SIGNALŲ IR GRANDINIŲ ANALIZĖ

Transcript

1 Dariu MINIOT IGNLŲ IR GRNDINIŲ NLIĖ Projekto koda VP--ŠMM-7-K--47 VGTU Elektroiko fakulteto I pakopo tudijų programų emii ataujiima Viliu Techika

2 VILNIU GEDIMINO TECHNIKO UNIVERITET Dariu MINIOT IGNLŲ IR GRNDINIŲ NLIĖ Kuriių projektų regimo metodika Viliu Techika

3 D Miiota igalų gradiių aalizė: kuriių projektų regimo metodika Viliu: Techika p [77 aut l 6 4] Metodikoje pateikta žiių apie determiuotų vpeių pektru jų traformacija tieiėe tacioarioioe gradiėe ugdomi gebėjimai projektuoti tokia gradie ja aalizuoti dažiiu metodu tam paitelkiat MTLB Multiim programie įraga Metodika kta VGTU Elektroiko fakulteto I pakopo tudetam tudijuojatiem Elektroiko ižierija tudijų programoje ELEB4 igalai gradiė ELEB5 igalai gradiė ELEB55 igalų gradiių aalizė KP dalyku Leidiį rekomedavo VGTU Elektroiko fakulteto tudijų komiteta Recezavo: doc dr driu Ušika VGTU Elektroiių itemų katedra dr Daliu Matuzevičiu VGTU Elektroiių itemų katedra Leidiy paregta vykdat projektą VGTU Elektroiko fakulteto I pakopo tudijų programų emii ataujiima Leidiio regimą leidybą fiaavo Viliau Gedimio techiko uiveriteta Europo ocialii foda utartie Nr VP--ŠMM-7-K--47 Redaktorė Irutė Raišutieė Maketuotoja Laura Petraukieė VGTU leidyklo TECHNIK - mokomoio metodiė literatūro kyga eibn doi:846/- Dariu Miiota Viliau Gedimio techiko uiveriteta

4 Turiy Pratarmė 4 Paegima projektui 5 Gradiė kotravimo tvarka 5 Kuriio projekto vadyba pektriė įėjimo igalo aalizė 6 Periodiių igalų Furjė eilutė 6 imetrija trigoometriėe Furjė eilutėe 7 Dažai paitaikačių igalų Furjė eilutė 4 Periodiio igalo pektro kaičiavimo pavyzdy 5 Periodiio igalo harmoikų perešamo galio kaičiavimo pavyzdy 5 Gradiė fukcijo kaičiavima 7 filtrai 7 Čebyšovo filtrai 49 tvkštiiai Čebyšovo filtrai 6 4 Kauerio filtrai 6 5 Dažio traformacijo 65 4 Gradiė fukcijo įgyvediima 8 4 Daugiaarė LC gradiė formavima audojat dalybą u liekaa 8 4 Gradiė elemetų verčių traformavima pagal dažį 9 4 Gradiė elemetų verčių traformavima pagal varžą Gradiė fukcijo įgyvediimo pavyzdžiai 97 Literatūra

5 pratarmė igalų gradiių arba itemų bedruoju atveju teorijo reikia beveik vioe elektro elektroiko ižierijo ritye taip pat daugelyje kitų ižieriių fudametiių moklų Šio žiio udaro tolimeių pecializuotų tudijų pavyzdžiui automatiko ar telekomuikacijų ižierijo pagridą Ši kuriių projektų KP regimo metodika kta elektroiko ižierijo tudetam tudijuojatiem pmoio pakopo dalyku igalai gradiė bei igalai gradiė atliekatiem kuriį projektą pagal igalų gradiių aalizė KP modulio programą Metodiką udaro keturi kyriai Pmajame kyriuje aprašoma bedroji gradiė kotravimo tvarka aptariami klauimai iš ižieriė praktiko uiję u tikamu darbo orgaizavimu trajame kyriuje aiškiama kaip aalizuoti kuriio projekto užduotyje pateikto igalo veikiamo vieo ar keleto trikdžių pektrą Šio žiio praver parekat tikamiauią tipą taip pat jo idealią ją charakteritiką aprokimuojačio fukcijo tipą Trečiai kyriu padeda pręti matematiį uždaviį rati fukciją Ketvtai kyriu kta elektriei pricipiei chemai udaryti audojat pecialiuoe žiyuoe aprašyta tadartie procedūra Metodika paregta taip kad būtų tikama avarakiškom tudijom Kiekvieame metodiko kyriuje pateikiama tik būtiiauių teoriių žiių uijuių u predžiama problema Metodikoje taip pat gauu pavyzdžių iliutruojačių kaip taikyti MTLB programiė įrago tadartie fukcija predžiat kokrečiu uždaviiu Dariu Miiota 4

6 paegima projektui Gradiė kotravimo proceą udaro try etapai: pecifikacijo paregima projektavima įgyvediima Projektuojat gradię ieškoma ją aprašačio matematiė išraiško gradiė fukcijo Po to ši fukcija įgyvediama fiziškai Nor yra žioma daugybė būdų filtrų gradiėm įgyvediti šioje kuriių projektų regimo metodikoje apibojama tik daugiagradžių payviųjų aalogiių filtrų agriėjimu t y tokių kurie udaryti vie tik iš rezitorių kodeatorių ričių Pažymėtia kad epriklauomai uo eilė udėtigumo ar tipo į jo modelį įtraukiami tik du rezitoriai Filtro įėjime eati rezitoriu modeliuoja igalo šaltiio vidau varžą o rezitoriu išėjime apkrovą kuriai filtra tiekia eergiją Tarp šių dviejų rezitorių paeiliui jugiami kodeatoriai ritė kurie udaro kopėčių pavidalo truktūrą Šių reaktyviųjų elemetų kaičių jų jugimo tvarką lemia eilė bei idealią ją charakteritiką aprokimuojačio fukcijo tipa Gradiė kotravimo tvarka Kaip miėta payvui aalogii filtra kotruojama trimi etapai: pecifikacijo paregimo projektavimo įgyvediimo Paregti pecifikaciją tai išamiai aprašyti kokių charakteritikų bu iekiama Kadagi tokio pecifikacijo aprašą retai kada gauama iš užakovų gradiė projektuotojam teka patiem ją paregti atižvelgiat į kokretau taikymo ulemtu reikalavimu Bedrai gradiė kotravimo procea grafiškai pavaizduota pav

7 G r a d i ė ko t r a v i m a p e c i f i k ac i j o paregima P r o j e k t a v i ma Į g y v e d i i ma pav Gradiė kotravimo procea Gradiė pecifikacijo paregima Gradiė pecifikacijo paregimo eiga grafiškai pavaizduota pav Šio proceo metu aalizuojama kuriio projekto užduoti iekiat išiaiškiti kokio tipo gradiė reikia duotam igalui apdoroti kokio charakteritiko jai turi būti būdigo Kuriio projekto užduotyje papratai pateikiama tokia iformacija: įėjimo vpeio grafika parametrai; igalo šaltiio vidau varža; apkrovo varža; mažiauia reikalaujama vpeio harmoikų perešamo galio proceta; leitii vpeio iškraipymai gradiėje Žemutiių arba aukštutiių dažių pecifikacijoje papratai urodomi tokie parametrai: didžiauia leitia lopiima

8 pralaido juotoje mažiauia reikalaujama lopiima epralaido juotoje taip pat ribiiai pralaido epralaido juotų dažiai Paašiai or kiek kitaip formuluojamo pecifikacijo juotiiam ar užtvariiam filtram pecifikacijoje taip pat dažai urodoma idealią ją charakteritiką aprokimuojačio fukcijo tipa pvz Tačiau kartai parikti tokią fukciją yra projektavimo proceo dali G r a d i ė p e c i f i k a c i j o p a r e g i m a Pr o b l e m a : k u r i i o p r o j e k t o u ž d u o t i p r e d i m a : g r a d i ė p e c i f i k a c i j a KP užduot i al i zuot i KP užd uot į I šiai šk i t i r e i k a l a v i mų gr a d i e i al t e r a t y va Į ve r t i t i r e i k a l a v i mų gr a d i e i al t e r a t y va t r i k t i r e i k a l a v i mu gr a d i e i [ t i kami ] G r ad i ė p e c i f i kac i j a [ ki t ai p ] Į f or mi t i r e i k a l a v i mu gr a d i e i pav Gradiė pecifikacijo paregimo eiga

9 Patarai variata kaip tik umatyta šiame kuriiame projekte Projekto užduotyje bu pateikta igalo veikiamo pašaliių igalų trikdžių grafika Tokia ituacija yra būdiga ižieriei praktikai Jum pmiauiai reikė patiem išiaiškiti kaip iš turimo grafiko atkti audigą jį igalą paiaudojat projekto užduotie uteikiama papildoma iformacija apie šį igalą Tarkime kad pav vaizduojama trikdžio veikiama igala kurio grafika pateikta kuriio projekto užduotyje Iš akto žiat ši iformacija taip pat turėtų būti projekto užduotyje kad audigai igala yra tačiakampių vpeių formo galima iš grafiko utatyti tiek igalo tiek trikdžio periodu pav trikdžio perioda dešimt kartų mažei už igalo periodą tliku tokią pmię igalo aalizę paaiškėja kad reikė projektuoti žemutiių dažių filtrą kuri praleitų igalą be dideių pakitimų lopitų trikdį pav tačiakampi įėjimo igala veikiama kartų parčiau kitačio trikdžio Po to atliku detaleę igalo trikdžio ar trikdžių pektrię aalizę žr atrą jį metodiko kyrių jum reikė parikti geriauiai tikatį aprokimuojačio fukcijo tipą pvz ar Čebyšovo u leitiu 5 db DCh bagavimu pralaido juoto 8

10 riboe Vii šie predimai turė būti aprašyti kotruojamo pecifikacijoje Kadagi pmai kuriio projekto įgyvediimo etapa pecifikacijo paregima yra mažiauiai formalizuota ši darba veikiauiai pareikalau iš jūų daugiauia kūrybiškumo Būkite paegę ekperimetuoti geeruoti įvaia idėja po to ja kritiškai vertiti priimiėjat predimu jei preik ieškat alteratyvų epaiteiiuiem predimam Gradiė projektavima Šiame etape predžiama gryai matematii uždaviy pagal pecifikaciją ieškoma jo fukcijo Gradiė projektavimo eiga grafiškai pavaizduota 4 pav Gradię rekomeduojama projektuoti audojat kompiuterie programa Daug galimybių projektuotojam uteikia tokie paketai kaip MTLB plačiai audojami šiadieiėje ižieriėje praktikoje Trečiajame šio metodiko kyriuje pateikta emažai pavyzdžių kuriuoe taikomo tadartiė MTLB fukcijo parodyta kaip galima ja adaptuoti predžiat kokretų uždaviį 9

11 G r a d i ė p r o j e k t a v i m a P r o b l e m a: g r a d i ė p e c i f i k a c i j a p r e d i m a : p e r d a v i m o f u k c i j a Ra t i Ž D pr o t o t i p o pe r d a v i m o f u k c i j ą G r a d i ė p e c i f i k a c i j a ka i č i u o t i e p r a l a i d o j uo t o ri bi į dažį ka i č i u o t i gr a d i ė ei l ę ka i č i u o t i o r m u o t ą j ą pe r d a v i m o f u k c i j ą Pe r d a v i mo f u k ci j a ka i č i u o t i o r i m o gr a d i ė p e r d a v i m o f u k c i j ą t r a f o r m uo j a t Ž D p r o t o t i p ą į D F/ J F/ UF 4 pav Gradiė projektavimo eiga Gradiė įgyvediima Ižieriėje praktikoje įgyvediima papratai upratama kaip fizii procea kurio metu iš realių detalių pagamiama veikiati gradiė Tačiau prieš imati gamybo dar reikia paregti gradiė elektrię pricipię chemą Ši kurii projekta baigiai kaip tik tokio chemo paregimu Laimei ižiierių darbui palegviti jau yra ukurta išami filtrų itezė teorija aprašyta pecialiuoe žiyuoe Kaip turėtų paaiškėti iš ketvtojo kyriau mum belieka tik išmokti tikamai audoti tadartiėmi procedūromi leidžiačiomi matematię

12 tadartiơ MTLB fukcijo parodyta kaip galima ja adaptuoti predžiat kokretǐ uždaviƴ Gradiơ Ƴgyvediima Ižieriơje praktikoje Ƴgyvediima papratai upratama fukciją modeliu darkaip fizii procea kuriopaverti metu išfiziė realiǐ gradiė detaliǐ pagamiama veiiai dbačia payviųjų elemetų komada Gradiė kiati gradiơ Taþiau prieš imati gamybo dar reikiaįgyvediparegti imo eiga elektriċ grafiškaipricipiċ pavaizduota 5 pav gradiơ chemą Grad iơ Ƴ gyve d i i m a Pro b l e m a: pe r d a v i m o f u k c i j a p r e d i m a : e l e k t r i ơ p r i c i p i ơ c h e m a Pe r d a v i m o fukcij a Pa r i k t i Ž D pro t o t i p o gr a d i ơ c he mą Tr a f o r muo t i gr a d i ơ ele me t ǐ ve r t e pagal dažƴ Elekt riơ pr i c i p iơ chema Tr a f o r muo t i gr a d i ơ ele me t ǐ ve r t e pagal varžą 5 5 pavpav Gradiė įgyvediimo eiga Gradiơ Ƴgyvediimo eiga Ši kurii projekta baigiai kaip tik tokio chemo paregimu Laimei ižiieriǐ darbui palegviti jauvadyba yra ukurta išami filtrǐ Kuriio projekto itezơ teorija aprašyta pecialiuoe žiyuoe Kaip turơtǐ paaiškơti iš ketvtojo kyriau mum belieka išmoktijįtikamai audonorit ėkmigai atlikti jum ktątik mokomą kuriį projekti patartia tadartiơmi procednjromi leidžiaþiomi matematiċgamy tą vadovauti tai pačiai pricipai audojamai biių ar verlo projektų vadyboje Laikati šių pricipų padedama gaa trumpą laiką teka atlikti išvegti chaoo ypač kuomet per udėtigą ar didelė apimtie darbą kolektyvui udarytam iš evieodą pattį gebėjimu turičių žmoių Projektų vadyba apima veikla uijuia u plaavimu orgaizavimu įgyvediimo kotrole Toliau mulkiau aptarime kiekvieą iš šių veiklų

13 Projekto plaavima Regiat projekto plaą pmiauia reikia įvertiti darbo apimtį ištekliu reikaligu jam atlikti Nor atlikti tokį įvertiimą papratai ėra legva žioma keleta metodų padedačių umatyti darbo produktų pvz: brėžiių dokumetacijo programiio kodo pa apimtį pagal tai apytikliai apkaičiuoti reikiamu laiko piigiiu kitu ištekliu tliku tokiu kaičiavimu galima udaryti grafiką Šiame grafike urodoma kiekvieo iš darbo užduočių pradžia trukmė o dažai taip pat reikšmigų projekto etapų dato Paregu prelimiarų grafiką užduotim atlikti kiami žmogiškieji kiti ištekliai pvz: kompiuteriai programiė įraga literatūro šaltiiai Tok paktyma gridžiama patagų bei išteklių įverčiai šią veiklą būtia deriti prie grafiko taip kad tie paty ištekliai ebūtų prikti dviem ar daugiau užduočių vieu metu iekiat išvegti tokių kofliktų grafiką dažai teka koreguoti Kadagi įgyvediat projektą viuomet galima uidurti u epalakiai veikiai tam derėtų būti paegu Projektų vadyboje bet kuriuo eigiama paekme turičiu įvykiu priimta vaditi rizikomi Rizikom atpažiti uvokti įvertiti audojama itemiga procea vadiama rizikų aalize Projekto plaa turi apimti rizikų aalizę kartu u rizikų prevecijo mažiimo reagavimo į ja trategijomi Pakutię projekto plao dalį udaro įvaio darbą reglametuojačio taiyklė Pavyzdžiui plae gali būti urodyta audoti kokrečią programię įragą arba taikyti tam tikru aalizė projektavimo metodu Kadagi šio taiyklė dažai yra orgaizaciio tadarto ar bet jau kultūro dali jo gali galioti be atko įrašo projekto plae Įgyvediat jum ktą kuriį projektą jo plae turi būti umatyta audoti MTLB programię įragą vių trijų gradiė kotravimo etapų žr pav metu taip pat gradiių mode-

14 liavimo Multiim programię įragą pakutiiajame gradiė įgyvediimo etape Taigi projekto plaą udaro įverčiai grafika išteklių paktyma rizikų aalizė darbo taiyklė Projekta įgyvediama pagal plaą udaratį darbų atlikimo kotrolė pagridą Projekto orgaizavima Žioma keleta būdų žmoėm uburti į grupe uteikiat jiem įgaliojimu atakomybę Tai vadiama orgaizaciėmi truktūromi Taip pat eama daug būdų kaip grupėm priklauaty žmoė ąveikauja priima predimu dba kartu šie vadiami komadiėmi truktūromi Pavyzdžiui grupė gali atakyti už projektų įgyvediimą uo jų pradžio iki užbaigimo arba atakyti tik už kurią or projekto dalį tarkime reikalavimų kaip pecifikuoti ar projektuoti kuriamąją itemą Pmuoju atveju dbama pagal projektiio orgaizavimo pricipą o atruoju pagal fukciio Kuomet grupė turi vadovą priimatį predimu ktatį darbu predžiatį kofliktu ji vadiama hierarchie Jei tie paty veikmai atliekami remiati dikuijomi ieškat bedro uomoė baluojat turime demokratiė grupė modelį Projektai orgaizuojami atižvelgiat į užduoti kuria reikė atlikti orgaizacijo kultūrą taip pat turimo peroalo gebėjimu įgūdžiu Pavyzdžiui mažai įmoei kurioje dba aukšto kvalifikacijo darbuotojai kurio pecializacija kotruoti vidutiio dydžio itema tika projektiio orgaizavimo truktūra u demokratiėmi grupėmi Prieš imati jum paveto kuriio projekto pmiauiai reikia tikamai uformuoti darbo grupę komadą Rekomeduojama komado dydi keturi žmoė Įvertiat šio kuriio projekto pecifiką komada iūloma orgaizuoti projektiiu pricipu dbti pagal demokratiė grupė modelį Tai reiškia kad atakomybe už projekto vadybą turi dalyti vii komado ariai

15 O techiiam darbui atlikti reikia paiktyti kokrečiomi fukcijomi pačioje projekto pradžioje Tarkime pmai komado ary būtų atakiga už gradiė projektavimą atrai už įgyvediimą trečiai už vio dokumetacijo regimą įkaitat uitikimų protokolu kuriio projekto atakaito juodraščiu galutię jo redakciją Ketvtajam komado ariui tektų atakomybė už pmą jį projekto etapą gradiė pecifikacijo paregimą Tačiau įvertiat šio etapo pecifiką t y būtiybę ekperimetuoti dėl to eišvegiamai dideę tikimybę iš pradžių priimti klaidigu predimu iūloma prie pecifikacijo regimo priidėti viiem komado ariam Galų gale vio projekto ėkmė priklauy uo to ar pavyk deramai tartuoti Projekto įgyvediimo kotrolė Kaip žiia ieka papratai evykta tikliai pagal plaą Todėl varbu uolato tebėti projekto eigą koreguojat darbu reaguojat į rizika jei būtia keičiat patį plaą Įgyvediat projektą gali būti ukryptama uo plao dėl toliau aprašytų priežačių Ištekliai reikaligi užduotim atlikti gali eatitikti umatytų Jei pakaka mažiau išteklių ei iš pradžių tikėtai užduotį galima atlikti akčiau arba paitelkiat mažiau darbuotojų Tuomet galima paaktiti kitų užduočių atlikimą Kita vertu jei preikia daugiau išteklių teka ieškoti papildomų darbuotojų arba taikyti u tuo kad užduoti bu atliekama ilgiau Bet kuriuo atveju reikia būti paegu koreguoti avo įverčiu grafiką Užduoti gali būti atliekama ilgiau ar trumpiau ei tikėtai Blogiauiu atveju užduotie vykdyma viiškai įtriga pvz epavyktat išiaiškiti kodėl badomai maketa veikia e taip kaip turėtų arba aptiku ukiai pašaliamą defektą itemo projektiėje dokumetacijoje Tokio problemo verčia peržiūrėti grafiką įverčiu rizikų aalizė bei reagavimo į ja plau 4

16 Galimi kiti epalakū veikiai pvz ugu varbiam darbuotojui arba atleidu dalį darbuotojų dėl biudžeto mažiimo Jei tokia rizika buvo umatyta galima į ją plaigai reaguoti Priešigu atveju teka ieškoti predimo vietoje dėl ko gali keiti įverčiai grafika išteklių paktyma riziko aalizė Dbat pagal demokratiį modelį vii komado ariai turėtų kotroliuoti kaip įgyvediama kurii projekta Projekto eiga turėtų būti aptariama reguliariuoe komado uikimuoe rekomeduojama bet kartą per avaitę Juoe kolektyviai agriėjamo iškiluio problemo ieškoma būdų jom pręti Eat reikalui gali tekti koreguoti projekto plaą Taip pat patartia iš akto uitarti kuri komado ary galė pavaduoti kitą arį šiam ugu 5

17 pektriė įėjimo igalo aalizė Šiame kyriuje iš pradžių apibrėžiama trigoometriė Furjė eilutė pateikiamo jo koeficietų kaičiavimo formulė Po to PEKTRINƠ ƲƠJIMOtipai IGNLO NLIƠ glautai aptariami igalų imetrijo paaiškiama kuo audiga ši iformacija ieškat upapratito Furjė eilutė kaičiavimo formulė Šiame kyriuje iš pradžiǐ apibrơžiama trigoometriơ Furjơ eilutơ pateikiamo jo koeficietǐ kaiþiavimo formulơ Po to glautai aptariami igalǐ imetrijo tipai paaiškiama kuo audiga ši Periodiių igalų Furjė eilutė iformacija ieškat upapratito Furjơ eilutơ kaiþiavimo formulơ Matematiko vadovėliuoe įrodoma kad bet kokį periodiį igalą galima pavaizduoti tokia Furjėigalǐ eilute: Furjơ eilutơ Periodiiǐ Matematiko vadovơliuoe Ƴrodoma kad bet kokƴ periodiƴ i+ b i ωt + b i ωt + b i ωt + galą galima pavaizduoti tokia Furjơ eilute: xt = a + a co ωt + a co ωt + a co ωt + xt a a co t a co t a co t b i t b i t b i t formulę galima užrašyti glautee išraiška: formulċ galima užrašyti glautee išraiška: f x t = a + xt a aa co co ω tt + bb i i ω tt = čia pmai ary a / yra kotata išreiškiati igalo xt þia pmai ary a / yra kotata išreiškiati igalo xt uouolatię dedamą ją vidutię vertę Taigi jei xt žymi kokią or latiċ dedamąją vidutiċ xt žymi kokiąvi-or įtampą vt arba rovę it taivertċ a / Taigi reiškiajeiįtampo ar rovė Ƴtampą vt arba rovċ i t tai a / reiškia Ƴtampo ar rovơ vidudutię vertę tiċtrigoometriė vertċ Furjė eilutė koeficietai kaičiuojami pagal Trigoometriơ Furjơ eilutơ koeficietai kaiþiuojami pagal šia formule: šia formule: a a xt dt ³ xt co t dt 6 ³ 4

18 tiċ vertċ Trigoometriơ Furjơ eilutơ koeficietai kaiþiuojami pagal Trigoometriơ Furjơ eilutơ koeficietai kaiþiuojami pagal šia formule: šia formule: a xt dt a xt dt 4 4 a xt co t dt 4 a xt co t dt 5 b xt i t dt 5 5 b xt i t dt 5 ³ ³ ³ ³ ³ ³ 5 imetrija trigoometriėe Furjė eilutėe Nepaiat keleto išimčių pavyzdžiui vieo puperiodžio lygituvo išlygito igalo žr pokyrį dažiauiai ižieriių taikymų metu utikami igalai avo Furjė eilutėe eturi vių galimų arių: uolatiė dedamoio koiuiių iuiių arių Kai kurie igalai turi tik koiuiiu ariu o kiti tik iuiiu Būa igalų u uolatie dedamą ja arba be jo Laimei papratai galima umatyti iš kurių arių bu udaryta trigoometriė Furjė eilutė ištyru igalo formą utačiu ar ji paižymi kokia or imetrija ptarime tri imetrijo tipu padedačiu legviau kaičiuoti trigoometrię Furjė eilutę Jei igala yra elygiė fukcija akoma kad ji paižymi elygie imetrija Tokio igalo Furjė eilutė bu udaryta tik iš iuiių arių Kitaip tariat jei xt elygiė fukcija vii koeficietai a įkaitat a lygū uliui Jei igala yra lygiė fukcija akoma kad jam būdiga lygiė imetrija Tokio igalo Furjė eilutė bu udaryta tik iš koiuiių arių o a gali būti arba ebūti lygu uliui Kitaip tariat jei xt elygiė fukcija vii koeficietai b lygū uliui Jei igalui būdiga pubagio imetrija ją apibrėšime etruku jo Furjė eilutėje bu tik elygiė harmoiko tiek koiuiė tiek iuiė Kitaip tariat vio lygiė iuiė koiuiė harmoiko lygio uliui Periodiiam igalui kurio perioda lygu T būdiga pubagio imetrija jei galioja: 7

19 tiek iuiơ Kitaip tariat vio lygiơ iuiơ koiuiơ harmoiko lygio uliui Periodiiam igalui kurio perioda lygu T bnjdiga pubagio imetrija jei galioja: T x t ¹ xt 6 6 Kitaip igalo puperiodžio išraiška yrayra tokia Kitaiptariat tariateigiamo eigiamo igalo puperiodžio išraiška tokia pat puperiodžio tiktik apverta Paagriėkime detapatkaip kaipteigiamo teigiamo puperiodžio apverta Paagriơkime detaliau liaukaip kaiptikriama tikriamadažiauiai dažiauiaiutikamų utikamǐigalų igalǐimetrija imetrija tačiakampio igalo imetrija 6 taþiakampio igalo igalo imetrija taþiakampio imetrija pavaizduoto pav pav vidutiơ vidutiơ vertơvertė per periodą periodą T lygi lygi igalo pavaizduoto pavaizduoto vidutiė per perioigalo pav vertơ per T uliui Todơl Ši aigala igala taipigala pat yra yra taip elygiơ fukcija išidą T lygi uliui pat yra elygiė = Ši uliui Todơl Ši aa Todėl taip pat elygiơ fukcija išifukcija išikiati pubagio imetrija e x t = x t kiati pubagio imetrija e xx tt xxtt kiati pubagio imetrija e x t T / x t x t T / xt xx tt T T ff aa T T ff bb tt T T pav tačiakampio igalo imetrijo tikriima pav pav taþiakampio taþiakampio igalo igalo imetrijo imetrijo tikriima tikriima Pubagio imetriją legva aptikti paiku bet kurią atkarpą Pubagio imetriją imetriją legva legva aptikti aptikti paiku paiku bet bet kurią kurią atkarpą atkarpą Pubagio at laiko ašie lygią vieam puperiodžiui T/ žr pav teat laiko ašie ašie lygią vieam vieam puperiodžiui T/ T/ žr žr pav pav teteat bitlaiko xt vertelygią kaiajame puperiodžiui dešiiajame atkarpo kraštuoe tarbit x t verte kaiajame dešiiajame atkarpo kraštuoe tarkibit kaiajame dešiiajame atkarpo kraštuoe tarkikimextxaverte xb Jei lakiojat miėtą atkarpą išilgai laiko ašie me x a x b Jei lakiojat miơtą atkarpą išilgai laiko ašie me xa lygio xb tik Jei priešigų lakiojat miơtąvertė atkarpą ašie gauamo žeklų tai išilgai igaluilaiko būdiga gauamo imetrija lygio tik tik priešigǐ priešigǐ žeklǐ žeklǐ vertơ vertơ tai tai igalui igalui bnjdiga bnjdiga pubagio gauamo lygio pubagio imetrija imetrija pubagio Jei pav pavaizduotam pavaizduotam igalui igalui ordiaþiǐ ordiaþiǐ aši aši pertumiama pertumiama Jei pav 8 dešiơ ʌ/ ʌ/ radiaǐ radiaǐ kaip kaip parodyta parodyta pav pav ši ši igala igala tampa tampa lygie lygie dešiơ fukcija u pubagio imetrija e x t x t fukcija u pubagio imetrija e xt xt

20 bit xt verte kaiajame dešiiajame atkarpo kraštuoe tarkime xa xb Jei lakiojat miơtą atkarpą išilgai laiko ašie gauamo lygio tik priešigǐ žeklǐ vertơ tai igalui bnjdiga pubagio imetrija Jei pav pav pavaizduotam pavaizduotam igalui igalui ordiačių ordiaþiǐ aši pertumiapertumiama Jei dešiơ ʌ/ radiaǐ kaip parodyta pav ši igala tampa lygie ma dešiė π/ radiaų kaip parodyta pav ši igala tamfukcija u pubagio imetrija pa lygie fukcija u pubagio imetrijae e x t = xt x t T / xt O O pertūmu pertnjmu ordiačių ordiaþiǐ ašį ašƴkampu kampukitokiu kitokiueiei k π/ elygik ʌ/ rad rad k k= igala igalaeturė eturơei eilygiė lygiơeiei elygiė imetrijo ơ imetrijo x t x t x t T 7 T T t t pertumto π/ _ kurio ordiatė pav tačiakampi igala t pav taþiakampi igala kurio ordiatơ pertumto ʌ/ pav taþiakampi igalapertumto kurio ordiatơ pav taþiakampi igala kurio ordiatơ ʌ/ pertumto ʌ/ Pjnjkliio Pjūkliio igalo igalo imetrija imetrija Pjnjkliio igalo imetrija Pjnjkliio igalo imetrija igalo pavaizduoto pav vidutiơ vertơ per periodą T lygi igalo Ši igala uliuiigalo Todơl apavaizduoto taip pat yravertơ elygiơ fukcija pav vidutiơ per periodą T l igalo pav vidutiė vertė per vertơ periopavaizduoto pav vidutiơ per periodą T e lygi pavaizduoto taip Ši Todơl igala taip yra elygiơ taþiau Ši Todơl pat yrataip elygiơ fukcija e fukcija dąx Tt lygi aigala Ši igala pat pat yra elygiė uliui xuliui t auliui pubagio imetrijo: Todėl =aeturi fukcija e tačiau eturi pubagio imetrijo: t xt eturi taþiau pubagio eturi pubagio imetri imetrijo: xxtt T / xtz xtxtaþiau x t T / z x t x t T / z xt x t x t T x t T T T T T _ t _ t T _ T _ 9 T _ pav Pjnjkliio igalo imetrijo tikriima t

21 igalo pavaizduoto pav vidutiơ vertơ per periodą T lygi uliui Todơl a Ši igala taip pat yra elygiơ fukcija e xt xt taþiau eturi pubagio imetrijo: x t T / z xt x t _ T T _ t T _ pav Pjūkliio igalo imetrijo tikriima pav Pjnjkliio igalo imetrijo tikriima Trikampio igalo imetrija Trikampio igalo imetrija Trikampio igalo imetrija igalo pavaizduoto pavaizduoto4 pav 4 pav vidutiơvertė vertơper perperiodą periodąt lygi T lygi igalo 8 vidutiė igalo pavaizduoto 4 pav vidutiơ vertơ per periodą T lygi uliui Todėl Todơl aa= Ši Šiigala igalataip taippat patyra yraelygiė elygiơ fukcija tuuliui fukcija uliui Todơl a Ši igala taip pat yra elygiơ fukcijatu-turiti riti pubagio pubagio imetriją e x t = xt x t T / xt riti pubagio imetriją e xt xt x t T / xt x t x t T T T T tt 4 pav Trikampio igalo imetrijo tikriima 4 pav Trikampio igalo imetrijo tikriima 4 pav Trikampio igalo imetrijo tikriima Dažai paitaikaþiǐ igalǐ Furjơ eilutơ Dažai paitaikaþiǐ igalǐ Furjơ eilutơ taþiakampio igalo trigoometriơ Furjơ eilutơ taþiakampio igalo trigoometriơ Furjơ eilutơ taþiakampio igalo pavaizduoto 5 pav trigoometriơ Furtaþiakampio igalo pavaizduoto 5 pav trigoometriơ Furjơ eilutơ udaryta tik iš iuiiǐariǐ e ši igala yra elygiơ jơ eilutơ udaryta tik iš iuiiǐ ariǐ e ši igala yra elygiơ fukcija Be to Furjơ eilutơje bu tik elygiơ harmoiko dơl to fukcija Be to Furjơ eilutơje bu tik elygiơ harmoiko dơl to

22 t T _ 4 pav Trikampio igalo imetrijo tikriima Dažai paitaikačių igalų Furjė eilutė Dažai paitaikaþiǐ igalǐ Furjơ eilutơ tačiakampio igalo trigoometriė Furjė eilutė taþiakampio igalo trigoometriơ Furjơ eilutơ tačiakampio igalo pavaizduoto 5 pav trigoometriė taþiakampio igalo pavaizduoto 5 pav trigoometriơ FurFurjė eilutė udaryta tik iš iuiių arių e ši igala yra ejơ eilutơ udaryta tik iš iuiiǐ ariǐ e ši igala yra elygiơ lygiė fukcija Be to Furjė eilutėje bu tik elygiė harmoiko fukcija Be to Furjơ eilutơje bu tik elygiơ harmoiko dơl to dėl to kad šiam igalui būdiga dar pubagio imetrija Tačiau kad šiam igalui bnjdiga dar pubagio imetrija Taþiau tam tam kad tuo įitikitumėme ukaičiuoime viu koeficietu kad tuo Ƴitikitumơme ukaiþiuoime viu koeficietu kaiþiakaičiavimam palegviti laikyime kad ω = rad/ vimam palegviti laikyime kad Ȧ = rad/ Koeficietai a radami pagal: Koeficietai a radami pagal: xt co t dt ³ a ª º co t dt co t dt» «¼ ³ i t i t ¹ ³ i i i i i i i 9 x x tt TT t t 5 pav tačiakampi igala kaip elygiė fukcija 55 pav taþiakampi igala kaip elygiơ fukcija pav taþiakampi igala kaip elygiơ fukcija Kadagi Kadagi yra yraveikai veikaikaiþiu kaiþiueigiama eigiamaarareigiama eigiamaarba arba uli 7 formulơje kliautuoe eaty ariai lygnj uliui Todơl uli 7 formulơje kliautuoe eaty ariai lygnj uliui Todơl vii lygnjuliui uliuikaip kaip galima galimatikơti tikơtidơldơlelygiơ elygiơ viikoeficietai koeficietaiaa lygnj

23 5 pav taþiakampi igala kaip elygiơ fukcija 5 pav taþiakampi igala kaip elygiơ fukcija Kadagi yra veikai kaičiu eigiama ar eigiama arba Kadagi yra veikai kaiþiu eigiama ar eigiama arba uli 7 formulėje eaty ariai lygū Todėlarba Kadagi yra kliautuoe veikai kaiþiu eigiama ar uliui eigiama uli 7 formulơje kliautuoe eaty ariai lygnj uliui Todơl vii koeficietai a lygū uliui kaipeaty galima tikėti dėl elygiė uli 7 formulơje kliautuoe ariai lygnj uliui Todơl a imetrijo lygnj uliui kaip galima tikơti dơl elygiơ vii koeficietai tačiakampio igalo vii koeficietai a lygnj uliui kaip galima tikơti dơl elygiơ taþiakampio igalo imetrijo Be to kaipigalo matytiimetrijo iš 5 pav uolatiė igalo dedamoji gi taþiakampio Be totačiau kaip matyti iš 5 pav uolatiơ igalo dedamoji gi lylygi uliui jei mėgitume patikriti pagaldedamoji 7 formube to kaip matyti iš 5 pavtai uolatiơ igalo gi lygigautume uliui Taþiau jei mơgitume taiteka patikriti pagal 7 formulċ lęgi eapibrėžtumą / Todėltai kaičiuoti tieiogiai uliui Taþiau jei mơgitume patikriti pagala7 formulċ gautume eapibrơžtumą / Todơl teka kaiþiuoti a tieiogiai pagal formulę: gautume eapibrơžtumą / Todơl teka kaiþiuoti a tieiogiai pagal formulċ: pagal formulċ: ª º 8 a ª«dt dt º» 8 8 a «dt dt»¼ ¼ Koeficietai radamipagal pagal5 5formulę: formulċ: Koeficietaibbradami Koeficietai b radami pagal 5 formulċ: ª º b xt i t dt ª«i t dt i t dt º» b xt i t dt «i t dt i t dt»¼ ¼ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ co t co t co t co t coco coco co co ¹ ¹ co coco co Lygiơm vertơm pagal 9 formulċ: Lygiơmvertėm vertơmpagal pagal9 9 formulċ: Lygiėm formulę: bb + = b = π To Tobuvo buvogalima galimatikơti tikơtie etaþiakampiui taþiakampiuiigalui igaluibnjdiga bnjdigapupubagio imetrija bagio imetrija To buvo galima tikėti e tačiakampiui igalui būdiga pukai elygii Kai elygii9 9formulơ formulơtampa: tampa: bagio imetrija tampa: Kai elygii 9 formulė 44 bb Taigi Taigi bb bb b5b

24 b To buvo galima tikơti e taþiakampiui igalui bnjdiga pubagio imetrija Kai elygii 9 formulơ tampa: 4 b = + + =4 π π b Taigi Taigi b4 = b4 = b54 = π b π b π b5 5 5 Taigi tačiakampio igalo kuriam būdiga elygiė imetrija Taigi taþiakampio igalo kuriam bnjdiga elygiơ imetrija trigoometriė Furjė eilutė yra tokia: trigoometriơ Furjơ eilutơ yra tokia: 4 4 xxtt= 4 i ωt + i ωt + i 5ωt + = 4 i ωt π i t i t 55 i 5t ¹ π elyg i t elyg Kaip jau Kaip jau miėta miơta jei jeiigalui igaluibūdiga bnjdigapubagio pubagioimetrija imetrija yra yra lygiė arba elygiė fukcija galima itegruoti uo iki π/ palygiơ arba elygiơ fukcija galima itegruoti uo iki ʌ/ padaugiti itegralą itegralą iš iš 4 4 Šią Šią avybċ avybę galima galima patikriti patikrititaip taip daugiti Kadagi agriėjamai Kadagi agriơjamai igala igala yra yra elygiė elygiơfukcija fukcijauupupubagio imetrija mu domia domia tik tik elygiiai elygiiai koeficietai koeficietai b: : / 4 4 co t co ¹ ¹ Nelygiėm vertėm pataroji lygti tampa tokia: / b 4 xt i t dt ³ b = 4 + = 4 π π Kaip matome gavome tą patį rezultatą Dabar paagriėkime 6 pav pavaizduotą tačiakampį igalą gautą pertūmu ordiačių ašį dešiė π/ radiaų Tok pertūmima paverčia igalą lygie fukcija or pubagio imetrija išlieka Todėl trigoometriė Furjė eilutė bu udaryta tik iš elygiių koiuiių arių

25 ma paverþia igalą lygie fukcija or pubagio imetrija išliema pertnjmu paverþia igalą lygie pubagio imetrija išliegautą ordiaþiǐ ašƴfukcija dešiơ or ʌ/ radiaǐ Tok pertnjmika Todơl trigoometriơ Furjơ eilutơ bu udaryta tik iš elygiiǐ kapaverþia Todơl trigoometriơ eilutơ bupubagio udaryta imetrija tik iš elygiiǐ ma igalą lygie Furjơ fukcija or išliekoiuiiǐ ariǐ ariǐ kakoiuiiǐ Todơl trigoometriơ Furjơ eilutơ bu udaryta tik iš elygiiǐ koiuiiǐ ariǐ x t x t x t T T T tt t _ 6 tačiakampi pav taþiakampi igala kaip lygiơ fukcija 6 pav igala kaip lygiė fukcija 6 pav taþiakampi igala kaip lygiơ fukcija 6 pav taþiakampi igala kaip lygiơ fukcija Kadagi igala yra lygiơ fukcija u pubagio imetrija pakadagiigala igalayra yra lygiė lygiơ fukcija fukcija u pubagio imetrija Kadagi imetrija pakaka itegruoti uo iki ʌ/ padaugiat itegralą iš 4 Koeficiekaka itegruoti uo iki ʌ/ itegralą Kadagi igala yra lygiơ fukcija u pubagio papakaka itegruoti uo iki π/padaugiat padaugiat itegraląišimetrija iš44koeficiekoefitai a radami pagal: pagal: tai aitegruoti kaka uo iki ʌ/ padaugiat itegralą iš 4 Koeficiecietai aradami pagal: radami tai a radami pagal: / / 4 / 4 / 4 a 4 / xt co t dt 4 / co t dt 4 i t a x t co t dt co t dt i t / / / ¹ a x t co t dt co t dt i ¹ t ¹ 4 4 i i ¹ 4 ¹ i Galima patebėti kadlygiėm ¹ vertėm vii koeficietai a lygū uliui Todėl kaip tikėtai vio lygiė harmoiko lygio uliui Be to iš 6 pav matyti kaduolatiė dedamoji lygi Kai elygii iš formulė matyti kad kliautuoe ea ti ary bu lygu + arba priklauomai uo vertė Taigi ³ ³³ ³ ³³ a = ± 4 π Kai = 5 9 formulė tampa a = 4 π 4

26 o kai = 7 5 galioja a = 4 π Taigi tačiakampio igalo turičio lygię imetriją trigoometriė Furjė eilutė yra tokia: xt = 4 co ωt co ωt + co 5ωt π 5 = 4 co ωt π elyg Pjūkliio igalo trigoometriė Furjė eilutė Kadagi 7 pav pavaizduota pjūklii igala yra elygiė fukcija be pubagio imetrijo jo pektra udaryta tik iš iuiių arių lygiių elygiių Todėl reikia ieškoti tik vių koeficietų b Iš 7 pav matyti kad igalo uolatiė dedamoji lygi uliui Laikykime jog ω = rad/ Pariku itegravimo riba uo iki π reikė apkaičiuoti du itegralu e t xt = π t π 5 t < π π t < π

27 d t t d t xt t xt t d t d t t x t x t T T t t 7 pav Pjūklii igala 7 pav Pjnjklii igala 7 pav Pjnjklii igala Tačiau uo π ʌ ikiiki + π+ pakaka ap- aptaþiaupariku parikuitegravimo itegravimoriba riba uo ʌ pakaka Taþiau pariku itegravimo riba uo ʌ iki + ʌ pakaka apkaičiuoti vieą itegralą: kaiþiuoti vieą itegralą: kaiþiuoti vieą itegralą: xt = t πd t < π xt t π d t Darpatogiau patogiaubūtų bnjtǐ išaudojat elygiơ fukcijo avybċ Dar išaudojat elygiė fukcijo avybę i- idar patogiau bnjtǐ išaudojat elygiơ fukcijo avybċ tegruotiuo uo iki ikiπʌpadaugiti padaugitiitegralą itegraląišištą Tąpadaryime padaryimeitegruoti tegruoti uo iki ʌ padaugiti itegralą iš Tą padaryime itegralǐletelių leteliǐradame radametokią tokiąformulę: formulċ: IšIšitegralų Iš itegralǐ leteliǐ radame tokią formulċ: x x i ax dx i axx co ax ax co a ax x i ax dx i a a a Tuomet Tuomet Tuomet ³ ³ t t t dt t dt i i t t coco t t b b t it i t dt t it i t dt ¹ ¹ ³ ³ ³ ³ 4 t co co i i 4 i i co 4 t ttco t t 4 4 Remiati 4 išraiška galima patebơti: Remiati 4 išraiška galima patebơti: Jei yra lygii o co 4 Tuomet Jei yra lygii i i o co 4 u- u Tuomet papratơja papratơja iki iki 6 b b

28 Remiati 4 išraiška galima patebėti: Jei yra lygii i π = o co π = Tuomet 4 upapratėja iki b = π π = π Taigi lygiė harmoiko turi eigiamu koeficietu Jei yra elygii i π = o co π = Tuomet 4 upapratėja iki tu b = π π = π Kitaip tariat elygiė harmoiko turi teigiamu koeficie- Tuo būdu elygię imetriją turičio pjūkliio igalo trigoometriė Furjė eilutė yra tokia: xt = i ωt i ωt + i ωt i 4ωt + π 4 = π i ωt 5 Vieo puperiodžio lygituvo išlygito iuiio igalo trigoometriė Furjė eilutė Iš 8 pav matyti kad igala turi uolatię dedamą ją ėra ei imetriška ei atiimetriška Todėl tikėtia kad tokio igalo Furjė eilutėje bu vii ariai Koeficietai a ieškomi pagal tokią formulę: a xt co t dt ³ i t co t dt u co t dt ³ x t ³ 7

29 a xt co t dt a xt co t dt ³ ³ t co t dt ³ u co t dt ³ ³i i t co t dt ³ u co t dt x txt t t 88 pav Vieo puperiodžio lygituvo išlygita iuii igala pav Vieo puperiodžio lygituvo išlygita iuii igala 8 pav Vieo puperiodžio lygituvo išlygita iuii igala IšIšitegralǐ itegralųletelơ: letelė: Iš itegralǐ letelơ: com x com x i mxco x dx com x com x m z i mxco x dx m m m z m m Tuomet Tuomet Tuomet ½ ª co t co t º π ½» t º¾ a ª co tt co + t a ««co co a = + ¼»¼ ¾ π + º½ ª co co º ª ¾ º ½ 6 «ª co co» º«ª π π co π + ¼π» ¼» ¾ 6 «co = ¼ + ¼ 6 + π + tapatybơmi + Paiaudoju tokiomi trigoometriơmi Paiaudoju tokiomi trigoometriơmi tapatybơmi co x y co x co y i x i y co x y trigoometriėmi co x co y i x i y Paiaudoju tokiomi tapatybėmi: co x y co x co y i x i y co x y co x co y i x i y co x y = co x co y + i x i y gauama: gauama: co co xi yi i co co yco co co =co i y co x +co co i i x ³ ³ co co co i i co gauama:co co co i i co Ʋtaþiu šia išraiška Ƴ 6 formulċ Ʋtaþiu šia išraiška Ƴ 6 formulċ coπ π = co π co π + i π i π = co π coπ + π = co π co 6π 6i π i π = co π 8

30 Įtačiu šia išraiška į 6 formulę co co π + co co π º ½ aa = ª ª co co º ½ a π ««+»»¼ ¾ ¾ ¼ co π co co ½ ª co + co πº º» + ½ ¾ = ª «co ¾ π «+»¼ ¼ Tai galima perrašyti taip: Tai Taigalima galimaperrašyti perrašytitaip: taip: co co co co co π + co π + co π co π a a = + ¹ π ¹ co co π + z 7 7 = ¹ z 7 π ¹ išremiati 7formule formule galimarati rati viu koeficietu Remiati koeficietu aaa išremiati7 7 formulegalima galima rati viu koeficietu kyru a Įtatę ƲtatĊ = gauame: gauame: iškyru kyru aa ƲtatĊ gauame: a = a π Taigi uolatiơ dedamoio vertơyra: yra: Taigi Taigiuolatiė uolatiơdedamoio dedamoiovertė vertơ yra: a = 8 8 a 8 π Koeficietui a rati vietoj 7 formulơ taikymo teka kaikoeficietui 7 formulė taikymo teka kai rativietoj Koeficietuiaarati vietoj 7 formulơ taikymo teka kaičiuoti þiuotiitegralą: itegralą: þiuoti itegralą: a i t co t dt a i t co t dt Išitegralų itegralǐ letelơ: IšIš itegralǐletelė: letelơ: i axco ax dx i ax i axco ax dx a i ax a Tuomet Tuomet ³³ ³³ 9 7

31 Tuomet π 9 a i t 9 aa = i itt = 9 9 a π i t tatat 4 5 ƳƳ 7 7 formulċ formulċ gauama tatat gauama tatat = 4455 į 7 formulę gauama tatat 4 5 co Ƴ 7 formulċ gauama co co π + a a = a ¹ = co π π a ¹ co ¹ coπ+ co aaa = = πco a vertơm a Taþiau kai Matome kad eat elygiơm Matome Matomekad kadeat eatelygiėm elygiơmvertėm vertơm aa= Tačiau Taþiaukai kai yra lygii gauama: yra yralygii lygii gauama: Matome kad eat elygiơm vertơm a Taþiau kai gauama: yra lygii gauama: co 4 co 4 aa co a4 5 4 co66 co aa co 6 6 a t t tt tt reikiaapkaičiuoti apkaiþiuotikoeficietu koeficietubbbnagriėjamojo NagriơjamojoigigaToliau reikia apkaiþiuoti koeficietu ttoliau ttoliaureikia Nagriơjamojo igaalo atveju: lo atveju: atveju: Toliau reikia apkaiþiuoti koeficietu b Nagriơjamojo igalo lo atveju: it t dt dt i itti it t dt dt uui it t dt dt bb xxtti b xt i t dt i t i t dt u i t dt itegralǐ Iš letelơ: Iš itegralǐ letelơ: IšIšitegralų itegralǐletelė: letelơ: i m x i m x i mx i x dx i m x i m x m mzz i mxi x dx m m mm x i mm x m z mxi x dx i i m m Taigi Taigi ³³ ³ ³³ ³ ³³ ³ ³³ ³ Taigi ½ itt i itt º ½ ªi ª º bb uu «»¼ ¾¾½ ª i t i t¼º u b ¾»¼ «8 8

32 Taigi π i t i + t b = π + i π i + π = + = ªπi i + º z» «¼ Taiyra yra vii vii koeficietai Tai koeficietai bb iškyru iškyru bb lygū lygnjuliui uliuikoeficikoefietą b radame kaičiuodami itegralą: cietą b radame kaiþiuodami itegralą: b i t dt ³ ª t i t º 4»¼ «ª i º 4»¼ «4 ujugċ Ƴ vieą 8 4 išraiška gauame galuujugę į vieą 8 4 išraiška gauame galutiċ formulċ 8 pav pavaizduoto atiimetriio igalo trigoomettię formulę 8 pav pavaizduoto atiimetriio igalo trigoomeriei Furjơ eilutei kaiþiuoti: triei Furjė eilutei kaičiuoti: co t xt i t co 4t 5 xt = + i ωt co ωt + co 4ωt π π 5 5 co 6t 7 9 co 8t co 6ωt + co 8ωt +¹ Periodiio igalo pektro kaiþiavimo pavyzdy 4 Periodiio igalo pektro kaičiavimo pavyzdy Rakite 9 pav pavaizduoto igalo kleidiio trigoometrie Furjơ eilute pmuoiu peki ariu Rakite 9 pav pavaizduoto igalo kleidiio trigoometrie predima Furjė eilute pmuoiu peki ariu Kadagi agriơjamai igala eturi imetrijo jo kleidiyje Furjơ predima eilute bu ariǐ tiek u koiuo tiek u iuo fukcija Iš 9 pav taip patagriėjamai matyti kad uolatiơ dedamoji jo ebu lygi Kadagi igala igalo eturi imetrijo kleidiuliui yje Furjė eilute bu arių tiek u koiuo tiek u iuo fukcipkaiþiuoime koeficietu a b bei uolatiċ dedamąją a / co t dt co t dt / ³ ³

33 9 pav pavaizduoto igalo kleidiio trigoometrie FurjơRakite eilute pmuoiu peki ariu Furjơ eilute pmuoiu peki ariu predima predima Kadagi agriơjamai igala eturi imetrijo jo kleidiyje Kadagi agriơjamai eturi jo fukcija kleidiyje Furjơ eilute bu ariǐ tiek uigala koiuo tiekimetrijo u iuo Iš jafurjơ Iš 9 pav taip pat matyti kad uolatiė igalo dedamoji ebulygi eilute bu ariǐ tiek u koiuo tiek u iuo fukcija Iš 9 pav taip pat matyti kad uolatiơ igalo dedamoji ebu lygi uliui 9 pav taip pat matyti kad uolatiơ igalo dedamoji ebu lygi uliui pkaičiuoime koeficietu b bei uolatię dedamą ją uliui pkaiþiuoime koeficietuaa b bei uolatiċ dedamąją pkaiþiuoime koeficietu a b bei uolatiċ dedamąją / a / co t dt co t dt a co t dt / co t dt / / i t / i t i i i t / i i i t / ³ ³ ³ ³ 9 π 9 π = i = i i π i π 6 6 x t t 9 pav Periodii igala 9 pav Periodii igala Kaip matyti matytiišiš6 6lygtie lygtielygiơm lygiėm vertơm vertėma a = O O Kaip e elygiėm vertėm: lygiơm vertơm: 7 7 aa = π aa = π Nuolatiơ dedamoji radama taip: a / dt dt / ³ ³ / t t / ¹

34 Kaip matyti iš 6 lygtie lygiơm vertơm a O ekaip matyti iš 6 lygtie lygiơm vertơm a O elygiơm vertơm: lygiơm vertơm: 7 a a 7 a a Nuolatiė dedamoji radama taip: Nuolatiơ dedamoji radama taip: Nuolatiơ dedamoji radama taip: / / dt dt t t a / a / dt / dt t t / ¹ / / ¹ π π = + π = 8 8 π ¹ 8 ¹ Koeficietai Koeficietaibbradami radamitaip: taip: Koeficietai b radami taip: / a i t dt i t dt / / a i t dt i t dt / ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ / co t co t / co co co π co 9 co π + co = co π = 9 π π π π Tuomet b b b4 b = b = b = b4 = Remiati komplekiiǐ kaiþiǐ avybơmi galima užrašyti toπ π π π kią tapatybċ: Remiati komplekiių kaičių avybėmi galima užrašyti f f tokią b b tapatybę: a c co t arctg a c arctg a ¹ a b b a + c co ωt arctg a + c arctg þia = a a = b b c arctg a b arctg a a Tuomet b Taigi kai a b T a jb

35 Remiati Remiati komplekiiǐ komplekiiǐ kaiþiǐ kaiþiǐ avybơmi avybơmi galima galima užrašyti užrašyti totokią tapatybċ: Remiati komplekiiǐ kaiþiǐ avybơmi galima užrašyti tokią tapatybċ: kią tapatybċ: tapatybċ: kią f f b b f f a c t a co arctg f f c arctg b b f f aa cc aa cc co abb ¹ abb tt arctg arctg arctg co arctg a c t a c arctg co arctg aa ¹ aa a ¹¹ a čia þia þia þia b b þia c arctg b = a + b arctg b c arctg ba a b arctg ba b b cc aa bb arctg aab arctg aab arctg arctg c arctg a b arctg a a a a a b T a jb aa bb T a jb TT aa jb jb a b Taigi kai Taigi kai = Taigi Taigi kai kai Taigi kai a jb j 45q jj ¹ ¹ 45qqq jb 45 aaa jb j 45 jb ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ q 45q co t 45q qqq 45 45qqq co co ttt 45 45qqq co 45 Paašiai radami ariai atitikaty 4 : Paašiai radami ariai atitikaty Paašiaadami radami ariai ariaiatitikaty atitikaty= 4:444::: Paašiai Paašiai radami ariai atitikaty a jb j 9q co t 9q co jj 9 qq tt 9 qq jb 9 co 9 aaa jb jb j 9q co t 9q j a jb a jb j a jb j 4 5q co t 5q 4 5q co t 5q 4 4 5q co t 5q a4 jb4 j 9q co 4t 9q 5 a4 jb4 j 9q co 4t 9q 5 a4 jb4 j 9q co 4t 9q reiškiƴ gauame agriujugċ 8 Ƴ vieą ujugċ 8 5 Ƴ vieą reiškiƴ gauame agriơjamo igalo kleidiƴ trigoometrie Furjơ eilute: ujugę 8 5 į vieą reiškiį gauame agriujugċ 8 5 Ƴ vieą reiškiƴ gauame agriơjamo igalo kleidiƴ trigoometrie Furjơ eilute: ėjamojo igalo kleidiƴ kleidiį trigoometrie Furjė eilute: ơjamo igalo trigoometrie Furjơ eilute: xt co t 45q co t 9q xt co t 45q co t 9q xt co t 45q co t 9q º 6 co t 5q co 4t 9q º» 6 co t 5q co 4t 9q º»¼ 6 co t 5q 4 co 4t 9q»¼ ¼» >>> 5 Periodiio igalo harmoikǐ perešamo galio kai-

36 5 qt 9q 5 4 a4 jb4 j 5q 9qco tco 4 a4 jb4 j 9 q co 4t 9q 5 reiškiƴ gauame agriujugċ 8 5 Ƴ vieą a4 jb4 8 j 5 9qƳ 4t 9q agri5 ujugċ vieą co reiškiƴ gauame ơjamo igalo kleidiƴ Furjơ trigoometrie eilute: ơjamo igalo kleidiƴ trigoometrie Furjơ eilute: 5 Ƴ vieą reiškiƴ gauame agriujugċ 8 xt co t 45q co t 9q t kleidiƴ co t 45q Furjơ co eilute: t 9q ơjamoxigalo trigoometrie º xt co t 5 coqtco 45q4co 9º»q t 9 6 qt co t 5q co 4t 9q»¼ 6 6 ¼»º 6 coigalo t 5 q co 4perešamo t 9q»galio 5 Periodiio harmoikǐ kai 5 5Periodiio Periodiioigalo igaloharmoikǐ harmoikųperešamo perešamo»¼galio galiokai- >> > þiavimo pavyzdy þiavimo pavyzdy kaičiavimo pavyzdy kokią harmoikǐ dalƴ pavperešamo pavaizduoto igalo vi t 5pkaiþiuokite Periodiio igalo galio kaipkaiþiuokite kokią dalƴ pav pavaizduoto igalo vi t kurio galio pereša pmoio pekio harmoiko pavyzdy pkaičiuokite kokiąþiavimo dalį pav pavaizduoto igalo v t i kurio galio pereša pmoio pekio harmoiko kurio predima harmoiko = galio pereša pkaiþiuokite kokiąpmoio dalƴ pekio pav pavaizduoto igalo vi t kuriopredima matyti galio pmoio harmoiko vi t perioda Kaip iš pereša pav igalopekio T EfektiKaip matyti iš pav igalo vi t perioda T Efektipredima ơ igalo vertơ ieškoma pagal formulċ: predima ơ igalo vertơ išieškoma pagal formulċ: vi t perioda T = π EfektiKaip matyti pav igalo v t perioda T EfektiKaipvertė matyti iš pagal pavformulę: igalo T ė igalo ieškoma i T vt dt Veff 7 ơ igalo vertơ ieškoma vt dt Veff pagal 7 T formulċ: T T Tuomet Veff vt dt 7 Tuomet 7 T ª º Veff vt d t ª d t d t º Tuomet Tuomet Veff vt d t ««d t d t»»¼ ¼ ª º Veff πvt d t «π d t π d t» Veff = vt d ωt = d ωt + d ωt ¼ π π π ³³ ³ ³³ ³³ ³ ³ π = ωt + ωt π π ³³ ³ = π = π π Taigi Veff = 5 8

37 «ª ª º º t t»»» «««t t t t» ¼»»»º «««ª ««t t ¼» ¼»» Taigi Veff «¼» TaigiVVeffeff «Taigi Taigi Veff vvi vt t t _ 8 T TT ii vi t T t t t t _ pav Įėjimo igala pav Ʋơjimo igala pav pavʋơjimo Ʋơjimoigala igala igalo vviitt kleidiiui kleidiiui Furjė audojama igalo Furjơ eilute audojamatokia tokiaefektiė efektiơ paveilute Ʋơjimo igalo kleidiiui Furjơ eiluteigala audojamatokia tokiaefektiơ efektiơ igalo vivt Furjơ eilute audojama i t kleidiiui vertė kaičiavimo formulė: vertơ kaiþiavimo formulơ: vertơ kaiþiavimo formulơ: Furjơ eilute audojama tokia efektiơ vertơ kaiþiavimo igalo vi t formulơ: kleidiiui vertơ kaiþiavimo Veff Vformulơ: 9 Im I m INm I I mm I INm 9 9 VVeffeff VV IIm 9 m Nm Veff dedamoji V IIm N-oio I m harmoiko I Nm amplitudơ 9 þia V uolatiơ þiavvv uolatiė uolatiơdedamoji dedamoji N-oio harmoiko amplitudơ Nm þia uolatiơ I INm N-oio harmoiko amplitudơ čia harmoiko amplitunm igalo kleidiio atveju: dė Nagriơjamojo igalokleidiio kleidiio atveju: harmoiko amplitudơ igalo atveju: þia Nagriơjamojo VNagriơjamojo uolatiơ dedamoji I Nm N-oio Nagriėjamojo igalo kleidiio atveju: 4 igalo atveju: kleidiio VNagriơjamojo eff Veffeff ¹ 5 ¹ V 5 5 ¹ ¹ ¹ ¹ 4 V eff 8 4 rezultatu pmoio matome kad PalygiĊ perezultatu matome ¹ 5¹ PalygiĊ8 84 4rezultatu matome kadpmoio pmoiopepepalygiċ kad kio igalo harmoiko pereša 97 % galio kio igaloharmoiko harmoiko pereša 97%%matome galio kad pmoio pekio igalo pereša 97 galio Palygię 4 rezultatu PalygiĊ8 8 4 rezultatu matome kad pmoio pekio igalo harmoiko pereša 97 % galio kio igalo harmoiko pereša 97 % galio 6

38 gradiė fukcijo kaičiavima filtrai -oio eilė ŽDF dažiė amplitudė charakteritika aprašoma tokia formule: H jω = ω + ωc Ši formulė rodo kad kai ω = koeficieta H j lygu vieetui o kai ω = ωc H jωc = / arba db Taigi kai ω = ωc tipriimo koeficieta umažėja kartų Normuotoji fukcija Filtrų projektavimą patogiauia pradėti uo ormuotojo kurio ribii daži ωc = rad/ fukcijo H užrašymo Tokio DCh aprašoma upapratita formule: H jω = + ω Keičiat parametro vertę gauama ormuotoio fukcijo DCh kreivių šeima Iš jo paiku reikiamą kreivę galima gauti fukciją H bet kuriai pageidaujamai ωc vertei Tam reikia tik pakeiti dažio ašį H išraiškoje kitamą jį keičiat dydžiu / ωc 7

39 Normuotojo ŽDF dažiė amplitudė charakteritiko H jω eat įvaiom vertėm pateikto pav Iš šio paveiklo matyti: DCh mažėja mootoiškai Be to pmoio šio charakteritiko išvetiių lygio uliui kai ω = Dėl šio priežatie charakteritika vadiama makimaliai plokščia kai ω = Tiea or idealiojo ŽDF atveju DCh išlieka patovi viame dažių diapazoe ω < aprokimacija iekia išlaikyti šią avybę bet jau tie koordiačių pradžia Viom vertėm Filtro koeficieta lygu db kai ω = 77 db kai ω = rad/ Didėjat DCh artėja prie idealiojo charakteritiko H j id e a l u i 77 =8 = = = =4 pav Normuotojo ŽDF ŽDF dažiė amplitudė charakteritika pav Normuotojo dažiơ amplitudơ charakteritika Norit rati atitikamą fukciją H reikia padau DCh mažơja mootoiškai Be to pmogiti H jω iš jai jugtiė komplekiė H jω : io šio charakteritiko išvetiiǐ lygio uliui kai Dơl šio H jω H jωcharakteritika = H jω = vadiama makimaliai priežatie + ω plokšþia kai Tiea or idealiojo ŽDF atveju DCh išlieka patovi viame dažiǐ diapazoe aprokimacija iekia išlaikyti šią avybċ bet jau8tie koordiaþiǐ pradžia Viom vertơm Filtro koeficieta lygu db kai 77 db kai Ȧ = rad/

40 Į šią lygtį įtačiu = jω gauama: H H = H jω = + / j H H poliai lygū: H H poliai lygnj: H H poliai lygnj: = j j PaiaudojĊtapatybe tapatybe = e jeπ jk keat eat veikoiom k verpaiaudoję veikoiom k verjπj / / e j k eat veikoiom k verpaiaudojċ tapatybe tėm galimeužrašyti: užrašyti: tơmtuo tuokad kad j j= e e galime j / tơm tuo kad j e galime užrašyti: e jj kk k veikai k e j k k veikai k e jj k e Iš šio lygtie galima rati H H poliu: IšIššio poliu: poliu: šiolygtie lygtiegalima galimarati ratihh H H j k k k Vadiai viǐ vektoriǐ jugiaþiǐ kiekvieą iš poliǐ u koordivadiai viǐ vektoriǐ jugiaþiǐ kiekvieą iš poliǐ koordiaþiǐ pradžiavių moduliai lygnj vieetui Kitaip tariat poliaiu Vadiai vektorių jugiačių kiekvieą iš polių uišidơtċ koaþiǐ pradžia moduliai lygnj vieetui Kitaip tariat poliai išidơtċ radiaǐ at vieetiio pidulio apkritimo plokštumoje ka / ordiačių pradžia moduliai lygū vieetui Kitaip tariat poliai at vieetiio pidulio apkritimo plokštumoje / radiaǐ kaip parodyta a pavpidulio elygiơm vertơm ka bpav lygiišidėtę at vieetiio apkritimo plokštumoje ka kaip parodyta a pav elygiơm vertơm b pav H yra tabili priežatiơ jo poliai turi bnjti ơm Kadagi π / radiaų kaip parodyta a pav elygiėm vertėm lygih yra tabili priežatiơ jo poliai turi bnjti ơm Kadagi puplokštumơje tabili priežatiė b pav lygiėm Kadagi H yra išidơtċ kaiojoje H atitikaty poliaijoraišidơtċ kaiojoje H atitikaty poliai turi būti kaiojoje H poliai atiti-rak išidėtę puplokštumơje Ƴ puplokštumėje lygtƴ: dami tatat k tatat kƴ dami tatat katy poliai radami = lygtƴ: į lygtį: k co k j i k 4 4 k co k j i k 4 Tuomet H galima užrašyti taip: galimaužrašyti užrašytitaip: taip: TuometHH Tuomet galima H 5 H = 5 5 Pavyzdžiui kai 4 pagal 4 lygtƴ radame kad H popavyzdžiui kai 4 pagal 4 lygtƴ radame kad H poliai išidơtċ kampai 5ʌ/8 7ʌ/8 9ʌ/8 ʌ/8 Kaip parodyta liai dišidơtċ kampai 5ʌ/8 7ʌ/8 9ʌ/8pidulio ʌ/8 Kaip parodyta pav poliai išidơtċ at vieetiio apkritimo o ma d pav poliai išidơtċ at vieetiio pidulio apkritimo o matematiškai jie užrašomi taip: 9 tematiškai jie užrašomi taip: 87 r j r j 87

41 Pavyzdžiui kai = 4 pagal 4 lygtį radame kad H poliai išidėtę kampai 5π/8 7π/8 9π/8 π/8 Kaip parodyta d pav poliai išidėtę at vieetiio pidulio apkritimo o matematiškai jie užrašomi taip: _ a 87 ± j ± j 87 / / / b pav Normuotojo ŽDF fukcijo polių pav Normuotojo ŽDF fukcijo poliǐ išiišidėtyma kai elygii a lygii b dơtyma kai elygii a lygii b Taigi Taigigalutiơ galutiė HH išraiška išraiškayra yratokia: tokia: H H = 87 j j j j j j j j 87 = = Tą paþią procednjrą galima audoti ieškat H atitikaþią bet kurią vertċ Bedruoju atveju: 4 H 6 B a a

42 Tą pačią procedūrą galima audoti ieškat H atitikačią bet kurią vertę Bedruoju atveju: H = = B + a + + a + 6 čia B -oio eilė polioma Įvaia verte atitikaty koeficietai a a a a pateikti letelėje O letelėje pateikti poliomai B iškaidyta išraiška Kaip matyti iš abiejų letelių kaib= 4iškaidyta ormuotoio letelơje pateikti poliomai išraiška per matyti išišraiško abiejǐ leteliǐ kai prieš 4 ormuotoio davimokaip fukcijo patvtia tai gautą rezultatą fukcijo išraiško patvtia prieš tai gautą rezultatą a b _ /4 /4 / _ /4 c d pav Normuotojo ŽDF fukcijo polių pav Normuotojo ŽDF fukcijo poliǐ išiišidėtyma kai a = b = c = d = 4 dơtyma kai a = b = c = d = 4 H išraišką galima gauti audojat MTLB fukciją H išraišką galima gauti audojat MTLB fukciją [zpk]=buttap taip iš karto radami ormuotojo -oio eilơ Ba[zpk]=buttap taip iš karto ormuotojo eilė poliai uliai radami koeficieta-oio Pavyzdžiui orit rati ketvtoio eilơ poliu uliu koeficietą audojama ši fukcija: 4 8

43 tervorto poliai uliai koeficieta Pavyzdžiui orit rati ketvtoio eilė poliu uliu koeficietą audojama ši fukcija: [zpk]=buttap4 Įvykdžiu komadą MTLB pateikia tokį rezultatą: z = [] p = i i i i k = Dažio keitima Nor letelėe pateikti duomey tika tik ormuotieiem filtram u ribiiu dažiu ωc = rad/ šiuo duomei galima pritaikyti bet kuriai ωc vertei kitamą jį pakeitu kitamuoju / ωc Tai reiškia kad kitamai ω lygtyje pakeičiama ω / ωc letelė poliomo koeficietai a a a a4 a5 a

44 letelė poliomai iškaidyta išraiška B Pavyzdžiui atroio eilơ+ kurio atroio galima eilơ gauti kurio rad/ koeficietu iš letelơ pakeitu Ȧc =Pavyzdžiui Pavyzdžiui eilė kurio ωc = rad/ rad/ atroio koeficietu galima gauti iš letelơ pakeitu Ȧ /: c= pakeitu /: koeficietu galima gauti iš letelė /: H 7 4 H lygtimi aprašomo DCh H j yra idetiška orjyra yra idetiška or7lygtimi lygtimiaprašomo aprašomo 7 H H jω idetiška or-horimuotajai charakteritikai H DCh išplơtai kartǐ išilgai jdch muotajai charakteritikai kartų išilgai horimuotajai charakteritikai išplơtai kartǐ išilgai hori jωj išplėtai zotalioio Ȧ ašie HH zotalioio ω ašie zotalioio Ȧ ašie Filtro eilơ utatyma Filtro eilė utatyma Filtro eilơ utatyma Jei G x žymi ŽDF koeficietą decibelai JeiGG xžymi žymi ŽDF koeficietą decibelai x remiati lygtimi atitikatƴ kampiƴ dažƴ ŽDF tai Jei koeficietą decibelai x taemiati remiati lygtimi lygtimi atitikatƴkampiį kampiƴdažį dažƴ ω= ω x tai atitikatį x ª º G x lg H j x lg ª«x º» G x lg H j x lg ««xc ¹»»¼ «c ¹» ¼ Ʋtaþiu Ƴ šią lygtƴ urodyta koeficieto G p eat Įtačiu lygtį urodyta koeficieto G Geat Ʋtaþiuį šią Ƴ šią lygtƴ urodyta koeficieto eat dažiui p koeficieto G eat dažiuip p verte dažiui ω p koeficieto G eat dažiui ω verdažiui p koeficieto G eat dažiui verte tegauama: gauama: gauama: ª º p G p lg ª«º» p G p lg ««c ¹»»¼ «c ¹» ¼ 4 4

45 44 lg ω ω + = c G Šia dvi lygti galima perrašyti taip: / = ω ω p G c p 8a / = ω ω G c 8b Padaliju 8b lygtį iš 8a gauama: / / = ω ω p G G p Iš šio lygtie galima išreikšti : / lg / lg / / p G G p ω ω = 9 Iš 8a lygtie taip pat matyti kad: / / G p c p ω = ω O remiati 8b lygtimi alteratyvi kaičiavimo formulė yra tokia:

46 ª G p / º» «¼ O remiati8b lygtimi alteratyvi kaiþiavimo formulơ yra tokia: c = 6 9 r a d / a d / = 6 9 r cc / G ŽDF / pecifikacijo 4 pav DCh º ª 4 pav ŽDFpecifikacijo DCh» «¼ H HH jjj pavyzdy pavyzdy pavyzdy uprojektuokite ŽDF ŽDF tekiatƴ tokia tokia pecifikacija pecifikacija 4 tekiatį uprojektuokite tekiatƴ uprojektuokite ŽDF tokia pecifikaciąlyga 4 pav: 794 ąlyga 44 pav: pav: ja ąlyga Filtro 77 koeficieta pralaido pralaido juotoje juotoje turi turi bnjti bnjti tarp tarp 77 koeficieta 77 Filtro koeficieta pralaido juotoje turi būti tarp 794 G G p db db kai kai dd rad/ rad/ G G p = G pp p Filtro koeficieta koeficietaepralaido epralaidojuotoje juotojeeturi eturivv Filtro koeficieta epralaido juotoje eturi všyti G G = G G db db kai kai tt rad/ rad/ šyti predima predima H j Filtro eilơ kaiþiavima Filtro eilơ kaiþiavima c6 9r arrdaad/d// = 6 9filtrui c= c = 6 9 rad/ rad/ Eat projektuojamam projektuojamam p rad/ rad/ Eat filtrui p 794 pav ŽDF pecifikacijo DCh ŽDF pecifikacijo DCh G db ƲtatĊ šia verte Ƴ 9 lygtƴ gauame: G p db db 4 4 pav ŽDF pecifikacijo DCh 4 pav 77 G G p db ƲtatĊ šia verte Ƴ 9 lygtƴ gauame: pavyzdy 7 pavyzdy pavyzdy 7 uprojektuokite ŽDFtekiatƳ tekiatƴtokia tokiapecifikacija pecifikacija uprojektuokite ŽDF uprojektuokite ŽDF tekiatƴ tokia pecifikacija gali bnjti bnjti tik veikai veikai kaiþiu paekame Kadagi gali tik kaiþiu paekame Kadagi 44 ąlyga 4 pav: ąlyga ąlyga4 4pav: pav: koeficieta Filtro Ribiio dažio koeficieta Filtro koeficieta pralaidojuotoje juotojeturi turibnjti bnjtitarp tarp c kaiþiavima pralaido Ribiio dažio Filtro pralaido juotoje turi bnjti tarp c kaiþiavima ƲtatĊ 4 rad/ Ƴ lygtƴ gauame: 794 G G db kai d rad/ kai GGpƲtatĊ 794 GGpppp db db kai ddlygtƴ rad/ rad/ rad/ Ƴ gauame: pp 7944 Filtro Filtro koeficieta juotojeeturi eturivvckoeficieta 6 9 r a depralaido /epralaido =koeficieta juotoje Filtro epralaido juotoje eturi v šytigg G G G db kai rad/ ŽDF šyti db kai tpecifikacijo rad/ DCh šyti G db kai tt rad/ 4 4 pav pav ŽDF 4 pecifikacijo DCh 4 predima predima predima predima pavyzdy Filtro eilơ kaiþiavima uprojektuokite Filtro eilơ kaiþiavima Filtro eilė kaiþiavima kaičiavima Filtro eilơ ŽDF tekiatƴ tokia pecifikacija rad/ Eat projektuojamam filtrui rad/ rad/ Eat projektuojamam filtrui rad/ rad/ Eat projektuojamam rad/ Eat projektuojamam filtrui p pp ąlyga 4 pav: = Įtatę verte į 9 9 lygtį GG db ƲtatĊ šia verte lygtƴ gauame: db dbg koeficieta pralaido juotoje turi bnjti tarp db ƲtatĊ šia verte Ƴ 9 lygtƴ gauame: GGG Filtro db ƲtatĊ šia verte ƳƳ9 lygtƴ gauame: db p ppp G p 794 G p db kai d rad/ = 7 Filtro koeficieta epralaido juotoje eturi v gali bnjti tik veikai kaiþiu paekame 444 Kadagi gali bnjti tik veikai kaiþiu paekame gali bnjti tik veikai kaiþiu paekame Kadagi šytikadagi G G db kai t rad/ kaiþiavima Ribiio dažio kaiþiavima Ribiio dažio Ribiio dažio c cckaiþiavima predima 45 ƲtatĊ 444 rad/ƴ lygtƴ gauame: ƲtatĊ rad/ lygtƴ gauame: ƲtatĊ rad/ ƳƳ lygtƴ gauame: p pp Filtro eilơ kaiþiavima

47 Eat projektuojamam filtrui p rad/ rad/ G p db G db ƲtatĊ šia verte Ƴ 9 lygtƴ gauame: 7 Kadagi gali būti tik veikai kaičiu paekame = 4 Kadagi gali bnjti tik veikai kaiþiu paekame 4 cc kaičiavima kaiþiavima Ribiio Ribiio dažio dažio ω ƲtatĊ lygtį lygtƴgauame: gauame: Įtatę = 4 p rad/ įƴ c 69 rad/ 4 69 rad/ c69 ccc rad/ rad/ rad/ 69 rad/ 69 rad/ c lygtƴ 69 rad/ gauame: O ƳtatĊ 4 Ƴ c c4lygtį Ƴ lygtƴ gauame: O įtatę O=ƳtatĊ 4 į gauame: 444 ƳƳƳ lygtƴ gauame: O ƳtatĊ lygtƴ gauame: O ƳtatĊ lygtƴ gauame: O ƳtatĊ Ƴ lygtƴ gauame: O ƳtatĊ 4 gauame: 6 rad/ lygtƴ Ƴ gauame: ƳtatĊ 4 Ƴ4 OO ƳtatĊ c lygtƴ c 6 rad/ 6 6 rad/ ccc 6 rad/ rad/ 6 6 rad/ 6 rad/ 7 gauame dvi kticcc vietoje Kadagi paikome 4 rad/ Kadagi paikome 4 vietoje 7 gauame dvi ktivietoje 7 gauame dvi ktikadagi paikome vietoje 7 gauame dvi ktikadagi paikome 4 vietoje verte Paiku 697 rad/ bnjtǐ tikliai Ƴgyvediga vietoje 7 gauame dvi ktikadagi paikome 44 c ga gauame dvi ktikadagi paikome vietoje 7 gauame dvi ktikadagi paikome 4vietoje verte Paiku c 7 69gauame rad/ bnjtǐ tikliai ƳgyvediKadagi paikome =44c4vietoje 7 dvi kti dvi ktikadagi paikome c verte Paiku 69 rad/ bnjtǐ tikliai Ƴgyvediga verte Paiku 69 rad/ bnjtǐ tikliai Ƴgyvediga verte Paiku 69 rad/ bnjtǐ tikliai Ƴgyvediga cc G ppaiku c ta ąlyga 794 vioje pralaido juotoje t y uo iki c c c verte 69 rad/ bnjtǐ tikliai Ƴgyvediga verte Paiku 69 rad/ bnjtǐ tikliai Ƴgyvediga ga Paiku būtų įgyvecωccverte Paiku 69 rad/ bnjtǐ tikliai Ƴgyvediga ta ąlyga G p 794 vioje pralaido juotoje t y uo iki c verte ccc ta ąlyga 794 G vioje pralaido juotoje t y uo iki ta ąlyga 794 G vioje pralaido juotoje t y uo iki ta ąlyga 794 G vioje pralaido juotoje t y uo iki pppvšijama rad/ reikalavima G juotoje juotoje juotoje epralaido ąlyga G p pg vioje pralaido juotoje tt y uo iki ąlyga = vioje pralaido t y uo iki ta ąlyga 794 vioje pralaido y uo iki tatadita ąlyga p794 G pralaido uo juotoje pg rad/ vioje všijama reikalavima G t y epralaido juotoje rad/ všijama všijama reikalavima G epralaido epralaido juotoje všijama reikalavima G=epralaido epralaido epralaido juotoje všijama reikalavima juotoje iki trad/ rad/ reikalavima GG juoto rad/ rad/ všijama reikalavima G juotoje rad/ všijama reikalavima G epralaido juotoje rad/ všijama t rad/ reikalavima G epralaido juotoje rad/ tttkita je rad/ rad/ vertu jei paikime c 6 rad/ bu tikliai Ƴgy rad/ t Kita rad/ t vertu jei paikime c 6 rad/ bu tikliai Ƴgy t rad/ ccc reikalavima rad/ bu tikliai ƳgyKita vertu jei paikime Kita vertu jei tikliaiƴgy6 6 6 rad/ bu tikliai ƳgyKita vertu jeipaikime paikime rad/ tikliai Kita vertu jei paikime G vedita reikalavima všyta Gbu tikliai Paikime ptikliai 6 rad/ bu ƳgyKita vertu jei paikime 6 rad/ bu Kita vertu paikime všyta 6 rad/ bu tikliai ƳgyKita vertu jeijei paikime c G vedita reikalavima všyta reikalavima GPai ƳgyPaikime c c p įgyvedita reikalavima G reikalavima G G vedita reikalavima všyta reikalavima G Paikime G vedita reikalavima všyta reikalavima GpPaikime rad/ ppaikime G vedita reikalavima všyta reikalavima G pppaikime všyta pmąjƴ variatą c GG 69 reikalavima vedita reikalavima vedita reikalavima všyta reikalavima Paikime vedita reikalavima všyta GGpG pppaikime c G pmąjƴ 69reikalavima rad/ rikime pmą jį variatą variatą pmąjƴ variatą rad/ cc pmąjƴ variatą rad/ pmąjƴ variatą rad/ pmąjƴ variatą rad/ pmąjƴ variatą 69 rad/ pmąjƴ variatą cccc rad/ Normuotoio fukcijo H radima Normuotoio fukcijo H radima Normuotoio fukcijo H radima radima Normuotoji Normuotoio fukcijo HH Normuotoio Normuotoio fukcijo Hfukcija radima radima fukcijo radima ketvtoio eilơ radama iš Normuotoio fukcijo H Normuotoio fukcijo H radima radima Normuotoji Normuotoio fukcijo H Normuotoji ketvtoio eilơ fukcija išradama iš ketvtoio eilė fukcija radama Normuotoji ketvtoio eilơ fukcija radama išiš Normuotoji ketvtoio eilơ fukcija radama iš Normuotoji letelơ: Normuotoji ketvtoio eilơ fukcija radama ketvtoio eilơ fukcija radama Normuotoji ketvtoioeilơ eilơ fukcija fukcijaradama radamaišiš iš letelơ: Normuotoji ketvtoio letelė: letelơ: letelơ: letelơ: letelơ: letelơ: letelơ: H 4 H H H H = H 6 6 HH 4 H Galutiơ fukcijo H radima Galutiơ fukcijo H radima 4 Galutiơ fukcijo H radima 4 Galutiơ fukcijo H radima 4 Galutiơ fukcijo H radima 69 rad/ gaupageidaujama fukcija kaihh 444 Galutiơ fukcijo ckai Galutiơ fukcijo radima radima radima 4 Galutiơ fukcijo H Galutiė fukcijo H c 69 rad/ gaupageidaujama fukcija rad/ Pageidaujama fukcija kai gau rad/ Pageidaujama fukcija kai gau 69 rad/ gaupageidaujama fukcija kai pakeitu ormuotoio fukcijo ama / 69fukcija c c 69 rad/ Pageidaujama kai gaupageidaujama gau 69 rad/ Pageidaujama fukcija kaicccc gau69 rad/ Pageidaujama gaupakeitu ormuotoio fukcijo ama fukcija / 69 kai pakeitu pakeitu ormuotoio fukcijo ama pakeitu // ormuotoio fukcijo ama / ormuotoio fukcijo ama H išraiškoje: pakeitu ormuotoio fukcijo ama / 69 ama ormuotoio fukcijo fukcijo ama pakeitu / 69ormuotoio fukcijo ama / 69 Hpakeitu išraiškoje: H išraiškoje: išraiškoje: H išraiškoje: H išraiškoje: H H išraiškoje: išraiškoje: išraiškoje: H H H H H H 7 H HHH dažiơ amplitudơ braižyma 5Filtro charakteritiko 5 Filtro dažiơ amplitudơ charakteritiko braižyma

48 Galutiơ fukcijo fukcijohh radima 44Galutiơ radima 69 rad/gaupageidaujama fukcija fukcijakai kaicc gau69 rad/ Pageidaujama pakeitu / ormuotoio fukcijo fukcijo ama pakeitu / 69 ormuotoio ama 69 išraiškoje: HH išraiškoje: HH Filtrodažiơ dažiơamplitudơ amplitudơcharakteritiko charakteritikobraižyma braižyma dažiė amplitudė charakteritiko braižyma 55Filtro Projektuojamo DCh DCh aprašoma lygtimi Ƴtaþiu Projektuojamo aprašoma lygtimi DCh aprašoma lygtimiįtačiu Ƴtaþiu 69 rad/ = 4 4 cc 69 rad/ : : ¹ 69 ¹ Ši charakteritika pavaizduota 4 pav Ši Ši charakteritika pavaizduota 4 pav charakteritika pavaizduota 4 pav Jei bnjtume paikċ alteratyviąją vertċ c 6 rad/ filtjeijei būtume ją vertę bnjtumepaikę paikċalteratyvią alteratyviąją vertċ c 6 rad/ DCh bnjtǐ šiek tiek kitokia Taþiau abiem atvejai pecifikacijo DCh būtų šiek tiek kitokia Tačiau abiem ro DCh bnjtǐ šiek tiek kitokia Taþiau abiem atvejai atvejai pecifikapecifikacijo ąlygo tekiamo Ŷ cijo ąlygo tekiamo ąlygo tekiamo Ŷ pavyzdyje gautu rezultatu galima patikriti MTLB pa pavyzdyje gauturezultatu rezultatugalima galimapatikriti patikriti MTLB MTLB pa pavyzdyje gautu ketu vykdat šią komadą: ketu vykdat šią komadą: paketu šią:komadą: %vykdat Etapa Nr pkaiciuojame H j H j % Etapa Nr : pkaiciuojame %wp=; Etapa w=; Nr : pkaiciuojame Gp=-; G=-; wp=; w=; Gp=-; G=-; wp=; w=; Gp=-; G=-; P=-G/; P=-Gp/; Wp=w/wp; P=-G/; P=-Gp/; Wp=w/wp; P=-G/; P=-Gp/; Wp=w/wp; c=log^p-/^p-/*logwp; c=log^p-/^p-/*logwp; c=log^p-/^p-/*logwp; =ceilc; =ceilc; =ceilc; % Etapa Nr : pkaiciuojame Wc % Etapa Nr : pkaiciuojame Wc %Wc=wp/^P-^/*; Etapa Nr : pkaiciuojame Wc Wc=wp/^P-^/*; Wc=wp/^P-^/*; % Etapa Nr : Rati ormuotaja fukcija H % Etapa Nr : Rati ormuotaja fukcija H %=[]; Etapa Nr : Rati ormuotaja fukcija H =[]; =[]; for k=: for k=: for k=: =*k-++/*; =*k-++/*; =*k-++/*; k=co*pi+j*i*pi; k=co*pi+j*i*pi; =[ k]; =[ k]; ed ed 47 ='; ='; um=[ ]; de=poly['];

49 k=co*pi+j*i*pi; =[ k]; ed = ; um=[ ]; de=poly[ ]; % Etapa Nr 4: Rati galutie fukcija H um=[ Wc^]; de=polywc*[ ]; fpritf Filtro eile yra = %i\ fpritf Filtro ribii dazi yra Wc = %4f\ Wc dip Perdavimo fukcijo poliai yra dip Normuotoji ketvto eile fukcija yra prityabum abde dip Perdavimo fukcija kurioje pakeita /Wc yra prityabum abde % Etapa Nr 5: Braizyti DCh w=::4; w=w ; [magphaew]=bodeumdew; plotwmag; grid; Įvykdžiu komadą MTLB parodo tokiu rezultatu: Filtro eile yra = 4 Filtro ribii dazi yra Wc = 694 Perdavimo fukcijo poliai yra = i i i i Normuotoji ketvto eile fukcija yra um/de =

50 ^4+6^+44^+6+ Perdavimo fukcija kurioje pakeita /Wc yra um/de = ^4+794^+945^ Paiaudoju MTLB paketo igal Proceig Toolbox teikiamomi galimybėmi uždaviiui išpręti pakaka gerokai trumpeė komado: Wp=; W=; Gp=-; G=-; [Wc]=buttordWpW-Gp-G ; [umde]=butterwc ; Įvykdžiu šią komadą gauama tokia fukcijo išraiška: um/de = ^4+946^+4954^ Čia yra alteratyvu prediy tikliai tekiati pralaido juoto pecifikacijo ąlyga všijati epralaido juoto pecifikacijo ąlyga Čebyšovo filtrai Normuotojo Čebyšovo ŽDF dažiė amplitudė charakteritika aprašoma tokia formule: 49

51 filtrai filtrai Normuotojo ŽDF dažiơ amplitudơ charakteritika Normuotojo ŽDF dažiơ amplitudơ charakteritika aprašoma tokia formule: aprašoma tokia formule: H jω = + εh C ω H j C Hpolioma čiaþiaccω -oio eilė Čebyšovo -oio eilơ poliomaaprašoma: aprašoma: þia C -oio eilơ polioma aprašoma: C co arcco a a C co arcco a poliomą galima kaiþiuoti pagal kitą formulċ: Čebyšovo poliomą galima kaičiuoti pagal kitą formulę: poliomą galima kaiþiuoti pagal kitą formulċ: C ch arcch b C ch arcch b b a formulơ patogeơ kaiþiuojat C kai o a formulơ patogeơ kaiþiuojat C kai o b! patogeė Poliomokaičiuojat išraiška C Cω atrodo a kai formulė kai taip ω <kaip omab kai! Poliomo išraiška C atrodo taip kaip b kai ω > Poliomo išraiška C ω atrodo taip kaip ma-matyti letelơje tyti tyti letelėje letelơje letelė Čebyšovo poliomai letelơ poliomai C ω letelơ poliomai C ωc 46 ω 46 4 ω ω ω 8 ω ω ω ω55 ω ω Normuotojo ŽDF ŽDF dažiơ dažiơ amplitudơ amplitudơ charakteriticharakteritinormuotojo Normuotojo ŽDF dažiơ amplitudơ charakteritiko atitikaþio 7 pavaizduoto atitikamai 6 ko atitikaþio 6 7 pavaizduoto atitikamai 5 5 aa pav pav 5 b pav pav Iš Iš šiǐ šiǐ paveiklǐ paveiklǐ galima galima padaryti padaryti tokia tokia išvaišva5 5 5 bb 5 a pav pav Iš šiǐ paveiklǐ galima padaryti tokia išvada: da: da:

52 Normuotojo Čebyšovo ŽDF dažiė amplitudė charakteritiko atitikačio = 6 = 7 pavaizduoto atitikamai 5 a pav 5 b pav Iš šių paveiklų galima padaryti tokia išvada: Čebyšovo DCh baguoja pralaido juotoje bet yra mootoiška epralaido juotoje Pralaido juota apima ruožą ω šioje juotoje iš vio yra makimumų miimumų Iš letelė matyti kad: C = lygii elygii 4 Todėl koeficieta eat uliiam dažiui yra: H = +e lygii elygii 5 Parametra ε lemia bagavimo matą Pralaido juotoje didžiauio koeficieto atyki u mažiauiu lygu: r = + ε 6a ŠįŠƳatykį atykƴišreišku išreiškudecibelai decibelai ŠƳ atykƴ išreišku decibelai 6b r lg H lg H 6b r lg H lg H 6b Tuomet Tuomet Tuomet H rr// 7 7 H 7 4 filtram parametra r pakeiþia G p mažiauią pe4 filtram parametra r pakeiþia G mažiauią koeficietą pralaido juotoje Pavyzdžiuip r d db urordavimo koeficietą pralaido juotoje Pavyzdžiui db uror d pralaido do kad didei ei db koeficieto vyravimai do kad didei ei db Eat koeficieto pralaido juotoje ơra priimtii filtruivyravimai tok reikalavima juotoje ơra priimtii Eat filtrui tok reikalavima prilygta ąlygai G p db prilygta ąlygai G p db 5 umažiu bagavimą 5 pagerơja charakteritika pralai5 umažiu bagavimą pagerơja charakteritika pralaido juotoje Taþiau tuomet pablogơja charakteritika epralaido juotoje Taþiau tuomet pablogơja charakteritika epralai-

53 H j + H a H j + H b 5 pav Čebyšovo ŽDF ŽDF dažiė amplitudė charakteritika 5 Normuotojo pav Normuotojo dažiơ amplitudơ charakterikai akai = 6 tika a =b6 = 7 b = 7 Parametra İ lemia bagavimo matą Pralaido juotoje didžiauio koeficieto atyki u mažiauiu lygu: r H a

54 ŠƳ atykƴ išreišku decibelai r lgdecibelai H lg H 6b ŠƳ atykƴ išreišku Tuomet r lg H lg H 6b Tuomet Hr / lg H r lg 6b H 7 Tuomet H r / 7 Tuomet 4 filtram parametra pakeiþia r G mažiauią p mažiauiąpe4 Čebyšovo filtram parametra r pakeičia G rr // r pakeiþia G pp mažiauią 7 4 filtramhparametra pe koeficietąpralaido pralaido juotoje rdavimo koeficietą uroh juotoje Pavyzdžiui r d db u7 d pralaido rdavimo koeficietą pralaido juotoje Pavyzdžiui dbprauro4 didei filtram parametra r pakeiþia G p rmažiauią perodo kad didei db koeficieto vyravimai do kad eiei db koeficieto vyravimai mažiauią 4 filtram parametra pakeiþia r G pep do kad didei ei db koeficieto vyravimai pralaido laido juotoje ėra priimtii filtrui juotoje ơra priimtii EatEat filtrui toktok rdavimo koeficietą pralaido juotoje Pavyzdžiui db urorreikalavima d reikala Eat juotoje ơra priimtii filtrui tok reikalavima rdavimo koeficietą pralaido juotoje Pavyzdžiui r d uro vima prilygta ąlygai G = db G p db prilygta pdb do kad ąlygai didei ei koeficieto vyravimai db pralaido do kad didei ei db koeficieto vyravimai pralaido G prilygta ąlygai db 5 umažiu bagavimą pagerėja charakteritika pralaip juotoje ơra priimtii Eat tok reikalavima 5 umažiu bagavimą pagerơja filtrui charakteritika pralaijuotoje ơra priimtii Eat filtrui tok reikalavima do juotoje Tačiau tuomet pablogėja charakteritika epra 5 umažiu bagavimą pagerơja charakteritika pralaig prilygta ąlygai db do juotoje Taþiau ptuomet pablogơja charakteritika epralailaido juotoje Todėl teka ieškoti kompromio tarp leitio bag prilygta ąlygai db p dojuotoje juotojetodơl Taþiauteka tuomet pablogơja charakteritika epralaido ieškoti kompromio tarp leitio bagavi5 pralaido umažiu bagavimą pagerơja charakteritika pralaigavimo juotoje ieškoti pageidaujamo lopiimo epralaido do juotoje Todơl teka kompromio tarp leitio bagavi5 umažiu bagavimą pagerơja charakteritika pralaimo pralaido juotoje pageidaujamo lopiimo epralaido do juotoje Taþiau tuomet pablogơja charakteritika epralaijuotoje mo pralaidotaþiau juotoje pablogơja pageidaujamo lopiimo epralaido do tuomet charakteritika juotoje do6juotoje juotoje Todơl teka ieškoti kompromio tarp leitio epralaibagavičebyšovo teka DCh iš pralaido ritie tarp į epralaido perjuotoje do juotoje Todơl ieškoti kompromio leitio bagavi6 DCh iš pralaido ritie Ƴ epralaido pereimo pralaido juotoje pageidaujamo lopiimo epralaido eia taigiau ei to pačio eilė 6pralaido DCh iš pralaido ritie Ƴcharakteritika epralaido pereijuotoje pageidaujamo lopiimo epralaido amo taigiau ei to paþio eilơ charakteritika Tajuotoje Tačiau ši Čebyšovo praašuma paiekiama dėl blogeiųtaa taigiau ei to paþio eilơ charakteritika juotoje þiau ši praašuma paiekiama blogeiǐ avy6 bagavimo DCh išjuotoje pralaido ritiedơl Ƴ epralaido pereiavybių epralaido þiau ši praašuma paiekiama dơl blogeiǐ pereiavy6 DCh iš pralaido ritie Ƴ epralaido biǐ bagavimo epralaido juotoje a taigiau ei to paþio eilơ charakteritika Tabiǐ bagavimo epralaido juotoje a taigiau ei to paþio eilơ charakteritika Taþiau ši praašuma paiekiama dơl blogeiǐ avyfiltro eilė Filtro eilơutatyma utatyma þiau ši epralaido praašuma paiekiama dơl blogeiǐ avybiǐ bagavimo juotoje Filtro eilơ utatyma biǐ Remiati bagavimo epralaido juotoje lygtimi ormuotojo perdaviremiati lygtimi ormuotojo Čebyšovo perdavifiltro eilơ utatyma Remiati lygtimi ormuotojo koeficieta koeficietadecibelai decibelailygu: lygu: mo Filtro eilơ utatyma mo koeficieta decibelai lygu: Remiati lygtimi ormuotojo perdavig lygtimi lg [ormuotojo H C ] Remiati perdavi mo koeficieta decibelai lg [ H C ] G lygu: mo koeficieta decibelai lygu: Tuomet dažƴ atitikati koeficieta G lygu: G atitikati lg [ HC ] koeficieta G lygu: Tuomet dažƴ atitikati Tuomet dažį ωg lg [ H C ] koeficieta G ly lg [ H C ] G gu: Tuomet dažƴ atitikati 8 lg [ H C ] koeficieta G lygu: G 8 Tuomet dažƴ atitikati koeficieta G lygu: Kitaip tariat Kitaip 8 8 tariat G lg [ H C ] G lg [ G H C 8 / ] H C Kitaiptariat tariat G / Kitaip Kitaip tariat H C 49 G / H C 49 H C G / Į patarą ją lygtį įtačiu b 7 gauama: 5

55 Ʋ patarąją lygtƴ Ƴtaþiu b 7 gauama: Ʋ patarąją lygtƴ Ƴtaþiu b 7 gauama: / Ʋ patarąją lygtƴ Ƴtaþiu b 7 ºgauama: G / ª / /»º / ch > «ª rg / /»º ch > «ªG ¼ ch > «rr //»¼ ¼ Taigi Taigi Taigi / Taigi ª G / º / G / 9a arcch «ªªG º / r/ / arcch 9a 9a»º¼» arcch «r / arcch arcch 9a r / arcch ¼¼ Pažymơtiakad kad šio šio lygty lygty tika tika ormuotieiem filtram Pažymėtia ormuotieiem filtram kupažymơtia kad šio lygty tika ormuotieiem filtram kubedruoju atveju atveju ω pakeitu pakeitu atykiu riem kuriem ωp =rad/ rad/ Bedruoju atykiu kad šio lygty tika ormuotieiem filtram ku Bedruoju atveju pakeitu atykiu riempažymơtia pp rad/ ωriem gauama: / gauama: / ω p p p rad/ Bedruoju atveju pakeitu atykiu / p gauama: / p gauama: / ª G / º /» / arcch «ª G 9b 9b º / r/ / arcch 9b / p arcch ª««Gr / º»¼» arcch / p arcch 9b arcch / p «r /»¼ ¼ Poliǐ padơty Poliǐ padơty Polių padėty Poliǐ padơty poliǐ padơþiai plokštumoje rati bnjtǐ galima poliǐ padơþiai plokštumoje ratišibnjtǐ galima audoti tą paþią procednjrą kaip filtrui procednjra poliǐ padơþiai plokštumoje rati bnjtǐ galima Čebyšovo polių padėčiai plokštumoje rati būtų audoti tąbet paþią procednjrą kaipkaiþiavimǐ filtrui Ši galima procednjra paprata reikia atlikti daug poliai audoti tąpačią paþią procednjrą kaip filtrui Ši procednjra audoti tą procedūrą kaip filtrui Ši procedūra paprata bet reikia atlikti daug kaiþiavimǐ poliai išidơtċ at puapkritimio Galima parodyti kad ormuotojo paprata bet reikia atlikti daug kaiþiavimǐ poliai paprata bet reikia atlikti daug kaičiavimų poišidơtċ at puapkritimio Galima parodyti kad ormuotojo oio eilơat poliai išidơtċ at puelipơ kurio ilgoišidơtċ puapkritimio Galima parodyti kad ormuotojo liai išidėtę at puapkritimio Galima parodyti kad ormuotojo oio eilơ poliai išidơtċ at puelipơ kurio ilgoji puašơ lygi ch x o trumpoji hišidơtċ x ýia parametra x kaiþiuojama oio eilơ poliai at puelipơ kurio -oio eilė Čebyšovo poliai išidėtę at puelipė kurioilgoji puašơ lygi ch x o trumpoji h x ýia parametra x kaiþiuojama pagal: ji puašơ lygi x o otrumpoji x ýia trumpoji hh x Čiaparametra parametrax xkaiþiuojama kaičiuoilgoji puašė lygichch x pagal: pagal: jama pagal: x arch x arch H x arch H arch H poliaix = yra: ε poliai yra: yra: yra: ª kpoliai º ª k º Čebyšovo k i «ª poliai k»º h x j co «ª k»º ch x k i ª k ¼º h x j co ª k ¼º ch x k i «»¼ h x j co «»¼ ch x k π k π = i ¼ h x +5j co ¼ ch x k

56 kk k kk eilơ -oio eilơ Normuotojo -oio ŽDF fukcija Normuotojo -oio ŽDF fukcijafukcija Normuotojo eilơ ŽDF fukcija Normuotojo -oio eilė Čebyšovo ŽDF yra: yra: yra: -oio yra: Normuotojo -oio eilơ eilơ ŽDF ŽDF fukcija fukcija Normuotojo yra: yra: K K K K K K K H = HK c = H H aa C c c C C a a a a a a a K K K K C + a + + a + a H H Ccc aa C a a akad aužtikritǐ reikiamą reikiamą Kotata parekama taip užtikritǐ perdakotata KK taip kadkad užtikritų perdakotata parekama taip kad užtikritǐ reikiamą perda- perdakotata K parekama taip reikiamą Kparekama vimo koeficietą eat uliiam dažiui [žr 5 lygtį] Tuomet vimo koeficietą eat dažiui [žr 5 lygtƴ] Tuomet vimo koeficietą eat uliiam uliiam dažiui [žr 5 lygtƴ] Tuomet vimo K koeficietą eat uliiam dažiui [žr 5 lygtƴ] Kotata K parekama taip kad užtikritǐ užtikritǐ reikiamą perda-tuomet Kotata taip kad reikiamą perda parekama vimo koeficietą koeficietą eat uliiam dažiui [žr 5 5 lygtƴ] lygtƴ] Tuomet Tuomet vimo uliiam eat a [žr aa dažiui elygii elygii elygii aa a KK K aa aaa elygii r / elygii rr// lygii lygii lygii aa a H K HH a K r / lygii r / lygii HH Projektavimo procednjrą gerokai palegvia letelơ kurioe Projektavimo procednjrą gerokaipalegvia palegvia letelơletelơ kurioe papaprojektavimo procednjrą gerokai palegvia kurioe paprojektavimo procedūrą gerokai letelė kurioe cc teikiamo poliomo C lygtyje išraiško arba H poliǐ c teikiamo poliomo C lygtyje išraiško arba H poliǐ teikiamo poliomo C lygtyje išraiško arba H H pa Projektavimo procednjrą palegvia letelơ kurioe papateikiamo poliomo C gerokai gerokai lygtyje išraiško arba poliǐ Projektavimo procednjrą palegvia letelơ kurioe CCcc aapoliǐ padơty 4 poliomo C koeficietai koeficietai padơty 4 letelơje letelơje poliomo Cc koeficietai Hkoeficietai padơty 4 pateikti poliomo teikiamo poliomo Cccletelơje lygtyje išraiško arba aa a a teikiamo poliomo pateikti C pateikti lygtyje išraiško H polių padėty 4 letelėje pateikti poliomo poliǐ arba šiom rr CC 55cc 5dB vertơm: db vertơm: Žiyuoe šiom r Žiyuoe db vertơm: gaaaa a aaaletelơje aa pateikti rr vertėm: Ži šiom koeficietai koeficietai padơty 4 letelơje pateikti poliomo aažiyuoe aagagapadơty poliomo rršiom 4 ratileteliǐ kurioe atvejai kitom rgaržiyuoe vertơm Šiam leteliǐ aprašyti atvejai rkitom vertơm Šiam rati aprašyti kitom r vertơm Šiam rati kurioe letelių rkurioe alima rati 55aprašyti kitom db db šiom vertơm: ayuoe aagalima rkurioe rr aprašyti atvejai atvejai šiom vertơm: Žiyuoe galima leteliǐ lima vertėm Šiam tiklui taip pat galima paiaudoti MTLB fuktiklui taip pat galima paiaudoti MTLB fukcijomi tiklui taip pat galima paiaudoti MTLB fukcijomi tiklui taip pat galima paiaudoti MTLB fukcijomi vertơm Šiam Šiam lima rati rati leteliǐ leteliǐ kurioe kurioe aprašyti aprašyti atvejai atvejai kitom kitom rr vertơm lima cijomi Pavyzdžiui orit rati ormuotojo treþioio eilơ Pavyzdžiui orit rati ormuotojo treþioio eilơ Pavyzdžiui orit rati ormuotojo treþioio eilơ tiklui taip pat galima paiaudoti MTLB fukcijomi tiklui taip pat galima paiaudoti MTLB fukcijomi Pavyzdžiui orit rati ormuotojo trečioio eilė Čebyšovo r kurio kurio db r poliu uliu koeficietą audo kurio db poliu uliu koeficietą audo db r poliu uliu koeficietą Pavyzdžiui orit orit rati rati ormuotojo ormuotojo treþioio treþioio eilơ eilơ audopavyzdžiui kurio r = db poliu uliu koeficietą aujama šiši fukcija: jamakurio fukcija: jama fukcija: kurio db poliu uliu uliu koeficietą koeficietą audoaudo db rr ši poliu dojama ši fukcija: jama ši ši[zpk]=chebap fukcija: jama fukcija: [zpk]=chebap [zpk]=chebap [zpk]=chebap [zpk]=chebap [zpk]=chebap pavyzdy pavyzdy pavyzdy uprojektuokite ŽDF tokia uprojektuokite ŽDF tekiatƴ tekiatƴ tokia pecifikacija pecifikacija uprojektuokite ŽDF tekiatƴ tokia pecifikacija pavyzdy pavyzdy pavyzdy ąlyga 6 pav: ąlyga 6 pav: ąlyga 6 pav: ŽDF uprojektuokite ŽDF tekiatƴ tekiatƴ tokia tokia pecifikacija pecifikacija uprojektuokite uprojektuokite Čebyšovo tekiatį pecifikacr dd db Pralaido juotoje dd rad/ atyki dbr d db Pralaido juotoje rad/ atyki d atyki Pralaido juotoje rad/ ąlyga 6 pav: ąlyga 6 pav: ja ąlyga 6 pav: Filtro koeficieta epralaido juotoje Filtro koeficieta epralaido juotoje juotoje juotoje Filtro koeficieta epralaido db atyki Pralaido juotoje rad/ atyki rr dd db Pralaido dd rad/ G dd G kai t 6 5 rad/ db t 6 rad/ GdB kai5 tkoeficieta 6 5 rad/ epralaido db Filtro koeficieta epralaido juotoje juotoje Filtro epralaido juotoje d kai koeficieta G dd kai tt6 655rad/ rad/ db db kai G

57 4 letelơ letelơpoliomo koeficietai poliomo koeficietai koeficietai 4 poliomo 4 letelė 4 Čebyšovo 4 letelơ poliomo koeficietai letelơ poliomo koeficietai aa a aa a aa aa aa a aa aa a aa aa4a aa444 4 a5 aa555 r 5 db db rr 55 db r db db rr db r db db rr db r db db rr db Pažymėtia kad šio pecifikacijo yra to pačio kaip papažymơtia kad šio pecifikacijo yra to paþio kaip Pažymơtia kad šio pecifikacijo pecifikacijo yra to toperėjimo paþio riti kaip vyzdyje iškyrukad perėjimo ritį Šiame pavyzdyje Pažymơtia šio yra paþio kaip pavyzdyje iškyru perơjimo ritƴ Šiame pavyzdyje perơjimo pavyzdyje iškyru perơjimo ritƴ Šiame pavyzdyje perơjimo yrapavyzdyje uo iki 65 rad/ o pavyzdyje ji buvopavyzdyje uo iki rad/ iškyru perơjimo ritƴ Šiame perơjimo riti yra uo iki 65 rad/ oo pavyzdyje jiji buvo uo iki riti yra uo iki 65 rad/ pavyzdyje buvo uo iki iki riti yra uo iki 65 rad/ o pavyzdyje ji buvo uo

58 Nepaiat griežteių pecifikacijų pamatyime kad jiem patepakaka žemeė eilė pecifikacijǐ Čebyšovo ei kiti rad/ Nepaiat griežteiǐ pamatyime kad jiem rad/ Nepaiat griežteiǐ pamatyime kad jiem atveju pavyzdyje patekiti pakaka žemeơ eilơpecifikacijǐ ei patekiti pakaka žemeơ eilơ ei atveju pavyzdyje atveju pavyzdyje H j H j pav ŽDF pecifikacijo DCh 66 pav Čebyšovo ŽDF pecifikacijo DCh 6 pav ŽDF pecifikacijo DCh predima predima predima Filtro Filtroeilơ eilė kaiþiavima kaičiavima Filtro9b eilơ lygtimi kaiþiavima Remiati Remiati 9b lygtimi Remiati 9b lygtimi / ª º / 999» 65 arcch «ª º arcch arcch 999 «¼» arcch 65 ¼ Kadagi turi bnjti veikai kaiþiu parekame Kaip Kadagi turi turi bnjti veikai kaiþiu parekame Kaip matome etgi eat griežteiam reikalavimui dơl perơjimo Kadagi būti veikai kaičiu parekame = ritie Kaip matome etgieat eat griežteiam reikalavimui dơl perơjimo ritie ploþio pakaka treþioio eilơ dėl Taþiau mootoišmatome etgi griežteiam reikalavimui perėjimo ritie ploþio pakaka treþioio eilơ Taþiau mootoiškai kritati pralaido juotoje Tačiau charakteritika yra pločio pakaka trečioio eilė Čebyšovo mootoiškai kritati pralaido juotoje charakteritika gereơ už baguojaþią charakteritiką kai kritati pralaido juotoje charakteritika yra yra gereơužužbaguojačią baguojaþiąčebyšovo charakteritiką charakteritiką gereė Normuotoio fukcijo H radima Normuotoio fukcijo radima Norit rati ormuotąją fukcijąh galima paiaudoti Norit rati ormuotąją fukciją galima H 4 letele Kai r db iš letelơ radame tokiapaiaudoti r db iš letelơ radame tokia H 4 letele Kai vardiklio poliomo koeficietǐ verte: a 69 a vardiklio poliomo koeficietǐ 57 verte: a 69 a 5 5

59 Normuotoio fukcijo H radima Norit rati ormuotą ją fukciją galima paiaudoti 4 letele Kai = r = db iš letelė radame tokia H vardiklio poliomo koeficietų verte: a = 69 a = 778 Betotoremiati remiati lygtimi elygiơm vertơm aa= 778 Be lygtimi elygiėm vertėm trupmeokaitiklyje kaitiklyjereikaliga reikaligakotata kotatakk 69 Taigi trupmeo 69 Taigi = aa= a 778 Be to remiati lygtimi elygiơm vertơm 69 trupmeo kaitiklyje Taigi H = reikaliga kotata K a H galimų r kombiacijų 4 letelė4 Dėl begaliio kaičiau kaiþiau 4 letelơje Dơl begaliiogalimǐ r kombiacijǐ jegalima galimarati rativardiklio vardikliopoliomo poliomokoeficietu koeficietu tik tik tam tam tikrom tikrom rr ververtėm Dơl begaliio galimǐ r kombiacijǐ kaiþiau 4 letelơje tơm Jei r vertė kurių ėra šioje letelėje galima rgalima vergalimajeeikaligo rati vardiklio koeficietu tikšioje tam tikrom reikaligo poliomo r vertơ kuriǐ ơra letelơje apkaičiuoti polių padėti pagal formulę Proceui iliutruoti tơm apkaiþiuoti poliǐ padơti pagal formulċ Proceui iliutruoti perkaičiuokime HH šiuo metodu Jei reikaligo ršiuo vertơ kuriǐ ơra šioje letelơje galima metodu perkaiþiuokime Pmiauia radama ε vertė pagal 7 formulę: apkaiþiuoti poliǐ padơti pagal formulċ Proceui iliutruoti Pmiauia radama İ vertơ pagal 7 formulċ: perkaiþiuokime H šiuo metodu Pmiauia Hradama r / pagal 7 formulċ: 7647 İ vertơ Remiati lygtimi / Remiati H rlygtimi 7647 x Remiati lygtimi arch H arch 77 6 x = arch = arch 77 = 6 ε arch x Pagal formulċ arch j H Pagal 844 j formulę 9 Todơl = j 9 = 689 Pagal formulċ = 844 j 9 Todėl 844 j K H 844 j 9 Todơl j j 9 K H j j Taigi Ƴitikiome kad abiem metodai gauame tą patƴ rezultatą Galutiơ fukcijo H radima Taigi Ƴitikiome kad abiem metodai gauame tą patƴ rezultatą Priimikime kad ormuotajai fukcijai fukcijo H kai radima p Galutiơ rad/ Pageidaujama fukcija p rad/ 58 Priimikime kad ormuotajaifukcijo H fukcijai pakeitu gauama iš ormuotoio p rad/ Pageidaujama fukcija kai p rad/

60 K KK HH H j j9 j j j j Taigi įitikiome kad abiem metodai gauame tą patį rezultatą Taigi Ƴitikiome kad abiem metodai gauame tą patƴ rezultatą Taigi Ƴitikiome kad abiem metodai gauame patƴ rezultatą Taigi Ƴitikiome kad abiem metodai gauame tątą patƴ rezultatą Galutiơ fukcijoh H radima Galutiơ fukcijo radima radima Galutiơ fukcijo Galutiė fukcijohh radima Priimikime kad ormuotajai fukcijai Priimikime kad ormuotajai fukcijai Priimikime kad kad ormuotajai ormuotajai fukcijai fukcijai Priimikime rad/ Pageidaujama fukcija kai rad/ rad/ Pageidaujama fukcija kai p p rad/ p pp =rad/ rad/pageidaujama Pageidaujama fukcija fukcija kai pω rad/ p pakeitu ormuotoio fukcijo fukcijoh H gauamaišišišišormuotoio ormuotoio pakeitu pakeitu gauama ormuotoio gauama fukcijo H pakeitu / / : //pp p // :: HH H jj j j j j 9 H j j rr 778 kad 6 9 Duotuoju db 7]: dbreiškia reiškia [žr 7]: Duotuojuatveju atveju reiškia kad[žr [žr 7]: Duotuoju atveju r db reiškia kad [žr 7]: reiškia kad [žr 7]: Duotuoju atveju HH r 5849 db 5849 H 5849 H letele 5849 Remiati ormuotojo Remiati lygtimi lygtimi letele ormuotojo dažiơ dažiơ Remiati lygtimi letele ormuotojo dažiơ Remiati lygtimi letele ormuotojo dažiamplitudơ charakteritika yra: amplitudơ charakteritika yra: Remiati lygtimi letele ormuotojo dažiơ yra: ėamplitudơ amplitudėcharakteritika charakteritika yra: amplitudơ charakteritika yra: HHj j H j H H jjω = ω gauama ȦȦ pakeitu ω / /p : : Pageidaujamo pakeitu Pageidaujamo DCh DCh gauama Pageidaujamo DCh gauama Ȧ pakeitu / p p : Pageidaujamo DCh gauama pakeituω Pageidaujamo DCh gauama ωȧ pakeitu / ω/ p :p : HHj j H j ª ºº H j «ª«44ª»¼» º 5849 «4 ¼» ª 5849 «4 ¼º» ¼ ei 9584 Pažymơtia kad griežteiǐ pecifikacijǐ Pažymơtia kadepaiat epaiat griežteiǐ pecifikacijǐ ei BaterBaterPažymơtia kad epaiat griežteiǐ pecifikacijǐ ei atveju pavyzdyje filtrui pakaka vorto Pažymơtia atveju kad pavyzdyje pecifikacijǐ filtrui pakaka griežteiǐ ei atveju epaiat pavyzdyje filtrui 6 pakaka filtrui reikơjo 4 Filtro DCh pateikta pav reikơjo 459Filtro DCh pateikta pav vorto filtrui atveju pavyzdyje filtrui 6 pakaka filtrui reikơjo 4 Filtro DCh pateikta 6 pav filtruigautu reikơjorezultatu 4 Filtro DCh pateikta 6 pav pa galima patikriti MTLB pavyzdyje pavyzdyje gautu rezultatu galima patikriti MTLB pa-

61 Pažymėtia kad epaiat griežteių pecifikacijų ei atveju pavyzdyje Čebyšovo filtrui pakaka = filtrui reikėjo = 4 Filtro DCh pateikta 6 pav pavyzdyje gautu rezultatu galima patikriti MTLB paketu audojat šią komadą: Wp=; W=; r=; G=-; [Wp]=chebordWpWr-G ; [umde]=chebyrwp w=::4; w=w ; [magphaew]=bodeumdew; plotwmag; grid MTLB grąžia = um = 689 de = Tai yra: H = Taigi gavome tą patį rezultatą kaip kaičiuodami paty tvkštiiai Čebyšovo filtrai Kaip jau miėta Čebyšovo filtram būdiga DCh bagavima pralaido juotoje mootoiškai didėjati lopiima epralaido juotoje Papratai varbeė būa charakteritiko pralaido juotoje Todėl pageidautia kad pralaido juotoje DCh būtų mootoiška O epralaido juotoje bagavima yra priimtia jei tik filtra užtikria pakakamą lopiimą Būtet tai daro atvkštii Čebyšovo filtra 6

62 je Todơl pageidautia pralaido juotoje DCh je Todơl pageidautia kadkad pralaido juotoje DCh bnjtǐbnjtǐ mo-mootoiška O epralaido juotoje bagavima priimtia jei tik otoiška O epralaido juotoje bagavima yra yra priimtia jei tik filtra užtikria pakakamą lopiimą Bnjtet tai daro atvkštii filtra užtikria pakakamą lopiimą Bnjtet tai daro atvkštii filtra filtra Priimikime kad tiek tiek filtram Priimikime kadtiek tiek tiek Čebyšovo filtram bnj- bnjpriimikime kad tiek filtram diga jie turi baigtiiu poliu eturi baigtiiǐ uliǐ diga tai tai kadkad jie turi turi baigtiiu poliu eturi baigtiiǐ uliǐ t- tbūdiga tai kad jie baigtiiu poliu eturi baigtiių ulių vkštii filtra turi baigtiiu uliu poliu Jo DCh vkštii Jo Jo DCh tvkštii Čebyšovo filtra filtra turi turibaigtiiu baigtiiuuliu uliu poliu poliu plokšþia pralaido juotoje baguojati epralaiyra yra makimaliai plokšþia pralaido juotoje baguojati epralaidch yramakimaliai makimaliai plokščia pralaido juotoje baguojati do juotoje do juotoje epralaido juotoje tvkštiio charakteritiką galima gauti iš atitvkštiio charakteritiką galima gauti tvkštiio Čebyšovo charakteritiką galima gauti išiš atitikamo charakteritiko Tai atliekama dviem tikamo Čebyšovo charakteritiko charakteritiko Tai atliekama dviem eta-etaatitikamo Tarkime žymi DCh aprašomą paipai Tarkime H CH žymi DCh aprašomą C etapai kadkad žymi Čebyšovo DCh apra- atimama gauat lygtimi Pmajame šomą lygtimi Pmajame etape taip taip H CH atimama iš ištaip gauat lygtimi Pmajame etape C gauat DF charakteritiką paižymičią bagavimu epralaido DF charakteritiką paižymiþią bagavimu epralaido juotoje DF charakteritiką paižymiþią bagavimu epralaido juotoje juotoje uo iki mootoiškumu pralaido juotoje uo ikimootoiškumu mootoiškumu pralaido juotoje iki uouo iki pralaido juotoje uouo iki t-tiki rajame trajame etape pralaido epralaido juoto ukeičia-vietomi etape pralaido epralaido juoto ukeiþiamo rajame etape pralaido epralaido juoto ukeiþiamo vietomi mo vietomi traformuojat dažį ω pakeičiat dydžiuši/ω Ši traformuojat dažƴ pakeiþiat dydžiu /Ȧ traformacija traformuojat dažƴ Ȧ Ȧ pakeiþiat dydžiu /Ȧ Ši traformacija traformacija apverčia pralaido juotą iš į o epralaido apverþia pralaido juotą iš Ƴ o epralaido juota tampa apverþia pralaido juotą iš Ƴ o epralaido juota tampa juota tampa Matematiškaiatvkštiio atvkštiiočebyšovo DCh DChH Hω apramatematiškai ap rašoma taip: šoma taip: H H C / H C / H C / C -oio eilơ poliomai aprašyti čiaþiac ω -oio eilė Čebyšovo poliomai aprašyti lete letelơje lėje tvkštiiaičebyšovo filtrai filtraiyra yrapraašei praašeiuž užčebyšovo filfiltru tvkštiiai daugeliu apektǐ Pavyzdžiui atvkštii filtra turi tru daugeliu apektų Pavyzdžiui atvkštii Čebyšovo filtra turi gereċ charakteritiką gereę charakteritikąpralaido pralaidojuotoje juotoje ypaþ ypačeat eatmažom mažomȧωvertơm už etgi to paþio eilơ vertėm už Čebyšovo etgi to pačio eilė charakteritiką Iš miơtǐ trijǐtrijų filtrǐfiltrų tipǐ tipų atvkštii filtra charakteritiką Iš miėtų atvkštii Čebyšoiauriauią perơjimoperėjimo iš pralaido Ƴ epralaido juotą ritƴ Be to voturi filtra turi iauriauią iš pralaido į epralaido juotą atvkštiio FDCh arba vơliimo charakteritika ritį Be to atvkštiio Čebyšovo FDCh arba vėliimo chayra gereơyra už gereė Tiek tiek atvkštiiam rakteritika už Čebyšovo Tiek Čebyšovo tiek filtrui reikaliga ta pati eilơ tam kad bnjtǐ tekiamo atvkštiiam Čebyšovo filtrui reikaliga ta pati eilė tam kad būtų duoto pecifikacijo ąlygo ąlygo Taþiau Tačiau atvkštiio tekiamo duoto pecifikacijo atvkštiio Čeby- realizacijai reikia daugiau elemetǐ Todơl ekoomiiu požinjriu filtra praašei Kita vertu atvkštiiam filtrui 6 reikia mažiau elemetǐ ei aalogišką charakteritiką turiþiam filtrui

63 šovo realizacijai reikia daugiau elemetų Todėl ekoomiiu požiūriu Čebyšovo filtra praašei Kita vertu atvkštiiam Čebyšovo filtrui reikia mažiau elemetų ei aalogišką charakteritiką turičiam filtrui pavyzdy Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite atvkštiį Čebyšovo ŽDF tekiatį ta pačia pecifikacija ąlyga kaip pavyzdyje predima Rašome tokią MTLB komadą: Wp=; W=65; Gp=-; G=-; [W]=chebordWpW-Gp-G ; [umde]=cheby-gw w=::4; w=w ; [magphaew]=bodeumdew; [magphaew]=bodeumdew; plotwmag; grid plotwmag; grid MTLB um de = = MTLBgrąžia grąžia = = um= = de 85 Tai Tai yra:yra: H FiltroDCh DChpateikta pateikta7 pav 7 pav Filtro H j Ŷ

64 5 85 H Filtro DCh pateikta 7 pav Ŷ H j pav tvkštiio Čebyšovo ŽDF pecifikacijo DCh pav tvkštiio ŽDF pecifikacijo DCh 4 Kauerio filtrai 4 Kauerio filtrai filtrai eturi uliǐ avo ormuotoio fukcijo H išraiškoje Patalpiu ulƴ arba uliu filtrai eturi ulių avo ormuotoio greta dažio Čebyšovo galima gauti taigeƴ DCh perơjimą iš pra fukcijo H išraiškoje Patalpiu ulį arba uliu laido juoto Ƴ epralaido Kauerio dar kitaip žiomo kaip elipigreta dažio ω = ω galima gauti taigeį DCh perėjimą iš prai fukcija turi uliu Dơl to ši filtra turi tam laido juoto į epralaido Kauerio dar kitaip žiomo kaip elipitikrǐ praašumǐ lygiat u ar filtrai i fukcija turi uliu Dėl to ši filtra turi tam filtra turi iaureċ perơjimo ritƴ ei dơl tikrų praašumų lygiat u ar Čebyšovo filtrai to kad toleruoja bagavimą pralaido arba epralaido juotoje Jei Čebyšovo filtra turi iaureę perėjimo ritį ei dėl DCh leidžiama baguoti abiejoe juotoe galima dar labiau to kad toleruoja bagavimą pralaido arba epralaido juotoje Jei DCh leidžiama baguoti abiejoe juotoe galima dar labiau uiauriti perėjimo ritį Būtet 58 tai leidžia paiekti Kauerio filtrai kurių ormuotoji DCh aprašoma taip: H jω = + ε R ω čia R ω -oio eilė Čebyšovo racioalioji fukcija ąlygojama leitio bagavimo lygio pecifikacijo Bagavimo lygį lemia 6

65 parametra ε Perdavimo koeficieta eat dažiui ω p ormuotojo atveju ω p = lygu / + ε Kauerio filtram polių ulių padėti apkaičiuoti daug udėtigiau ei ar etgi Čebyšovo filtram Laimei šią užduotį gerokai palegvia kompiuteriė programo 4 pavyzdy Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite Kauerio ŽDF tekiatį ta pačia pecifikacijo ąlyga kaip pavyzdyje predima Rašome tokią MTLB komadą: Wp=;W=65;Gp=-;G=-; [Wp]=ellipordWpW-Gp-G ; [umde]=ellip-gp-gwp w=::4; w=w ; [magphaew]=bodeumdew; plotwmag; grid w=::4; w=w ; [magphaew]=bodeumdew; plotwmag; grid MTLB grąžia = um = de = Tai yra: H =

66 H H H FiltroDCh DCh pateikta 8 pav Filtro 8 76 pav pateikta Filtro DCh DCh pateikta 8 pav pav H j pateikta Filtro 8 H jj H 794 Ŷ Ŷ Ŷ Kauerio ŽDF pecifikacijo DCh 8 pav 8 pav Kauerio ŽDFpecifikacijo 65 DCh 65 8 pavdažio Kauerio ŽDF ŽDF pecifikacijo pecifikacijo DCh DCh 5 traformacijo 8 pav Kauerio 5 Dažio traformacijo 4 pokyryje 5 buvo Dažio parodytatraformacijo kaip keiþiat dažo ašie matelƴ iš 5 Dažio traformacijo ormuotojo ŽDF fukcijo gauti orimǐ 4 pokyryje buvo parodyta kaipgalima keičiat dažo ašiepecifima4ždf pokyryje buvo fukciją parodytanaudojat kaip keiþiat keiþiat dažo ašie matelƴ iš 4 pokyryje buvo parodyta kaip dažo ašie matelƴ iš kacijǐ tam tikra dažio tratelį iš ormuotojo ŽDF fukcijo galima gauti orimų ormuotojo baziio ŽDF fukcijo galima gauti gautezultatu orimǐ pecifipecifiormuotojo fukcijo galima formacija ŽDF prototipo projektavimo galima pecifikacijųždf ŽDF fukciją Naudojat tamorimǐ tikra dažio kacijǐ ŽDF fukciją Naudojat tam tikra dažio trakacijǐ ŽDF fukciją Naudojat tam tikra dažio trapaaudoti aukštutiiǐ dažiǐ juotiiǐ užtvariiǐ filtrǐ traformacija baziio ŽDF prototipo projektavimo rezultatu formacija gauti baziiopavyzdžiui ŽDF prototipo prototipo projektavimo rezultatu galima formacija baziio ŽDF projektavimo rezultatu galima fukcijom DF galima rati galima paaudoti aukštutiių dažių juotiiųfukciją užtvariių filtrų paaudoti aukštutiiǐ dažiǐ juotiiǐ užtvariiǐ filtrǐ paaudoti aukštutiiǐ dažiǐ juotiiǐ užtvariiǐ filtrǐ iš baziio ŽDF fukcijo patarojoje kitamąjƴ pakeitu fukcijom gauti Pavyzdžiui DF fukciją fukcijom gauti Pavyzdžiui DF fukciją galima rati atykiu /iš baziio pgauti Paašio traformacijo leidžiafukciją projektuoti kijuofukcijom Pavyzdžiui DF galima rati galima rati ŽDF fukcijo patarojoje iš baziio ŽDF fukcijo patarojoje kitamąjƴ pakeitu ištamą baziio ŽDF fukcijo patarojoje kitamąjƴ pakeitu jįbei pakeitu atykiu ω patitikamǐ / Paašio traformacijo leidžia tiiu užtvariiu filtrutraformacijo iš ŽDF prototipǐ atykiu / Paašio Paašio leidžia projektuoti juojuop atykiu / traformacijo leidžia projektuoti p projektuoti juotiiu užtvariiu filtru iš atitikamų ŽDF Prototipu gali bnjti betbei kuri iš agriơtǐ filtrǐ ýetiiu beiaružtvariiu užtvariiu filtru iš iš atitikamǐ atitikamǐ ŽDF prototipǐ prototipų tiiu bei filtru prototipǐ byšovo Kauerio Pmiauia radama ŽDF tikamo žemutiiǐ dažiǐ Prototipu gali bnjtifukcija bet kuri kurihišiš išagriėtų agriơtǐ filtrǐ ýeprototipu gali bnjti būti bet filtrų Čeprototipo Po to kitamąjƴ pakeitu Prototipu gali kuri filtrǐ ýep agriơtǐ byšovo ar Kauerio Pmiauia radama tikamo žemutiiǐ dažiǐ byšovo artraformacija Kauerio žemutiių dažių byšovo Kauerio Pmiauia Pmiauia radamatikamo tikamo žemutiiǐ dažiǐ reikiama T radama gauama pageidaujamo aukštutiiǐ prototipo fukcija H Po to kitamąjƴ pakeitu p prototipo fukcija H Po to kitamąjƴ pakeitu prototipo Po to kitamą jį pakeitu p dažiǐ juotiio ar užtvariio fukcija reikiama T gauama pageidaujamoaukštutiių aukštutiiǐ reikiama traformacija gauama reikiama traformacija T gauama pageidaujamo pageidaujamo aukštutiiǐ dažiųjuotiio juotiioar aružtvariio užtvariio fukcija fukcija dažiǐ dažiǐ juotiio ar užtvariio 6 fukcija

67 ukštutiių dažių filtrai ukštutiiǐdažiǐ dažiǐfiltrai filtrai ukštutiiǐ Tipiio DF dažiơ amplitudơ charakteritika pavaizduota Tipiio DF dažiė dažiơamplitudė amplitudơcharakteritika charakteritikapavaizduota pavaizduota Tipiio 9 a pav o tokiam filtrui projektuoti reikaligo žemutiiǐ dažiǐ 9 a pav ootokiam filtrui filtruiprojektuoti projektuoteikaligo reikaligožemutiių žemutiiǐdažių dažiǐ 9 a pav prototipo DCh 9 b pav Pmiauia ieškome šio prototipo kurio prototipo DCh 9 b pav Pmiauia ieškome šio prototipo kurio prototipo DCh 9 b pav Pmiauia ieškome šio prototipo kurio pralaido juota yra o epralaido juota t / d d pralaido juota juota yra yra dω d ooepralaido epralaidojuota juota ω t p/pω/ pralaido ω p fukcijo fukcijo H Hp p H jj H G Gpp G G a p p a Hp j Hp j Gp Gp G G p p b 9 pav D filtrų dažio traformacija: a D DCh b b ŽD prototipo DCh

68 99 pav D filtrǐ dažio traformacija: aa D DCh bb filtd filtrǐ dažio traformacija: DCh 9pav pav D filtrǐ dažio traformacija: ad D DCh bfiltfilt9 pav D filtrǐ dažio traformacija: a D DCh b ro ŽD prototipo DCh prototipo DCh rožd ŽD prototipo DCh ro ŽD prototipo DCh Pageidaujamo DF tekiaþio 99 a pav parodyta pecifikapageidaujamo DF tekiaþio a apav parodyta pecifikapageidaujamo DF tekiaþio 9 pav parodyta pecifikapageidaujamo DF tekiačio 9 a pav parodyta pecifipageidaujamo DF tekiaþio 9 a pav parodyta pecifikacija ąlyga fukcija gauama H išraiškoje pacija HHpp išraiškoje pacijaąlyga ąlyga fukcija fukcijagauama gauamap išraiškoje pakacija cija ąlyga ąlyga fukcija fukcija gauama gauama H p išraiškoje pakeitu tokia T : keitu tokia TTT : : keitu tokia pakeitu keitu tokia tokia T :: p ω T TT = pppp T pavyzdy 5 pavyzdy 5 pavyzdy 5 pavyzdy 5 pavyzdy DF kurio DCh atitiktǐ uprojektuokite uprojektuokite DF kurio DCh atitiktǐ uprojektuokite Čebyšovo DF kurio DCh atitiktų a pav uprojektuokite DF kurio DCh atitiktǐ uprojektuokite DF kurio DCh atitiktǐ a pav parodyta pecifikacija: rad/ 65 rad/ parodyta rad/ 65 rad/ parodyta pecifikacija: ω p = rad/ = 65 rad/ = rad/ a apav pav parodytapecifikacija: pecifikacija: rad/ 65 p G p pω a pav parodyta pecifikacija: p rad/ 65 rad/ = db db 794 db G db G pg db db 794 db p G db G GG G db Gppp 794 db predima predima predima predima predima ŽD prototipo fukcijo radima prototipo fukcijo radima ŽD prototipo fukcijo radima ŽD ŽD prototipo fukcijo radima prototipo ŽD prototipo fukcijo radima 65 / 65 ŽD rad/ TaiTai reiš 65 / 65 ŽD prototipo rad/ reiš ŽDŽDprototipo Tai 65 / rad/ 65rad/ rad/ prototipopωppp= rad/ rad/ Tai reiš 65 / 65 rad/ Tai reiš p rad/ ŽD prototipo reiškia kad 9 b pav pavaizduoto prototipo pralaido juota yra kia kad 99 b pav pavaizduoto prototipo pralaido juota yrayra kia kad b bpav pavaizduoto prototipo pralaido juota kia kad 9 pav pavaizduoto prototipo pralaido juota yra 9 b pav juota pavaizduoto pralaido yra epralaido b pav Be d kia d dkad doooepralaido t tprototipo 65 žr b pav BeBe dωd juota žr bjuota oepralaido epralaido juota t65 rad/ 65rad/ rad/ žr bpav pav Be Gd =d794 o epralaido juota db t 65 rad/ žrprojektavome b pav Be to db G = Me jau totog 794 db db Me jaujau projektavome pg 794 db db Me projektavome topg 794 dbgg db Me jau projektavome to charakteritikų Gppp 794 Čebyšovo db G filtrą pavyzdyje db Me Šio jau projektavome tokių pertokiǐ charakteritikǐ filtrą pavyzdyje ŠioŠio perdatokiǐ charakteritikǐ filtrą pavyzdyje perdatokiǐ charakteritikǐ filtrą pavyzdyje Šio perdadavimo fukcija [4 lygti] yra:filtrą tokiǐ charakteritikǐ pavyzdyje Šio fukcija [4 lygti] yra: vimo fukcija [4 lygti] yra: vimo fukcija [4 lygti] yra: vimo fukcija [4 lygti] yra: H p p HHp 69 H p Prototipo DCh pateikta b pav Prototipo DCh pateikta b bpav Prototipo DCh pateikta pav Prototipo DCh pateikta b pav Prototipo DCh pateikta b pav keitima T fukcijo Hp išraiškoje keitima T fukcijo HH keitima T fukcijo išraiškoje išraiškoje pp keitima T fukcijo H išraiškoje p Pageidaujamo Pageidaujamo keitima T fukcijo HH išraiškoje Pageidaujamo DF fukcija H gauama iš iš Hišp DF fukcija gauama H ph DF fukcija gauama H p Pageidaujamo DF fukcija H gauama iš Hpp Pageidaujamo DF fukcija H gauama iš H Taigi keiþiat dydžiu T / 65 / Taigi keiþiat dydžiu T / 65 / keiþiat dydžiu T p p p / 65 / Taigi p keiþiat dydžiu ω / p /=6565 Taigi keičiat dydžiu T T = / / Taigi p H HH 69 H

69 Prototipo DCh pateikta b pav keitima T fukcijo Hp išraiškoje Pageidaujamo DF fukcija H gauama iš Hp keiþiat dydžiu T p / 65 / Taigi H H Hjjpavaizduota a pav ŠioŠio DCh pavaizduota a pav DCh Šio DCh H jω pavaizduota a pav Ŷ Ŷ H Hj j a a / d / ra dra Hp j j Hp db db db db db db b b / p/ p pav DD aa projektavima pagal jo ŽD prototipą bb pav projektavima pagal jo ŽD prototipą pav D a projektavima pagal jo ŽD prototipą b 66 pavyzdy pavyzdy 68 Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite tokiǐ Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite tokiǐ paþiǐ pecifikacijǐ DF kaip 5 pavyzdyje paþiǐ pecifikacijǐ DF kaip 5 pavyzdyje

70 6 pavyzdy Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite tokių pačių pecifikacijų DF kaip 5 pavyzdyje predima Pateikime MTLB komadą vių keturių tipų filtram propredima jektuoti: Pateikime MTLB komadą viǐ keturiǐ tipǐ filtram projektuoti: W=; Wp=65; Gp=-; G=-; Wp=65; Gp=-; G=-; %W=; % [NW]=buttordWpW-Gp-G ; [NW]=buttordWpW-Gp-G''; [umde]=butternw high ; %[umde]=butternw'high'''; Čebyšovo % [NW]=chebordWpW-Gp-G ; [NW]=chebordWpW-Gp-G''; [umde]=chebyn-gpw high ; %[umde]=chebyn-gpw'high'''; tvkštii Čebyšovo % tvkštii [NW]=chebordWpW-Gp-G ; [NW]=chebordWpW-Gp-G''; [umde]=chebyn-gw high ; %[umde]=chebyn-gw'high'''; Kauerio % Kauerio [NW]=ellipordWpW-Gp-G ; [NW]=ellipordWpW-Gp-G''; [umde]=ellipn-gp-gw high ; [umde]=ellipn-gp-gw'high'''; Ŷ Juotiiai filtrai Juotiiai filtrai Tipiio pavaizduota TipiioJFJFdažiė dažiơamplitudė amplitudơcharakteritika charakteritika pavaizduota a apav pavnorėdami Norơdamiuprojektuoti uprojektuotitokį tokƴfiltrą filtrąpmiauia pmiauia ieškome ieškome jo jožd ŽDprototipo prototipoatitikaþio atitikačio b pav pateiktapecifikacija pecifikacija peb pav pateikta fukcijo H p Šiuo lem rdavimo fukcijo Šiuo atveju atvejuparametro parametroωvertę lem vertċ mažeyi iš šių dviejų dydžių: mažeyi iš šiǐ dviejǐ dydžiǐ: ω p ω p ω ω ω p ω p 6 p p arba p p ω ω p ω p arba ω ω p ω p 6 p p p p Pageidaujamo JF tekiaþio a pav parodyta pecifikacijo ąlyga fukcija gauama H p išraiškoje pakei69 tu tokia T :

71 mažeyi iš šiǐ dviejǐ dydžiǐ: p p p p arba p p p p 6 Pageidaujamo PageidaujamoJF JFtekiačio tekiaþio a pav a pavparodyta parodytapecifikapecifikacicijo ąlyga fukcija gauama išraiškoje papakeijo 7 pavyzdy H p keitu tokia T : tu tokia T : uprojektuokite JF kurio DCh atitiktǐ a pav p rad/ pecifikacija: p+ ω ωrad/ p p 7 T = p p 45 rad/ T 4 rad/ 7 ω p G ωp db G p 89 p p db parodyta 64 H j Gp G p p r a d/ a Hp j Gp G r a d/ b pav Juotiių filtrų dažio a juotiio DCh pav Juotiiǐ filtrǐtraformacija: dažio traformacija: a juotiio b ŽD prototipo DCh DCh b ŽD prototipo DCh 65 7

72 7 pavyzdy uprojektuokite Čebyšovo JF kurio DCh atitiktų a pav parodyta pecifikacija: ω p = rad/ ω p = rad/ ω = 45 rad/ ω = 4 rad/ G = db G p = 89 db predima predima predima ŽD prototipo fukcijo radima predima predima ŽD Tai trimi etapai fukcijo atliekama ŽD prototipo prototipo fukcijo radima radima ŽDprototipo fukcijo radima ŽD prototipo fukcijo radima Tai atliekama trimi etapai: Tai atliekama trimi etapai: Tai atliekama trimitrimi etapai: atliekama etapai: Tai ω kaičiavima Ȧ Ȧ kaiþiavima kaiþiavima Remiati lygtimi dažio ω vertė lygi mažeiajam iš Ȧ Ȧ 6 kaiþiavima kaiþiavima Remiati Remiati 6 6 lygtimi lygtimi dažio dažio Ȧ Ȧ vertơ vertơ lygi lygi mažeiajam mažeiajam iš iš šiųremiati dviejų dydžių: 66 lygtimi dažiodažio Ȧ vertơ lygi mažeiajam iš iš Remiati lygtimi Ȧ vertơ lygi mažeiajam šiǐ dviejǐ dydžiǐ: šiǐ dviejǐ dydžiǐ: šiǐ dviejǐ dydžiǐ: šiǐ dviejǐ dydžiǐ: u 44 u uu u u u u arba arba4 4 arba arba rad/ Taigi 5 rad/ Taigiω = 5rad/ Taigi 5 rad/ Taigi 5 rad/ Taigi kaiþiavima kaiþiavima kaiþiavima kaiþiavima kaičiavima Dabar Dabar reikia reikia uprojektuoti uprojektuoti bb pav pav pavaizduotą pavaizduotą ŽD ŽD prototipą prototipą Dabar reikia uprojektuoti b pav pavaizduotą ŽD prototipą Dabar reikia uprojektuoti b pav pavaizduotą ŽD prototipą Dabar reikia uprojektuoti b pav pavaizduotą ŽD prototi 5 rad/ kurio db G G db rad/ kurio Gpp db G db pp rad/ 5 rad/ žr žr 5 rad/ kurio db G G db rad/ žr žr 5 rad/ pą kurio kurio Gpp = db db pp = rad/ rad/ ω = 5 rad/ p G G db p ω bb pav atitikaþio eilơ pav Šia Šia pecifikacija pecifikacija atitikaþio eilė eilơ žr b pav pecifikacija atitikačio Čebyšovo b pav Šia Šia pecifikacija atitikaþio eilơ eilơ b pav Šia pecifikacija atitikaþio radama pagal 9b formulċ [arba pagal 9a e šiuo atveju pagal 9b 9bformulę formulċ[arba [arbapagal pagal9a 9a šiuo atveju radama radama pagal ee šiuo radama pagal 9b formulċ [arba [arba pagalpagal 9a e šiuo atveju radama pagal 9b formulċ 9a e atveju šiuo atveju rad/] : rad/] : pp= rad/] : ω p rad/] : rad/] : p p / / ªª / ºº / ª º ª 94 «» º arcch arcch 94»»» arcch arcch ««««arcch arcch» ¼ ¼ arccharcch 5 5 «¼ ¼» Taigi uapvaliċ gauame Taigi uapvalię Taigi uapvaliċgauame gauame = Taigi Taigi uapvaliċ gauame uapvaliċ gauame H kaiþiavima Hp p kaiþiavima H kaiþiavima H kaiþiavima H kaičiavima p p p eilơ troio troio eilơ fukciją fukciją galima galima rati rati troio eilơ fukciją galima rati troio eilơ fukciją galima rati troio eilė Čebyšovo fukciją galima ra r kaiþiuojat pagal formulċ jo poliu kai db kaiþiuojat pagal formulċ jo poliu kai r db r db kaiþiuojat pagal formulċ jo poliu kai r db kaiþiuojat pagal formulċ jo poliu kai tikaičiuojat joatitikaþio poliu kai fukcijo = vardiklio HH 588 Žiat kad šƴ 588 pagal Žiat kadformulę šƴ atvejƴ atvejƴ atitikaþio fukcijo vardiklio H 588 Žiat kad šƴ atvejƴ atitikaþio fukcijo vardiklio H 588 Žiat kad šƴ atvejƴ atitikaþio fukcijo vardiklio polioma galima polioma jau jau pateikta pateikta 4 4 letelơje letelơje galima ekaiþiuojat ekaiþiuojat iš iš karto karto 7 galima polioma jau pateikta 4 letelơje ekaiþiuojat iš karto polioma jau pateikta 4 letelơje galima ekaiþiuojat iš karto užrašyti užrašyti fukcijo fukcijo išraišką: išraišką: užrašyti fukcijo išraišką: užrašyti fukcijo išraišką:

73 TaigiuapvaliĊ uapvaliċgauame gauame Taigi HH kaiþiavima kaiþiavima pp troioeilơ eilơ fukciją fukcijągalima galimarati rati troio db kaiþiuojatpagal pagal formulċ formulċjo jopoliu poliukai kai r r db kaiþiuojat 588 Žiatkad kadšįšƴšƴ atvejƴ atitikaþio fukcijo vardiklio HH 588 Žiat Žiat kad atvejƴ atitikaþio fukcijo vardiklio atvejį atitikačio fukcijo vardiklio galima ekaičiuojat iš iškarto poliomajau jaupateikta pateikta4 letelėje 4letelơje letelơje galima ekaiþiuojat iškarto karto polioma pateikta 4 galima ekaiþiuojat užrašyti fukcijo išraišką: užrašyti fukcijo fukcijoišraišką: išraišką: užrašyti HH pp Trupmeo kaitikliui rati buvo paiaudota Trupmeokaitikliui kaitikliuati ratibuvo buvopaiaudota paiaudota lygtimi: lygtimi: Trupmeo lygtimi: a 5 a 5 66 = KK = = ε H H j a 4 ra d / Hp j db db db / p 4 b pav Čebyšovo JF a projektavima pagal jo ŽD prototipą b pav JF a projektavima pagal jo ŽD prototipą b Šio prototipo DCh parodyta b pav 7 Pageidaujamo fukcijo radima traformuojat ŽDF Ƴ JF

74 Šio prototipo DCh parodyta b pav Pageidaujamo fukcijo radima traformuojat ŽDF į JF Pageidaujamo JF fukcija gauama iš iš H H p papapageidaujamo JFJF fukcija gauama Pageidaujamo JF fukcija iš Pageidaujamo fukcija gauama išph p pa pakeitu tokia [žr [žr 7 lygtƴ]: keitutokia tokiattt [žr7 7lygtƳ]: lygtį]: keitu keitu tokia T [žr 7 lygtƴ]: uu 66 6 T u T T Dešiơje 8 8 lygtie lygtie puơje puơje vietoj vietoj Ƴrašiu Ƴrašiu TT gauama gauama gagadešiơje Dešiơje8 8 lygtie puơje vietoj Ƴrašiu Tgauama gauama gadešiėje lygtie puėje vietoj įrašiu T galutiơ juotiio juotiio fukcijo fukcijo išraiška: išraiška: lutiơ lutiơjuotiio juotiio fukcijo fukcijoišraiška: išraiška: lutiė 86 uu 55 uu H u u 9 86 H H uu 66 uu uu 99 uu9 44 uu u u 95 u u 4 u Šio DCh HHjj pavaizduota pavaizduota pav Ŷ Šio DCh a pav Šio DCh H aa pav Ŷ Šio DCh Hjω jpavaizduota pavaizduota a pav Ŷ Paašią procednjrą galima audoti filtrui Tačiau Taþiau Paašiąprocednjrą procedūrągalima galima audoti audoti filtrui Paašią filtrui Taþiau Paašią procednjrą galima audoti filtrui Taþiau lygiat uu filtru filtrui projektuoti reikiareikia dvielygiatu Čebyšovo filtru filtrui projektuoti lygiat filtru filtrui projektuoti reikia dvielygiat u filtru filtrui projektuoti reikia dviejǐdviejų papildomǐ kaiþiavimǐ Pmiauia reikia reikia apkaiþiuoti protoprotopapildomų kaičiavimų Pmiauia apkaičiuoti jǐ papildomǐ kaiþiavimǐ Pmiauia reikia apkaiþiuoti jǐ papildomǐ kaiþiavimǐ Pmiauia reikia apkaiþiuoti prototipo ribiƴ dažƴ dažƴ Ȧdažį atveju atveju kritiikritii daži utampa utampauu prototipo ribiįȧ ωc Čebyšovo kritii atveju daži c tipo ribiƴ daži u c Ȧ tipo ribiƴ dažƴ c atveju kritii daži utampa u Gp lygu Filtro dažio verte kuriai eatkuriai koeficieta lygu G tampa verte u dažio verte eat koeficieta dažio kuriai eat koeficieta lygu dažio verte kuriai eat koeficieta lygupgfiltro p Filtro prototipui ši daži lygu rad/ Gp Filtroši prototipui ši daži lygu rad/ prototipui daži lygu rad/ prototipui ši daži lygu rad/ Kita vertu atveju kritii daži utampa u Kitavertu vertu atveju kritii daži utampa Kita atveju kritii daži utampa u Kita vertu atveju kritii daži utampa u db ribiiu dažiu Ȧ ebnjtiai lygiu tai dažio vertei kuriai eat lygiu tai dažio vertei kuriai ribiiu dažiu ωc ebūtiai c ebnjtiai u db db ribiiu dažiu Ȧ lygiu tai dažio vertei kuriai eat c db ribiiu dažiu Ȧc ebnjtiai lygiu tai dažio vertei kuriai eat koeficieta yra G Gpyra Norit rati prototipo peeat koeficieta Gp Norit rati proto koeficieta yra rati prototipo pe koeficieta yrapgnorit p Norit rati prototipo fukciją bnjtia žioti Ȧ JƳ radu prototipo tipo fukciją būtiaȧžioti ω Jį radu prototipo perc rdavimo fukciją bnjtia žioti prototipo rdavimo fukciją bnjtia žiotic ȦJƳc radu JƳ c radu prototipo H išraiškoje fukcija gauama ormuotoio fukcijo davimo fukcija gauama ormuotoio fukcijo H HH išraiškoje fukcija gauama ormuotoio fukcijo fukcija gauama ormuotoio fukcijo išraiškoje išraiškoje pakeitu atykiu /Ȧ O projektuojat filtrą pataroji pakeitu/ȧ atykiu /ωc O projektuojat Čebyšovo filtrą c pakeitu atykiu filtrą pataroji pakeitu atykiu c/ȧoc projektuojat O projektuojat filtrą pataroji operacija gi ereikaliga pataroji operacija gi ereikaliga operacija gigi ereikaliga operacija ereikaliga 8 pavyzdy 88 pavyzdy pavyzdy uprojektuokite JF JF kurio kurio DCh DCh atitiktǐ atitiktǐ aa pav pav uprojektuokite uprojektuokite JF kurio DCh atitiktǐ a pav parodyta pecifikacija: pecifikacija: p rad/ rad/ p rad/ rad/ parodyta p parodyta pecifikacija: p p rad/ p rad/ rad/ rad/ G p db db 45 rad/ rad/ 7 G 45 rad/ 4 rad/ pg p db G db G db

75 8 pavyzdy uprojektuokite JF kurio DCh atitiktų a pav parodyta pecifikacija: ω p = rad/ ω p = rad/ ω = 45 rad/ ω = 4 rad/ G p = db G = db predima ŽD prototipo fukcijo radima ŽD prototipo fukcijo radima ω kaičiavima Ȧ kaiþiavima H j a 4 ra d / 4 / p Hp j db _ 4 db _ db b pav JF a pagal b pav JFprojektavima a projektavima pagaljojožd ŽDprototipą prototipą b Norit gauti b pav pavaizduotą ŽD prototipo DCh reikia kad dažio Ȧ vertơ bnjtǐ lygi mažeiajam iš šiǐ dviejǐ dydžiǐ [pa74 gal 6 lygtƴ]:

76 db b 4 / p pav JF a projektavima pagal jo ŽD prototipą b Norit gauti b pav pavaizduotą ŽD prototipo DCh reinorit gauti bbūtų pavlygi pavaizduotą ŽD prototipo DCh reikia kia kad dažio ω vertė mažeiajam iš šių dviejų dydžių kad dažio Ȧ vertơ bnjtǐ lygi mažeiajam iš šiǐ dviejǐ dydžiǐ [pa[pagal 6 lygtį]: gal 6 lygtƴ]: u arba 4 u 4 5 Taigi 55rad/ 69 išiš b pav Taigiω rad/kaip kaipmatyti matyti b pav = Taigi 5 rad/ kaip matyti iš b pav kaičiavima kaiþiavima Dabar reikiauprojektuoti uprojektuoti b pav b pavpavaizduotą pavaizduotąžd ŽDprototiprototipą kaiþiavima Dabar reikia Dabar uprojektuoti pavaizduotą prototipą kurio dbbωpav rad/ω 5 rad/ GGp p reikia pą kurio = 44dB db G =ŽD rad/ p p= rad/ 5 kurio G p 4atitikačio db rad/ radama 5parad/ db G Šia Šiapecifikacija pecifikacija atitikaþio peilė eilơ radama pagal gal 9 formulę: Šia pecifikacija atitikaþio eilơ radama pagal 9 formulċ: 9 formulċ: ª º «ª 4»º 955 lg lg 5 lg ««4»¼» 955 lg 5 ¼ Taigiuapvalię uapvaliċgauame gauame = Taigi Taigi uapvaliċ gauame Ȧcc kaiþiavima kaičiavima c ωȧ c kaiþiavima Pagal formulċ kaiþiuojame prototipo db ribiƴ dažƴ: Pagal formulę kaičiuojame prototipo db ribiį dažį: Pagal formulċ kaiþiuojame prototipo db ribiƴ dažƴ: 5 c / 4 c 958 / 4 4 Normuotoio fukcijo H kaiþiavima 4 Normuotoio fukcijoeilơ H kaiþiavima Iš letelơ ormuotojo atroio 4 Normuotoio fukcijo H kaičiavima letelơ ormuotojo atroio eilơ ȦccIš=Iš letelė rad/ fukcija yra: ormuotojo atroio eilė Ȧc = rad/ fukcija yra: ωc = rad/ fukcija yra: H H H = p kaiþiavima 5 Prototipo fukcijo + + Hp 5fukcija Prototipo fukcijo p kaiþiavima Ši radama 4 pukte ratohormuotoio Ši fukcija radama 4 pukte fukcijo išraiškoje pakeitu atykiurato /Ȧcc: ormuotoio fukcijo išraiškoje pakeitu atykiu /Ȧc: H p 958 H p u

77 Iš letelơ ormuotojo atroio eilơ Ȧc = rad/ fukcija yra: H 5 Prototipo fukcijo Hp kaičiavima Prototipo fukcijo Hp kaiþiavima Ši5 fukcija radama 4 pukte rato ormuotoio Ši fukcija radama 4 atykiu pukte rato fukcijo išraiškoje pakeitu /ωc: ormuotoio fukcijo išraiškoje pakeitu atykiu /Ȧc: H p 958 u = Šioprototipo prototipodch DChparodyta parodyta b pav b pav Šio 7 fukcijo radima trapageidaujamo radima trapageidaujamo Pageidaujamo fukcijo radima traformuojat ŽDF į JF formuojat ŽDF Ƴ JF Pageidaujamo fukcijo radima traformuojat ŽDF Ƴ JF Pageidaujamo fukcija gauama papageidaujamo JF fukcija iš HišpH paformuojat ŽDF ƳJF JFJF Pageidaujamo fukcija gauama pap keitu tokiatt [žr [žr 7 lygtį]:fukcija gauama iš H p papageidaujamo JF7 keitu tokia lygtƴ]: keitu tokia T [žr 7 lygtƴ]: keitu tokia T [žr 7 lygtƴ]: u6 6 T T u u6 T Ƴrašiu T gauama ga Dešiơje 9 lygtie puơje vietoj Dešiơje9 9 lygtie puơje vietoj Ƴrašiu gauama Dešiėje lygtie puėje vietoj įrašiu TTgauama ga- galutiơ juotiio fukcijo Dešiơje 9 lygtie puơje vietoj išraiška: Ƴrašiu T gauama galutiơ juotiio fukcijo išraiška: lutiė juotiio fukcijo išraiška: lutiơ juotiio fukcijo išraiška: uu6 u 6 u H H 4 6 u 6 u 9 u u u u u H u u 84 u u 4 u u u 84 u u 4 u H H jjpavaizduota a pav Ŷ Ŷ ŠioŠio DCh pavaizduota a pav DCh Šio DCh H jω pavaizduota a pav a pav Ŷ Šio 9 9 pavyzdy pavyzdy Paiaudodami fukcijomi uprojektuokite tokiǐ 9 pavyzdy MTLB 9 pavyzdy Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite tokiǐ paþiǐ pecifikacijǐ JF kaip 8 pavyzdyje Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite tokiǐ Paiaudodami paþiǐ pecifikacijǐ MTLB JF kaip 8fukcijomi pavyzdyje uprojektuokite tokių paþiǐ pecifikacijǐ pavyzdyje pačių pecifikacijų JF JF kaip kaip 8 8 pavyzdyje predima predima Juotiiam filtram projektuoti tika to to paþio fukcijo ku-kupredima Juotiiam filtram projektuoti tika paþio fukcijo riaria audojome ŽD filtram 4 6 pavyzdžiuoe iškyru tai Juotiiam projektuoti paþio fukcijo ku-tai audojomefiltram ŽD filtram 4tika 6to pavyzdžiuoe iškyru kad Wp W dabar yra vektoriai udaryti iš dviejǐ elemetǐ: Wp tai = ria audojome ŽD filtram 4 6 pavyzdžiuoe iškyru kad Wp W dabar yra vektoriai udaryti iš dviejǐ elemetǐ: Wp = [Wp Wp] W = [W W] Pateikime MTLB komadą viǐ kad Wp W dabar yra vektoriai udaryti iš dviejǐ elemetǐ: Wp = [Wp Wp] W = [W W] 76 Pateikime MTLB komadą viǐ keturiǐ aprokimacijo tipǐ filtram projektuoti: [Wp Wp] W = [W W] Pateikime MTLB komadą viǐ keturiǐ aprokimacijo tipǐ filtram projektuoti: keturiǐ aprokimacijo tipǐ filtram projektuoti:

78 predima Juotiiam filtram projektuoti tika to pačio fukcijo kuria audojome ŽD filtram 4 6 pavyzdžiuoe iškyru tai kad Wp W dabar yra vektoriai udaryti iš dviejų elemetų: Wp = [Wp Wp] W = [W W] Pateikime MTLB komadą vių keturių aprokimacijo tipų filtram projektuoti: Wp=[ ]; W=[45 4]; Gp=-4; G=-; % [NW]=buttordWpW-Gp-G [umde]=butternw % Čebyšovo [NW]=chebordWpW-Gp-G ; [umde]=chebyn-gpw % tvkštii Čebyšovo [W]=chebordWpW-Gp-G ; [umde]=cheby-gw % Kauerio [W]=ellipordWpW-Gp-G ; [umde]=ellip-gp-gw Užtvariiai filtrai Tipiio UF dažiė amplitudė charakteritika pavaizduota 4 a pav Norėdami uprojektuoti tokį filtrą pmiauia ieškome jo ŽD prototipo atitikačio 4 b pav pateikta pecifikacija fukcijo Hp Šiuo atveju parametro ω vertę lem mažeyi iš šių dviejų dydžių: ω p ω p ω ω p ω p ω arba 77 ω p ω p ω ω ω p ω p

79 dydžiǐ: dydžiǐ: p p pp pp p p arba arba p p pp pp p p Pageidaujamo UF tekiačio 4 a pav parodyta pecifipageidaujamo UF tekiaþio4 4 a pav parodytapecifikapecifikapageidaujamo UF tekiaþio a pav parodyta H išraiškoje cijo fukcija gauama kacijo ąlyga fukcija gauama cijo ąlyga fukcija gauama H pp išraiškoje pa-papakeitu tokiat T: keitu tokia T: : keitu tokia ω ω p p ppp TTT= p ω + ω ppp p pp pavyzdy pavyzdy pavyzdy uprojektuokite UF kurio DCh atitiktǐ 5 a pav uprojektuokite UF kurio DCh atitiktų 5 a pav uprojektuokite UF kurio DCh atitiktǐ 5 a pav parodyta pecifikacija: 6 rad/ 6 rad/ parodyta pecifikacija: ω = 6 rad/ parodyta pecifikacija: pp 6 rad/ p p p 6 rad/ ω = rad/ ω = 5 rad/ G = 776 db GG=G p G p rad/ G 776 db rad/ 5 rad/ db rad/ p db db db predima predima predima ŽD prototipo fukcijo radima ŽD prototipo fukcijo radima ŽD prototipo fukcijo radima kaiþiavima kaiþiavima ωȧȧ kaičiavima Norit gauti 5 b pav pavaizduotą ŽD prototipo DCh reinorit gauti 5b bpav pavpavaizduotą pavaizduotą ŽD prototipo DCh reikia kia kad dažio ω5 vertė būtų lygi mažeiajam iš šių dviejų dydžių Norit gauti DCh reikia 7 ŽD prototipo 7 kaddažio dažio Ȧ vertơ bnjtǐ lygi mažeiajam iš šiǐ dviejǐ dydžiǐ [pakad [pagal Ȧlygtį]: vertơ bnjtǐ lygi mažeiajam iš šiǐ dviejǐ dydžiǐ [pagal lygtƴ]: gal lygtƴ]: arba arba u 6 6 u u u 6 57 rad/kaip kaip matyti 5b bpav pav Taigi 57 matyti iš iš 5 b pav rad/ kaip matyti 5 Taigi H H jj GpGp GG 78 p p p rard/ a d/ p

80 H jω G p G a ω p ω ω ω p ω rad/ H jω p G p b G ω ω rad/ 4 pav Užtvariių filtrų dažio traformacija: a užtvariio DCh b ŽD prototipo DCh 79

81 4 4pav pavužtvariiǐ Užtvariiǐfiltrǐ filtrǐdažio dažiotraformacija: traformacija:aaužtvariio užtvariio DCh DChb b ŽD ŽDprototipo prototipodch DCh H H jj aa ra rad d/ / 4 4 H H jj pp db db db db db db bb 44 / / pp 5 pav UF aa projektavima pagal jojo ŽD prototipą bb 5 pav UF pagal prototipą 5 pav UF aprojektavima projektavima pagal jožd ŽD prototipą b kaiþiavima kaiþiavima kaičiavima Dabar reikia prototipą Dabar reikia uprojektuoti5 5b bpav pavpavaizduotą pavaizduotąžd ŽDprototipą prototipą Dabar reikiauprojektuoti 5 b pav pavaizduotą ŽD kurio db kuriogg G db db GG ωppp=rad/ rad/ kurio db db rad/ 57rad/ rad/ 57 p pp = Šiapecifikacija pecifikacijaatitikaþio atitikačio eilė radama radama pašia eilơ radama pagal Šia pecifikacija atitikaþio eilơ pagal gal 9 formulę: 9 9formulĊ: formulċ:

82 ª º lg 9689 lg 57 ª«º»¼º» 9689 lg «ª lg 57 lg 9689 «lggauame gauame 57 «Taigiuapvalię uapvaliċ =»¼¼» Taigi Taigi uapvaliċ gauame c kaiþiavima TaigiȦuapvaliĊ gauame ω kaičiavima Pagal c formulċ kaiþiuojame prototipo db ribiƴ dažƴ: Ȧcc kaiþiavima Ȧ Pagal formulę kaičiuojame prototipo db ribiį dažį: c kaiþiavima Pagal formulċ kaiþiuojame prototipo db ribiƴ dažƴ: Pagal formulċ kaiþiuojame prototipo c 96 db ribiƴ dažƴ: / 4 c 96 c / 4 96 / 4 4 Normuotoio fukcijo H kaiþiavima Iš letelơ ormuotojo atroio eilơh pe4normuotoio Normuotoio fukcijo kaiþiavima 4 fukcijo HH kaičiavima 4 Normuotoio fukcijo kaiþiavima rdavimo fukcija yra: letelơ ormuotojo atroio eilơ IšIš ormuotojo atroio eilė per- peiš letelė letelơ ormuotojo atroio eilơ fukcija yra: davimo fukcija yra: rdavimo fukcija yra:h H = H + + H p kaiþiavima fukcijo 5 Prototipo Ši fukcija radama 4 pukte rato ormuotoio 5Prototipo Prototipo fukcijo fukcijo kaiþiavima p 5 HH pp 5 Prototipo fukcijo H kaičiavima kaiþiavima fukcijo išraiškoje pakeitu atykiu /Ȧ c:p fukcijaradama radama pukte rato ormuotoio ŠiŠi 44 pukte rato ormuotoio Šifukcija fukcija radama 4 pukte rato ormuotoio fukcijoišraiškoje išraiškoje pakeitu pakeituatykiu atykiu /Ȧc:cc: /ω fukcijo fukcijo išraiškoje pakeitu atykiu /Ȧ : c H p 569 H p H p 569 Šio prototipo DCh parodyta 5 bpav 569 Šio prototipo parodyta 5 b pav Šio prototipodch DCh parodyta 5 b pav fukcijo radima trašiopageidaujamo prototipo DCh parodyta 5 b pav formuojat ŽDF Ƴ UF Pageidaujamo fukcijo radima trapageidaujamo Pageidaujamo fukcijo radima Pageidaujamo fukcijo radima JF fukcija gauama iš H ptra tra paformuojat ŽDF Ƴ UF formuojat ŽDF Ƴ UF formuojat ŽDF į UF keitu tokia T [žr lygtƴ]:fukcija gauama iš H p papageidaujamo JF PageidaujamoJFJF fukcija fukcijagauama gauamaiš išhh papageidaujamo pap p keitu tokia T [žr lygtƴ]: keitu lygtį]: keitutokia tokiat T [žr [žr T lygtƴ]: 56 T T 56 lygtie puơje vietoj Ƴrašiu T gauama ga Dešiơje 56 lutiơ užtvariio fukcijo išraiška:t gauama gadešiơje lygtie puơje vietoj Ƴrašiu Dešiơje lygtie puơje vietoj Ƴrašiu T gauama galutiơ užtvariio fukcijo išraiška: lutiơ užtvariio fukcijo išraiška:

83 Dešiėje lygtie puėje vietoj įrašiu T gauama galutiė užtvariio fukcijo išraiška: 56 H u u 4 u Ŷ Šio DCh H j pavaizduota 5 a pav Šio DCh H jω pavaizduota 5 a pav pavyzdy pavyzdy Paiaudodami MTLB fukcijomi uprojektuokite tokiǐ Paiaudodami MTLB fukcijomi paþiǐ pecifikacijǐ UF kaip pavyzdyje uprojektuokite tokių pačių pecifikacijų UF kaip pavyzdyje predima Pateikime MTLB komadą viǐ keturiǐ aprokimacijo tipǐ predima filtram projektuoti: Pateikime MTLB komadą vių keturių aprokimacijo tipų filtram Wp=[6 projektuoti: 6]; W=[ 5]; Gp=-; G=-; % Wp=[6 6]; W=[ 5]; Gp=-; G=-; [NW]=buttordWpW-Gp-G'' [umde]=butternw'top''' % % [NW]=buttordWpW-Gp-G [umde]=butternw top [NW]=chebordWpW-Gp-G''; [umde]=chebyn-gpw'top''' % Čebyšovo % tvkštii [NW]=chebordWpW-Gp-G ; [umde]=chebyn-gpw top [NW]=chebordWpW-Gp-G''; [umde]=chebyn-gw'top''' % tvkštii Čebyšovo % Kauerio [NW]=chebordWpW-Gp-G ; [umde]=chebyn-gw top [NW]=ellipordWpW-Gp-G''; [umde]=ellipn-gp-gw'top''' % Kauerio [NW]=ellipordWpW-Gp-G ; [umde]=ellipn-gp-gw top 8 Ŷ

84 4 gradiė fukcijo Įgyvediima 4 GRNDINƠ PERDVIMO FUNKCIJO ƲGYVENDINIM 4 GRNDINƠ PERDVIMO FUNKCIJO ƲGYVENDINIM 4 Daugiaarė LC gradiė formavima audojat 4 Daugiaarơ LC gradiơ formavima audojat dadalybą u liekaa lybą u liekaa 4 Daugiaarơ LC gradiơ formavima audojat dalybą u liekaa 4 pav keturpolio pavidalu pavaizduota idealizuota payvui 4 pav keturpolio pavidalu pavaizduota idealizuota payvu- udaryta vie tiktikišiškodeatoriǐ riþiǐ tok ifiltra filtra udaryta vie kodeatorių ričiųkadagi Kadagi tokfilt4 pav keturpolio pavidalu pavaizduotaidealizuota payvui ra eaudoja apkrovo varžoje išklaidoma galia filtra eaudoja eergijo jo R LL išklaidoma galia filtra udaryta eergijo vie tik išjo kodeatoriǐ riþiǐ Kadagi tok filt-po lygi Ƴơjimo igalo galiai P Ši galiǐ lygybơ ąlyga reiškia kad P lygi įėjimo igalo galiai P Ši galių lygybė ąlyga reiškia kad ii rao eaudoja eergijo jo apkrovo varžoje RL išklaidoma galia Pteio iga tokia lygybơ: teiiga tokia lygybė: lygi Ƴơjimo igalo galiai Pi Ši galiǐ lygybơ ąlyga reiškia kad teiiga tokia lygybơ: R I j R I j I j R + _ Vo jrl RL I j R + _ Vo j Pa y v u i P a yf ivlut r ai f i l t rbae u o t ol i ǐ be u o t ol i ǐ Vi j Vi j + RL + Vo j V_o j RL _ = R + j X = R + j X 4 pav Idealizuoto payviojo jugima Ƴ gradiċ 4 pav Idealizuoto payviojo jugima į gradię 4 pav Idealizuoto payviojo jugima Ƴ gradiċ Kita vertu kadagi Kita vertu kadagi Kita vertu kadagi I j Vi j ij ViRV jω I Ij jω = RR + užrašyti: tai galima tai galima užrašyti: 8

85 tai galima užrašyti: V j 4 II jj 4 V jvii j 4 i RV j I j VRiij 4 4 I Ijj R ivi 4 j R I j 4 ƳƳ 4 Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ʋtaþiu4 4 lygtƴ 4 R Įtačiu lygtį į 4 Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ƴ 4 R Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ƴ j4 V R VƳoo4 j RLLR R 4 lygtƴ Ƴ 4 4 Ʋtaþiu 4 4 Vo V ji j RLRR V j j R R 4 i R V o L oj RL RL 4 ViVoV j 4 R RL R oi jj V R 4 Vi ij pibrơžkime tokią fukciją: R pibrơžkimetokią tokią fukciją: Vfukciją: pibrėžkime i j R pibrơžkime tokią fukciją: pibrơžkime tokią fukciją: R V j pibrơžkime tokią fukciją: 4 R Vooo jω 44 j pibrơžkime tokią fukciją: jω = R4 RVLo V ji j R V j 44 j 4 R RLLV Voioijjω 44 L4 R Vi ov j 44 jj 4R Voi jj R L Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ƴ 44 paiaudoju lygybe R jx 4 44 j RL LVi ij lygybe Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ƴ 44 paiaudoju R jx R V j L i Įtačiu 4 lygtį į 44 paiaudoju lygybe Ʋtaþiu 4 gauama: lygtƴ Ƴ 44 R jx upratiu upratiu gauama: Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ƴ 44 paiaudoju lygybe R jx Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ƴ 44 paiaudoju lygybe jx R upratiu gauama: upratiu gauama: Ʋtaþiu 4 lygtƴ Ƴ 44 paiaudoju lygybe R jx upratiu gauama: R upratiu gauama: R 45 upratiu gauama: jj R 45 R R j R R jj R R j R R Kadagi Kadagi jj jj lygtƴ lygtƴ galima galima perrašyti perrašyti Rjj Kadagi j j j 45 lygtƴ galima perrašyti taip: Kadagijj jj jj45 45 lygtƴ galima perrašyti taip: Kadagi lygtį galima perrašyti Kadagi 45 lygtƴ galima perrašyti taip: Kadagi j j j 45 lygtƴ galima perrašyti R taip: taip: R taip: 46 RrrR 46 jj taip: 46 j r R R R jj rrrr R Pakeitu jȧ 46 lygtyje Laplao kitamuoju gauama: r 46 j R Pakeitu jȧ 46 lygtyje Laplao kitamuoju gauama: Pakeitu jȧ 46 lygtyje LaplaoRkitamuoju gauama: R Pakeitu 46 lygtyje Laplao kitamuoju gauama: R kitamuoju Pakeitu jȧjȧ 46 lygtyje Laplao gauama: r 47 lygtyje RLaplao rlaplao 47 PakeitujωjȦ46 46 kitamuoju gauama: Pakeitu lygtyje kitamuoju gauama: R R r R R rrrr 47 R Iš 47 lygtie matyti kad kad rr 47 Iš 47 lygtie matyti 47 Iš 47 lygtie matyti kad R r 47 lygtie matyti kad ª º r Iš Iš 47 lygtie matyti kad 48 R «ª r»º Iš 47 lygtie matyti kad 48 ªR «º r¼»rr» º¼º r 48 R «ª ª 48 ¼ º» R R 48 ª«48 R«84»¼»¼ «¼ 78 78

86 Pakeitu jȧ 46 lygtyje Laplao kitamuoju gauama: R r R lygtie matytikad kad IšIš47 lygtie matyti ª º R ¼ r Tam kad parodytume kaip radama [o kartu ] ko78 kretau tipo filtrui paagriėkime aprokimacijo fukciją ŽDF fukcija užrašoma taip: Vo jω Vi jω = K + ω / ωc 49 Kad būtų papračiau paagriėkime atvejį kai ωc = rad/ o R = RL Tuomet remiati 4 pav K = / Įtačiu 49 lygtį į 44 upratiu gauama: jω = ω + ω 4 4 lygtyje vietoj jω audojat Laplao kitamą jį = / j = + / j P P čia P -oio eilė polioma Pavyzdžiui iš letelė radame tokią trečioio eilė poliomo išraišką: P = Todėl ŽDF kurio ωc = rad/ R = RL o K = / galima užrašyti taip: = P 85 4

87 R RL o K = / galima užrašyti taip: P 4 Žiat 4 4galima galimapaiaudoti paiaudoti48 48lygtimi lygtimidviem dviempriimtipriimtiom išraiškom rati avo ruožtu tai duo du alteratyviu rati avo ruožtu tai duo du alteratyviu būdu gradiei įgyvediti bnjdu gradiei Ƴgyvediti 4 pavyzdy 4 pavyzdy Tarkime įgyvediti treþioio trečioio eilơ eilė filtrą filtarkime kad kad reikia reikia Ƴgyvediti trą audojat payvioio daugiaarėgradiơ gradiėtruktnjrą truktūrąšio Šio filaudojat payvioio daugiaarơ tro ω = rad/ R = R = Ω Remiati 4 lygtimi c c rad/ R RL L: Remiati 4 lygtimi 79 = Iš 48 lygtie matyti kad: 48lygtie lygtiematyti matytikad: kad: IšIš48 Iš 48 lygtie matyti kad: rr º º ª ª «ª º» r»¼»»¼ «««¼ Pmaiatveji atveji Pmai yratokio tokioišraiško: išraiško: Tarkimekad kad yra Pmai atveji Tarkime yra Tarkime kad yra tokio išraiško: Pataroio reiškiƴ galima užrašyti trupmeovardiklyje vardiklyjeeatƴ eatƴ Pataroio trupmeo reiškiƴ galima užrašyti kitaip: Pataroio trupmeo vardiklyje eatƴ reiškiƴ galima užrašyti kitaip: Pataroio trupmeo vardiklyje eatį reiškiį galima užrakitaip: šyti kitaip: titikamai = + titikamai + + titikamai + + tokią lygybċ: Dabargalima galimaužrašyti užrašyti Dabar tokią lygybċ: Dabar galima užrašyti tokią86lygybċ: 4 4

88 trupmeo vardiklyje eatƴ reiškiƴ galima užrašyti IšPataroio 48 lygtie matyti kad: kitaip: r ª º» «titikamai ¼ Pmai atveji titikamai tokio + išraiško: Tarkime kad +yra = galima Dabar užrašyti tokią lygybę: Dabar galima užrašyti tokią lygybċ: 4 Pataroio trupmeo 4 vardiklyje eatƴ reiškiƴ galima užrašyti kitaip: 4 4 lygtƴ pavaizduota gradiơ 4 lygtį įgyvedia 4 pav Ƴgyvedia 4 pavpavaizduota gradiė 4 lygtƴ Ƴgyvedia 4 pav pavaizduota gradiơ Ŷ trai atveji titikamai L išraiško: Tarkime R kad yra tokio H 8 + : C Dabar galima užrašyti tokią lygybċ: RL + _ vi t C F F : vo t _ 4 įgyvediimo būda 4 pav Trečioio eilėeilơ ŽDF:ŽDF: pmai 4 pav Treþioio pmai Ƴgyvediimo bnjda 4 lygtƴ Ƴgyvedia 4 pav pavaizduota gradiơ L L R atveji trai trai Tarkime yra tokio išraiško: Tarkime kad kad yra H H : + _ v t i C 8 F + RL : 4 lygtƴ Ƴgyvedia4 pav 4 pav pavaizduotagradiė gradiơ 4 lygtį įgyvedia pavaizduota v4 o t 4 _ Ŷ 4 pav Treþioio eilơ ŽDF: atrai Ƴgyvediimo bnjdal R 87 Kadagi tokia kaidymo procednjra yra gaa udơtiga patogiau H + : pateikiamomi letelơmi audoti žiyuoe udarytomi dažiau-

89 4 pav Treþioio eilơ ŽDF: pmai Ƴgyvediimo bnjda + _ R L L : H H vi t + C RL F : vo t _ 4 pav Trečioio eilė ŽDF: atrai įgyvediimo būda 4 pav Treþioio eilơ ŽDF: atrai Ƴgyvediimo bnjda Kadagi tokia kaidymo procedūra yra gaa udėtiga patokadagi tokia kaidymo procednjra yra gaa udơtiga patogiau giau audoti žiyuoe pateikiamomi letelėmi udarytomi audoti žiyuoe pateikiamomi letelơmi udarytomi dažiaudažiauiai paitaikačių filtrų tipam 4 46 letelėe galima iai paitaikaþiǐ filtrǐ tipam 4 46 letelơe galima rati gradati gradiė elemetų verte iduktyvumai urodyti heriai ơ elemetǐ verte iduktyvumai urodyti heriai o talpo farao talpo faradai reikaliga įgyvediat ormuotuoiu Baterdai reikaliga Ƴgyvediat ormuotuoiu ŽDF vorto ŽDF filtru taip pat kai kurių tipų Čebyšovo Kauerio filtru filtru taip pat kai kuriǐ tipǐ Kauerio filtru Paþio Pačio filtru įgyvediačio gradiė pavaizduoto pav filtru Ƴgyvediaþio gradiơ pavaizduoto pav 4 letelė Normuotojo elemetų vertė kai R = R L 8 C L C L4 C5 L6 C L C L C 4 L 5 C 6 L 7 88

90 4 letelė Normuotojo Čebyšovo elemetų vertė db R = 5 Ω arba Ω C L L C 4 L 5 C 6 L 7 L C C L4 C5 L6 C7 4 letelė Normuotojo Čebyšovo elemetų vertė 5 db R = 5 Ω arba Ω C L C L L C L C 4 89 C5 L6 C L 5 C 6 L 7

91 44 letelė Normuotojo Čebyšovo elemetų vertė 5 db R = 5 Ω arba Ω C L C L4 C5 L6 C L C L C 4 L 5 C 6 L 7 45 letelė Normuotojo Čebyšovo elemetų vertė db R = / Ω arba Ω C L C L L C L C 4 9 C5 L 5 L6 C C L 7

92 46 letelė Normuotojo Kauerio elemetų vertė Gp G ω C C L C Gp G ω L L C L R= R L L R= R L L + _ vi t + _ vi t C _ C C _ C C : C : + + vo t _ vo t _ 44 pav Lygiė eilė Čebyšovo ŽDF prototipo gradiė 44 pav Lygiơ eilơ ŽDF prototipo gradipraidedati rite ơ praidedati rite 44 pav Lygiơ eilơ ŽDF prototipo gradil ' L' L' R= / R ơ praidedati rite R= / R + _ L ' vi t + _ L' C ' _ C'_ L' + : C' vi t C ' : + _ vo t vo t _ 45 pav Nelygiơ eilơ ŽDF prototipo gradiơ praidedati rite 45 pav Nelygiė eilė Čebyšovo ŽDF prototipo gradiė 45 pav Nelygiơ eilơpraidedati rite ŽDF prototipo gradiơ praidedati rite L ' L' _ R = /R L' R= / R + _ + vi t C ' C ' L ' _ L ' 9 C ' C ' L ' + : : + _ vo t

93 45 pav Nelygiơ eilơ ŽDF prototipo gradiơ praidedati rite L ' _ R= / R + _ vi t L ' C ' L ' + C ' : vo t _ 46 pav Lygiė eilė Čebyšovo ŽDF prototipo gradiė 46 pav Lygiơ eilơ ŽDF prototipo gradipraidedati kodeatoriumi ơ praidedati kodeatoriumi LL R = =R R R ++ vvii tt LL C84 C C C C C : : ++ vvoo tt 47 pav Nelygiė eilė eilơ Čebyšovo ŽDF ŽDF prototipo gradiė 47 pav pav Nelygiơ prototipo gra47 Nelygiơ eilơ ŽDF prototipo grapraidedati kodeatoriumi diơ praidedati kodeatoriumi diơ praidedati kodeatoriumi LL : : ++ vvii tt LL C C C C C C C C C C ++ : : vvoo tt 48 pav Kauerio ŽDF prototipo gradiė praidedati kodeatoriumi 48 pav pav Kauerio Kauerio ŽDF ŽDF prototipo prototipo gradiơ gradiơ praidedati praidedati kodeatokodeato48 riumi riumi : : ' LL' ' LL' 9 + ' LL' ' LL' ' LL' ++ : :

94 48 pav Kauerio ŽDF prototipo gradiơ praidedati kodeatoriumi : + _ vi t L' L' _ L' L' L' _ C ' C ' _ + _ : vo t 49 pav Kauerio ŽDF prototipo gradiė praidedati rite 49 pav Kauerio ŽDF prototipo gradiơ praidedati rite 85 4 Gradiė elemetų verčių traformavima pagal dažį Kaip buvo aptarta 5 pokyryje iš vio galimi keturi dažio traformacijo tipai: ŽDF-ŽDF ŽDF-DF ŽDF-JF ŽDF-UF Vioe šioe traformacijoe laikoma kad ŽDF yra projektuojamojo prototipa gauama audojat 4 pokyryje pateikta letele ŽDF traformavima į kitą ŽDF Kaip aptarta 5 pokyryje ŽDF prototipa traformuojama į reikiamą ŽDF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekvieą pakeičiat atykiu /kf Čia kf žymi dažio keitimo koeficietą Kadagi prototipo operaciėje chemoje ritė reaktyvioji varža lygi L tai traformuotoje pagal dažį gradiėje ritė reaktyvioji varža bu lygi L/k f O kodeatoriau reaktyvioji varža iš /C traformuojama į /C/kf Be abejo traformuotoje pagal dažį gradiė chemoje rezitorių varžų vertė eikeičia e jo epriklauo uo Taigi prototipui traformuoti pagal dažį taikoma tokia procedūra: 9

95 Vių ričių iduktyvumų vertė dalijamo iš dažio keitimo koeficieto kf Vių kodeatorių talpų vertė dalijamo iš kf Rezitorių varžų vertė paliekamo to pačio ŽDF traformavima į DF Kaip aptarta 5 pokyryje ŽDF prototipa traformuojama į reikiamą DF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekvieą pakeičiat atykiu kf / Čia kf žymi dažio keitimo koeficietą Kadagi prototipo operaciėje chemoje ritė reaktyvioji varža lygi L tai traformuotoje pagal dažį gradiėje ritė reaktyvioji varža bu lygi //kf L ka prilygta /kf L dydžio kodeatoriui O kodeatoriau reaktyvioji varža iš /C traformuojama į /kf C ka prilygta /kf C dydžio ritei Be abejo traformuotoje pagal dažį gradiė chemoje rezitorių varžų vertė eikeičia e jo epriklauo uo Taigi prototipui traformuoti pagal dažį taikoma tokia procedūra: Kiekviea ritė ŽD prototipo gradiėje pakeičiama kodeatoriumi kurio talpa lygi /kf L Kiekviea kodeatoriu ŽD prototipo gradiėje pakeičiama rite kurio iduktyvuma lygu /kf C Rezitorių varžų vertė paliekamo to pačio ŽDF traformavima į JF Kaip aptarta 5 pokyryje ŽDF prototipa traformuojama į reikiamą JF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekvieą pakeičiat reiškiiu: T = + ω p ω p ω p ω p 94

96 reikiamą JF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekvieą pakeiþiat reiškiiu: pakeiþiat reiškiiu: p p p p T T p p p p Kadagi chemoje ritė reaktyvioji varža Kadagiprototipo prototipooperaciėje operaciơje chemoje ritơ reaktyvioji varža Kadagi prototipo operaciơje chemoje ritơ reaktyvioji varža otoje pagal lygi dažƴ gradiơ chemoje rezitoriǐ varžǐ L tai traformuotoje pagal dažį gradiėje ritė reaktylygi L tai traformuotoje pagal dažƴ gradiơje ritơ reaktyvioji L tai traformuotoje pagal dažƴ gradiơje ritơ reaktyvioji ikeiþia e lygi jo epriklauo uo Taigi prototipui vioji varža varža bu bu lygilygi varža bu lygi oti pagal dažƴ taikoma tokia procednjra: L ekviea ritơ ŽD prototipo gradiơje kode- L pakeiþiama oriumi kurio talpa lygi /kf L p p p p p p p p ekviea kodeatoriu ŽD prototipo gradiơje L ppakei p L p p ama rite kurio iduktyvuma lygu /kf C ritċ upataroji išraiška reiškia L / p piduktyvumo iduktyvumo zitoriǐ varžǐ vertơ paliekamo toreiškia paþio Pataroji išraiška reiškia ritę L / p p ritċ uupataroji išraiška jugtąuoekliai uoekliaiuu kodeatoriumi kurio talpa p pω / jugtą kodeatoriumi kurio talpa ω jugtą uoekliai u kodeatoriumi kurio talpa p pp /p/ ŽDF traformavima Ƴ JF L Lω ppω p p L po prototipo p ŽDF aptarta 5 pokyryje prototipa traformuojama Ƴ kodeatoriau reaktyvioji varža /C trao prototipo kodeatoriau reaktyvioji varža /C trao prototipo kodeatoriau reaktyvioji varža /C traf ormuotoio išraiškoje kiekvieą formuojama į fukcijo formuojama Ƴ t reiškiiu: formuojama Ƴ p p p pω p p p pω C C T p p C +pω p p p ppω o taio reiškia / C ritċ ujugtą p /pc pp iduktyvumo tai reiškiap p p p iduktyvumo ritċ ujugtą gi prototipolygiagreþiai ritơ o reiškia tai reiškia p p reaktyvioji /C ppkurio ujugtą C / ritę pritċ uchemoje iduktyvumo Kaip oooperaciơje tai kodeatoriumi u varža ritċ ujugtą piduktyvumo talpa tai ujugp kodeatoriumi /pc pkurio 87 talpa lygiagreþiai Cp / p p Kaip 87 traformuotoje pagal dažƴ gradiơje ritơ reaktyvioji tąprieš lygiagrečiai u kodeatoriumi kurio talpa / Cp/pchemoje pkaip lygiagreþiai kodeatoriumi kurio C u kodeatoriumi kurio talpa dažƴ Kaip lygiagreþiai tai taip utraformuotoje pagal dažƴ gradiơ p chemoje prieš tai taip traformuotoje pagal gradiơ ygi Kaip prieš tai taip traformuotoje pagal dažį gradiė cherezitoriǐ varžǐ vertơ e pagal jo uo prieš tai taip eikeiþia traformuotoje pagal dažƴ gradiơ rezitoriǐ varžǐ vertơ eikeiþia eepriklauo jo epriklauo uochemoje chemoje prieš tai taip traformuotoje dažƴ gradiơ rezitorių varžų vertė eikeičia e jo epriklauo uo Lmoje = rad/ traformuoti Taigi prototipui kurio Ȧ rezitoriǐ varžǐ vertơ eikeiþia e jo = epriklauo rad/ traformuoti prototipui kurio Ȧpepriklauo rezitoriǐ varžǐ vertơ ep jo uo uo pagalpagal eikeiþia Taigi Taigi prototipui kurio ω = rad/ traformuoti pagal p dažƴ pdažƴ taikoma p tokia pprocednjra: prototipui Taigi = rad/ traformuoti pagal Taigi kurio Ȧprad/ taikoma tokia procednjra: traformuoti pagal prototipui kurio Ȧpp = dažį taikoma tokia procedūra: Kiekviea ritơ ŽD prototipo gradiơje pakeiþiama x L dažƴ procednjra: Kiekviea ritơ ŽD prototipo gradiơje pakeiþiama x taikoma ptokia ptokia procednjra: dažƴ taikoma Kiekviea ritė ŽD ŽD prototipo gradiėje pakeičiama / L iduktyvumo rite rite ujugta uoekliai u u Kiekviea prototipo gradiơje pakeiþiama x p p / ŽD L iduktyvumo ujugta uoekliai prototipo gradiơje pakeiþiama x Kiekviea ritơpritơ ritċ uoji išraiška reiškia L /Lp /pp iduktyvumo iduktyvumo rite ujugta uoekliai u u ujugta ujugta uoekliai kodeatoriumi kurio talpatalpa / Luoekliai L /kodeatoriumi p p p piduktyvumo riterite iduktyvumo pp pu kodeatoriumi kuriokurio talpa ω pp/ pωpp / pl ω/ ppl ω p oekliai u kodeatoriumi kurio talpa ptalpa p / L / L kodeatoriumi pakeikuriokurio talpa p pgradiơje pgradiơje pppap kodeatoriu ŽD x Kiekviea p prototipo p pakeikiekviea kodeatoriu ŽDprototipo prototipo gradiėje Kiekviea kodeatoriu ŽD xkodeatoriumi pkodeatoriu iduktyvumo rite rite ujug p kodeatoriu /C /pc Kiekviea ŽD gradiơje pakeixkiekviea pp ŽD iduktyvumo ujugþiama keičiama iduktyvumo rite prototipo gradiơje pakeix þiama p p p prototipo o prototipo kodeatoriau reaktyvioji varža /C tra C iduktyvumo rite ujugþiama / ujugta kurio talpa lygiagrečiai pkodeatoriumi pp piduktyvumo rite ujugþiama pu u ta lygiagreþiai kodeatoriumi kurio talpa p p /pc kodeatoriumi ta lygiagreþiai u kurio talpa ma Ƴ Cta/C talygiagreþiai kodeatoriumikuriokuriotalpatalpa p / lygiagreþiai p u u kodeatoriumi p p Rezitorių varžų vertė paliekamo topaþio pačio C / p x p Rezitoriǐ p varžǐ vertơ p pvaržǐ p vertơ paliekamo to paliekamo to paþio xc /Rezitoriǐ Rezitoriǐ varžǐ vertơ paliekamo to paþio C x xrezitoriǐ p pvaržǐ vertơ paliekamo to paþio ŽDF traformavima Ƴ UFƳ UF ŽDF traformavima ŽDF traformavima UF traformavima Ƴ UFƳtraformuojama KaipKaip aptarta 5ŽDF pokyryje ŽDF prototipa Ƴ 95 ŽDF aptarta 5 pokyryje prototipa traformuojama Ƴ 87 reikiamą UF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekvieą aptarta 5 pokyryje prototipa traformuojama reikiamą UF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekvieą KaipKaip aptarta 5 pokyryje ŽDFŽDF prototipa traformuojama Ƴ Ƴ

97 þiama p p /C p p iduktyvumo rite ujugta lygiagreþiai u kodeatoriumi kurio talpa C / p p x RezitoriǐŽDF varžǐ vertơ paliekamo to paþio traformavima į UF ŽDF traformavima Ƴ UF Kaip aptarta 5 pokyryje ŽDF prototipa traformuojama Kaip aptarta 5 pokyryje ŽDF prototipa traformuojama Ƴ į reikiamą UF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekreikiamą UF ormuotoio fukcijo išraiškoje kiekvieą vieą pakeičiat reiškiiu: pakeiþiat reiškiiu: ω p ω p p p TT = + ω pp ω pp Kadagi operaciėje chemoje ritėritơ reaktyvioji varža Kadagiprototipo prototipo operaciơje chemoje reaktyvioji varža lygi lygilltaitaitraformuotoje traformuotojepagal pagaldažį dažƴgradiėje gradiơje ritė ritơ reaktyreaktyvioji vioji varža varža bubu lygilygi p p L p p Pataroji išraiška reiškia p p L / p p iduktypataroji išraiškaišraiška reiškia reiškia L /ppl/p iduktypataroji pidukty iduktyišraiška reiškia idukpataroji reiškia pp ppp L / p pp vumo ritċ ujugtą lygiagreþiai u kodeatoriumi kurio talpa vumo ritċ ritę ujugtą lygiagreþiai u kodeatoriumi kuriokurio talpatal tyvumo kodeatoriumi ritċ lygiagreþiai u kodeatoriumi vumo uukodeatoriumi kuriokurio talpa talpa p ujugtą ujugtą pujugtą vumo /[ritċ Llygiagreþiai ] lygiagrečiai p /[pp L] p L] /[ pa /[ p p L] O prototipo kodeatoriau reaktyvioji /C tra prototipo kodeatoriau reaktyvioji varžavarža /C tra88 reaktyvioji OO prototipo kodeatoriau varža /C trao prototipo kodeatoriau reaktyvioji varža O įprototipo kodeatoriau reaktyvioji varža /C /C tra-traformuojama Ƴ formuojama formuojama Ƴ formuojama Ƴ formuojama Ƴ p p C + [ p p C / pp ] C p[ω p pω /p C / ] C p pω ] p p[c pω C /C ω pc p/p [ p[p p p ppc ω pp ppp ]p ] o tai reiškia /[ p p C ] iduktyvumo ritċ ujugtą uoeko tai reiškia /[ p /[pp C ]iduktyvumo ritċ ujugtą uoek-uoektai reiškia C ] iduktyvumo ritċ ujugtą /[ ritę uoeo tai oreiškia reiškia /[ω pp ω pp C C]]piduktyvumo iduktyvumo ritċ ujugtą ujugtą uoekliai u kodeatoriumi kurio talpa p p C / p p u kodeatoriumi kurio talpa liaikliai u liai kodeatoriumi kurio talpa / p C u kodeatoriumi C p/ liai u kodeatoriumi kuriokurio talpa talpa p p ppp C p/p p p p Kaip prieš tai taip traformuotoje pagal dažƴ gradiơ Kaip prieš tai taip traformuotoje pagal dažį gradiė che- chekaip Kaip prieš tai taip traformuotoje pagal dažƴ gradiơ cheprieš tai traformuotoje pagal dažƴ gradiơ chekaip prieš taivaržų taip taip traformuotoje pagal gradiơ cherezitoriǐ varžǐ vertơ eikeiþia e jo epriklauo mojemoje rezitorių vertė eikeičia e jo dažƴ epriklauo uouo moje rezitoriǐ varžǐ vertơ eikeiþia e jo e epriklauo uo uo moje rezitoriǐ varžǐ vertơ eikeiþia jo epriklauo mojetaigi rezitoriǐ varžǐ vertơkurio eikeiþia e jorad/ epriklauo uopagal pagal traformuoti Taigi prototipui kurio Ȧp = prototipui ω = rad/ traformuoti traformuoti pagal pagal Taigi prototipui kurio kurio Ȧp p= rad/ = rad/ traformuoti Taigi prototipui Ȧ p = rad/ traformuoti pagal Taigi prototipui kurio Ȧ dažƴ taikoma tokia procednjra: p dažį taikoma tokia procedūra: dažƴ taikoma tokia procednjra: dažƴ taikoma tokia procednjra: dažƴ taikoma tokia ritė procednjra: ritơ prototipo gradiơjepakeičiapakeiþiama x Kiekviea Kiekviea ŽD ŽD prototipo gradiėje ritơ ŽD prototipo gradiơje pakeiþiama x Kiekviea ritơ ŽD gradiơje pakeiþiama x Kiekviea prototipo Kiekviea ritơ ŽD prototipo gradiơje pakeiþiama x ma iduktyvumoriterite u- ly p L / p p iduktyvumo ujugta p ppp L / iduktyvumo rite ujugta ly L / iduktyvumo rite ujugta p p p p p p p L / p p iduktyvumo rite ujugta ly- lygiagreþiai u kodeatoriumi kurio talpa giagreþiai u kodeatoriumi kurio kurio talpa talpa kodeatoriumi giagreþiai kurio talpa p u Lkodeatoriumi giagreþiai /[ p u ] 96 /[ p /[pp L] p L] /[ p p L] kodeatoriu ŽD prototipo gradiơje pakeix Kiekviea kodeatoriu ŽD prototipo gradiơje pakei- pakeix Kiekviea kodeatoriu ŽD prototipo gradiơje x Kiekviea

98 prototipui kurio Ȧp = rad/ traformuoti pagal dažƴtaigi taikoma tokia procednjra: dažƴ tokia procednjra: Kiekviea ritơ ŽD prototipo gradiơje pakeiþiama x taikoma gradiơje pakeiþiama x Kiekviea ritơ ŽD prototipo p p L / p p iduktyvumo rite ujugta ly p p L / p p iduktyvumo rite ujugta lygiagreþiai u kodeatoriumi kurio talpa u kodeatoriumi kurio talpa talpa giagreþiai kurio pu jugta /[ p lygiagrečiai L] kodeatoriumi /[ p p L] kodeatoriu ŽD prototipo gradiơje pakeix Kiekviea Kiekviea kodeatoriužd ŽD prototipo gradiėkiekviea prototipo gradiơje x þiama C ] iduktyvumo rite ujugtapakeiuo /[kodeatoriu p p/[ ω je pakeičiama ω C ] iduktyvumo p rite ujugta rite uoþiama /[ p p Cp] iduktyvumo ekliai u kodeatoriumi kurio kuriotalpa ujugta uoekliai u kodeatoriumi talpa ekliai u kodeatoriumi kurio talpa p p C / p p p pvaržų C / p p paliekamo Rezitorių vertė topaþio pačio varžǐ vertơ paliekamo to x Rezitoriǐ x Rezitoriǐ varžǐ vertơ paliekamo to paþio 4 Gradiơ elemetǐ verþiǐ traformavima pagal 44 Gradiơ elemetǐ verþiǐ traformavima pagal Gradiė elemetų verčių traformavima varžą varžą pagal varžą Norit pakeiti ritơ reaktyviąją varžą ki kartǐ reikia ritơ iduknorit pakeiti ritơ reaktyviąją varžą ki kartǐ reikia ritơ idukreaktyvioji varža lygi LiO tyvumo vertċ padaugiti ki e ritơ Norit pakeiti ritėiš reaktyvią ją varžą ki kartų reikia ritė e ritơ reaktyvioji varža lygi L O tyvumo vertċ padaugiti iš k i orit pakeiti kodeatoriau reaktyviąją varžą k kartǐ reikia jo i duktyvumo vertę padaugiti iš k e ritė reaktyvioji varža lygi L i orit vertċ pakeiti kodeatoriau reaktyviąją varžą ki kartǐvarža reikia jo lygi talpo padalyti iš ki e kodeatoriau O orit pakeiti kodeatoriau reaktyvią ją reaktyvioji varžą ki kartų reikia reaktyvioji varža lygi talpo vertċ padalyti iš ki e kodeatoriau jo talpo vertę padalyti iš ki e89kodeatoriau reaktyvioji varža lygi /C kivaizdu kad orit 89 pakeiti rezitoriau varžą ki kartų reikia šio varžo vertę padaugiti iš ki /C kivaizdu kad orit pakeiti rezitoriau varžą ki kartǐ reikia šio varžo vertċ padaugiti iš ki 44 Gradiė fukcijo įgyvediimo 44 Gradiơ fukcijo Ƴgyvediimo pavyzpavyzdžiai džiai 4 pavyzdy 4 pavyzdy Tarkime Tarkimekad kad reikia reikia Ƴgyvediti įgyvediti mažiauio mažiauio eilơ eilė Čebyšovo DFtekiatƳ tekiatįtokia tokia pecifikacija: pecifikacija: G pp = 5 db G 6 db DF f = Hz f = HzR RL = :Ω f p Hz f Hz p L predima predima Remiati 9b 9b lygtimi eilė = 5 Remiati lygtimeikaliga reikaliga eilơ Iš 44 le= 5 Iš telė radame ŽDŽD prototipo 44 letelơ radame prototipokurio kuriochema chema pavaizduota pavaizduota 47 pav elemetųverte: verte:rr = = 5 Ω; 47 pav elemetǐ 5 ȍ; CC = 8 F; = 8 F; L = 7645 H; = 7645 H; 48 F; LL4 4= = 76 H; 76 H; CC55 = 97 F; = 97 F; RLL = Ω = ȍ CC= = 48 F; Kadagi pralaido juoto ribii daži fp turi bnjti Hz dažio keitimo koeficieta kf = ʌ = 68 Prototipo gradiei 97 pritaikiu 4 pokyryje aprašytą traformaciją iš ŽDF Ƴ DF gauamo aujo elemetǐ vertơ: R = 5 ȍ; L = 498 ȝh;

99 p L predima Remiati 9b lygtimi reikaliga eilơ = 5 Iš 44 letelơ radame ŽD prototipo kurio chema pavaizduota 47 pav elemetǐ verte: R = 5 ȍ; Cdaži = 8 F; L = 7645 H; Kadagi pralaido juoto ribii f turi būti Hz = 48 F; L = 76 H; C = 97 F; RLp = Prototipo ȍ Cdažio 5 keitimo 4koeficieta kf = π = 68 grakadagi pralaido juoto ribii daži f p turi bnjti Hz diei pritaikiu 4 pokyryje aprašytą traformaciją iš ŽDF į dažio keitimo koeficieta kf = ʌvertė: =R 68 Prototipo gradiei DF gauamo aujo elemetų = 5 Ω; L = 498 μh; pritaikiu 4 pokyryje aprašytą traformaciją iš ŽDF Ƴ DF gauc = 88 μf; L = 86 μh; C4 = 66 μf; L5 = 686 μh; = 5 ȍ; L amo aujo elemetǐ vertơ: R = 498 ȝh; R L = Ω C = Šia 88 ȝf; L = 86 ȝh; C4 =verte 66pakeitu ȝf; L5 = 686karȝH; traformuotąia elemetų ȍ 4 pokyryje aprašyta taiykle gauamo tokio verrtųl =pagal traformuotąia elemetǐ verte pakeitul kartǐ patė: Šia R = 5 Ω; L = 498 mh; C = 88 F; = 86 mh; gal 4 pokyryje aprašyta taiykle gauamo tokio C4 = 66 F; L5 = 686 mh; R L = Ω Galutiė DF vertơ: Rgradiė L C L = 5 ȍ; = 498 mh; = 88 F; = 86 mh; pavaizduota 4 pav C4 = 66 F; L5 = 686 mh; RL = ȍ Galutiơ DF gradiơ pavaizduota 4 pav R 5 : 4 66F 88F 686mH 86mH 498mH Rl k: 4 pav Pektoio9 eilė Čebyšovo DF Šio gradiė DCh gauta atliku kompiuteriį modeliavimą Multiim paketu parodyta 4 pav Kaip matyti iš šio paveiklo DCh makimuma pralaido juotoje yra e db o 5 db Tai lemia įtampo dalytuva kurį udaro igalo šaltiio varža R = 5 Ω apkrovo varža RL = Ω: lg /5 = 5 db Be to viame dažio diapazoe iki Hz lopiima všija 695 db t y praokta užduotyje reikalaujamu 6 db 98

100 TaiTailemia lemiaƴtampo Ƴtampodalytuva dalytuva kurƴ kurƴ udaro udaro igalo igalo šaltiio šaltiio varža ȍȍ apkrovo RR= 5 = 5 apkrovovarža varža RRL L== ȍ: ȍ: lg lg/5 /5 = 5 db 5 dbbebetotoviame viamedažio dažiodiapazoe diapazoeiki iki Hz Hz lopiima lopiima všija 695 Ŷ všija 695dBdBttyypraokta praoktaužduotyje užduotyjereikalaujamu reikalaujamu 6 6 db db 4 pav Multiim paketu gauta pektoio eilơ DF daž44 pav Multiim paketu gauta pektoio eilėeilơ Čebyšovo DF dažiė pav Multiim paketu gauta pektoio DF dažiơ amplitudơ charakteritika amplitudė charakteritika iơ amplitudơ charakteritika 4 pavyzdy 44 pavyzdy pavyzdy Tarkime kad reikia Ƴgyvediti šeštoio eilơ Kauerio JF tetarkime reikia Ƴgyvediti šeštoio eilơeilė Kauerio JF tetarkimekad kad reikia įgyvediti šeštoio JF Kauerio G 6 db kiatƴ tokia pecifikacija: G p db tekiatį tokia pecifikacija: G = db G 6 db kiatƴ tokia pecifikacija: G p p db Hz Bpp = BB =85 Hz f f = Hz Iš Iš 4646 letelė letelơ matyti B Hz 85 Hz Hz mab p Hz B 85 Hz f Hz Iš 46 letelơ matyti tyti kad jo ketvtojoje eilutėje pateikti duomey šiek tiek všija kad jo ketvtojoje eilutơje pateikti duomey šiek tiek všija duota kad jo ketvtojoje eilutơje pateikti duomey šiek tiekbu všija duota duota pecifikacija: bagavima 99 db pecifikacija: bagavima pralaidopralaido juotoje juotoje bu 99 db mažiaupecifikacija: bagavima pralaido juotoje bu 99 db mažiaumažiauia lopiima epralaido juotoje iek ia lopiima epralaido juotoje iek 65 db o B 65 db 86 Hzo ia lopiima epralaido juotoje iek 65 db o B kad86 Hz B = 86 Hz kai B = Hz Taip pat tarkime igalo varkai B p Hz Taipp pat tarkime kad igalo šaltiio vidau B p Taippat tarkime kad lygio igalo Ω šaltiio vidau varkaišaltiio Hzvarža vidau apkrovo varža ža apkrovo varža lygio ȍ ža apkrovo varža lygio ȍ predima predima predima Paiku 48 pav pavaizduotą gradię kaip prototipą 9 ormuotųjų elemetų vertė yra 9 tokio: R = Ω; C = F; C = 98 F; L = 55 H; C = F; R L = Ω Pakeičiame elemetų verte pagal 4 pokyryje aprašyto traformacijo iš ŽDF į JF taiykle Po to elemetų verte pakeičiame pagal reikiamo varžo dydį kaip aprašyta 4 pokyryje Taip gauama galutiė JF gradiė pavaizduota 4 pav 99

101 C = 98 F; L = 55 H; C = F; RL = ȍ Pakeiþiame elemetǐ verte pagal 4 pokyryje aprašyto traformacijo iš ŽDF Ƴ JF taiykle Po to elemetǐ verte pakeiþiame pagal reikiamo varžo dydƴ kaip aprašyta 4 pokyryje Taip gauama galutiơ JF gradiơ pavaizduota 4 pav 87mH 4F k: 64mH 4 559mH 56F 65F 65F 559mH k: 4 Šeštoio pav Šeštoio eilơkauerio Kauerio JF 4 pav eilė JF Šio gradiơ DCh gauta atliku kompiuteriƴ modeliavimą Šio gradiė gauta atliku modeliavimą Multiim paketudch parodyta 4 pav Kaipkompiuteriį matyti iš šio paveiklo DCh makimuma pralaido juotoje yra e db o 6 db Multiim paketu parodyta 4 pav Kaip matyti iš šio paveiklo filtai lemia Ƴtampo dalytuva kurƴ udaro igalo šaltiio varža R tro DCh makimuma pralaido juotoje yra e db o 6 db apkrovo varža RL Multiim paketu gauta charakteritika taip Tai lemia įtampo kad dalytuva kurį udaro igalo šaltiioevarža pat patvtia vioje epralaido juotoje filtra užtikria ma- R apkrovo varža RLdB Multiim gauta charakteritika taip žeƴ ei 65 lopiimą paketu kaip reikalaujama pecifikacijoe pat patvtia kad vioje epralaido juotoje filtra užtikria e mažeį ei 65 db lopiimą kaip reikalaujama pecifikacijoe 9 44 pavpav Multiim paketu gauta šeštoio eilė Kauerio Multiim paketu gauta šeštoio eilơ KauerioJFJFdažiė dažiơ amplitudơ charakteritika amplitudė charakteritika 44 pavyzdy Tarkime kad reikia Ƴgyvediti ketvtoio eilơ UF B p Hz tekiatƴ tokia pecifikacija: G p db