promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x
blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + ( ) (2) = ( ) + ( ) + ( ) (3) = ( ) + ( ) + ( ) (4) orstmo prladne oznae,, e 1, e 2, e 3,, e 1, e 2, e 3 (5) edn. (2-4) u novo notac e 1 = ( e 1 e 1 ) e 1 + ( e 1 e 2 ) e 2 + ( e 1 e 3 ) e 3 (6) e 2 = ( e 2 e 1 ) e 1 + ( e 2 e 2 ) e 2 + ( e 2 e 3 ) e 3 (7) e 3 = ( e 3 e 1 ) e 1 + ( e 3 e 2 ) e 2 + ( e 3 e 3 ) e 3 (8)
salarne produte ednčnh vetora označmo ao elemente matrce e e = a (9) edn. (6-8) možemo napsat u ompatnem oblu e = a e (10) prozvoln vetor x možemo raspsat orsteć ednčne vetore blo S l S sustava x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (11) pomnožmo prethodnu ednadžbu s e [ ] x = x e = x e e = x e e = a x (12)
dobl smo vezu zme du omponent vetora u dva sustava x = x a (13) norma vetora mora bt ednaa u oba sustava x1 2 + x2 2 + x3 2 = x 1 2 + x 2 2 + x 2 3 (14) = x 2 = x 2 (15) uvrstmo transformacu (13) u prethodnu ednadžbu 2 = x a x a (16) x zamenmo poreda sumace [ ] 2 = x x a a x (17)
norma mora bt ednaa u oba sustava [ ] x x a a = x 2 = sled uvet na oefcente a a a = δ = x x δ (18) a T a = δ (19) označmo s A matrcu č su element a a a = δ = A T A = 1 (20) svaa lnearna x = a x (21) za ou vred a m a n = δ mn (22) zove se ortogonalna
prethodnu ednadžbu možemo napsat ao produt matrca a m a n = δ mn = a T ma n = ( a T a ) mn = δ mn (23) uvet (22) dae 6 lnearnh ednadžb a 11 a 11 + a 21 a 21 + a 31 a 31 = 1 (m = 1, n = 1) (24) a 12 a 12 + a 22 a 22 + a 32 a 32 = 1 (m = 2, n = 2) (25) a 13 a 13 + a 23 a 23 + a 33 a 33 = 1 (m = 3, n = 3) (26) a 11 a 12 + a 21 a 22 + a 31 a 32 = 0 (m = 1, n = 2) (27) a 11 a 13 + a 21 a 23 + a 31 a 33 = 0 (m = 1, n = 3) (28) a 12 a 13 + a 22 a 23 + a 32 a 33 = 0 (m = 2, n = 3) (29) od 9 oefcenata a samo 3 su nezavsna da b parametrzral rotacu u prostoru trebamo tr uta
Prmer: rotaca u ravnn x 2 e 2 φ x 2 e 2 x 1 e 1 φ x 1 e 1 element matrce Salarn produt e 1 e 1 = cosφ e 1 e 2 = cos(90 0 φ) = sn φ e 1 e 2 = cos(90 0 + φ) = sn φ e 2 e 2 = cosφ (30) a 11 = e 1 e 1 = cos φ (31) a 12 = e 1 e 2 = sn φ (32) a 21 = e 2 e 1 = sn φ (33) a 22 = e 2 e 2 = cos φ (34) (35)
provermo da l e matrca ortogonalna ( ) ( ) cosφ sn φ cosφ sn φ AA T = sn φ cosφ sn φ cosφ ( cos = 2 φ + sn 2 ) φ 0 0 cos 2 φ + sn 2 φ ( ) 1 0 = 0 1 (36)
Kompozca pretpostavmo da su A B ortogonalne S S : x = S S : x = b x (37) a x (38) promotrmo uupnu transformacu x = a x (39) uvrstmo edn. (38) x = a b x = a b x = (AB) x (40)
proveravamo da l e uupna C = AB oš uve ortogonalna c m c m = [ ][ ] a m b a ml b l m m l zamenmo poreda sumace c m c m = m l b b l [ m sorstmo ortogonalnost matrce A c m c m = b b l δ l = m l a m a ml ] (41) (42) b b (43) sada sorstmo ortogonalnost matrce B c m c m = δ (44) m matrca C e ortogonalna pa možemo zalučt da e ompozca dve ortogonalne ortogonalna
Komutatvnost omutatvnost općento ne vred AB BA (45) Asocatvnost asocatvnost vred Inverzna (AB)C = A(BC) (46) ao A prevod sustav S u S, onda nezna nverzna vraća sustav S u S nverznu transformacu označmo s A 1, a nezne elemente s (a 1 ) ednadžba nverzne x = (a 1 ) x (47) mora bt onzstentna s početnom transformacom
uvrstmo početnu transformacu u edn. (47) x = (a 1 ) x = promenmo poreda sumace x = a 1 a x = (a 1 ) a x (48) ( aa 1 ) x = δ x (49) matrcu nverzne dobemo tao da nvertramo matrcu A pomnožmo uvet ortogonalnost s nverznom matrcom A 1 ( AA T) = A 1 = A T = A 1 (50) nverzna matrca ednaa e transponrano matrc
Determnanta ortogonalne matrce uvet ortogonalnost fsra vrednost determnante ortogonalne matrce det ( AA T) = det ( AA 1) = det(1) = 1 (51) determnante produta dve matrce ednaa e produtu determnant th matrca det ( AA T) = det (A) det ( A T) (52) determnanta transponrane matrce ednaa e determnant početne matrce det ( AA T) = [det(a)] 2 = 1 = det(a) = ±1 (53) može se poazat da rotacama odgovara vrednost +1