TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA 2

TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA Poglvlj. Nodrđni ingrl Poglvlj. Odrđni ingrl Poglvlj. Nprvi ingrli Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Mr.sc. Pronil Loknr

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL.... Dfinicij nodrđnog ingrl.... Osnovn svojsv nodrđnog ingrl.... Tlic nodrđnih ingrl.... Mod ingrirnj..... Dirkno ingrirnj..... Mod supsiucij... 6.. Zdci z vjžu..... Mod prcijln ingrcij..... Zdci z vjžu... 8. Ingrl rcionln funkcij... 9 P ( ).. Ingrli olik d... 9 Q ( ) P ( ).. Ingrli olik d... 9 Q ( ).. P ( ) Ingrli olik d... Q ( ).. Ingrirnj prv rcionln funkcij..... Ingrirnj nprv rcionln funkcij.....6 Zdci z vjžu... 8.6 Ingrirnj rigonomrijskih funkcij... 9.6. Ingrli olik R (sin,cos ) d... 9 n n.6. Ingrli olik sin d i cos d....6. Zdci z vjžu... 7 m n.6. Ingrli olik sin cos d... 8.6. Ingrli olik sin sin d, sin cos d i cos cos d....6.6 Zdci z vjžu... ODREĐENI INTEGRAL.... Dfinicij odrđnog ingrl.... Osnovn svojsv odrđnog ingrl... 6. Mod supsiucij kod odrđnog ingrl.... Zdci z vjžu... Mr.sc. Pronil Loknr

. Prcijln ingrcij kod odrđnog ingrl....6 Zdci z vjžu... NEPRAVI INTEGRALI.... Ingrli nd nomđnim inrvlim.... Ingrli nomđnih funkcij... 8 PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA... 6. Površin... 6.. Površin u prvokunim koordinm... 6.. Zdci z vjžu... 7.. Površin u prmrskim koordinm... 7.. Površin u polrnim koordinm... 76.. Zdci z vjžu... 8. Duljin luk krivulj... 8.. Duljin luk u prvokunim koordinm... 8.. Duljin luk u prmrskim koordinm... 8.. Zdci z vjžu... 86. Volumn rocijskog ijl... 87.. Zdci z vjžu... 99 Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl NEODREĐENI INTEGRAL Nk j f rln funkcij zdn n sgmnu [, ]. Ako funkcij f im drivciju u svkoj očki ovornog inrvl I,, ond j im dfinirn jdn nov funkcij f ' (), z svki I. N primjr, sinus funkcij im drivciju z svki R i ko j R, ond j (sin)' cos, j.drivcijom sinus dfinirn j nov kosinus funkcij. Posvlj s sd supron prolm. Z zdnu funkciju f:, R, d li posoji funkcij F:, R, kv d j F '() f(), z svki,? Odgovor n o pinj i odrđivnj funkcij F j sdržj ovog poglvlj.. Dfinicij nodrđnog ingrl Dfinicij. Nk j f rln funkcij zdn n I,. Svku funkciju F nzivmo primiivnom funkcijom ili nidrivcijom funkcij f n inrvlu I, ko z svki I vrijdi d j F '() f(). Primjr. F() j primiivn funkcij funkcij f(), jr j F '() () f(). Primjr. F() rcg j primiivn funkcij funkcij f() F '() (rcg) f()., jr j Ako j f(), ond j F (), li i F (), jr j F '() F '() f(). Slijdi d j F () F () konsn. Dkl svk dvij primiivn funkcij nk zdn funkcij rzlikuju s z konsnu. To znči d ko znmo jdnu primiivnu funkciju F nk funkcij f, drugu primiivnu funkciju možmo nći dodvnjm proizvoljn konsn. Dfinicij. Skup svih primiivnih funkcij dn funkcij f n inrvlu I nodrđnim ingrlom funkcij f n inrvlu I. Nodrđni ingrl funkcij f oznčvmo s, nzivmo f ( ) d. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Dkl j šo krć pišmo u oliku f ( ) d {F() c: R} f ( ) d F() c, c R. Primjr. ) Budući d j (), o j funkcij F() primiivn funkcij funkcij f(), p j d d c, c R. ) Kko j (g) cos, o j F() g nidrivcij funkcij f() cos d g c, c R. cos, p j c) Kko j (cos) sin, o j F() cos nidrivcij funkcij f() sin. Dkl j ( sin ) d cos c, c R.. Osnovn svojsv nodrđnog ingrl Iz dfinicij nodrđnog ingrl i svojsv drivcij slijdi: d d. ( f ) d ( ) f(), j. drivcij ilo koj primiivn funkcij F() c j jdnk f(). df. d f() c. d. f ( ) d f ( ) d, j konsn.. [ ) g( ) ] d f ( ) d ± f ( ± g( ) d. Svojsv. i. pokzuju d su drivirnj i ingrirnj n nki nčin jdn drugom invrzni. Svojsv. i. pokzuju d nodrđni ingrl im svojsvo «linrn funkcij». Nim nk funkcij f j linrn, ko z nju vrijdi d j: f() f() f( ) f() f(). Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Ilusrirjmo nvdn svojsv sljdćim primjrom. Primjr. d d d d ( sin d) ( cos c) sin sin d d d cos d sin c 8 d 8 d 8 c ( cos ) d d cos d d d sin ln c.. Tlic nodrđnih ingrl. d c. d c. n n d c,( n ) n. d ln c, ( ) (N svkom inrvlu koji n sdrži ). d c, ( > i ) ln 6. d c 7. sin d cos c 8. cos d sin c 9. d g c,( (k), k Z) cos. d cg c, ( k, k Z) sin. cos cgd d ln sin c,( k, k Z) sin. sin gd d ln cos c,( (k ), k Z) cos. d rcg c Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl. d ln c. d rcsin c, < 6. d ln ± ± c, shd d ch c chd d sh c 7. 8. 9. d ch c sh. d h c ch. hd ln ch c c c. chd ln sh c. Odrđivnj primiivn funkcij F z zdnu funkciju f nij uvijk ko jdnosvno. Čk z jdnosvn funkcij ko šo su, sin sin, primiivn funkcij nij ni jdn od poznih lmnrnih funkcij. Ingrl kvih funkcij nij jdnosvno izrčuni i z njih kžmo d nisu lmnrni, z funkciju F z koju j F'() jdn od kvih funkcij kžmo d nij lmnrn. Evo nkoliko kvih ingrl: d, sin d d,, sin d ln.. Mod ingrirnj.. Dirkno ingrirnj Njjdnosvnij mod ingrirnj j dirkno ingrirnj, gdj korisimo osnovn svojsv i licu nodrđnih ingrl. Primjr. Dirknim ingrirnjm nđimo sljdć ingrl: ) ) d ln g c cos ln Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl 8 7 ) ( ) d ( ) d c 8 7 8 8 9 8 8 c 7 c) d d d d 6 d d 7 6 9 6 9 6 6 7 c c 9 7 9 7 d) d d d d d c c 9 d ) d d d rcsin c ln d d ch ch f) sh d shd ln ch h c 7 d d ln g) d d h) rcg c rcg c 6 6 6 6 6 6 rcg ( ) c. 78 6 c Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr 6. Trnsformcijom podingrln funkcij, zim dirknim ingrirnjm rjšimo sljdć ingrl: cos sin ) sin d d d cos d c cos cos sin d c ) cos d d d sin cos sin c 8 8 c) sin cos d d d cos sin cos d d c sin cos cos sin d) d d g cg sin sin cos d g c cos cos cos ) d d d d g.. Mod supsiucij Ako primiivnu funkciju F funkcij f odnosno f ( ) d n možmo nći dirknim ingrirnjm pokušvmo o nprvii modom supsiucij: uvođnjm nov vrijl ili nov funkcij. Dkl, pokušv s uvsi nk supsiucij ϕ( ) kojom s dni ingrl svodi n lični ili j jdnosvniji z izrčunvnj od polznog. Primjr 7. Rjšimo sljdć primjr uvođnjm odgovrjuć nov vrijl:, d d, d ) d d c d, d d, c d d ) sin( ) d sin d cos c cos( ) c) ln ln d ln, d d d c c d) cos cos cos sin d d c c d d sin ln ln Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nodrđni ingrl d d rcsin c ) d, d d rcsin c cos d sin d f) rcg rcg(sin ) c sin cod d d, d d, g) rcg c rcg d d d 8, d d d h) d ln c ln( 8 ) c 8 d d d d i) ln c ln c. d d cg(ln ) d cos j) d ln d cgd d sin z,cosd dz sin dz ln z ln sin ln sin ln c. z c Primjr 8. Modom supsiucij rjšimo sd nšo složnij primjr:, ) d ( ) ) d ( ) d d d 8 8 d 8 d c ( ) ( ) c ln ln d c ln d d ) d d ( ) ln ( ln ) c ( ln ) ln c Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Nodrđni ingrl cos sin d d c) cos sin d d rcsin c cos d sin cos rcsin c rcsin d) d rcsin d d d rcsin c sin sin sin cos cos g cos, d cos d d sin d g cos g, d d cos ) ln c ln g c d d ( ), d ( ) f) d d d d d ln ln c ln ln( ) c ln( ) c,, g) sh h d ln d d, ln d d hd d ln ln ch d d ln ln d ( ch) ch ln ln ch ln ln ch c d h) d d d rcsin J, gdj j d, d d d J c c, p j d d d rcsin c Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Nodrđni ingrl d d i), d d d zdz z, d zdz dz z c z d d d d j) ( ) ( ) d d rcsin c rcsin( ) c [ ] Mod supsiucij mož s ssoji i u uvođnju nov funkcij, ko šo s o vidi u sljdćm primjru: Primjr 9. sin, cosd cos d ) d sin cosd rcsin sin rcsin c,cos, cos ) d cos sin d sin d cos d cos cos sin cos d cos d g c c cos cos cos cos. Uoči d smo nvdni ingrl mogli puno rž rjšii supsiucijom ko u zdku 8 h): ko j, d j d d, p j d d d c. d Iso ko, mož s uočii d j: [ c] npm mogo rjšii, ko s zn doro driviri. d, p s ingrl Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Nodrđni ingrl Z ingrl koji u podingrlnoj funkciji sdrž, čso s koris hiproln supsiucij. Kod kvih supsiucij koris s sljdć osnovn rlcij: ch sh ch sh ch ch sh shch ch ch sh d Td i, korisći hiprolnu supsiuciju ch, odkl j d shd, pršo u ch ch shd shd chd sh ch c. ch sh d c) g, d d d ( ) cos cos ( g ) g Korisći rigonomrijsk rnsformcij: sin cos g g g slijdi d j dni ingrl jdnk cos cos d d cos sin cos c sin,cos d d d) cos sin d ( sin ) sin cos d cos sin 6 7 ( ) d ( ) d d d sin 7 7 sin c sin sin c 7 7 7 Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl ch sh sh ch d sh 8 8 ) ( ) d ch, d shd ( ch ) shd sh d d ch d chd d 8 ( ) sh sh c shch sh ch rch c 8 8 ( ch ) ch ch ln( ) shch c 6 8 ( ) ln( ) c ( ) ln( ) c 8 8 8 8 Kod nkih ingrl, koj smo svili u licu nodrđnih ingrl, primiivn funkcij nij š odmh vidljiv. Ingrl. u lici mož s jdnosvno ojsnii supsiucijom: Primjr. sin cos d gd d ln ln cos c. cos sin d d.. Zdci z vjžu. Dirknim ingrirnjm izrčunj sljdć nodrđn ingrl ) ( ) d ) ( ) d c) ( ) d d) d ) d f) d g) d h) cg d Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl. Modom supsiucij rijši sljdć jdnosvn d ) ( ) ) d c) d d) d d ) ( 8 ln f) d d g) 7) h) ( ) 9 d. Modom supsiucij izrčunj nšo složnij sljdć nodrđn ingrl ) d ln ln(ln ) ) d sin c) cos sin cos d) d sin sin d ) cos d f) sin cg rcg g) d rcg h) d Rjšnj. 7 6 ) 8 c 7 ) 7 6 7 7 c 7 c) c 7 d) c 7 ) c ln ln Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl f) c g) ln c h) cg c. ) ( ) c ) ( ) c 6 7 c) ( ) ( ) c 7 d) ln( ) c ) 8 7 c 8 f) ln c 6 g) rcg 8 6 h) ( 9). ) ln(ln(ln))c ) cos c c) 7 9 sin sin sin c 7 d) ln(sin )c ) cos c Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl f) cg c g) rcg c h) rcg c... Mod prcijln ingrcij Čso s kod ržnj primiivn funkcij f(), koj s n mož nći dirknim ingrirnjm ili supsiucijom, korisi mod prcijln ingrcij. Nk su u, v:, R difrncijiln funkcij n ovornom inrvlu, Z drivciju produk dviju difrncijilnih funkcij u() i v() vrijdi d j [u() v()]' u'() v() u() v'() Odvd slijdi u() v'() [ u() v()]' u'() v() Ingrirnjm slijdi: ' u( ) v'( ) d [ u( ) v( ) ] d u'( ) v( ) d u( ) v( ) u'( ) v( ) d Ingrirnj primjnom npisn formul zov s prcijln ingrcij s im d npisn drivcij i npisni ingrli posoj (dovoljno j uzi d su u i v nprkidno driviln funkcij). Kko j u'()d du v'()d dv, krći olik formul z prcijlnu ingrciju glsi: u dv u v v du. Očio s modom prcijln ingrcij n rjšv dni nodrđni ingrl, vć s prolm svodi n prolm uz nki izor u i dv. Tj izor mor ii kv d ud udv vdu vdu jdnosvniji ili rm iso oliko žk ko i počni udv. Ako s prcijlnom ingrcijom doij složnij podingrln funkcij, primjnjuj s ili drugi izor u i dv ili drug mod z rjšvnj dnog ingrl. Mod prcijln ingrcij s čso korisi i zhjv odrđnu vjšinu, koj s sjč smo vjžnjm. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr. u, du d, ) d dv d, v d c ( ) c ; u, du d, dv d, ) d d v d, d d d d u,du d d c d dv d,v d 8 6 c ; u sin, du cosd u cos, du sind c) sin d sin d dv d v d cos, dv d, v [ cos sin d] sin cos 9 sin sin d Iz doivn jdnkosi, koju smo doili primjnom dvosruk prcijln ingrcij, slijdi: odkl j: sin d sin cos, sin d (sin cos) c ; u, du d d) cos d sin sin d dv cos d, v cos d sin u, du d, dv sin d cos cos sin cos d v sin d sin cos sin c. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Općnio ingrli olik F( ) α cos βd, α, β R, α, β, rjšvju s prcijlnom ingrcijom u kojoj uzimmo d j ksponncijln funkcij u, rigonomrijsk v, slijdi: Odl j u α, du α α d sin β cos βd dv, v β α sin β α α F( ) sin βd. β β Ponovnom primjnom prcijln ingrcij s isim izorom u i v: slijdi d j: α u, du α α cos β sin βd dv, v β α α α sin β α cos β α α sin β α α α F( ) cos βd cos β F( ) β β β β β β β Odl j odnosno α β β F( ) β sin β α cos β β α α F( ) ( β sin β α cos β) c. α β, d u rcg, du rcg ) rcgd d d dv, v Jr j: slijdi d j rcg d rcgd d d rcg rcg c ( ) rcg ( ) c. Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nodrđni ingrl ln d u ln, du d u ln, du Primjr. ) ln d ln ln d dv d, v dv d, v d ln ln ln ( ln ) ln ln c d u sinln, du cosln d cosln d dv d, v ) sin lnd sinlncosln sinln ; d u cos ln, du sin ln d sin ln cos ln sin ln sin ln cos ln sin ln d dv d, v Odl j odnosno sin ln d sin ln cos ln, sin ln d (sin ln cosln ) c ; d u ln, du ln c) d ln d ln ln ln ln d dv d, v u ln, du dv d, v d ln d ln 8 8 ln ln d 9 9 8 6 ln ln 9 7 c ( 9ln ln 8) c 7 ; Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Nodrđni ingrl u, d du, d d) d g gd g ln cos c cos dv, v g cos... Zdci z vjžu.modom prcijln ingrcij izrčunj sljdć jdnosvn nodrđn ingrl: ) ln( ) d ) sin d c) rcgd d) d ) sin d f) rccos d g) d Rjšnj: ) ( )ln( ) c ) cos sin c c) rcg ln( ) c d) c ) (sin cos ) c f) rccos c 9 g) ( ) c Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Nodrđni ingrl. Rzličiim modm izrčunj sljdć nšo ž nodrđn ingrl: ln ) d cos ) d sin rcsin c) d d) ln d ) rccos d Rjšnj ) ( ) c ) ( cg) c sin c) rcsin c d) ln( ) ln c ) rccos rccos c. Ingrl rcionln funkcij Pn ( ) Ingrirnj rcionln funkcij d, gdj su P n () i Q m () polinomi n-og odnosno m- Qm ( ) og supnj, zpoč ćmo s njjdnosvnijim slučjm: P ( ).. Ingrli olik d Q ( ) P ( ) Ingrli olik d, gdj j P() A i Q(). Q ( ) P ( ).. Ingrli olik d Q ( ) A A d A d, d d ln( ) c. P ( ) Ingrli olik d, gdj j P () A i Q () c. Q ( ) Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Nodrđni ingrl d c A rjšvmo ko d Q () npišmo u oliku punog kvdr c ) ( ) ( ) ( ) ( k u u k k u k u zim supsiucijom doijmo ili lični ingrl roj ili. Primjr. ) ( ) c rcg d d d d d, 8 ; ) d d d d d, 9 c c c ln 8 ln ln ; c) ( ) ( ) d d d d d, 6 9 6 c rcg rcg d 6 ; d) ( ) ( ) d d d d d d 6 c rcg rcg d ) ( ; Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl.. Ingrli olik d Q P ) ( ) ( Ingrli olik d Q P ) ( ) (, gdj j P () A B i Q (), d ingrl c d c B A rjšvmo ko d prvo P () npišmo ko difrncijl Q (), n j nčin ć prvi ingrl uvjk ii lnq (), drugi ili. ili. lični ingrl. Primjr. ) ( ) ( ) d d d d 8 8 8 ( ) ( ), 8 8 8 d d d d d d ( ) ( ) c rcg c rcg 8 ln 8 ln ; ) ( ) ( ) d d d d ( ) ( ) ( ) 9 8 8 d d d d d d ( ) ( ) c rcg c rcg 8 8 ln 8 ln... Ingrirnj prv rcionln funkcij Ingrirnj prv rcionln funkcij ) ( ) ( Q P m n, n < m, provodimo ko d j rsvljmo n prcijln rzlomk. Ako j polinom Q m () prv rcionln funkcij ) ( ) ( Q P m n dn u fkorizirnom oliku Q m () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m l r r k l k k g f c L L Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Td s ) ( ) ( Q P m n mož npisi ko zroj prcijlnih rzlomk, odnosno d B d B d A d A Q P k k k k m n ) ( ) ( ) ( ) ( L L d c E D d c E D d C d C r r r k l k l l l ) ( ) ( L L L d g f G F d g f G F m m m r r r ) ( L L, gdj su konsn koj s odrđuju modom nodrđnih koficijn. l rm r k k G G D D C C A A,,,,,,,,,,,,, K K K K K K Primjr. ) d d ) )( (. Rsv podingrln funkcij j: ) )( ( C B A. Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi:. C C B B A A Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni jdnkosi doivmo susv: A B C B C A Slijdi d j A. Zrjnjm prv dvij jdndž i uvršvnjm A, slijdi d j B i C. Sd j ) )( (, Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl p j d d d d c ln ln( ) ln( ) ln ( ) ( ) gdj smo u drugom ingrlu korisili supsiuciju i u rćm ingrlu z. c ) d. ( )( ) Rsv podingrln funkcij n prcijln rzlomk j: ( )( ) A B c. Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi: A A B B C C. Ako izjdnčimo koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni jdnkosi doivmo: A B B C A C. Zrjnjm prv dvij jdndž doivmo A C. Zrjnjm s rćom jdndžom slijdi: A, B, C. Sd j ( )( ), p j ( )( ) d d d ln( ) d ln( ) ln( ) rcg c, gdj smo u prvom ingrlu korisili supsiuciju, u drugom z. d ) c) d (. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Rsv podingrln funkcij n prcijln rzlomk j: ( ) A B C. Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi: A A B B C. Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij, doijmo sljdći susv: A C A B B. Odl proizlzi d j A, B, C. Prm om j: d ( ) d d.. Ingrirnj nprv rcionln funkcij d ln ln( ) c Pn ( ) Ingrirnj nprv rcionln funkcij, n m Qm ( ) Ako j supnj polinom rojnik vći ili jdnk supnju polinom nzivnik, uvijk ćmo prvo podjlii rojnik s nzivnikom: P n () : Q m () C n m () R(), Gdj j C n m () polinom (n m ) supnj, R() osk Q (m) m j prv rcionln funkcij. 9 Primjr 6. ) I d. 8 Djljnjm polinm rojnik s onim u nzivniku slijdi: p j I d ( ) 9 8 8 Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl 8 8 d( 8 ) ( 8) d d 8 8 d 7 8 d 8 8,( 8) d d d d 7 ( ) z d dz dz ln 7 z ln( 7 8 ) rcg c. ) I d Djljnjm polinom rojnik s polinomom u nzivniku slijdi: :( ) p j I d d d I Gdj j I j prv rcionln funkcij, koju d i ingrirli mormo rsvii n prcijln rzlomk : A B C. ( )( )( ) Množnjm jdnkosi s zjdničkim nzivnikom slijdi d j: (A B C) ( A 6B) ( A B C). Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni doivmo susv: A B C A 6B A B C. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Zrjnj prv i rć jdndž, zim novo doivn jdndž i drug sljd koficijni: A, B, C, p j I d d ( )( )( ) d d d Dkl j ln( ) ln( ) ln( ) c. I ln( ) ln( ) ln( ) c. Primjr 7. Ingrl olik ( ) d F,( n,,,...; ) ( ) n koji s jko čso n pojvljuj ćmo posno rzmorii. Krnimo s prcijlnom ingrcijom: d j u n ( ) ( ) d dv, v, du n n d ( ) F d ) n ( ) n ( n d n n ( ) ( ) ( ) d d d n ( ) ( ) n n n n ( ) ( ) n n n Slijdi d j: odkl j: F nf ( ) n F ( ). ( ) ( ) n n n ) nf ( ) n F ( ), n ( n n n n Fn ( ) F ( ) n n. n n ( ) Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nodrđni ingrl Kko j z n, F () lični ingrl j.: o j F d ) rcg c (, F ( ) F ( ) rcg c. Primjr 8. Rjšimo jdn složniji primjr u kojm ćmo iskorisii rkurzivnu formulu iz primjr 7: F() d. ( ) Prvo ćmo podingrlnu funkciju rsvii n prcijln rzlomk ko d j: A B ( ) ( ) C D. D ismo odrdili koficijn A, B, C, D, pomnoži ćmo cijlu jdndžu s ( ). Tim doivmo: C D (A C) B D. Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom s lijv i s dsn srn jdnkosi doivmo susv Odl j C D A C B D A, B, C, D. Slijdi d j ( d F ) ( ) ( ) d d d d d,d d rcg ln rcg ). ln( rcg c Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr 9. d d d ( ), d d (( ) ) ( ) I gdj j d ( ) ( d ) I I, d z dz I c ( ) d dz, z z ( ) I ( d ) j prm rkurzivnoj formuli vrijli, z n i jdnk: n Fn ( ) F ( ) n n u n n ( ) Dkl j I rcg c. ( ) I rcg c rcg c ( ) ( ) ( ) ( [ ) ] rcg( ) c rcg( ) c..6 Zdci z vjžu ) d 8 ) d ( 8) c) d ( )( ) d) ( )( ) d ) d Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Nodrđni ingrl Rjšnj: ) ln( 8) rcg c ) ln( 8) ln c 8 8 c) ln( ) c d) ln( ) ln( ) rcg c ) ln ( ) c..6 Ingrirnj rigonomrijskih funkcij.6. Ingrli olik Ingrli olik R (sin,cos ) d R (sin,cos ) d, gdj j R rcionln funkcij koj ovisi o sin i cos, P supsiucijom g n ( ) (zv. univrzln supsiucij), s svod n ingrl d, j. Qm ( ) rcionln funkcij u vrijli. Ako j g d j sin sin cos sin cos g sin cos g cos cos sin cos sin sin cos g g Ako j g, d j rcg d, odkl j d. Primjr. Korisći s univrzlnom supsiucijom rjši sljdć ingrl: d d d ) d sin cos Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Nodrđni ingrl d d rcg c rcg( ) c rcg(g ) c d ) I cos d d ln g ln g c ; Ingrl I možmo rjšii i drugom rigonomrijskom supsiucijom, nkon šo smo rnsformirli podingrlnu funkciju: I cos d cos d d sin,cos d d cos sin ln ln sin sin ln sin sin c ; Čini s ko d su rjšnj rzliči. To s čso dogđ kod ingrl rigonomrijskih funkcij. Jdnosvnom rnsformcijom mož s pokzi d su rjšnj is: ln sin sin g g ln g g ln g g g g ln g g g ln. g sin c) sin cos d ( sin ) d ( ) sin cos d ln c g g ln g c. sin cos d) d d sin cos Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl d ( )( d. ) Rsvimo podingrlnu funkciju n prcijln rzlomk: j. ( )( ) A B C D, (A B C) (A C D) (A B D) A. Iz jdnkosi proizlzi d j A, B, C i D. P j sin cos d sin cos d d d g [ ln ln( ) rcg c] ln g ln( g ) c ln c. g Čso s umjso univrzln supsiucij rigonomrijsk supsiucij: g, rdi jdnosvnosi koris i sljdć. cos, ko podingrln funkcij R(sin, cos) mjnj prdznk, kd s promjni prdznk svkoj funkciji sin koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji j. ko j R( sin, cos) R(sin, cos);. sin, ko podingrln funkcij R(sin, cos) mjnj prdznk, kd s promjni prdznk svkoj funkciji cos koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji j. ko j R(sin, cos) R(sin, cos);. g, ko podingrln funkcij R(sin, cos) n mjnj prdznk, kd s promjni prdznk svkoj funkciji sin i cos koj s pojvljuju u podingrlnoj funkciji j. ko j Kod supsiucij g : R( sin, cos) R(sin, cos). sin g i g cos, g d I kko j rcg slijdi d. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr. Korišnjm odgovrjućih supsiucij rjši sljdć ingrl rigonomrijskih funkcij: sin sin ) d. cos Ako promjnimo prdznk funkciji sin u podingrlnoj funkciji, doivmo sin ( sin ) cos ( sin ) sin sin cos sin j. R( sin, cos) R(sin, cos), p j njolj korisii supsiuciju cos, d j sin d d sin ( sin ) d d d cos sin d d d d d ln c cos cos ln c ; cos cos cos ) d sin sin Ako promjnimo prdznk svkoj funkciji cos koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji, doivmo ( cos ) ( cos ) sin sin cos sin cos sin, j. R(sin, cos) R(sin, cos). Kko j podingrln funkcij pri oj promjni prdznk cos promjnil prdznk, korisimo supsiuciju sin, cos d d. Slijdi d j cos sin cos sin d cos cos cos sin sin sin sin sin sin ( ) ( )( ) d d ( )( ) ( )( ) d ( ) d d c sin cos sin c ; Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl cos c) d sin cos Ako promjnimo prdznk svkoj funkciji sin i cos koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji doivmo cos cos cos ( sin ) ( cos ) ( sin cos ) ( sin cos ) j. R( sin, cos) R(sin, cos). Kko podingrln funkcij pri oj promjni prdznk sin i cos nij promjnil prdznk, korisimo supsiuciju g,, z koju j ond Slijdi d j sin cos cos d sin, ( ) ( ) d cos i d d d. Rsvom podingrln funkcij n prcijln rzlomk j B C ( )( ) A Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi A A A B B C C. Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinm n lijvoj i dsnoj srni slijdi susv A B A B C A C Odl j A, B i C, p j d d d ln( ) d 6 ln( ) d ln( ) d d 6 6 6 Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl ln( ) 6 ln( ) rcg ln(g ) 6 ln(g g ) g rcg c. g, rcg d) I g d d d d Djljnjm polinom rojnik i polinom nzivnik doivmo: p j : ( ), g g ( ) ln( g ) c I d ln. n n.6. Ingrli olik sin d i cos d n sin d, n cos d, n N, n, mogu s rjšii korisći rkurzivn formul )sin n n n n n n sin cos sin d d n n n n )cos d cos sin cos d. n n Dokz nvdnih rkurzivnih formul s mož provsi prcijlnom ingrcijm. Dokz z ): I n ( n ) n n n u cos, du cos cos d cos cod dv cosdv, sin cos n n sin ( n ) cos sin d n ( sin) d Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl Dkl j n n cos sin ( n ) cos ( cos ) d cos n sin ( n ) cos n d ( n ) cos n d. p j I ) I n n cos sin ( n ) I n ( n I, n n n ( n ) I n cos sin ( n ) I n odnosno odkl j ni, n n cos sin ( n ) I n n n n cos sin I n I. n n Primjr. 6 ) cos d cos sin d cos d 6 6 Ponovnom primjnom rkurzivn formul n cos d, slijdi d j 6 cos d cos sin cos sin cos d 6 6 cos sin cos sin cos d 6 i ponovnom primjnom n cos d j 6 cos d cos sin cos sin cos sin d 6 cos 6 sin cos sin sin c. 6 ) sin d mož s rjšii n sljdći nčin: cos sin d ( sin ) d d ( cos cos ) d Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl sin cos sin d sin 8 c ( cos sin ) sin sin cos sin sin cos 8 6 8 8 sin sin cos sin cos 8 8 8 sin sin 8 ( ) sin cos 8 cos sin sin sin cos c. 8 6 Primjnom rkurzivn rlcij imli i d j: sin d sin cos sin d 8 sin cos sin cos d sin cos sin c. 6 8 c) sin d mož s rjšii n sljdći nčin: sin d sin sin d ( cos ) d( cos ) ( cos cos ) d(cos ) cos cos cos c, ili rkurzijom sin d sin cos sin d 8 sin cos sin cos sin d sin cos sin cos cos c Isi olik rjšnj zhjvo i viš vrmn z rnsformirnj jdnog u drugo ngo smo izrčunvnj ingrl. Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nodrđni ingrl.6. Zdci z vjžu. d ) sin d ) cos d c) sin sin d) d sin cos sin ) d cos (sin cos ) f) d sin g) cos d 6 h) sin d Rjšnj. ) ln g c ) g rcg c) g rcg d) ln( g ) ln( g ) c ) cos g cos f) ln g g) sin sin sin h) sin sin sin 6 6 8 Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Nodrđni ingrl m n.6. Ingrli olik sin cos d Ingrli olik I m m n, n sin cos d, m, n Z mogu s rjšii primjnom rkurzivnih formul: m n sin cos n m n I m, n sin cos d m n m n ili m n sin cos m m n I m n m n d m, n sin cos m n Ingrli olik I m, n sin cos d, m, n Z mogu s rjšii i pogodnim rnsformcijm podingrln funkcij u ovisnosi o om d li su m i n prni rojvi ili j rm jdn od njih nprn prirodn roj. Ako j r jdn ksponn m ili n nprn i vći od nul, ond s korisi supsiucij sin ili cos, uz korišnj osnovn rigonomrijsk jdnkosi: sin cos. Ako su m i n prni rojvi ond podingrlnu funkciju možmo rnsformiri pomoću poznih rigonomrijskih formul: sin sin cos sin cos cos,cos. Pimjr. ) sin cos d sin cos cos d sin ( sin ) ( sin sin ) d(sin ) sin sin d(sin ) sin, d(sin ) cos d d c. cos sin cos sin cos cos sin d ) d ( ) d cos [ sin d sin cos d] d sin d(sin 8 8 ) sin sin sin, d(sin ) cos d c. 6 6 Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr. Rjšimo jdn ži primjr. sin sin cos d d sin,cos d d cos cos ( ) Podingrlnu funkciju rsvimo n prcijln rzlomk: d A ( ) ( ) ( ) ( ) B C D. Množnjm jdnkosi s ( ) ( ) j ( ) B( )( ) C( ) D( )( ) A, odkl izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni slijdi susv Odkl j A C, B D. Prm om j sin d cos B D A B C D A B C D A B C D. ln ( ) ) ln( ) c sin sin ln c cos sin. sin g g g g sin cos cos g g cos sin cos cos Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Nodrđni ingrl.6. Ingrli olik sin sin d, sin cosd i cos cosd Ingrli olik: sin sin d, sin cosd, cos cosd, gdj j, R,, s mogu rjšii ko d s podingrln funkcij rnsformir pomoću jdn od sljdćih formul: sin sin [cos( ) cos( )] sin cos [sin( ) sin( )] cos cos [cos( ) cos( )]. Primjr. Jr j ) sin cos d sin cos [sin sin6], sin cos d [ sin sin 6 ] cos cos 6. d d c 8 ) sin sin d Jr j sin sin [cos - cos8] sin sin d [ cos cos8 ] sin sin 8. d d c 6 Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nodrđni ingrl c) cos cosd Jr j cos cos [cos cos] cos cosd [ cos cos ] sin sin. d d c.6.6 Zdci z vjžu ) sin cos d ) sin cos d sin c) d cos Rjšnj d) cos d sin ) g d f) sin cos d d g) sin cos d d h) sin cos ) sin sin 6 6 8 sin d ) sin 6 ) cos ) g ln cos c) cos ln cos f) cos cos6 c 8 g) g cg cg g h) g cg ln g c Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Odrđni ingrl ODREĐENI INTEGRAL. Dfinicij odrđnog ingrl Promrjmo skup T očk rvnin koji j odozgo omđn grfom nprkidn funkcij f() dfinirn n I [, ], prvcim i i, sgmnom [, ] osi, ko n slici. Tkv skup zovmo krivocrni rpz. Posvlj s pinj kko nći površinu og skup T? f() Slik. Osnovn prposvk j nprkidnos funkcij i njzin poziivnosi j. d j f: [, ] R f(), z svko I. U svrhu odrđivnj površin ko dfinirnog skup T, podjlimo inrvl [, ], <, n n djlov očkm,,, n, n, ko d j Tkvom podjlom doili smo inrvl < < < < n < n. [, ], [, ],, [ k, k ], [ n, n ]. N svkom inrvlu odrimo ilo koju očku k [ k, k ], k,, n. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Odrđni ingrl S T oznčimo prvokunik kojmu j jdn srnic duljin inrvl [, ], j., drug duljin f( ). Općnio s T k oznčvmo prvokunik kojmu j jdn srnic duljin inrvl [ k, k ], j. k k, drug duljin f( k ) z k,,, n. Površin prvokunik T k jdnk j P(T k ) f( k ) ( k k ), k,,, n. f() k k- k n Slik. Površin skup T d ć priližno ii jdnk zroju površin prvokunik P(T ), P(T ),, P(T n ), P(T n ), j. n ( ) P(T) f ( ). () k k Sum () nziv s ingrln sum funkcij f n inrvlu [, ]. Ako inrvl [, ] dijlimo n sv vći i vći roj inrvl, duljin k k svkog od njih ć ii sv mnj i žii prm. Inuiivno j jsno d ć pri om sum površin prvokunik P(T ), P(T ),, P(T n ), P(T n ) sv olj i olj proksimiri ukupnu površinu P(T) skup T. Lims ingrln sum u () kd n, ( k k ) z svki k,,, n, zovmo odrđnim ingrlom funkcij f n [, ] i pišmo n f ) d lim n k k k ( f ( k )( k k ).() Uvođnj pojm ingrl pripisuj s Nwonu i Linizu, iko s osnovn idj prpoznj vć kod srogrčkih mmičr. Mđuim, Cuch j prvi dokzo d z nprkinu funkcij posoji dni lims. Rimnn j dfiniciju () proširio n širu klsu funkcij koj nisu nužno nprkinu, n zv. Rimnn ingriln funkcij. Z ogrničnu funkciju f: [, ] R, kžmo d j Rimnn ingriln n [, ] ko lims () posoji i ko n ovisi ni o nčinu podjl inrvl [, ], ni o izoru očk k. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Odrđni ingrl Ingrl u () nziv ćmo Rimnnovim ingrlom ili smo odrđnim ingrlom funkcij f n [, ], oznčvi s: f ( ) d, i čii odrđni ingrl funkcij f od do. Funkcij f nziv s podingrln funkcij, j donj, gornj grnic ingrcij. Vidimo iz () d j lim zmjnjn s, f( k) zmjnjn j s f(), oznk d dolzi od j. od duljin inrvl [ k, k ]. k k k, Odrđni ingrl f ( ) d u () dfinirli smo z <. Z > i dfinirmo n n k f ( ) d f ( ) d i f ( ) d Iz sm dfinicij odrđnog ingrl slijdi d j f ( ) d f ( ) d f ( ) d, j. vrijlu po kojoj ingrirmo možmo oznčii kko žlimo.. Osnovn svojsv odrđnog ingrl. c f ( ) d c f ( ) d, c R, ( ). f ( ) ± g( ) d f ( ) d ± g( ) d, Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Odrđni ingrl c. f ( ) d f ( ) d f ( ) d, < c <. c Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Odrđni ingrl Gomrijsku inrprciju svojsv. ilusrir sljdć slik f() c Slik.. Ako j f() g(), z svki [, ], ond j i f ( ) d g ( ) d. Prv ri svojsv proizlz dirkno iz dfinicij odrđnog ingrl. Svojsvo. slijdi iz činjnic d ko j f() g() z [, ], ond j i n k n k ) g( k )( k k ) k f ( )(. k k Kko is njdnkos vrijdi i z lims, iz dfinicij () slijdi d j f ( ) d g ( ) d. Iz svojsv. slijdi d ko j f() n [, ], ond j i f ( ) d. Npomn: Ako j f ogrničn i ingriln funkcij n [, ] i ko f poprim i ngivn vrijdnosi, ond j c ) d f ( ) d f ( f ( ) d. c Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Odrđni ingrl f() c Slik. Dfinicij odrđnog ingrl () gomrijski j prirodn i orijski vrlo vžn, li j kod rčunnj odrđnog ingrl goovo nuporljiv. Z rčunnj odrđnog ingrl korisimo s Liniz Nwonov formulom, njvžnijom formulom difrncijlnog i ingrlnog rčun. Torm. Nk j I R ovorni inrvl i f: I R nprkinu funkcij.. Z svki inrvl [, ] I posoji f ( ) d.. Funkcij f im primiivnu funkciju n I.. Ako j F ilo koj primiivn funkcij od f n I, ond j f ( ) d F() F() F(). () Formul () nziv s Liniz Nwonov formul. Iz () vidimo d j z rčunnj odrđnog ingrl, ko i kod nodrđnog, porno zni nći primiivnu funkciju. Zo j porno doro uvjži posupk drivirnj, ond i nidrivirnj. Primjr. Primjnom Liniz Nwonov formul nđimo sljdć odrđn ingrl lmnrnih funkcij: ) ) d ; ( ) d ; c) sin d cos cos cos ( ) ; Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Odrđni ingrl d) rcg rcg rcg d ; ) ; d f) ln ln ln d ; g) sin sin sin cos sin d d ; Primjr. Izrčunjmo sljdć odrđn ingrl: ) d ) ( 8 8 6 8 6 8 6 6 8 ; ) ) ( ) rcsin( rcsin rcsin d ; c) ln ln ln ln ln d ; d) ) ( cos g g g d ; ) ln ln ln ln ) ( d d. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Odrđni ingrl. Mod supsiucij kod odrđnog ingrl U odrđnom ingrlu f ( ) d, kod zmjn vrijli nročio r pzii d s i grnic i, koj s odnos n vrijlu, promjn i nđu odgovrjuć grnic novo uvdn vrijl. Primjr. Modom supsiucij rjšimo sljdć odrđn ingrl: 9,d d ) 9d 9 d ( 9) d ( 9 ) 6 8 ; sin ln ln, d d ) d ln sin d cos cos cos ln cos; c) cos sin sin,cos d d d sin sin d ; d, d d, d ln d) d ( ) d d d ln [ ] ( ) d rcg [ rcg rcg] ( ) ; ln Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Odrđni ingrl ) d ln d ln, d d ln ln 8.. Zdci z vjžu. Modom supsiucij rjši sljdć odrđn ingrl: ) 9 d ; ln d d) ; 6 ln g) cos sin d ; ) sin d ; c) sin( ) d ; ) d ln zdz f) ; z ; d h). Rjšnj ) ) ; c) ; 98 ; d) ) ; 8 ; f) ln ; g) ; h) ln. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Odrđni ingrl. Prcijln ingrcij kod odrđnog ingrl Prcijlnu ingrciju možmo primjnii i n odrđn ingrl. Iz Nwon Linizov formul () i iz slijdi d j Odl j šo op krć zpisujmo: [ u ( ) v( ) u( ) v ( ) ] d u( ) v( c ) [ u ( ) v( ) u( ) v ( ) ] d u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) ) v ( ) d u( ) v( ) u u ( ( ) v( ) d, ( u v) udv vdu. () Primjr. ingrl: Primjnom prcijln ingrcij izrčunjmo sljdć odrđn d u ln, dv ln ln d ln d ) d ( ) d dv, v ln ln ; d u rcsin d, du d ) rcsin d rcsin dv d, v, d d rcsin d ; Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Odrđni ingrl u ln( ) du d c) ln( ) d ln( ) d dv d v 9 ln d ln ( ) d ln 9ln( ) ln 9ln 9ln ln 9 ln 9 ln ln ln d, d d, d d d) d, ln d d d 8 rcg. rcg 9 ln ;.6 Zdci z vjžu. Primjnom prcijln ingrcij izrčunj sljdć odrđn ingrl: ) ln( ) d ; ln ) d ; c) ln( ) d ; 8 ( ) 6 d) d. Rjšnj ) ln ; ) ; c) ln ; d) ( 6 ). Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nprvi ingrl NEPRAVI INTEGRALI Ingrl nngivn funkcij f n inrvlu [, ], f ( ) d, jdnk j površini onog područj ispod grf funkcij f, i znd osi, koj s nlzi izmđu i. Ako pusimo d od u skončnos, područj posj nomđno, ko šo s vidi n sljdćoj slici: f() Slik Osjnčn dio rvnin ispod grf j nogrničn, p s n prvi pogld čini d j i njgov površin skončn. To j u nkim slučjvim očno, li mož ii i krivi zključk, jr j njvći dio og skup oliko nk d mu j površin znmrivo ml. Primjr. ) Izrčunjmo ingrl d, koji j jdnk površini područj koj s prož nd inrvlom [, ], do grf funkcij f(). Šo s dogđ kd? Kko j d ( ), kd, ingrl kođr ži u skončnos jr j lim. Dkl j ( ) lim( ) lim d lim Mđuim, prv miso d j površin nomđn područj skončn, ko ni ovj primjr koji o povrđuj, n smiju ns zvri. Primjr koji slijdi jsno ć nm pokzi d površin nomđn područj mož ii končn.. Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nprvi ingrl ) Izrčunjmo ingrl d, koji j jdnk površini područj koj s prož nd inrvlom [, ], do grf funkcij f(). Šo s dogđ kd? Kolik j površin područj koj s prož nd nomđnim inrvlom [, >, do grf funkcij? Kko j d, kd, jr j lim, ingrl d ži prm, dkl j d lim lim lim. Nim, grf funkcij f() pod ) s priližv osi sporij ngo grf funkcij f() pod ) p j površin ispod njg skončn. Ovj ns primjr upućuj n o d grnic odrđnih ingrl udu, p npr. d lim u d gornjm primjru, oznčimo s i uvdmo ko novu vrsu zv. nprvih ingrl n nomđnim inrvlim.. Ingrli nd nomđnim inrvlim Ako j f() ingriln n [, ] z svki > i ko posoji končni lims lim f ( ) d ond s j lims nziv nprvi ingrl funkcij f n skupu [, i oznčv s s f ( ) d lim f ( ) d. () Mr.sc. Pronil Loknr

Poglvlj. Nprvi ingrl U om slučju još s kž d f ( ) d konvrgir. Ako lims u dfiniciji nprvog ingrl n posoji ili j jdnk ±, ond kžmo d ingrl f ( ) d divrgir (ili n posoji). Slično, ko j f() ingriln n [, ], z svki i i ko posoji končni lims lim f ( ) d ond s j lims nziv nprvi ingrl funkcij f n skupu, ] i oznčv s s Tkođr s u om slučju kž d f ( ) d lim f ( ) d. () f ( ) d konvrgir, ko lims iz dfinicij n posoji ili j jdnk ±, kž s d f ( ) d divrgir ili n posoji. Ako j f() ingriln n [, ], z svki i i ko posoj končni limsi c c lim f ( ) d i lim f ( ) d, c R, ond posoji nprvi ingrl f ( ) d Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nprvi ingrl koji dfinirmo ko c f ( ) d f ( ) d f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d. () gdj j c ilo koj očk og inrvl. c c c Ako j u im izrzim lims dsn srn končn, odrđn roj, kž s d ingrl konvrgir, ko kv roj n posoji, d ingrl divrgir. Primjr. Izrčunjmo sljdć nprv ingrl: d d ) lim lim( rcg) lim( rcg rcg) Drugim rjčim, površin ispod krivulj f(). od do j jdnk. ( ) ( ) α ) d lim d lim lim. α α Površin ispod krivulj od do jdnk j. α α α f() c) d lim d, d d lim α α α lim α α α, ingrl konvrgir. d) d d lim lim ( ) ( ) d [ rcg( ) ] lim[ rcg( ) lim ] Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Nprvi ingrl [ ] [ ]. lim rcg rcg( ) lim rcg( ) rcg Posoji i drugi ip nprvog ingrl. Ako grf od f im vriklnu simpou u runoj očki inrvl [, ], ond ingrl f ( ) d nij dfinirn n uoičjn nčin, jr funkcij nij omđn u okolini run očk, j. f() ili, kd ili. I u s susrćmo s površinom nomđn područj, šo s prož nd inrvlom [, ] ispod grf funkcij f. Područj j ovog pu nomđno u smjru osi. Njgovu površinu op možmo pronći ko lims prvih ingrl, njg ćmo op zvi nprvim ingrlom. Dkl posoj dv ip nprvog ingrl: ili područj ingrcij [, ] nij končno ili f() nij končn n dnom području ingrcij.. Ingrli nomđnih funkcij Promorimo prvo slučj kd j funkcij f nomđn n lijvom krju inrvl [, ],j. lim f ( ) ±. Ako j funkcij ingriln z sv, ] i ko posoji končn lims lim f ( ) d ond s j lims zov nprvi ingrl funkcij f n, ] i oznčv s ko oični ingrl f ( ) d lim f ( ) d. () U om slučju, rći ćmo d nprvi ingrl f ( ) d konvrgir, u supronom d divrgir. Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Nprvi ingrl Ako j funkcij f nomđn n dsnom krju inrvl [, ],j. lim f ( ) ±, i ko j ingriln z sv [,, posoji končn lims lim f ( ) d, ond s j lims zov nprvi ingrl funkcij f n [, i oznčv ko oični ingrl f ( ) d lim f ( ) d. () I u ovom slučju kžmo d nprvi ingrl konvrgir, ko j lims u dnoj dfiniciji jdnk ± ili n posoji, kžmo d ingrl divrgir, j. n posoji. Gomrijsk inrprcij nprvog ingrl funkcij f n [,, kd f nij ogrničn u j osjnčni dio n slici f() Slik Promorimo sd i slučj kd j podingrln funkcij nogrničn u nkoj očki c,, j. lim f ( ) ±. c Td s ingrl f ( ) d rsvlj očkom c,, n dv ingrl koji su nprvi prm prhodnim dfinicijm. c c f ( ) d i f ( ) d. Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Nprvi ingrl Dkl dfinirmo f ( ) d c f ( ) d c f ( ) d lim c f ( ) d lim c f ( ) d, (6) ko nprvi ingrl. Ako su limsi n dsnoj srni končni kžmo d ingrl f ( ) d konvrgir, ko kv roj n posoji ingrl divrgir. Gomrijsk inrprcij ovog ingrl j površin osjnčnog lik n sljdćoj slici: f() c Slik Primjr. Ispijmo konvrgnciju sljdćih nprvih ingrl: d d ) lim lim lim(rcsin ) lim rcsin rcsin lim rcsin rcsin ; Iko j lik nogrničn, vidimo d j površin končn i jdnk. Dkl d konvrgir. Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nprvi ingrl ) [ ] [ ln lim ln ln lim ln lim limln ln d d ] lim lim ln lim ln lim. Ingrl ln d konvrgir. c) ) lim( ) lim( lim lim lim d d d d d lim lim, p d divrgir. Dkl, površinu n možmo izrčuni j. skončn j. d) ) lim( ) lim( lim lim lim d d d d d lim lim ; ) 6 lim lim lim lim 8 8 8 d d. Primjr. Izrčunjmo sljdći odrđni ingrl supsiucijom g. d cos. Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nprvi ingrl Uz nvdnu supsiuciju znmo d j cos d i d. Sd promjnimo još i grnic: z slijdi d j g, z j Td j g. d cos d d. 9 Dkl, doili smo nprvi ingrl, kojg možmo rjšii prm () pomoću lims: d p j lim d lim rcg 9 9 lim rcg rcg, 6 d cos... Zdci z vjžu. Izrčuni sljdć nprv ingrl: d ) ; c) ( d ) ; ) d ; ln g) d ( ) rcg ) d ; d) ln d ; f) d ;. Pokzi d sljdći nprvi ingrli divrgirju: ) ln( ) d ) cos d c) d d d) 7 d ) Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Nprvi ingrl Rjšnj:. ) ) ; ; 8 c) d) ; ) ; f) ; ln ; g) 6. Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA. Površin.. Površin u prvokunim koordinm Ako j nprkidn funkcij zdn u prvokunim koordinm jdndžom f() i f(), ond s površin krivocrnog rpz omđnog om krivuljom, prvcim i, osi pscis od do odrđuj formulom: P f ( ) d. () f() P Slik. Ako j f() i f(), [, ], ond s površin izmđu osi i grf ngivn funkcij omđn prvcim i rčun ko d ingrirmo funkciju f, n f: P f ( ) d. () Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl P f() Slik. Nk j c nuločk funkcij f, j. f(c). Ako funkcij f mjnj prdznk, j. n djlu inrvl [, ] od do c funkcij f(), n djlu inrvl [, ] od c do funkcij f(), d j površin omđn grfom funkcij f, osi, prvcim i jdnk c P P P f ( ) d f ( ) d. () c P f() c P Slik. Ako j područj nd inrvlom [, ] omđno grfovim nprkinuih funkcij f i g koj ispunjvju njdnkosi g() f() z [, ], d j površin kvog područj P [ f ( ) g( ) ] d. () Mr.sc. Pronil Loknr 6

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl f() P g() Slik. Primjr. Izrčunjmo površin područj omđn grfovim funkcij: ) f() i prvcim,,. Skicirjmo površinu. Slik. Iz slik s vidi d j površin područj smjšn nd inrvlom [, ], p j prm () P d 9 ; ) f() i g(). Mr.sc. Pronil Loknr 66

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik 6. Površin područj, koj j smjšno nd inrvlom [, ] izmđu grfov funkcij f i g prm () j P d d ; c) f() i prvcim,. Slik 7. Mr.sc. Pronil Loknr 67

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Nuločk funkcij f su i, p j prm () P P P ( ) d ( ) d 6 6 6 6 ; d) f() i prvcm. - -6 Slik 8. Grfovi ih funkcij s sjku u pscism u kojim j, Odkl j, p j i. P ( ) d ( ) d 6 8 9 8 ; Mr.sc. Pronil Loknr 68

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl ) f() i prvcm. Rjšimo susv jdndži i, d ismo doili prsjčn očk zdnih krivulj. Slijdi kvdrn jdndž, čij su rjšnj i. Prsjčn očk su A(, ) i B(, ). Prm () j: Slik 9. P ( ) d ln ln ln ln ; f) f() ( ) od do. Slik. Područj dfinicij funkcij f j D(f) [,, nul-očk su i, p s površin koju ržimo nlzi izmđu nul-očk. Prm () j: Mr.sc. Pronil Loknr 69

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl 6 P d. g) Izrčunjmo površinu omđnu lipsom:. Eksplicini olik krivulj iznd osi OX j: - - Slik. sin, d cosd P P d sin, cos cosd sin, cos sin cos d d, p j površin lips jdnk P. Primjr. Izrčunjmo površinu područj omđnu grfovim funkcij f ( ) i g ( ). Grfovi s sjku u očkm gdj j. Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slijdi d j, rln rjšnj ov jdndž su i, p su prsjčn očk A(, ) i B(, ). A, B - Slik. Primjnom formul () slijdi d j P d ( ) 6 d rcg rcg rcg 6 6. Primjr. ) Izrčunjmo površinu područj omđno grfom funkcij f(), ngnom iz ishodiš n u krivulju i simpoom krivulj. A Slik. Jdndž prvc ngn kroz ishodiš j k Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Jr j k ( ) f(). Kko j f( ), gdj j A(, f( )) očk u kojoj ngn dodiruj grf funkcij, slijdi d j p j, f( ), j.: A(, ). Slijdi d j jdndž ngn Horizonln simpo funkcij f() j prvc, jr j lim Površinu područj ispod z [, oznčimo s P. P ( ) d d lim d ( ) lim lim( ). Površinu područj ispod ngn z [, ] oznčimo s P i ono prdsvlj površinu roku, p j Ukupn površin područj koj smo ržili j P. P P P. ) Izrčunjmo površinu područj omđnu grfovim funkcij f ( ) i g() cg, sin od do. Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik. Prm formuli () j sin cos P P P cg d lim d lim d sin sin cos limln cos limln cos limln cos ln. c) Izrčunjmo površinu područj omđnu grfom funkcij f() i njnom simpoom. Slik. Funkcij f j nprn p j grf simričn s ozirom n ishodiš koordinnog susv Funkcij f() im horizonlnu simpou prvc, jr j lim f ( ). Iz slik s vidi d j površin jdnk ± Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Nodrđni ingrl supsiucij, zim prcijln ingrcij: P d lim d. d možmo rjšii ko d prvo primjnimo modu d d, d d d u du d, ( ) ( ) d dv, v. Sd j lim lim ( ) lim lim d p j P... Zdci z vjžu. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij f(), prvcim, i.. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij f() i prvcm.. Izrčunj površinu omđnu krivuljom 6 i osi.. Izrčunj površinu omđnu krivuljm i.. U očkm prvc i prol povučn su ngn n prolu. Izrčunj površinu omđnu prolom i ngnm. 6. Izrčunj površinu omđnu krivuljm i. 7. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij f() i prvcm 6. 8. Izrčunj površinu omđnu krivuljm i. 9. Izrčunj površinu omđnu krivuljom i osi. Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Rjšnj:.... ( P ) d ; 6 9 P ; P (6 ) d ; 6 6 P ( ) d ;. 6. 9 P ; 6 P ; 7. P ln; 8. P ; 9. P... Površin u prmrskim koordinm Površin ispod krivulj zdn prmrski s ϕ( ) ψ ( ) gdj j ψ() n inrvlu [, ], dn j s gdj s i odrđuju iz jdnkosi P d ψ ( ) ϕ ( ) d () ϕ( ) ϕ( ). Primjr. ) Ako j lips zdn prmrski cos sin prm formuli () ć dio lips u prvom kvdrnu ii P ψ ( ) ϕ ( ) d p j površin lips P P. cos sin cos d d, Mr.sc. Pronil Loknr 7

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl ) Ako s krug rdijusr korlj (z kliznj) po prvcu, ond očk n ruu og krug opisuj krivulju čij j jdndž dn prmrski: Tu krivulju nzivmo cikloidom. ( sin ),. ( cos) Slik 6. Nći površinu ispod jdnog luk cikloid. Prm () slijdi d j P d ( ) ( ) d ( cos) ( cos) d ( cos) d ( cos cos ) d cos sin ( sin ) d... Površin u polrnim koordinm Kd j nprkidn funkcij zdn u polrnim koordinm r r(ϕ) d j površin isjčk AOB ogrničn lukom krivulj r r(ϕ) i s dv polrn rdijus OA i OB kojim odgovrju kuvi ϕ i ϕ dn s ϕ ϕ r( d P [ ϕ ] ϕ ) (6) Mr.sc. Pronil Loknr 76

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl B P A rr(ϕ) Slik 7. Primjr. ) Izrčunjmo površinu lik omđnog krdioidom r ( cosϕ). r ϕ Slik 8. Kko j površin iznd i ispod -osi jdnk, krivulj j zdn u polrnim koordinm, prm (6) j ukupn površin koj j omđn krdioidom jdnk: P ( cosϕ) dϕ dϕ cosϕdϕ cos ϕdϕ cos ϕ cos d cos d ; ( ϕ ϕ) ϕ ϕ ϕ ) Izrčunjmo vći dio površin lik omđnog kružnicom i prvcm u polrnim koordinm. Mr.sc. Pronil Loknr 77

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Kružnicu izrzimo u polrnim koordinm u kojim j: rcosϕ rsinϕ: Jr j u polrnim koordinm r, slijdi d jdndžu zdn kružnic možmo npisi ko odkl j r rsinϕ, r sinϕ, jdndž pomknu kružnic po osi z, s srdišm u S(, ) i rdijusom, j.ngir os OX u ishodišu. Slik 9. Dio rvnin izmđu prvc i kružnic ( ) odnosno r sinϕ, Mr.sc. Pronil Loknr 78

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl nlzi s izmđu polrnih kuv ϕ i ϕ, p j površin koju ržimo prm (6) jdnk: φ P cos ϕ sin ϕ r dϕ sin ϕdϕ dϕ ϕ ϕ. sin sin ( ) Primjr 6. Nđimo mnju površinu izmđu 8 i, korisći polrn koordin. A B Slik. Prsjčn očk grfov kružnic 8 i prol nlzimo rjšvnjm susv dvij jdndž. U u svrhu uvrsimo iz jdndž prol u jdndžu kružnic, slijdi 8, odkl j, z koji j i. P su prsjčn očk: U polrnim koordinm j: A(, ) i B(, ). 8 r 8, p j jdndž cnrln kružnic rdijus u polrnim koordinm dn s r. Mr.sc. Pronil Loknr 79

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Ako sd i jdndžu prolu izrzimo u polrnim koordinm, slijdi d j r cos ϕ r sinϕ, p j jdndž zdn prol u polrnim koordinm sinϕ r. cos ϕ Površinu područj, koj j smjšno izmđu polrn osi ϕ i ϕ, ogrnično prolom sinϕ r, oznčimo s P. Površinu područj, koj j smjšno izmđu cos ϕ polrn osi ϕ i ϕ, ogrnično kružnicom r, oznčimo s P.Ukupn površin j d jdnk: gdj j P (P P ), P sin ϕ cos ϕ dϕ dϕ r dϕ dϕ dϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ g ϕ ( g ϕ) d( gϕ) gϕ gϕ gϕ, dok j P r dϕ 8dϕ ( ), p j P ( ). Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl.. Zdci z vjžu. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij: ) r cosϕ, ko j ϕ ; ) r cosϕ, ko j ϕ ; c) r cosϕ, ko j ϕ. Rjšnj:. ) ; ) ; c). 8. Duljin luk krivulj Prolm odrđivnj duljin luk kružnic i još nkih drugih krivulj, pojvio s još kod Grk, d i u 7. soljću o io jdn od prolm n kom s rzvijo difrncijilni i ingrlni rčun... Duljin luk u prvokunim koordinm Nk j f: [, ] R nprkidn funkcij. Skup svih očk grf funkcij f: (, f()), [, ] nzivmo njzinim lukom. Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl f() s f() f() Slik. Podjlimo inrvl [, ], <, n n djlov očkm,,, n, n, ko d j < < < < n < n. Točkm,,, n, n n osi odgovrju očk n grfu A T, T, T,, T n B Udljnos očk T k ( k, f( k )) i T k ( k, f( k )) j Sum svih udljnosi d k j d d k ( ) ( f ) f ( ) n. k k ( k k) s n ( ) ( f ( ) f ( ) k k k k k ) Oznčimo s s skup rojv s n koj doivmo z rzliči izor očk T, T, T,, T n. Ako roj očk ži prm, d udljnosi d k ž prm nuli i vrijdi sljdći orm: Torm Nk j f: [, ] R nprkidn funkcij, koj im nprkidnu drivciju u,. Duljin luk s krivulj f() izmđu očk A i B s pscism i ( < ) j roj: s d. (7) Dokz: Udljnos f ( ) f ( ) k k ( k k) k k. k k k k d k ( ) ( f ) f ( ) ( ) Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Prm Lgrngovom ormu f ( k ) f ( k k k ) f (c k ), k < c k < k, p j d k ( ( c ) ) ( ) k k k f. Ingrln sum n s n [ f ( ck )] ( k k ) k Lims ingrln sum u (?) kd n, ( k k ) z svki k,,, n, ć d ii ingrl funkcij ( ( ) ) f n [, ]. Slijdi d j: s d. Primjr 7. ) Nći duljinu luk sroid. - - Slik. Iz općg olik sroid slijdi njzin ksplicini olik:, Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl odkl j. Primjnom formul (7) j s d d d, p j duljin luk sroid s 6. ) Odrdii duljinu luk krivulj zdn ksplicino: rcsin, od do. Drivcij zdn funkcij j:, p j primjnom formul (7) s d d. Primjr 8. Nći duljinu luk s krivulj rcsin od do Kko j o j d d d d s Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl d d d d, ( ) d ln ) ln( ) ln( ) ln(... Duljin luk u prmrskim koordinm Duljin luk s krivulj zdn u prmrskom oliku: ) ( ) ( ψ ϕ gdj su ϕ () i ψ() nprkidno driviln funkcij j: s d, (8) vrijdnosi prmr i odgovrju krjvim luk. Primjr 9. ) Odrdimo duljinu luk krivulj zdn prmrski: ( ) izmđu očk prsjk s osi pscis. Z j: ( ). Slijdi d su očk prsjk s osi i, ±. S drug srn j i p j s ( ) d d d ; ) Duljin luk sroid zdn prmrski: sin cos Mr.sc. Pronil Loknr 8

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Jr j cos sin sin cos, z, cos, p j, dok z j cos, p j, slijdi d j s 9 cos sin 9 sin cos d 9 cos sin (sin cos ) d cos sin cosd sin d ( cos cos) p j duljin luk sroid s 6.,.. Zdci z vjžu. Nđi duljinu luk krivulj zdn ksplicino: ), od do 8; ) lnsin( ), izmđu očk i. Nđi duljinu luk krivulj zdn prmrski: ( ) ) ( ) od do ; sin cos ),. ( ) cos sin Rjšnj:.. ) s ; ) s ln.. ) s ; ) s. Mr.sc. Pronil Loknr 86

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl. Volumn rocijskog ijl Nk j f: [, ] R nprkinu nngivn funkcij. Žlimo izrčuni volumn rocionog ijl koj nsj rocijom oko osi površin P omđn grfom funkcij f, osi, prvcim i. f() P Slik. Podijlimo ijlo rvninm okomiom n os n n nkih dijlov, svki dio proksimirmo nkim vljkom. Ako su dijlovi jko nki, j proksimcij dor. Zim zrojimo volumn ih vljk i doijmo proksimcij volumn rocijskog ijl. Aproksimcij j im olj šo j n vći, j. šo j vći roj dijlov n koj smo podijlili ijlo. Ponovimo opisni posupk kork po kork. Podijlimo inrvl [, ] n n dijlov ko d j Iz svkog inrvl [ i, i ], i,, n izrimo po jdnu očku i [ i, i ]. Volumn nkog vljk visin i i i i rdijus f( i ) iznosi Zrojimo li doivn volumn, doivmo V i [f( i )] i n n S n Vi [ f ( i )] i i i S n j ingrln sum funkcij g() [f ()], p j lim S f ( ) d. n n Mr.sc. Pronil Loknr 87

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Dkl, volumn ijl koj nsj rocijom oko - osi površin omđno grfom funkcij f, - osi, prvcim, jdnk j [ ] d V f ( ). (9) N sličn nčin doivmo i formulu z volumn ijl koj nsj rocijom površin P oko - osi: f() Slik. V f ( ) d () Ako površin omđn grfom funkcij f(), prvcm j. - osi, prvcim c i d roir oko - osi, ko šo s vidi n slici., d f() - f () c Slik. volumn ko nslog ijl j jdnk: d d [ ] d V d f ( ) () c c Mr.sc. Pronil Loknr 88

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Primjr. Izrčunjmo volumn ijl koj nsj rocijom oko - osi površin omđn grfom funkcij ) f() sin n [, ] i Skicirjmo površinu koj roir sin Slik 6. Prm formuli volumn rocijskog ijl jdnk j V sin cos d d ( sin ) ) f() cg, prvcim i Skicirjmo površinu koj roir. cg Slik 7. Mr.sc. Pronil Loknr 89

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Prm formuli volumn ijl jdnk j ) ( ) sin ( sin sin cg d d d d cg V ) ( cg cg. c) f(), prvcim, i. Ncrjmo površinu koj roir, omđn j s zdnim krivuljm. - - Slik 8. Volumn ijl koji nsj rocijom površin P oko - osi, koj s ssoji od dvij površin oznčn n slici 8.,doi ćmo ko zroj volumn dvju ijl koji nsju rocijom ih dviju površin: ( ) 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d V Primjr. Izrčunjmo volumn ijl koj nsj rocijom oko - osi površin omđn grfom funkcij ) f() i prvcim i Skicirjmo površinu koj roir Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik 9. Invrzn funkcij, > j, p prm formuli () immo V d d 8 ) f() ln, prvcim, i. Ncrjmo površinu koj roir - Slik. Invrzn funkcij funkcij f() ln j. Prm formuli () volumn ijl j V ( ) ( ( ) d d ). c) f(), prvcim, i. Skicirjmo površinu Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl - Slik. Prm formuli () immo d j V u, du d d dv d, v d ln d ln ln. ln ln ln ln ln ln ln Prm formuli () immo d j j isi volumn jdnk: V d ln d. ln Jdnosvnim rčunom ćmo doii isi rzul. d) f() cos, koordinnim osim. Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Osnovni priod funkcij f() sljdćoj slici: cos j, p ć površin koj roir ii ko n - Slik. Slijdi d j volumn ijl koji nsj rocijom površin P oko - osi, prm () jdnk: V u, du d cos d cos dv d, v sin 8 sin cos 8. sin sin d ) f(), g() osi Odrdimo domn funkcij, sjciš grfov, ncrjmo površinu koj roir. Lko s vidi d j područj dfinicij D f [, i D g, ]. Budući d pscis sjciš grf krivulj zdovoljv jdndžu kvdrirnjm doivmo j. pscis sjciš j. Ordin sjciš j f() Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl - Slik. Pomoću formul () doivmo d j volumn ijl koji nsj rocijom površin P oko - osi d d V Drugi ingrl rijši ćmo supsiucijom, d. Prm om j d d d d d V 9 9 8 ) ( 76 7 6 7 6. Isi rzul smo mogli doii prm () korisći invrzn funkcij i ( ). Td j: ( ) 9 d V. Nk su funkcij f i g nprkinu n [, ] i f() g() z svki [, ]. Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl f() g() P Slik. Budući d površinu P doivmo oduzimnjm površin ispod grf funkcij g od površin ispod grf funkcij f, iso j i s volumnim rocijskih ijl koj s doiju rocijom ih površin. Prm om, ko površin P roir oko - osi volumn nslog ijl j V ( f ( ) g( ) ) d () Ako površin P roir oko - osi, ond j volumn ijl V ( f ( ) g( )) d. () Primjr. Odrdimo volumn ijl koj nsj rocijom površin omđn grfom funkcij f() sin n [, ], prvcim i ) oko osi ) oko - osi ) Skicirjmo površinu koj roir oko - osi Mr.sc. Pronil Loknr 9

Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik. Volumn ijl koj nsj rocijom površin oko - osi prm () j: V cos ( sin ) d cos d d sin ; ) Skicirjmo površinu koj roir oko - osi: Slik 6. Mr.sc. Pronil Loknr 96