MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA -Informacije o predmetuškolska

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA -Informacije o predmetuškolska godina 2017/2018. Prof. Dr Mira Petronijević 1 MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2017/2018 FOND ČASOVA: 4+2 PREDAVANJA SREDA 12:15-14 h SALA 225 ČETVRTAK 10:15-12 h SALA 113 PROFESOR Dr Mira Petronijević KABINET 145 DOCENTI Dr Marija Nefovska-Danilović KABINET 145 Dr Miroslav Marjanović KABINET 144 2 1

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA VEŽBE UTORAK 8:15-10 h SALA 316 (I GRUPA) * 10:15-12 h SALA 319 (II GRUPA) 12:15-14 h SALA 316 (III GRUPA) * PODELA NA GRUPE ĆE BITI ISTAKNUTA NA TABLI ISPRED KABINETA 145 ASISTENTI Miloš Jočković KABINET 333 Emilija Damnjanović KABINET 333 Marko Marinković KABINET 333 3 USLOV ZA POHAĐANJE NASTAVE Studentimogu pohađati nastavu ako su ostvarili potpis iz STATIKE KONSTRUKCIJA. 4 2

Obaveze studenata - Prisustvovanje predavanjima - Prisustvovanje vežbama - Overen elaborat Uslov za potpis Prisustvo na 48/56 časova predavana Prisustvo na 24/28 časova vežbanja Ocenavećaod 6na elaboratuitestovima 5 Elaborat Studenti rade ukupno 3 GRAFIČKA RADA i 3 TESTA. Svaki od grafičkih radova se u zakazanom terminu predaje asistentu na pregled i ocenu. Stečeno znanje se proverava na testu. Ocena na jednom grafičkom radu je jednaka prosečnoj oceni iz zadatka i testa. Ocena na elaboratu je jednaka prosečnoj oceni za sva 3 grafička rada. Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova koje student ostvari na pismenom ispitu. Ova olakšica važi jednu školsku godinu, tj. od juna 2018. do oktobra 2019. 6 3

Oslobađanje usmenog dela ispita Student se može osloboditi usmenog dela ispita ako položi 2 kolokvijuma (više od 55% poena). Kolokvijumi se polažu prema sledećem rasporedu: I kolokvijum 8. nedelja nastave II kolokvijum Kolokvijumska nedelja Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25 kombinovanih pitanja (izvođenje, zaokruživanje, dopunjavanje...). Radi se 2 časa. Pogrešni odgovori donose 2 negativna poena. Oslobađanje od usmenog dela ispita važi jednu godinu (od juna tekuće godine do oktobra naredne godine). Nakontogrokapolažeseceoispit. 7 Literatura M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, GK M.Petronijević, M. Nefovska-Danilović: Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulović, M. Petronijević: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salatić, S. Živanović: Zbirka zadataka iz stabilnosti i dinamike konstrukcija, GF Web site fakulteta/predmeta www.grf.bg.ac.rs 8 4

1. UVOD MAK- istorijat i osnove Rekapitulacija osnovnih jednačina linearne teorije štapa 9 Statika ravnih i prostornih linijskih nosača Stabilnost ravnih linijskih nosača 10 5

Metode analize linijskih nosača prema pristupu Metode klasične statike konstrukcija Matrična analiza konstrukcija 11 Klasična statika konstrukcija (od Isaac Newton-a 1666.) Analizira se nosač u celini, kao sistem povezanih štapova, Utvrđuje se statička odnosno deformacijska neodređenost nosača, Usvaja se metoda za rešavanje, Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača. 12 6

1.1. Štap je osnovni element nosača, Nosač se posmatra kao skup međusobno povezanih štapova, Za nepoznate veličine biraju se parametri (pomeranja ili sile) u čvorovima nosača, Na osnovu teorije štapa uspostavljaju se veze između vektora sila i vektora pomeranja krajevima štapa u matričnom obliku, Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača. 13 Istorijski razvoj 1930 Matrična analiza je prvi put primenjena u rešavanju problema aeroelastičnosti, Collar i Duncan,avio-industrija, GB 1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer 1955 Argyris, Metoda sila i metoda deformacije 1959 Tyrner, Direct Stiffness Method 1964 Wilson, Metoda konačnih elemenata (MKE) 14 7

Od 1964 1977 Gallagher, Irons, Martin, Clough, Zienkiewicz Sekulović 15 Matrična analiza - Metoda deformacije Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara, MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA(metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi linijskih nosača. Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD(Direktna metoda krutosti). Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapa. Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA, mnogo opštija metoda, koja se primenjuje u statičkoj i dinamičkoj analizi složenih konstrukcija. 16 8

1.2 Osnove matrične analize 1.2 Osnove matrične analize Konstrukcija IDEALIZACIJA Matematički model DISKRETIZACIJA Diskretan model REŠENJE Rešenje diskretnog modela 17 Idealizacija krovna rešetka element oslonac čvor Konstrukcija IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA Matematički model Slika je preuzeta i prilagođena iz on line book, Carlos Felippa: Introduction to FEM, http://bib.tiera.ru/dvd- 18 013/Felippa_C.A._Introduction_to_finite_element_methods_(2001)(en)(489s).pdf 9

Primer čelična hala 19 2D idealizacija 20 10

Diskretizacija Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata štapova koji su povezani u čvorovima nosača Y ČVOROVI 4 4 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 21 Broj čvorova 10 Broj štapova 9 8 9 9 10 ŠTAPOVI X 11 DISKRETIZACIJA Izbor nepoznatih Nepoznate veličine su parametri u čvorovima nosača. U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima, postoje 2 metode analize: Metoda sila Metoda deformacije 22 11

Matrična analiza - Metoda sila: Parametri: sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema: H, V, M y H i M i Vi M k x N k V k Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija. 23 Matrična analiza - Metoda deformacije Parametri: komponente pomeranja čvorova nosača u, v i obrtanje ϕ. y ϕ i ϕ k u i k i x v i v k u k 24 12

Analize Postoje 2 nivoa analize: analiza štapa i analiza sistema štapova, Analiza štapa: uspostavljaju se veze između sila i pomeranja na krajevima štapa- osnovna jednačina štapa. Analiza strukture (sistema) štapova: formiraju se jednačine sistema za određivanje nepoznatih pomeranja (uslovne jednačine) nosača. One predstavljaju uslove ravnoteže čvorova sistema. 25 Analiza štapa 1 3 x,y, z lokalni koordinatni sistem Vektor pomeranja q1 ui q2 vi q3 ϕi q = = q4 uk q v 5 k q6 ϕ k y 2 p(x) E, A, I, l Vektor sila R1 Ni R T 2 i R 3 M i R = = R4 Nk R 5 T k R M 6 k 5 6 x k 4 P: Važi linearna teorija štapa Osnovna jednačina štapa j j j j j R = K q Q Matrica krutosti štapa Vektor ekvivalentnog opterećenja 13

Analiza sistema štapova Nepoznate veličine u metodideformacije: -Komponente pomeranja čvorova: u i, v i broj nepoznatih komponenata pomeranja: 2K-z o K broj čvorova, z o broj oslonaca u nosaču -Uglovi obrtanja čvorova: φ i broj nepoznatih uglova obrtanja čvorova: m m broj čvorova u kojima postoji bar jedan krut ugao Ukupan broj deformacijski nepoznatih veličina nosača: 27 2K-z o +m Analiza sistema štapova Y 1 2 3 4 5 6 7 8 X Z 9 10 X,Y, Z - globalni koordinatni sistem 28 Deformacijske nepoznate su pomeranja i obrtanja u slobodnim (neoslonjenim) čvorovima. poznata pomeranja nepoznata pomeranja 2K=2x10=20 m=6 Broj mogućih pomeranja N=20+6=26 Broj nepoznatih zo=9 n=26-9=17 14

Jednačineiz kojih određujemo nepoznata pomeranja: uslovi ravnoteže čvorova nosača M i P i,x i Y P i,y R * j 2 * j 1 R R * j 3 α ik k X X = 0 }2K-z o Y = 0 M = 0 } m R = K q Q * j * j * j * j * * * K q = S 29 Matrica krutosti sistema Uslovne jednačine SISTEM ALGEBARSKIH JEDNAČINA K q = S * * * REŠENJE 30 VEKTOR POMERANJA * q R j VEKTOR SILA NA KRAJEVIMA ŠTAPOVA 15

Postupak analize: formiranje matrica krutosti pojedinih elemenata u lokalnom sistemu transformacija matrica krutosti pojedinih elemenata u globalni sistem formiranje matrice krutosti sistema štapova, formiranje vektora slobodnih članova, određivanje pomeranja čvorova rešavanjem sistema uslovnih jednačina, sračunavanje sila u štapovima nosača. 31 Vektor ekvivalentnog sistema Primena principa superpozicije = + Q e dati nosač deformacijski određen sistem datog nosača ekvivalentni nosač Q e - ekvivalentno opterećenje 32 16

Metode za formiranje uslovnih jednačina: Direktno, iz uslova ravnoteže čvorova Iz principa o min potencijalne energije Π sistema 33 1.3 Linearna teorija štapa - rekapitulacija NEPOZNATE: sileu presecima: M, N i T pomeranjaiobrtanja: u, v iφ deformacijske veličine: ε, κ iφ t 34 17

1.3 Linearna teorija štapa - rekapitulacija JEDNAČINE: uslovi ravnoteže elementa štapa veze između pomeranja i deformacije elementa štapa veze između sila u presecima i deformacije (Hooke-ov zakon) 35 1.3 Linearna teorija štapa - rekapitulacija Osnovne pretpostavke: P1. Pretpostavka o malim pomeranjima (pretpostavka o statičkoj linearnosti) P2. Pretpostavka o malim deformacijama (pretpostavka o geometrijskoj linearnosti) P3. Hookov zakon (pretpostavka o fizičkoj linearnosti) 36 18

Uslovi ravnoteže štapa P1. Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu. Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine. X Y N T M C p t ds ds p n ds C' M+dM T+dT N+dN dn + ptds = 0 dt + p ds = 0 n dm Tds = 0 (I) 37 Geometrijske veze Veze između pomeranja i deformacije štapa se izvode geometrijskim razmatranjem. Posledica P2 je da su te veze linearne. Y φ X v C u ds C' α dx (1+ε)ds C 1 α φ dx+du u+du v+dv C 1 ' dy dy+dv du = ε dx ϕdy dv = ε dy + ϕdx d κ = ( ϕ ϕ ) ds t (II) 38 19

Klizanje poprečnog preseka ϕ t φ X osa štapa y C u u(y) C(y) v Y ϕ t - klizanje poprečnog preseka Pomeranja ekvidistantnog elementa u(y)=u-y(φ-φ t ) v(y)=v φ O φ-φ t O' v(y) C' C'(y) φ t Timošenkov štap Tehnička teorija savijanja štapa 39 Promena krivine κ y C C 1 φ X Cy ds C 1y (1+ε)ds (1+ε y )ds Y ρ' y φ t 1 d( ϕ ϕt ) κ = = ρ ds ε ( y) = ε + κy φ-φ t φ dφ O' O'' φ t +dφ t ρ'' 40 20

Veze sila i deformacije Posledica P3: Veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih veličina štapa su linearne. Raspodela temperature: t o t C x t o y t(y) t u h N o ε = + αtt EF M t κ = + α t EI h T ϕ t = k GF (III) 41 Jednačine štapa: Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III) dn + ptds = 0 dt + p ds = 0 dm Tds = 0 du = εdx ϕdy n dv = εdy + ϕdx d κ = ( ϕ ϕ ) ds t (I) (II) N ε = + αtt EF M t κ = + α t EI h T ϕ t = k GF o (III) 42 21

Nepoznate veličine štapa: Nepoznate: sileu presecima: M, N i T pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ deformacije: ε, κ iφ t Ukupan broj nepoznatih je 9. Ako iz jednačina (III) ε, κiφ t iskažemou funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 dif. jednačina sa 6 nepoznatih. 43 Nepoznate i jednačine štapa: 6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v iφ 6 diferencijalnih jednačina I i II Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6 integracionih konstanti 6 graničnih uslova štapa. 44 22

Granični uslovi štapa i k granični uslovi po silama M i M k N i N Ti T k k granični uslovi po pomeranjima φ i φ k u i u k v i v k Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima 45 6 graničnih uslova po pomeranjima Ako su svih 6 graničnih uslova štapa zadati po pomeranjima, reč je o metodi deformacije. y q 3 q 6 q 1 q 4 x q 2 q5 46 23