Prof. Mira Mihajlović Petković 1
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE ŠILJASTOG KUTA sin nasuprotna kateta a hipotenuza c cos priležeća kateta b hipotenuza c tg nasuprotna kateta a priležeća kateta b ctg Definicijski identiteti Veza među kutovima pravokutnog trokuta je 90, pa ih zovemo komplementnarni kutovi. cos 90 cos tg 90 tg ctg 90 ctg 45 º ctg cos sin tg ctg 1 tg Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija 30 º sin cos tg sin 90 sin kut priležeća kateta b nasuprotna kateta a 1 ctg ctg 1 tg Pitagorini identiteti 60 º sin cos 1 sin tg 1 cos tg 1 ctg 1 Prof. Mira Mihajlović Petković 1 cos ctg 1 1 sin
Povijest Trigonometrija je posebna grana matematike. Dolazi od riječi trigonom (trokut) i metron (mjera). Elemente trigonometrije nalazimo u starogrčkoj matematici. Razvija se u indijskoj i arapskoj matematici, a do 15. stoljeća prelazi u Europu gdje doživljava procvat. Prva trigonometrijska računanja javljaju se vrlo rano još u starom Babilonu i u Egiptu, a uglavnom zbog potreba astronomije. U Rhindovu papirusu (Ahmesovoj računici), oko 18. st. pr. Kr. ima naznaka korištenja geometrijskih metoda, koja su Egipćanima služila pri građenju piramida i mjerenju polja. Koristi se poseban naziv segt, no ne zna se je li on predstavljao današnji kosinus ili kotangens. Začetnicima trigonometrije drže se Grci u 3. st. pr. Kr. i to astronom Aristarh i njegov učenik Hiparh iz Nikeje. On je napravio prve tablice duljina tetiva za različite središnje kutove. Menelaj (1. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi Sferika prikazuje po prvi put trigonometriju kao posebnu znanost!. U. stoljeću posl. Kr. bitan razvoj trigonometrije načinio je Ptolomej, tvorac geocentričnog sustava, u svom djelu poznatom po arapskom nazivu "Almagest". Prve tablice sinus funkcije sastavili su Indi u 5. st. posl. Kr. Znanje trigonometrije od Inda preuzimaju Arapi u 8. st. Oni uvode tangens i kotangens. A Europljanin Regiomontan uvodi kosinus funkciju. Porijeklo imena trigonometrijskih funkcija Naziv sinus i kosinus u europske jezike stigao tehnikom pokvarenog telefona. Prvi naziv za sinus i kosinus je jiva i kotijiva, a dali su stari Indijci. Najprije se rabi naziv ordhajiva (polovica tetive) i to je ime u skladu sa značenjem sinusa Jiva na sanskrtu znači `tetiva'. Arapi tu riječ prenose kao jiba što na arapskom nema značenja pa je zamjenjuju s istozvučnicom džaib (što se piše kao i džiba), a znači zaljev. Europski srednjovjekovni prevoditelj (Robert iz Chestera) tu riječ doslovno vodi latinskoj riječi sinus (zaljev). Naziv tangens (zbog veze s tangentom) uvodi 1583. Fincke. Naziv kosinus nastao je početkom 17. st. (E. Gunter 160.) kao kratica od complementi sinus. Kosinus prema tome u prijevodu znači: sinus komplementarnog kuta. Iz istog su razloga imena dobili kotangens i kosekans. Prof. Mira Mihajlović Petković 3
Upotreba Određivanje udaljenosti Mjeseca Potrebe mjeriteljstva bile su kroz povijest, uz astronomska mjerenja, najvažniji razlog razvoja trigonometrije. je odrediti udaljenost dviju najčešće nedostupne točake. Prof. Mira Mihajlović Petković 4
Pitagorin poučak: Pitagorin poučak: Zbroj kvadrata kateta jednak je zbroju kvadrata hipotenuze u pravokutnom trokutu a b c Zbroj kutova u bilo kojem trokutu iznosi 180 180 U pravokutnom trokutu zbroj kutova α i β jednak je kutu γ 90 Sukladnost rokuta Poučci o sukladnosti trokuta Dva su trokuta sukladna ako su im: i. - tri stranice jednake (sss) ii. - dvije stranice jednake (sks) iii. - dva kuta jednaka (ksk) iv. dvije stranice jednake i kut nasuprot dulje stranice. Prof. Mira Mihajlović Petković 5 (ssk)
Zlatni rez Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije Zlatni isječak je linijski segment prepolovljen na dva dijela prema pravilčima zlatnog reza. Ukupna dužina a + b je većem segmentu a isto što je a kraćem segmentu b. U matematici i umjetnosti, dvije veličine su u zlatnom rezu ako je omjer između sume te dvije veličine i veće od njih jednak sa odnosom veće veličine sa manjom veličinom. Zlatni rez je matematička konstanta, koja približno iznosi 1,6180339887.[1] Najkasnije od Renesanse, mnogi umjetnici i arhitekte su nastojali svoje radove praviti prema pravilima zlatnog reza, posebno u obliku zlatnog pravokutnika, u kojem je omjer duže stranice naspram dužine kraće stranice zlatni rez, a vjerovalo se da je ova proporcija estetski zadovoljavajuća. Matematičari su proučavali zlatni rez zbog njegovih jedinstvenih i interesantnih osobina. Zlatni rez se često označava sa grčkim slovom ϕ (fi). Izgled zlatnog isječka ilustrira geometrijsku vezu koja definiše ovu konstantu. Izraženo algebarski: Ova jednačina ima, kao jedinstveno, pozitivno rješenje, algebarsko iracionalan broj [1] Ostali nazivi, koji se koriste za ili za zlatnom rezu srodne pojmove, su zlatni isječak (latinski: sectio aurea), zlatna sredina, zlatni broj i grčko slovo fi (ϕ).[][3][4] Ostali termini, koji se susreću, jesu ekstremni i srednji omjer, medijalni isječak,božanska proporcija, božanski isječak (latinski: sectio divina), zlatna proporcija, zlatni omjer,[5], te Fidiasova sredina.[6][7][8] Prof. Mira Mihajlović Petković 6
Primjeri i zadatci Pravokutni trokut Pitagorin poučak c a b a b c v Površina P P c c p q Opseg o a b c polumjer opisane kružnice c r ABC ACD a b c v q b c ABC CBD a b c p vc a ACD CBD vc q b p v a c 1. Izračunaj ostale elemente pravokutnog trokuta ako je zadano: a) a 73.45 cm, b,56cm b) c 5.5 cm, 5 11' 1'' c) c 7.15 cm, 6 51' 31'' d) a 4,5 cm, 3 1' 56'' e) b 7,5 cm, 63 4' 6'' f) c 5.5 cm, a.58cm g) c 9.65 cm, b 7.8cm Prof. Mira Mihajlović Petković 7
. Odredi šiljaste kutove pravokutnog trokuta i površinu trokuta ako je a = 7.8, b = 5.. 3. U pravokutnom trokutu je = 56 43`15``, b = 7. Nađi nepoznate elemente toga trokuta. 4. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je a 56. 31cm, 5 40' 5' '. 5. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je b 16.31 cm, 6 41' 35''. 6. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je p 6.31 cm, 3 41'35''. 7. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je q 6.51 cm, 4 41'35''. 8. Odredi šiljaste kutove u pravokutnom trokutu ako je p 34,5 cm, v 3,45cm 9. Odredi šiljaste kutove u pravokutnom trokutu ako je q 14,55 cm, v 13,5cm 10. Izračunaj površinu pravokutnog trokuta, ako je p 34,67 cm, a 56,45cm. 11. Odredi duljine stranica pravokutnog trokuta ako je a c 5cm, 39 15'. 1. Odredi duljine stranica pravokutnog trokuta ako je b c 7 cm, 9 45'. 13. Odredi nepoznate elemente na slici: c c Prof. Mira Mihajlović Petković 8
Jednakokračni trokut a v o a b P Površina Opseg P b v1 a b v v a sin cos b b cos cos sin v a tg tg a v v v sin 1 sin 1 a b sin 14. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina osnovice 1 cm, a kut nasuprot osnovici 75. 15. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina kraka 1 cm, a kut nasuprot osnovici 75. 16. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina kraka 1 cm, a kut uz osnovicu 75. 17. Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina osnovice 8cm, a kut nasuprot osnovici 55. 18. Ako je duljina kraka 4cm,a kut na osnovici 4, odredi površinu jednakokračnog trokuta? 19. Odredi duljinu visine na krak u jednakokračnom trokutu kojemu je osnovica 5 cm i kut uz osnovicu 35. 0. Osnovica jednakokračnog trokuta je 1cm, a krak je od visine na osnovicu dulji za cm. Odredi kutove i opseg trokuta Prof. Mira Mihajlović Petković 9
Pravokutnik Površina Opseg P a b o a b b d a cos c b tg a b sin d a cos d d a b sin 1. Odredi površinu i opseg pravokutnika ako dijagonala duljine 10cm zatvara s dužom stranicom kut od 65 35'.. Odredi površinu i opseg pravokutnika ako duža stranica duljine 10cm zatvara s dijagonalom kut od 65 35'. 3. Površina pravokutnika je 45cm,a kut među dijagonalama je 4. Odredi duljine stranica. 4. Konstrukcija zlatnog pravokutnika: 1. Konstruiraj jedinični kvadrat (crveno).. Povuci liniju sa sredine jedne stranice u suprotan kut. 3. Iskoristi tu liniju kao radijus kako bi nacrtali luk koji definira dužu dimenziju pravokutnika. Na osnovu pravila zlatnog reza konstruiraj pravokutnik kome je kraća stranica 5 cm i izračunaj kut između njegovih dijagonala. Prof. Mira Mihajlović Petković 10
Romb P a v Površina e f P Opseg o a b c sin f sin v a a e cos a f tg e 180 5.Ako je omjer dijagonala romba 3 : 4, koliki su kutovi. 6.U rombu su dijagonale dugačke 1 i 14. Odredi šiljasti kut romba. 7.Odredi šiljasti kut romba kojem je površina 40cm, a stranica 17cm. 8.Koliko treba kupiti papira za napraviti zmaja raspona dijagonala 1m i 1,4 m, kome su sve stranice jednake. Koliki kut zatvaraju te stranice. Pretpostavka je da je zmaj smješten na papiru kao na slici: Kolika je površina iskorištenog i neiskorištenog papira? Prof. Mira Mihajlović Petković 11
Jednakokračni trapez Površina: v sin b a c P v a c cos b 360 d a c v 9.Osnovice jednakokračnog trapeza su 10cm i 8cm. Odredi kutove jednakokračnog trapeza ako je površina 45cm. 30. Osnovice jednakokračnog trapeza su duljine 8 cm i 6cm, površina mu je 14 3cm.Nađi duljinu kraka b i dijagonale trapeza. 31.Dulja osnovica jednakokračnog trapeza je duljine 8 cm, a krak 6 cm, a visina mu je 4 cm.nađi unutrašnje kutove trapeza i površinu.. 3. Zadana je duljina dijagonale jednakokračnog trapeza 1 cm, te duljine osnovica 6 i 8 cm. Odredi visinu i površinu trapeza. 33.Ako je opseg trapeza 40 cm, a duljine osnovica su 14 i 10 cm. Odredi površinu i duljinu dijagonale trapeza. 34.Ako je omjer duljina osnovica trapeza 5 : 4, krak je duljine 7 cm, a šiljasti kut uz veću osnovicu 67, odredi površinu i opseg trapeza. 35.Ako je razlika duljina osnovica 5 cm, krak jednakokračnog trapeza 8 cm i visina 5 cm, odredi površinu i duljinu dijagonale trapeza. Prof. Mira Mihajlović Petković 1
Obodni i središnji kut Za obodni i središnji kut iznad iste tetive vrijedi da je obodni kut duplo manji od središnjeg kuta, što vidimo na slici. Dobili smo dva jednakokračna trokuta BCA i BCS, pa koristimo formule za taj trokut. 36. Koliki je obodni kut nad tetivom duljine 10cm ako je polumjer kružnice 15cm? 37.Odredi duljinu tetive ako je obodni kut nad tom tetivom 6cm. 75, a polumjer kružnice Pravilni n-terokut Kad znamo da je 360 n, gdje je N broj stranica pravilnog n-terokuta. r- radijus opisane kružnice, a v visina karakterističnog trokuta n-terokuta i radijus upisane kružnice, i vidimo da je karakteristični trokut jednakokračan, samo primijenimo već poznate formule za taj trokut. Prof. Mira Mihajlović Petković 13
38. Kolika je površina pravilnog deveterokutna opisanog kružnici polumjera 4cm? 39. Kolika je površina pravilnog peterokuta koji je upisan u kružnicu polumjera 8cm? Primjena trigonometrije 40.Tunel dužine 450 m spušta se pod kutom od 1 40. Koliko je izlaz iz tunela niži od ulaza. 41.Koliko treba kupiti papira za napraviti zmaja raspona dijagonala 1m i 3,8 m, kome je kut između dvije manje stranice 71,08.. Pretpostavka je da je zmaj smješten na papiru kao na slici: Kolika je površina iskorištenog i neiskorištenog papira? e f Uputstvo: Koristi formulu za površinu deltoida P i svojstvo da dijagonala e dijeli kut na jednake dijelove. Zmaj iz zadatka 8. će mnogo slabije letjeti nego zmaj iz ovog zadatka. Prof. Mira Mihajlović Petković 14
4. Ne vrhu nebodera nalazi se reklama. Iz točke udaljene 150m od nebodera podnožje reklame vidi se pod kutom reklame? 4, a njen vrh pod kutom 45. Kolika je visina 43. Sa prozora visokog 0m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutem od 1, a sa zemlje (točno ispod prozora) pod kutom od 58. Koliko je visoka zgrada? Prof. Mira Mihajlović Petković 15
Rješenje: Zgrada je visoka h = x + y x x Iz trokuta BDA je tg1 DB DB tg1 Iz trokuta CEA je 58 x y x tg CE y CE tg58 A kako je DB x tg58 x 0 tg1 => x x y CE tg1 tg58 i y 0 => x x 0 tg1 tg58 Riješimo jednadžbu po x: x tg58 x tg1 0 tg1 x tg58 x tg1 0 tg1 Izračunamo tangense kutova i uvrstimo i dobijemo: 1,3875x 4, 511/ :1,3875 => Zgrada je visoka h=3 metra. x 3,06 3m Prof. Mira Mihajlović Petković 16
Samostalni projekt: A. Dana je mreža cesta i neki elementi te mreže. Izračunaj nepoznate duljine i kutove označene na slici. B. Marko treba skrenuti u mjestu A da bi stigao do mjesta C najkraćim putem. Koliko mu se produžuje put ako ne skrene sa autoputa kod mjesta A, nego kod: I. Mjesta D II. Mjesta B III. Mjesta F C: Ako pretpostavimo da vozi prosječnom brzinom v 90 km, koliko će kasnije stići h ako je skrenuo je skrenuo u: I. Mjestu D II. Mjestu B III. Mjestu F Prof. Mira Mihajlović Petković 17
D. Ako žuri na intervju za posao i mora stići točno na vrijeme, a uračunao je da će stići 0 minuta ranije, ako točno skrene, koliko si nonšalantnosti može dozvoliti pri praćenju izlaza sa autoputa, tj. koliko izlaza može propustiti, da bi stigao na vrijeme. Rješenja: A. X= Y= l= z= v= t= B. s0 d A, C I s d A D d D E d E C II. s d A B d B C III. s d A F d F C 1,,,,, 3,, s s s 1 1 0 s s s0 s s s 3 3 0 C. put Vrijeme brzina s t v s1 I: t1 v s II. t v Prof. Mira Mihajlović Petković 18
s3 III. t3 v D. Može si dozvoliti da skrene na izlazima:. Prof. Mira Mihajlović Petković 19
Primjer ispita znanja 1. Zadan je pravokutan trokut s elementima : I. a = 9.1 cm, b = 6.6 cm, nađi preostale elemente trokuta : c,, β te površinu trokuta. II. c = 7.1 cm i = 45 38, nađi preostale elemente trokuta : a, b, β te površinu trokuta.. Popuni tablicu Kut sin cos tg ctg 78 56 53 0,34567 0,9876 0.367 1.0981 3. Zadan je jednakokračni trokut s elementima a= 11. cm i b= 13.5 cm, izračunaj preostale elemente trokuta visinu v, kutove, β, te površinu trokuta. 4. Osnovice jednakokračnog trapeza su 10cm i 8cm. Odredi kutove tog trapeza ako je površina 45cm. 5. Pod koji se kutom sijeku Ulica Lipa i Ulica Japanskih trešanja? Ikoliko je duga Ulica Japanskih trešanja Prof. Mira Mihajlović Petković 0
Prof. Mira Mihajlović Petković 1