Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune finită. Are loc Teorema 1. Fiind date două endomorfisme u, v ale spaţiului S, dacădouădin cele trei condiţii următoare: a) uvu = u, b) vuv = v, c) rangu =rangv sunt verificate, atunci a treia este de asemenea verificată. Demonstraţie. a) şi b) c) Avem: rang u =rang(uvu) rang(uv) rang v din condiţia a), rang v =rang(vuv) rang(vu) rang u din condiţia b). Deducem condiţia c). a) şi c) b) Condiţia a) conduce, înmulţind la dreapta cu v, la egalitatea uv =(uvu)v = u(vuv). ( ) Ţinând seama de a), avem, pe de altă parte, că rang u rang(uv) şi, fiindcă rang(uv) rang u, deducem egalitatea rang(uv) = rang u. Dar rangul endomorfismului uv este rangul restricţiei endomorfismului u la subspaţiul Im v. Această restricţie u / Im v este deci injectivăşi egalitatea ( ) poate fi simplificată cuu la stânga, ceea ce închide demonstraţia. b) şi c) a) rezultă imediat, endomorfismele u şi v având roluri simetrice în relaţiile a), b), c). Teorema este demonstrată. Corolar. Fiind dat un endomorfism u al spaţiului vectorial S, existăunendo- morfism v (nu unic) verificând condiţiile a), b) şi c). Demonstraţie. Ţinând seama de teoremă, ne propunem să construimendo- morfismul v verificând condiţiile b) şi c). Fiev un astfel de endomorfism. Avem pentru y Im v : vu(y) =y. Deducem că, dacă x Im v Ker u, x =0şi deci Im v Ker u = {0}. Suma acestor două spaţii vectoriale este deci directă. Folosind condiţia rang u =rangv, deducem atunci că Im v Ker u = S. Fiind dat endomorfismul u, fief un suplementar al subspaţiului vectorial Ker u şi G un suplementar al spaţiului Im u. Aplicaţia u 0 : F Im u, x 7 u(x) este un izomorfism. Definim aplicaţia v prin restricţiile salelaceledouăsubspaţii suplementare Im u şi G prin: v / Im u =(u 0 ) 1, v /G =0. Această aplicaţie v este evident liniară şi verifică: Im v =Im(u 0 ) 1 = F, deci rang v =dimf =rangu şi rezultă că v verifică c); x S, v(x) F, deci vuv(x) =v {u 0 [v(x)]} =(vu 0 )[v(x)] = v(x), i.e. v verifică vuv = v, adică b). Corolarul este astfel stabilit. 1 Cercetător, Centrul de Calcul E.N.S.T., Paris 97

Observaţie. Endomorfismul v nu este unic: el depinde de alegerea subspaţiilor F şi G din demonstraţia corolarului. Definiţii. Fiind dat endomorfismul u, orice endomorfism verificând condiţia a) se numeşte inversă generalizată aluiu. Fiind dat endomorfismul u, orice endomorfism verificând condiţiile a), b) se numeşte pseudoinversă aluiu. Cu aceleaşi notaţii ca în corolarul precedent, o inversă generalizată v a endomorfismului u este definită prinrestricţiile sale la subspaţiile suplementare Im u şi G prin: v / Im u =(u 0 ) 1, v /G morfism oarecare aparţinând spaţiului L(G, S). Oinversă generalizată a endomorfismului u depinde deci de alegerea subspaţiilor F, G şi de alegerea morfismului v /G.VomnumiIng(u) ={v L(S) uvu = u}. Observaţii. 1) Inversa generalizată aunuiautomorfism u este unică şi coincide cu inversa u 1 aluiu :Ing(u) = u 1ª. ) Fie v Ing(u). Avem: endomorfismul w = uv este un proiector (w = w) de imagine Im u: w =(uv)(uv) =(uvu)v = uv = w, endomorfismul w 0 = vu este un proiector (w 0 = w 0 )denucleuker u: w 0 =(vu)(vu) =v(uvu) =vu = w 0. Aplicaţie. Vom nota cu aceeaşi literă un endomorfism al spaţiului vectorial R n şi matricea acestui endomorfism în baza canonică aluir n. Fiind date trei endomorfisme A, B, C ale spaţiului vectorial R n,fieã Ing(A) şi C Ing(C). Are loc Teorema. Ecuaţia matriceală AXC = B admite o soluţie X dacă şi numai dacă avemaãb CC = B. Demonstraţie. Presupunând că AÃB CC = B, deducem că matriceax = ÃB C verifică AXC = B. VomnotaX 0 = ÃB C. Invers, dacăexistă X L(R n ) verificând AXC = B, atunci avem (AÃA)X(C CC)= B şi, în consecinţă, B = AÃ(AXC) CC = AÃB CC. Ã şi C fiind două matrice oarecare aparţinând respectiv la Ing(A) şi Ing(C), notăm n K(A, C) = Y ÃAY C C o Y M n (R). Teorema 3. Soluţia generală aecuaţiei matriceale AXC = B este X = ÃB C + Z, undez K(A, C). Demonstraţie. Soluţia generală a ecuaţiei matriceale AXC = B este X = X 0 + Z, unde X 0 = ÃB C (v. demonstraţia Teoremei ) şi Z este soluţia generală a ecuaţiei AZC = O. Ne propunem să justificăm echivalenţa următoare: a) AZC = O b) Z K(A, C). a) b) Z = Z O = Z Ã(AZC) C; 98

b) a) Y M n (R), matricea Z = Y ÃAY C C verifică AZC = AY C AÃAY C CC = AY C (AÃA)Y (C CC)=O şi Teorema 3 este demonstrată. Exemplu. Fie ecuaţia matriceală 0 1 0 1 0 0 X 1 0 0 = k 0 0, unde k R. (1) Să găsim soluţia generală X M 3 (R) a acestei ecuaţii. Avem: A = 0 1 0 1 0 0 şi à = 0 1 0 1 0 0 Ing(A); C = 1 0 0 şi C = C Ing(C). Cum B = k 0 0 = AÃB CC, ecuaţia (1) admite soluţii, 0 0 0 osoluţie fiind matricea X = ÃB C = k 0 0. Ţinând seama de Teorema 3, soluţia generală aecuaţiei (1) este X = ÃB C + Y ÃAY C C = k 0 0 + Y ÃAY C C, unde Y este o matrice oarecare aparţinând spaţiului de matrice M 3 (R). Considerând a, b, c, d, e, f, g, h, i numere reale oarecare, obţinem, cu Y = a b c d e f, căsoluţia generală aecuaţiei matriceale (1) este X = 0 b c k e f, g h i g h i unde b, c, e, f, g, h, i sunt numere reale oarecare.. Pseudoinversa unui endomorfism într-un spaţiu euclidian. E fiind un spaţiu euclidian, produsul scalar va fi notat h, i. [Aceleaşi definiţii şi rezultate sunt valabile dacă spaţiul E este un spaţiu hermitian, adică unc -spaţiu vectorial înzestrat cu un produs scalar, formă hermitianăpozitivdefinităpee.] Amintim definiţia şi teorema următoare: Definiţie şi teoremă. Fiind dat un endomorfism al spaţiului euclidian E, există un singur endomorfism u al spaţiului E verificând x, y E, hu(x),yi = hx, u (y)i. Acest endomorfism se numeşte adjunctul endomorfismului u. Avem Ker u =(Imu) şi Im u =(Keru). Demonstrăm că Ker u =(Imu) ;într-adevăr, y (Im u) x E, hu(x),yi =0 x E, hx, u (y)i =0 y Ker u. Asemănător procedăm pentru egalitatea Im u =(Keru). 99

Fie u un endomorfism al spaţiului euclidian E.Notăm K =(Keru) ortogonalul nucleului lui u şi I =(Imu) ortogonalul imaginii endomorfismului u. Notăm P proiecţia ortogonală de imagine K (de nucleu Ker u), P 0 proiecţia ortogonală de imagine Im u (de nucleu I = (Imu) ). Avem: P 0 u = u = up ; P 0 (y) Im u, y E; u ( 1) P 0 (y) (imaginea reciprocă a elementului P 0 (y)) este oclasă modulo Ker u aspaţiului euclidian E (atenţie: u ( 1) nu este o aplicaţie!). Imaginea acestei clase prin proiecţia P este un element unic al spaţiului K. Definiţie. Aplicaţia liniară u + = Pu ( 1) P 0 se numeşte pseudoinversă aendomorfismului u. Teorema 4. Aplicaţia pseudoinversă u + a endomorfismului u verifică relaţiile: a) uu + u = u, b) u + uu + = u +, c) uu + şi u + u sunt endomorfisme ortogonale, i.e. (uu + ) = uu +, (u + u) = u + u. Mai mult, u + este singurul endomorfism al spaţiului E verificând aserţiunile a), b) şi c). Demonstraţie. P şi P 0 fiind proiectori, avem Pu + = u + P 0 = u +. Atunci: u + u = Pu ( 1) P 0 u = Pu ( 1) u = P, proiector ortogonal, uu + = up u ( 1) P 0 = uu ( 1) P 0 = P 0, proiector ortogonal, şi, în consecinţă, uu + u = up = u; u + uu + = u + P 0 = u +.Înplus, Im u + =ImP = K =(Keru) =Imu, Ker u + =KerP 0 = I =(Imu) =Keru. Demonstrăm acum unicitatea endomorfismului u +. Fie u 0 un alt endomorfism verificând condiţiile a), b) şi c). Avem: u 0 = u 0 uu 0 = u 0 u 0 u = u 0 u 0 (u u + u )=u 0 (uu 0 )(uu + )=u 0 uu + ; u 0 uu + = u u 0 u + =(u u + u )u 0 u + =(u + u)(u 0 u)u + = u + uu + = u +. Deci u 0 = u +, c.c.t.d. Observaţie. Am văzut în prima parte că opseudoinversăaluiu depinde în particular de alegerea subspaţiilor suplementare F şi G ale spaţiilor Ker u şi respectiv Im u. În cazul în care E este un spaţiu euclidian F şi G sunt unic definite prin F =(Keru) şi G =(Imu), de unde unicitatea pseudoinversei. Dacă y este un vector oarecare al spaţiului euclidian E, notăm x 0 = u + (y). Avem Teorema 5. Vectorul x 0 = u + (y) verifică: a) kux 0 ykeste minimum, i.e. kux 0 yk kux yk, x E; b) kx 0 k este minim din toate elementele x verificând kux yk = kux 0 yk. Demonstraţie. a) kux 0 yk = uu + y y = kp 0 y yk, kux yk = ku(x x 0 )+ux 0 yk = ku(x x 0 )+P 0 y yk = = ku(x x 0 )k + kp 0 y yk kux 0 yk. b) Avem kux yk = kux 0 yk numai când u(x x 0 )=0. În cazul acesta, x = x 0 + z, unde x 0 K =(Keru) şi z Ker u. Deci kxk = kx 0 k + kzk kx 0 k şi deducem b). 100

Observaţie. Din teorema precedentă deducem că x 0 = u + (y) este cea mai bună soluţie apropiată înnormă a ecuaţiei y = ux. Pseudoinversa unei matrice. Dacă alegem în spaţiul euclidian E o bază ortonormată B,obţinem U-matricea endomorfismului u în aceastăbază: Mat(u,B)= U = U T.[În cazul în care E este hermitian avem Mat(u, B) =U = U T.] Traducând cele de mai sus în limbaj matriceal, obţinem Fiind dată o matrice U M n (R), existăosingurămatricev verificând condiţiile următoare: UVU = U, V UV = V, (UV) = UV, (VU) = VU. Această unică matrice V se numeşte pseudoinversa matricei U şi se notează U +. X 0 = U + Y este cea mai bună aproximaţie cuadratică aecuaţiei UX = Y. Exemplu de calcul al pseudoinversei unei matrice. Fie matricea U = 1 0 1 0 1 0 M 3 (R). 1 0 1 Să calculăm matricea U +. Matricea U fiind simetrică, avem Ker u =(Imu). Fie B = {e 1,e,e 3 } baza canonică aspaţiului R 3 înzestrat cu produsul scalar canonic. Pentru endomorfismul u asociat matricei U în această bază, avem: Im u =Vect{e,e 1 + e 3 }, Ker u = R(e 1 e 3 ). Endomorfismul v de matrice U + în baza canonică B verifică atunci Ker v =(Imu) =Keru; Imv =(Keru) =Imu. Pe de altă parte: uvu(e )=u(e ) uv(e )=u(e ) v(e )=e + λ(e 1 e 3 ); v(e ) Im v = Im u λ =0,deciv(e )=e ; uvu(e 1 )=u(e 1 ) uv(e 1 + e 3 )=e 1 + e 3 = u( e 1 + e 3 ) v(e 1 + e 3 )= e 1 + e 3 + µ (e 1 e 3 ); v(e 1 + e 3 ) Im u µ =0,deciv(e 1 + e 3 )= e 1 + e 3. Dat fiind că v(e 1 e 3 )=0[Ker v =Keru], deducem că v(e 1 )=v(e 3 )= e 1 + e 3. 4 Finalmente matricea U + este U + = 1 1 0 1 0 4 0. 4 1 0 1 101