Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul restrcţlor elare dar efcactatea sa este redusă coducâd la paş de deplasare foarte mc pe frotera domeulu. Partculartăţle aceste metode costau î modul î care se stableşte drecţa de deplasare d puctul curet: a. î terorul domeulu geerat de restrcţ drecţa de deplasare va f atgradetul fucţe (petru problemele de mm); b. atuc câd apromarea curetă a soluţe optmale se găseşte pe frotera domeulu se utlzează ca drecţe de deplasare petru îmbuătăţrea soluţe proecţa atgradetulu pe froteră. Î plus, această metodă are avataul de folos codţle Karush- Kuh-ucher atât petru a geera o drecţ de deplasare cât ş î caltate de crteru de oprre a teraţlor î puctul de optm. Cosderăm următoarea problemă de optmzare: g F( ) ( ) = m = 1 a b 0 = 1, m (9.1) ude: Sub formă matrceală sstemul de restrcţ poate f scrs ca: A b (9.2) a A = M a b = m1 L L [ b L b ] 1 11 m a a 1 m = [ a a L a ] 1 a vectorul le al coefceţlor restrcţe. 2 m (9.3)
Codţa ca domeul soluţlor admsble să fe lmtat î R este ca < m 1. Îtr-u puct oarecare d R restrcţle pot f actve sau actve. Se umesc restrcţ actve îtr-u puct acele restrcţ p care, î acest puct, sut verfcate ca egaltate: g p ( ) = = 1 a p b p = 0 (9.4) Se umesc restrcţ actve îtr-u puct acele restrcţ r care, î acest puct, sut verfcate ca egaltate: g ( ) r = = 1 a r b r < 0 (9.5) Refertor la lle matrce A mertă sublată semfcaţa d puct de vedere matematc al acestora. Astfel, cosderâd o restrcţe actvă î puctul, deoarece aceasta este lară, gradetul său este costat ş egal cu: g = ( ) ( ) g ( ) g ( ) [ a a L a ] = a 1 g = L = 1 2 (9.6) 2 dec la a matrce A (sau a ) repreztă tocma gradetul traspus al restrcţe (sau ormala la hperplaul reprezetat de ecuaţa = g ( ) 0 ). Î R pot esta ma multe pozţ posble ale puctulu curet ş, î fucţe de aceasta, ma multe modur de determare a drecţe de deplasare spre puctul următor: a. Puctul curet se găseşte îtr-u vârf sau pe o muche a poledrulu soluţlor admsble.
b. Puctul curet se găseşte pe ua dtre feţele acestu poledru. c. Puctul curet se găseşte î terorul domeulu soluţlor admsble. Î acest caz, de eemplu puctul Y 1 d fgura 9.1, se foloseşte ca drecţe de deplasare atgradetul F( ) (evetual ormalzat), pâă se atge puctul Y 1, caz î care se regăseşte ua dtre cele două stuaţ ateroare. Se cosderă că la pasul apromaţa curetă a soluţe optmale este ş că acest puct se găseşte la tersecţa a hperplae de froteră (ecuaţle corespuzătoare acestor hperplae reprezetâd restrcţle actve). Se otează cu I mulţmea dclor restrcţlor actve î acest puct: I { g = } ( I ) = = card 0 (9.7) ş cu A matrcea obţută d A pr păstrarea doar a llor a căror dc apar î I. mm fără restrcţ 1 soluţe Y Y 3 Y 2 Y 1 Fg.9.1 Drecţa de deplasare î fucţe de pozţa puctulu curet Se pue problema de a se găs acea drecţe de deplasare d puctul () de-a lugul cărea fucţa obectv scade cel ma repede ş
care păstrează puctul următor î terorul sau pe frotera domeulu soluţlor admsble. Î acest scop se împarte spaţul R î două subspaţ ortogoale. Petru aceasta se folosesc defţle mulţmlor afe ş subspaţlor paralele cu mulţm afe. O mulţme M R se umeşte mulţme afă dacă: ( t) M t R, M t + 1 (9.8) R Def. Fe L,R estă a R astfel îcât M = L + a două mulţm afe. L este paralelă cu M dacă (9.9) r. Orce mulţme afă eulă M subspaţu L R care este: R { z R y M z = y} este paralelă cu u sgur L = M M =, a.î. (9.10) Se va presupue î cotuare că matrcea A a coefceţlor restrcţlor actve este formată d vector a lar depedeţ. Ţâd cot de aceste defţ ş poteze se pot def următoarele subspaţ: a) u subspaţu D deft ca subspaţul paralel cu mulţmea afă D' a puctelor de tersecţe a hperplaelor care repreztă codţle actve î puctul curet: { R a b = I } D = 0, (9.11) Acest subspaţu are dmesue -r. Dacă =r subspaţul D repreztă subspaţul format doar d elemetul ul al lu R.
b) subspaţul D care repreztă complemetul ortogoal al lu D ş este tocma subspaţul geerat de vector le d A. Pr defrea acestor subspaţ, orce vector d R poate f reprezetat î mod uc sub forma: = D + cu D D, D (9.12) D D Vector D ş D se umesc proecţle vectorulu pe cele două subspaţ. Drecţa de deplasare care permte smulta aproperea de optm ş meţerea î domeul de admsbltate va corespude proecţe atgradetulu pe subspaţul D ş poate f determată ca: d ( ) ( ) ( ) P F = (9.13) î care P se umeşte matrce de proecţe ş este egală cu: P 1 [ I A ( A A ) A ] = (9.14) Î codţle î care restrcţlor actve le corespud vector a lar depedeţ se poate arăta că epresa matrce de proecţe este corectă (matrcea A A este esgulară). După cum se poate observa, î cazul puctelor d terorul domeulu de admsbltate, deoarece c o restrcţe u este actvă (A =0), va rezulta P =I ş se obţe ca drecţe de deplasare atgradetul. D această cauză, se poate cosdera că relaţle ateroare repreztă metoda geerală de determare a drecţe de deplasare, dferet de pozţa puctulu curet. Codţ de optm Ca petru toate metodele teratve, odată ats u puct trebue verfcat dacă acesta este u puct de optm (caz î care algortmul se opreşte) sau u (caz î care se determă o ouă drecţe de deplasare).
Aceste codţ sut dferte după cum puctul curet se găseşte î terorul sau pe frotera domeulu de admsbltate. a. Codţ de optm î terorul domeulu de admsbltate. Î acest caz restrcţle u flueţează codţle de optm acestea fd aceleaş ca î cazul programăr fără restrcţ: ( ) ( ) ( ) F = 0 2 F > ( ) 0 (9.15) b. Codţ de optm pe frotera domeulu de admsbltate Atuc câd î puctul curet estă restrcţ actve codţle ecesare ş sufcete ca puctul curet să fe puct de optm rezultă pr partcularzarea codţlor Karush-Kuh-ucer. Pord de la: ( ) ( ) = A λ F (9.16) rezultă, sub formă vectorală: ( ) ( ) = a I F λ (9.17) Dec, gradetul fucţe obectv poate f scrsă ca o combaţe lară a gradeţlor fucţlor actve, ceea ce este echvalet cu a spue că gradetul fucţe obectv aparţe subspaţulu geerat de ce vector le lar depedeţ d A a căror dc apar î I. Î aceste codţ proecţa vectorulu gradet pe subspaţul ortogoal pe acesta trebue să fe ulă: ( ) ( ) = 0 P F (9.18) Codţa sufcetă se obţe pord tot de la (9.16) ţâd cot că acele compoetele lu λ corespuzătoare restrcţlor actve trebue să fe eegatve (petru forma probleme de optmzare cosderată) ar compoetele corespuzătoare restrcţlor actve trebue să fe ule. Î aceste codţ (9.16) deve:
( ) ( ) = A λ F (9.19) î care λ repreztă vectorul obţut d λ păstrâd doar compoetele corespuzătoare restrcţlor actve. Pr îmulţre la stâga cu A rezultă: A ( ) ( F( )) = A A λ (9.20) sau, ţâd cot că A A este o matrce esgulară: 1 ( ) ( A ) ( ( A A F )) = λ (9.21) De ac rezultă forma codţe sufcete: 1 ( ) ( ( ( A A F ) ) 0 A (9.22) deoarece compoetele lu λ u pot f egatve. Î cosecţa, poate f euţată următoarea teoremă: r. O soluţe admsblă stuată la tersecţa a hperplae froteră lar depedete este soluţe a probleme de programare (9.1) dacă ş uma dacă sut îdeplte codţle: P F ( ) ( ) 1 A = 0 ( ) ( A A ) F( ) 0 (9.23) Utlzarea codţlor Karush-Kuh-ucer petru determarea ue o soluţ admsble Î aumte cazur se poate auge î stuaţa î care codţa ecesară este îdepltă (dec oua drecţe de deplasare d puctul curet este ulă) dar codţa sufcetă u deoarece 1 A A A ( F ) ma are compoete egatve. ( ) ( )
Dec, petru cotuarea procesulu de optmzare se mpue determarea ue o drecţ de deplasare. Rose ş Jacoby au propus elmarea d matrcea A a llor corespuzătoare codţlor actve cărora le corespud valor egatve ale multplcatorlor lu Lagrage, dec compoete egatve î 1 A A A F. ( ) ( ( )) Folosd această matrce modfcată se poate determa o ouă matrce proecţe ş, î cotuare, o ouă drecţe de deplasare. Utlzarea practcă a arătat că această metodă poate coduce la mărrea umărulu de teraţ, rezultate ma bue obţâdu-se pr elmarea d matrcea A a ue sgure l, ş aume cea cărea î corespude cea ma mcă compoetă (egatvă) a lu A A 1 A F ). Î acest fel se obţe matrcea A -1. ( ) ( ( ) Algortmul metode gradetulu proectat Estă două metode de a demara acest algortm: -porrea dtr-u puct teror domeulu soluţlor admsble ş folosrea atgradetulu ca drecţe de deplasare pâă la atgerea uu puct de pe froteră, după care se trece la folosrea metode gradetulu proectat; -ţalzarea algortmulu cu u puct stuat pe froteră ş aume la tersecţa a uu umăr de hperplae d sstemul de restrcţ. Î cotuare se va cosdera că se cuoaşte dea u puct de pe frotera domeulu de admsbltate. rebue sublat faptul că, odată determată o drecţe de deplasare, se va verfca dacă pasul de deplasare care va f folost u coduce la îcălcarea ue alte restrcţ. Petru aceasta se observă că îcălcarea ue restrcţ mpue realzarea tersecţe cu uul dtre hperplaurle ale căror dce u apare î I :
= 0 = = a ( ) ( ) + μ mad ( ) ( ) a b = a + μ mad ( ) ( ) b + a μ mad ( ) b = (9.24) cu soluţa: ( ) ( ) g μ ma = m μ μ =, μ > 0 ( ) (9.25) I a, d care repreztă cea ma mare valoare a lu μ care u coduce la îcălcarea ue alte restrcţ. Pasul de deplasare efectv folost trebue să îdeplească codţa: μ μ ma (9.26) Valoarea optmă a pasulu de deplasare poate f obţută d codţa: df ( ) ( ) ( + μd ) dμ = 0 (9.27) Deoarece găsrea acestu mm este dfcl de obţut, Rose propue îlocurea soluţe eacte pr rădăca ue ecuaţ de gradul îtâ care se obţe pr terpolarea lară a dervate d ecuaţa ateroară. ( ) ( ) Astfel, se determă F( + μ mad ) ş se verfcă semul acestua: ( ) ( ) a. dacă F( + μ mad ) 0 atuc fucţa F este 0 ş atuc: descrescătoare î raport cu μ pe tervalul [ ],μ ma μ = μ ma (9.28)
b. dacă ( ) ( ) ( + ma d ) > 0 F μ atuc mmul fucţe este atsă udeva î tervalul [, ] obţută pr metoda coarde: μ 0 μ, valoarea apromatvă fd ma ( ) d, F( ) μma (9.29) () d, F F ~ () ( ) ( ) Probleme 1. Demostraţe matrce de proecţe
λ = DA 1 ( A A ) A ( F( ) DA λ 0 NU Calcul A -1 P SAR ţalzare (0) ; =0 I A 1 ( A ) A A = P F ( ( )) d = 0 = P 1 I A ( ( F ) NU 1 ( A ) 1A 1 A = 1 1 1 P ( ) d = P F( ) SOP ( () g ) μ = m μ μ =, I a,d ( ) ( ) ~ = + μd μ > 0 ρ = ( + NU ( d, F( )) ( () ) () d, F F ~ 1 ) = ρ~ + 1 ρ ( ) () ( ) () d, F( ~ ( )) 0 DA ( +1) ( ) = ~ =+1 actualzare A Fg.? Algortmul Rose
SPAŢII AFINE 1. Spaţu af asocat uu spaţu vectoral real Fe V u spaţu vectoral de dmesue ftă peste corpul R ş o Μ = A, B, C,K mulţme evdă de pucte { } Def: Structură afă Se umeşte structură afă pe mulţmea M, asocată spaţulu vectoral V, aplcaţa ϕ : M M V care verfcă următoarele codţ: ) A, B, C M ϕ ( A, B) + ϕ( B, C) = ϕ( A, C) ) O M fat, aplcaţa ϕ 0 : M V pr ϕ 0 ( A ) = ϕ( O, A) este bectvă. Mulţmea M îzestrată cu o structură afă se umeşte spaţu af. Obs: 1. Elemetele lu M se umesc pucte ar mulţmea acestor pucte se umeşte spaţu bază a spaţulu af. 2. Dacă spaţul V are dmesuea atuc M este spaţu af - dmesoal otat M 3. Elemetele lu V se umesc vector drector (cu ecepţa vectorulu ul) ar V se umeşte spaţu drector al spaţulu af. Elemetele fudametale ale uu spaţu af sut puctele ş vector. Imagle perechlor de pucte, dstcte sau u, pr aplcaţa structură afă φ sut vector d V: ) ϕ ( A, B) = v ude A este orgea ar B este etremtatea lu v ) ϕ ( B, A) = v ) ) ϕ ( A, A) = 0