Kapacitivno spregnuti ispravljači

Kapacitivno spregnuti ispravljači Predrag Pejović 4. februar 22 Jednostrani ispravljač Na slici je prikazan jednostrani ispravljač sa kapacitivnom spregom i prostim kapacitivnim filtrom. U analizi ćemo smatrati da je kapacitivnost izlaznog filterskog kondenzatora C dovoljno velika da se talasnost izlaznog napona može zanemariti, što se zapisuje kao C. Direktna posledica ove pretpostavke je da je izlazni napon V OUT konstantan, što će znatno olakšati analizu kola koje pod ovom pretpostavkom ima rešenje u zatvorenoj formi. Kapacitivnost kondenzatora C se smatra konačnom i njegov napon će imati značajne i jednosmernu i naizmeničnu komponentu. Smatraćemo da je ulazni napon v IN = V m sin(ωt) što je prikazano odgovarajućim dijagramom na slici 2. v C + D2 + v IN i C C D C + V OUT I OUT Slika : Jednostrani ispravljač sa kapacitivnom spregom. Pod navedenim pretpostavkama se kondenzator C preko diode D puni energijom na napon V m u svakoj periodi ulaznog napona i dostiže napon v C (ωt) = V m za ωt = π + 2kπ, gde 2 je k Z. Na dijagramu v IN sa slike 2 je trenutak kada je kondenzator C napunjen označen tačkom B. Za sada još uvek ne znamo kada je dioda D počela da vodi. Taj trenutak, na slici 2 označen tačkom A, će biti određen kasnije. Dok vodi dioda D, dioda D2 je neprovodna, inverzno je polarisana naponom V OUT. Dioda D2 počinje da provodi za za v IN v C = V OUT. Kako je u trenutku početka provođenja diode D2 napon na kondenzatoru C jednak V m, dobija se v IN + V m = V OUT. Trenutak početka provođenja diode D2, t α, označen tačkom C na dijagramu sa slike 2, ćemo predstavljati preko odgovarajućeg faznog ugla α = ωt α. Zamenom talasnog oblika v IN se dobija V m sin α = V m + V OUT

odakle je sin α = V OUT V m. Dijagrami sa slike 2 su dobijeni za V OUT =.5 V m, pa je sin α = i α = 3. Kada vodi dioda D2, dioda D je inverzno polarisana naponom V OUT, a struja diode D2 je data jednačinom i D2 = i C = C dv C = C d (v IN V OUT ) Dioda D2 vodi dok je njena struja pozitivna. Kako je C dv IN = ω C V m cos ωt = i D2 = C dv IN. dioda D2 vodi od ugla α do π, što je na dijagramu sa slike 2 označeno tačkom D. Kako je 2 srednja vrednost struje kondenzatora C jednaka nuli, izlazna struja ispravljača je jednaka srednjoj vrednosti struje diode D2 tokom periode mrežnog napona I OUT = i D2 = 2π ω C V m π/2 α cos(ωt) d(ωt) odnosno I OUT = ω C V m ( sin α). 2π Zamenom ranije dobijene vrednosti za ugao uključenja diode D2, α, u jednačinu po izlaznoj struji se dobija I OUT = f C (2 V m V OUT ) odnosno V OUT = 2 V m f C I OUT. Ovim je dobijena veza između izlazne struje i izlaznog napona. Kako je ta veza linearna, moguće je napraviti ekvivalentno Tevenenovo predstavljanje izlaza ispravljača koje se sastoji iz E T = 2 V m i R T =. Izlazni napon praznog hoda ispravljača, pri I fc OUT =, je E T = 2 V m, dok je struja kratkog spoja I SC = 2 f C V m = ω C V π m. Dioda D2 je prestala da vodi za ωt = π, kada je v 2 IN = V m, pa je u tom trenutku v C = V m V OUT. Ovaj podatak je potreban da bi bio određen trenutak kada dioda D počinje da vodi. Tada je v IN v C =, pa je u trenutku uključenja diode D v IN = V m V OUT. Trenutak uključenja diode D2 je na dijagramu v IN sa slike 2 označen tačkom A i odgovara faznom uglu ωt β = β. Stoga je V m sin β = V m V OUT, pa je sin β = V OUT V m = sin α. Kako dioda D provodi samo dok napon v IN opada, za razliku od D2 koja provodi samo dok v IN raste, za vezu između α i β se dobija β = α π. Na dijagramu v IN sa slike 2 trenutak uključenja diode D je označen tačkom A. Na slici 2 su, osim do sada pominjanog napona v IN, prikazani vremenski dijagrami struja i D, i D2, i IN i napona na kondenzatoru v C. Dijagrami su dobijeni za V OUT =.5 V m. Na osnovu određenog vremenskog dijagrama i IN = i D + i D2, može se pokazati da je srednja snaga na ulazu ispravljača P IN = v IN i IN što je očekivan rezultat. P IN = f C (2 V m V OUT ) V OUT = I OUT V OUT = P OUT 2

C D vin/vm A B id/(ωcvm) id2/(ωcvm) iin/(ωcvm) vc/vm Slika 2: Jednostrani ispravljač sa kapacitivnom spregom, vremenski dijagrami struja i napona. 3

2 Dvostrani ispravljač Na slici 3 je prikazan dvostrani kapacitivno spregnuti ispravljač. Analiza ovog ispravljača je nešto složenija od analize jednostranog ispravljača, ali se suštinski izvodi na isti način. Opet ćemo pretpostaviti da je kapacitivnost izlaznog (filterskog) kondenzatora C dovoljno velika da se talasnost izlaznog napona može zanemariti, pa će u daljoj analizi biti smatrano da je izlazni napon V OUT konstantan, nezavisan od vremena. i DB + v C + D D2 + v IN i C C D3 D4 C V OUT I OUT Slika 3: Dvostrani ispravljač Za početak, pretpostavimo da i C >. Tada vode diode D i D4, a struja kondenzatora je data sa i C = C dv C = C d (v IN V OUT ) = C dv IN Kako i dalje važi pretpostavka da je v IN = V m sin(ωt), kada diode vode i C = ω C V m cos(ωt) pa diode D i D4 prestaju da vode za ωt = π 2. Tada je v C = V m V OUT. Ovaj trenutak je na vremenskom dijagramu v IN sa slike 4 označen tačkom D. Drugi slučaj provođenja dioda u ispravljaču sa slike 3 je kada je i C <, kada vode diode D2 i D3. I tada je i C dato istom jednačinom kao kada vode diode D i D4, pošto je v C = v IN +V OUT u ovom slučaju. Ograničavajući se u analizi na period π ωt < π, diode D2 i D3 će prestati da vode za ωt = π 2, što je na dijagramu napona v IN sa slike 4 označeno tačkom B. Tada će napon na kondenzatoru biti v C = V m + V OUT. Do sada su određeni naponi na kondenzatoru u trenucima kada diode prestaju da vode. Ovo je dovoljno da odredimo trenutke u kojima su diode počele da vode. U trenutku t α kada diode D i D4 počinju da vode zatečen napon na kondenzatoru je v C (t α ) = V m + V OUT. Fazni ugao kada diode D i D4 počinju da vode označimo sa α, pa je V m sin α = V OUT + v C (t α ) = V OUT V m + V OUT = 2 V OUT V m. Odavde je sin α = 2 V OUT V m. Trenutak uključenja dioda D i D4 je na dijagramu v IN imati u vidu da diode D i D4 vode dok v IN raste. sa slike 4 označen tačkom C. Treba 4

Situacija sa diodama D2 i D3 je simetrična u odnosu na provođenje D i D4. Kada one počinju da vode, u faznom uglu β, označenom tačkom A na slici 4, napon na kondenzatoru je v C (t β ) = V m + V OUT, pa važi pa je V m sin β = V OUT + v C (t β ) = V OUT + V m V OUT = V m 2 V OUT sin β = 2 V OUT V m = sin α. Kako diode D2 i D3 vode dok napon v IN opada, važi β = α π. Kada diode ne vode, napon na kondenzatoru je konstantan, pošto je struja kondenzatora jednaka nuli. Vremenski dijagrami struje kondenzatora i C, napona na kondenzatoru v C i struja dioda i D = i D4 i i D2 = i D3 su prikazani na slici 4 za V OUT = 3 V 4 m, kada je α = 3. Izlazna struja ispravljača I OUT je jednaka jednosmernoj komponenti izlazne struje diodnog mosta i DB, I OUT = i DB. Kako je i DB = i C, koristeći simetriju na polovini periode ulaznog napona izlazna struja ispravljača se može izračunati kao što se svodi na I OUT = π ω C V m π/2 α cos(ωt) d(ωt) I OUT = π ω C V m ( sin α). Zamenom ranije određene vrednosti za sin α dobija se odnosno I OUT = 2 π ω C (V m V OUT ) = 4 f C (V m V OUT ) V OUT = V m 4 f C I OUT. Kao i u slučaju jednostranog ispravljača sa kapacitivnom spregom, zavisnost izlaznog napona od izlazne struje je linearna i može se predstaviti ekvivalentnim Tevenenovim izvorom elektromotorne sile E T = V m i unutrašnje otpornosti R T =. U odnosu na jednostrani ispravljač 4fC sa kapacitivnom spregom, dvostrani ima dva puta manju elektromotornu silu i četiri puta manju unutrašnju otpornost. Napon praznog hoda dvostranog ispravljača je V m, a struja kratkog spoja je I SC = 4 f C V m = 2 ω C V π m. Ulazna snaga ispravljača je data sa P IN = v IN i IN i korišćenjem simetrije po poluperiodi se dobija kao P IN = π ω C V 2 m π/2 α sin(ωt) cos(ωt) = 2π ω C V ( m 2 sin 2 α ) što se zamenom prethodno određene vrednosti sin α svodi na P IN = 2 π ω C (V m V OUT ) V OUT = I OUT V OUT što je očekivan rezultat. U prilogu su dati programi za simulaciju oba razmatrana ispravljača u programskom paketu GNU Octave http://www.gnu.org/software/octave/. 5

C D vin/vm A B (id, id4)/(ωcvm) (id2, id3)/(ωcvm) ic/(ωcvm) vc/vm Slika 4: Dvostrani ispravljač sa kapacitivnom spregom, vremenski dijagrami struja i napona. 6

3 Prilog : Program za simulaciju jednostranog ispravljača # capacitor-coupled half-wave rectifier clear all close all deg = linspace(8, 8, 36 * 2 + ); wt = deg / 8 * pi; n = length(deg); Mout = input( Vout/Vm = ); min = sin(wt); mout = Mout * ones(, n); jin = cos(wt); alpha = asin(mout - ); d = ((- pi + alpha < wt) & (wt <= - pi / 2)) (pi + alpha < wt); X = (- pi /2 < wt) & (wt <= alpha); d2 = (alpha < wt) & (wt <= pi / 2); X2 = ((pi / 2 < wt) & (wt <= pi + alpha)) (wt <= - pi + alpha); jd = - jin.* d; jd2 = jin.* d2; jin = - jd + jd2; mc = min.* d + ().* X + (min - mout).* d2 + ( - mout).* X2; Jout = mean(abs(jd2)); printf( Iout = %6.4f * w * C * Vm\n, Jout); figure() subplot(2,, ) plot(deg, jin) set(gca, XTick, 8:3:8) axis([8, 8,.2,.2]) xlabel( wt [deg] ) ylabel( i_{in}/(wcv_m) ) subplot(2,, 2) plot(deg, mc) set(gca, XTick, 8:3:8) axis([8, 8,.2,.2]) xlabel( wt [deg] ) ylabel( v_c/v_m ) hwdata = [deg, wt, min, mout, jd, jd2, jin, mc ]; save hwdata hwdata 7

4 Prilog 2: Program za simulaciju dvostranog ispravljača # capacitor-coupled full-wave rectifier clear all close all deg = linspace(8, 8, 36 * 2 +); wt = deg /8 * pi; n = length(deg); Mout = input( Vout/Vm = ); min = sin(wt); mout = Mout * ones(, n); jin = cos(wt); alpha = asin(2 * Mout - ); d23 = ((- pi + alpha < wt) & (wt <= - pi / 2)) (pi + alpha < wt); X23 = (- pi /2 < wt) & (wt <= alpha); d4 = (alpha < wt) & (wt <= pi / 2); X4 = ((pi / 2 < wt) & (wt <= pi + alpha)) (wt <= - pi + alpha); jd23 = - jin.* d23; jd4 = jin.* d4; jc = - jd23 + jd4; mc = (min + mout).* d23 + (mout - ).* X23 + \ (min - mout).* d4 + ( - mout).* X4; Jout = mean(abs(jc)); printf( Iout = %6.4f * w * C * Vm\n, Jout); figure() subplot(2,, ) plot(deg, jc) set(gca, XTick, 8:3:8) axis([8, 8,.2,.2]) xlabel( wt [deg] ) ylabel( i_{in}/(wcv_m) ) subplot(2,, 2) plot(deg, mc) set(gca, XTick, 8:3:8) axis([8, 8,.2,.2]) xlabel( wt [deg] ) ylabel( v_c/v_m ) fwdata = [deg, wt, min, mout, jd4, jd23, jc, mc ]; save fwdata fwdata 8