni brid. a) U ovisnosti o kutu α izračunaj duljinu dijagonale i visinu trapeza. b) U ovisnosti o kutu α izračunaj površinu trapeza. c) Za koji α je površina najveća? d) Nadi - najveću površinu.

11 MATURALNE ZADAĆE 45 Zadaća... a) U skupu kompleksnih brojeva riješi jednadžbu z + = 0iprikaži njena rješenja u Gaussovoj ravnini. b) Dokaži da je z k z k = zasvakorješenje z k zadane jednadžbe. c) Izračunaj A k =(z k +4z k i) za svako rješenje z k zadane jednadžbe i pokaži da je Im A k = 0. k.. Zadan je trokut svojim vrhovima A(, ), B(, 5) i C(4, ). a) Provjeri da je trokut pravokutan. b) Odredi mu kutove. c) Izračunaj mu površinu. d) Napiši jednadžbu kružnice koja je opisana trokutu. e) Izračunaj površinu kružnog odsječka izmedu - stranice BC ikružnice... Pravac = 0 je zajednička tangenta elipse a + b = i konfokalne parabole = p. a) Odredi jednadžbe krivulja i nacrtaj ih. b) Pokaži da se dio tangente izmedu - dirališta vidi iz zajedničkog fokusa pod pravim kutom. c) Izračunaj površinu dijela ravnine omedenog - zadanom tangentom, osi i lukom parabole..4. Zadan je krug polumjera 0 cm, a AB je jedan njegov promjer. Tetiva AC zatvara s tim promjerom kut α. a) Izračunaj duljinu tetive AC u ovisnosti o α. Tetiva AC rotira oko promjera AB. b) Izračunaj visinu nastalog stošca u ovisnosti o α. c) Izračunaj obujam stošca u ovisnosti o α. d) Za koji α je obujam stošca najveći? e) Koliki je najveći obujam?.5. a) Zadana je funkcija f () =. Zakoje vrijedi f () 0? b) Odredi prirodno područje definicije funkcije g()= ln(+ ). c) Napiši jednadžbu tangente na graf funkcije g utočki 0 = 0.

12 46 II. DIO Zadaća Točke A(0, ), B(, 7), C(, ), D(, 0) pripadaju grafu polinoma f trećeg stupnja. a) Odredi polinom f i nacrtaj graf tog polinoma. b) Odredi jednadžbu pravca AB. c) Odredi površinu ome - denu grafom polinoma f i pravcem AB. 4.. Zadana je elipsa = 5. a) Izračunaj duljinu njezine tetive MN ako je M( e, 0) i N( 0, 5 ), e je linearni ekscentricitet. b) Odredi sjecište S tangenata te elipse povučenih u točkama M i N. c) Pod kojim se kutom iz točke S vidi zadana elipsa? d) Trokut, što ga tangente elipse u točkama M i N zatvaraju s osi, rotira oko te osi. Koliki je obujam tako nastalog tijela? 4.. a) Kompleksni brojevi z i w zadovoljavaju jednadžbu w = z 6i.AkojeRew = 0, z+8 pokaži da kompleksni brojevi z leže na kružnici i nadi - njenu jednadžbu, koordinate središta te radijus. b) Ako je Im w = 0, pokaži da kompleksni brojevi z leže na pravcu i nadi - njegovu jednadžbu u segmentnom obliku. c) Odredi površinu koju taj pravac zatvara s koordinatnim osima i kut kojeg pravac zatvara s pozitivnim smjerom osi Pravilni šesterokut stranice a rotira oko jedne svoje stranice. Na - di oplošje i obujam dobivenog rotacionog tijela Zadane su funkcije f () =( + ) i g() =. a) Odredi domenu funkcija f, g i funkcije h = f g b) Prikaži funkciju h kao zbroj četiriju pribrojnika. 9 ( +) c) Primijeni rezultat zadatka b) i izračunaj I = d. d) Odredi I koristeći supstituciju u = +. 0

13 MATURALNE ZADAĆE 47 Zadaća a) Dokaži da za bilo koje realne brojeve a, b, c i d uvijek vrijedi relacija: (ac bd) +(ad + bc) =(ac + bd) +(ad bc) =(a + b )(c + d ). b) Koristeći izraz pod a) ili drugačije pokaži da za kompleksne brojeve z, w vrijedi: zw = zw = z w, gdje je w konjugirano kompleksni broj broja w. c) Pokaži da svi kompleksni brojevi z koji zadovoljavaju jednadžbu z + = z i, z C leže na pravcu u kompleksnoj ravnini; na - di jednadžbu tog pravca i nacrtaj ga. 5.. Rješenja jednadžbe log + log = [log( 4 + 5)+log 0] su deseti i jedanaesti član rastućeg aritmetičkog niza. a) Odredi te članove, te prvi član i razliku danog niza. b) Koliko članova niza treba zbrojiti da se dobije 64? c) Odredi domenu funkcije f () =log( 4 + 5). d) Zapiši funkciju pod c) pomoću logaritma u bazi e. e) Pokaži da funkcija pod c) ima ekstremnih vrijednosti i na - di ih. 5.. Kvadrat stranice a rotira oko pravca koji prolazi jednim vrhom tog kvadrata okomito na dijagonalu koja prolazi istim vrhom. Odredi obujam i oplošje nastalog rotacionog tijela Zadana je funkcija: f () =sin cos. a) Napiši f () u obliku f () =r sin( ϕ). b) Odredi amplitudu i period funkcije f. c) Skiciraj graf te funkcije na intervalu [ π, π]. d) Nadi - sva rješenja jednadžbe f () = na tom intervalu a) U pravokutnom koordinatnom sustavu skiciraj dio ravnine odre - dene nejednadžbama: + > Odredi vrhove nastalog ravninskog lika. b) Odredi obujam tijela koje nastaje rotacijom tog lika oko osi i rezultat zaokruži na najbliži cijeli broj. c) Odredi jednadžbu kružnicenakojojleže vrhovi dobivenog lika te odredi njeno središte i radijus.