MATEMATIKA viša razina MAT A D-S5 MAT5.HR.R.K.8 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:6
Prazna stranica MAT A D-S5 99 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:6
UPUTE Pozorno slijedite sve upute. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte test dok to ne odobri dežurni nastavnik. Nalijepite identifikacijsku naljepnicu na sve ispitne materijale koje ste dobili u omotnici. Ispit traje 8 minuta bez prekida. Ispred svake skupine zadataka je uputa za njihovo rješavanje. Pozorno ju pročitajte. Za račun rabite list za koncept koji se ne će ovati. Olovku i gumicu možete rabiti samo na listu za koncept i kod crtanja grafa. Na listu za odgovore i u ispitnoj knjižici pišite isključivo kemijskom olovkom plave ili crne boje. Rabite priloženu knjižicu formula. Kada riješite test, provjerite odgovore. Želimo Vam puno uspjeha! Ova ispitna knjižica ima 8 stranica, od toga 5 praznih. Način popunjavanja lista za odgovore Dobro Ispravljanje pogrješnoga unosa Loše MAT A D-S5 99 MAT A D-S5.indd 3 8.. 3:3:6
I. Zadatci višestrukoga izbora U sljedećim zadatcima između četiriju ponuđenih trebate odabrati jedan odgovor. Odgovore obilježite znakom X i obvezno ih prepišite na list za odgovore plavom ili crnom kemijskom olovkom. U zadatcima od. do. točan odgovor donosi jedan, a u zadatcima od. do 5. dva a.. Koje je rješenje jednadžbe x 3 (4 3 x ) = x? 3 5 3 5 6 5 9. Na brojevnome pravcu zadane su točke O (), 3 B 4 i 9 D. Koordinata točke C je aritmetička sredina koordinata točaka B i D. Koordinata točke E je za 3 manja od koordinate točke C. Između kojih dviju točaka se nalazi točka između B i E između B i O između C i D između C i O 8 A? MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 4 8.. 3:3:6
3. U pravokutnome trokutu jedna kateta je duljine 5 cm, a kut nasuprot njoj ima mjeru 3. Koja je tvrdnja točna? Hipotenuza je duljine 3 cm. Druga kateta je duljine 5 3 cm. Opseg trokuta iznosi + 3 cm. Površina trokuta iznosi 5 3 cm. 4. Blok debljine 6.5 mm sastoji se od listova papira dimenzija.5 cm x 9.7 cm. Gustoća papira ρ je. g/cm 3. Kolika je masa jednoga lista papira u tome bloku? (Napomena: ρ= m, ρ gustoća, m masa, V volumen.) V 3.46 g 4.98 g 5.3 g 6.39 g MAT A D-S5 5 MAT A D-S5.indd 5 8.. 3:3:6
5. U kojem se intervalu nalaze oba rješenja jednadžbe 3x + 5 =?, 3 3, 3 8 7, 3 3 8 3 7 5, 3 3 x + 3y = 5 6. Neka su x i y rješenja sustava. 4x + 5y = Koliko je x + y? 5 5 7. Jakna i hlače imaju istu početnu cijenu. Jakna je poskupjela %. Hlače su prvo poskupile % pa potom opet %. Kako im se odnose cijene nakon poskupljenja? Nije moguće utvrditi što je skuplje jer to ovisi o početnoj cijeni. Cijene su im jednake. Jakna je skuplja. Hlače su skuplje. MAT A D-S5 6 MAT A D-S5.indd 6 8.. 3:3:6
8. Na bačvi se nalaze dva otvora A i Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A, potrebno je minuta da se isprazni, a ako se prazni samo kroz otvor B, potrebno je 6 minuta. Za koliko će se vremena isprazniti puna bačva ako se istodobno otvore oba otvora? za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minuta 9. Čemu je, nakon sređivanja, jednak izraz a b : ( a b) a + + b b a b + a a b a, za sve a, b za koje je izraz definiran? a + b a a a b a a + b MAT A D-S5 7 MAT A D-S5.indd 7 8.. 3:3:6
. Na slici je četverokut ABCD. D y C A x B Kolika je mjera kuta u vrhu B? 45 6 67 37''' 7 57'8'' MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 8 8.. 3:3:6
. Formula koja povezuje stupnjeve Celzija (C) sa stupnjevima Fahrenheita (F) je 5(F 3) C =. 9 Temperatura se promijenila za stupnjeva Celzija. Kolika je ta promjena izražena u stupnjevima Fahrenheita? 5.5 9.5 8. Koliko je 9 9 7 3 5 9 5 3 + 4? 3. Koja od navedenih jednadžbi ima barem jedno rješenje koje nije racionalan broj? 3 x 3x = x 3 x 3x + = 4 cos( p x) = log x log x = log MAT A D-S5 9 MAT A D-S5.indd 9 8.. 3:3:7
4. Psiholozi su razvili model koji pokazuje kako uspješnost izvođenja neke operacije ovisi o broju ponavljanja te operacije. Model je zadan formulom 5 + 9( n ) p( n) =, n >, gdje je n broj ponavljanja, a p( n ) uspješnost nakon n ponavljanja. + 9( n ) Za koliko je veća uspješnost nakon n ponavljanja od uspješnosti nakon n ponavljanja? 45n (9n + )(8n + ) 7n (9n )(8n ) 9n (9n + )(8n + ) 35n (9n )(8n ) 5. Četverokut ABCD upisan je u kružnicu tako da je dijagonala AC ujedno i promjer kružnice. Dijagonale AC i BD su međusobno okomite. Ako je BD = cm i CD = 5 5 cm, kolika je duljina dijagonale AC?.8 cm.9 cm. cm.5 cm MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:7
II. Zadatci kratkih odgovora U sljedećim zadatcima upišite odgovor na predviđeno mjesto plavom ili crnom kemijskom olovkom. Za račun rabite list za koncept. Ne popunjavajte prostor za ovanje. 6. Odredite vrijednost izraza 5 a b, za 3 b a 3 a = i 4 4 b =. 5 Odgovor: 7. Čemu je jednako c ako je P = acsin β? Odgovor: c = 8. Riješite sljedeće zadatke. x y 8.. Odredite udaljenost točke T (,3) od pravca =. 4 Odgovor: 8.. Zadane su točke A (6,5) i B(, 3). Odredite jednadžbu simetrale dužine AB. MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:7
9. Riješite sljedeće zadatke s vektorima. 9.. Početna točka vektora AB = 8 i + 6 j je A(,3). Odredite koordinate završne točke vektora AB. Odgovor: B (, ) 9.. Odredite duljinu vektora a+ b ako je a = i + 4 j, b = 5 i j. MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:7
. Riješite sljedeće zadatke s grafom funkcije... Nacrtajte graf funkcije f ( x) x 4x = +. y x.. Graf polinoma trećega stupnja prolazi točkama A(, ), B(, ), C(, ) i D (, ), gdje je A točka lokalnoga maksimuma, a C točka lokalnoga minimuma. Iz zadanih podataka skicirajte graf toga polinoma na intervalu,3. Napomena: Za skiciranje nije potrebno odrediti formulu zadanoga polinoma. y x MAT A D-S5 3 MAT A D-S5.indd 3 8.. 3:3:7
. Riješite sljedeće zadatke s nejednadžbama... Riješite nejednadžbu 4x 7x + <. Rješenje zapišite s pomoću intervala. x x.. Riješite nejednadžbu 8 6 7 4.. Riješite sljedeće zadatke... Odredite α [9, 8 za koji je sina =.8. Odgovor: a =.. Kolika je mjera najvećega kuta trokuta ako su mu stranice duljine 3 cm, 8 cm i 9 cm? MAT A D-S5 4 MAT A D-S5.indd 4 8.. 3:3:8
3. Riješite sljedeće zadatke iz geometrije. 3.. Izračunajte površinu pravilnoga peterokuta čija je stranica duljine 6 cm. cm 3.. Zadana je pravilna uspravna šesterostrana piramida kojoj je duljina osnovnoga brida 4 cm, a bočnoga.7 cm. Koliki je obujam (volumen) zadane piramide? cm 3 4. Riješite sljedeće zadatke s kompleksnim brojevima. 4.. Izračunajte ( ) + i i pojednostavnite. Odgovor: 4.. Za koji realni broj x imaginarni dio kompleksnoga broja x i + i iznosi? Odgovor: x = MAT A D-S5 5 MAT A D-S5.indd 5 8.. 3:3:8
5. Riješite sljedeće zadatke. 5.. U aritmetičkome nizu treći član je 9, a sedmi 49. Odredite dvadeset prvi član. 5.. U geometrijskome nizu s pozitivnim članovima prvi je član jednak zbroju drugoga i trećega. Koliki je kvocijent toga niza? 5.3. Na šahovsku ploču dimenzije 8x8 polja stavljamo zrna riže. Na prvo polje stavimo tri zrna, na drugo dva zrna više nego na prvo, na treće dva zrna više nego na drugo i tako redom. Koliko smo ukupno stavili zrna riže na šahovsku ploču? MAT A D-S5 6 MAT A D-S5.indd 6 8.. 3:3:8
6. Sustav jednadžbi ax y + = 3x 8y + b = riješen je grafički. y x Odredite realne brojeve a i b. Odgovor: a =, b = MAT A D-S5 7 MAT A D-S5.indd 7 8.. 3:3:8
7. Grafom je zadana funkcija f ( x) = Asin( x + C). Odredite A i y 5p 6 ϖ ϖ x p 6 Odgovor: A =, C = 3 MAT A D-S5 8 MAT A D-S5.indd 8 8.. 3:3:8
8. Riješite sljedeće zadatke s krivuljama drugoga reda. 8.. Odredite koordinate žarišta (fokusa) krivulje zadane jednadžbom x 8y =. Odgovor: F (, ), F (, ) 8.. Odredite jednadžbu hiperbole kojoj je asimptota pravac y = x i koja prolazi točkom T (5,8). 8.3. Putanja Zemlje oko Sunca je elipsa sa Suncem u jednome fokusu (žarištu). Udaljenost Zemlje od Sunca u perihelu (točki u kojoj je Zemlja najbliža Suncu) približno iznosi 47 milijuna kilometara, a udaljenost u afelu (točki u kojoj je Zemlja najudaljenija od Sunca) iznosi 5 milijuna kilometara. Koliki je numerički ekscentricitet ε Zemljine putanje? e Napomena: Numerički ekscentricitet ε računa se prema formuli ε =. a Odgovor: ε = MAT A D-S5 9 MAT A D-S5.indd 9 8.. 3:3:8
III. Zadatci produženih odgovora Riješite zadatke 9. i 3. i napišite postupak rješavanja plavom ili crnom kemijskom olovkom. Prikažite sav svoj rad (skice, postupak, račun). Ukoliko dio zadatka riješite napamet, objasnite i zapišite kako ste to učinili. Ne popunjavajte prostor za ovanje. 9. Riješite sljedeće zadatke s funkcijama. 9.. Zadana je funkcija f ( x) = log (5x ). Odredite područje definicije funkcije f. Odredite nultočku funkcije f. Izračunajte f (5). Rezultat zapišite u decimalnome obliku i zaokružite ga na tri decimale. 3 MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:8
9.. Odredite prvu derivaciju funkcije x f ( x) = 3x 5. Odgovor: f ( x) = 3 9.3. Za koji realan broj x funkcija 3 f ( x) = x 3x + 5 postiže lokalni maksimum? Odgovor: x = 3 4 MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:8
x 9.4. Zadana je funkcija f ( x ) = 3 +. Odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije. Koliko rješenja ima jednadžba f ( x ) = 3? 3 4 9.5. Zadane su funkcije f ( x) Riješite jednadžbu ( f g)( x ) =. = x i g( x) = x 3. 3 4 MAT A D-S5 MAT A D-S5.indd 8.. 3:3:8
3. Tijelo kreće iz točke A(4, 5) i giba se po kružnici sa središtem u S (3,) u pozitivnome smjeru do točke B( x, y ). Duljina kružnoga luka AB je 5 p AB =. Odredite koordinate točke B. MAT A D-S5 3 MAT A D-S5.indd 3 8.. 3:3:9
Odgovor: B(, ) 3 4 MAT A D-S5 4 MAT A D-S5.indd 4 8.. 3:3:9
Prazna stranica MAT A D-S5 99 5 MAT A D-S5.indd 5 8.. 3:3:9
Prazna stranica MAT A D-S5 99 6 MAT A D-S5.indd 6 8.. 3:3:9
Prazna stranica MAT A D-S5 99 7 MAT A D-S5.indd 7 8.. 3:3:9
Prazna stranica MAT A D-S5 99 8 MAT A D-S5.indd 8 8.. 3:3:9