MATEMATIKA seminari. smjer: Nutricionizam

MATEMATIKA seminari smjer: Nutricionizam

Sadržaj Realne funkcije realne varijable 4 Granična vrijednost funkcije jedne varijable. a ±............................... Granična vrijednost i neprekidnost. Tablične granične vrijednosti.............................. 4 Diferencijalni račun funkcije jedne varijable. Derivacija složene funkcije..................... Logaritamsko deriviranje...................... Derivacije višeg reda....................... 4 Primjena diferencijalnog računa funkcije jedne varijable 4 4. Tangenta, normala, kut medu krivuljama............ 4 4. Diferencijal funkcije i njegova primjena............. 7 4. Primjena lokalnih ekstrema................... 9 4.4 L Hospitalovo pravilo....................... 4.5 Asimptote............................. 5 4.6 Kvalitativni graf funkcije..................... 8 5 Neodredeni integral 4 5. Pojam neodredenog integrala.................. 4 5. Osnovna svojstva neodredenog integrala. Neposredna integracija 44 5. Metoda supstitucije........................ 46 5.4 Metoda parcijalne integracije................... 47 6 Odredeni integral 5 6. Osnovni pojmovi......................... 5 6. Newton-Leibnizova formula................... 5 6. Supstitucija u odredenom integralu............... 5 6.4 Parcijalna integracija u odredenom integralu.......... 5 7 Primjena odredenog integrala 5 7. Kvadratura (površina ravninskih likova)............ 5 7. Rektifikacija (duljina luka krivulje)............... 57 7. Volumen (kubatura) rotacijskih tijela.............. 59 8 Obične diferencijalne jednadžbe 64 8. Obične diferencijalne jednadžbe prvog reda........... 65 8.. Separacija varijabli.................... 65

8.. Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda..... 67 8.. Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda...... 68 8..4 Bernoullijeva diferencijalna jednadžba prvog reda... 7 8. Obične diferencijalne jednadžbe drugog i viših redova..... 7 8.. Neki specijalni tipovi običnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda........................ 7 8.. Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.................. 7 9 Matrice i determinante 75 9. Pojam matrice i operacije s matricama............. 75 9. Determinante........................... 79 9. Pojam inverzne matrice. Matrične jednadžbe.......... 8 9.4 Sustavi linearnih jednadžbi.................... 87

Realne funkcije realne varijable Neka je D R. Funkcije oblika f : D R nazivamo realnim funkcijama (vrijednosti su u skupu realnih brojeva) realne varijable. Primjer Navedite neke primjere realnih funkcija realne varijable? Što u tim primjerima može biti D?. f() ; D R.. f() ; D R \ {}.. Izračunajte f(), f( ), f(.9), f(.), f( 5), ako je f() 4. 4. Navedite primjer racionalne, trigonometrijske, eksponencijalne funkcije? U realnom području funkcije ćemo najčešće zadavati samo pravilom pridruživanja f(). U tom slučaju definiramo prirodnu domenu D(f) i sliku R(f) funkcije f sa: D(f) { R : f() R} R(f) {y R : R, f() y} N (f) { D(f) : f() } Osnovne operacije sa funkcijama:. Nasljedene od osnovnih računskih operacija (zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje funkcija: Oznake: f + g, f g, f g, f g.. Kompozicija funkcija, invertiranje funkcija: Oznake: f g, f. Zadatak Neka je f() +, g(). a) Odredite f + g, f g, f, g. b) Vrijedi li f g g f? Za koje R vrijedi (g f)() (f g)()? g f (f g)() f[g()] f( ) ( ) + 5. (g f)() g[f()] g( + ) ( + ) 4. Kako je (f g)() 5 i (g f)(), to slijedi f g g f. Iz (f g)() (g f)() se dobije 5 4, što daje /. Zadatak Neka je f() +5. a) Odredite f(+h) f(). b) Odredite f( + h) f(). 4

a) f( + h) f() ( + h) + 5 ( + 5) + 4h + h + 5 5 4h + h Koristeći a) za dobivamo: b) f( + h) f() 4 h + h 8h + h Zadatak Neka je f(). Odredite a) f(f()) b) f(f(f( ))). a) f(f()) f( ) ( ) ( ) ( 4 + ) + 4 +. b) f(f(f( ))) f(f()) f(). Zadatak pod b) možemo riješiti i ovako: koristeći a), dobivamo da je f(f( )) ( ) 4 ( ) pa onda f(f(f( ))) f() Zadatak 4 Prikažite kao kompoziciju elementarnijih funkcija sljedeće funkcije a) f() + b) f() 5 (+) c) f() +. + + a) f (), f (), f () +, f 4 (). Lako se provjeri da je f() (f 4 f f f )(). b) f () +, f (), f () 5. Lako se provjeri da je f() (f f f )(). c) f () +, f (). Lako se provjeri da je f() (f f f f f )(). Zadatak 5 Odredite prirodnu domenu D(f) i sliku R(f) funkcija a) f() + b) f() c) f() 5. Kod jednostavnih, elementarnih funkcija kao što su ove, prirodna domena i slika mogu se očitati s grafa funkcija. Pritom se domena očitava na -osi a slika na y-osi. 5

Graf funkcije f - -5 5 - Graf funkcije f 8 6 4 - -5 5.5.5.5 Graf funkcije f 5 8 4 a) D(f) R, R(f) R b) D(f) R, R(f) [, + c) 5 D(f) [5, +, R(f) [, + Zadatak 6 Odredite prirodnu domenu D(f) i sliku R(f) funkcija a) (DZ) f() 4 b) f() + + c) (DZ) f() ++ d) f(). + 6 Koristit ćemo činjenicu da je slika funkcije domena njoj inverzne funkcije, tj. R(f) D(f ). Kako bi našli sliku funkcije f, potrebno je najprije odrediti njoj inverznu funkciju f te zatim njoj odrediti domenu koja je zapravo slika početne funkcije. a) D(f)... 4 > > 4 D(f) 4,. R(f)...f() y ( y 4 y ) 4 & y ( ) y 4 & y & y ( y ) + 4, & y > R(f),. b) D(f)... + + >, D b 4ac < D(f) R. R(f)... + + y ( + + y & y ) ( ++ y & y ). Posljednja jednadžba će imati realna rješenja (po ) akko je D 4( y ) što lako daje y /. Uvažavajući uvjet y dobije se R(f) [ /,. c) D(f)... + +, D 7 < D(f) R. 6

R(f)...y ( + + + + y ) & y. Jednadžba + + ima realna rješenja akko D 4( y y 7 + 4 < y 4/7 R(f), 4/7]. y d) D(f)... + 6 (, ) D(f) R \ {, }. R(f)... ( + 6 y + 6 y ), & y. Jednadžba + 6 ima realna rješenja akko D 4( 6 ) y y 5y+4 (y 4/5 y > ) R(f), 4/5],. y Slika funkcija zadanih pod a), b) i c) može se naći i na jednostavniji način. a) Znamo da: 4 < +. Odatle slijedi: < 4 < + R(f), b) Odredimo najprije sliku funkcije g() + +. Znamo da je ++ >. Točka u kojoj konveksna kvadratna funkcija postiže minimalnu vrijednost je njeno tjeme: T b i ta vrijednost iznosi y a T g( T ) +. To znači da: 4 4 4 + + < + Budući je korijenska funkcija monotona slijedi: + + < + R(f) [, c) Slično kao pod b): znamo + + >. Minimalna vrijednost te funkcije je pa odatle Konačno, slijedi < y T c b 4a 4 7 4 7 4 + + < +. + + 4 7 7 R(f), 4 ]. 7

Pogledajmo zašto ovakva jednostavna procedura ne prolazi za funkciju zadanu pod d). Za razliku od kvadratne funkcije u nazivniku zadane pod c), funkcija g() + 6 ima nultočke. To znači da joj predznak nije konstantan, odnosno da nije uvijek pozitivna. Procedura prolazi do koraka kada zaključujemo da 5 4 + 6 < +. Sada bi trebalo množiti sa + 6, no to ne možemo upravo zbog toga što predznak te funkcije nije konstantan, već je za, negativan a za,, + pozitivan. Morali bismo razlučiti slučaja: ) 5 4 + 6 < < + 6 4 5 ) < + 6 < + < + 6 < + pa odatle zaključujemo R(f), 4 ], + 5 Napomena Provedite proceduru za nalaženje slike funkcije iz Zadatka 6 za funkcije iz Zadatka 5. Zadatak 7 (predavanja) Odredite ograničenost funkcija, te Γ(f), inf f? sup f? min f? ma f? a) f() arccos, b) f() arctg, c) f() +. a) arccos π, [, ] ma f π, min f b) π/ < arctg < π/, R c) sup f π/, inf f π/ + + 6 + + + 5 + + + 5 4 inf f, ma f (sup f) 8

( ) Tjeme: T b, c b a 4a - povezati sa slikom R(f) Zadatak 8 (predavanja) Skicirajte graf funkcije f, odredite ograničenost funkcija, te inf f? sup f? min f? ma f? ako je a) f() b) f() + 6 c) f() e d) f() sin (π). Zadatak 9 Odredite D(f) ako je f() + + 5 + 4 +. D..., D... + 5 R R, D... + > >. Odavde je D(f) D D D, ]. Zadatak Odredite D(f), R(f), N (f) i f () funkcije f() +. * f() * / D(f) R\{/} * f(f ()) f () + f () f () + R(f) R\{/} ODREDITE DOMENE SLJEDEĆIH FUNKCIJA: Zadatak f() ln sin cos + sin cos + 4 4 4 D... sin cos > sin cos π 4 + kπ, k Z D... + 4 4 [4, ], 4 ± 96 6 4 ± 6, 4 { } 9π D(f) D D [4, ] \ 4 ( ) 5π 4.9 < 4, π. > 4 9

Zadatak f() arcsin + + ( log ) D... + + D... > D... log log log ± { } D D D, + \, Zadatak f() (log e arctg e ) / < e < te zaključujemo da je ova logaritamska funkcija padajuća. Mora vrijediti log e arctg e > < arctg e < Lijeva nejednakost je zadovoljena za R budući je e >, R, a desna: arctg e < e < tg < ln tg Domena ove funkcije je stoga: D(f), ln tg Zadatak 4 f() + +

D... + D... + + + Za nejednadžba je zadovoljena. Kad je <, nejednadžbu možemo kvadrirati te dobivamo: [ + 9 9 9 ( ), ( + ] ) što znači da je D... [ ( ), +. Uočimo: ( )/.9, pa zaključujemo [ D(f) D D D ( ), + NAPOMENA: Skiciranjem krivulja y + i y, očitajte rješenje grafički. Zadatak 5 (DZ) f() [ log / ( / )] / Mora vrijediti: ( log / / ) < / D... > / > /, / /, + D... / 6/ [ 6/, 6/] D(f) D D [ 6/, / /, 6/] Granična vrijednost funkcije jedne varijable Koristeći graničnu vrijednost funkcije ispitujemo ponašanje funkcije na rubovima domene (v. vertikalne asimptote, horizontalne asimptote, kose asimptote; usporedivanje beskonačno malih veličina, usporedivanje beskonačno velikih veličina; razotkrivanje neodredenih oblika,,,,,,.

Primjer a) f() sin,, +,. b) f() +,, +. c) f() ( + ) /,,, +. Primjer Sljedeći oblici se takoder javljaju kod ispitivanja graničnog ponašanja funkcija: + +,, Jesu li i to neodredeni oblici?,, c, c, c, c,. Definicija Kaže se da je A R granična vrijednost (es) funkcije f : D R u točki a D D D ako za svaki ε > postoji δ >, tako da za svaki D za koji je < a < δ vrijedi f() A < ε. Piše se: a f() A. -osnovni esi -svojstva esa -definicija neprekidnosti -neprekidnost elementarnih funkcija na svojoj domeni -es slijeva, es zdesna. a ± Zadatak 6 Izračunajte + 5 +. + : 5 + : + 5 + 5 ( ) Zadatak 7 Izračunajte 4. + ( 4 ) 4 + 4 + 4 + ( 4)( + ) + 4 : ( 4)( + ) : + 4 ( ) ( ) 4 + 9. Primjetite da u slučaju + imamo oblik neodredenosti +, dok u slučaju imamo oblik neodredenosti +.

Zadatak 8 Izračunajte a) + f() b) f(), ako je f() + + +. 4 Racionalizacijom brojnika se dobije f() +++. + a) 4 + b) 4 f() + + +++ + f() +++ + 4 + + + + 4 + + + + 4 +. 4 + + + + 4 + + + + 4. Zadatak 9 Izračunajte a) + ( + ), b) (DZ) + ( ). a) ( + ) ( ( + + ) ) + + + + + ( + ) + + + + b) + ( + ) + + + : ( + ) + + + ( ) + + : + ( + ) + + +. ( + ) + + +. +

Zadatak Ako je f() +, izračunajte a) + f() b) f(). a) + + b) + + : + + : + ) ( 9 + ( ). 9 : 9 + : 9 +.. Granična vrijednost i neprekidnost. Tablične granične vrijednosti Definicija Kaže se da je funkcija f : D R neprekidna u D ako je f() f( ). Kaže se da je funkcija f neprekidna ako je neprekidna za svaki D. Teorem Svaka elementarna funkcija je neprekidna na svojoj prirodnoj domeni. Zadatak Izračunajte a) f() b) f() c) f() d) f(), ako je f() +. a) + b) + 6. ( + ) ( ) ( + ) d) + c) + ( + )( ). 4 4.. Zadatak (DZ) Izračunajte 4 +8 5 ++9. 4 + 8 5 + + 9 ( ) ( + ) ( ) ( + ) + + 5 4. 4

Zadatak Izračunajte a) 4 b) 4 4. 4 a) 4 4 + 4 4 + 4 ( 4) (4 )( + ) 4 4 4 4 ( ) + 6. b) 4 4 4 4. sin sin ϕ() ϕ(), ako ϕ(). Zadatak 4 Izračunajte a) sin 6 b) sin π sin (). a) sin 6 b) sin π sin sin π π sin 6 6 sin π 6 6 sin 6 6 6. π sin π π sin π. +sin 5 Zadatak 5 Izračunajte a) b) +sin 5 sin 4. sin 4 a) + sin 5 sin 4 + sin 5 5 5 sin 4 4 + 5 4 4 7. + sin 5 b) sin 4 + sin 5 sin 4. Zadatak 6 Izračunajte a) sin 4 + b) (DZ) +8 sin 5. 5

sin 4 a) + b) sin 4 ( + + ) 4 8. + 8 sin 5 sin 5 ( + 8) + + 8 + 4 5 6. Zadatak 7 Izračunajte a) (DZ) 6 sin (6 ) 6 b) (DZ) 6 6 sin ( 6) c) sin (8+4) sin (6+). a) 6 sin (6 ) 6 6 6 b) 6 sin ( 6) 6 c) sin (8 + 4) sin (6 + ) sin (6 ) ( 6)( + 6) sin (6 ) 6 6 6 sin ( 6) 6 6 6 sin ( 6). 6 6 sin 4( + ) sin 6( + ) + 6 6 + 6. sin 4( + ) 4( + ) 6( + ) sin 6( + ) 4 6. Zadatak 8 Izračunajte a) cos a) cos b) cos c) cos sin b) cos c) cos. ( sin ) ( sin ) cos cos. cos cos. ( ). cos ϕ() ϕ (), ako ϕ(). Zadatak 9 Izračunajte a) cos 4 b) tg () sin (). 6

a) cos 4 b) tg () sin () sin ()( cos ()) cos () cos 4 6 6 sin () sin () 7 ( 6. ) cos () cos () () cos () 7 7. Zadatak Izračunajte π/6 sin cos (). sin π/6 cos () supst. π t 6 ; t + π sin (t + π/6) 6 t cos (t + π/) t sin t + cos t sin (t) t sin t cos t t t sin (t) t. Zadatak Izračunajte a) arcsin b) (DZ) arctg. arcsin a) sin t t t cos t t sin t b) arctg t supst. t arcsin, sin t t supst. t arctg, tg t t t tg t t sin t ( Zadatak (predavanja) Znajući da je + + ( ) e pokažite da je + ) e. 7

( + ) supst. t + t + ( ) t t ( ) t ( t + ) t ( + ) t ( + ) e e. t + t t + t t + t t ( + ) e ( + ϕ()) ϕ() e, ako ϕ(). Zadatak (predavanja) Izračunajte a) ln (+) ln ( + ) a) b) e b) e. ( ) ln ( + ) ln ( + ) ln ( + ) ln e. supst. t t e, ln (t + ) t ln (t + ). t ln (t+) t ln (+ϕ()) ϕ(), e ϕ() ϕ() ako ϕ(). ( ) Zadatak 4 Izračunajte a) + ( π/ b) π/ (sin ) tg. ( ) ( + a) + ) ( + ) e e. b) π/ (sin ) tg ( + sin ) tg π/ ) (sin ) tg e π/ (sin ) tg e t ( + sin ) sin cos t sin t e. 8

Zadatak 5 Izračunajte 5. 5 e ln e ln 5 e ln ln ln e ln 5 ln 5 ln ln 5 ln ln 5. ln 5 Zadatak 6 Izračunajte a) ln ( +) ln ( ++) b) ln ( +) ln ( ++). ln ( + ) a) ln ( + + ) ( ln + ln + ) ln + ln ( + ) + + 9 b) ln ( + ) ln ( + + ) [ ln ( + )] ln [ ( + 9 + )] ln( + ) ln + ln(+ 9 + ) ln 5. ln ( + ) + ( ). ln ( + + ) + Zadatak 7 Izračunajte a) arcsin ( ) + b) ln (+sin ()). Koristeći tablični es iz Zadatka (a), dobivamo arcsin ( ) a) + arcsin ( ) + ( arcsin ( ) ( + ) ) + ln ( + sin ()) b) ln ( + sin ()) sin sin sin 9

Diferencijalni račun funkcije jedne varijable Definicija Derivacija funkcije y f() u točki je es (ako postoji) Pritom je f f( + ) f( ) ( ) f( ) f( + ) f( ) f( ) totalni prirast funkcije f, odnosno prirast zavisne varijable, dok je prirast nezavisne varijable. OZNAKE: y dy, d Zadatak 8 Odredite po definiciji f () i f () ako je f() +. f () f () ( ) + ( ) + + + + + + + + + + ( + + ) ( + + ) Zadatak 9 Odredite po definiciji f () ako je f() ln ( + ). f ln ( + ) ln () ( ) ln ( ) + ln ( ) + Zadatak 4 Odredite po definiciji f ( π ) ako je f() sin. f ( π ) sin ( π + ) sin ( π) cos ( ) ( ) cos

(f ± g) f ± g (f g) f g + f g (c f) c f, c R ( ) f f g f g, g g g Zadatak 4 Odredite f () ako je a) f() 5 +, Rj : f () b) f() ln Rj : f () ( ln + ) c) f() cos, Rj : f () ln cos + sin cos d) f() +, Rj : f () 4 Zadatak 4 Ako je f() e sin, izračunajte f (). f () e sin + e cos, f (). Derivacija složene funkcije Vrijedi : [g(f())] g (f()) f () Zadatak 4 Odredite f () ako je a) f() cos 5 Rj : f () 5 cos 4 sin b) f() ln tg Rj : f () sin

Zadatak 44 Odredite f () ako je f() ln. f() { ln, >, ln ( ), < f (), Zadatak 45 Odredite f () ako je f() sin 6 + cos 6. f () 6 sin 5 cos 6 cos 5 sin 6 sin cos (sin cos )(sin + cos ) sin cos sin 4. Logaritamsko deriviranje - predavanja Zadatak 46 y ( + ) (domena!) y e ln(+) e ln (+) y ( + ) ( + ) ln ( + ) Zadatak 47 y (cos ) + cos y e ln (cos ) cos ln + e [ y (cos ) [ln (cos ) tg ] + cos sin ln + cos ] Zadatak 48 y arctg ( ) y arctg (e ln ) y (ln + ) +

Zadatak 49 y ln y ln ln (ln y) ln + ln (ln ) ln y y y ln + + ln ( y y ln y ln + + ) ( ln ln + + ) ln ln. Derivacije višeg reda Vrijedi: y (y ) Zadatak 5 Ako je y arcsin y (n) (y (n ) ) dn y d n d d ( ) d n y d n +, odredite y. y +, y ( + ) Zadatak 5 Ako je f() 5 +, odredite f (5) (). f 5 () (5 + ), f () 5 (5 + ), f! 5 () (5 + ), 4 f (4) () 4! 54 (5 + ), f (5) 5! 55 () 5 (5 + ) 6 f (5) 5! 55 () (5 + ) 75 6 7649

4 Primjena diferencijalnog računa funkcije jedne varijable 4. Tangenta, normala, kut medu krivuljama Jednadžba tangente na krivulju y f() s diralištem D( D, y D ) glasi: Jednadžba normale glasi: t... y y D f ( D )( D ). n... y y D f ( D ) ( D). Zadatak 5 Odredite one tangente krivulje y + koje su paralelne s pravcem p... y. Označimo dirališne točke traženih tangenata sa ( D, y D ). Iz uvjeta paralelnosti slijedi jednakost koeficijenata smjera k t k p, što daje y ( D ) k p odnosno D D +. Rješavanjem dobijemo D, D. Koordinate dirališni točaka su: D (, /6), D (, 4/). Jednadžbe traženih tangenata su: t... y + 6 ( ) y + 5 6, t... y + 4 ( ) y +. Zadatak 5 Odredite jednadžbu tangente na krivulju y koja prolazi točkom T (4, ). Ekvivalentna formulacija: Odredite k R tako da je pravac y k( 4) tangenta krivulje y. Označimo dirališnu točku tražene tangente sa D( D, y D ) pri čemu je y D D D. Kako je y to jednadžba tangente glasi t... y D ( D D ). D Kako tangenta t prolazi točkom T (4, ) to uvrštavanjem u jednadžbu tangente dobivamo D (4 D D ) D 4

što rješavanjem daje D. Odavde je dirališna točka D(, ). Jednadžba tražene tangente je t... y 4 ( ) y 4. Zadatak 54 Ishodištem koordinatnog sustava prolazi tangenta krivulje y. Koliki kut zatvara ta tangenta s osi apscisa? Označimo koordinatu dirališne točke sa D odnosno D( D, D ). Kako je y to jednadžba tangente glasi t... y D D ( D). Kako tangenta prolazi ishodištem koordinatnog sustava O(, ) uvrštavanjem dobije se jednadžba D D ( D) ( D ) D D čime se dobije D(, ), te tg α k t y (). Traženi kut je α arctg.466 6 54. Zadatak 55 (DZ) Pod kojim kutom krivulja y e presijeca os ordinata? Presječna točka je očito T (, ). Kako je y e, to je y (). Odavde je tg α k t y () (pri čemu je α kut izmedu tangente i pozitivnog smjera osi). Slijedi α 6 54. Iz slike se lako vidi da traženi kut iznosi α 9 6 54. Zadatak 56 Odredite kut medu krivuljama + y 8, y. Rješavanjem sustava + y 8, y dobiju se presječne točke zadanih krivulja S (, ), S (, ). Kako su krivulje zrcalno simetrične s obzirom na os dovoljno je naći kut u točki S (jednak kutu u S ). Iz + y 8 deriviranjem slijedi y /y odakle je koeficijent smjera tangente na prvu krivulju u točki S jednak k y () /. Iz y deriviranjem slijedi y /y, odakle je koeficijent smjera tangente na drugu krivulju u S jednak k y () /. Konačno, tangens traženog kuta je tg ϕ k k + k k što daje ϕ arctg 7 54.49. 5

Zadatak 57 (DZ) Dokažite da su familije krivulja y a i + y b ortogonalne tj. da svaka krivulja iz prve familije siječe svaku krivulju iz druge familije pod pravim kutom. Neka je sa S( s, y s ) označeno proizvoljno sjecište tih krivulja. Iz y a dobije se y a odakle je koeficijent smjera tangente na krivulju y a u S jednak k y ( s ) a. Iz + y b deriviranjem se dobije y /y odakle je koeficijent smjera tangente na krivulju + y b u S jednak k y ( s ) s /y s /a (S( s, y s ) leži i na y a). Kako je odavde k k slijedi ortogonalnost zadanih krivulja. Zadatak 58 (DZ) Dokažite da su familije hiperbola y a i y b ortogonalne. Zadatak 59 (DZ) U sjecištu krivulje y s osi ordinata položena je tangenta na krivulju. Kolika je udaljenost te tangente od ishodišta? Uvrštavanjem u jednadžbu krivulje (gornji dio parabole) y dobije se presječna točka krivulje i y osi D(, ), koja je i dirališna točka tangente. Kako je y to jednadžba tražene tangente glasi t... y ( ) 4 ili u implicitnom obliku t... + 4y 4. Iz formule za udaljenost točke od pravca slijedi d(o(, ), t) A + By + C A + B + 4 4 + 6 4. Zadatak 6 (DZ) Odredite jednadžbu one normale krivulje y ln koja je okomita na pravac p... y. Dovoljno je naći tangente koje su paralelne sa pravcem p. Kao u prethodnom zadatku iz jednakosti koeficijenata smjera (koristeći da je y ln +) dobiva se jednadžba ln D +, što daje D pa onda i y D. Jednadžba normale glasi n... y ( ) y +. Zadatak 6 (DZ) Pod kojim se kutom sijeku krivulje y i y. 6

4. Diferencijal funkcije i njegova primjena Ako funkcija f u ima n tu derivaciju tada se diferencijal n tog reda u za prirast nezavisne varijable definira sa d n f( ) f (n) ( )( ) n, pri čemu diferencijal prvog reda d f( ) pišemo df( ) i nazivamo totalnim diferencijalom ili samo diferencijalom. Kako je za funkciju f() df() f () to se dobije d pa možemo pisati d n f( ) f (n) ( )(d) n, df( ) f ( )d. Iz f f( ( ) ) ako je f ( ) se dobije linearna aproksimacija (u smislu linearnog prirasta nezavisne varijable odnosno f( ) f ( ) df( ) f( + ) f( ) + df( ) f( ) + f ( ). Analogno uz uvjet f ( ) se dobije kvadratna aproksimacija f( + ) f( )+df( )+! d f( ) f( )+f ( ) +! f ( )( ) ili općenito uz uvjet f (n) ( ) aproksimacija n tog reda f( + ) f( ) + df( ) +! d f( ) + + n! dn f( ). Zadatak 6 Za funkciju f() + odredite f(), df(), d f(), d f(), te provjerite jednakost f() df() +! d f() +! d f(). f() f(+ ) f() (+ ) (+ ) + +( ) +( ). Kako je f (), f () 6, f () 6, to je df() f (), d f() f ()( ) 6( ), 7

pa je d f() f ()( ) 6( ) df() +! d f() +! d f() + ( ) + ( ). Usporedivanjem dobivenih izraza za f() i df()+! d f()+! d f() slijedi tražena jednakost. Zadatak 6 (DZ) Za funkciju f() 4 + + 5 odredite f(), df(), d f(), d f(), d 4 f(), te provjerite jednakost f() df() +! d f() +! d f() + 4! d4 f(). Iskoristite dobivenu jednakost da polinom f() raspišete po potencijama od. Zadatak 64 Odredite približnu vrijednost za. koristeći a) linearnu aproksimaciju b) kvadratnu aproksimaciju. f (), f () 9 a) b) Stavljajući f(),,., te uzimajući u obzir, dobiva se 5. +..6667.. +. 9 5..6. Zadatak 65 Izračunajte približnu vrijednost za sin 9 koristeći a) linearnu aproksimaciju b) kvadratnu aproksimaciju. a) b) Stavljajući f() sin, π 6, π 8 dobivamo sin 9 sin π 6 + cos π 6 sin 9 sin π 6 + cos π 6 ( π ) 8 π 6.48489. ( π ) 8 sin π ( π ) 6 8 π 6 π 4 8.4848. 8

4. Primjena lokalnih ekstrema Definicija 4 Funkcija f ima u stacionarnu točku ako je f ( ). Neka je stacionarna točka funkcije f. Ako je f ( ) >, tada u točki (, f( )) funkcija postiže lokalni minimum, a ako je f ( ) < tada funkcija u toj točki postiže lokalni maksimum. Funkcija postiže svoje ekstremalne vrijednosti (maksimum i minimum) na intervalu ili na rubu intervala ili u svojim stacionarnim točkama. Zadatak 66 Odredite lokalne i globalne ekstreme funkcije f() 5 5 4 + 5 + na [, ]. f () 5 4 + 5 f () 5 ( 4 + ),,, 4 / [, ] f () 6 + f (), f( ), f () 5 < M(, ) lokalni maksimum f() 7 m(, ) globalni minimum Zadatak 67 (DZ) Odredite lokalne i globalne ekstreme funkcije f() maksimum u M(, /6), minimum u m(, /). ++4 Zadatak 68 Odredite duljine stranica pravokutnika maksimalne površine upisanog u lik y 6 y pri čemu su stranice pravokutnika paralelne s koordinatnim osima. P ab, a 6 y y 6 y, y >, b y P (y) (6 y) y y 6y, y >, P (y) y y P (y) < u postiže se maksimum P ma P () 6, a ma, b ma 9

Zadatak 69 (DZ) U lik omeden lukom krivulje y i koordinatnim osima upišite pravokutnik maksimalne površine. Kolike su stranice i površina tog pravokutnika? P () y, < < Kako je korijenska funkcija monotona (rastuća), to je dovoljno promatrati funkciju ispod korijena: f(). Tražimo njene stacionarne točke: f () 4, 8 f () 4 6 f (8) 4 < što znači da se za 8 postiže maksimum. Dakle, duljine stranica pravokutnika maksimalne površine upisanog u zadani lik su: ma 8, y ma. Sama površina iznosi: P ma P (8) 6. Zadatak 7 Koja je točka grafa funkcije y ln najbliža ishodištu? Udaljenost proizvoljne točke sa zadane krivulje od ishodišta je: d(o, T ) + y ln dovoljno je gledati: f() ln,, ] f() +, f() f () f () + >, minimum ( ) f / + ln ( + ln ) < m (, ln ) Zadatak 7 (DZ) Medu svih pravokutnicima opsega a, odredite duljine stranica onog maksimalne površine. O + y a y a P () y (a ) a, < < a P () a a P () ma a, P ma P ( a ) a 4 KVADRAT!

Zadatak 7 Iz okruglog papira izrezati kružni isječak koji savijen daje ljevak najvećeg volumena. uvedimo oznake: R - polumjer okruglog papira, r-polumjer baze stošca, H- visina stošca rπ Rα r R π α H ( α ) R r R π V r π H ( α ), π α R α π π dovoljno je gledati: g(α) α 4 α6 4π g (α) 4α α5 π α, α 6 π ( g (α) α 5α4 g π ) 6 64 π π < ( π ) 6 V ma V 7 R π Zadatak 7 (DZ) U kuglu polumjera R upišite stožac maksimalnog volumena. Koliko iznosi polumjer baze i visina tog stošca? r - polumjer baze stošca, h - visina stošca V (h) π (Rh h ), h ma 4R, r ma R Zadatak 74 (DZ) Medu svim pravokutnim trokutima opsega S, odredite duljine stranica onog maksimalne površine. 4.4 L Hospitalovo pravilo [L Hospitalovo pravilo za neodredeni oblik ] Neka su f, g : (a, b) \ { } R derivabilne funkcije pri čemu je f() g() i g ()

f za svaki (a, b)\{ }. Ako postoji (), tada postoji i f() g () g() i vrijedi f() g() f () g (). Napomena L Hospitalovo pravilo vrijedi i za slučaj neodredenosti tj. i u slučaju kada je f(). U oba slučaja neodredenosti L Hospitalovo pravilo se može primjeniti i ako je. Definicija 5 Funkcija f ima u nul-točku kratnosti n ako je n takav da je f() (,. ) n Primjer 4 Odredite red beskonačno malih veličina (tj. funkcije) u : kratnost nul-točke. f() sin Kako je sin cos to f() sin ima u nul-točku kratnosti.. f() cos +. f() ln ( + ) sin 6 6 Napomena Prije upotrebe L Hospitalovog pravila dobro je imati u vidu sljedeće primjere.. Obrat L Hospitalovog pravila ne vrijedi tj. iz postojanja f() g() ne može se zaključiti postojanje f () g (). sin Primjer: Lako se vidi da je, dok +sin cos postoji. +cos ne. Kod primjene L Hospitalovog pravila nužno je provjeravati neodredenosti. sin Primjer: Očito je π/. sin π/ π/ /π, dok je π/ cos

. Iako L Hospitalovo pravilo u mnogim slučajevima daje jednostavniju proceduru za izračunavanje graničnih vrijednosti funkcija, ne smiju se zaboraviti osnovne metode. Primjer: Očito je + dok L Hospital daje: + ( + ) ( + + ) + što nas vraća na polazni problem. Zadatak 75 Izračunajte a) e 4 a) b) e + 4 e / e 4 e e e b) /. e e e. e. Zadatak 76 Izračunajte tg sin sin. tg sin sin cos cos cos cos cos ( cos ) + cos + cos cos. Zadatak 77 Izračunajte ln ln ( ). ln ( ) ln ln ( ) ( ) ln ln ln ln.

Zadatak 78 Izračunajte π/ ( π/ ( ctg ctg ) π. cos π ) cos π/ sin cos π cos π/ cos sin + cos π/ sin cos π cos sin cos cos sin sin π π/ cos + π. Zadatak 79 Izračunajte ( ln ). ( ln ) ln + ( ) ln ln ln + ( ) + ln + +. ln ln + Zadatak 8 Izračunajte a) ln a) b) ln b) ( ln ).. ( ( ln ) ln ) ( ). Zadatak 8 Izračunajte a) b). a) b) e ln e ln e e. e ln e ln e e. 4

4.5 Asimptote. VERTIKALNE ASIMPTOTE - u konačnim rubovima domene Ako je f() ± ili f() ±, tada je pravac c c+ c vertikalna asimptota (s lijeva, s desna ili s obje strane). HORIZONTALNE ASIMPTOTE Ako je +. Ako je f() a, tada je pravac y a horizontalna asimptota u + f() a, tada je pravac y a horizontalna asimptota u.. KOSA ASIMPTOTA - pravac oblika y k + l pri čemu k f() +, l [f() k] + je kosa asimptota u +. Analogno kao kod horizontalnih asimptota, može se dobiti i kosa asimptota u. Specijalno, ako je k, tada je l f() i zapravo imamo horizontalnu asimptotu y l. ± Ako postoji horizontalna asimptota u nekoj, tada u toj istoj nema pravih kosih asimptota. Zadatak 8 Nadite asimptote krivulje y +. D(f) R nema vertikalnih asimptota ( ) ± ± + : + ± + : nema horizontalnih asimptota : k ± + : ± + ( ) l ± + : ± + : y kosa asimptota ± ± + ± + 5

Zadatak 8 Nadite asimptote krivulje y sin (5π) sin (7π) ( + ). D(f) R\{}, funkcija je parna sin (5π) sin (7π) ± ( + ) sin (5π) sin (7π) + ( + ), budući imamo produkt funkcija od kojih su prve dvije ograničene a treća teži u. Dakle, y je horizontalna asimptota. Nadalje, sin (5π) sin (7π) ( + ) sin (5π) sin (7π) 5π 7π 5π 7π ( + ) 5π pa vidimo da pravac nije vertikalna asimptota. ( Zadatak 84 Nadite asimptote krivulje y arctg + ). D(f) R\{} ( arctg + ) π + nema vertikalnih asimptota ( arctg + ) ± nema ni horizontalnih asimptota k l ± ± ± y π 4 + (, arctg + ) ( π ) ± arctg ± π 4 ± arctg ( ) + ( arctg + ) arctg π ± 4 [ ( arctg + ) π4 ] [ ( arctg + ) π ] (± ) ± 4 arctg ( + ) π ( ) 4 ( ) +(+/) L H ± je kosa asimptota! Zadatak 85 Nadite asimptote krivulje y ( + ) /. 6

y e ln (+) D(f), + \{} e ln (+) e + ln ( + ) (e ( ) ) (e + ) + + je vertikalna asimptota (s desne strane) Znamo da je ( + ) / e, pa je ( + )/ ( + + )/ e što znači da pravac NIJE vertikalna asimptota (ni s jedne strane). e ln (+) e + ln (+) e ( (+ )) e + ( ) ln ( + ) + L H + + + + y je horizontalna asimptota (kosih nema!) Zadatak 86 Nadite asimptote krivulje y ( ). D(f) R ( ) ± nema horizontalnih asimptota ( ) k ± ± ± ( ) (± (+ )) ± ( ) ± ( ) l ( ( ) ) (± ) ± ( ( ) ( ) ) 4 + ( ) + ± ( ) 4 + ( ) + ± ± ( ) ( ) 4 + ( ) + : ( ) 4 + ( ) + : ± ( )4 + ( ) + y je obostrana kosa asimptota 7

4.6 Kvalitativni graf funkcije POSTUPAK:. odrediti domenu i nultočke funkcije (ako postoji). provjeriti da li je funkcija periodična, parna ili neparna. ponašanje na rubovima domene (vertikalne, horizontalne, kose asimptote) 4. lokalni ekstremi i monotonost 5. konveksnost, konkavnost, točke infleksije Zadatak 87 Nacrtajte kvalitativni graf funkcije y +.. D(f) R\{}, N (f),. - funkcija nije ni parna ni neparna +. + +, + + pravac je vertikalna asimptota (s obje strane) + : ± : k l + ± nema horizontalnih asimptota + : ± ( ) : ± ( ) + ± ± + : ± : ± pravac y je kosa asimptota (s obje strane) 4. f () ( ) ( ), intervali monotonosti:, : f ( ) (+) (+) > f raste 8

, : f (/) ( ) (+) < f pada, : f (/) ( ) (+) < f pada, + : f () (+) (+) > f raste u lokalni maksimum : M(, ), u lokalni minimum : m(, ) 5. f () ( ) intervali konveksnosti i konkavnosti:, : f () < f je konkavna, + : f () > f je konveksna 5-4 -5 - Zadatak 88 Nacrtajte kvalitativni graf funkcije y +.. D(f) R, f() >, R. funkcija je parna - graf je simetričan s obzirom na os y. vertikalnih asimptota nema + + nema horizontalnih asimptota ± 9

k k 4. y 5. y ± + + + + ±, k + + + l ( + ) ( ) ( + ) + + + + + + + l ( + + ) ( )... pravci y i y su kose asimptote + f () intervali monotonosti:, : f ( ) ( ) (+) < f pada, + : f () (+) (+) > f raste u lokalni minimum : m(, ) > konveksna je na cijeloj domeni, nema točaka infleksije ( + ) 4-4 - 4 - -4 Zadatak 89 Nacrtajte kvalitativni graf funkcije y e. 4

. D(f) R\{}, f() >, D(f). funkcija nije ni parna ni neparna, ni periodična. e (e + ) +, e (e ), + pravac je vertikalna asimptota s desne strane e e ± pravac y je horizontalna asimptota s obje strane (kosih stoga nema) ( 4. f () e ) <, D(f) pada na cijeloj domeni, nema ekstrema 5. f () e + 4 f () + 4 4 4 4 intervali konveksnosti i konkavnosti:, 4 : f ( ) (+) ( ) (+) < f konkavna 4, : f ( /6) (+) (+) (+) > f konveksna, + : f () (+) (+) (+) > f konveksna T ( /4, e ) je točka infleksije budući f mijenja predznak prilikom prolaska kroz nju y 7 6 5 4 - -5 5 4

Zadatak 9 Nacrtajte kvalitativni graf funkcije y. D(f),, + ln. ( ). + ln + ln pravac nije vertikalna asimptota ( ) ( ) ln, + ln + + pravac je vertikalna asimptota s obje strane ( ) + + ln L H + + + + nema horizontalnih asimptota ( ) k + ln nema ni kosih asimptota + 4. f () ln ln f () ln e intervali monotonosti, : f (/) ( ) (+) < f pada, e : f () ( ) (+) < f pada e, + : f () (+) (+) > f raste m (e, e) je lokalni minimum 5. f () ln ln f () ln e intervali konveksnosti i konkavnosti:, : f (/) (+) ( ) < f konkavna, e : f () (+) (+) > f konveksna e, + : f (8) ( ) (+) < f konkavna 4

T ) (e, e točka infleksije 5 5-5 4 6 8-5 Neodredeni integral 5. Pojam neodredenog integrala Definicija 6 Za funkciju F : a, b R kažemo da je primitivna funkcija (antiderivacija) funkcije f : a, b R ako je F () f() za svaki a, b. Primjer 5. Neka je f(). Provjerite da su F () 4 4, F () 4 4 +, F () 4 4 + 4 π primitivne funkcije funkcije f.. Neka je f(). Pokažite da je funkcija F () ln (C ) primitivna funkcija funkcije f za svaki C >. ( ). Pokažite da je funkcija F () tg arctg primitivna funkcija funkcije f() za π + kπ, k Z. +cos Teorem Neka su F, G : a, b R dvije primitivne funkcije funkcije f : a, b R, tj. F () G () f() za svaki a, b. Tada postoji konstanta C R tako da je G() F () + C za svaki a, b. Slijedi iz Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti primjenjenog na funkciju H() G() F (). 4

Definicija 7 Skup svih primitivnih funkcija funkcije f zovemo neodredenim integralom i označavamo sa (v. Teorem ): f()d F () + C, pri čemu je F bilo koja primitivna funkcija funkcije f. Kažemo da je f() podintegralna funkcija, f()d podintegralni izraz, varijabla integracije i C konstanta integracije. Zadatak 9 Odredite neodredene integrale a) 6 d b) d c) sin ()d. Deriviranjem desne strane jednakosti lako se provjeri da je a) 6 d 7 7 + C. b) d + C. c) sin ()d cos () + C. 5. Osnovna svojstva neodredenog integrala. Neposredna integracija Osnovna svojstva neodredenog integrala su:. d ( f()d ) f()d ( f()d ) f() npr. d ln d ln d.. df () F () + C F ()d F () + C npr. d(sin ) sin + C. kf()d k f()d, k R npr. d d ln + C 4. (f () + f ())d f ()d + f ()d npr. ( + )d d + d d 4 4 + ln + C 5. pri čemu je F () f(). f(φ())φ () d F (φ()) + C () Metoda neposredne integracije sastoji se u tome da korištenjem gornjih osnovnih svojstava neodredenog integrala neke neodredene integrale svedemo na tablične. Zadatak 9 d + + d + d d arctg + C. + 44

Zadatak 9 (DZ) cos sin cos d Zadatak 94 ( ) d d cos sin cos d sin sin cos d d sin d ctg tg + C. cos d+ 4 + +C. Zadatak 95 { t + 5 d + 5 dt ( )d Je li potrebna apsolutna vrijednost? Zadatak 96 { cos t + sin ( + sin ) d dt cos d } } dt t ln t +C ln +5 +C. dt t t +C ( + sin ) +C. Zadatak 97 { t + d 6 dt d } dt ( + t ) arctg t+c arctg( )+C. Zadatak 98 d 5 + 5 d ( ) + 5 5 5 ( ) d 5 ( ) arctg + C. + 5 5 5 Zadatak 99 5 d Zadatak { t + + d dt d ( 5 ) { t d( ) dt d 5 t 5 t dt ln 5 + C } 5 ln 5 + C. t dt t t+c (+ ) + +C. 45 }

Zadatak arcsin + d arcsin d + d arcsin d arcsin ( ) d( ) arcsin +C. Zadatak d sin d d sin cos tg cos ( d ln tg ) ln tg + C. d(tg ) tg Zadatak (DZ) Analognim transformacijam kao u prethodnom zadatku odredite a) d b) d c) d. cos +sin +cos 5. Metoda supstitucije Korištenjem formule za derivaciju kompozicije funkcija i formule za derivaciju inverzne funkcije dobije se: { } ϕ(t) f() d d ϕ f(ϕ(t))ϕ (t) dt. (t)dt Ili preciznije: Ako je F (t) primitivna funkcija funkcije f(ϕ(t))ϕ (t), onda je F (ϕ ()) primitivna funkcija funkcije f(), odnosno f()d F (ϕ ())+ C pri čemu je F (t) f(ϕ(t))ϕ (t). Napomena: Usporedi formulu u metodi supstitucije sa () u osnovnim svojstvima neodredenog integrala. Zadatak 4 Riješite a) { d + d + supstitucijom a) t t d t dt } t dt t + t b) tg t. dt + t ln (t + ( ) ) + t + C ln + + + C. 46

b) d + dt sin t { tg t t arctg ( ) d tg t tg t d dt cos t } dt cos t tg t + tg t ln tg t + C ln tg arctg + C. Usporedite oblike primitivnih funkcija u prethodnom zadatku pod a) i b). S obzirom na Teorem što zaključujete? Zadatak 5 Riješite korištenjem trig. supstitucije oblika a sin t a) d b) 5 d. a) d { sin t t arcsin d cos tdt } sin t cos t dt cos t dt ( + cos t)dt t + sin t + C t+sin t sin t+c arcsin + +C arcsin + +C. b) 5 d { 5 sin t t arcsin 5 d 5 cos tdt } 5 5 sin t cos t dt 5 cos t dt + cos t 5 5 dt (t + ) sin t + C 5 5 (t + sin t sin t) + C (arcsin + ) + C. 5.4 Metoda parcijalne integracije Integrirajući formulu za deriviranje produkta funkcija dobije se formula parcijalne integracije izražena u sljedećem teoremu. 47

Teorem Neka su f i g neprekidno derivabilne na a, b. sljedeća jednakost neodredenih integrala f()g ()d f()g() g()f ()d. Tada vrijedi Pokrata: U primjeni formula parcijalne integracije se najčešće zapisuje u diferencijalnom obliku: udv uv vdu. Oblici P n () e a sin α cos β d. Zadatak 6 Odredite a) sin (π)d b) e d. a) { sin (π)d b) { π cos (π) + π { e d } u du d dv sin (π)d v cos (π) π cos (π)d π cos (π) + sin (π) + C. π u du d dv e d v e } e + [ e + ] } u du d dv e d v e e + e 9 e 7 e + C [ e + + 9 e d + C. ] e d Zadatak 7 (DZ) Odredite +5d. e 4 Oblici P n () ln (a) arcsin (α) arctg (β) d. 48

Zadatak 8 Odredite a) ln d b) arcsin d. a) { u ln () du d ln ()d dv d v b) arcsin d arcsin + { u arcsin du d dv d v } ln () } arcsin d ln () 4 +C. d ( ) d( ) arcsin + + C. CIKLIČKA PARCIJALNA INTEGRACIJA Zadatak 9 Odredite a) (DZ) e sin d b) d +. a) { } u sin du cos d I e sin d dv e d v e e sin e cos d { } [ ] u cos du sin d dv e d v e e sin e cos + e sin d e [sin cos ] I. Dobije se I e (sin cos ) I, što daje I e (sin cos ) + C. b) d I d { } u du d + + dv d + v + + + d + + d, + dobije se I + ln ( + + ) I, što daje I ( + ln ( + + )) + C. Zadatak (DZ) Koristeći cikličku integraciju odredite a) d b) d c) + d. Uputa: d d pa dalje slično kao u prethodnom zadatku. 49 d d

6 Odredeni integral 6. Osnovni pojmovi Neka je f : [a, b] R ograničena funkcija. Subdivizija D intervala [a, b] je konačan niz točaka,,..., n tako da je D...a < < < i < i < n b. Neka su dane medutočke i [ i, i ], i,... n. Za navedene podatke definira se integralna (Riemannova) suma sa: S(D) n f( i )( i i ). i Definicija 8 Funkcija f je integrabilna na [a, b] ako postoji S(D) m(d) m(d) n f( i )( i i ) pri čemu je očica subdivizije m(d) definirana sa m(d) ma{ i i ; i,... n}. U tom slučaju navedeni es označavamo sa b a f()d. Zadatak Izračunajte približnu vrijednost od d koristeći ekvidistantnu subdiviziju sa n + 4. 4 ( i d 4 + f( i )( i i ) i + (/4) + + (/) + + (/4) + + Usporedite sa pravom vrijednošću π/4. ) 449 4.79. Zadatak Po definiciji odredenog integrala izračunajte d. Koristimo ekvidistantnu subdiviziju intervala [, ] i za medutočke biramo desne rubove podintervala ( i i ). Imamo: d n n i ( ) i n n n n n i i n(n + )(n + ) n n 6. 5

6. Newton-Leibnizova formula Osnovna formula odredenog integrala je Newton-Leibnizova formula koja predstavlja analitički izraz kojim se uspostavlja veza izmedu odredenog integrala i primitivne funkcije, tj. Teorem 4 Ako je funkcija f() integrabilna na intervalu [a, b] i ima na tom intervalu primitivnu funkciju F (), tj. F () f(), tada je vrijednost odredenog integrala jednaka razlici vrijednosti primitivne funkcije za gornju i donju granicu integrala, tj. b Zadatak ( ) ( )d 4 4 Zadatak 4 d + 4 arctg π/ Zadatak 5 π/4 sin d cos a f()d F (b) F (a). ( ) ( 4 ) 4 4. arctg arctg( ) π 4 ( π ) π 4 4. π/4 π/ Zadatak 6 π π cos d 5 π sin d 5 π π cos π 4 + cos π + sin d 5 π. sin d sin d 5 cos π + 5 cos 6. Supstitucija u odredenom integralu Jednostavna posljedica Newton-Leibnizove formule i formule za derivaciju kompozicije funkcija je sljedeći teorem koji daje uvjete za supstituciju u odredenom integralu. Teorem 5 Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija i neka je ϕ : [α, β] R funkcija sa neprekidnom prvom derivacijom tako da je ϕ(α) a i ϕ(β) b. Tada je b a f()d β α 5 f(ϕ(t))ϕ (t)dt. π π.

Zadatak 7 π d 5 + 4 cos { t tg t( π ) t() d dt cos t +t +t } Zadatak 8 π dt +t dt 5 + 4 t +t 9 + t arctg t d 4 + cos 5 π { d 4 + cos π + π } π 6 π 9 π 5 π d π 4 cos d 4 cos { t tg, d dt +t } dt +t 4 t +t dt 4 + 4t + t dt + 5t 4 5 dt 5 4 + t arctg t 5 5 4 π 5π Zadatak 9 { d d cos t sin t dt cos t } π cos t cos t sin t dt cos t π sin π t cos t dt cos π t dt cos t π cos t dt dt tg t π t π π Zadatak 9 4 + d tdt + 4 { t t(9) tdt d t(4) dt 4 } t + t tdt t t + t dt dt + t t + 4t 4 ln + t 9 + 4 + 8 4 ln 4 + 4 ln + 4 ln 4 5

6.4 Parcijalna integracija u odredenom integralu Kako je f()g() primitivna funkcija funkcije f()g ()+f ()g() to korištenjem Newton-Leibnizove formule slijedi sljedeći teorem. Teorem 6 Neka su f, g : [a, b] R funkcije sa neprekidnom prvom derivacijom. Tada je b a Zadatak π 4 π 6 { d sin f()g ()d f(b)g(b) f(a)g(a) { u dv d du d t sin t( π 6 ) dt cos d t( π 4 ) Zadatak π π ( + ) sin d π sin v ctg } π 4 +π 6 π π π sin d + b a } ctg + + ln π π g()f ()d. π 4 π 6 + π 4 π 6 cos sin d π t dt π 4 + sin d { } u dv sin d du d v cos ( π ) π ( cos + cos d + sin π/ π ) 6 +ln t sin d 7 Primjena odredenog integrala 7. Kvadratura (površina ravninskih likova) Ako je krivocrtni trapez u ravnini zadan sa D {(, y) R ; a b, f () y f ()} onda je površina od D dana sa P b a (f () f ())d. 5

Zadatak Izračunajte površinu lika omedenog sa y 6 +8, y. P ( 4 ( 6 + 8)d ) 4 + 4 + 4 ( 4 ( 6 + 8)d ) 4 + 4 4 8. - 4 - - Zadatak 4 Izračunajte površinu lika omedenog sa y 6, y. 8 6 4 4 P 4 [6 ( )]d 4 (8 )d ( 4 ) 4 64. 54

Zadatak 5 Izračunajte površinu lika omedenog sa (y ), (y )..5.5.5.5 P [ (y ) ( (y ) )]dy ( y +y)dy y +y 4. Zadatak 6 Izračunajte površinu lika omedenog sa + y 5,. P 5 5 5t { 5 sin t, t arcsin 5 d 5 d 5 cos tdt π/ arcsin(/5) π/ arcsin(/5) π/ cos tdt 5 + 5 sin t arcsin(/5) sin t } ( + cos t)dt π/ arcsin(/5) 5π 5 arcsin 5. 55

4.544.55 - -4 Zadatak 7 Izračunajte površinu lika omedenog sa +y 4y, +y 4. 4 - - 4 - - 56

Nadimo najprije sjecišta ovih kružnica. Dobivamo ih kao rješenja sustava: + y 4y, + y 4 S (, ), S (, ) Tražena površina je jednaka: P I I 4 π/ 4 ( 4 ( ) ( 4 )) d 4 ( ) d d + 4 d I 4 + I { } sin t, 4 ( ) d d cos tdt π/ cos tdt ( + cos(t))dt t + sin (t) π π/ π/ π/ { } sin t, π/ 4 d π/ cos tdt 4 P π 4.89 d cos tdt π/ cos tdt I π 4 4 sin t cos tdt 4 4 sin t cos tdt Zadatak 8 (DZ) Izračunajte površinu lika omedenog sa +y y, + y. (Rj: P 5π 6 ) Zadatak 9 (DZ) Izračunajte površinu lika odredenog s +y, + y 4. (Rj: P π) Zadatak (DZ) Izračunajte površinu područja y [, ]. Koliko bi ta površina iznosila da je [,? 7. Rektifikacija (duljina luka krivulje) + + 4, Ako je krivulja zadana sa y f(), [a, b] onda je njezina duljina dana sa s b a + y () d. Zadatak Izračunajte duljinu luka krivulje y / od do 5. 57

s 5 + ( ) / d 5 4 + 9d 8 (4+9) 4 + 9 5 5 7. Zadatak Izračunajte duljinu luka krivulje y / od do 8. s 4 + ( ) y/ dy 4 4 + 9ydy 8 (4+9y) 4 + 9y 4 8. 7 Zadatak Izračunajte opseg lika odredenog s y 6..5.5.5.5 4 5 6 y y y 6 y 6 ( 9 Presječne točke ovih dviju krivulja su: S (, ) i S, ). Traženi opseg je: 9/ ( ) s s + s 9/ ( ) + d + + d 6 58

4 s 9/ 9 9/ 9 s 6 d arcsin s + π 9/ 9/ d 9/ 9 ( ) ( arcsin arcsin ( d ( ) )) ( π + π ) π 6 Zadatak 4 (DZ) Izračunajte opseg lika odredenog s y. Zadatak 5 (DZ) Izračunajte opseg lika odredenog s y 4. 7. Volumen (kubatura) rotacijskih tijela Rotacija oko osi paralelnih sa osi apscisa: Ako područje D {(, y) : a b, y y f() ili f() y y } (područje D je omedeno sa krivuljom y f() i pravcima a, b, y y ) rotira oko pravca y y dobije se tijelo volumena V yy π b a [f() y ] d π b a [y y ] d. Specijalno ako je y (rotacija oko osi) formula glasi V y π b a f ()d π b a y d. Zadatak 6 Površina omedena sa y 6, y, 8 rotira oko -osi. Odredite volumen nastalog rotacionog tijela. V y π 8 4 [ ( 6)d π 8 ] 6 8 4 4 56π. 59

8 6 4 - -4-6 -8 4 5 6 7 8 9 Ako područje D {(, y) : a b, f() y g() ili g() y f() } (područje D je omedeno krivuljama y f(), y g() i pravcima a, b i cijelo se nalazi ili ispod ili iznad osi apscisa pri čemu je krivulja y g() udaljenija od osi apscisa) rotira oko osi apscisa dobije se tijelo volumena V y π b a [g () f ()]d. Zadatak 7 Površina omedena sa y, y Odredite volumen nastalog rotacionog tijela. rotira oko -osi. 8 6 4-4 - 4 - [ ( ) ( V y π ) ] 6 ( ) 9 d π 4 + 4 d 4

[ ] 9 π 4 + 5 89π 5. Rotacija oko osi paralelne sa osi ordinata: Ako je područje D omedeno krivuljom y f(), pravcima a, b i y i cijelo se nalazi ili sa desne ili sa lijeve strane pravca, onda njegovom rotacijom oko pravca nastaje tijelo volumena V π b a f() d π b a y d. Specijalno, ako je (rotacija oko y osi) formula glasi V π b a y d. Najjednostavniji slučaj je kada se cijelo područje nalazi iznad osi apscisa (y ) i desno od osi ordinata ( ). U tom slučaju volumen tijela nastalog rotacijom područja D {(, y) : a b, y f()} oko osi ordinata glasi V π b a f()d. Zadatak 8 Površina omedena sa y e, y e, rotira oko y-osi. Odredite volumen nastalog rotacionog tijela. 4 - -.5 - -.5.5 6

Prvi način: e e { u ln V π ( ln y) dy π ln y du ln y dy ydy y dv dy v y πy ln y e e { u ln y du π ln ydy dy } y dv dy v y eπ πy ln y e e + π dy eπ eπ + πy e π(e ). Drugi način: [ V π (e e )d π { } u du d dv e d v e π [ π e e + e ] π(e ). e d e [ e ] d + } e d e ] Zadatak 9 Površina omedena sa y sin, y, π rotira oko y-osi. Odredite volumen nastalog rotacionog tijela..5 Π Π Π Π Π 4Π -.5 - [ π V π sin d + [ π cos π + π π π ] { ( sin )d cos d + cos π π u du d dv sin d v cos π ] cos d 8π. π } 6

Zadatak 4 Površina omedena sa y 4, y rotira oko pravca a) y 6, b) y 6. Odredite volumen nastalog rotacionog tijela. 5.5-4 6 -.5-5 -7.5 -.5-4 6 -.5-5 -7.5 - a) V y6 π π b) V y 6 π 4 [ 5 4 [( 6) (4 6) ]d π 5 + 4 8 + 4 ] 4 4 48 5 π [(4 + 6) 6 ]d... 4 5 π ( 4 + 8 8 + 48)d Zadatak 4 Površina omedena sa y 8, rotira oko pravca a), b). Odredite volumen nastalog rotacionog tijela. 6 4 - -4-6 4 5 6 6 4-4 - 4 6 - -4-6 4 a) V π b) V π 4 4 ( ) y 8 dy π [ y 5 64 [ ( ) ] y 4 8 + 4 6 5 y + 56y dy... 4 5 π. ] 4 4 56 5 π.

Volumeni traženih tijela mogu se naći i ovako: a) V π b) V π ( ) 8 d... 56 5 π. ( + ) 8 d... 4 5 π. Zadatak 4 Površina omedena sa y, y rotira oko -osi. Odredite volumen nastalog rotacionog tijela. 8 6 4 - - - - V y π 9d π ( ) d 8π π [ ] 5 6π π 5 + 464π 5 ( 4 + )d 8 Obične diferencijalne jednadžbe Obična diferencijalna n tog reda dana je općenito izrazom F (, y, y,..., y (n) ), pri čemu se traži funkcija y y() koja uvrštavanjem u gornji izraz daje jednakost. 64

Ako se rješenje dade zapisati u obliku f(, y, C, C,..., C n ) (implicitni oblik) kažemo da je dobiveno opće rješenje. Ako se može opće rješenje je bolje zapisati u eksplicitnom obliku y f (, C, C,..., C n ). Primjetite da se broj slobodnih konstanti u općem rješenju podudara sa redom dif. jednadžbe (red najviše derivacije koja se javlja u diferencijalnoj jednadžbi). Zadatak 4 Formirajte diferencijalnu jednadžbu čije opće rješenje je y C. y C C y + y y + y y +. Dobivena dif. jednadžba je prvog reda, osim toga i linearna. Zadatak 44 Formirajte diferencijalnu jednadžbu čije je opće rješenje y C + C + C. Kako dif. jedn. mora biti trećeg reda, derivirajmo tri puta dano rješenje. Dobije se: y C + C, y 6C, y 6C. Einirajući C iz zadnje dvije jednadžbe dobije se I ova jednadžba je linerana. y y. 8. Obične diferencijalne jednadžbe prvog reda 8.. Separacija varijabli Ako se diferencijalna jednadžba prvog reda može zapisati u separiranom obliku y f()g(y) (u desnoj strani dif. jednadžbe smo separirali varijable) rješava se na sljedeći način: y f()g(y) dy d f()g(y) dy g(y) f()d, odakle se implicitni oblik rješenja dobije iz dy g(y) sa jednom slobodnom konstantom. 65 f()d

Zadatak 45 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe (y +y )d+ ( y)dy. y ( + )d + ( y)dy / : y + d + y dy y ( + ) ( d + y ) dy C ln y y ln y C ln y y + y C. Zadatak 46 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe +y + y y. y d + y dy / : y ( ) ( ) y d + dy 8 ( ) ( ) y d + dy C 8 ( ) + ln (ln ln ) 8 y ln 8 C. ( 8) y ln 8 C Zadatak 47 Pod izvjesnim uvjetima šećer se pretvara u dekstrozu brzinom koja je proporcionalna količini nepretvorene količine šećera. Ako, od 75 grama u momentu t, 8 grama se pretvori za minuta, odredite pretvorenu količinu šećera nakon.5 sati. d dt Neka je količina šećera pretvorena za t minuta. Tada je k(75 ) d 75 kdt d 75 k dt + C ln(75 ) kt + C. U slučaju da ne znamo realne podatke (tj. da je 75 opće rješenje bi morali zapisati u obliku 75 C e kt, C >. Za t imamo pa je ln 75 C ln(75 ) kt ln 75. 66

Za t imamo 8 pa je ln 67 k ln 75 k ln 75 ln 67 k.8. Dakle, ln(75 ).8t ln 75 ln(75 ) ln 75.8t. Sada, za t 9 imamo ln(75 ) ln 75.8 9 ln(75 ) ln(75 e.4 ) 75 75 e.4 75( e.4 ).7 grama. 8.. Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda Ako se diferencijalna jednadžba dade zapisati u obliku ( y y f ) kažemo da je homogena. Svodi se na separaciju varijabli uvodenjem nove funkcije z y y z odakle slijedi y z + z ili dy zd + dz. Zadatak 48 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y y y ln y. Imamo y y ( ln ), y pa uvodimo y z y z y z + z ( z + z z ln ) dz z d z ln z dz z ln z d dz d z ln z + ln C ln ln z ln + ln C ln ln z ln C ln z C z e C y e C y e C. Zadatak 49 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe dy yd + e y d. 67

( dy + (e y y)d / : dy + e y y ) d. Sada, uvodimo pa imamo y z y z dy zd + dz, zd + dz + (e z z)d dz + e z d / : e z e z dz + d e z +ln ln C e y +ln ln C e y ln C y ln ln C, C >. 8.. Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda Opći oblik linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda je: y + f()y g(). () Ove diferencijalne jednadžbe se mogu rješiti Lagrangeovom metodom varijabilnih konstanti. Prvi korak je da se rješi prikraćeni (homogeni, što nema nikakve veze sa homogenim dif. jednadžbama prethodno obradenim) oblik tj. dif jednadžba y + f()y koji se dade separirati i lako se vidi da je opće rješenje prikraćenog oblika y Ce f()d. Opće rješenje dif. jedn. () se sada traži u obliku y C()e f()d. Zadatak 5 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + y e. Prvo rješavamo jednadžbu y + y, pa imamo dy dy +y dy+yd / : y y +d ln y + ln C() 68

y C() e y C()e. Sada imamo y C ()e + C()e ( ) pa ako to vratimo u polaznu jednadžbu imamo: C ()e C()e + C()e e C () C() + K y ( ) + K e. Zadatak 5 Osnovano je novo poduzeće. Analiza tržišta predvida da će brzina rasta dohotka poduzeća, u bilo kojem trenutku vremena t, biti proporcionalna razlici izmedu stvarnog dohotka u tom trenutku t i gornje granice kn. Takoder se predvida da dohodak nakon godine bude 4 kn. U početku (t ) dohodak je kn. Odredite izraz kojim se može odrediti dohodak u bilo kojem trenutku t i odredite koliko će vremena proći dok dohodak dostigne iznos od 8 kn. Neka je A(t) dohodak poduzeća u trenutku t. Prema anlizi tržišta mora biti: da k( A), dt gdje je k konstanta proporcionalnosti, te je A u milijunima kuna. Jednadžba da +ka k je linearna diferencijalna jednadžba prvog reda, dt pa prvo rješavamo da dt + ka da A + kdt ln A + kt ln C(t) A(t) C(t)e kt. Sada imamo A (t) C (t)e kt kc(t)e kt i onda C (t)e kt kc(t)e kt +kc(t)e kt k C (t) ke kt C(t) e kt +M. Za rježenje diferencijalne jednadžbe sada imamo A(t) + M e kt. Konstantu M odredimo iz početnog uvjeta (A() ): + M e kt M A(t) e kt. Kako je A() 4 to je 4 e kt k.7, 69

pa je traženi izraz Sada, za A 8 imamo A(t) e.7t. 8 e.7t t 9.47. Znači, nakon približno 9.5 godina poduzeće će imati dohodak 8 kn. 8..4 Bernoullijeva diferencijalna jednadžba prvog reda y + f()y g()y α, α ; α. Primjetimo da za α dobijemo linearnu diferencijalnu jednadžbu, a za α dif. jedn. u kojoj možemo separirati varijable. Supstitucijom (u smislu uvodenja nove funkcije) z y α dobivamo linearnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda. Zadatak 5 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y 4 y y. Sada α z y/ y z y zz. zz 4 z z z z. Prvo rješavamo z z dz z d ln z ln ln C() z C(). Kako je z C () + C() imamo C () + C() C() C () C() ln + K ( ) z ln + K y 4 (ln + K). 7

8. Obične diferencijalne jednadžbe drugog i viših redova 8.. Neki specijalni tipovi običnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda. y (n) f() Zadatak 5 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe a) y + b) y +. y ( + )d y + + C ( ) y + + C d y 6 + + C + C.. F(, y, y ) (nedostaje y) Uvodi se funkcija p p() sa y p y p, pa dobijemo diferencijalnu jednadžbu prvog reda (po novoj funkciji p). Zadatak 54 Riješite diferencijalnu jednadžbu ( + )y y, y(), y (). ( + )p p dp p d + ln p ln( + ) + ln C p C ( + ) (y () ) C y ( + ) ) y ( + + C (y() ) C y + +. 7

8.. Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima Opći oblik linearnih diferencijalnih jednadžbi sa konstantnim koeficijentima glasi y + ay + by f(), a, b R. Prvo rješavamo homogenu (nepotpunu, prikraćenu) diferencijalnu jednadžbu: y + ay + by. Rješavamo karakterističnu jednadžbu r + ar + b. Ako je r r R imamo y C e r + C e r, a ako je r r r R tada je Za r, α ± βi imamo y C e r + C e r. y e α (C cos β + C sin β). Zadatak 55 Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y +y 4y. r + r 4 r, r 4 y C e + C e 4. Rješenje nehomogene (potpune) jednadžbe je oblika y y + Y, gdje je y rješenje pripadne homogene jednadžbe, a Y je partikularno (bilo koje) rješenje. Partikularno rješenje se odreduje metodom neodredenih koeficijenata u sljedećim slučajevima:. f() e k P n () Ako k nije nultočka karakteristične jednadžbe tada je Y e k Q n (), a ako je k nultočka karakteristične jednadžbe tada je Y r e k Q n () (r je kratnost nultočke).. f() e a [P n () cos b + Q m sin b] Ako a ± bi nije rješenje karakteristične jednadžbe imamo Y e a [S l () cos b + T l () sin b] 7