Numeričko rešavanje običnih diferencijalnih jednačina

9 Numerčo rešavaje obč dferecjal jedača 9. UVOD Matematč model velog broja procesa u emjsom žejerstvu maju formu dferecjal jedača. Obča dferecjala jedača ODJ je jedača u ojoj u opštem slučaju fguršu: ezavso promeljva fucja je zvod počev od prvog pa do eog - tog. Dale ODJ defše vezu zmeđu fucje je zvoda možemo da je uopšteo pražemo ao: F... l u esplctom oblu rešeo po ajvšem zvodu: a b 9. d d f... a b 9.a gde terval defsaost fucja [a b] može bt besoača. Dferecjala jedača 9. u ojoj je ajvš zvod oj fgurše zvod -tog reda zove se ODJ -tog reda. Svaa fucja oja zadovoljava dferecjalu jedaču 9. predstavlja jeo rešeje. Rešeje može bt opšte ada sadrž prozvolj ostat c... oje se zovu tegracoe ostate partularo oje se dobja z opšteg određvajem broj vredost tegraco ostat z sto tolo dodat uslova oje moraju da zadovolje fucja je zvod.... - -vog reda a gracama a b oblast defsaost. T dodat uslov se zovu grač uslov. Prmer : Promea ocetracje reatata A oj se troš u eoj emjsoj reacj sa vremeom t pr ostatoj temperatur gust reacoe smeše uz dealo mešaje smeše opsaa je dferecjalom jedačom. reda: 9

dca mol r CA [ t dt m s gde je rc A etč zraz tj. zraz za brzu emjse reacje u fucj ocetracje reatata temperature. Ao jedač dodamo podata o početoj ocetracj reatata u mometu otpočjaja reacje t ao grač uslov: C A CA dobjamo matematč model zotermsog šaržog emjsog reatora. Tražea fucja C A t je partularo rešeje date ODJ oje se dobja određvajem jede tegracoe ostate u ptaju je ODJ. reda u opštem rešeju z zadatog gračog uslova u početom mometu C. Prmer : Promea ocetracje reatata A oj se troš u stoj emjsoj reacj duž stacoarog cevog emjsog reatora pr ostatoj temperatur gust reacoe smeše opsaa je dferecjalom jedačom. reda: d CA dca mol DA w r CA z L dz dz m s gde su A z - rastojaje od ulaza u reatorsu cev L - duža cev D A - oefcjet dfuzje reatata w - sredja brza protcaja reacoe smeše roz reator ojoj treba dodat dva uslova: jeda za ulaz u reator z a drug za zlaz z reatora z L. Data ODJ grač uslov če matematč model zotermsog cevog reatora. Tražea fucja C A z predstavlja partularo rešeje oje pored date ODJ zadovoljava dva grača uslova. Prmer : Promea položaja ugao tj. otlo u odosu a vertalu matematčog lata u tou vremea t predstavlja partularo rešeje omogee df. jedače reda sa ostatm oefcjetma blas olče retaja lata: t a t b rad / s t sa dodatm uslovma: zadat počet položaj otlo lata zadata ugaoa brza retaja lata u početom mometu Numerčo rešeje ODJ Mal broj dferecjal jedača oje su od pratčog teresa se može rešt aaltč tj. dobt jeo rešeje u vdu aaltč defsae fucje. Tao se partularo rešeje dferecjale jedače 9. dobja prblžo l umerč u oblu tabele prblž vredost tražee fucje:...n u zu tačaa...n. Pr tom se razluju dva tpa problema: 9

počet problem tal value problem ada su sv eopod grač uslov uupo dat a levoj grac a oblast defsaost fucje. U ovom slučaju za grače uslove se orst term počet uslov. grač problem boudar value problem ada su e uslov dat a levoj grac a a e a desoj grac b oblast defsaost fucje. ažemo da su grač uslov razdvoje splt boudar codtos Tao Prmer predstavljaju počete probleme a Prmer grač problem. Sstem obč dferecjal jedača Sstem ODJ m-tog reda se sastoj od obč dferecjal jedača u ojma fgurše sto tolo fucja... jov zvod pr čemu je ajvš red zvoda oj je uljuče jeda m. Tao u ajopštejem slučaju sstem ODJ zgleda: m m F............... [ a b] l u vetorsom oblu: m d d d F... [ a b]... m d d d 9. Specjalo sstem ODJ prvog reda je: d F a b d.. 9. l u esplctom oblu: d f... d M 9.4 d d f... Partularo rešeje sstema ODJ je sup fucja... oje zadovoljavaju sstem jedača 9. još uupo m grač uslova. ao u slučaju jede ODJ razlujemo počet grač problem u zavsost da l su sv grač uslov dat u levoj l su e dat u levoj a e u desoj grac oblast defsaost fucja [a b]. Prmer 4: Dobjaje temperaturog profla T fluda oj protče roz cev temperaturog profla T fluda oj protče roz omotač stacoarog stostrujog zmejvača toplote tpa cev u cev duže L predstavlja počet problem za sledeć sstem od dve dferecjale jedače. reda eergets blas za jeda drug flud: 94

dt ρc pw T dz R dt ρ c pw T dz T T J m s R R R T T J m s sa zadatm ulazm temperaturama oba fluda ao početm uslovma: : T T T T oba grača uslova u gde su R R - uutrašj poluprečc uutrašje spoljje cev zmejvača ρ ρ - guste fluda c p c p - specfče toplote fluda w w - sredje brze fluda T - oefcjet prolaza toplote Prmer 5: Dobjaje temperaturog profla oba fluda u stacoarom suprotostrujom zmejvaču toplote tpa cev u cev duže L predstavlja grač problem: dt ρc pw T dz R dt ρ c pw T dz T T R R R T T sa zadatm ulazm temperaturama oba fluda ao gračm uslovma: T T T L T grač uslov su "razdvoje" 9. PREVOĐENJE ODJ REDA U SISTEM ODJ. REDA ODJ - tog reda: F... a b 9. sledećm smeama: M 9.5 prevodmo u sledeć evvaleta sstem od ODJ. reda: 95

96 f f d d f d d f d d f d d M 9.6 u ome se posledja jedača dobja majuć u vdu da je: d d d d rešavajem polaze dferecjale jedaču po ajvšem zvodu uvođejem dat smea:......... smee f f d d F Prmer 6: Dferecjala jedača. reda: 4 se smeama: prevod u sstem: 4 4 d d d d U slučaju početog problema a a a M počet uslov za uvedee fucje glase: a a a M 9.6a

9. NUMERIČO REŠAVANJE ODJ. REDA OJLEROVA METODA Tražmo fucju defsau u oblast [a b] ao rešeje početog problema: f a 9.7 odoso oja zadovoljava datu ODJ. reda dat počet uslov. Numerčo rešeje dobjamo u vdu prblž vredost tražee fucje... N u zu evdstat tačaa: b a N a b N... N 9.8 odoso u vdu tabele:...n. aže se da smo zvršl dsretzacju domea [a b] ezavso promeljve. Na Sl. 9. praza su: tačo rešeje tj. ea epozata fucja ϕ umerčo rešeje tj. z tačaa...n. Pretpostavmo sada za momeat da je pozata vredost fucje u tač. ao odredt vredost fucje u sledećoj tač? Ojlerova Euler metoda se zasva a aprosmacj prvoga zvoda olčom prraštaja: f z oje sled reureta formula za dobjaje prblžog rešeja:... f N 9.9 ora dsretzacje 9.8 azva se ora tegracje l tegraco ora. tača vredost ϕ t ϕ Sla 9. - Tačo umerčo rešeje ODJ. reda 97

Zadata 9. Potrebo je rešt umerč dferecjalu jedaču: d 5 d a Dobt umerčo rešeje deleć terval defsaost fucje terval tegracje a N podtervala oraa uporedt ga sa tačm rešejem: e 5 b Poovt proraču sa N 5 tegraco oraa uporedt ga sa tačm rešejem. c Poovt proraču poređeje za N 5 d Povećavat broj tegraco oraa do masmalo odstupaje prblžog od tačog rešeja a tervalu tegracje e postae maje od. Rešeje Matcad: Taco reseje: φ : e 5 Podac: f : 5 a: b : a N: Itegracja: ora tegracje: b a : N. : a : :.. N : : f Tace vredost: -.5.5.8 6.78 - t : t : φ 4 5 -.75 5.6-7.594 t 4 5 5.5-4 4.54-5.77-6 6.9 6.59-7 7-7.86 7.5-8 8 5.69 8.6-9 9-8.44 9.69 - ε : t :.. N 57.665.89-98

5 t ε 5 Numerco reseje oscluje oo tacog pr cemu odstupaje raste. 5 5 Racus proces je establa! b N: 5 b a : N Itegracja: :.67 :.. N : f 4 5 -.667.444 -.96.98 -. 4 5.89.6 6.78 -.7 -.44-4 Tace vredost: Grese: t : ε : t φ 6 7 8 9.88 -.59.9 -.6 t 6 7 8 9 4.54-5 8.575-6.6-6.59-7.7 5.778-8 -..9-8 :.. N 7.77 - -5.8 -.6-9.89-4.45-4 7.5-5 -.84-5.89 - t 5 5 Prblzo reseje oscluje oo tacog al se gresa po apsolutoj vredost smajuje. 99

ε Racus proces je stabla Gresa metode je vela ma ε.856 c N: 5 Itegracja : :.. N : 5 ora tegracje: b a : N : f. Grese: t : φ :.. N ε : t ma ε.8 t.5 5 5 Prblzo reseje e oscluje ε.5. Gresa ma stal za po apsolutoj vredost mootoo opada..5 5 5 Racus proces je stabla al e dovoljo taca d b a N : ora tegracje: :. N

Itegracja: :.. N : : f Grese: t : ε : t ma ε φ.5 Povecavat broj tegraco oraa do se e dobju prvatljv rezultat: ε <. Loala greša red umerče metode Loala greša ee umerče metode E je greša a -vom tegracoom orau...n- tj. odstupaje tačog prraštaja tražee fucje ada se prome sa a od prraštaja zračuatog posmatraom metodom. Njea apsoluta vredost opada sa smajvajem tegracoog oraa u opštem slučaju je proporcoalaa eom celobrojom poztvom stepeu oraa. Tao je oa ada tež ul besoačo mala velča reda pšemo: E O Po dogovoru ažemo da je metoda p - tog reda tačost ao je jea loala greša reda p : p E O 9. Globala greša stablost umerče metode Pod globalom grešom umerče metode tegracje df. jedače podrazumeva se odstupaje tačog od umerčog rešeja. Tao je globala greša ε u eoj tač u tervalu tegracje jedaa: ε t 9. Na Sl. 9. globale greše u pojedm tačama su odstupaja rve tačo rešeje df. jedače od tačaa prblžo rešeje. Jaso je da ao loala greša metode raste z oraa u ora to će prouzroovat povećaje globale greše sa povećajem odoso tj. propagacju greše u tou račusog procesa. U sladu sa defcjom stablost račusog procesa tava umerča

metoda je establa. U problemu 9. uočava se establost Ojlerove metode pr prblžom rešavaju zadate ODJ sa oraom tegracje. a. Povećaje globale greše toom račusog procesa može bt prouzroovao aumulacjom grešaa zaoružvaja. Tao sa smajejem tegracoog oraa rad povećaja tačost metode može doć do propagacje grešaa zaoružvaja vel broj račus operacja povećaja establost procesa. Propagacja grešaa zaoružvaja se može mmzovat ao se proraču zvod sa velm brojem začaj cfara što je slučaj pr oršćeju Matcad-a l pr proračuu u dvostruoj preczost u eom programsom jezu Pogl..5. 9.4 TAČNOST I STABILNOST OJLEROVE METODE Da b zvel zraz za loalu grešu Ojlerove metode pretpostavmo da je vredost tača. Taču vredost za b dobl tegracjom dferecjale jedače 9.7 u gracama do : d f d f Ojlerov metod se bazra a aprosmacj podtegrale fucje Tajlorovm polomom ultog reda - ostatom. Name fucja f tj. prv zvod tražee fucje se uzma ostatm jedam f u celom tervalu [ ] odale sled formula 9.9. Tača vredost b bla: odoso f ξ t f! d 44 4 < ξ < gresa aprosmacje f ξ f d f t 44 4! Ojlerov metod d ξ ξ pa je loala greša metode jedaa: E ξ < ξ < t 9. U sladu sa dogovorom ažemo da je Ojlerova metoda prvog reda tačost. Na Sl. 9. data je grafča lustracja loale greše Ojlerove metode. Metode prvog reda tačost su ajmaje tače metode rad postzaja zatevae tačost umerčog rešeja ODJ u em problemma eopodo je odabrat vrlo male tegracoe orae Zadata 9..

f E t agb f f E Sla 9. - Loala greša Ojlerove metode Propagacja greše u račusom procesu Nea je globala greša procee fucje u tač jedaa: ε t. Ova greša prouzrouje grešu procee fucje u sledećoj tač pojava šreja l propagacje greše pošto vredost fucje oja se zamejuje u formulu 9.9 je tača. Na grešu oja potče od greše vredost treba dodat loalu grešu metode grešu zaoružvaja. Ao grešu zaoružvaja zaemarmo globalu grešu vredost fucje u tač dobjamo ao: Drugu od grešaa procejujemo ao: pa je:... ε ε ε f E N f ε f [ f ] ε ε f [ ] ε E... N 9. ε Ao ao prmer uzmemo jedostavu dferecjalu jedaču: gde je λ ea ostata maćemo: 9. dobja jedostava obl: λ a 9.4 9. f f λ λ E E cost. 9.4a

ε [ λ] ε E βε E... N 9.a Uzastopom prmeom formule 9.a možemo polazeć od ε da zračuamo grešu ε fucje u eoj tač oja je rezultat šreja greše a tervalu ] : [ β E ε E [ λ ]... N 9.5 β λ Ao b uvel eu sredju vredost loale greše E a posmatraom tervalu [ ] ao sredju vredost ω fucje f ω a stom tervalu z 9. b dobl proceu globale greše a -tom orau ε za opšt obl ODJ 9.7: E ε [ ω ]... N 9.6 ω Stablost račusog procesa Iz 9.6 je jaso da će globala greša prblžog rešeja ODJ u tou Ojlerovog postupa raste da raste ao je zraz ω oj se stepeuje sa po apsolutoj vrdost već od jedce. Tao z 9.6 sled dovolja uslov stablost Ojlerove metode a eom tervalu ] : [ ω [ ] > 9.7 U specjalom slučaju glas: odoso ω λ 9.4 dovolja uslov stablost 9.6 je potreba λ > λ > Dale za poztve vredost parametra λ Ojlerova metoda je establa sa blo olo malm oraom tegracje za egatve vredost λ metoda će bt stabla ao samo ao tegraco ora > zadovoljava uslov: λ odoso 4

9.7a λ Prmer 7: U Zadatu 9. smo Ojlerovom metodom tegrsal ODJ obla 9.4 sa λ -5 sa početm uslovom. Stablu što e zač dovoljo taču račusu proceduru obezbeđuje zbor velče tegracoog oraa: 5.8 što objašjava establost proračua sa N. a. Nestabla račus proces u a ma osclatora arater. To se može objast a sledeć ač. Za datu ODJ Ojlerova metoda 9.9 za prblžu vredost fucje u tač daje: λ... f λ N Očgledo je da rešeje oscluje tj. azmečo meja za a tme globala greša u tou establog proračua a jer je: λ < < Stabla račus proces može da ma osclatora l mooto arater. O je osclatora ao je: λ < λ > λ > < λ λ odoso u posmatraom prmeru:.4 <.8 što smo mal za N 5 b. Stabla račus proces ma mooto arater vredost e mejaju zaza: < λ < > λ > > λ > < < λ što smo mal u slučajevma c d. 9.5 MODIFIOVANE OJLEROVE METODE Pozate modfacje Ojlerove metode sa cljem povećaja tačost su: Ojlerova metoda sredje tače Ojlerova metoda sredjeg agba obe su drugog reda tj. loala greša m je proporcoala. stepeu tegracoog oraa. Metoda sredje tače Geometrjs terpretrao od orgale Ojlerove metode se prblža vredost fucje u tač dobja retajem z tače po taget rve povučee u tač prva lustracja a Sl. 9.. od metode sredje tače se pomeraje z za ora vrš duž prave s agbom zračuatm ao agb tagete a rvu u sredjoj tač 5

.5 posmatraog tervala [ ] Sl. 9. čme se povećava tačost procejeog prraštaja -. Rezultat je formula: f.5.5f... N 9.8 - agb prav f f f.5.5f / Sla 9. Ojlerova metoda sredje tače Metoda sredjeg agba od ove metode se pomeraje z tače vrš duž prave čj je agb zračuat ao sredj agb taget a rvu u početoj rajjoj tač posmatraog tervala ]: [ [ f f f ] N 9.9 f f s f f s Sla 9.4 - Ojlerova metoda sredjeg agba 6

9.6 RUNGE UTA METODA 4. REDA Zbog svoje tačost relatve jedostavost ovo je ajverovatje ajšre oršćea metoda za umerču tegracju ODJ. reda. Formule su: 4 6 f f f f 4... N 9. Geometrjsa terpretacja je sledeća. Tača se dobja pomerajem z tače po pravoj čj je agb zračuat ao sredja vredost 4 agba pr čemu su.. agb uzet sa dvostruom težom u odosu a. agb agb tagete u početoj tač 4. agb agb tagete u rajjoj tač. Name u formulama 9. prepozajemo:. f agb u početoj tač. f / / agb u sred.tač dobjeoj z poč.tače agbom. f / / agb u sred.tač dobjeoj z poč.tače agbom 4. f agb u rajjoj tač dobjeoj z poč.tače agbom Zadata 9. Dferecjala jedača oja opsuje promeu ocetracje reatata u reacj prvog reda A B oja se odgrava u dealo mešaom dealo zolovaom adjabats režm šaržom reatoru glas: gde su: dc dt A T C A T E R T CA e H R c ρ p C A C A C C A C A A T CA - početa temperatura ocetracja E - predespoecjal fator eergja atvacje u Arejusovom zrazu R - uverzala gasa ostata H R - toplota reacje c p ρ - specfča toplota gusta reacoe smeše Potrebo je za date podate Pratum odredt ocetracju reatata ao 5s od startovaja reatora a Ojlerovom metodom s razlčtm tegracom oracma b Ruge - uta Ruge- utta metodom 4. reda sa razlčtom tegracom oracma uporedt rezultate 7

Rešeje: Pratum XIII- 9.7 LASIFIACIJA NUMERIČIH METODA ZA INTEGRACIJU ODJ. REDA Jeda podela metoda je a: jedoorače oje za zračuavaje vredost fucje u aredoj tač orste samo vredost fucje zvoda u pretodoj tač f To su pretodo zložee Ojlerove metode metoda Ruge-uta. všeorače oje za zračuavaje pored f orste vredost fucje zvoda u zu pretod tačaa: - f - f - - - f - f - -... Druga podela je a: esplcte od oj je formula za zračuavaje vredost fucje u aredoj tač eplcto zražea po. Izložee Ojlerove metode metoda Ruge uta su esplcte jedoorače metode mplcte od oj je formula za zračuavaje mplcta. 9.8 IMPLICITNA OJLEROVA METODA SREDNJEG NAGIBA Implcte jedoorače metode se bazraju se a dej da se pr aprosmacj zvoda f fucje rad procejvaja vredost fucje u aredoj tač uljuč tača u ojoj je vredost fucje f epozata da se oda zavaljujuć teratvom određvaju z tao dobjee mplcte formule metod uzastop zamea poveća stablost račusog procesa. Implcte metode sadrže dve formule: predtor formulu oja služ za određvaje prve procee za pomoću ee esplcte jedoorače metode oretor formulu oja je mplcta čjm se teratvm oršćejem metod uzastop zamea dobja sa uapred zadatom preczošću. Tao se mplctom metodom sredjeg agba oja je ao odgovarajuća esplcta metoda drugog reda vredost fucje račua ao: a predtor oretor formule su: f f... N 9. predtor: f 9.a 8

N 9.b oretor: [ f f ]...;... zlaz rterjum: < ε 9.c Može se zvest sledeć dovolja uslov stablost metode: f ω [ N ] 9. oj je očgledo zato maje restrtva ego uslov stablost Ojlerove esplcte metode 9.7. Zadata 9. Problem z pretodog zadata rešt prmeom Ojlerove mplcte metode Rešeje: Pratum XIII-4 9.9 VIŠEORAČNE ESPLICITNE METODE Prblža vredost fucje oja predstavlja tačo rešeje dferecjale jedače: d d f u tač može da se odred prblžom tegracjom jedače u gracama - do gde je f d Pr tom ćemo podtegralu fucju aprosmrat pomoću NJIP r-tog stepea sa čvorovma terpolacje: -... -r. Dale o e prolaz roz epozatu taču da b rezultujuća formula bla eplcta. Tao se všeorače esplcte metode z jedače: Pr α dα α Pr f 9. r zač da gorja graca tegracje α je terpolaco čvor pa je IP je a desom raju tervala tegracje "sloboda" uočte razlu od tegraco formula zvede u Gl. 4. aže se da je rezultujuća tegracoa formula otvoreog tpa za razlu od formula zatvoreog tpa oje služe za prblžo račuaje određe tegrala Gl. 4 Za razlčte zbore r zvode se razlčte formule. Tao a prmer za r terpolaco polom zgleda: Uslov P α f 9

P α α α f f α f f f f α f f f α za odabrao zvod se sledeća formula 4 - tog reda: 4! 5 f f f 4... N E O Oa očgledo zateva pretodo zračuavaje prve tr vredost fucje eom jedooračom metodom. Što se tačost esplct všeorač metoda tče može se tegracjom grešaa terepolacje zvest: E O O r r za r paro α za r eparo! 9. VIŠEORAČNE IMPLICITNE METODE Izvode se aalogo esplctm všeoračm metodama s tm što se za aprosmacju podtegrale fucje f orst IP oj prolaz roz taču : Pr r d P f Rezultat je mplcta formula oretor formula. ao predtor formula orst se ea všeorača esplcta metoda. Mle ova metoda To je metoda 4. reda jeda je od ajpozatj všeorač mplct metoda. Njea predtor formula je zvedea a opsa ač sa r a oretor formula sa r je: 4 predtor: f f f 4... N 9.4a oretor: f 4 f f... 9.4b Za dobjaje prve tr tače umerčog rešeja orst se ea jedoorača metoda ajbolje stog reda tačost. To je metoda Ruge-uta 4. reda Pogl. 9.6. Ao se Mle-ova mplcta všeorača metoda upored sa esplctom Ruge-uta metodom može se majuć u vdu efeat oretora ostatovat:

obe metode maju loale greše stog reda O 5 Mleova metoda je stablja tj. otporja a propagacju grešaa u tou račusog procesa pa u opštem slučaju ma maju globalu grešu. Zadata 9.4 Problem formulsa u Zadatu 9. rešt Mle-ovom metodom. Rešeje: Pratum XIII-5 9. NUMERIČA INTEGRACIJA SISTEMA ODJ PRVOG REDA Počet problem za sstem od ODJ. reda se može formulsatu ao: d f d... l u vetorsom oblu: d f d 9.5 Numerčo rešavaje problema zateva dsretzacju domea ezavso promeljve: N... N 9.6a...... N 9.6b Dale za ozačavaje razlčt fucja orstćemo des a za ozačavaje dsret vredost odgovarajuć vredost fucja des. Za umerču tegracju sstema 9.5 orste se metode umerče tegracje jede ODJ. reda pr čemu se prmejuju smultao a sve jedače u sstemu. Opsaćemo prmeu Ojlerove metode metode Ruge- uta. Prmea Ojlerove metode......... f N 9.7a l u vetorsom oblu: f.. 9.7b N

Prmea Metode Ruge - utta 4. reda... 6 4 N 9.8 gde su:...... 4 f f f f 9.8a l u vetorsom oblu:... 6 4 N 9.9 gde su: 4 f f f f 9.9a 9. NUMERIČA INTEGRACIJA ODJ U MATHCAD-U Itegracja ODJ. reda Za prblžo rešavaje ODJ prvog reda 9.7 l uopšte rešavaje jede ODJ všeg reda za detalje vdet Help Sstem Matcad-a ameje je Odesolve bloc: prv deo bloa počje rečju Gve aalogja sa Solve bloc-om za oje se daje formulacja problema dferecjala jedača počet uslov u oblu vrlo slčom zvorom 9.7 drug deo bloa je pozv fucje Odesolve oja defše fucju ao terpolacou fucju za zračuatu tabelu - umerčo rešeje.

Začeja argumeata ma fucje Odesolve su: - ezavso promeljva ma - gorja graca tervala tegracje - broj tegraco oraa N eobaveza Ao se zostav z pozve lste u ovru fucje se automats bra tegraco ora da se zadovolj tačost sa rterjumom defsam sstemsm parametrom TOL. Fucja se bazra a Ruge-uta metod 4. reda sa ostatm tegracom oraom duž tervala tegracje. Postoj mogućost zbora desm lom a Odesolve ste metode uz promeljv ora duž tervala tegracje sa cljem dostzaja zadovoljavajuće tačost. Pozvom fucje čje me je defsao u formulacj problema može se dobt vredost fucje oja predstavlja rešeje date ODJ u blo ojoj tač z tervala [ a. ma] a. Zadata 9.5 Problem formulsa u zadatu 9.. rešt pomoću Odesolve bloc-a. Rešeje: Pratum XIII-6 Počet problem za sstem ODJ. reda Od vše fucja ojma raspolaže Matcad za umerčo rešavaje sstema ODJ 9.5 odabraćemo dve: rfed oja se bazra a Ruge-uta metod sa ostatm tegracom oraom u celom tervalu tegracje [ N ] 9.6a Radapt oja za razlu od rfed meja ora duž tervala tegracje da b se zadovoljo rterjum tačost defsa sstemsm parametrom TOL. Obe fucje maju detču lstu argumeata: ma t D: - vetor počet vredost fucja [ ma] terval tegracje 9.6a t - broj zračuat vredost fucja traže... oje ors dobja D - pretodo defsaa vetorsa fucja f 9.5 Fucje vraćaju matrcu dmezja [tt] čja prva oloa sadrž levu gracu t evdstat vredost ezavso promeljve a ostale oloe odgovarajuće vredost traže fucja.... Zadata 9.6 Dferecjale jedače oje opsuju promee ocetracja učesa u reacjama prvog reda: B C.s. 5s A sa vremeom u šaržom dealo mešaom reatoru su:

dca CA dt dcb CA C B dt dcc C B dt C mol m A C C B C a Pomoću fucje rfed ać umerčo rešeje datog sstema u vremesom tervalu s [ 6] sa N tegraco oraa rajje ocetracje ompoeata. b Provert da l je odabra broj oraa dovoljo vel da obezbed tačost rajj ocetracja od 4 sgure cfre. c Ist problem rešt pomoću fucje Radapt pr čemu se traže ocetracje u 5 evdstat vremes momeata u datom tervalu. Uporedt rešeja. Rešeje: Prat. XIV- Fucje rfed Radapt mogu da se orste za tegracju jede ODJ. reda pr čemu se oa posmatra ao specjala slučaj sstema ODJ. Zadata 9.7 Problem defsa u Zadatu 9. rešt pomoću fucja rfed Radapt Rešeje: Prat. XIV- 9. GRANIČNI PROBLEM ZA ODJ. REDA Za teorju emjs reatora je od posebog teresa rešavaje ODJ. reda vdet Prmer čj je opšt obl: g g g a b 9. sa razdvojem gračm uslovma oj u ajopštjem slučaju Robov problem glase: Aa B a c A b B b c 9.a 9.b Specjala slučaj ODJ 9. je lera ODJ: g g g 9.a Specjal slučajev problema grač uslova su: Drleov Drclet problem A A B B a c b c 9.a 9.b 4

Nojmaov Neuma problem A A B B a c b c 9.a 9.b Treba reć da u opštem slučaju tp gračog uslova a levoj grac e mora da bude st ao tp uslova a drugoj grac. Recmo a levoj grac možemo mat Drleov uslov 9.a a a desoj Nojmaov 9.b 9. METOD PROBE I GREŠE Drleov problem 9.ab Uzmmo ao prmer Drleov problem. Uz dsretzacju domea ezavso promeljve: b a a b dferecjala jedača 9. se rešava umerčom tegracjom evvaletog sstema ODJ prvog reda 9.4: d d d g g g 9.4 d c? Međutm za otpočjaje umerče tegracje sstema edostaje vredost prvog zvoda tražee fucje u tač a. Probajuć sa razlčtm početm vredostma za dobjal b razlčte vredost fucje a raju tervala tegracje tražmo ou vredost za oju se za dobja zadata vredost c tj. do se e zadovolj uslov 9.b a desoj grac b:. usvaja se polaza procea. Itegrše se sstem ODJ. reda: d d d g g g d c 5

. Ao je zadovolje uslov c < ε raj postupa. Iače 4. usvaja se ova procea. Povrata a. ojm algortmom da orgujemo proceu? Iz pretode aalze sled da se problem može postavt ao problem tražeja orea jedače: F - c 9.5 odoso ule fucje F oja je defsaa aaltč ego se jea vredost za eu vredost ezavso promeljve dobja umerčom tegracjom sstema 9.4 za tu vredost vd Sl. 9.5. agb a Numerčo rešeje u -toj teracj F b c Rešeje oje zadovoljava uslov b c a b Sla 9.5 - Grafča lustracja metode probe greše za rešavaje Drleovog problema Tao ao odaberemo metod seate orgovau proceu počete vredost prvog zvoda tražee fucje dobjamo formulom: F [ F F F c ] 9.6 Nojmaov problem 9.ab Pošto je a levoj grac tervala tegracje pozata vredost zvoda al e vredost same fucje oju tražmo problem rešavamo ao problem tražeja orea jedače: metodom seate. c F 9.7 6

Robov problem 9.ab Problem se može rešavat ao problem rešavaja jedače: F A B - c 9.8 Iz procee počete vredost fucje dobjee metodom seate početu vredost jeog prvog zvoda dobjamo z gračog uslova 9.a: [ c A B ] Alteratvo ao se ao ezavso promeljva uzme početa vredost prvog zvoda z stog gračog uslova se dobja procea počete vredost fucje. Zadata 9.8 U taom flmu tečost deblje L oj je sa jede strae u otatu sa turbuletom masom fluda a sa druge sa čvrstm zdom odvja se reacja: A B bezdmezo ocetracjs profl reatata A u flmu opsa je dferecjalom jedačom: d.5 Φ d gde je bezdmezo parametar Φ Tlov modul defsa ao: Φ L D - ostata brze reacje D - oefcjet dfuzje reatata roz flm tečost Izračuat ocetracjs profl reatata u flmu za Φ. 8 Rešeje: Matcad Defcja dese strae evvaletog sstema od dve df. jed.. reda: Dz : z Φ z.5 Fucja cju ulu trazmo : fz z gde z predstavlja dobjeu vredost umercom tegracjom sstema od dese grace do leve grace egatva ora tegracje uz zadatu pocetu vredost prvog zvoda : z pretpostavljeu pocetu vredost fucje odoso z. Iteracoa promeljva : poceta vredost ocetracje tj. fucje z 7

Polaz broj tegraco oraa za Radapt: : 5. polaza procea tegracja : X pp :.5 z : X pp F pp : S F pp.4 S : Radapt z D S.8.6.4..5.5.546.64.686.796.4..5.479.66. polaza procea tegracja X p :.8 X p z : F p : Radapt z D F p.7 Metod seate. teracja X p X pp X X: X p F p z : F : Radapt z D F p F pp vredost: X.664 : X X p.7 F.5 prprema za ovu teracju: X pp : X p X p : X F pp : F p F p : F. teracja X p X pp X X: X p F p z : F : Radapt z D F p F pp vredost: X.667 : X X p.74 F.5 5 prprema za ovu teracju: X pp : X p X p : X F pp : F p F p : F. teracja X p X pp X X: X p F p z : F : Radapt z D F p F pp vredost: X.667 : X X p.6 5 F.6 9 prprema za ovu teracju: X pp : X p X p : X F pp : F p F p : F 8

Defsaje fucje oja daje ocetracju u blo ojoj tac terpolacjom u tabel - umerc dobjeog reseja. Povecaje broja tacaa profla rad preczje terpolacje: : Racuaje oacog profla: Defsaje vetora : Defsaje ubog splaja: S : Radapt z D : reverse S : csple : reverse S z : terp z..966.94.8.6.5.5 4 5 6 7 8 9.94.875.849.84.8.78.76 Reseje problema orscejem fucje root: Defsaje fucje cja ula se traz:.744.78.74 f : z f Radapt z D 4 5.7.69.68 retur f Pozv fucje root: :.5 X : root f X.666 f X 4. 5 Smaj TOL Zadata 9.9 Bezdmezo matematč model reacje: A B - tog reda u porozom zru atalzatora obla pločce deblje L je: d Φ d d : d : B d d rava smetrje zra spoljja povrsa zra gde su Φ B bezdmezoe grupe Tlov modul Bajotov broj. Izračuat ocetracjs profl u zru za: Φ.5 B 5 9

Rešeje: Matcad Defcja dese strae evvaletog sstema od dve df. jed. reda: Dz : z Φ z.5 d Fucja cju ulu trazmo : f B d gde je ezavso promeljva pretpostavljea poceta vredost fucje odoso z. odoso z predstavlja dobjeu vredost fucje a desoj grac umercom tegracjom sstema od leve grace a d/d odoso z dobjeu vredost prvog zvoda a desoj grac. Iteracoa promeljva :poceta vredost ocetracje tj. fucje z Polaz broj tegraco oraa za Radapt: : 5 fuv : u B v. polaza procea tegracja : X pp :. z : X pp S : Radapt z D S F pp f S : F pp.. polaza procea tegracja X p X p :. z : S : Radapt z D F p f S : F p.457 S Metod seate. teracja X p X pp X X: X p F p z : S : Radapt z D F: f S F p F pp vredost: X.466 : X X p.5 F.98 S prprema za ovu teracju: X pp : X p X p : X F pp : F p F p : F. teracja X p X pp X X: X p F p z : S : Radapt z D F: f S F p F pp S

vredost: X. : X X p.5 F. prprema za ovu teracju: X pp : X p X p : X F pp : F p F p : F. teracja X p X pp X X: X p F p z : S : Radapt z D F: f S F p F pp S vredost: X.56 : X X p.65 F.55 prprema za ovu teracju: X pp : X p X p : X F pp : F p F p : F td... Reseje problema orscejem fucje root: Defsaje fucje cja ula se traz: f : z S Radapt z D f S S Pozv fucje root: TOL :. B retur f :. X : root f X.55 f X.8 6 X z : S : Radapt z D S..4.6.8.5.5..8.85.66.6.76.685.4.686 9. LINEARNA ODJ METODA SUPERPOZICIJE Može se poazat da ao je dferecjala jedača leara 9. algebarsa jedača oja se rešava metodom probe greše 9.5 9.7 l 9.8 je taođe leara pa se jeo rešeje dobja u prvoj teracj metode seate z dve polaze procee odoso rešeje df. jedače se dobja u trećoj tegracj evvaletog sstema od ODJ. reda. Metoda superpozcje Za learu dferecjalu jedaču važ prcp superpozcje: leara ombacja dva partulara rešeja

λ 9.9 λ taođe parularo rešeje. Tao se rešeje Robovog problema može dobt a sledeć ač:. Sa polazom proceom a dobjamo umerč prvo partularo rešeje u oblu dva za:. Sa polazom proceom a dobjamo umerč drugo partularo rešeje. Iz uslova da tražeo rešeje λ λ zadovolj grače uslove 9.ab tj. z sstema od dve leare jedače: A A λ. λ B λ λ c λ λ B λ λ c dobjamo parametre λ λ 4. oačo rešeje dobjamo superpozcjom: λ λ... Zadata 9. Za reacju prvog reda u taom flmu tečost Zad.9.8 ocetracjs profl reatata je opsa learom ODJ. reda: d Φ d Izračuat za Φ. 8 ocetracjs profl a metodom probe greše b metodom superpozcje Rešeje: Matcad a Dz z : : 5 Φ z. polaza procea tegracja : X pp :.5 z : X pp S : Radapt z D F pp : Radapt z D F pp.86 S.8.6.4..5.58.5.574.64.74.8.6.5.48.456. polaza procea tegracja X p :.8 X p z : F p : Radapt z D F p.4

Metod seate. teracja X p X pp X X: X p F p z : F : Radapt z D F p F pp vredost: X.76 : X X p.99 F Reseje dobjeo u. teracj! Racuaje profla: : S : Radapt z D Defsaje vetora : : reverse S : reverse S Defsaje ubog splaja: : csple z : terp z.969.94. 4.9.888.8 5 6 7 8 9.864.84.8.84.787.6.5.5.77.758.746.75 4.76 5.78 b : 5. polaza procea tegracja :. X.4 X :.5 z : S : reverse Radapt z D S.6.8. polaza procea tegracja. X.4 X :.8 z : S : reverse Radapt z D S.6.8.74.64.574.5.58.5.4.4.98.85.8.8.456.48.5.6.8.79.557.4.6.9

Jedace z oj se odredjuju parametr λ λ su: λ λ S S.74 d d d d λ λ S d d S.4 Druga se svod a dettet pa ostaje samo prva jedaca sto zac da mozemo da bramo prozvoljo jeda od parametara a drug odredmo z prve jedace: λ S λ : λ : λ S.876 Racuaje profla : λ S : λ S.888.84.746.7.7 Zadata 9. Za reacju. reda u porozoj pločc atalzatora Zad.9.9 matematč model glas: d Φ d d : d d : B d Izračuat ocetracjs profl u zru za: Φ B 5 a metodom probe greše b metodom superpozcje Rešeje: Matcad Defcja dese strae evvaletog sstema od dve df. jedace. reda: Dz z : Φ : 5 fuv : u z. polaza procea tegracja : B v X pp :. z : X pp S : Radapt z D S F pp f S : F pp.948 4

. polaza procea tegracja X p X p :. z : S : Radapt z D S F p f S : F p.479 Metod seate. teracja X p X pp X X: X p F p z : S : Radapt z D F: f S F p F pp vredost: X.98 : X X p.9 F S Reseje dobjeo u. teracj! Racuaje profla: : S : Radapt z D Defsaje vetora : : S : S Defsaje ubog splaja: : csple z : terp z.8.9.96.6.4 4 5.7.7.57.96. 6 7.47.4.5 8 9.494.596.7 b. polaza procea tegracja : X X :. z : S : Radapt z D 5

. polaza procea tegracja : X :. z : X S : Radapt z D Jedace z oj se odredjuju parametr λ λ su: d d d d λ λ d d d λ B d d λ B d S S.8 S S.76 d d S S.7 d d S S.75 Prva jedaca se svod a dettet pa ostaje samo druga jed. sto zac da mozemo da bramo prozvoljo jeda od parametara a drug odredmo z druge jedace: λ : Racuaje profla : λ S B S λ : S B S λ S : λ S λ.98 4 5.9.96.7.7.57.96 6.47 7.4 8.494 9.596.7 9. LINEARNA ODJ METODA ONAČNIH RAZLIA Alteratva ač prblžog rešavaja gračog problema za learu ODJ 9.a je metoda oač razla oja se zasva a aprosmacj zvoda oačm razlama. Izvod oj fguršu u df. jedač 9.a aprosmraju se u uutrašjm tačama... - dsretzovaog domea ezavso promeljve oačm razlama: E O E O 9.4 6

greša aprosmacja je reda čme se dferecjala jedača zamejuje sledećm sstemom od - leare algebarse jedače sa u uslučaju Robovog problema uupo epozat:... g g g... 9.4 Nedostajuće jedače su grač uslov 9.ab u ojma su prv zvod aprosmra oačm razlama uapred l u azad greše aprosmacja su reda : A B c 9.4a A 9.4b B c Rezultujuć SLJ ma trodjagoalu struturu rešava se Tomasovm algortmom.u specjalom slučaju Drleov grač uslova vredost fucje u rajjm tačama su zadate pa se rešavaju samo jedače 9.4 po... -. Zadata 9. Bezdmezo ocetracjs profl reatata cz u cevom reatoru u oome se odvja reacja prvog reda: A B opsa je dferecjalom jedačom: d c Pe dz z : c Pe z : dc dz dc dz D c dc dz a z ulaz u reator zlaz z reatora Potrebo je za vredost bezdmezo parametara: P e D a a Izračuat acrtat ocetracjs profl cz b Izračuat postgu stepe overzje reatata u reatoru: c c c c Uporedt dobje rezultat za sa om zračuatm z aaltčog rešeja problema: c z r r r r r r e r r r r r Pe re r e r r e e P e P e P r e 4P D e a r e r P e P e 4P D e a 7

d Povećavat broj tegraco oraa za po do se umerčm postupom e dobje stepe overzje sa tačošću od sgure cfre. Rešeje: Prat. XVI-4 8