Specialieji analizės skyriai

Transcript

1 Specialieji analizės skyriai.

2 Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė funkcija: y= Asin t, su periodu T = 2π/ω, kur ω dažnis. Iš tokių paprasčiausių periodinių funkcijų galima sudaryti sudėtingesnių. Aiškų, kad turime sudėti skirtingų dažnių funkcijas, nes sudėję vienodo dažnio sinusus, vėl gautume to paties dažnio sinusą f( x) g( x) h( x) x 1

3 Atvirkštinis klausimas: ar galima duotąją periodinę funkciją φ(t) su periodu T, išreikšti sinusų suma? Pasirodo, kad gana daug funkcijų galima taip išreikšti, bet reikia imti begalinį kiekį dėmenų: Trigonometrinės Furje eilutės t= A A 1 sin t 1 A 2 sin 2 t 2... = A n =1 A n sin n t n. 3 Jeigu kiekvieną sinusą laikysime harmoninių svyravimų, tai galime sakyti, kad sudėtingą judėjimą, aprašoma funkcija φ(t), išskaidėme atskirais harmoniniais svyravimais. Periodinės funkcijos skaidymas į harmonikas procesas vadinamas harmoninė analizė.

4 Trigonometrinės Furje eilutės 4 Pažymėkime x=t= 2 T t, t= x = f x. Funkcija f(x) irgi bus periodinė, bet su periodu 2π. Tuomet f x= A n=1 A n sinnx n = A n=1 A n sin nx cos n cosnx sin n. Pažymėję A = a 2, A n sin n =a n, A n cos n =b n gauname, kad periodinė su periodu 2π funkcija f(x) išreiškiama trigonometrine eilute f x= a 2 a n cosnxb n sin nx. n=1

5 Funkcijų ortogonalumas Funkcijos f(x) ir g(x) vadinamas ortogonaliomis atkarpoje [a; b], jei 5 b a f xgxdx =. Funkcijų seka {φ n (x)} vadinama ortogonalia atkarpoje [a; b], jei b n x m xdx =, n m. a Pvz., 1, cos x,sin x,cos2 x,sin 2 x, cos3 x,sin 3 x,... Funkcijų seka {φ n (x)} vadinama ortonormuota atkarpoje [a; b], jei b n x m xdx = a {, n m, 1, n=m.

6 Furje eilutė ir jos koeficientai Tarkime, kad periodinę su periodu 2π funkciją f(x) galima išreikšti trigonometrine eilute, tolygiai konverguojančia atkarpoje [-π; π]: 6 Kaip rasti koeficientus a, a n, b n? Integruojame f x= a 2 a n cosnxb n sin nx. n=1 f xd x = a 2 d x n=1 a n cosnx d xb n sin nxd x. = = Taigi a = 1 f xd x.

7 Furje eilutė ir jos koeficientai Norėdami rasti a n, dauginame iš cos mx ir integruojame: 7 f xcos mx d x = a cosmx d x 2 = n=1 a n cosmx cos nx d xb n cosmx sin nx d x. = {, m n, m=n = Taigi f xcos nxd x = a n cos 2 nx d x = a n ir a n = 1 f xcos nxd x.

8 Furje eilutė ir jos koeficientai Norėdami rasti b n, dauginame iš sin mx ir integruojame: 8 f xsin mx d x = a sin mx d x 2 = n=1 a n cosnxsin mx d xb n sin mx sin nxd x. = = {, m n, m=n Taigi f xsin nx d x = b n sin 2 nx d x = b n ir b n = 1 f xsin nxd x.

9 Furje eilutė ir jos koeficientai 9 Skaičiai a, a n, b n vadinami funkcijos f(x) Furje koeficientais, o trigonometrinė eilutė - funkcijos f(x) Furje eilute. f x= a 2 a n cosnxb n sin nx. n=1 Įrodysime, kad periodinės su periodu 2π funkcijos integravimo intervalą galime pakeisti bet kuriuo kitu intervalu [a; a+2π]. a 2 I = a f xd x = a 2 f xd x a 2 f xd x 2 f xd x. Paskutiniame integrale darome keitinį x = 2π + t, dx = dt : a 2 2 a f x d x = a f 2td t = f tdt.

10 Gauname, kad Furje eilutė ir jos koeficientai a 2 I = a 2 f xd x = f xd x. 1 Įrašę vietoje a = -π, turime 2 I = f xd x = f xd x. Taigi, Furje koeficientų formules galima užrašyti taip: a 2 a = 1 a f x d x a2 a n = 1 a f xcos nxd x, n N a2 b n = 1 a f xsin nxd x, n N

11 Furje eilutė ir jos koeficientai Matome, kad Furje koeficientus galima apskaičiuoti bet kuriai integruojamai atkarpoje [-π; π] funkcijai su periodu 2π. Ar visada Furje eilutė konverguoja? 11 Funkcija f(x) vadinama dalimis monotonine intervale, jei šį intervalą galima išskaidyti į baigtinį dalinių intervalų skaičių, tokių, kad kiekviename daliniame intervale funkcija f(x) yra monotoninė. Jei funkcija f(x) yra periodinė su periodu 2π ir dalimis monotoninė intervale [a; a+2π], tai šios funkcijos Furje eilutė konverguoja visose R taškuose. Tolydumo taškuose eilutė konverguoja į f(x), trūkio taškuose - į f x f x 2

12 Lyginių ir nelyginių funkcijų Furje eilutės 12 Jei funkcija f(x) lyginė, tai a a a f x d x = 2 f x d x Jei funkcija f(x) nelyginė, tai a a f xd x =.

13 Lyginių ir nelyginių funkcijų Furje eilutės Jei funkcija f(x) yra periodinė su periodu 2π ir lyginė, tai 13 a = 1 f xd x = 2 f xd x a n = 2 f xcos nxd x, n N b n = Lyginės funkcijos Furje eilutė: f x= a 2 a n cos nx. n=1

14 Lyginių ir nelyginių funkcijų Furje eilutės Jei funkcija f(x) yra periodinė su periodu 2π ir nelyginė, tai 14 a = a n = b n = 2 f xsin nxd x, n N Nelyginės funkcijos Furje eilutė: f x= n=1 b n sin nx.

15 Furje eilučių pavyzdžiai Periodinė su periodu 2π funkcija f(x) = x, -π x π f( x) x 1 x = 2 4 k=1 cos2 k 1x 2 k 1 2, x [, ].

16 Periodinė su periodu 2π funkcija Furje eilučių pavyzdžiai 16 f x = 2 12 x2 4, x [, ]..822 f( x) v( x) x 1 f x = n=1 1 n 1 cos nx n 2, x [, ].

17 Periodinė su periodu 2π funkcija Furje eilučių pavyzdžiai 17 2 f x = 2sin x x1cos x sin x ln 22cos x, 2 x [, ]. 1 f( x) x 1 f x = 2 n=1 1 n 1 sin nx n n 1, x [, ].

18 Funkcijų išreiškimas Furje eilute atkarpoje [, π] Tarkime, kad funkcija f(x) apibrėžta atkarpoje [, π]. Norėdami f(x) išreikšti Furje eilute šioje atkarpoje, f(x) pratęsiame į atkarpą [-π, ]. 18 Sudarome naują funkciją, kuri apibrėžta atkarpoje [-π, π]. 1 būdas. f(x) pratęsiame taip, kad nauja f 1 (x) būtų lyginė: f 1 x = { f x, x [, ] f x, x [,] Gavome lyginę funkciją, kurios Furje eilutę sudaro tik kosinusų nariai: f 1 x = a 2 a n cos nx. n=1 Kadangi f 1 (x) = f(x), kai x π, tai f 1 (x) eilutė ir bus f(x) eilutė atkarpoje [, π].

19 Funkcijų išreiškimas Furje eilute atkarpoje [, π] 2 būdas. f(x) pratęsiame taip, kad f 2 (x) būtų nelyginė: 19 f 2 x = { f x, x [, ] f x, x [,] Šiuo atveju gavome nelyginę funkciją, atkarpoje [-π, π]: f 2 x = n=1 b n sin nx. Kadangi f 2 (x) = f(x), kai x π, tai f 2 (x) eilutė ir bus f(x) eilutė atkarpoje [, π].

20 Funkcijų su periodu 2l Furje eilutės Tarkime, kad f(x) periodinė su periodu 2l funkcija atkarpoje [-l, l]. 2 Įveskime keitinį x = lt/π. Tuomet f(lt/π) = φ(t) periodinė su periodu 2π, nes φ(t+2π) = f(l(t+2π)/π) = f(lt/π+2l) = f(lt/π) = φ(t). Funkciją φ(t) skleidžiame Furje eilute atkarpoje [-π, π]: t = f l t = a 2 a n cos ntb n sin nt. n=1 a n = 1 b n = 1 f l t cos nt d t, n N f l t sin nt d t, n N

21 Funkcijų su periodu 2l Furje eilutės Grįžtame prie kintamojo x, t = πx/l : 21 f x = a 2 n=1 a n x n cos b l n sin n x l. Keičiame kintamąjį integraluose, ir gauname: a n = 1 l l l f xcos n x l d x, n N b n = 1 l l l f xsin n x l d x, n N

22 Funkcijų su periodu 2l Furje eilutės Kai f(x) - lyginė atkarpoje [-l, l], tai b n =, o 22 a n = 2 l l f xcos n x l d x, n N f x = a 2 n=1 a n cos n x l. Kai f(x) - nelyginė atkarpoje [-l, l], tai a n =, o b n = 2 l l f xsin n x l d x, n N f x = n=1 b n sin n x l.

23 Furje eilutės kompleksinė forma Tarkime, kad funkcijos f(x) Furje eilutė atkarpoje [-π, π] yra tokia: 23 Panaudoję Eulerio formulę, turime f x= a 2 a n cosnxb n sin nx. n=1 f x= a 2 a n n=1 e i n x e i n x 2 e i n x i nx e i b n 2 = n= c n e i n x. Ši išraiška vadinama funkcijos f(x) Furje eilutės kompleksine forma. Raskime Furje koeficientus. c n = a i b n n = f xcosnx i sin nxd x= 1 2 f xe i n x d x, n Z.

24 Furje eilutės kompleksinė forma Kai funkcija f(x) periodinė su periodu 2l, jos Furje eilutės kompleksinė forma: 24 f x = n= i n x l c n e, O Furje koeficientai - c n = 1 2l l l f xe i n x l d x, n Z.

25 Tarkime, kad periodinė su periodu 2l funkcija f(x) yra tolydi ir turi tolydžią išvestinę R, išskyrus, gal būt, baigtinį taškų skaičių atkarpoje [-l, l]. Be to, šiuose taškuose egzistuoja baigtinės f(x) ir f '(x) ribos iš kairės ir iš dešinės. Kiekvieną f(x) galime išreikšti Furje eilute: f x = a 2 n=1 Furje integralas kurios koeficientai apibūdinami formulėmis a n x n cos b l n sin n x l, 25 a n = 1 l l l f xcos n x l d x, n N b n = 1 l l l f xsin n x l d x, n N

26 Dabar tarkime, kad f(x) yra neperiodinė, dalimis glodi bet kurioje R atkarpoje ir absoliučiai integruojama R: Furje integralas f x d x = M. Furje integralo išraišką gauname iš periodinės funkcijos Furje eilutės: 26 f x = 1 2 l l l f t d t 1 l n=1 l l f tcos nt x l d t. Pažymėkime 1 = l, 2= 2 l,..., n = n l,..., n = l. Tuomet f x = 1 2 l l l f t d t 1 n=1 l l f t cos n t xd t n.

27 Furje integralas Tarkime, kad l (funkcija iš periodinės tampa neperiodine). Aišku, kad 27 1 l 2 l l t f td 1 l 2 l l f t d t 1 f t d t = M 2l 2 l. Pažymėkime l n = l f t cos n t x d t Gauname integralinę sumą 1 n=1 l l f t cos n t x d t n = 1 n=1 n n. Perėję prie ribos, kai l, turime f x = 1 f t cos t x d t d.

28 Furje integralas Dvilypiam Furje integralui suteiksime kitą išraišką 28 f x = 1 cos xd f t cos t dt 1 sin x d f tsin t d t Pažymėkime a = 1 f tcos t d t, b = 1 f tsin t d t. Tada f x = acos xbsin x d. Analogija su Furje eilute.

29 Lyginių ir nelyginių funkcijų Furje integralas 29 Kai f(x) lyginė funkcija, tai a = 2 f t cost d t, b =. f x = a cos x d. Kai f(x) nelyginė funkcija, tai a =, b = 2 f t sin t dt. f x = b sin xd. Kai f(x) yra aprėžta intervale (,+) arba (-,), tai ją tikslinga apibrėžti priešingoje ašies pusėje taip, kad ji būtų lyginė, arba nelyginė. Tada galima taikyti aukščiau išvestas formules.

30 Lyginių ir nelyginių funkcijų Furje integralas Norėdami simetrizuoti šias formules, pažymėkime 3 a = 2 b = 2 f t cost dt, f t sin t dt, Tuomet, kai f(x) lyginė funkcija f x = 2 a cos x d. Kai f(x) - nelyginė, b sin x d. f x = 2 Funkcija a vadinama funkcijos f(x) Furje kosinuso transformacija, b - Furje sinuso transformacija.

31 Kompleksinė Furje integralo forma Furje integralą išreikšime kompleksine forma: 31 a cos xbsin x = ce i x ce i x, čia c = a i b 2 ; c = a i b 2 = c. c = 1 2 f te i t d t,. Todėl a cos xbsin xd = c e i x c e i x d = = c e i x d c e i x d = ce i x d.

32 Tuomet Kompleksinė Furje integralo forma f x = lim = lim acos xbsin x d = ce i x d = c e i x d. 32 Taigi f x = c e i x d, kur c = 1 2 f te i t d t. Tai yra Furje integralo kompleksinė forma.

33 Funkcija Furje transformacija F = f te i t d t 33 vadinama f(x) tiesiogine Furje transformacija. Išreiškiame f(x): f x = 1 2 F e i x d. Funkcija f(x) vadinama atvirkštine Furje transformacija. Dažnai tiesioginės ir atvirkštinės Furje transformacijos užrašomos simetrizuotai: = 1 2 f x = 1 2 f t e i t d t e i x d.

34 Operacinis skaičiavimas. Pirmvaizdžio sąvoka. Realaus kintamojo t kompleksinę funkciją f(t) vadiname pirmvaizdžiu, kai 1) f(t) intervale (, ) yra tolydi arba turi baigtinį pirmojo tipo trūkių skaičių; 2) f(t) =, kai t < ; 3) egzistuoja tokie skaičiai M, σ >, kad f(t) Me σt, jei t >. 34 Visų skaičių σ, kuriems teisinga ši nelygybė, tikslus apatinis rėžis σ, vadinamas f(t) didėjimo rodikliu. Pirmvaizdžio f(t) ribą lim t f t = f vadinsime pradine pirmvaizdžio reikšme ir žymėsime f(). Trūkio taške t k pirmvaizdį f(t) laikysime tolydžia iš dešinės funkcija: f t k = f t k = lim t t k f t.

35 Operacinis skaičiavimas 35 Funkcija H t= { 1, t, t vadinama Hevisaido vienetine funkcija. Ji tenkina visas pirmvaizdžio sąlygas. Didėjimo rodiklis σ =. Kiekvieną pirmvaizdį, naudojant H(t), galima užrašyti taip: Bet kokia funkcija f(t), tenkinanti 1) ir 3) pirmvaizdžio sąlygas, padauginta iš H(t), tampa pirmvaizdžiu. Funkcija f t H t= { f t, t, t H t = { 1, t, t vadinama vėluojančiąja vienetine funkcija. Funkcija f(t-τ)h(t-τ) vadinama vėluojančiąja funkcija.

36 Pirmvaizdžio f(t) vaizdu vadinama kompleksinio kintamojo p = σ + i ω funkcija F(p): Vaizdo ir Laplaso transformacijos sąvokos F p = f t e p t d t. Šis integralas vadinamas Laplaso transformacija. Žymėsime 36 F p = L [ f t ], f t = L 1 [F p ]. Pirmvaizdžio f(t) vaizdas F(p) yra apibrėžtas ne visoje kompleksinėje plokštumoje.

37 Vaizdo egzistavimo teorema Kiekvienas pirmvaizdis f(t) turi vaizdą F(p), apibrėžta pusplokštumėje Re p > σ (didėjimo rodiklis). 37 Įrodymas. F p = = M Išvada. Jei F(p) vaizdas, tai Įrodymas. Turime Tuomet, kai t f te pt d e t d t = M e t F p f t e i t d t M lim R p e t d t = = M, = R p. F p =. M,. R p = F p.

38 Pirmvaizdžio f(t) vaizdas F(p) yra analizinė funkcija pusplokštumėje Re p > σ. Vaizdo analiziškumo teorema 38 Įrodymas. Pakanka parodyti, kad F(p) yra diferencijuojama bet kuriame pusplokštumės Re p > σ taške. ir d F d p = t f te pt d t, t f t e p t M t e t, t. tai integralas Kadangi konverguoja tolygiai parametro p atžvilgiu. Reiškia, Laplaso integralą, kai Re p > σ, galima diferencijuoti parametro p atžvilgiu, t.y. F(p) yra analizinė funkcija pusplokštumėje Re p > σ. M t e t d t = t f t e p t dt = M 2, R p =, d d p f te p t dt

39 Tiesiškumo teorema Jei L[f 1 ]=F 1, L[f 2 ]=F 2, tai L[C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t)]=c 1 F 1 (p) + C 2 f 2 (p). 39 Įrodymas. Parodykime, kad C 1 f 1 (t)+c 2 f 2 (t) yra pirmvazdis. 1) ir 2) pirmvaizdžio sąlygos yra patenkintos. Patikriname 3) sąlyga. Tarkime, kad Tuomet f 1 t M 1 e 1t, f 2 t M 2 e 2t, 1 2. C 1 f 1 tc 2 f 2 t C 1 f 1 t C 2 f 2 t C 1 M 1 e 1t C 2 M 2 e 2t = = C 1 M 1 e 1t1 C 2 e 2 1t M 1 1 M 2 C 1, t Taigi, 3) sąlyga patenkinta. Pirmvaizdžio didėjimo rodiklis yra max(σ 1,σ 2 ). L[C 1 f 1 C 2 f 2 ] = M e t 1. C 1 f 1 tc 2 f 2 t e p t dt = C 1 F 1 pc 2 F 2 p.

40 Jei λ > ir Panašumo teorema f t F p, tai f t 1 F p. 4 Įrodymas. Pažymėję λt = z, turime f t f t e p t dt = 1 p z f z e d z = 1 F p. Pastaba. Žinant vaizdą F(p) galima rasti pirmvaizdžio didėjimo rodiklį. Jis yra lygus funkcijos F(p) ypatingų taškų, esančių pusplokštumėje Re p >, didžiausiai realiajai komponentei. Jei ypatingų taškų nėra, tai σ =.

41 Postūmio teorema 41 Jei a C ir F p f t, tai F p a e a t f t Įrodymas. e a t f t e a t f te p t d t = f t e p a t d t = F p a.

42 Vėlavimo teorema 42 Jei ir f t F p, tai f t e p F p. Įrodymas. Vėluojančioji funkcija lygi nuliui, kai t < τ, todėl f t f t e p t d t = t = z d t = d = = f ze p z p d t = e p F p.

43 Periodinio pirmvaizdžio vaizdas Jei pirmvaizdis f(t) yra periodinė funkcija su periodu T, tai 43 f t T p 1 e, kur p = p T f te pt dt. Įrodymas. F p = = p T f t e p t d t = f t e p t d t f te pt d t T = p t = zt, z = t T f zt e p T e p z d z = pe p T F p. = Gavome F p = pe p T F p F p = p 1 e p T f t.

44 Jei f(t) yra tolydi, dalimis diferencijuojama funkcija, be to, f(t) ir f '(t) yra pirmvaizdžiai, ir F(p) yra pirmvaizdžio f(t) vaizdas, tai Įrodymas. Riba lygi nuliui, nes Pirmvaizdžio diferencijavimo teorema f ' t f ' t p F p f. f ' te p t d t = = e p t f t = lim e p t d f t = f t p e p t d t = e p t f t f p F p = p F p f. t = e pt f t M e t t = M e t. 44

45 Išvada Pirmvaizdžio diferencijavimo teorema 45 f n t p n F p p n 1 f p n 2 f '... p f n 2 f n 1. arba d n n dt f t n pn F p k=1 p n k f k 1. Įrodymas. Tegu n=2. f 2 t = f ' t ' p [ p F p f ] f ' = = p 2 F p p f f '

46 Jei Pirmvaizdžio integravimo teorema t f t F p, tai f zd z F p p Įrodymas. Parodysime, kad integralas yra pirmvaizdis.. 46 t z t f zd t f z d z M e z d z = M e t 1 M e t. Gavome, kad integralas yra pirmvaizdis su didėjimo rodikliu σ. Toliau, Gavome t d d t L{ f zd z = f t d d t L{ t f z d z} = F p p t p L{. t f zd z} = F p. z} f zd f z d z = = F p.

47 Vaizdo diferencijavimo teorema 47 Jei F p f t, tai F ' p t f t. Įrodymas. F p = F ' p = f t e p t d t. t f te p t d t. F' p Išvada. F n p t n f t.

48 Vaizdo integravimo teorema Jei F(p) yra pirmvaizdžio f(t) vaizdas ir f(t)/t yra pirmvaizdis, tai 48 p F ud u f t t.

49 Pradinės reikšmės teorema Jei f(t), f '(t) yra pirmvaizdžiai, ir F(p) yra pirmvaizdžio f(t) vaizdas, tai 49 lim R p p F p = f = lim t f t. Įrodymas. Pažymėkime f ' t = f 1 t F 1 p. Tuomet lim F 1 p R p = = lim R p p F p f.

50 Ribinės reikšmės teorema Jei f(t), f '(t) yra pirmvaizdžiai, ir F(p) yra pirmvaizdžio f(t) vaizdas, tai 5 lim t f t = lim p p F p. Įrodymas. Pažymėkime f ' t = f 1 t F 1 p. Tuomet p F p f = F 1 p lim p = p F p f = lim p f ' t e p t dt f ' te pt d t = f ' td t = = lim t f t f.

51 Funkcija t f t = Pirmvaizdžių sąsuka f 1 f 2 t d vadinama funkcijų f 1 (τ) ir f 2 (τ) sąsuka ir žymima f 1 (τ)*f 2 (τ) 51 Sąsukos operacija yra komutatyvi. = t Pirmvaizdžių sąsuka yra pirmvaizdis. Tarkime, kad Tuomet = t t = f 1 f 2 t d = t = d = d f 1 t f 2 d = f 2 t f 1 t. f 1 t f 2 t = t f t M 1 M 2 f 1 t M 1 e 1t, f 2 t M 2 e 2t, 1 2. e 1 e 2t d = M 1 M e 2t e 1 2t 1 M 1 M e 1t.

52 Vaizdų sandaugos teorema (Borelio formulė) 52 Jei F 1 p f 1 t, F 2 p f 2 t, tai F 1 p F 2 p f 1 t f 2 t. Įrodymas. t f 1 t f 2 t = f t F p = = f 1 f 2 t e p t dt d = = = z t z d t = d = f 1 e p d f 1 f 2 t e p t dd t = d f 1 f 2 t e p t d t = f 2 ze p z d z = F 1 p F 2 p.

53 Diuamelio formulė 53 Jei f 1 (t), f 1 '(t), f 2 (t), f 2 '(t) yra pirmvaizdžiai, F 1 (p) yra pirmvaizdžio f 1 (t) vaizdas, F 2 (p) yra pirmvaizdžio f 2 (t) vaizdas, tai p F 1 pf 2 p f 1 t f 2 f 1 t f 2 ' t = f 1 f 2 t f 1 ' t f 2 t.

54 Atvirkštinė Laplaso transformacija f t = 1 i F p e p t d p. 2 i i Įrodymas. Imkime Furje transformacija ir atvirkštinė Furje transformacija: 54 F = f te i t d t, f t = 1 2 F e i t d. Užrašykime Furje transformaciją funkcijai f(t) e -σt : = F p F, = f t e i Tai yra Laplaso transormacija. Užrašykime atvirkštinę Furje transformaciją funkcijai f(t) e -σt : f t e t = 1 2 = p t d t, F pe i t d =

55 Atvirkštinė Laplaso transformacija 55 = p = i pi = = i d = d p i i 1 2i i F pe i i pi t d p arba f t e t = 1 i F p e p t d p. 2 i i f t = 1 i F p e p t d p. 2 i i Taikyti atvirkštinės Laplaso transformacijos formulę nėra paprasta. Todėl, atskirais atvejais, kai vaizdas F(p) tenkina tam tikrus apribojimus, pirmvaizdį galima rasti paprasčiau.

56 Pirmoji vaizdų ir pirmvaizdžių atitikties teorema Jeigu vaizdas F(p) yra analizinė funkcija taško p = aplinkoje, ir funkcija F(p) žiede R < p < išreikšta Lorano eilute (*) tai pirmvaizdis F p = n=1 f t = n=1 c n p n, c n n 1! t n 1, t lim R p 56 F p = Išvada. Jei vaizdas F(p) išreikštas Lorano eilute (*), tai pirmvaizdį galima gauti, panariui taikydami atitiktį c n p n c n n 1! t n 1, n N.

57 Antroji vaizdų ir pirmvaizdžių atitikties teorema 57 Jeigu vaizdas F(p) yra analizinė pusplokštumėje Re p > σ funkcija ir neturi kitų ypatingųjų taškų, išskyrus polius p 1, p 2,..., p n, be to F(p), kai p, tai pirmvaizdis f t = n=1 Res F pe p t. p = p k

58 Taisyklingųjų racionaliųjų trupmenų pirmvaizdžiai 58 Tarkime, vaizdas F p = P m p Q n p, mn. 1 atvejis. Funkcijos F(p) poliai p 1, p 2,..., p q, yra atitinkamai l 1, l 2,..., l q eilės ir l i = n : P F p = m p. q n p p 1 l 1 p p2 l 2... p pq l q Gauname pirmvaizdį q f t = k=1 1 l k 1! lim p p k d l k 1 d p l k 1 { p p k l k F pe p t }.

59 Taisyklingųjų racionaliųjų trupmenų pirmvaizdžiai 2 atvejis. Funkcijos F(p) poliai p 1, p 2,..., p n, yra pirmosios eilės. Tuomet 59 n f t = k=1 P m p k Q n ' p k e pk t.

60 Tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais Tarkime, duota n-osios eilės tiesinė diferencialinė lygtis su pastovoais koeficientais: a n x n a n 1 x n 1...a 1 x'a x = f t, Reikia rasti atskirą sprendinį, tenkinanti pradines sąlygas 6 a n, x = xt, t, x = x, x' = x ',..., x n 1 = x n 1. Tarkime, funkcijos f(t) ir x(t) su savo išvestinėmis yra pirmvaizdžiai. Tada egzistuoja ir vaidai. Tegu Turime f t F p, xt X p x' t p X p x x 2 t p 2 ' X p p x x... x n t p n X p p n 1 x p n 2 x '... p x n 2 n 1 x

61 Tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais Iš Laplaso transformacijos tiesiškumo išplaukia, kad a n x n a n 1 x n 1...a 1 x'a x = A n p a n p n a n 1 p n 1...a 1 pa X p a n 1 p k 1 a n 2 p k 2...a n k Gauname operatorinę lygtį ir operatorinį sprendinį A n p X p B n 1 p = F p X p = F pb n 1 p A n p Suradę pirmvaizdį x(t), gausime tiesinės diferencialinės lygties atskirą sprendinį, tenkinanti pradines sąlygas. 61 n n k x k=1 = B n 1 p.

62 Diuamelio formulės taikymas 62 Diuamelio formulės taikymas, sprendžiant tiesines diferencialines lygtys su pastoviais koeficientais ir nulinėmis pradinėmis sąlygomis, a n x n a n 1 x n 1...a 1 x'a x = f t, x =, x' =,..., x n 1 =. Kadangi pradinės sąlygos nulinės, tai B n-1 (p) = ir A n p X p = F p. Tegu f(t) = 1. Pažymėkime tokios diferencialinės lygties atskirą sprendinį, tenkinanti nulines sąlygas, kaip x 1 (t), jo vaizdą kaip X 1 (t) X 1 p = F p A n p = 1 p A n p, a n, x = xt, t, Dabar turime X p = F p A n p = px 1 p F p.

63 Taigi, Diuamelio formulės taikymas X p = px 1 p F p. 63 Pagal Diuamelio formulę p F 1 pf 2 p f 1 f 2 t f 1 ' t f 2 t. t xt = x 1 ' f t d.

64 Tiesinių diferencialių lygčių sistemos Tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sistemos operaciniu metodu sprendžiamos taip pat kaip ir viena tiesinė diferencialinė lygtis. Kiekvienai lygčiai taikoma laplaso transformacija, o po to sprendžiama gauta operatorinių lygčių sistema. Jos sprendinys yra duotosios tiesinių diferencialinių lygčių sistemos sprendinio vaizdas. Taikydami jam atvirkštinę Laplaso transformaciją, randame ieškomą sprendinį. 64