DVOFAZNI TOK FLUIDA KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU. UVJETI NA GRANICI RAZLIČITIH TIPOVA STIJENA

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Manuela Koštroman DVOFAZNI TOK FLUIDA KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU. UVJETI NA GRANICI RAZLIČITIH TIPOVA STIJENA Dplomsk rad Vodtelj rada: Prof. dr.sc. Mladen Jurak Zagreb, travanj 2015

Ovaj dplomsk rad obranjen je dana u sastavu: pred sptnm povjerenstvom 1., predsjednk 2., član 3., član Povjerenstvo je rad ocjenlo ocjenom. Potps članova povjerenstva: 1. 2. 3.

Sadržaj Sadržaj Uvod 2 1 Flud u poroznoj sredn 3 1.1 Porozna sredna flud........................... 3 1.2 Jednofazn tok kroz poroznu srednu.................... 4 2 Dvofazn tok kroz heterogenu poroznu srednu 7 2.1 Svojstva dvofaznog toka.......................... 7 2.2 Generalzran Darcyjev zakon....................... 10 2.3 Krvulje kaplarnog tlaka.......................... 11 2.4 Krvulje relatvnh propusnost....................... 13 2.5 Matematčk model dvofaznog toka.................... 15 2.6 Formulacja................................. 18 3 Numerčk model dvofaznog toka 21 3.1 Upwnd metoda............................... 21 3.2 Prostorna vremenska dskretzacja.................... 25 3.3 Jednodmenzonaln slučaj......................... 26 3.4 Metoda konačnh volumena......................... 29 4 Test prmjer 40 4.1 Prv prmjer................................. 41 4.2 Drug prmjer................................ 46 4.3 Treć prmjer................................. 50 Bblografja 55

Uvod Podzemne vode su dragocjen resurs važan za sve oblke žvota na zemlj. Njhova kvalteta je ugrožena curenjem otpadnh voda s odlagalšta l pak slučajnm zljevma nafte otpadnh supstanc z ndustrjskh pogona. Pr rješavanju problema onečšćenja podzemnh voda, numerčke smulacje mogu pomoć boljem razumjevanju samog procesa na taj načn prdonjet optmzacj sanranja problema. Name, ponašanje vode otpadnh voda l vode nafte u poroznoj sredn, je dobro aproksmrano matematčkm modelom dvofaznog toka kroz poroznu srednu. Osm za sanacju onečšćenja podzemnh voda, matematčk model dvofaznog toka kroz poroznu srednu je važan u eksploatacj nafte plna z naftnh plnskh ležšta te pr zakopavanju nuklenarnog otpada u duboke geološke slojeve. U ovom radu se bavmo modelranjem dvofaznog toka kroz heterogenu poroznu srednu. U Poglavlju 1 uvodmo parametre koj dobro karakterzraju poroznu srednu flude te predstavljamo matematčk model za jednofazn tok kroz poroznu srednu. Izvod matematčkog modela za dvofazn tok kroz heterogenu poroznu srednu te osnovne pojmove modela uvodmo u Poglavlju 2. Dobven matematčk model se sastoj od dvje nelnearne nestaconarne parcjalne dferencjalne jednadžbe s prpadajućm ncjalnm rubnm uvjetma. Dskretzacju parcjalnh dferencjalnh jednadžb dvofaznog toka zvodmo u Poglavlju 3. Korstmo metodu konačnh volumena s upwnd shemom. Upwnd shemu korstmo za dskretzacju korektvnog člana čme osguravamo stablzacju numerčke metode. Za vremensku dskretzacju korstmo mplcntu metodu. Implementacja testnh prmjera je napsana pomoću software-a DUNE. U Poglavlju 4 su prkazan dobven rezultat. 1

Poglavlje 1 Flud u poroznoj sredn 1.1 Porozna sredna flud Porozna sredna je materjal koj se sastoj od dva djela: čvrstog pornog djela (šupljna). Porn do porozne sredne je spunjen s jednm l vše fluda (npr. zrakom l vodom). Najtpčnj prmjer porozne sredne je pjesak. Čvrst do se sastoj od zrnaca pjeska, a praznne medu zrncma čne porn do. Faza je kemjsk homogen do sustava koj je odvojen od drugh djelova sustava jasno defnranom fzčkom grancom. Kažemo se da je sustav jednofazan ako su šupljne u poroznoj sredn spunjene jednm fludom (npr. naftom) l s vše fluda koj se mogu u potpunost zmješat (npr. čsta voda otopna sol). Sustav je všefazan ako su šupljne spunjene s vše fluda koj se ne mogu medusobno potpuno zmješat tj. medu njma ostaje jasna granca (npr. voda nafta). Čvrst do porozne sredne se defnra kao čvrsta faza. Btnu stavku u modelranju toka kroz poroznu srednu čn odabr prostorne skale. Razlkujemo mkroskopsku makroskopsku skalu. Mkroskopska skala je prostorna skala reda velčne 10 3 m. S gledšta ove skale, flud čvrsta faza porozne sredne su neprekdne susjedne supstance zmedu kojh postoj jasno defnrana granca. Takoder, na elementarne velčne kao što su masena gustoća l brzna gledamo kao na neprekdne funkcje vremena prostora. Matematčk model toka fluda kroz porn do porozne sredne na mkroskopskoj skal je opsan Naver-Stokesovm sustavom jednadžb uz koje se postavljaju odgovarajuć rubn uvjet. Medutm, geometrju pornog prostora ne možemo dovoljno preczno opsat da b postavljanje rubnh uvjeta blo moguće. Zato je uvedena makroskopska skala. Makroskopska skala je prostorna skala reda velčne od 10 do 100m. Na makroskopskoj skal nema jasne grance zmedu fluda čvrste faze porozne sredne, već sve faze zauzmaju do promatranog djela prostora. Svakoj točk z kontnuuma na makroskopskoj skal je prdružena srednjena vrjednost elementarnh velčna s mkroskopske skale. Područje 2

POGLAVLJE 1. FLUIDI U POROZNOJ SREDINI 3 na kojem se usrednjenjavaju vrjednost zove se reprezentatvn elementarn volumen, REV. Na taj se načn dobvaju makroskopske jednadžbe za koje nje potreban egzaktan ops geometrje porozne sredne već samo mjerljva statstčka svojstva porozne sredne fluda. Stoga ćemo se u daljnjem radu bavt proučavanjem matematčkog modela toka fluda kroz poroznu srednu na makroskopskoj skal. Osm prostorne skale, uvodmo još dva pojma koja su btna za ops porozne sredne: poroznost propusnost. Poroznost Φ je velčna koja pokazuje kolk do porozne sredne zauzma porn prostor. Računamo ju prema Φ(x) = 1 V s (x) V(x), (1.1) gdje je V(x) ukupn volumen koj zauzma porozna sredna, a V s (x) volumen čvrstog djela porozne sredne. Propusnost je velčna koja pokazuje kolk otpor toku fluda daje porozna sredna. Smetrčn tenzor apsolutne propusnost K je parametar porozne sredne. K je funkcja položaja u slučaju heterogene porozne sredne. Nadalje ćemo pretpostavljat da je porozna sredna zotropna odnosno da je tok fluda jednak u svm smjerovma. Stoga će tenzor apsolutne propusnost K bt najvše djagonalna matrca, tj. K(x) = k(x) I, (1.2) gdje je k(x) skalarna funkcja. Navedmo još svojstva fluda. Medu važna svojstva ubrajamo masen udo ω, masenu gustoću ρ, dnamčku vskoznost µ, tlak p te temperaturu T. Pretpostavmo l da se flud sastoj od N kemjskh komponent, masen udo komponente označavamo s ω. Vrjed 0 ω 1. U ovom radu ćemo razmatrat samo one flude koj se sastoje od jedne komponentne ω. Masena gustoća ρ je općento funkcja kompozcje fluda, tlaka temperature. Dnamčka vskoznost µ je mjera koja pokazuje kolko je flud otporan na deformacje smcanja, te je takoder funkcja kompozcje fluda, tlaka temperature. Nadalje ćemo pretpostavljat da su flud kojma se bavmo u ovom radu zotermn, odnosno neovsn o temperatur, te da su nkompresbln odnosno neovsn o tlaku. Uz takve pretpostavke, masena gustoća ρ dnamčka vskoznost µ su konstane. 1.2 Jednofazn tok kroz poroznu srednu Opšmo makroskopske jednadžbe za tok fluda kroz poroznu srednu u slučaju kada je porn prostor spunjen samo jednm fludom, npr. vodom l naftom. Darcyjev zakon Darcyjev zakon je ekspermentalno dokazana tvrdnja (Henry Darcy, 1856) za slučaj jednofaznog toka kroz poroznu srednu. Kako bsmo preczno skazal ovaj zakon, defnramo

POGLAVLJE 1. FLUIDI U POROZNOJ SREDINI 4 dvje brzne fluda u poroznoj sredn. Prva brzna je Darcyjeva brzna l prvdna makroskopska brzna, u oznac u, koja se defnra kao omjer protoka fluda Q površne A kroz koju flud protjeće (Q se defnra kao promjena volumena fluda po jednc vremena). Druga brzna je stvarna makroskopska brzna koja se dobje djeljenjem Darcyjeve brzne u s poroznošću Φ pošto se tok fluda odvja samo u pornom prostoru. Darcyjev zakon nam daje vezu medu Darcyjeve brzne gradjenta tlaka: gdje je u(x, t) - Darcyjeva brzna dmenzje [m/s], u = K ( p ρg), (1.3) µ p(x, t) - tlak fluda; nepoznata funkcja dmenzje [Pa] = [N/m 2 ], K(x) - smetrčn tenzor apsolutne propusnost dmenzje [m 2 ], g - gravtacjsk vektor dmenzje [m/s 2 ], µ - dnamčka vskoznost fluda (konstanta) dmenzje [Pa s]. Darcyjev zakon čn dobru aproksmacju zakona o očuvanju kolčne gbanja. Zakon sačuvanja mase Neka je Ω R d, d = 2, 3 domena. Zakon očuvanja mase na makroskopskoj skal je zražen sljedećom dferencjalnom jednadžbom gdje je (Φρ) t Φ(x) - poroznost, bezdmenzonalna velčna, ρ - gustoća fluda (konstanta) dmenzje [kg/m 3 ], u(x, t) - Darcyjeva brzna dmenzje [m/s], q(x, t) - zraz za zvor/ponor dan u [s 1 ]. + dv(ρu) = ρq u Ω (1.4) Integraln oblk ove jednadžbe kaže da je brzna promjene mase fluda po prozvoljnom volumenu Ω 0 Ω jednaka protoku fluda preko grance Ω 0 doprnosu zvora odnosno ponora u Ω 0.

POGLAVLJE 1. FLUIDI U POROZNOJ SREDINI 5 Incjaln rubn uvjet Da b u potpunost opsal matematčk model za jednofazn tok, potrebno je zadat početne rubne uvjete. Neka je Ω R d, d = 2, 3 ogrančena domena sa vanjskm rubom Γ = Ω. Postoje tr tpa rubnh uvjeta. Kada je tlak poznata funkcja po rubu Γ, tada je rubn uvjet dan sa p = g 1 na Γ. (1.5) Ovaj tp rubnog uvjeta u teorj parcjalnh dferencjalnh jednadžb se zove rubn uvjet prvog tpa l Drchletov rubn uvjet. Kada je protok mase poznat na rubu Γ onda je rubn uvjet dan sa ρ u n = g 2 na Γ, (1.6) gdje n označava vanjsku jednčnu normalu na Γ. Ovaj tp rubnog uvjeta zovemo rubn uvjet drugog tpa l Neumannov rubn uvjet. Rubn uvjet trećeg tpa l mješovt rubn uvjet je dan s gdje su g p, g u g 3 poznate funkcje. g p p + g u ρ u n = g 3 na Γ, (1.7) Početn l ncjaln uvjet zadajemo u trenutku t 0 = 0 za funkcju tlaka p p(x, 0) = p 0 (x), x Ω. (1.8) U ostatku rada ćemo se bavt dvofaznm tokom u kojem se Darcyjev zakon zakon sačuvanja mase modfcraju kako b uzel u obzr prsutnost dva razlčta fluda u pornom prostoru.

Poglavlje 2 Dvofazn tok kroz heterogenu poroznu srednu Model dvofaznog toka kroz poroznu srednu ćemo bazrat na modelu jednofaznog toka. Postoje dvje btne razlke zmedu ta dva modela. Prvo, kod jednofaznog toka jedan flud spunjava cjel porn prostor, dok kod dvofaznog toka dva fluda spunjavaju porn prostor. Volumn do fluda ostaje konstantan, al se omjer jednog drugog fluda mjenja. Može se dogodt da jedan flud spunjava gotovo cjel porn prostor, a drug flud preostal mal do. Da b znal volumn udo pojednog fluda, uvodmo pojam zasćenja. Druga btna razlka je to što kod dvofaznog toka flud medusobno djeluju jedan na drugog, tj. javljaju se odredene sle na granc zmedu fluda. Stoga uvodmo pojmove kao što su kaplarn tlak relatvna propusnost. 2.1 Svojstva dvofaznog toka Kaplarn tlak Na molekularnoj razn, javljaju se sle adhezje kohezje. Adhezja prvlač molekule fluda ka čvrstoj stjenc dok kohezja prvlač molekule fluda jedne drugma. Na granc dodra dvaju fluda te sle nsu u ravnotež pa na mkroskopskoj razn vdmo zakrvljenu grancu medu fludma. Nastalu grancu zovemo ploha separacje. U točk dodra čvrste stjenke plohe separacje defnramo kut vlaženja θ. Flud za koj je θ < 90 nazvamo vlažeća faza, te označavamo s w (prema eng. wettng phase), a onaj za koj je θ > 90 nazvamo nevlažeća faza označavamo s n (eng. non-wettng phase). U sustavma vodapln l voda-nafta, voda je vlažeća faza, dok je u sustavu nafta-pln, najčešće nafta vlažeća faza. 6

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 7 Uočmo da je tlak nevlažeće faze već od tlaka vlažeće faze. Prekd funkcje tlaka koj nastaje pr prjelazu separacjske plohe zmedu nevlažeće vlažeće faze je modelran Laplace-Youngovm zakonom ( 1 p n p w = σ + 1 ) (2.1) R 1 R 2 gdje su p n p w mkroskopsk tlakov s nevlažeće vlažeće strane grance plohe, σ - površnska napetost, R 1 R 2 - radjus zakrvljenost separacjske plohe. Na makroskopskoj razn nemamo plohu separacje, al dalje postoj prekd tlaka. Skok koj nastaje kao razlka makroskopskh tlakova nevlažeće vlažeće faze zovemo kaplarn tlak označavamo s p c : p c = p n p w. (2.2) Uvedmo još pojam ulaznog tlaka. Ulazn tlak p d je najmanj kaplarn tlak koj se mora dosegnut da b nevlažeća faza dospjela u najveće pore porozne sredne. Zasćenja Neka su V w V n redom volumen vlažeće nevlažeće faze. Tada je V v = V w + V n. (2.3) Do pornog prostora porozne sredne koj zauzma faza α zovemo zasćenje faze α označavamo sa S α : S α = Vα V v. (2.4) Iz defncje sljed S w + S n = 1, 0 S w, S n 1. (2.5) Pustmo l da voda (vlažeća faza) steće z porozne sredne, mal do vode će preostat u zolranm kapma prljubljenma uz čvrstu stjenku. Isto tako, natopmo l poroznu srednu vodom, nećemo moć stsnut sav zrak (nevlažeću fazu) z porozne sredne. Te preostale djelove vlažeće odnosno nevlažeće faze nazvamo rezdualna zasćenja vlažeće nevlažeće faze te označavamo sa S wr S nr respektvno. Pretpostavmo sada da je porozna sredna u potpunost zasćena vlažećom fazom. Kada počnemo dovodt nevlažeću fazu, ona će prvo uć u najveće pore porozne sredne, a

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 8 vlažeća faza će se povlačt u manje pore sve manjeg radjusa. Prema (2.1) mkroskopsk kaplarn tlak na granc dva fluda se povećava sa smanjenjem radjusa šupljna. Iz toga možemo zaključ da se makroskopsk kaplarn tlak povećava sa smanjenjem zasćenja vlažeće faze, odnosno zaključujemo da postoj zavsnost zmedu kaplarnog tlaka zasćenja vlažeće faze. U općentom slučaju kaplarn tlak ovs o vše komponent, al ovdje ćemo razmatrat kaplarn tlak kao funkcju zasćenja vlažeće faze S w : p c (S w ) = p n p w. (2.6) Ustvrdl smo da se odvodenjem vlažeće faze z porozne sredne kaplarn tlak povećava. Kako se zasćenje S w prblžava rezdualnom zasćenju S wr, kaplarn tlak jako raste tme onemogućava veća smanjenja zasćenja vlažeće faze S w. Sljed da je kaplarn tlak, u ovsnost o zasćenju vlažeće faze, monotono padajuća funkcja s vertkalnom asmptotom u rezdulanom zasćenju S wr. Defnramo još efektvno zasćenje vlažeće faze S e Uočmo da je 0 S e 1. S e = S w S wr 1 S wr S nr. (2.7) Makroskopska heterogenost Razmotrmo sada poroznu srednu koja se sastoj od dva materjala: grubog pjeska na jednom djelu domene fnog pjeska na drugom djelu. S makroskopske skale, to je modelrano prekdom porozne sredne gdje Γ predstavlja granca zmedu dvje poddomene. Označmo sa Ω I do domene spunjen grubm pjeskom te sa Ω II do domene spunjen fnm pjeskom. Tada će tenzor apsolutne propusnost K(x) = k(x) I (za zotropnu poroznu srednu) mat skok na granc Γ k I x Ω I, k(x) = (2.8) k II x Ω II. Slčno, poroznost može varrat u razlčtm poddomenama. Takoder, kao posljedca promjene djametra pora razlčth materjala, postojat će razlčta veza zmedu kaplarnog tlaka zasćenja u razlčtm poddomenama. Na slc 2.1 vdmo prmjer krvulja kaplarnog tlaka. Pretpostavmo l da je porozna sredna na početku potpuno zasćena vlažećom fazom (npr. vodom), tada će nevlažeć flud (npr. nafta) koj teće kroz pore grubog pjeska, prjeć u pore fnog pjeska samo ako je kaplarn tlak dovoljno velk. Mnmaln kaplarn tlak

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 9 p c p II c p II d p I d p I c S I w S II w 1 S w Slka 2.1: Porozna sredna s dskontnutetom koj se treba dosegnut je ulazn tlak p d. Na slc 2.1 je p II d > pi d što znač da nafta neće odmah uć u pore fnog pjeska već će se prelt preko njegovog ruba. Razmotrmo sada stuacju u kojoj su oba fluda prsutna u obje poddomene. Neka je S w I zasćenje vlažeće faze u točk grance Γ kada flud dolaz z Ω I S w II zasćenje vlažeće faze u točk grance Γ kada flud dolaz z Ω II. Iz neprekdnost kaplarnog tlaka pc(s I w) I = pc II (S w II ) sljed prekdnost zasćenja vlažeće faze na granc Γ. 2.2 Generalzran Darcyjev zakon Ekspermentalno je dokazano da Darcyjev zakon vrjed za dvofazne tokove, uz pretpostavku da je zmjena kolčne gbanja zmedu vlažeće nevlažeće faze zanemarva. Darcyjevu brznu svake od faza α = w, n, možemo zrazt pomoću gradjenta tlaka prpadajuće faze gdje su u α (x, t) - Darcyjeva brzna faze α, K α - propusnost faze α, µ α - vskoznost faze α, p α (x, t) - tlak faze α, ρ α - gustoća faze α, g - gravtacjsk vektor. u α = K α µ α ( p α ρ α g), (2.9)

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 10 Za razlku od jednofaznog toka, sada na propusnost K α svake od faza α = w, n, osm propusnost čvrste stjenke, utječe prsutnost druge faze u poroznoj sredn. Navodmo relacju za propusnost K α podržanu ekspermenatalnm podatcma: gdje su k rα - relatvna propusnost faze α, K - apsolutna propusnost. K α = k rα (S α ) K, (2.10) Relatvna propusnost k rα je funkcja zasćenja S α koja modelra čnjencu da je tok fluda α blokran prsutnošću drugh fluda. k rα možemo shvaćat kao faktor skalranja za kojeg vrjed 0 k rα 1. Kasnje ćemo navest prmjere krvulja za funkcje relatvnh propusnost. Uvrstmo l relacju (2.10) u (2.9) dobvamo Darcy-Muskatov zakon u α = k rα(s α ) µ α K ( p α ρ α g). (2.11) Vrjednost λ α (S α ) = k rα(s α ) µ α zovemo moblnost faze α. Uočmo da je moblnost faze α to veća što je veća relatvna propusnost k rα, a manja vskoznost µ α. 2.3 Krvulje kaplarnog tlaka Postoje dva opća načna odredvanja krvulje kaplarnog tlaka. Prv odreduje kaplarnu krvulju labaratorjskm mjerenjma. Buduć su mjerenja skupa, češće se korst drug načn, a to je na temelju teorje. Ovdje navodmo dva modela u kojma se funkconalna veza zmedu kaplarnog tlaka zasćenja zvod z teorjskh razmatranja. Oba modela su zvedena za dvofazne sustave. Njhov parametar su prlagoden tako da odgovaraju ekspermentalnm podatcma. Prv model je Brooks-Corey model. Brooks-Coreyeva funkcja kaplarnog tlaka zadana je u ovsnost o efektvnom zasćenju vlažeće faze S e defnranom s (2.7) na sljedeć načn: p c (S w ) = p d S λ 1 e (2.12) gdje su p d - ulazn tlak porozne sredne,

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 11 λ - parametar. Parametar λ je povezan sa dstrbucjom pora. Najčešće vrjednost parametra λ su u rangu od 0.2 do 3. λ poprma manje vrjednost u slučaju kada porozna sredna ma homogenu čvrstu stjenku, te poprma veće vrjednost kod porozne sredne čja je čvrsta stjenka nehomogena. Drug model za funkcje kaplarnog tlaka je Van Genuchtenov model koj dobro modelra dvofazne sustave voda-pln. Van Genuchtenovova funkcja kaplarnog tlaka je dana s: p c (S w ) = 1 α (S m 1 1 n e 1) (2.13) gdje su α, m n - parametr. Parametar m se najčešće zadaje u ovsnost o n kao m = 1 1. Parametar n se zadaje u n rangu od 2 do 5, a parametar α je vezan uz vrjednost ulaznog tlaka p d. Slka 2.2: Prmjer Brooks-Coreyeve krvulje kaplarnog tlaka p c za razlčte vrjednost λ s parametrma: p d = 2.0, S wr = 0.1.

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 12 Slka 2.3: Prmjer Van Genuchtenove krvulje kaplarnog tlaka za razlčte vrjednost od n s parametrma: α = 0.3333, S wr = 0.1. 2.4 Krvulje relatvnh propusnost Pr odredvanju krvulja relatvnh propusnost k rw k rn takoder postoje dva prstupa: ekspermentalna mjerenja analtčk prstup. Analtčk prstup korst vezu zmedu kaplarnog tlaka relatvne propusnost. Tm prstupom se u dvofaznom sustavu ponovno dolaz do modela Brooks-Coreya Van Genuchtena. Brooks-Coreyeve funkcje relatvnh propusnost takoder zapsujemo u ovsnost o efektvnom zasćenju vlažeće faze S e : gdje je parametar λ st kao za funkcju kaplarnog tlaka. k rw (S w ) = S 2+3λ λ e (2.14) k rn (S n ) = (1 S e ) 2 (1 S 2+λ λ e ) (2.15)

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 13 Van Genuchtenove funkcje relatvnh propusnost su dane jednadžbama gdje su n, ε, γ - parametr. k rw (S w ) = S ε e (1 (1 S n n 1 e k rn (S n ) = (1 S e ) γ ( 1 S n n 1 e ) 2 ) n 1 n (2.16) ) 2(n 1) n (2.17) Parametr ε γ najčešće poprmaju vrjednost ε = 1 γ = 1, dok je parametar n st kao 2 3 u Van Genuchtenovoj funkcj kaplarnog tlaka. Slka 2.4: Prmjer Brooks-Coreyevh krvulja relatvnh propusnost vlažeće k rw nevlažeće faze k rn s parametrma: λ = 2.0, S wr = S nr = 0.1.

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 14 Slka 2.5: Prmjer Van Genuchtenovh krvulja relatvnh propusnost s parametrma: n = 4, ε = 0.5, γ = 0.3333, S wr = S nr = 0.1. 2.5 Matematčk model dvofaznog toka Zakon sačuvanja mase Neka porozna sredna spunjava ogrančenu domenu Ω R d, d = 2, 3. Ovdje nam je btna pretpostavka da nema prjenosa mase zmedu vlažeće nevlažeće faze. Tada je zakon o očuvanju mase svake od faza α = w, n dan jednadžbom pr čemu su (ΦS α ρ α ) t + dv(ρ α u α ) = ρ α q α, (2.18) Φ(x) - poroznost, ρ α - gustoća faze α,

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 15 S α (x, t) - zasćenje faze α, u α (x, t) - Darcyjeva brzna faze α, q α (x, t) - funkcja koja opsuje zvor/ponor faze α. Uočmo da smo poroznost Φ množl sa zasćenjem S α odgovarajuće faze jer u dvofaznom modelu svaka faza zauzma jedan do pornog prostora. Zbog pretpostavk da su gustoće ρ w ρ n konstantne dobvamo (ΦS α ) + dv u α = q α. (2.19) t Nadalje pretpostavljamo da je poroznost Φ konstantna pa sljed Φ S α t + dv u α = q α. (2.20) Dferencjalne jednadžbe dvofaznog toka Neka su dan ogrančena domena Ω R d, d = 2, 3 vremensk nterval (0, T). Uvrstmo l Darcyjevog zakon (2.11) u zakon o očuvanju mase (2.20) dobvamo sustav od dvje parcjalne dferencjalne jednadžbe sa četr nepoznance Φ S w = dv [ λ w (S w )K( p w ρ w g) ] + q w t Φ S n = dv [ λ n (S n )K( p n ρ n g) ] (2.21) + q n, t uz uvjete Klasfkacja modela S w + S n = 1 p n p w = p c (S w ). (2.22) Sustav (2.21) na prvu zgleda kao sustav parabolčkh parcjalnh dferencjalnh jednadžb. Medutm, u slučaju kada su flud nkompresbln zapravo mamo parabolčko-elptčk sustav. Name, zbrajanjem jednadžb (2.21) 1 (2.21) 2 te uvažavanjem uvjeta na zasćenje (2.22) 1 dobvamo 0 = dv [ λ w K p w K (λ w ρ w + λ n ρ n ) g + λ n K p n ] + qw + q n. Prebacmo zraz s gradjentom tlaka p w na ljevu stranu od svake strane oduzmemo λ n K p w : dv[(λ w + λ n ) K p w ] = dv[k (λ w ρ w + λ n ρ n ) g + λ n K ( p w p n )] + q w + q n.

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 16 Iz (2.22) 2 sljed p n p w = p c (S w ). Uvažmo l p c (S w ) = p c (1 S n ) = p c S n, dobvamo jednadžbu koja je ekvvalentna jednadžb (2.21) 1 : dv[(λ w + λ n ) K p w ] = dv[k (λ w ρ w + λ n ρ n ) g + λ n K p c S n ] + q w + q n. Nadalje, uvrstmo l p n = p w + p c (S w ) = p w p c S n u (2.21) 2 dobvamo jednadžbu koja je ekvvalentna jednadžb (2.21) 2 : Φ S n t = dv [ λ n (S n ) K ( p w ρ n g) λ n (S n ) K p c S n ] + qn. Dakle, sustav (2.21) možemo zapsat na sljedeć ekvvalentan načn: dv[(λ w + λ n ) K p w ] = dv[k (λ w ρ w + λ n ρ n ) g + λ n K p c S n ] + q w + q n Φ S n t = dv [ λ n (S n ) K ( p w ρ n g) λ n (S n ) K p c S n ] + qn. (2.23) Sada vdmo da je prva parcjalna dferencjalna jednadžba z (2.23) elptčkog tpa obzrom na tlak p w. Druga jednadžba z stog sustava je l nelnearna hperbolčka ako je p c 0 l parabolčka ako kaplarn tlak p c nje zanemarv. Kada b mal kompresblnost barem jednog fluda, taj flud b prvu jednadžbu z (2.23) pretvoro u parabolčku. Incjaln rubn uvjet Za potpun ops matematčkog modela za dvofazn tok, potrebno je još uvest početne rubne uvjete. Neka je Ω R d, d = 2, 3 ogrančena domena s vanjskm rubom Γ = Ω takvm da vrjed Γ = Γ wd Γ wn, Γ wd Γ wn =, Γ = Γ nd Γ nn, Γ nd Γ nn =. (2.24) Rubne uvjete Drchletovog tpa zadajemo za funkcje tlaka p w p n te funkcje zasćenja S w S n : p w (x, t) = p wd (x, t), S w (x, t) = S wd (x, t), p n (x, t) = p nd (x, t), S n (x, t) = S nd (x, t), (x, t) Γ wd (0, T), (x, t) Γ wd (0, T), (x, t) Γ nd (0, T), (x, t) Γ nd (0, T). (2.25)

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 17 Prmjetmo da mora vrjedt S wd (x, t) + S nd (x, t) = 1, x Γ wd Γ nd, t (0, T) zbog konzstentnost s uvjetom (2.5). Rubn uvjet Neumannovog tpa su dan sa ρ w λ w (S w ) K ( p w ρ w g) n = φ w (x, t), ρ n λ n (S n ) K ( p n ρ n g) n = φ n (x, t), (x, t) Γ wn (0, T), (x, t) Γ nn (0, T). (2.26) Sada ncjalne uvjete zadajemo samo na funkcje zasćenja S w S n pošto je sustav parabolčko-elptčnog tpa: Ponovno, zbog (2.5) mora vrjedt 2.6 Formulacja S w (x, 0) = S w0 (x), x Ω, S n (x, 0) = S n0 (x), x Ω. S w (x, 0) + S n (x, 0) = 1, x Ω. (2.27) U modelu dvofaznog toka mamo četr nepoznance: p w, p n, S w, S n dvje parcjalne dferencjalne jednadžbe (2.21). Iz algebarskh uvjeta (2.22) možemo na vše načna odabrat dvje prmarne varjable. Formulacja tlak-zasćenje Uzmmo za prmarne varjable tlak vlažeće faze p w zasćenje nevlažeće faze S n. Supsttucjom S w = 1 S n p n = p w + p c (1 S n ) sljed S w = S n t t p n = p w + p c (1 S n ) čme dobvamo (p w, S n ) - formulacju Φ S n = dv [ λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g) ] + q w t Φ S n t = dv [ λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g) ] + q n. (2.28)

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 18 Početne uvjete zadajemo na funkcju zasćenja S n Rubn uvjet Drchletovog tpa je dan sa S n (x, 0) = S n0 (x), x Ω. (2.29) p w (x, t) = p wd (x, t), (x, t) Γ wd (0, T) S n (x, t) = S nd (x, t), (x, t) Γ nd (0, T), (2.30) te rubn uvjet Neumannovog tpa ρ w λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g) n = φ w (x, t), (x, t) Γ wn (0, T) ρ n λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g) n = φ n (x, t), (x, t) Γ nn (0, T). (2.31) Na st načn smo za prmarne varjable mogl odabrat tlak nevlažeće faze p n zasćenje vlažeće faze S w te dobt (p n, S w ) f ormulac ju. Formulacja tlak-tlak Za prmarne varjable uzmamo tlak vlažeće faze p w tlak nevlažeće faze p n. Pretpostavljamo da funkcja kaplarnog tlaka p c ma jednstven nverz. Supsttucjom S w = p 1 c (p n p w ) S n = 1 p 1 c (p n p w ) sljed S w t S n t = p 1 c t = p 1 c t čme dobvamo (p w, p n ) f ormulac ju Φ p 1 c = dv [ λ w (p 1 c (p n p w )) K ( p w ρ w g) ] + q w t Φ p 1 c t = dv [ λ n (1 p 1 c (p n p w )) K ( p n ρ n g) ] + q n. Tada su početn uvjet dan za funkcje tlakova p w p n : p w (x, 0) = p w0 (x), x Ω, p n (x, 0) = p n0 (x), x Ω. (2.32) (2.33)

POGLAVLJE 2. DVOFAZNI TOK KROZ HETEROGENU POROZNU SREDINU 19 Rubn uvjet Drchletovog tpa su takoder zadan za funkcje tlakova p w p n : Neumannov rubn uvjet glase: p w (x, t) = p wd (x, t), p n (x, t) = p nd (x, t), (x, t) Γ wd (0, T), (x, t) Γ nd (0, T). (2.34) ρ w λ w (p 1 c (p n p w )) K ( p w ρ w g) n = φ w (x, t), (x, t) Γ wn (0, T), ρ n λ n (1 p 1 c (p n p w )) K ( p n ρ n g) n = φ n (x, t), (x, t) Γ nn (0, T). (2.35) Još jedna moguća formulacja sustava (2.21) je pomoću globalnog tlaka (drug nazv je formulacja djelomčnog toka; eng. fractonal flow formulaton). Formulacja pomoću globalnog tlaka je detaljno opsana u [2].

Poglavlje 3 Numerčk model dvofaznog toka U ovom poglavlju opsujemo stablzacju numerčkh metoda pomoću upwnd metode za dskretzacju korektvnog člana te njenu prmjenu na model dvofaznog toka. Uvodmo dskretzacju skupa Ω (0, T) te opsujemo metodu konačnh volumena za dferencjalne jednadžbe dvofaznog toka u (p w, S n ) formulacj. 3.1 Upwnd metoda Upwnd metodu je najlakše opsat u kontekstu metode konačnh dferencja. Promotrmo Cauchyjev problem u t + a u = 0, x R, t 0 x u(x, 0) = u 0 (x). (3.1) Skup R R + 0 na kojem promatramo gornj problem, dskretzramo strukturranom mrežom s prostornm korakom x vremenskm korakom t. Dskretna mreža točaka (x, t j ) je defnrana na sljedeć načn x = x, Z t j = j t, j N. Nadalje, pretpostavljamo da je t = const. stoga će vremensk korak t označavat jednstvenu mrežu. Vrjednost rješenja u u točkama dskretzacje (x, t j ) ćemo označavat x sa u j : u j = u(x, t j ). (3.2) 20

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 21 Upwnd metoda će nam dat aproksmacje (U j ) stvarnog rješenja u u točakama (x, t j ). Svakom dskretnom preslkavanju (U j ) prdružujemo po djelovma glatku, konstantu funkcju U t (x, t) defnranu na R R + 0 na sljedeć načn U t (x, t) = U j, (x, t) [x 1/2, x +1/2 ) [t j, t j+1 ) (3.3) gdje je x 1/2 = ( 1/2) x. Iz početnog uvjeta u 0 (x) konstruramo vektor početnh aproksmacja (U 0 ) : U 0 x +1/2 = 1 u 0 (x) dx. (3.4) x x 1/2 Rad jednostavnost ćemo promatrat eksplctne metode. Rezultat se prenose na mplctne metode. Prostornu dervacju / x zamjenmo centralnm dferencjama. Na taj načn dobvamo metodu centralnh dferencja z koje se aproksmacje U j+1 računaju na sljedeć načn: U j+1 = U j a t 2 x (U j +1 U j 1 ). (3.5) Iako je sasvm prrodno na gornj načn zamjent prostornu dervacju, pokazuje se da metoda centralnh dferencja nje stablna te je samm tme neupotrebljva u praks. Stoga ćemo prostornu dervacju / x drugačje računat - korstt ćemo dervranje u smjeru z kojeg dolaze nformacje. Konkretno, za a 0, nformacja de s ljeva na desno pa se za aproksmacju dervacje / x korste poznate nformacje U j 1 U j. Analogno, za a 0, nformacja de s desna na ljevo pa se za aproksmacju dervacje korste U j U j +1. Na taj načn dolazmo do dferencjske jednadžbe upwnd metode U U j+1 j a t x (U j U j 1 ), a 0 = U j a t (3.6) x (U j +1 U j ), a 0, za koju se pokazaje da je stablna. Nakon što zračunamo dskretna preslkavanja (U j ), zanma nas kolko dobro ona aproksmraju rješenje u. Defnramo funkcju globalne greške kao razlku aproksmatvnog stvarnog rješenja. Kažemo da metoda konvergra u norm ako E t (x, t) = U t (x, t) u(x, t) (3.7) E t (, t) 0 kada t 0, (3.8)

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 22 za svak fksn t 0, sve početne uvjete u 0. Željel b dokazat da upwnd metoda konvergra, medutm to je teško zvedvo drektno z defncje. Umjesto toga, defnrat ćemo konzstentnost stablnost metode te skorstt tvrdnju Lax-Rchtmyerovog teorema [6] koj kaže da je za konzstentne lnearne metode, stablnost nužna dovoljna za konvergencju. Lokalna greška dskretzacje L t (x, t) je velčna koja pokazuje kolko dobro dferencjska jednadžba opsuje dferencjalnu jednadžbu lokalno. L t (x, t) defnramo tako što u dferencjskoj jednadžb (3.6) prebacmo sve na ljevu stranu zamjenmo aproksmatvno rješenje U j s pravm rješenjem u(x, t). Dakle, 1 t [u(x, t + t) u(x, t)] + a [u(x, t) u(x x, t)], a 0 x L t (x, t) = 1 t [u(x, t + t) u(x, t)] + a (3.9) [u(x + x, t) u(x, t)], a 0. x Kažemo da je metoda konzstentna ako L t (, t) 0 kada t 0. (3.10) Razvjem L t (x, t) u Taylorov red oko u(x, t) pokaže se da je upwnd metoda konzstenta. Kažemo da je metoda stablna u odnosu na normu ako za svako vrjeme T > 0 postoj konstanta C S > 0 vremensk korak t 0 > 0 takv da je U j C S U 0, za svak j t T, t < t 0. (3.11) Uočmo da je za stablnost metode dovoljno da je U j+1 U j. Pokažmo da je upwnd metoda stablna u norm ako vrjed Name, zapšemo l U j+1 dobvamo da je U j+1 0 a t x u sljedećem oblku U j+1 1. (3.12) ( = U j 1 a t ) + a t x x U j ±1, (3.13) konveksna kombnacja zraza U j U j ±1. Stoga je U j+1 max { U j j, U 1 j, U+1 } z čega sljed U j+1 U j.

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 23 Dakle je upwnd metoda konzstenta stablna. Lax-Rchtmyerov teorem povlač konvergencju upwnd metode. Drektna generalzacja upwnd metode na općentu Cauchyjevu jednadžbu u t + f (u) = 0, x R, t 0 x u(x, 0) = u 0 (x). (3.14) je moguća samo ako je f (u) monotona funkcja. Tada je U j+1 = U j t x ( f (U j ) f (U j 1 )), f 0 U j t x ( f (U j +1 ) f (U j )), f 0. Pokažmo stablnost metode (3.15) u norm. Isključmo l trvjalan slučaj ( U j = U j 1 = U j +1 (3.14) možemo zapsat na sljedeć načn U j+1 = U j t f (U j ) f (U j x U j t x U j U j 1 1 ) f (U j +1 ) f (U j U j +1 U j ) = U j+1 (3.15) = U j j+1 ) aproksmacje U za (U j U j 1 ), f 0 (U j +1 U j ), f 0. (3.16) Prema teoremu srednje vrjednost postoje U (U j 1, U j ) Ũ (U j, U j +1 ) takv da vrjed Stoga uz uvjet stablnost f (U) = f (U j ) f (U j 1 ) U j U j 1 ) f (Ũ) = f (U j +1 ) f (U j U j +1 U j t x max f (U) 1 (3.17) U dobvamo da se U j+1 može zapsat kao konveksna kombnacja zraza U j U j ±1 z čega sljed U j+1 U j odnosno stablnost metode (3.15). Za nemonotonu funkcju f treba se korstt tzv. Remannov rješavač. Vše o Remannovom rješavaču se može nać u [6]..

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 24 3.2 Prostorna vremenska dskretzacja Pretpostavljamo da je domena Ω R d, d = 2, 3 ogrančen poledarsk skup. Dskretna mreža T domene Ω je svaka famlja zatvorenh ogrančenh poledarskh podskupova od Ω za koju vrjed Ω = K K T K T je zatvoren poledarsk skup takav da je Int K, K, L T, K L, Int K Int L =. Skupove K T zovemo kontroln volumen. Integracjom jednadžb dvofaznog toka po svakom kontrolnom volumenu, zbog operatora dvergenecje, pod ntegralma će se nać rubov kontrolnh volumena, stoga defnramo skup susjednh elemenata svakog od skupova K T N K = {L T : λ d 1 (K L) > 0}, (3.18) gdje je λ d 1 (d 1) Lebesgueova mjera. Točke ntegracje će čnt famlja točaka (x K ) K T, koje zovemo centr kontrolnh volumena, za koju vrjed: x K K, K T za svak L N K pravac (x K, x L ) je okomt na K L. Iz pretpostavk na mrežu T vdmo da se pr dskretzacj dvodmenzonalne domene korste trokut četverokut, te tetraedr poledr pr dskretzacj trodmenzonalne domene. Takoder, mreža T prekrva Ω tako da je presjek dva razlčta kontrolna volumena prazan skup, zajednčk vrh, zajednčka stranca u dvodmenzonalnom slučaju te zajednčka strana u trodmenzonalnom slučaju. Za potrebe našeg programa, dovoljno je da T bude strukturrana mreža, stoga nadalje pretpostavljamo T = {K 1, K 2,..., K N } je mreža od N kontrolnh volumena koj su za dvodmenzonalnu domenu Ω kvadrat, te kocke za trodmenzonalnu domenu, za svak K, x K K sve njegove susjedne kontrolne volumene L N K, x L L vrjed d(x K, x L ) = x. Vremenska dskretzacja ntervala (0, T) je dana brojem koraka J vremenskm korakom t takvma da je t 0 = 0, t j = j t, t J+1 = T.

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 25 Dskretzacju konačnm volumenma D skupa Ω (0, T) defnramo kao uredenu četvorku D = (T, (x K ) K T, J, (t j ) j {0,J+1} ), gdje je T dskretna mreža domene Ω, (x K ) K T famlja točaka centara kontrolnh volumena, J broj vremenskh koraka, te (t j ) j {0,J+1} dskretzacja vremenskog ntervala (0, T). Preslkavanja s T [0, T] u R ćemo označavat podebljanm slovma s eksponentom D. Konkretno, za nepoznate funkcje zasćenja S n tlaka p w preslkavanja S D n p D w : T [0, T] R : T [0, T] R predstavljaju redom dskretne funkcje zasćenja tlaka. Vrjednost funkcja zasćenja S n tlaka p w u točkama dskretzacje (K, t j ) označavamo S j nk = S n(x K, t j ), p j wk = p w(x K, t j ). Uz gornje oznake dskretne funkcje možemo zapsat u sljedećem oblku S D n = (S j nk ) K T, j {0,J+1}, p D w = (p j wk ) K T, j {0,J+1}. Svakoj dskretnoj funkcj S D n, p D w prdružujemo aproksmatvnu, po djelovma konstantnu funkcju S D n, p D w defnranu na Ω (0, T) na sljedeć načn za svak K T, svak j {0,..., J + 1}. S n D (x, t) = S j+1 nk za s.s (x, t) K (t j, t j+1 ), pw(x, D t) = p j+1 wk za s.s (x, t) K (t j, t j+1 ), 3.3 Jednodmenzonaln slučaj Pogledajmo sada pojednostavljen jednodmenzonaln model dvofaznog toka. Neka je Ω = [0, L] R. Pretpostavljamo da su gravtacja funkcja kaplarnog tlaka zanemarve. Ovdje je tenzor apsolutne propusnost k(x) skalarna funkcja. Gledamo tok nkompresbl-

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 26 nh fluda. Tada su jednadžbe dvofaznog toka dane s S n t + x (u w) = q w, u w = k w S n t x (p w), + x (u n) = q n, u n = k n x (p w). gdje je k α = λ α k umnožak moblnost faze α apsolutne propusnost. Domenu Ω dskretzramo unformnom mrežom kontrolnh volumena K = [x 1, x ], = 1,..., M takvom da je x 0 = 0, x M = L, x = x. Za točke dskretzacje uzmamo točke koje su centr kontrolnh volumena K : x 1/2 = ( 1/2) x. Nadalje, vrjednost funkcje f u točk prostorne dskretzacje x 1/2 označavamo s f K = f (x 1/2 ) = f 1/2. (3.19) Na ovom pojednostavljenom modelu ćemo objasnt na koj načn se trebaju računat funkcje moblnost apsolutna propusnost da b mal neprekdnost flukseva u w u n. Pretpostavljamo da su moblnost apsolutna propusnost po djelovma konstantne, odnosno konstantne po kontrolnm volumenma K. Integrranjem (3.19) 1 po prozvoljnom kontrolnom volumenu K dobvamo Aproksmacjom sljed x x 1 S n t dx + x x 1 x x (u w) dx = S j+1 n, 1/2 S j n, 1/2 + u j+1 w, u j+1 t x w, 1/2 x 1 q w dx. = q j+1 w, 1/2 Prmjetmo da znamo zračunat funkcje u točk x 1/2 al ne u x. U gornjem zrazu vdmo da je u j+1 w, nepoznanca. Možemo ju zračunat z (3.19) 2 : u w, = ( k w w)) x (p kw, x=x x p w, +1/2 p w, 1/2. x.

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 27 Uočmo da za vrjednost k w, možemo uzet k w, 1/2 l k w, +1/2 l pak nešto treće. k w, ćemo zračunat z uvjeta da je fluks u w neprekdan na granc ntervala. Neprekdnost fluksa znač da će dskretzacja od u w, po ntervalu K ntervalu K +1 bt jednaka tj. da vrjed: u w, = k w, 1/2 p w, p w, 1/2 x/2 p w, +1/2 p w, = k w, +1/2, x/2 gdje p w, označava nepoznatu vrjednost funkcje p w u točk x = x. Iz gornje jednakost želmo zrazt p w, da mogl zračunat k w,. Računamo (k w, 1/2 + k w, +1/2 )p w, = k w, 1/2 p w, 1/2 k w, +1/2 p w, +1/2 p w, = k w, 1/2 p w, 1/2 + k w, +1/2 p w, +1/2 k w, 1/2 + k w, +1/2 Vratmo l p w, u dskretzacju po K dobvamo Sljed u w, = k w, 1/2 k w, 1/2 p w, 1/2 + k w, +1/2 p w, +1/2 p w, 1/2 k w, 1/2 + k w, +1/2 x/2 k w, 1/2 p w, 1/2 + k w, +1/2 p w, +1/2 k w, 1/2 p w, 1/2 k w, +1/2 p w, 1/2 u w, = k w, 1/2 (k w, 1/2 + k w, +1/2 ) x/2 k w, +1/2 ( p w, +1/2 p w, 1/2 ) = k w, 1/2 (k w, 1/2 + k w, +1/2 ) x/2 = 2 k w, 1/2 k w, +1/2 ( p w, +1/2 p w, 1/2 ). k w, 1/2 + k w, +1/2 x Analogno b dobl k w, = 2 k w, 1/2 k w, +1/2 k w, 1/2 + k w, +1/2. (3.20) k n, = 2 k n, 1/2 k n, +1/2 k n, 1/2 + k n, +1/2. (3.21) Dakle, da b mal neprekdnost flukseva u w u n na granc kontrolnog volumena, produkt funkcja moblnost faze α apsolutne propusnost, k α, u točk x na granc moramo računat z harmonjske sredne od k α, 1/2 k α, +1/2. U všedmenzonalnm modelma u kojma gravtacja kaplarn tlak nsu zanemarv dobvamo st rezultat. Napomena. Moblnost λ α, α = w, n su funkcje zasćenja S n. Stoga je za vrjednost λ α, u točk x potrebno znat vrjednost zasćenja S n u točk x. Vrjednost S n, dobvamo z upwnd metode.

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 28 3.4 Metoda konačnh volumena Sada smo u mogućnost zvest metodu konačnh volumena za dferencjalne jednadžbe dvofaznog toka u (p w, S n ) formulacj. Ideja ove metode je drektno ntegrranje parcjalnh dferencjalnh jednadžb, u ovom slučaju sustava (2.28), po svakom kontrolnom volumenu K te aproksmacja dobvenh ntegrala pomoću točk centara kontrolnh volumena upwnd metode. Drchletove Neumannove rubne uvjete ćemo ugradt u ntegrale, a z početnh uvjeta ćemo konstrurat vektor početnh aproksmacja. Dakle, ntegrranjem jednadžb (2.28) 1 (2.28) 2 po prozvoljnom kontrolnom volumenu K dobvamo K K Φ S n t Φ S n t dx K dx K dv[λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] dx dv[λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g)] dx Prmjenom Gaussovog teorema sljed Φ S n dx [λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] n ds t K K Φ S n t K K dx [λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g)] n ds K K q w dx = 0 (3.22) K q n dx = 0. (3.23) q w dx = 0 (3.24) K q n dx = 0, (3.25) gdje je n vanjska jednčna normala na rub K. Za aproksmacju gornjh ntegrala potrebno je aproksmrat vremensku dervacju / t. Mogu se korstt mplctna l eksplctna metoda. Ovdje ćemo korstt mplctnu metodu prema [5]. Korštenjem formule za ntegracju u točk centru kontrolnog volumena dobvamo q w (x, t) dx q w (x K, t j+1 ) K = q j+1 wk K, K q n (x, t) dx q n (x K, t j+1 ) K = q j+1 nk K, K Φ S n(x, t) dx Φ S n(x K, t j+1 ) S n (x K, t j ) K = Φ S j+1 nk S j nk K, t t j t j K

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 29 pr čemu K označava površnu/volumen kontrolnog volumena K u dvje/tr dmenzje. Preostaje nam aproksmrat sljedeće ntegrale: I w = [λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] n ds, (3.26) K I n = [λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g)] n ds. (3.27) K Zbog toga što su I w I n ntegral po rubu K, nalazmo na dvje poteškoće. Prvo, ne znamo koju vrjednost da uzmemo za funkcju zasćenja S n po rubu K pošto dskretna rješenja računamo u točkama koje su centr kontrolnh volumena. Taj problem rješavamo upwnd metodom. Drugo, u ovsnost o presjeku K Γ, dobvamo razlčte vrjednost ntegrala. Stoga ćemo razlkovat dva slučaja. Prsjetmo se da je 1 K Ω, K Γ = u w = λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g), u n = λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g). K... nsde x K n L... outsde x L e 3 Γ KL g Slka 3.1: Kontroln volumen K unutar Ω Bez smanjenja općentost, uzmmo za susjedn kontroln volumen od K, njemu neposredno desn kontroln volumen; označmo ga s L. Neka su x K x L centr od K L. Označmo x = d(x K, x L ). Nadalje, stavmo Γ KL = K L. Neka je n vanjska jednčna normala kontrolnog volumena K na rub Γ KL, kao na slc 3.1.

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 30 (3.28) Uz navede oznake, možemo aproksmrat sljedeće ntegrale Iw n = [λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] n ds, Γ KL In n = [λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g)] n ds. (3.29) Γ KL U zrazma pod ntegralma I n w I n n, vdmo da treba zračunat funkcje moblnost λ w λ n, te tenzor apsolutne propusnost K. Moblnost računamo prema formulama λ w (1 S n ) = k rw(1 S n ) µ w, λ n (S n ) = k rn(s n ) µ n. Dakle su te funkcje ovsne o vrjednost zasćenja S n. Kako treba zvrjednovat ntegral po rubu, za S n možemo uzet dvje vrjednost; z kontrolnog volumena K, l njegovog susjednog kontrolnog volumena L. Da b znal koju vrjednost treba uzet, moramo znat z kojeg smjera du tokov fluda. Dakle, u ovsnost o predznacma u w n te u n n znamo smjer upwnd metode. Na prmjer, za u w n > 0 tok vlažećeg fluda de z volumena K u volumen L. Raspšmo u w n u n n : u w n = 1 k rw (1 S n )K( p w ρ w g) n µ w 1 µ w k rw (1 S j+1 n ΓKL ) K p j+1 wl p j+1 wk x + ρ w ge 3 n u n n = 1 k rn (S n )K( p w + p c (1 S n ) ρ n g) n µ n 1 p j+1 k rn (S n j+1 wl ΓKL )K µ p j+1 j+1 j+1 wk pc(1 S nl ) pc(1 S nk + ) + ρ n ge 3 n n x x. Označmo w n n = w n w = p j+1 wl p j+1 wk + x p j+1 wl p j+1 wk x + ρ w ge 3 n, (3.30) j+1 j+1 pc(1 S nl ) pc(1 S nk ) x + ρ n ge 3 n. (3.31) Funkcje relatvnh propusnost k rw k rn su svugdje poztvne, djagonalna matrca apsolutne propusnost K te konstante vskoznost µ w, µ n takoder, stoga predznak od u w n u n n ovs o predznacma zraza w n w w n n. Na temelju smjera toka vlažeće faze za vrjednost zasćenja S n uzmamo

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 31 w n w 0 = u w n 0... S j+1 n ΓKL = S j+1 nk, w n w < 0 = u w n < 0... S j+1 n ΓKL = S j+1 nl. Analogno w n n 0 = u n n 0... S j+1 n ΓKL = S j+1 nk, w n n < 0 = u n n < 0... S j+1 n ΓKL = S j+1 nl. Napomena. Funkcje moblnost λ α ΓKL te tenzor apsolutne propusnost K ΓKL ćemo računat z harmonjskh sredna dskretnh funkcja λ α K λ α L, odnosno K K K L. (Odjeljak 3.3). Uz oznake dobvamo δ n S nk, w n w 0 w(s n ΓKL ) = S nl, w n w < 0, δ n n (S n ΓKL ) = S nk, w n n 0 S nl, w n n < 0, I n w λ w (1 δ n w(s j+1 n ΓKL )) K w n w Γ KL, I n n λ n (δ n n (S n j+1 ΓKL )) K w n n Γ KL. (3.32) 2 K Ω, Γ K = K Γ K... nsde x K x Γ Γ K n e 3 g Slka 3.2: Kontroln volumen K na rubu domene Bez smanjenja općentost, neka je desna stranca od K takva da je presjek K Γ neprazan. Neka je x K centar od K. Označmo sa x Γ centar desne strance (Slka 3.2). Stavmo x 1/2 = d(x K, x Γ ). Nadalje, neka je n vanjska jednčna normala na desnu strancu

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 32 od K. Želmo aproksmrat ntegrale Iw out = [λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] n ds, (3.33) Γ K In out = [λ n (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g)] n ds. (3.34) Γ K Račun neće ć drektno kao u prvom slučaju, već ćemo prvo ntegrale po rubu Γ K podjelt na zbroj vše ntegrala u ovsnost o rubovma Γ αn Γ αd, α = w, n. Prema (2.24) 1 je Γ = Γ wd Γ wn, stoga ntegral Iw out defnran sa (3.33) možemo psat kao Iw out = [λ w (1 S n )K( p w ρ w g)] n ds K Γ wn (3.35) [λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] n ds. K Γ wd Uvažavajuć Neumannov rubn uvjet (2.31) 1 sljed Iw out φ w = ds [λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] n ds. (3.36) ρ w K Γ wd K Γ wn Slčno, prema (2.24) 2 je Γ = Γ nd Γ nn, stoga ntegral In out defnran sa (3.34) pšemo In out = [λ n (S n ) K ( p w + pc(1 S n ) ρ n g)] n ds K Γ nn (3.37) [λ n (S n ) K ( p w + pc(1 S n ) ρ n g)] n ds. K Γ nd Γ Ponovnm rastavom Γ = Γ wd Γ wn te uvažavajuć Neumannov rubn uvjet (2.31) 2 sljed In out φ n = ds [λ n (S n ) K ( p w + pc(1 S n ) ρ n g)] n ds ρ n K Γ nn K Γ nd Γ wn [λ n (S n ) K ( p w + pc(1 S n ) ρ n g)] n ds K Γ nd Γ wd φ n = ds λ n (S n ) K ( pc(1 S n ) ρ n g) n ds ρ n K Γ nn K Γ nd Γ wn λ n (S n ) K p w n ds [λ n (S n ) K ( p w + pc(1 S n ) ρ n g)] n ds. K Γ nd Γ wd K Γ nd Γ wn

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 33 Označmo I out w1 = I out n1 = K Γ wd [λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g)] n ds, (3.38) λ n (S n ) K ( pc(1 S n ) ρ n g) n ds, (3.39) K Γ nd Γ wn I out n2 = λ n (S n ) K p w n ds, (3.40) K Γ nd Γ wn I out n3 = [λ n (S n ) K ( p w + pc(1 S n ) ρ n g)] n ds. (3.41) K Γ nd Γ wd Preostale ntegrale aproksmramo φ w (x, t) ds φ w(x Γ, t j+1 ) K Γ wn φ j+1 w Γ K Γ wn, ρ w ρ w ρ w K Γ wn K Γ nn φ n (x, t) ds φ n(x Γ, t j+1 ) K Γ nn φ j+1 n Γ K Γ nn, ρ n ρ n ρ n pr čemu K označava površnu/duljnu grance K u tr/dvje dmenzje. Ponovno, u ovsnost o toku fluda, funkcja zasćenja S n može poprmt vrjednost z unutrašnjost kontrolnog volumena K l s ruba domene na kojem je zadan Drchletov rubn uvjet. Da b zračunal tokove fluda, trebamo zračunat p w n po rubu Γ nd te pc n po rubu Γ wd. Raspšmo p w n p w(x Γ, t j+1 ) p w (x K, t j+1 ) = p w(x Γ, t j+1 ) p j+1 wk x 1/2 x 1/2 pc n pc(1 S n(x Γ, t j+1 )) pc(1 S n (x K, t j+1 )) x 1/2 = pc(1 S n(x Γ, t j+1 )) pc(1 S j+1 nk ) x 1/2 U zrazu za ntegral I out w1, defnranom sa (3.38), točka ntegracje x Γ Γ wd, pa zbog Drchletovog rubnog uvjeta (2.30) 1 sljed p w (x Γ, t j+1 ) = p wd (x Γ, t j+1 ) = p j+1 wd Γ. (3.42)

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 34 Takoder, u zrazu za ntegral I out n1, defnranom sa (3.39), točka ntegracje x L Γ nd pa zbog Drchletovog rubnog uvjeta (2.30) 2 sljed čme dobvamo S n (x Γ, t j+1 ) = S nd (x Γ, t j+1 ) = S j+1 nd Γ (3.43) pc(1 S n (x Γ, t j+1 )) = pc(1 S j+1 nd Γ ). (3.44) U zrazu za ntegral I out n3, defnranom sa (3.41), točka ntegracje x Γ Γ nd Γ wd, pa zbog Drchletovh rubnh uvjeta (2.30) vrjed (3.42) (3.44). Tada su p w n p j+1 wd Γ p j+1 wk, x 1/2 pc n j+1 j+1 pc(1 S nd Γ ) pc(1 S nk ). x 1/2 Sada kada mamo aproksmacje gradjenata, možemo zračunat smjer tokova fluda na temelju predznaka zraza u w n u n n : u w n = 1 k rw (1 S n ) K ( p w ρ w g) n µ w 1 p j+1 k rw (1 S n j+1 wd Γ ΓK ) K µ p j+1 wk w x 1/2 u n n = 1 µ n k rn (S n ) K ( p w + p c (1 S n ) ρ n g) n Označmo 1 µ n k rn (S j+1 n w out n = ΓK ) K w out w p j+1 wd Γ p j+1 wk + x 1/2 p j+1 wd Γ p j+1 wk + x 1/2 = p j+1 wd Γ p j+1 wk x 1/2 + ρ w ge 3 n, j+1 j+1 pc(1 S nd Γ ) pc(1 S nk ) x 1/2 j+1 j+1 pc(1 S nd Γ ) pc(1 S nk ) x 1/2 + ρ n ge 3 n. + ρ w ge 3 n, (3.45) + ρ n ge 3 n. (3.46) Ponovno, kako su funkcje relatvnh propusnost k rw k rn svugdje poztvne, kao djagonalna matrca apsolutne propusnost K te konstante vskoznost µ w, µ n, predznac od u w n u n n ovse o predznacma zraza w out w w out n respektvno. Na temelju smjera toka vlažeće faze, za vrjednost zasćenja S n uzmamo

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 35 w out w 0 = u w n 0... S j+1 n ΓK = S j+1 nk, w out w < 0 = u w n < 0... S j+1 n ΓK = S j+1 nd Γ. Analogno w out n 0 = u n n 0... S j+1 n ΓK = S j+1 nk, w out n < 0 = u n n < 0... S j+1 n ΓK = S j+1 nd Γ. Uz oznake δ out w (S n ΓK ) = možemo zračunat S nk, w out w 0 S j nd Γ, wout w < 0, I out w1 λ w(1 δ out I out n3 λ n(δ out n (S n j+1 w (S n j+1 δ out n (S n ΓK ) = ΓK )) K w out w K Γ wd, ΓK )) K w out n K Γ nd Γ wd. S nk, w out n 0 S nd Γ, w out n < 0, Preostaje aproksmrat ntegrale I out n1 Iout n2. Oba ntegrala ntegrramo po djelu ruba na kojem je zadan Neumannov rubn uvjet vlažećeg fluda, stoga će vrjednost koje poprma funkcja zasćenja S n ovst o predznaku funkcje φ w z (2.31) 1. Uvedemo l oznaku možemo zračunat ntegral I out n1 δ out φ (S n ΓK ) = S nk, φ w ΓK 0 S nd Γ, φ w ΓK < 0, λ n(δ out φ (S j+1 nk )) K pc(1 S j+1 j+1 nd Γ ) pc(1 S nk ) x 1/2 + ρ n ge 3 n K Γ nd Γ wn. Prmjetmo da se pod ntegralom I out n2 nalaz gradjent tlaka p w kojeg ne znamo zravno zračunat na Γ wn. Da b dobl p w, ponovno korstmo Neumannov rubn uvjet (2.31) 1 : ρ w λ w (1 S n ) K ( p w ρ w g) n = φ w na Γ wn. (3.47) Pretpostavmo na trenutak da je λ w (1 S n ) > 0 na Γ nd Γ wn. Onda Neumannov rubn uvjet možemo podjelt sa λ w (1 S n ) : K p w n + Kρ w g n = φ w ρ w λ w (1 S n ) (3.48)

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 36 sljed K p w n = φ w ρ w λ w (1 S n ) K ρ wg n. (3.49) Uvrstmo l jednakost (3.49) u ntegral I out n2 dobvamo ( ) I out n2 = φ w λ n (S n ) ρ w λ w (1 S n ) K ρ wg n K Γ nd Γ wn ds. (3.50) Ostaje ptanje zašto smo mogl pretpostavt da je λ w (1 S n ) > 0. Name, pretpostavmo l da je na granc Γ nd Γ wn zadano S n = 1.0 φ w > 0 l φ w < 0, sljed da se u poroznoj sredn koja ne sadrž vlažeću fazu, odvja tok vlažeće faze. Kako to fzčk nje moguće, sključujemo takav slučaj. Dakle za Γ nd Γ wn, mora vrjedt S n < 1.0, z čega sljed λ w (1 S n ) > 0. Sada je aproksmacja ntegrala I out n2 dana sa I out n2 λ n(δ out φ (S j+1 nk )) φ j+1 w Γ ρ w λ w (1 δ out φ (S j+1 n ΓK )) + K ρ wge 3 n K Γ nd Γ wn. Nakon što smo odredl sve nepoznate ntegrale, možemo zapsat aproksmran oblk ntegrala Iw out I out I out n : w φ j+1 w Γ K Γ wn + λ w (1 δ out ρ w w (S n j+1 ΓK )) K w out w K Γ wd, (3.51) n φ j+1 n Γ K Γ nn + λ n (δ out I out ρ n n (S n j+1 + λ n (δ out φ (S j+1 nk )) K Γ nd Γ wn ΓK )) K w out n K Γ nd Γ wd φ j+1 w Γ ρ w λ w (1 δ out φ (S j+1 n ΓK )) + K (ρ w ρ n )ge 3 n j+1 j+1 pc(1 S nd Γ ) pc(1 S x 1/2 nk ). (3.52) Sada kada znamo kako se računaju ntegral Iw n, In n, Iw out In out, možemo aproksmrat ntegrale I w I n na prozvoljnom kontrolnom volumenu K. Rub K prozvoljnog kontrolnog volumena K možemo zapsat kao dsjunktnu unju K = Γ KL ( K Γ). L N K

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 37 Uvedemo l oznaku 1, K Γ δ Γ ( K) = 0, K Γ =, sljed da ntegrale I w te I n možemo psat kao zbrojeve I w = I n w + δ Γ ( K) Iw out, (3.53) L N K I n = I n n L N K + δ Γ ( K) I out n. (3.54) Dakle, I w I n λ w (1 δ n w (S n j+1 ΓKL )) K w n w Γ KL + δ Γ ( K) Iw out, (3.55) L N K λ n (δ n n (S n j+1 ΓKL )) K w n n Γ KL + δ Γ ( K) In out, (3.56) L N K gdje su I out w I out n redom dan s (3.51) (3.52). Konačno dobvamo aproksmran oblk jednadžb (3.24) (3.25): Φ S j+1 nk Φ S j+1 nk S j nk K + I w q j wk t K = 0 (3.57) S j nk K + I n q j nk t K = 0, za svak kontroln volumen K T svak j {0,..., J + 1}. Preostaje ncjalzrat početnu aproksmacju z početnog uvjeta za funkcju zasćenja S n : S 0 nk = 1 S n0 (x) dx, (3.58) K K gdje je K površna/volumen kontrolnog volumena K u dvje/tr dmenzje. Konačn oblk metode konačnh volumena za dferencjalne jednadžbe dvofaznog toka u (p w, S n ) formulacj je dan sustavom jednadžb (3.57) početnom aproksmacjom (3.58). Napomena. U prmjerma koje ćemo rješt u dućem poglavlju, pretpostavljamo da je domena Ω pravokutnk l kvadrat u R 2. Nadalje, pretpostavljamo da je Ω = Γ = Γ D Γ N,

POGLAVLJE 3. NUMERIČKI MODEL DVOFAZNOG TOKA 38 odnosno da su za obje faze na stm djelovma grance zadan Drchletov Neumannov rubn uvjet. Aproksmacja ntegrala Iw n In n će ostat sta dok će aproksmacja ntegrala Iw out In out bt nešto jednostavnja: I n w λ w (1 δ n w(s j+1 n ΓKL )) K w n w Γ KL I n n I out λ n (δ n n (S n j+1 ΓKL )) K w n n Γ KL w φ j+1 w Γ K Γ N + λ w (1 δ out ρ w n φ j+1 n Γ K Γ N + λ n (δ out I out ρ n n (S n j+1 w (S n j+1 ΓK )) K w out w K Γ D ΓK )) K w out n K Γ D, gdje su w n w, w n n, w out w w out w redom defnrene s (3.30), (3.31), (3.45) (3.46). Stoga ćemo (3.24) (3.25) u prmjerma računat prema Φ S j+1 nk Φ S j+1 nk S j nk K + t S j nk K + t I n w + δ Γ ( K) Iw out q j+1 wk K = 0 L N K I n n L N K + δ Γ ( K) I out n q j+1 nk K = 0. (3.59) Napomena. U [5] je, uz odredene uvjete na funkcje relatvnh propusnost k rw, k rn, funkcju kaplarnog tlaka p c te dskretzacju D, dokazano postojanje barem jednog rješenja modela dvofaznog toka u (p w, S n ) formulacj pomoću metode konačnh volumena. Jednstvenost rješenja ostaje otvoreno ptanje.

Poglavlje 4 Test prmjer Za rješavanje ncjalno-rubne zadaće dvofaznog sustava korstmo metodu konačnh volumena. Software u kojem radmo smulacje je DUNE. Postupak rješavanja je sljedeć: u man funkcj konstruramo pravokutnu domenu dskretzramo ju mrežom kvadrata pomoću klase Dune::YaspGrd. Za konačn element uzmamo P 0 element (konstante na konačnm volumenma) kojeg dobvamo z klase Dune::PDELab::P0FnteElementMap. Klasa Dune::PDELab::P0ParallelConstrants nalaz ogrančenja koja se prmjenjuju na stupnjeve slobode. O tpu matrca vektora koj se korste u dskretnom sustavu se brne klasa Dune::PDELab::ISTLVectorBackend. Kreramo klasu TwoPhaseParameter u kojoj se nalaze parametr koj opsuju svojstva porozne sredne fluda te rubne uvjete. Kreramo klase početnh uvjeta. Defnramo dskretnu jednadžbu koju rješavamo, odnosno defnramo dskretne lokalne operatore: prostorn TwoPhaseTwoPontFluxOperator vremensk TwoPhaseOnePontTemporalOperator. Pomoću klase Dune::PDELab::GrdOperator od lokalnh operatora dobvamo globalne operatore koj se brnu o doprnosu lokalnh rezduala jakobjana globalnma. Prostorn vremensk grd operator spajamo u jedan operator pomoću klase Dune::PDELab::OneStepGrdOperator. Kreramo vektor koefcjenata početnh uvjeta. 39

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 40 Odabremo teratvnu metodu PDELab::ISTLBackend BCGS AMG SSOR koju dajemo klas PDELab::Newton z koje dobvamo solver za nelnearn sustav za svak vremensk korak. Odabremo metodu vremenske dskretzacje: eksplctnu Dune::PDELab::Alexander2Parameter mplctnu Dune::PDELab::OneStepThetaParameter Uzmamo jednokoračnu vremensku dskretzacju Dune::PDELab::OneStepMethod. Ispšemo vektor ncjalnh uvjeta pomoću klase Dune::VTKWrter. U petlj po vremenskm koracma (tmesteps), za svak vremensk korak (tmestep) rješavamo sustav te vršmo vzualzacju pomoću klase Dune::VTKWrter. Napomena. U sva tr prmjera pretpostavljamo da nema ponora nt zvora njednog fluda stoga je q w (x, t) = q n (x, t) = 0.0. 4.1 Prv prmjer Prmjer rješavamo na domen Ω = (0, 300) (0, 300) [ m 2 ]. Svojstva porozne sredne su dana u tablc 4.1. Ovdje pretpostavljamo su gravtacja funkcja kaplarnog tlaka zanemarve. Krvulje relatvnh propusnost su dane na slc 4.1. poroznost Φ [ ] 0.2 apsolutna propusnost K [m 2 ] 10 7 Tablca 4.1: Svojstva porozne sredne Drchletove rubne uvjete zadajemo u donjem ljevom kutu gornjem desnom kutu, oba dmenzja 2.5 2.5 [m 2 ], označavamo s Γ D1 Γ D2 respektvno. Domenu Ω = 300 300 [m 2 ] dskretzramo sa 120 120 kontrolnh volumena tako da donj gornj kut predstavljaju redom točkaste zvore utoka ponora nafte. Neumannove rubne uvjete zadajemo na preostalom djelu grance. Svojstva fluda ρ w = 1000 [ kg/m 3 ] ρ n = 1000 [ kg/m 3 ] µ w = 10 3 [ Pa s ] µ n = 10 3 [ Pa s ].

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 41 Slka 4.1: Krvulje relatvnh propusnost Početn uvjet p w0 (x) = p w0 (x, y) = 20 10 5 [ Pa ] S n0 (x, y) = 0.8 [ ]. Rubn uvjet Γ N... φ w (x, y) = 0.0 φ n (x, y) = 0.0 Γ D1... p wd (x, y) = 28 10 5 [ Pa ] S nd (x, y) = 0.2 [ ] Γ D2... p wd (x, y) = 20 10 5 [ Pa ] S nd (x, y) = 0.8 [ ]. Mreža vremensk korak Mreža domene na levelu 0 ma 15 15 kontrolnh volumena. Nakon 3 levela profnjenja dobvamo unformnu mrežu s 120 120 kontrolnh volumena te 246 786 vrhova. Korstmo 100 vremenskh koraka (tmesteps) s vremenskm korakom (tmestep) t = 20 [s].

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 42 Rezultat Slka 4.2: Tlak vode nakon 20 sekund Slka 4.3: Tlak vode nakon 10 mnuta

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 43 Slka 4.4: Tlak vode nakon 33 mnute 20 sekund Slka 4.5: Zasćenje vodom nakon 20 sekund

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 44 Slka 4.6: Zasćenje vodom nakon 10 mnuta Slka 4.7: Zasćenje vodom nakon 20 mnuta

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 45 4.2 Drug prmjer Prmjer radmo prema podatcma z [2] na domen Ω = (0, 1) (0, 0.6) [m 2 ]. Γ N Γ N1 Γ N 0.6 m Γ D Ω 1 Γ D Ω Γ N 1 m Slka 4.8: Domena ncjalno-rubne zadaće dvofaznog toka. Domena Ω se sastoj od dvje poddomene Ω 1 Ω \ Ω 1. Zadavanjem razlčth svojstava na poddomenama (tablca 4.2 ), modelramo makroskopsku heterogenost porozne sredne. Ω 1 predstavlja fnj pjesak, a Ω \ Ω 1 grublj. Ω 1 Ω \ Ω 1 poroznost Φ [ ] 0.4 0.4 ulazn tlak p d [Pa] 1163.0 755.0 parametar λ [ ] 2.5 2.0 apsolutna propusnost K [m 2 ] 6.64 10 11 3.32 10 11 Tablca 4.2: Svojstva porozne sredne Za funkcje kaplarnog tlaka korstmo Brooks-Coreyjev model s razlčtm parametrma λ razlčtm ulaznm tlakovma p d u ovsnost o poddomenama (slka 4.9). Krvulje relatvnh propusnost su ste kao one u Prmjeru 1 (slka 4.1). Drchletove rubne uvjete zadajemo na desnom ljevom rubu od Ω, a Neumannove rubne uvjete na gornjem donjem rubu (slka 4.8).

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 46 Slka 4.9: Krvulje kaplarnog tlaka Svojstva fluda ρ w = 1000 [ kg/m 3 ] ρ n = 1460 [ kg/m 3 ] µ w = 10 3 [ Pa s ] µ n = 0.9 10 3 [ Pa s ]. Početn uvjet p w0 (x) = p w0 (x, y) = (0.65 y) 9810.0 [ Pa ] S n0 (x, y) = 0.0 [ ]. Rubn uv jet Γ N... φ w (x, y) = 0.0 φ n (x, y) = 0.0 Γ N1... φ w (x, y) = 0.0 Γ D φ n (x, y) = 0.075 [ kg/(s m 2 ) ]... p wd (x, y) = (0.65 y) 9810.0 [Pa] S nd (x, y) = 0.0 [ ]. Mreža vremensk korak Mreža domene na levelu 0 ma 6 10 kontrolnh volumena. Nakon 4 levela profnjenja dobvamo unformnu mrežu s 96 160 kontrolnh volumena te 15 617 vrhova. Korstmo 150 vremenskh koraka (tmesteps) s vremenskm korakom (tmestep) t = 60 [s].

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 47 Rezultat Slka 4.10: Tlak vode nakon 0 mnuta Slka 4.11: Tlak vode nakon 75 mnuta

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 48 Slka 4.12: Zasćenje vodom nakon 40 mnuta Slka 4.13: Zasćenje vodom nakon 75 mnuta

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 49 4.3 Treć prmjer Prmjer radmo prema podatcma z [4] na domen Ω = (0, 1) (0, 1) [m 2 ]. Pretpostavljamo da je gravtacja zanemarva. Za propusnost uzmamo Φ = 1.0. Tenzor apsolutne propusnost K(x) = k(x) I je zadan funkcjom (slka 4.14 ) { ( ( y 0.5 0.1 sn(10 x) ) 2 ) k(x) = max exp 10 4, 0.01 10 }. 6 0.1 Za funkcju kaplarnog tlaka p c korstmo Van Genutchenov model (slka 4.15). Krvlje relatvnh propusnost su dane na slc 4.1. Drchletove rubne uvjete zadajemo na desnom ljevom rubu od Ω označavamo s Γ D1 Γ D2 respektvno. Neumannove rubne uvjete zadajemo na preostalom djelu grance označavamo s Γ N. Slka 4.14: Propusnost Svojstva fluda ρ w = 1000 [ kg/m 3 ] ρ n = 1000 [ kg/m 3 ] µ w = 0.2 [ Pa s ] µ n = 1.0 [ Pa s ].

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 50 Slka 4.15: Krvulja kaplarnog tlaka Početn uvjet p w0 (x) = p w0 (x, y) = 1.0 x [ Pa ] S n0 (x, y) = 0.95 [ ]. Rubn uv jet Γ N... φ w (x, y) = 0.0 φ n (x, y) = 0.0 Γ D1... p wd (x, y) = 1.0 x [Pa] Γ D2 S nd (x, y) = 0.0 [ ]... p wd (x, y) = 1.0 x [Pa] S nd (x, y) = 0.95 [ ]. Mreža vremensk korak Mreža domene na levelu 0 ma 10 10 kontrolnh volumena. Nakon 3 levela profnjenja dobvamo unformnu mrežu s 80 80 kontrolnh volumena te 6 561 vrhova. Korstmo 400 vremenskh koraka (tmesteps) s vremenskm korakom (tmestep) t = 25 [s]. Rezultat

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 51 Slka 4.16: Tlak vode nakon 25 sekund Slka 4.17: Tlak vode nakon 166 mnuta 40 sekund

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 52 Slka 4.18: Zasćenje vodom nakon 25 sekund Slka 4.19: Zasćenje vodom nakon 41 mnute 40 sekund

POGLAVLJE 4. TEST PRIMJERI 53 Slka 4.20: Zasćenje vodom nakon 83 mnute 20 sekund Slka 4.21: Zasćenje vodom nakon 166 mnuta 40 sekund