Curs 6 OI ETOE E ETIARE A ARAETRILOR UNEI REARTIŢII. ETOA VEROIILITĂŢII AIE. ETOA OENTELOR.. Noţu troductve Î legătură cu evaluarea ş optzarea proceselor oraţoale apar ueroase problee de estare cu sut: estarea paraetrlor dstrbuţlor rezultatelor ş erorlor de aalză; estarea ucţlor de reerţă; estarea peroraţelor proceselor oraţoale; estarea eectulu lueţe derţlor actor d procesul de aalză asupra corecttud rezultatelor; estarea ucţe de răspus a procesulu aalzat etc. r estator îţelege o regulă de estare a uu paraetru sau paraetr pe baza ue selecţ; pr estat valoarea care se obţe îtr-u aut caz. acă ave o populaţe statstcă astel îcât o aută caracterstcă a eleetelor acestea a ost ăsurată atuc repartţa caracterstc este cuoscută. eoarece recvet aceste ăsurător u sut realzate repartţa caracterstc este ecuoscută. e pue problea estăr derţlor paraetr a repartţe caracterstc pe baza rezultatelor ăsurătorlor asupra caracterstc petru eleetele ue selecţ. e eeplu dacă dor să estă eda ş dspersa caracterstc pute olos ca estaţ a acestor paraetr eda respectv dspersa de selecţe. acă dor să estă abaterea ede pătratcă a caracterstc pute olos abaterea ede pătratcă de selecţe. Estaţle paraetrlor se îpart î două categor: estaţ puctuale ş estaţ pr tervale de îcredere. Fe... o selecţe dtr-o populaţe statstcă î care caracterstca sub cercetare este o v.a. a căre destate de repartţe depde de paraetrul θ ş t... = t o statstcă. Obs. O statstcă eda de selecţe dspersa de selecţe trebue aleasă î ucţe de paraetrul pe care trebue să-l esteze eda populaţe dspersa populaţe ş să satsacă codţle: a ă dea valoarea adevărată a paraetrulu b ă dea valoarea care este cel a recvet a aproape de valoarea adevărată a paraetrulu. c Codţa a cere ca statstca olostă să abă eda egală cu valoarea adevărată a paraetrulu ce trebue estat. e. 5. pue că statstca t este o estaţe edeplasată a paraetrulu θ dacă valoarea ede a statstc t este egală cu θ t = θ. Codţa b cere ca repartţa statstc t să abă valor î vecătatea paraetrulu θ. e. 5. pue că şrul de statstc t t... t... este u şr cosstet de estaţ petru θ dacă: t l 5. Obs. Codţa a repreztă o codţe ecesară ar codţa b repreztă o codţe sucetă.
Teorea 5. Rao Craer acă t este o estaţe edeplasată a paraetrulu θ atuc: t l 5. e. 5.3 ărea: l l 5.3 poartă uele de cattate de oraţe pe o observaţe. e. 5.4 acă t este o estaţe edeplasată ş dacă: t 5.4 atuc t se ueşte estaţe de ă dsperse sau estaţe ecetă. Obs. t este o estaţe ecetă a paraetrulu θ dacă dă valor care sut cocetrate a aproape de valoarea paraetrulu θ decât valorle orcăre alte statstc. e. 5.5 Raportul e t t se ueşte eceţa estaţe t. e. 5.6 acă l e t atuc estaţa se ueşte asptotc ecetă. e. 5.7 Vo spue că statstca t este o estaţe sucetă petru θ dacă destatea observaţlor de selecţe petru orce valoare ată a lu t u depde de θ. Teorea 5. acă t este o estaţe edeplasată petru θ ş t * este o statstcă sucetă atuc care este o ucţe ua de statstca sucetă t * este de aseeea o estaţe edeplasată petru θ ş cu dspersa cel ult egală cu a estaţe t adcă: t t e. 5.8 O statstcă sucetă t se ueşte copletă dacă o ucţe ebaală de t a căre valoare ede este 0 θ. Obs. acă petru paraetrul θ o statstcă sucetă copletă t ş o estaţe edeplasată atuc o sgură ucţe de t care este o estaţe edeplasată petru θ ş are cea a că dsperse dtre toate estaţle edeplasate. e. 5.9 acă... ş... sut două statstc astel îcât...... 5.7 vo spue că tervalul aleator este u terval de îcredere petru paraetrul θ cu coecetul de îcredere e a spue că este u terval estator al 5.5 5.6
paraetrulu θ. tatstcle ş poartă uele de ltă superoară sut v.a. ş varază de la o selecţe la alta. ltă eroară respectv e. 5.0 acă petru k- paraetr θ θ θk pute găs statstcle ; a.î. k Atuc tervalele ; sut ute tervale de îcredere sultae petru paraetr θ θ θk avâd coecetul de îcredere. e observă că tervalul de îcredere este bazat pe o ucţe de o statstcă ş paraetrul ecuoscut a căre repartţe u depde de paraetrul ecuoscut. 5.8. etode de estare Fe o selecţe dtr-o populaţe î care caracterstca sub cercetare este o v.a. avâd ucţa de recveţă cazul dscret sau destatea de repartţe î cazul cotuu ;... k ude... k sut k-paraetr ce trebuesc estaţ. e eeplu repartţa boală depde de paraetrul p repartţa osso depde de N de paraetr μ ş. paraetrul λ ar repartţa orală a etoda verosltăţ ae Fucţa de recveţă cazul dscret sau destatea de repartţe cazul cotuu a selecţe este: k... k... ;... k... ;... ; 5.9 e. 5. Î relaţa ateroară ca ucţe de paraetr se ueşte ucţe de verosltate. etoda verosltăţ ae costă î a lua ca estaţ ale paraetrlor acele valor care azează ucţa de verosltate. Estaţle de aă verosltate sut obţute ca soluţ ale ssteulu de ecuaţ: l l... ;... k 0 k ecuaţ care poartă uele de ecuaţ de verosltate. Î cazul estăr uu sgur paraetru ssteul se reduce la: d l ; 0 5. d Teorea 5.3 Ecuaţa de a sus are o soluţe care petru valor ar ale lu este repartzată oral de valoare ede θ ş de dsperse / θ. Obs. Î cazul î care ecuaţa u poate eplctată î raport cu θ se oloseşte o soluţe 0 aproatvă. e evaluează: l ; 0 ş 0 0 5. A II-a aproaţe este: 3 5.0
0 l 0 5.3 0 e cotuă procedeul pâă se obţe o soluţe satsăcătoare. Teorea 5.4 Ecuaţle de a sus au soluţle astel îcât repartţa couă a soluţlor petru valor ar ale lu este orală de vector valoare ede... k ş atrcea de covaraţe rs - ude: l l rs 5.4 r s r s ; e. 5. atrcea poartă uele de atrce de oraţ ar atrcea s.. atrcea de oraţ pe utatea de observaţe. Obs. Î cazul î care ecuaţle de a sus u pot eplctate î raport cu... k se oloseşte o etoda teratvă: 0 0 - e poreşte cu o soluţe aproatvă... k l k - e evaluează ;... 0 0 ş atrcea î puctul... k. O a doua aproaţe este: k 0 l l l 5.5 l 0 0 ude sua se a î puctul... k. e repetă procedeul pâă se obţe o soluţe satsăcătoare. Eeplul Ne propue să estă proporţa de dvz dtr-o populaţe care au o aută caracterstcă. Vo cosdera o selecţe de -dvz d această populaţe ş observă uărul de dvz care au caracterstca respectvă. Asoce ecăru dvd o v.a. care poate lua valoarea sau 0 după cu dvdul posedă sau u caracterstca sub cercetare. Fucţa de recveţă a v.a. este: ; ; 0 5.6 etru o selecţe de -dvz observaţle asupra lu vor ş dec:... ; ş. Urează că: l... ; l l 5.7 l Ecuaţa 0 l are soluţa 5.8 4
5 Observaţ: eoarece urează că este o estaţe edeplasată petru θ proporţa dvzlor ce posedă caracterstca respectvă. eoarece l ave: ; ; ; l 0 0 5.9 ecuaţa raportul: t t e se scre: l 5.0 ceea ce arată că este o estaţe ecetă a paraetrulu θ. Eeplul Fe o selecţe de volu dtr-o populaţe î care caracterstca sub cercetare este v.a. avâd o repartţe N cu μ otat cu p ş paraetr ecuoscuţ. Fucţa de verosltate d: e ;... 5. ş p l l l 5. ecuaţle d ssteul ateror care ac sut: 0 l 0 l 5.3 au soluţle:. eoarece:
6 5.4 urează că este o estaţe edeplasată petru μ. Ave: 5.5 ş 5.6 Ţâd seaa că sut depedeţ ş repartzaţ la el ca ec 5.7 ceea ce arată că u este o estaţe edeplasată petru paraetrul. Obs. Estaţle de aă verosltate u sut îtotdeaua ş estaţ edeplasate. b etoda ulu lu ă presupue că o populaţe statstcă este îpărţtă î c-categor ş că probabltatea ca u dvd să aparţă categore " este c k k p p....... acă î ura ue selecţ de volu s-au observat dvz î categora " atuc etoda ulu lu petru estarea paraetrlor k... costă î a lua ca estaţe a vectorulu k... valoarea care zează valoarea statstc: c p p 5.8 Această etodă dă asptotc aceleaş estaţ ca ş etoda verosltăţ ae petru ucţa de verosltate: c p 5.9
Cu alte cuvte are loc: e. 5.3 Estaţle de petru paraetr... ecuaţlor: p 0 p c k sut date de soluţle k 5.30 c etoda oetelor etoda oetelor earso este cea a veche ş totodată cea a splă etodă petru estarea paraetrlor. Această etodă costă î urătoarele: e calculează prele k- oete de selecţe k 5.3 ' care î geeral sut ucţ ş se egalează cu oetele teoretce k de paraetr... k : g... k k Estaţle paraetrlor... k pr etoda oetelor se obţ rezolvâd ecuaţle: g...k dacă acestea sut depedete ucţoal ş k... Teorea 5.5 Estaţle obţute pr etoda oetelor sut cosstete ş asptotc repartţa lor couă este orală. Eeplu: Fe o selecţe de volu dtr-o populaţe statstcă de ede μ = p ş dsperse. rele două oete ale populaţe sut: k 5.3 Estaţle paraetrlor p ş se obţ ca soluţ ale ssteulu: p Găs h ~ 5.33 Obs. Îate de eectuarea selecţe estaţle petru p ş sut: ş s Eeplu: Fe Ave: o selecţe de volu asupra v.a. repartzată uor pe tervalul ab. 7
5.34 ş ecuaţle care trebuesc rezolvate petru a detera estaţle petru a ş b sut: Găs: 5.35 ude este valoarea observată a dsperse de selecţe. Obs. Îate de eectuarea epereţe estaţle a ş b sut: 5.36 d etoda celor a c pătrate Această etodă se aplcă petru estarea paraetrlor ce terv lar î edle v.a. ecorelate cu aceeaş dsperse ş costă î a lua ca estaţ ale acestora acele valor care ac ă sua pătratelor abaterlor v.a. de la valorle ed respectve. Fe -varable ecorelate ua cu cealaltă cu aceeaş dsperse ecuoscută ş edle date de: y a a... a ; 5.37 etoda costă î a ace ă sua pătratelor abaterlor: y a a a... î raport cu.... Ave: a 5.38 y a... a a y a y... ay a a... aa a a... a a... a a... a a sau puâd: a y a a... a a y a a... a 5.39... ute scre: Q b b... b ; 5.40 8
Ecuaţa 0 ; coduce la urătorul sste: b... b Q î... ut ssteul ecuaţlor orale. Estă cel puţ o soluţe a ssteulu de ecuaţ. Fe... ua d aceste soluţ: e. 5.4 pue că ucţa lară paraetrcă l l... l ude sut coeceţ cuoscuţ este establă dacă o estaţe edeplasată petru θ. acă θ este establă estaţa sa edeplasată de ă dsperse este dată de: eoarece ecare urează că: l 5.4 l... l este o ucţe lară de Q Q... Q Valoarea ă a lu este dată de: 0 ~ l l... 5.4 y l Q Q... 5.43 Q acă ua r d cele ecuaţ d ssteul ecuaţlor orale sut lar depedete atuc relaţa ateroară are grade de lbertate. Astel r este ragul atrc. O estaţe edeplasată petru este dată de: ută eroare ede pătratcă. [][9] ETIAŢII LINIARE ŞI NELINIARE A ARAETRILOR. INTERVALE E ÎNCREERE. 6. Estaţ elare ale paraetrulu σ d repartţa Nμσ Fe... o selecţe d populaţa î care caracterstca sub cercetare este o varablă aleatoare repartzată Nμσ. a Î cazul î care eda μ este cuoscută statstca: este o estaţe edeplasată petru σ. Ave : 9
0 = σ ş = 6. Ţâd seaa că Γ+ e obţe: = O. Cu: 3 ; l d 6. Teorea Rao-Craer obţe: 6.3 ceea ce arată că u este o estaţe sucetă a paraetrulu σ. Este îsă o estaţe asptotc ecetă. b Î cazul î care eda μ este cuoscută estaţle de aă verosltate ale paraetrlor μ ş σ sut ş respectv: 6.4 eoarece : = 6.5 urează să spue că u este o estaţe edeplasată petru σ. O estaţe deplasată petru σ este: s = 6.6 Ave: ; O 6.7 ş spue că este o estaţe asptotc ecetă petru σ.
6. Estaţ lare ale paraetrulu σ d repartţa Nμσ. eoarece coeceţ care apar sut dcl de calculat s-a căutat să se găsească estaţ ale paraetrlor σ pr ore lare de... care să uşureze calculele. Aceste estaţ lare pe lâgă uşurţa cu care se calculează trebue să posede ş propretăţ statstce deosebte cu ar : edeplasarea ş eroarea ede pătratcă ă astel îcât să poată îlocu ără perdere de eceţă estaţle clasce elare. a Î cazul î care eda μ este cuoscută statstca este estaţe edeplasată petru σ. Ave: =σ ş 6.8 Eceţa asptotcă a aceste estaţ este aproatv 0.877. b Î cazul î care eda μ este ecuoscută statstca: estaţe edeplasată petru σ. Ave: =σ ş arcs Eceţa sa relatvă la este de 08 petru = 0 ş 09 petru = 5. c tatstca: este o g 6.0 este deaseeea o estaţe edeplasată a paraetrulu σ. O otă pr statstca: g este dereţa ede a lu G. Ave: 3 g 6.9 deoarece 3 3 6. g puct de vedere al eceţe este oarte buă î sesul că eceţa sa relatvă la g estaţa edeplasată clască a paraetrulu σ este petru = ; 099 petru 3 5 ş 098 petru 6 5.[